Reaalisten funktioiden integrointia kompleksianalyysin keinoin

TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Mervi Paavola Reaalisten funktioiden integrointia kompleksianalyysin keinoin Informaatiotieteiden yksikkö Matematiikka

Tampereen yliopisto Informaatiotieteiden yksikkö PAAVOLA, MERVI: Reaalisten funktioiden integrointia kompleksianalyysin keinoin Pro gradu -tutkielma 42s. Matematiikka Maaliskuu 2 Tiivistelmä Tämän tutkielman tarkoitus on perehdyttää lukija residylaskentaan. Residylaskentaa tarvitaan laskettaessa reaalisia integraaleja kompleksianalyysin avulla. Tutkielman alussa luvussa 2 esitellään tieintegraaleihin liittyviä lauseita, joita tarvitaan myöhemmin tutkielmassa. Luvussa 3 käsitellään tasaista suppenemista. Kappaleissa 4 ja 5 esitellään Taylorin ja Laurentin sarjat, jotka ovat potenssisarjoja, joiden avulla arvioidaan funktioita. Luvussa 6 keskitytään funktion erikoispisteisiin. Näiden pisteiden erikoislaatu on tärkeä luvussa 7 esitettävän residylaskennan vuoksi. Luvussa 8 keskitytään reaalisten integraalien laskemiseen residylaskennan keinoin. Pohjatietoina lukijalta odotetaan monipuolinen kompleksianalyysin perusteiden osaaminen. Varsinkin topologian, sarjojen ja summien ymmärtäminen auttaa lukijaa työn parissa. Päälähdeteoksena käytetään John H. Mathewsin ja Russell W. Howellin kirjan omplex Analysis for Mathematics and Engineering neljättä painosta. Asiasanat: kompleksianalyysi, Laurentin sarja, residylaskenta 2

Sisältö Johdanto 4 2 Apuneuvoja 5 3 Tasainen suppeneminen 6 4 Taylorin sarja 9 5 Laurentin sarja 6 Erikoispisteet, nollat ja navat 8 7 Residy-teoriaa 2 7. Residylause............................ 2 7.2 Residylaskenta.......................... 22 8 Reaalisten integraalien laskeminen residylaskennan avulla 24 8. Trigonometriset integraalit.................... 25 8.2 Rationaalifunktioiden epäoleelliset integraalit.......... 27 8.3 Epäoleelliset integraalit ja trigonometriset funktiot...... 3 8.4 Määrätyt tieintegraalit...................... 36 Viitteet 42 3

