3. kierros. Lähipäivä
Viikon aihe (viikko /) Takaisinkytketyt vahvistimet Takaisinkytkentä, suljettu säätöluuppi Nyquistin kriteeri, stabiilisuus Taajuusanalyysi, Boden ja Nyquistin diagrammit Systeemin nopeus, stabiilisuus ja värähtelyt PID-säädin
Tavoitteet: tietää Takaisinkytkentään liittyvät tärkeimmät käsitteet Avoimen ja suljetun silmukan vahvistus Takaisinkytkentäkerroin β Paluuerotus ja silmukkavahvistus Vaihe- ja vahvistusmarginaali Stabiilisuus ja Routhin kaavio Boden ja Nyquistin diagrammit PID-säädin
Tavoitteet: ymmärtää Takaisinkytkennän vaikutus vahvistimen ominaisuuksiin. Vahvistuksen herkkyys Kaistanleveys Lineaarisuus Lähteen, kuorman ja takaisinkytkentäverkon vaikutus paluuerotukseen ja silmukkavahvistukseen Miksi takaisinkytketty vahvistin voi olla epästabiili Taajuusanalyysin merkitys säädössä
Tavoitteet: soveltaa Analysoida idealisoitujen takaisinkytkettyjen systeemien ominaisuuksia (mm. stabiilisuus, nopeus, värähtelyt) Analysoida takaisinkytketyn vahvistimen stabiilisuutta Bode- ja Nyquistin diagrammien avulla
Tietoisku I: Stabiilisuus Matalilla taajuuksilla A s K, ja silmukkavahvistus A on vakio Korkeammilla taajuuksilla A(s) muuttuu ja vaihesiirto silmukan ympäri ei välttämättä ole enää 80 Jos silmukkavahvistuksen vaihe kääntyy toiset 80 astetta, takaisinkytkentä muuttuu positiiviseksi
Suljetun silmukan navat Stabiilin systeemin navat sijaitsevat vasemmassa puolitasossa (tai yksinkertaisina origossa) Tarkastellaan kahden navan vahvistimen suljetun silmukan vastetta: A ( s) ( s + )( s + ) A( s) K = + β A( s) s + s( + ) + ( β K ) ( + β K ) ( β K ) A f = + ( s) = K f + + f + Tulos pitää paikkansa vain kun suljetun silmukan navat ovat kaukana toisistaan.
Hyvyysluku Suljetun silmukan siirtofunktion Q saadaan helposti A f :n lausekkeesta ( ) ( ) ( ) β K s s K s A f + + + + = ( ) 0 0 0 + + = s Q s K s H ( ) β + + = K Q
Ominaistaajuus ja vaimennussuhde Siirtofunktio K G(s)= n s + ζ n s+ n Ominaistaajuus n Vaimennussuhde ζ=cos(α)= Q x n Im α Re x
Boden diagrammi Tuttua asiaa esitietokurssilta Kerrataan säännöt
Stabiilisuus graafisesti Stabiilisuus voidaan tutkia suoraan silmukkavahvistuksen Bode-diagrammista Stabiilisuusehto A, kun vaihe on 80 o Vaihevaran määritelmä? Vahvistusvaran määritelmä? Mikä vahvistus määrää stabiiliuden?
Siirtofunktion nollat Siirtofunktion osoittajan nollakohtia sanotaan systeemin nolliksi Nollat vaikuttavat vasteiden alkukäyttäytymiseen ne vastaavat vaikutukseltaan alkuarvoja Systeemi on ei-minimivaiheinen, jos sillä on yksikin nolla oikeassa puolitasossa Nollat voivat kumota vastaavan navan (ja samalla navan käyttäytymise). Ei toimi kuitenkaan epästabiilin navan kohdalla.
