Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot 2 1 of 17
Kertaus Määritelmä Karteesinen potenssi: A n = {(a 1, a 2,..., a n ) a i A}. Joukon A n alkioita kutsutaan vektoreiksi. Merkintä: a = (a 1,..., a n ). (Taululla a) Vaihtoehtoiset merkinnät: a, â, a, a Tässä kurssissa Yleensä A = R (reaalinen vektoriavaruus) tai A = C (kompleksinen vektoriavaruus). M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot 2 2 of 17
Kertaus Määritelmä Olkoot a = (a 1,..., a n ) ja b = (b 1,..., b n ). Vektoreiden yhteenlasku määritellään a + b = (a 1 + b 1,..., a n + b n ). Skalaarikertolasku määritellään ca = (ca 1,..., ca n ). Nollavektori on 0 = (0, 0,..., 0) Vektorin a = (a 1,..., a n ) vastavektori määritellään a = ( a 1,..., a n ) M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot 2 3 of 17
Kertaus Lause Seuraavat ehdot toteutuvat R n :ssä ja C n :ssä: a + (b + c) = (a + b) + c a + b = b + a a + 0 = a a + ( a) = 0 c(a + b) = ca + cb (c + d)a = ca + da c(da) = (cd)a 1a = a (Vektoriavaruuksien aksioomat) M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot 2 4 of 17
Määritelmä V on vektoriavaruus summan + ja skalaarilla kertomisen suhteen, jos seuraavat aksioomat toteutuvat kaikilla X, Y, Z V ja a, b K: V1 X + (Y + Z) = (X + Y ) + Z V2 X + Y = Y + X V3 X + 0 = X, missä 0 on nolla-alkio V4 X + ( X ) = 0, missä X on vasta-alkio V5 a(x + Y ) = ax + ay V6 (a + b)x = ax + bx V7 a(bx ) = (ab)x V8 1X = X M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot 2 5 of 17
C 0 [a, b] on välillä [a, b] määriteltyjen, jatkuvien reaalifunktioiden joukko. Huomaa, että (f, g C 0 [a, b]) f = g f (x) = g(x) x [a, b]. Määritellään yhteen- ja skalaarikertolasku: (f + g)(x) = f (x) + g(x) (af )(x) = a f (x) Nolla-alkiona f 0 (x) = 0 ja vasta-alkiona f (x). Aksioomat V1 V8 toteutuvat. Siis C 0 [a, b] on eo. operaatioiden suhteen vektoriavaruus. M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot 2 6 of 17
Huomautus f = (f 1,..., f n ) R n voidaan katsoa funktioksi f : {1,..., n} R, jolle f(i) = f i. Tällöin f (t), missä t [a, b] on tämän välitön yleistys. Huomautus Avaruuksilla R 1, R 2 ja R 3 on ilmeinen visuaalinen tulkinta. M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot 2 7 of 17
9 Merkitään jolloin i = (1, 0, 0), j = (0, 1, 0), k = (0, 0, 1), (x, y, z) = (x, 0, 0) + (0, y, 0) + (0, 0, z) = xi + yj + zk. Lineaarikombinaatiot (K on joko R tai C): L(v 1,..., v k ) = {c 1 v 1 +... + c k v k c 1,..., c k K}. Vaihtoehtoinen merkintä: L(v 1,..., v k ) = v 1,..., v k. M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot 2 8 of 17
Edellisen perusteella R 3 = L(i, j, k). Merkitään e 1 = (1, 0,..., 0), e 2 = (0, 1,..., 0),..., e n = (0, 0,..., 1). Tällöin (x 1,..., x n ) = x 1 e 1 + x 2 e 2 +... + x n e n. Näin ollen R n = L(e 1,..., e n ). Määritelmä Vektorit v 1,..., v k generoivat joukon U = L(v 1,..., v k ) M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot 2 9 of 17
Lause v i L(v 1,..., v k ) Jos {v 1,..., v l } {v 1,..., v k }, on L(v 1,..., v l ) L(v 1,..., v k ) Jos {u 1,..., u l } L(v 1,..., v k ), niin L(u 1,..., u l ) L(v 1,..., v k ) u L(v 1,..., v k ), tarkalleen silloin kun L(v 1,..., v k ) = L(v 1,..., v k, u) L({v 1,..., v k } {0}) = L(v 1,..., v k ). M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot 2 10 of 17
Määritelmä Vektoriavaruuden V epätyhjä osajoukko U V on aliavaruus, jos c 1 v 1 + c 2 v 2 U aina kun v 1, v 2 U. Merkintä: U V. Huomautus Jokaisella vektoriavaruudella V on ainakin aliavaruudet {0} ja V. Koska 0 = 0 v 1 + 0 v 2, kuuluu nollavektori 0 jokaiseen aliavaruuteen. Lause Jos v 1,..., v k V, on joukko L(v 1,..., v k ) avaruuden V aliavaruus. M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot 2 11 of 17
Joukko U 1 = {(a + b, a, 0) a, b R} on R 3 :n aliavaruus. Joukko U 2 = {(a + b, a, 1) a, b R} ei ole R 3 :n aliavaruus. M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot 2 12 of 17
Määritelmä Vektoriavaruus V on äärellisesti generoitu, jos on olemassa sellainen äärellinen joukko {v 1,..., v k } V, että V = L(v 1,..., v k ) Vektoriavaruus R n (samoin kuin C n ) on äärellisesti generoitu: R n = L(e 1,..., e n ). L((1, 1)) avaruudessa R 2. M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot 2 13 of 17
R 2 = L(i, j) ja R 3 = L(i, j, k). Toisaalta myös (x, y) = xi + yj + 0 (i + j) ja (x, y) = 1 2 (x + y)(i + j) + 1 (x y)(i j), 2 joten R 2 = L(i, j, i + j) = L(i + j, i j). Huomautus i + j = 1 i + 1 j L(i, j) L(i, j) = L(i, j, i + j) i = 1 j + 1 (i + j) L(j, i + j) L(j, i + j) = L(i, j, i + j) M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot 2 14 of 17
Määritelmä {v 1, v 2,..., v k } on lineaarisesti riippuva (riippuva), jos jokin sen vektoreista voidaan esittää muiden lineaarikombinaationa: v i L(v 1,..., v i 1, v i+1,..., v k ). Vastakohta: Lineaarisesti riippumaton. Joukko {i, j} on lineaarisesti riippumaton. Joukko {i, j, i + j} on lineaarisesti riippuva. Jokainen vektorijoukko A = {0, v 2,..., v k } joka sisältää nollavektorin, on riippuva. (Aina 0 L(v 2,..., v k ).) M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot 2 15 of 17
Lause Vektorijoukko {v 1,..., v k } on lineaarisesti riippumaton tarkalleen silloin kun c 1 v 1 +... + c k v k = 0 toteutuu vain ilmeisellä valinnalla jossa kaikki kertoimet ovat nollia: c 1 =... = c k = 0. Joukko {i, j, i + j} on lineaarisesti riippuva, koska 1 i + 1 j + ( 1) (i + j) = 0. Joukko {e 1, e 2,..., e n } on lineaarisesti riippumaton, koska c 1 e 1 + + c n e n = (c 1,..., c n ) = (0,..., 0). M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot 2 16 of 17
Jos vektorijoukossa {v 1,..., v k } ei ole nollavektoria ja vektorissa v i+1 on enemmän alkunollia kuin vektorissa v i, on joukko lineaarisesti riippumaton. ( 18) Esimerkkejä Tarkastellaan esimerkkejä monisteesta ja muualta. M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot 2 17 of 17