Johdanto Tämä tutkielma käsittelee reaalisten funktioiden integrointia kompleksianalyysin keinoin. Tutkielmassa esitellään ensin Taylorin ja Laurentin sarjat, joista jälkimmäinen on tärkeä työkalu residylaskennassa. Residylaskennan tärkein sovellus on reaalisten integraalien laskeminen residylaskennan avulla. Reaalisista integraaleista saadaan kompleksisia integraaleja, jolloin pystytään laskemaan integraalin arvo residylaskennan avulla. Tieintegraalien ominaisuuksia tarkastellaan luvussa 2. Nämä lauseet esitetään lukijalle kertauksenomaisesti, eikä niiden todistuksia ole tässä esitetty. Tämän luvun lauseiden nimistä voidaan huomata, kuinka tärkeää työtä ranskalainen Augustin Louis auchy on tehnyt matematiikan parissa. Luvussa 3 esitellään tarkemmin tasaisen suppenemisen käsite. Tasainen suppeneminen on pisteittäistä suppenemista vahvempi ja siinä funktion arvot suppenevat samanaikaisesti jokaisessa pisteessä kohti rajafunktiota. Taylorin sarjaa tarkastellaan luvussa 4. Luvun alkuun muistutetaan potenssisarjan ja suppenemissäteen määritelmistä. Taylorin sarja on päättymätön potenssisarja ja sitä käytetään arvioimaan funktiota. Se, kuinka tarkka arvio on, määräytyy pitkälti käytettävän Taylorin sarjan kertaluvun mukaan. Luvussa 5 päästään käsiksi Taylorin sarjan yleistykseen, Laurentin sarjaan. Laurentin sarja on saanut nimensä ranskalaisen matemaatikon Pierre Alphonse Laurentin mukaan. Laurentin sarja ei edellytä, että funktio olisi derivoituva kehityskeskuksena olevan pisteen ympäristössä. Joissakin tapauksissa on kuitenkin tarpeen löytää sarjaesityksiä myös funktioille, jotka eivät ole derivoituvia tai edes määriteltyjä tarkasteltavan pisteen lähellä. Funktion erikoispisteitä, nollia ja napoja käsitellään luvussa 6. Nämä tunnetaan hyvin, kun kyseessä on rationaalifunktio. Tällöin navoiksi kutsutaan nimittäjän nollakohtia ja nolliksi osoittajan nollakohtia. Erikoispisteiden tuntemusta tarvitaan jatkossa, koska funktio, jolla on eristetty erikoispiste, voidaan esittää Laurentin sarjana. Residy-teoriaa ja residyjen laskemista esitellään luvussa 7. Kun tiedetään funktion erikoispisteet integroimistien sisäpuolella, on residy helppo laskea. Tämän avulla saadaan integraalin arvo laskettua. Näitä tietoja tarvitaan luvussa 8, kun päästään laskemaan reaalisia funktioita residylaskennan keinoin, mikä onkin koko residylaskennan tärkein sovellus. Siinä reaalinen funktio muutetaan kompleksiseksi funktioksi, jonka jälkeen residylaskennan keinoin saadaan integraalin arvo laskettua. Pohjatietoina lukijalta odotetaan monipuolinen kompleksianalyysin perusteiden osaaminen. Erityisesti kompleksiset integraalit oletetaan tunnetuiksi. Myös topologian, sarjojen ja summien ymmärtäminen on tärkeää. Päälähdeteoksena käytetään John H. Mathewsin ja Russell W. Howellin kirjan omplex Analysis for Mathematics and Engineering neljättä painosta. Kaikki tutkielman määritelmät ovat tästä teoksesta, ellei toisin mainita. 4

2 Apuneuvoja Tässä luvussa esitellään muutamia lauseita, joita tarvitaan myöhemmin varsinkin luvuissa 3 ja 5. Lause 2. (ML-lause). Jos f(z) u(x, y)+iv(x, y) on jatkuva tiellä, niin f(z) dz ML, missä L on tien pituus ja M max z f(z). Todistus. Ks. [, s. 28]. Lause 2.2 (Greenin lause). Olkoon yksinkertainen sulkeutuva positiivisesti suunnistettu tie ja olkoon R alue, joka koostuu tien sisäänsä sulkemasta alueesta. Jos P ja Q ovat jatkuvia ja niillä on jatkuvat osittaisderivaatat P x, P y, Q x ja Q y kaikissa tien ja joukon R pisteissä, niin P (x, y) dx + Q(x, y) dy [Q x (x, y) P y (x, y)] dx dy. Todistus. Ks. [, s. 224-225]. Lause 2.3 (auchy-goursatin lause). Olkoon f analyyttinen yhdesti yhtenäisessä alueessa D. Jos on yksinkertainen sulkeutuva tie, joka sisältyy alueeseen D, niin f(z) dz. Todistus. Ks. [, s. 226-229]. Lause 2.4 (auchy-goursatin laajennettu lause). Olkoot,, 2,..., n sellaisia suljettuja positiivisesti suunnistettuja teitä, että k sisältyy tien sisäänsä sulkemaan alueeseen, kun k, 2,..., n ja tien k sisäänsä sulkema alue ei sisällä yhteisiä pisteitä tien j sisäänsä sulkeman alueen kanssa, kun k j. Olkoon f analyyttinen alueessa D, joka sisältää kaikki tiet sekä teiden ja + 2 + + n välisen alueen. Tällöin n f(z) dz f(z) dz. Todistus. Ks. [2, s. 69-7]. R k k Lause 2.5 (auchyn integraalikaava). Olkoon f analyyttinen yhdesti yhtenäisessä alueessa D ja olkoon yksinkertainen sulkeutuva tie, joka sisältyy alueeseen D. Jos z on tien sisäänsä sulkemassa alueessa, niin f(z ) 2πi 5 f(z) z z dz.

