Luento 4: Suhteellinen liike ja koordinaatistomuunnoksia

Luento 4: Suhteellinen liike ja koordinaatistomuunnoksia Suhteellinen translaatioliike Pyörimisliikkeestä Suhteellinen pyörimisliike Tyypillisiä koordinaatistomuunnoksia

Luennon sisältö Suhteellinen translaatioliike Pyörimisliikkeestä Suhteellinen pyörimisliike Tyypillisiä koordinaatistomuunnoksia

Suhteellinen liike Nopeusmittauksista suhteellinen nopeus (relative speed) = nopeus suhteessa johonkin koordinaatistoon (frame of reference) Tarkastellaan suoraviivaista liikettä Kaksi havaitsijaa A ja B, jotka liikkuvat toistensa suhteen nopeudella v AB Havaitsijoiden koordinaatistojen origot pisteissä O ja O Paikkavektori pisteeseen P havaitsijasta A on r = OP ja havaitsijasta B on r = O P, jolloin r = r + r AB, missä r AB on vektori, joka osoittaa A:sta B:hen Oletetaan, että havaitsija B ei ole kiihtyvässä liikkeessä A:han nähden

Galilein koordinaatistomuunnos Derivoidaan ajan suhteen d r = d r + d r AB = v = v + v AB, Derivoimalla uudestaan ajan suhteen saadaan d v = a = a Jos valitaan A ja B samaan pisteeseen ajanhetkellä t = 0, saadaan muunnoskaavat r = r v AB t v = v v AB a = a t B = t A = Galilein koordinaatistomuunnos

Inertiaalikoordinaatisto Galilein muunnoksen keskeisin ominaisuus on että molemmat havaitsijat mittaavat saman kiihtyvyyden Seuraus: kiihtyvyys invariantti koordinaatistomuunnoksessa, kunhan molemmat koordinaatistot ovat inertiaalikoordinaatistoja Merkitys: kaikki inertiaalikoordinaatistot ovat yhdenvertaisia Inertiaalikoordinaatisto (inertial frame of reference) = tasaisella nopeudella liikkuva koordinaatisto Koordinaatisto, joka liikkuu tasaisella nopeudella johonkin inertiaalikoordinaatistoon nähden myös inertiaalikoordinaatisto Ei-inertiaalinen koordinaatisto kiihtyvässä liikkeessä Myös normaalikiihtyyys kiihtyvää liikettä Normaalikiihtyvyys muuttaa koordinaatiston liikesuuntaa

Kulmasuureet Ympyräradalla kulkevaa kappaletta kuvataan kulmasuureilla Hiukkasen paikka ympyräradalla paikkavektorin ja x-akselin välinen kulma θ Kulmanopeus ω ja ratanopeus v y ω = dθ ja v = ds = d(rθ) = Rω Kulmakiihtyvyys α R α = dω = d 2 θ 2 θ x

Kiihtyvyyden komponentit Kiihtyvyyden tangentiaalikomponentti Normaalikomponentti a T = dv = R dω = Rα a N = v 2 R = (ωr)2 R = Rω2

Pyörimisliikkeen vektorisuureet Kertaus Kulmanopeusvektori ω Kohtisuorassa pyörimisliikkeen tasoa vastaan Suunta määrätään oikean käden säännöllä ω α, α > 0 ω Kulmakiihtyvyysvektori α Samansuuntainen kuin ω jos α > 0 Vastakkaissuuntainen jos α < 0

Pyörimisliikkeen vektorisuureista tarkemmin Tarkastellaan z-akselin ympäri (vakio)etäisyydellä R, kulmanopeudella ω tapahtuvaa ympyräliikettä Säde R voidaan esittää myös paikkavektorin r pituuden r ja kulman γ avulla R = r sin γ Tällöin ratanopeus v = ωr sin γ z R γ r

Nopeus- ja kiihtyvyysvektorit v = ωr sin γ vektorimuodossa: v = ω r Kulmanopeusvektori ω pyörimistasoa vastaan kohtisuora vektori Suunta oikean käden säännöllä Tasaisessa ympyräliikkeessä vakio ω Kiihtyvyydellä vain normaalikomponentti Eli a = d v = ω d r = ω v a = ω v = ω ( ω r)! Pätevät tässä muodossa vain kun r ja γ vakioita

