Matematiika tukikurssi Kurssikerta 3 1 Lisää iduktiota Jatketaa iduktio tarkastelua esimerki avulla. Yritetää löytää kaava : esimmäise (positiivise) parittoma luvu summalle eli summalle 1 + 3 + 5 + 7 +... Huomaa, että :s parito luku o 2 1 (esimerkiksi ku tähä kaavaa laitetaa = 3, ii huomataa että kolmas parito luku o 6 1 = 5). Eli ideaa o löytää helppo kaava summalle 1 + 3 + + (2 1). Esi pitäisi keksiä, mikä tämä kaava voisi olla. Hyvä taktiikka o aia kokeilla kaavaa eri : arvoja ja katsoa avautuuko tästä joki rakee. Sijoitetaa : paikalle luvut 1,2,3,4 ja 5: 1 = 1 1 + 3 = 4 1 + 3 + 5 = 9 1 + 3 + 5 + 7 = 16 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25 Ku äitä umeroita hetke katselee, huomaa että jokaie äistä o luoollise luvu eliö eli muotoa 2. Täte voisimme arvata, että 1 + 3 + + (2 1) = 2. Tämä o toistaiseksi pelkkä arvaus, koska emme ole todistaeet sitä. Voi imittäi olla, että tämä kaava ei toteudu tietyillä : arvoilla, vaikka se selvästi oki tosi arvoilla 1,2,3,4,5. Mutta kaava totuusarvo voi tarkistaa yrittämällä todistaa se iduktiolla. Eli merkitää väitteeä P () sitä että 1+2+3+ +(2 1) = 2. Iduktiolla todistettaessa pitää esi todistaa, että tämä pätee jollaki alkuarvolla. Seuraavaksi pitää todistaa implikaatio P () P ( + 1) pätevyys. Yritetää tätä: 1
1. P (1) : 1 = 1 2 pätee. 2. Nyt pitää todistaa implikaatio P () P ( + 1). Kute aia, o esi helpoita kirjoittaa muoto joho halutaa päästä. Eli kirjoitetaa mitä P ( + 1) tarkoittaa: P ( + 1) : 1 + 3 + + (2( + 1) 1) = ( + 1) 2 eli 1 + 3 + + (2 + 1) = ( + 1) 2. Lähdetää liikkeelle P ():stä. Meidä pitää todistaa implikaatio 1 + 3 + + (2 1) = 2 1 + 3 + + (2 + 1) = ( + 1) 2 Jällee hyvä idea o saada yhtälö toie puoli aluksi oikea äköiseksi. Lisätää yhtälö 1 + 2 + 3 + + (2 1) = 2 kummalleki puolelle (2 + 1), jolloi vase puoli äyttää miltä pitääki: 1 + 3 + + (2 1) = 2 1 + 3 + + (2 1) + (2 + 1) = 2 + (2 + 1) Eää pitää todistaa, että yhtälö oikea puoli o yhtä kui ( + 1) 2 eli että 2 + (2 + 1) = ( + 1) 2. Tämä tapahtuu esimerkiksi avaamalla eliö (+1) 2 = 2 +2+1. Täte väite pätee iduktio ojalla kaikilla luoollisilla luvuilla. Yllä esiteltii yksi tapa käyttää iduktiota: löydetää kokeilemalla joki rakee ja yritetää todistaa tämä oikeaksi iduktiolla. 2 Ratioaaliluvut ja irratioaaliluvut Esimerkiksi luvut 5/3, 27/5 ja 1/100 ovat ratioaalilukuja: e voidaa esittää kahde kokoaisluvu osamäärää. Täte esimerkiksi 5 o ratioaaliluku, koska 5 = 5/1. Samalla tavalla voidaa järkeillä, että jokaie kokoaisluku o ratioaaliluku. 2