Todistus. Ks. [, s. 244]. Lause 2.6 (auchyn integraalikaava derivaatoille). Olkoon f analyyttinen yhdesti yhtenäisessä alueessa D ja olkoon yksinkertainen sulkeutuva positiivisesti suunnistettu tie, joka kuuluu alueeseen D. Jos z on tien sisäänsä sulkemassa alueessa, niin jokaisella n (2.) f (n) (z) n! 2πi Todistus. Ks. [, s. 246-247]. 3 Tasainen suppeneminen f(ξ) dξ. (ξ z) (n+) Tässä luvussa käsitellään tasaista suppenemista, josta päästään jatkamaan potenssisarjoihin. Tässä alussa pohditaan hieman pisteittäisen suppenemisen ja tasaisen suppenemisen eroja. Lisäksi huomataan tasaisen suppenemisen olevan pisteittäistä vahvempi ominaisuus. Oletetaan, että funktio f on määritelty joukossa T. Funktioiden jono {S n } suppenee kohti funktiota f pisteessä z T, mikäli lim n S n (z ) f(z ). Näin ollen pisteessä z jokaista ɛ > kohtaan on olemassa positiivinen kokonaisluku N ɛ,z siten, että (3.) jos n N ɛ,z, niin S n (z ) f(z ) < ɛ. Tässä siis N ɛ,z riippuu luvuista ɛ ja z. Jos S n (z) on sarjan k c k (z α) k n. osasumma, väite (3.) saadaan muotoon jos n N ɛ,z, niin n c k (z α) k f(z ) < ɛ. k Huomataan, että annetulla arvolla ɛ, väitteen (3.) toteuttava kokonaisluku N ɛ,z vaihtelee usein pisteen z valinnan mukaan. Tällöin funktiojono suppenee pisteittäin. Tasaisesti suppenevalle jonolle on sen sijaan mahdollista löytää kokonaisluku N ɛ, joka riippuu vain arvosta ɛ ja joka toteuttaa ehdon (3.) millä tahansa z T. Toisin sanoen, jos n on tarpeeksi suuri, niin funktio S n on tasaisen lähellä funktiota f kaikilla z T. Seuraavaksi esitellään tasaisen suppenemisen virallinen määritelmä. Määritelmä 3.. Jono {S n (z)} suppenee tasaisesti kohti funktiota f(z) joukossa T, jos jokaisella ɛ > on olemassa sellainen kokonaisluku N ɛ, että (3.2) jos n N ɛ, niin S n (z) f(z) < ɛ kaikilla z T. Jos S n (z) on sarjan k c k (z α) k n. osasumma, sanotaan, että sarja k c k (z α) k suppenee tasaisesti kohti funtiota f(z) joukossa T. 6