Pyörivät koordinaatistot Kaksi toistensa suhteen pyörivää koordinaatistoa Koordinaatistojen origot O ja O samassa pisteessä O pyörii kulmanopeudella ω inertiaalikoordinaatiston O suhteen Mielivaltainen vektori A(t) Koordinaatistossa O Koordinaatistossa O A = A x î + A y ĵ + A z ˆk A = A x î + A yĵ + A z ˆk Origot samat A = A x î + A y ĵ + A z ˆk = A x î + A yĵ + A z ˆk = A

Aikaderivaatat Inertiaalikoordinaatistossa O Pyörivässä koordinaatistossa O d A = da x O î + da y ĵ + da z ˆk d A O = da x î + da y ĵ + da z ˆk Vain yksikkövektorit î, ĵ ja ˆk vakioita inertiaalikoordinaatistossa, joten d A O = da x î + da y ĵ + da z ˆk + A dî x + A dĵ y + A d ˆk z

Pyörivän koordinaatiston yksikkövektorit Koordinaatisto O (ja sen yksikkövektorit) pyörii vakiokulmanopeudella ω = dî = ω î, dĵ = ω ĵ, d ˆk = ω ˆk = A dî dĵ d ˆk x +A y +A z = A x( ω î)+a y( ω ĵ)+a z( ω ˆk) = ω A xî + ω A yĵ + ω A ˆk z = ω A = ω A Yleinen aikaderivoimisääntö d A O = d A O + ω A

Paikka- ja nopeusvektorit Sovelletaan derivoimissääntöä paikkavektoreihin d r O = d r O + ω r Merkitsemällä saadaan v = d r O ja v = d r O v = v + ω r

Kiihtyvyysvektori Kiihtyvyysvektoria muunnettaessa huomattava, että molemmat derivoinnit suoritettava samassa koordinaatistossa a = d 2 r 2 O = d O d r O Tästä saadaan tulokseksi a = d 2 r 2 O = d O a = a + 2 ω v }{{} + ω ( ω r) }{{} Coriolis keskipako d r O Esimerkki siitä, miksi Galilein muunnos menee rikki ei-inertiaalisessa koordinaatistossa kiihtyvyys ei enää invariantti

Maapallon pyörimisen aiheuttama kiihtyvyys Maapallo pyörii kulmanopeudella 7.3 10 5 rad s 1, jonka suunta maapallon keskustasta pohjoisnavalle päin Jos maapallo ei pyörisi, vapaasti putoavalle kappaleelle mitattaisiin kiihtyvyys g 0 Pyörimisen takia maan mukana pyörivä havaitsija näkee kappaleella kiihtyvyyden a = g 0 2 ω v ω ( ω r)

Keskipakokiihtyvyys maan pinnalla Maan pyöriminen muuttaa maan pinnalla olevien kappaleiden kokemaa maan vetovoiman kiihtyvyyttä Jos kappale paikallaan, Coriolis-termi häviää Efektiivinen vetovoiman kiihtyvyys g = g 0 ω ( ω r) Vetovoiman kiihtyvyys riippuu korkeusasteesta λ (latitude): Korjaustermin suuruus ω ( ω r) = ω 2 r cos 2 λ = 3.34 10 2 cos λ m/s 2 Korjaustermin suuruus pieni verrattuna g 0 :n arvoon 9.81 m s 2 Korjaustermin vaikutus painovoiman suuntaan mitätön N λ ω r g 0 ω ( ω r)

Coriolis-kiihtyvyys Vaikuttaa kaikkiin maapallon suhteen putoaviin kappaleisiin Esim. vapaasti putoava kappale kaartuu pohjoisella pallonpuoliskolla itään Coriolis-kiihtyvyyden vaikutuksesta Vastaavasti pohjoisella pallonpuoliskolla maanpinnan suuntaisesti liikkuva kappale kääntyy oikealle Eteläisellä pallonpuoliskolla vasemmalle Fiktiivinen kiihtyvyys! seuraus maapallon pyörimisestä

Coriolis-kiihtyvyys yleisessä tapauksessa Yleisessä tapauksessa Coriolis-kiihtyvyydellä myös pystysuora komponentti Esim. matalapaineen keskuksen ympärillä pyörivät ilmamassat kiertävät pohjoisella pallonpuoliskolla vastapäivään koska matalapainetta kohti tulevat ilmavirtaukset poikkeavat keskilinjasta oikealle Eteläisellä pallonpuoliskolla päinvastoin

Karteesinen koordinaatisto z (x, y, z) r dz dx dy Tilavuuselementti dv = dx dy dz x y

Karteesinen koordinaatisto Karteesisen koordinaatiston paikkavektori r = xî + yĵ + z ˆk Nopeusvektori Kiihtyvyys Yleinen vektori v = d r a = d v = dx î + dy ĵ + dz ˆk = dv x î + dv y ĵ + dv z ˆk A = A x î + A y ĵ + A z ˆk