Harjoituksia: Lasketaan tehtävät 4 ja 5
Simulaatio Kehitelkää muutamia siirtofunktioita ja kokeiltaa, miten saatte vahvistus- ja vaihekäyrät muodostettua Työvälineenä voi olla joko LTSpice tai MATLAB
Tietoisku II: Nyquistin diagrammi Systeemin käyttäytymistä voidaan tutkia taajuustasossa Boden diagrammin lisäksi Nyquistin diagrammin avulla G( j )=R{G( j )}+ j I {G( j )} Amplitudisuhde saadaan taajuusvasteen itseisarvosta ja vaihe-ero napakulmasta: A { } { } { } y A = 0, Re ( ) 0 A = G( j ) = Re G( j ) + Im G( j ) n = G j > u, ϕ = { G( j )} = arctan(im { G( j )} Re { G( j )} ) + nπ n =, Re { G( j )} < 0
Nyquistin diagrammi Nyquistin diagrammi on polaaridiagrammi, jossa systeemin taajuusvaste kuvataan kompleksitasossa taajuuden muuttuessa nollasta äärettömään Soveltuu erinomaisesti stabiilisuustarkasteluun: Takaisinkytketty järjestelmä on stabiili, jos avoimen silmukan Nyquistin diagrammi kiertää pisteen - vastapäivää täsmälleen yhtä monta kertaa kuin avoimen silmukan siirtofunktiolla on napoja oikeassa puolitasossa
Esimerkki: Nyquist Systeemiä säädetään P-säätimellä (vahvistus). Onko säädetty järjestelmä stabiili vahvistuksen arvoilla, 4 ja 7? G( s) = s s s + 5 G ( s) = K c P G ( s) = OL KP ( s ) s s + 5 Y ref (s) + _ E(s) G c (s) Säädin U(s) G(s) Prosessi Avoimella silmukalla napaa oikeassa puolitasossa Nyquistin diagrammin olisi kierrettävä piste - kaksi kertaa, jotta säädetty systeemi olisi stabiili Y(s)
Esimerkki: Nyquist Matlabilla saadaan diagrammit: Milloin systeemi stabiili?
Vahvistus- ja vaihevarat Nyquistin diagrammista nähdään myös vahvistus- ja vaihevarat: Nyquistin diagrammi leikkaa negatiivisen reaaliakselin pisteessä -a vahvistusvara on /a Negatiivisesta reaaliakselista on g:n suuruinen kulma Nyquistin diagrammin ja yksikköympyrän leikkauspisteeseen vaihevara on g
Harjoituksia: Lasketaan tehtävä
Tietoisku III: Routh-Hurwitz-kriteeri Jos systeemin navat tunnetaan, niin stabiilisuus on helppo todeta Jos napa-polynomissa on mukana symbolisia parametreja ja tahdotaan ratkaista, millä parametrien arvoilla systeemi on stabiili, ei juurien ratkaiseminen numeerisesti onnistu käytetään Routhin kaaviota
Routhin kaavio Polynomille a s n n 0 + as + + an s + an muodostetaan Routhin kaavio seuraavasti: n s a a a a a n s a a a a a n s b b b b n 3 s b b b b n 4 s c c c n 5 s c c c s s 0 z z 0 4 6 8 3 5 7 9 0 4 6 3 5 7 0 4 3 5 0 b b b z 0 a0 a a0 a4 a0 a6 =, b =, b4 =, a a a a a a a a a a a3 a a5 a a7 =, b3 =, b5 =, b b b b b b b b b b0 b b0 b4 b0 b6 =, b3 =, b5 =, b b b b b b b b b = a n 0 3 0 3 0 5 0 4 5 0 7 0 6 7
Routhin kaavio Kaavion. sarakkeessa olevien merkinvaihtojen lukumäärä on polynomin oikeassa puolitasossa olevien juurien lukumäärä Eli: systeemi on stabiili, jos. sarakkeessa ei ole yhtään merkinvaihtoa Jos. sarakkeeseen tulee 0, korvataan se pienellä pos. luvulla ϵ. Lopuksi tutkitaan ϵ:stä riippuvien termien raja-arvot, kun ϵ 0.
Harjoituksia: lasketaan tehtäviä
Tietoisku IV: kotiprojekti Ryhmien tulosten purkaminen ensi viikolla keskiviikkona
Seuraavalla kerralla Jatketaan takaisinkytkennän parissa