Weierstrassin M-testiä voidaan käyttää määrittämään, onko ääretön sarja tasaisesti suppeneva vai ei. Lause 3. (Weierstrassin M-testi). Olkoon äärettömällä sarjalla k u k (z) ominaisuus, että jokainen k toteuttaa ehdon u k (z) M k kaikilla z T. Jos k M k suppenee, niin k u k (z) suppenee tasaisesti joukossa T. Todistus. [, s. 263-264]. Olkoon S n (z) n k u k(z) sarjan n. osasumma. Jos n > m, niin S n (z) S m (z) u m (z)+u m+ (z)+ +u n (z) n km M k. Koska sarja k M k suppenee, niin jälkimmäisestä lausekkeesta saadaan kuinka pieni tahansa valitsemalla tarpeeksi iso m. Täten arvolla ɛ > on olemassa sellainen positiivinen kokonaisluku N ɛ, että jos n, m > N ɛ, niin S n (z) S m (z) < ɛ. Tämä tarkoittaa, että {S n (z)} on auchyn jono kaikilla z T. Tämä jono suppenee kohti lukua, jota voidaan merkitä f(z):lla. Toisin sanoen f(z) lim n S n (z) k u k (z). Tästä havainnosta saadaan funktio, jota kohti sarja k u k (z) suppenee. Täytyy vielä todistaa, että suppeneminen on tasaista. Olkoon ɛ > annettu. Koska k M k suppenee, on olemassa N ɛ, siten että jos n N ɛ, niin kn M k < ɛ. Näin ollen jos n N ɛ ja z T, niin n f(z) S n (z) u k (z) u k (z) k k u k (z) kn M k kn < ɛ. Näin ollen sarja suppenee tasaisesti. Esimerkki 3.. [, s. 267, tehtävä 3] Osoitetaan, että sarja k k 2 zk suppenee tasaisesti kiekossa D () {z : z }. On helppo huomata, että z k k kaikilla z D 2 k 2 (). Koska sarja suppenee, niin Weierstrassin M-testin eli lauseen 3. perusteella sarja k k k 2 z k suppenee tasaisesti kiekossa D k 2 () {z : z }. Lause 3.2 tarjoaa mielenkiintoisen sovelluksen Weierstrassin M-testille. Lause 3.2. Olkoon potenssisarjalla k c k (z α) k suppenemissäde ρ >. Nyt jokaisella r, jolle < r < ρ, sarja suppenee tasaisesti suljetussa kiekossa D r (α) {z : z α r}. 7

Todistus. [, s. 264-265]. Olkoon r sellainen, että < r < ρ. Valitaan z D ρ (α) siten, että z α r. Potenssisarjojen ominaisuuksien perusteella tiedetään, että k c k (z α) k suppenee itseisesti arvolla z D ρ (α). Tästä seuraa, että c k (z α) k c k r k k suppenee. Sen lisäksi kaikilla z D r (α) k c k (z α) k ck z α k c k r k. Weierstrassin M-testin, jossa M k c k r k, perusteella sarja suppenee tasaisesti. Seurauslause 3.. Jokaisella r, jolle < r <, geometrinen sarja suppenee tasaisesti suljetussa kiekossa D r (). Lause 3.3. Olkoon {S k } jono jatkuvia funktioita, jotka on määritelty joukossa T, joka sisältää tien. Jos {S k } suppenee tasaisesti kohti funktiota f joukossa T, niin (i) f on jatkuva joukossa T ja (ii) lim S k (z) dz lim S k k(z) dz f(z) dz. k Todistus. [, s. 265-266]. Täytyy todistaa, että lim z z f(z) f(z ) annetulla z T. Olkoon ɛ >. Koska {S k } suppenee tasaisesti kohti funktiota f joukossa T, niin on olemassa sellainen positiivinen kokonaisluku N ɛ, että kaikilla z T f(z) S k (z) < ɛ/3, kun k N ɛ. Koska S Nɛ on jatkuva pisteessä z, on olemassa sellainen δ >, että jos z z < δ, niin S Nɛ (z) S Nɛ (z ) < ɛ/3. Näin ollen, jos z z < δ, niin saadaan f(z) f(z ) f(z) S Nɛ (z) + S Nɛ (z) S Nɛ (z ) + S Nɛ (z ) f(z ) f(z) S Nɛ (z) + S Nɛ (z) S Nɛ (z ) + S Nɛ (z ) f(z ) < ɛ 3 + ɛ 3 + ɛ 3 ɛ. Täten kohta (i) on todistettu. Todistettaessa kohtaa (ii) oletetaan, että ɛ > ja L on tien pituus. Koska {S k } suppenee tasaisesti kohti funktiota f joukossa T, niin on olemassa sellainen positiivinen kokonaisluku N ɛ, että jos k N ɛ, niin S k (z) f(z) < ɛ L kaikilla z T. Koska kuuluu joukkoon T, niin max S k(z) f(z) < ɛ, jos z L 8