Napakoordinaatisto Sylinterikoordinaatiston erikoistapaus 2D:ssä Koordinaatit ρ Etäisyys origosta ϕ Paikkavektorin ja positiivisen x-akselin kulma Muuntoyhtälöt x(ρ, ϕ) = ρ cos ϕ; ρ(x, y) = x 2 + y 2 y ρ ϕ r x Huomaa, että ρ 0 ja ϕ [0, 2π] y(ρ, ϕ) = ρ sin ϕ; ϕ(x, y) = arctan y x

Yksikkövektorit Koordinaattisysteemien koordinaatteja vastaa yksikkövektorit y A Yksikkövektori osoittaa kasvavien arvojen suuntaan Tyypillisesti yksikkövektorien suunta riippuu tarkastelupisteestä Napakoordinaatiston paikkavektori ê ϕ ρ ϕ r ê ρ x r(ρ, ϕ) = ρê ρ Yleinen vektorisuure napakoordinaatistossa A = A ρ ê ρ + A ϕ ê ϕ

Napakoordinaatiston yksikkövektorit Napakoordinaatiston yksikkövektorit kytketty karteesisen koordinaatiston yksikkövektoreihin [êρ ê ϕ ] [ ] [î ] cos ϕ sin ϕ = sin ϕ cos ϕ ĵ Napakoordinaatiston yksikkövektorit riippuvat ϕ:stä! Lasketaan niiden derivaatat ajan suhteen: (Rotaatiomatriisi) dê ρ dê ϕ = d cos ϕ î + d sin ϕ ĵ + dî = d cos ϕ dϕ dϕ î + d sin ϕ dϕ = dϕ êρ cos ϕ + dĵ sin ϕ dϕ ĵ = dϕ êϕ

Nopeus ja kiihtyvyys napakoordinaatistossa y Nopeusvektori v = d r ê ϕ dϕ ϕ a = d v r ê ϕ r ê ρ ê ρ x = d [ dρ êρ + ρ dϕ = = d (ρê ρ) = dρ êρ + ρ dê ρ Nopeus v = d r = d (ρê ρ) = dρ êρ + ρ dê ρ = dρ êρ + ρ dϕ êϕ Kiihtyvyys saadaan nopeuden aikaderivaatasta êϕ ( d 2 ρ [ dϕ ρ 2 ] =... ] 2 ) ( ê ρ + 2 dρ dϕ + ρ d 2 ϕ 2 ) ê ϕ

Sylinterikoordinaatisto (x, y, z) = (ρ, φ, z) z ρ dz r dφ dρ φ x y ρ dφ Tilavuuselementti dv = ρ dρ dφ dz

Sylinterikoordinaatisto Napakoordinaatiston yleistys kolmeen ulottuvuuteen Täydennetty karteesisella z-komponentilla z Muuntoyhtälöt x(ρ, ϕ, z) = ρ cos ϕ ρ(x, y, z) = x 2 + y 2 ρ y(ρ, ϕ, z) = ρ sin ϕ z(ρ, ϕ, z) = z ϕ(x, y, z) = arctan y x z(x, y, z) = z ϕ z x

Yksikkövektorit sylinterikoordinaatistossa Paikkavektori r = ρê ρ + z ˆk Nopeus v = dρ êρ + ρ dϕ êϕ + dz ˆk Kiihtyvyys a = ( 2 dρ dϕ ( d 2 ρ [ dϕ ] 2 ) ρ 2 ê ρ + ρ d 2 ϕ ) 2 ê ϕ + d 2 z ˆk Yleinen vektori A = A ρ ê ρ + A ϕ ê ϕ + A z ˆk z r ˆk ê ϕ ê ρ y x

Pallokoordinaatisto (x, y, z) = (r, θ, φ) r sin θ z θ φ r dr x r dθ dθ y dφ r sin θ dφ Tilavuuselementti dv = r 2 sin θ dr dθ dφ

Pallokoordinaatisto Koordinaatteina etäisyys origosta r ja kulmat θ, ϕ Muuntoyhtälöt z x(r, ϕ, θ) = r sin θ cos ϕ ê r y(r, ϕ, θ) = r sin θ sin ϕ z(r, ϕ, θ) = r cos θ ρ(x, y, z) = x 2 + y 2 + z 2 x 2 + y θ(x, y, z) = 2 arctan z x ϕ θ r ê θ ê ϕ y ϕ(x, y, z) = arctan y x