766P Fysiika matematiikkaa sl 6, viikko 37 Harjoitus Palautus viimeistää ti 9 O aettu kolme ( y-taso, ) pistettä: = (, - ), B = (-,3) ja C = (,) Esitä alla luetellut vektorit katavektoreide î ja ĵ lieaarikombiaatioia: uuur a) B, b) uuur BC, uuur c) C, uuur uuur d) B + BC, uuur uuur e) C -3CB uuur, f) Vektori B suutaa osoittava yksikkövektori Suora joki virtaa läestä itää Vede virtausvauhti o 3 km/h Soutuvauhtisi tyyessä vedessä o 5 km/h Mihi suutaa siu o soudettava, jotta pääsisit suoraa joe yli etelästä pohjoisee Kuika kaua soutumatka kestää, ku joe leveys o 5 metriä? 3 Laske vektori = 4ˆi- 3ˆj+ kˆ a) skalaariprojektio ja b) vektoriprojektio pisteestä (,3,-) pisteesee (-,-4,3) ulottuva vektori suutaa 4 Laske ristitulot a) ˆj (3ˆi-4 k ˆ) ja b) ( ˆi+ ˆj- kˆ) (3ˆi- ˆj+ 4 k ˆ) 5 Määritä luku a site, että vektorit = ˆi+ ˆj-3k, ˆ B= 5ˆi- 3ˆj+ k ˆ ja C= ˆi- 5ˆj+ ak ˆ ovat samassa tasossa Ratkaise tehtävä kahdella eri tavalla seuraavie ohjeide mukaa: a) Vektorit ja B virittävät taso ja kolmas vektori C o tässä tasossa, jos se voidaa kirjoittaa : ja B: lieaarikombiaatioa, ts muodossa C= a+ bb, missä a ja b ovat vakioita b) Vektorit ja B virittävät taso ja ristitulovektori B o tasoa vastaa kohtisuorassa ja site myös vektoria C vastaa kohtisuorassa 6 Kolme pistettä P = (,, ), Q = (,,) ja R = (3,, - ) sijaitsevat tasolla a) Etsi yksikkövektori ˆ, joka o kohtisuorassa vektoreita uuur uuur PQ ja PR vastaa ja site myös kohtisuorassa tasoa vastaa b) Määritä taso yhtälö käyttäe ormaalivektoria ˆ, pistettä P ja vektoria r = iˆ+ yˆj+ zk, ˆ joka kärki sijaitsee tasolla
766P Fysiika matematiikkaa sl 6, viikko 38 Harjoitus Palautus viimeistää ti 79 Laske raja-arvo tai selitä miksi sitä ei ole olemassa: - t - a) lim( - 4+ ), b) lim, c) lim 4 - t t - t+, d) lim Ovatko fuktiot ì, ku ì, ku a) f( ) =í ja b) f( ) =í î-, ku > î-, ku > derivoituvia kohdassa = Jos o, ii laske derivaata arvo 3 Laske fuktioide a) f( ) = / ja b) f ( ) = derivaatat lähtie määritelmästä f( +D) - f( ) lim D D 4 Osoita käyttäe biomikehitelmää ja derivaata määritelmää, että yleisesti pätee D - = 5 Kuu pialta suoraa ylöspäi heitetty kivi o hetkellä t (sekuteia lähtöhetkestä) korkeudella h (metreiä) h( t) = + t-,8t Laske kive keskiopeus aikavälillä t = s 3 s ja edellee hetkellie opeus ajahetkellä t = s 6 Derivoi a) 3 ( )( ) + -, b) +, c) si 3+ si 3
766P Fysiika matematiikkaa sl 6, viikko 39 Harjoitus 3 HUOM! Viimeie äyttö to 99 Putkessa virtaava estee virtaamisopeus F (litraa miuutissa) o verraollie putke sätee eljätee potessii 4 F = kr, missä k o verraollisuuskerroi rvioi derivaata avulla mikä sätee prosetuaalie kasvu tarvitaa, jotta virtaamisopeus kasvaisi % rvioi derivaata avulla arvo lausekkeelle -, missä 5 5 ( + ) Vihje Kirjoita f( ) / 5 =, jolloi 3 = 3 3 D f = f( + ) - f( )» f '( ) D o haettu arvo 3 Lampaalle erotetaa aveta seiämältä mahdollisimma suuri suorakulmio muotoie alue, joka kolme sivu aitaamisee o käytettävissä 6 m aitaa Laske aluee sivuje pituudet ja pita-ala 4 Laske raja-arvot a) si3 lim si, b) e ( ) lim - + æ a ö, c) lim l ç + è ø 5 Johtime resistassi R o suoraa verraollie johtime pituutee l ja käätäe verraollie johtime sätee eliöö r, ts l R = k, r missä k o verraollisuuskerroi Jos pituude mittaukse suhteelliseksi tarkkuudeksi arvioidaa 5 % ja sätee mittaukse suhteelliseksi tarkkuudeksi %, ii arvioi resistassi suhteellie tarkkuus huooimmassa mahdollisessa tapauksessa O siis arvioitava suhteellise virhee yläraja 6 a) Muodosta implisiittisesti derivaatta dy / d yhtälöstä y = b) Piirrä (, y)-koordiaatistoo käyrä y = ja laske tageti kulmakerroi iissä käyrä pisteissä, missä = c) Mitä tapahtuu siiä käyrä pisteessä, missä =?