k N ɛ. Käyttämällä ML-lausetta 2. saadaan S k (z) dz f(z) dz [S k (z) f(z)] dz max S k(z) f(z) L z ( ɛ < L L) ɛ. Seurauslause 3.2. Jos sarja c n (z α) n suppenee tasaisesti kohti funktiota f(z) joukossa T ja on tie joukossa T, niin c n (z α) n dz c n (z α) n dz f(z) dz. 4 Taylorin sarja Taylorin sarja on päättymätön potenssisarja ja siitä muodostettuja osasummia kutsutaan Taylorin polynomeiksi. Taylorin sarjaa käytetään arvioimaan funktiota potenssisarjalla, jolloin haluttava laskentatarkkuus määrää, minkä kertaluvun Taylorin polynomia käytetään. Tässä luvun alussa on esitellään käsitteet potenssisarja ja suppenemissäde. Määritelmä 4.. [4, s. 37]. Ääretöntä sarjaa, joka on muotoa (4.) a k (z z ) k a + a (z z ) + a 2 (z z ) 2 + k ja missä kertoimet a k ovat kompleksisia vakioita, kutsutaan potenssisarjaksi. Potenssisarjan (4.) keskipiste on pisteessä z. Määritelmä 4.2. (Vrt. [3, s. 62-63] ja [4, s. 37]) Potenssisarjan a k (z z ) k k suppenemissäde R on suurimman z -keskisen ympyrän säde, jonka jokaisessa sisäpisteessä potenssisarja suppenee. Toisin sanoen { R max r : z z < r a k (z z ) k suppenee }. r Ympyrän sisäpisteet muodostavat suppenemisalueen. Suppenemissäde voi olla 9

(i) R, jolloin potenssisarja suppenee vain keskipisteessään z z, (ii) äärellinen positiivinen luku R, jolloin potenssisarja suppenee, kun z z < R tai (iii) R, jolloin potenssisarja suppenee kaikilla z. Taylorin sarja on potenssisarja, jolla voidaan arvioida analyyttisen funktion käyttäytymistä sarjan suppenemisalueella. Määritelmä 4.3 (Taylorin sarja). [, s. 269]. Jos f(z) on analyyttinen pisteessä z α, niin sarjaa f(α) + f (α)(z α) + f (2) (α) 2!(z α) 2 + f (3) (α) 3!(z α) 3 + k f (k) (α) k! (z α) k kutsutaan funktion f Taylorin sarjaksi keskipisteenä α. Kun keskipiste α, sarjaa kutsutaan funktion f Maclaurinin sarjaksi. Lause 4. (Taylorin lause). Olkoon f jatkuva alueessa D ja olkoon D R (α) mikä tahansa kiekko, joka kuuluu alueeseen D. Nyt funktion f Taylorin sarja suppenee kohti funktiota f kaikilla z D R (α). Toisin sanoen f(z) k f (k) (α) k! (z α) k kaikilla z D R (α). Lisäksi kaikille r, joille < r < R, suppenevuus on tasaista suljetussa alikiekossa D r (α) {z : z α r}. Todistus. Ks. [, s. 269-27]. Esimerkki 4.. Etsitään funktion f(z) z3 z 4 + 9 Taylorin sarja origossa ja määritellään funktion f suppenemissäde. Kehitetään f geometriseksi sarjaksi f(z) z3 9 z 3 z 4 + 9 9 ( z4 9 ) z3 ( ) n z4n 9 n ( ) n z4n+3 9 n+,