Määritelmä 1. Ratioaaliluku o luku, joka o muotoa p/q, jossa p ja q ovat kokoaislukuja eli p Z ja q Z. Ratioaalilukuje joukko koostuu kaikista ratoaaliluvuista: Q = {x : x = pq } ja p, q Z. Huomaa, että koska esimerkiksi 4/5 ja 7/1000 ovat ratioaalilukuja, ii iide summa ja tuloki ovat ratioaalilukuja eli 4/5 + 7/1000 o ratioaaliluku samoi kui 4/5 7/1000. Yleisemmi mikä tahasa äärellie summa tai äärellie tulo ratioaalilukuja o ratioaaliluku. Myös vaikkapa (p/q) 2 = p 2 /q 2 o ratioaaliluku. Kaikki reaaliluvut eivät kuitekaa ole ratioaalilukuja. Eli o olemassa lukuja x, joita ei voida esittää muodossa x = p/q millää kokoaisluvuilla p, q Q. Nämä ovat irratioaalilukuja. Jos x o irratioaaliluku, merkitää x I. Esimerkiksi e (Neperi luku) ja π ovat irratioaalilukuja. Reaaliluvut koostuvat ratioaali- ja irratioaaliluvuista. Eli: R = Q I. Huomaa, että 1/10 = 2/20 = 3/30 =..., jote mikää ratioaaliluvu esitys kahde kokoaisluvu osamäärää ei ole uiikki. Kuiteki jokaie ratioaaliluku voidaa esittää uiikisti muodossa (p /q ) site että p :llä ja q :lla ei ole yhteisiä tekijöitä. Yllä 1/10 o tällaie esitys, jossa p = 1 ja q = 10. Taas 2/20 ei ole tällaie esitys, koska luvuilla 2 ja 20 o yhteie tekijä (luku 2). Näitä ideoita käytetää seuraavassa, ku todistetaa että 2 ei ole ratioaaliluku. Todistuksessa tehdää vastaoletus, että 2 o muotoa p/q. Se jälkee osoitetaa, että äillä luvuilla p ja q o pakosti yhteisiä tekijöitä. Tästä seuraa, että lukua 2 ei voi esittää muodossa (p /q ), jossa p :llä ja q :lla ei ole yhteisiä tekijöitä. Esimerkki 1. 2 ei ole ratioaaliluku. Todistus. Tehdää vastaoletus: oletetaa, että 2 o muotoa p/q. Yllä todetii, että tällöi o olemassa muoto p/q, jossa p:llä ja q:lla ei ole yhteisiä tekijöitä. Eli 2 = p/q. Nostetaa ämä toisee potessii: 2 = p 2 /q 2 2q 2 = p 2. Nyt p 2 o kaksi kertaa kokoaisluku q 2. Täte p 2 o kahdella jaollie. Aioa tapa jolla p 2 voi olla kahdella jaollie o se, että p o myös kahdella jaollie. Tällöi p 2 o eljällä jaollie. Nyt q 2 = p 2 /2 o myös 3
kahdella jaollie ja täte q o kahdella jaollie. Täte luku 2 o sekä p: että q: tekijä, jote lukua 2 ei voi esittää kahde kokoaisluvu osamäärää. Se ei siis ole ratioaaliluku. Tässä siis päättelyketju eteee seuraavasti: 1. Oletetaa, että 2 o muotoa p/q, jossa luvuilla p ja q ei ole yhteisiä tekijoitä. 2. Osoitetaa, että tästä seuraa että luvuilla p ja q o yhteie tekijä, 2. Tämä o ristiriidassa kohda 1. kassa, jote 2 ei voi olla muotoa p/q. Esimerkki 2. Osoita, että jos x o irratioaaliluku, ja r o ratioaaliluku ii x + r o irratioaaliluku. Ratkaisu: Tehdää jällee vastaoletus: oletetaa että x + r = p/q, jossa p/q o ratioaaliluku. Nyt x = p/q r eli x o kahde ratioaaliluvu erotus, mutta koska kahde ratioaaliluvu erotus o ratioaaliluku, ii tämä tarkoittaisi, että x olisi ratioaaliluku. Täte koska esimerkiksi π o irratioaaliluku, ii myös esimerkiksi π + 1 irratioaaliluku. Harjoitus 1. Osoita, että jos x o irratioaaliluku ja r o ratioaaliluku, ii rx o myös irratioaaliluku. Täte koska π o irratioaaliluku, ii myös esimerkiksi 2π o irratioaaliluku. 3 Biomikaava Luvu kertoma o tulo 1 2. Tätä merkitää!. Täte esimerkiksi 5! = 1 2 3 4 5 = 120. Kertomaa voidaa käyttää esimerkiksi seuraavasti: se kertoo kuika moella tavalla kirjaisarja ABC voi järjestellä: esimmäise kirjaime voi valita kolmesta vaihtoehdosta, toise kirjaime kahdesta jäljellä olevasta vaihtoehdosta ja kolmaeksi kirjaimeksi o jäljellä vai yksi kirjai. Täte järjestyksiä o 3! = 6 kappaletta: ABC BAC CAB ACB BCA CBA 4