766P Fysiika matematiikkaa sl 6, viikko 4 Harjoitus 4 Viimeie äyttöpäivä ti a) Laske käyrie y = f( ) = ja y = g( ) = 3+ rajoittama suljetu aluee pita-ala b) Laske käyrie y = si ja y = cos välii jäävä pita-ala, ku p Määritä fuktio f( ) = 3 + - se itegraalifuktio, joka paikallie maksimiarvo o 3 3 Fuktio f( ) keskiarvo f välillä [ ab, ] määritellää itegraalia b f = f ( ) d b - a ò a) Määritä fuktio f( ) = keskiarvo välillä [, 5] b) Määritä fuktio f( ) cos = keskiarvo välillä [, ] Hahmottele vielä molemmissa tapauksissa samaa kuvaa f( ) ja f aetulla välillä a p 4 Laske itegraalifuktiot 3 a) ò cos(5- )d b) ò cossi d c) ò d, d) + e d ò (osittaisitegroiilla) e) ò sid (osittaisitegroiilla) 5 Laske määrätyt itergraalit a) 3 - d ò (sijoitus t = - ) b) e si( p l ) ò d (sijoitus u = p l ) 6 Johda geometrise sarja osasummalle tulos - k 3 - - q S = åaq = a + aq + aq + aq + K + aq = a k= -q Vihje: Kerro sarja q :lla ja väheä alkuperäie sarja äi saadusta sarjasta
766P Fysiika matematiikkaa sl 6, viikko 4 Harjoitus 5 Viimeie äyttö ti 8 Millä : arvoilla sarjat a) 5 å, b)! = å ja c) = + ( -) - å (-) suppeevat? = Taylori sarja (katso moiste s 7) a) Derivoi fuktio f( ) =åa kolme kertaa ja päättele tuloksista, että k:s derivaatta o = ( k ) -k f ( ) = åa( -) L ( - k + ) = k Varmista, että ymmärrät miksi sarja alkaa vasta arvosta = k ( k b) Selvitä itsellesi, miksi arvolla = derivaatasta f ) () vai esimmäie termi ( = k) o ollasta poikkeava ja laske se jälkee tulos ( k f ) () ak= k! 3 Kehitä f( ) = e - Taylori sarjaksi ja määritä sarja suppeemissäde 4 Kirjoita fuktio f( ) = si Taylori sarja ( ) f ( a) f( ) = å ( -a) =! kolme esimmäistä ollasta poikkeavaa termiä, ku sarja o kehitetty a) pistee a = ympäristössä ja b) pistee a = p / ympäristössä c) Laske laskimella si(3 p / 8) : arvo ja tutki sitte kumpi edellä esitetyistä sarjoista suppeee opeammi kohti oikeaa arvo Selitä tulos Käytä sarjoje kolmea esimmäistä termiä 5 Nopeudella v liikkuva kappalee relativistie kieettie eergia o muotoa mc Eki = -mc, -b missä m o kappalee lepomassa ja b =v / c ja c o valo opeus Osoita, että pieillä opeuksilla ( v << c ) kieettie eergia saa klassillise muotosa Eki = mv / Vihje: Kehitä (- b ) - sarjaksi (tai etsi sarja jostaki) ja katkaise se sopivasta kohdasta 6 Laske raja-arvo Vihje: e = å, =! 3 ( e - )l( + ) lim ( cos3) - - (-) l( + ) =å ja = sarjakehitelmie avulla (-) cos = å ( )! =
766P Fysiika matematiikkaa sl 6, viikko 4 Harjoitus 6 HUOM! Viimeie äyttö to a) Osoita suhdetestillä, että sarja 5+ 3i b) Laske - i ( + i) å suppeee = Kirjoita kompleksilukuje a) - i ja b) - + 3i apakoordiaattiesitykset ja äytä lukuje paikat kompleksitasossa 3 Esitä ( ) + 5 + i muodossa a bi i Ohje: Käytä esitysmuotoa + i = z = re f ja laske 5 z 4 Laske kolmaet juuret luvuille a) - ja b) - 8i Näytä myös juurte paikat kompleksitasossa 5 a) Laske kompleksiluvu -5-8i eliöjuuret ja esitä tulokset muodossa + iy Ohje: Ratkaise ja y yhtälöstä ( ) 5 8 + iy = - - i b) Ratkaise yhtälö z + (i- 3) z+ 5- i= Ohje: Käytä a-kohda tulosta d 6 a) Osoita, että si z = cos z Vihje: käytä si z : ja cos z : määritelmiä sivulla 93 dz æp ö b) Laske siç + i l : arvo è ø