joka suppenee, kun z 4 9 < z < 3. Siis funktion f Taylorin sarja origossa on muotoa ( ) n z4n+3 9 n+ ja suppenemissäde R 3. 5 Laurentin sarja On mahdollista, että reaalifunktio, jota ei pystytä esittämään potenssisarjana, on derivoituva kaikkialla. Kompleksifunktioilla tilanne on yksinkertaisempi. Voidaan todistaa, että kiekossa D r (α) analyyttisen kompleksifunktion Taylorin sarja pisteessä α suppenee kohti funktiota kaikissa kiekon pisteissä. Laurentin sarja ei edellytä, että funktio olisi derivoituva kehityskeskuksena α olevan pisteen ympäristössä. Näin ollen Laurentin sarjaa käytetään arvioimaan funktiota potenssisarjana. Määritelmä 5. (Laurentin sarja). Olkoon c n kompleksiluku kaikilla n, ±, ±2, ±3,... Kaksipuoleista ääretöntä sarjaa n c n (z α) n kutsutaan Laurentin sarjaksi, jos se toteuttaa yhtälön (5.) c n (z α) n c n (z α) n + c + c n (z α) n n n n ja jos yhtälön oikean puoleiset sarjat suppenevat. Huomautus 5.. Huomioidaan, että c n (z α) n on yksinkertaistettu esitys summasta c + n c n (z α) n. Ajoittain on järkevämpää kirjoittaa summa n c n (z α) n summana c n (z α) n c n (z α) n + c n (z α) n n n kuin käyttää yhtälössä (5.) annettua lauseketta. Määritelmä 5.2 (rengas). Olkoon r < R. Rengas, jonka keskipiste on α ja jonka säteet ovat r ja R, määritellään siten, että A(α, r, R) {z : r < z α < R}. Suljettua rengasta, jonka keskipiste on α ja jonka säteet ovat r ja R, merkitään A(α, r, R) {z : r z α R}. Lause 5.. Oletetaan, että Laurentin sarja n c n (z α) n suppenee renkaassa A(α, r, R). Tällöin sarja suppenee tasaisesti jokaisessa alirenkaassa A(α, s, t), jossa r < s < t < R.

Todistus. [, s. 28]. Yhtälön (5.) mukaan c n (z α) n c n (z α) n + c n (z α) n. n n Lauseen 3.2 mukaan sarja c n (z α) n suppenee tasaisesti suljetussa kiekossa D r (α). Weierstrassin M-testin eli lauseen 3. perusteella voidaan osoittaa, että sarja n c n (z α) n suppenee tasaisesti alueessa {z : z α s}. Näiden kahden ehdon perusteella lause on todistettu. Tämän kappaleen tärkein tulos määrittelee, kuinka renkaassa analyyttinen funktio voidaan laajentaa Laurentin sarjaksi. Merkintää + ρ (α) käytetään positiivisesti suunnistetulle ympyrälle, jonka säde on ρ ja keskipiste on α. Toisin sanoen + ρ (α) {z : z α ρ} ja se on suunnistettu vastapäivään. Lause 5.2 (Laurentin lause). Olkoon r < R ja f analyyttinen renkaassa A A(α, r, R). Jos ρ on sellainen, että r < ρ < R, niin kaikilla z A funktiolla f on Laurentin sarja muotoa (5.2) f(z ) c n (z α) n n c n (z α) n + c n (z α) n, n jossa kertoimet c n ja c n (n,, 2,...) saadaan kaavoista (5.3) c n 2πi + ρ (α) f(z) (z α) dz ja c n+ n 2πi + ρ (α) f(z) dz. (z α) n+ Lisäksi yhtälön (5.2) suppeneminen on tasaista kaikissa suljetuissa alirenkaissa A (α, s, t), joissa r < s < t < R. Todistus. [, s. 282-284]. Tavoitteena on saada aikaan yhtälö (5.2), jolloin tasainen suppeneminen renkaassa A(s, t, α) seuraa lauseesta 5.. Olkoon z renkaan A mielivaltainen piste. Valitaan tarpeeksi pieni r siten, että ympyrä + r o (z ) kuuluu renkaaseen A. Koska f on analyyttinen kiekossa D r (z ), niin auchyn integraalikaavasta 2.5 saadaan (5.4) f(z ) 2πi f(z) z z dz. Olkoon r + (α) ja 2 r + 2 (α), joissa r ja r 2 valitaan siten, että kuuluu ympyröiden ja 2 väliselle alueelle ja r < r < r 2 < R. Olkoon D joukko, joka sisältää renkaan A pistettä z lukuun ottamatta. 2