Kertoma! kertoo esimerkiksi myös, kuika moella tavalla ihmisiä voi laittaa jooo. Täte 5 ihmistä voi laittaa jooo peräti 5! = 120 eri tavalla. 0! määritellää site että 0! = 1 Biomikerroi ( k) ( yli k:) puolestaa vastaa kysymyksee: kuika moella tavalla :stä objektista voi valita k ( 5 objektia. Esimerkiksi 1) kertoo kuika moella tavalla viidestä objektista voi valita yhde objekti (vastaus: viidellä tavalla). Biomikerroi määritellää kertomie avulla: (1) ( ) = k! k!( k)!. Täte voidaa varmetaa esimerkiksi, että ( 5 1) = 1 koska! k!( k!) = 5! 1!4! = 5 4 3 2 1 4 3 2 1 = 5. ( 5 Täte 2) = 10 kertoo että viidestä ihmisestä ( voi valita kaksi hekeä kymmeellä eri tavalla. Huomaa erityisesti 0) = 1 eli :stä ihmisestä voi valita 0 ihmistä yhdellä tavalla. Huomaa, että jos : objekti joukosta valitaa k objektia, ii samalla tulee automaattisesti valittua loput k objektia. Täte ) ) ( k = ( k Eli jos esimerkiksi ( valmetaja valitsee viidestä hegestä joukkueesee kaksi pelaajaa, ii 2) 5 kertoo kuika moella tavalla tämä voi tehdä. Valmetaja voi kuiteki yhtäpitävästi ( valita myös ( e hekilöt, jotka eivät pääse 5 joukkueesee, he voidaa valita 5 2) = 5 ( 3) tavalla, joka o yhtä kui 5 2). Harjoitus 2. ( ) ( Todista kaava k = k) käyttämällä biomikertoime määrittävää yhtälöä. Biomikaava käyttää äitä ideoita löytääksee kaava kahde luvu summa potessille (x + y) = (x + y)(x + y) (x + y). }{{} kertaa (x + y) Kirjoitetaa aluksi tämä esimmäisillä : arvoilla:. 5
(x + y) 2 = x 2 + 2xy + y 2 (x + y) 3 = x 3 + 3x 2 y + 3xy 2 + y 3 (x + y) 4 = x 4 + 4x 3 y + 6x 2 y 2 + 4xy 3 + y 4 Nämä kaikki oudattavat kaavaa: (x + y) = x + x 1 y + eli (x + y) = ( ) x + 0 ( ) x 2 y 2 + + xy 1 + y 2 ( ) x 1 y + 1 ( ) ( ) x 2 y 2 + + xy 1 + 2 1 Harjoitus 3. Varmea, että yllä olevat yhtälöt oudattavat tätä kaavaa. Kaava (x+y) = ( ) x + 0 ( ) x 1 y + 1 ( ) ( ) x 2 y 2 + + xy 1 + 2 1 ( ) y ( ) y o biomikaava. Se kertoo, että termi x r y r kerroi kaavassa (x + y) o yhtä kui ( r). Esimerkki 3. Etsi termi x 3 y 2 kerroi lausekkeessa (x + y) 5. Ratkaisu: Biomikaava mukaa termi x r y r kerroi kaavassa (x+y) o yhtä kui ( r). Koska selvästi = 5 ja r = 2, ii tämä kerroi o ( 5 2) = 10. Harjoitus 4. Etsi termi x 3 y 2 kerroi lausekkeessa (2x + y) 5. Harjoitus 5. Osoita biomikaava avulla, että ( ) ( ) ( ) ( ) 2 = + + + + 0 1 2 1 Vihje: valitse x ja y sopivasti. + ( ). 4 Epäyhtälöistä Luvu x itseisarvo x määritellää kaavalla 6