766P Fysiika matematiikkaa sl 6, viikko 43 Harjoitus 7 Viimeie äyttö ke Vaha välikoetehtävä Tarkastellaa differetiaaliyhtälöä y'' -( - ) y' + ( - y ) = a) Mikä o yhtälö kertaluku ja mikä o yhtälössä riippumato muuttuja? Perustele b) Oko yhtälö lieaarie differetiaaliyhtälö? Perustele c) Osoita, että y = ratkaisee yhtälö Määrääkö + y = 4 yhtälö d y d = ratkaisu implisiittisesti? y 3 Ratkaise separoituvat differetiaaliyhtälöt dy - d a) = ja b) 3t d y dt = Piirrä lisäksi ( t-koordiaatisto, ) se b-kohda yhtälö ratkaisu, joka kulkee pistee ( t=, ) (,) kautta (piirrä kuvaaja esim välillä t Î- [,] ) 4 a) Vaha välikoetehtävä Osoita, että differetiaaliyhtälö (y + 3) d + ( - ) dy = o eksakti ja etsi ratkaisut Osoita edellee, että saamasi ratkaisut ovat todellaki yhtälö ratkaisuja t t t b) Ratkaise alkuarvoprobleema ( e y + te y) dt + ( te + ) dy =, ku y () =-, sekä separoituvaa että eksaktia yhtälöä 5 Piei sadepisara (sumupisara), joka massa o m, putoaa kohti maata vetovoima mg alaisuudessa Pisara opeus ei kasva kovi suureksi putoamise aikaa, jote siihe kohdistuva ilma vastus o verraollie opeutee ja kirjoitettavissa muodossa -kv, missä k o verraollisuuskerroi Pisara liikeyhtälö saa muodo dv ma = F Û m = mg -kv dt Halkaisijaltaa, mm olevalle pisaralle o kokeellisesti määritetty arvo k/ m» 3 s - Käytetää laskuissa maa vetovoima kiihtyvyydelle arvoa g» ms - a) Ratkaise liikeyhtälö olettamalla, että pisara syyttyää aloittaa putoamise levosta, ts alkuehdolla v ( t = ) = b) Kasvava ilma vastukse vaikutuksesta pisara kiihtyvyys pieeee ja lopulta pisara saavuttaa vakioopeude eli s rajaopeude Laske tämä rajaopeus c) Kuika pitkä aja kuluttua lähdöstä pisara o saavuttaut 99% rajaopeudesta 6 Etsi yleiset ratkaisut differetiaaliyhtälöille dy y dy 3 a) = + + ja b) y e d d - =
766P Fysiika matematiikkaa sl 6, viikko 44 Harjoitus 8 Viimeie äyttö ke 6 Osoita, että differetiaaliyhtälö dy + y = d y+ y o homogeeie ja ratkaise yhtälö a) Ratkaise alkuarvoprobleema y'' -4 y' - 5y =, ku y( - ) = 3 ja y '(- ) = 9 b) Etsi yleie ratkaisut yhtälölle y'' - y' + 3y = b) Etsi yleie ratkaisut yhtälölle y'' + y' + 5y = 3 Vaha välikoetehtävä Tarkastellaa toise kertaluvu täydellistä yhtälöä y'' + y' - y = si a) Etsi vastaava homogeeise yhtälö yleie ratkaisu b) Etsi täydellise yhtälö yksittäisratkaisu c) Kirjoita täydellise yhtälö yleie ratkaisu 4 a) Etsi yleie ratkaisu yhtälölle y'' - y =- + Vihje: g( ) = p ( ) = a+ b t t b) Ratkaise differetiaaliyhtälö ''- 4 ' + 4 = te Vihje: Kokeile yritettä y() t = hte () p r 5 Origosta alkuopeudella v = v ˆ ˆ ˆ i+ vy j+ v zk heitety kappalee radiusvektori r() t o muotoa r() t = - gt kˆ + v r t, missä g = m/s o maa vetovoima kiihtyvyys Olkoot alkuopeude kompoetit v 5 m/s, v 5 m/s ja v m/s = y = a) Osoita, että SI-yksiköissä kappalee letorata (radiusvektori) o ˆ ˆ r( t) = 5ti+ 5t j+ 5(4 t -t ) k ˆ b) Laske kappalee opeus ja vauhti ajahetkellä t = 3 s c) Millä aja hetkellä kappale o lakikorkeudessa? d) Määritä letorada tagettivektori T Mikä o tagettivektori yksikkö? e) Mihi suutaa kappale letää lakikorkeudessaa? Esitä tulos tagettivektori avulla f) Mihi suutaa kappale letää sillä hetkellä, ku se osuu maaha Oletetaa, että maa pita o y-taso (ks kuva yllä) z = 6 Laske käyrä y = kaarevuussäde ja pääormaali pisteessä = Ohje: Käyrä piirtää vektori r( ) = ˆi+ ˆj
766P Fysiika matematiikkaa sl 6, viikko 46 Harjoitus 9 Viimeie äyttö to 7 Tärkeä tulos mekaiikassa a) Hiukkase edetessä pitki avaruuskäyrää se kiihtyvyys a voidaa jakaa tageti suutaisee kompoettii ja rada ormaali suutaisee kompoettii Osoita, että d a= v v T+ N, dt r missäv o vauhti, T käyrä yksikkötagetti, N käyrä pääormaali ja r käyrä kaarevuussäde Ohjeita: Nopeus o aia rada tageti suutaie, jote voidaa kirjoittaa v= v T Laske tästä kiihtyvyys derivoimalla (huom tulo derivoiti) Lisäksi tarvitset : k N = dt/ ds = ( dt/ dt)/ dr / dt, missä dr / dt = v b) R -säteistä ympyrärataa kulmaopeudella w kiertävä kappalee radiusvektori o r = Rcos( w ˆ ˆ t) i+ Rsi( wt) j Laske kiihtyvyyde tageti ja ormaali suutaiset kompoetit Kimalaie lähtee pesästää spiraaliradalle, jossa se apakoordiaatit ovat ìr() t = be kt í, îf () t = ct missä b, k ja c ovat positiivisia vakioita Kirjoita esi kimalaise radiusvektori r() t = ˆi+ yˆj apakoordiaatistossa ja laske siitä sitte opeusvektori v() t = r& () t 3 O aettu skalaarikettä f = z- y a) Laske ketä gradietti pisteessä (,3, ) b) Laske pisteessä (,3, ) ketä suuattu derivaatta siihe suutaa, jossa derivaatta saa suurimma arvosa 4 Maasto pia korkeus (, y) -koordiaateissa o zy (, ) = 3 + + y a) Kirjoita maasto pia yhtälö tasa-arvopitaa f (, y, z) = C b) Mihi suutaa maasto pia ormaali osoittaa pisteessä (3,) c) Missä pisteessä ormaali osoittaa suoraa ylöspäi ja mikä o maasto korkeus kyseisessä pisteessä? 5 Fuktio f(, y) = + y kuvaa ylöspäi avautuvaa paraboloidia a) Laske gradietti pisteessä (,- ) b) Kirjoita fuktio apakoordiaattie avulla ja laske siitä gradietti samassa pisteessä kui a-kohdassa c) Totea, että b-kohda tulos o sama kui a-kohda tulos 6 Kuvataa vede virtausopeutta vektoriketällä V(, y) = ( + y -3y- ) ˆi+ (3+ 3) ˆj a) Missä pisteessä virtausopeus o olla? b) Mihi suutaa (myötä- vai vastapäivää) vesimassa kiertyy kyseiste pisteide ympäristössä? Ohje: Ku oikea käde peukalo asetetaa roottori suutaa, ii sormet kiertyvät siihe suutaa mihi vektorit pyrkivät kiertymää