Joukko D siis sisältää myös tiet, ja 2 ja alueen teiden 2 ja + väliltä. Lisäksi, koska z ei kuuluu alueeseen D, niin funktio f(z) on (z z ) analyyttinen alueessa D. Laajennetun auchy-goursatin lauseen 2.4 mukaan saadaan f(z) (5.5) 2πi (z z ) dz f(z) 2πi (z z ) dz + f(z) 2πi (z z ) dz. 2 Yhdistämällä yhtälöt (5.4) ja (5.5) saadaan (5.6) f(z ) f(z) 2πi (z z ) dz 2πi 2 f(z) (z z ) dz. Jos z 2, niin z α < z α. Tästä saadaan z α <. Geometristen z α sarjojen ominaisuuksien perusteella z z (z α) (z α) (z α) ( z α ) z α ( ) z α n (z α) z α (z α) n (5.7) (z α). n+ Weierstrassin M-testin eli lauseen 3. perusteella edellinen sarja suppenee tasaisesti arvolla z 2. Samoin periaattein, jos z, niin (z α) n (5.8) z z (z α) n+ suppenee tasaisesti. Sijoittamalla yhtälöt (5.7) ja (5.8) yhtälöön (5.6) saadaan f(z ) (z α) n f(z) dz 2πi (z α) n+ (5.9) 2 + 2πi (z α) n f(z) dz. (z α) n+ Koska yhtälön sarjat suppenevat tasaisesti teillä 2 ja, voidaan yhtälössä (5.9) summien ja integraalien paikat vaihtaa keskenään. Täten seuraslauseen 3.2 mukaan saadaan f(z ) f(z) dz (z 2πi (z α) n+ α) n 2 + f(z)(z α) n dz 2πi (z α). n+ 3

Muuttamalla termien paikkoja ja indeksoimalla uudestaan yhtälön jälkimmäinen summa saadaan f(z ) f(z) dz (z 2πi (z α) n+ α) n 2 + f(z) (5.) dz (z 2πi (z α) n+ α) n. n Käyttämällä auchy-goursatin laajennettua lausetta 2.4 päästään tulokseen, että integraalit pitkin teitä 2 ja yhtälössä (5.) antavat saman tuloksen kuin integroidessa tietä + ρ (α) pitkin, jossa ρ on sellainen, että r < ρ < R. Tämän perusteella f(z ) + 2πi ρ + (α) n 2πi ρ + (α) f(z) (z α) f(z) (z α) n+ dz n+ dz (z α) n (z α) n. Lopuksi vaihtamalla edellisen yhtälön summalauseiden paikkoja keskenään saadaan f(z ) f(z) dz (z 2πi (z α) n+ α) n + n 2πi + ρ (α) + ρ (α) f(z) dz (z (z α) n+ α) n. Koska z A valittiin mielivaltaisesti, saatu tulos toteuttaa vaadittavat yhtälöt (5.2) ja (5.3). Täten lause on todistettu. Kuinka tämä tilanne sitten muuttuu, jos funktio f ei ole analyyttinen kiekossa D r (α)? Tarkastellessa yhtälöä (5.) huomataan, että auchyn integraalikaavan 2.5 mukaan positiivisen potenssin (z α) n kerroin on yhtä suuri kuin f (n) (z ). Täten yhtälön (5.2) sarja, joka koostuu termin (z n! α) positiivisista potensseista, on itse asiassa funktion f Taylorin sarja. auchy- Goursatin lauseen 2.3 mukaan termin (z α) negatiivisten potenssien kertoimet ovat nollia. Tämän vuoksi tässä tapauksessa ei ole negatiivisia potensseja, jolloin Laurentin sarja supistuu Taylorin sarjaksi. Lause 5.3 kuvaa kaksi tärkeää näkökulmaa Laurentin sarjoista. Lause 5.3. Olkoon f on analyyttinen renkaassa A(α, r, R) ja olkoon sillä Laurentin sarja f(z) n c n (z α) n kaikilla z A(α, r, R). 4