x = { x, ku x 0, x, ku x < 0. Eli esimerkiksi 3 = 3 ja 10 = 10. Seuraavassa listaus siitä, mitä epäyhtälöille saa tehdä. 1. Jos meillä o epäyhtälö a > b, voidaa se kertoa positiivisella luvulla, jolloi se suuta säilyy. Eli jos c > 0, c a > c b. Täte esimerkiksi 5 > 2, jote 2 5 > 2 ( 2), eli 10 > 4. 2. Jos epäyhtälö kertoo egatiivisella luvulla, se suuta muuttuu: jos a > b ja c < 0, ii c a < c b. Tätä voi testata esimerkillä: 5 > 1, mutta 5 < 1, jossa siis epäyhtälö kumpiki puoli o kerrottu luvulla 1. Itseisarvolle pätee säätö x y = x y eli tulo itseisarvo o itseisarvoje tulo. Täte esimerkiksi 5 x = 5 x = 5 x. Itseisarvo x = x 0 kertoo pistee x etäisyyde origosta. Samoi itseisarvo x c kertoo pistee x etäisyyde pisteestä c. Täte esimerkiksi epäyhtälö x 5 < 1 kysyy iitä pisteitä x, joide etäisyys pisteestä 5 o alle yhde. Tällöi vastauksea o avoi väli x (4, 6). Tarkastellaa epäyhtälöä x < c. Jos x 0, ii x = x, jote epäyhtälö kertoo, että 0 < x < c. Jos x < 0, ii x = x ja epäyhtälö kertoo että x < c x > c. Ku ämä kaksi tapausta laittaa yhtee, saadaa x < c c < x < c. Esimerkki 4. Epäyhtälö x 3 < c o yhtäpitävä epäyhtälö c < x 3 < c kassa. Tästä saadaa (lisäämällä 3) epäyhtälö muotoo c + 3 < x < c + 3 Esimerkki 5. Yllä olevassa esimerkissä vastaukseksi tuli tietty yksi väli x- akselista. Ku epäyhtälö suuta o toisi päi, vastaukseksi tulee kaksi erillistä palasta x-akselia: sieveetää x + 1 > 3: x + 1 > 3 eli x + 1 > 3 tai (x + 1) > 3 x > 2 tai x 1 > 3 x > 2 tai 4 > x 7
Jos meillä o epäyhtälö 0 < a < 1/x < b, jossa a ja b ovat suurempia kui olla, mite tästä saa x: kätevästi osoittajasta imittäjää? Vastaus paljastuu muokkaamalla kumpaaki epäyhtälöä eriksee: 1/x < b a < 1/x 1 < bx ax < 1 1/b < x x < 1/a. Kolmioepäyhtälö kertoo meille seuraavaa: x + y x + y Epäyhtälö pitävyys tulee selväksi, ku se paikalle sijoittaa eri arvoja: jos x = 1 ja y = 1, se äyttää seuraavalta: 1 + ( 1) 1 + 1 mikä o sama asia kui 0 2, mikä tieteki pitää paikkasa. Jos x ja y ovat kumpiki suurempia kui olla, kyseie epäyhtälö pätee yhtälöä. Esimerkki 6. Osoita kolmioepäyhtälö avulla, että x+y +z x + y + z Ratkaisu. Kolmioepäyhtälössä o vai kaksi termiä, mutta tässä tehtävässä o kolme: kolmioepäyhtälö saoo a + b a + b. Tehdää lausekkeesee x + y + z sijoituksia: x + y + }{{}}{{} z, =a =b jolloi voimme sijoittaa epäyhtälöö a + b a + b arvot a = x + y ja b = z: a + b a + b x + y + z x + y + z Jälkimmäisee epäyhtälöö voi soveltaa kolmioepäyhtälöä vielä kerra: koska x + y x + y. x + y + z x + y + z x + y + z, 8
Käytäössä kolmioepäyhtälö käytössä kaattaa käyttää luovuutta a: ja b: valiassa. Luovuutta voi käyttää myös lisäämällä älykkäästi olla kyseisee epäyhtälöö: Esimerkki 7. Osoita, että a + b a + c + b c. Ratkaisu: Esiä a + b voidaa muokata muotoo a + c }{{ } c +b. =0 Nyt kolmioepäyhtälöä voi soveltaa sijoituksilla x = a + c ja y = c + b: Tässä tuli siis todistettua: (a + c) + ( c + b) a }{{}}{{}}{{ + } c + } c {{ + } b. =x =y =x =y a + b = a + c c + b a + c + b c. 9