766P Fysiika matematiikkaa sl 6, viikko 47 Harjoitus Viimeie äyttö ke 3 ˆ ˆ ˆ O aettu vektorifuktio R( u) = (- u) i+ 3u j-3k Etsi se itegraalifuktio ò R ( u) du, joka parametri u arvolla u = o z-akseli suutaie yksikkövektori Laske polkuitegraali ò F d r C vektoriketässä F(, y) = y ˆi+ y ˆj pisteestä (,) pisteesee (,) pitki a) suoraa y =, b) käyrää y = ja c) koordiaattiakseleide suutaisesti esi (,) (,) ja sitte (,) (,) 3 Laske vektorifuktio F = (y + 3) ˆi+ z ˆj+ ( yz -) k ˆ polkuitegraali ò F d r C pisteestä (,,) pisteesee (,, ) pitki seuraavia polkuja: 3 a) = t, y = t ja z = t, pisteestä t = pisteesee t = b) koordiaattiakseleide suutaisesti reittiä (,,) (,,) (,,) (,, ) 4 Laske itegraali dy - yd I = òc + y pisteestä (-,) pisteesee (,) pitki kuvassa esitettyä puoliympyrää Vihje: Käytä apakoordiaatteja 5 Kappale liikkuu voimaketässä 3 ˆ ˆ F = ( y cos + z ) i+ ( y si - 4) j+ (3z + ) k ˆ a) Osoita, että kettä o koservatiivie b) Etsi kettää vastaava skalaaripotetiaali c) Laske työ, joka tehdää siirrettäessä kappaletta voimaketässä pisteestä (,, - ) pisteesee ( p /, -, ) 6 a) Lähellä maa pitaa massaa m kohdistuva gravitaatiovoima kirjoitetaa muodossa F =-mg k ˆ Osoita, että voima o koservatiivie ja laske skalaaripotetiaali f eli s gravitaatiopotetiaali, joka ataa ketä muodossa F = -Ñf b) Kaukaa maa piasta massaa m kohdistuva gravitaatiovoima kirjoitetaa muodossa C F =- e ˆ r, r missä C o vakio ja r etäisyys maa keskipisteestä Osoita, että voima o koservatiivie ja laske gravitaatiopotetiaali y, joka ataa ketä muodossa F = -Ñy
766P Fysiika matematiikkaa sl 6, viikko 48 Harjoitus Viimeie äyttö to lue o rajattu y-tasoo y-akseli ja suorie y = -4ja y = + välii luee pitaala saadaa laskemalla itegraali = d = ddy òò òò a) Hahmottele alue ja perustele itegroimisrajat : 6 ja y: (- 4) ( + ) b) Laske aluee pita-ala Laske tehtävä aluee massakeskipistee koordiaatit CM = d òò ja ycm = òò 3 Tarkastellaa R-säteistä origokeskistä palloa Käytetää pallokoordiaatistoa a) Osoita, että pallo pialla ifiitesimaalie pita-alkio o d= R siqdq df ja laske pallo pita-ala b) Osoita, että pallo sisällä tilavuusalkio o dv = r siq dr dq df ja laske pallo tilavuus 4 Käyttäe vektorikettä F = ˆi+ yˆj+ 3z k ˆ testaa Gaussi lausetta laskemalla tilavuusitegraali òòò Ñ F dv ja pitaitegraali d V ku tilavuutea o särmiö muotoie tilavuus = [,], y = [,] ja z = [, ] 5 O aettu vektorikettä F = ( - y ) ˆi+ y ˆj ja tarkastellaa y-tasossa suorakaidetta, jota rajoittavat suorat =, = a, y = ja y= b Vahvista laskemalla yd òò F òò Ñ F d ja että tässä tapauksessa Stokesi lause toteutuu Ñ ò F d r, C 6 Sovella Greei lausetta valioilla M = ja N = / Saat itegraali òò ddy arvolle polkutegraali, joka o helppo laskea Laske tulokse avulla kolmio massakeskipistee koordiaatit (ks tehtävä ), ku kolmio kärjet ovat pisteissä (,), (, 3) ja (3,)