(i) Jos f(z) n b n (z α) n kaikilla z A(α, r, R), niin b n c n kaikilla n. Toisin sanoen funktion f Laurentin sarja annetussa renkaassa on yksikäsitteinen. (ii) Kaikilla z A(α, r, R) funktion f(z) derivaatta saadaan derivoimalla termeittäin sen Laurentin sarja. Todistus. [, s. 285]. Sarja n b n (z α) n suppenee pisteittäin renkaassa A(α, r, R), joten lauseen 5. mukaan sarja suppenee tasaisesti ympyrässä + ρ (α), kun r < ρ < R. Täten Laurentin lauseen 5.2 mukaan c n 2πi 2πi ρ + (α) ρ + (α) b m m 2πi f(z) dz (z α) n+ (z α) n + ρ (α) m (z α) m n dz. b m (z α) m dz Termillä (z α) m n on integraali kaikilla z A(α, r, R), paitsi kun m n. Näin ollen kaikki edeltävän lausekkeen termit poistuvat paitsi kun m n. Tästä saadaan c n b n (z α) dz b n. 2πi + ρ (α) Näin kohta (i) on todistettu. Kohdan (ii) todistus: ks. [, s. 54-56, 285]. Laurentin sarjan yksikäsitteisyys on tärkeä ominaisuus, koska Laurentin sarjassa kertoimia harvoin löydetään käyttämällä yhtälöä (5.3). Seuraava esimerkki havainnollistaa joitain tapoja löytää Laurentin sarjan kertoimia. Esimerkki 5.. Etsitään funktion f(z) (z 2)(z 3) (i) 2 < z < 3 (ii) z > 3 (iii) < z 2 < ja (iv) z 2 >. Laurentin sarja alueissa 5

Etsitään ensin funktion f osamurtokehitelmä. Funktio f saadaan muotoon f(z) (z 2)(z 3) A z 2 + B z 3 A(z 3) B(z 2) + (z 2)(z 3) (z 3)(z 2) Az 3A Bz 2B + (z 2)(z 3) (z 3)(z 2). Funktion osoittajista voidaan päätellä, että A + B ja 3A 2B eli A ja B. Näin ollen funktion f osamurtokehitelmä on (5.) f(z) (z 2)(z 3) z 3 z 2. (i) Koska 2 < z < 3, niin 2 < ja z <. Kehitetään osamurtokehitelmän ensimmäinen termi muuttujan z positiivisten ja toinen termi z 3 negatiivisten potenssien mukaan geometriseksi sarjaksi. Ensimmäinen termi z 3 3 z 3 suppenee, kun z < 3, ja toinen termi 3 z n 3 n z 2 z 2 z z 2 n z n suppenee, kun 2 < z. Siis sarja suppenee, kun 2 < z < 3 f(z) 3 z n 3 n z 2 n z n 6

(ii) Koska z > 3, niin 3 <, jolloin myös 2 <. Kehitetään osamurtokehitelmän molemmat termit muuttujan z negatiivisten potenssien z z mukaan geometriseksi sarjaksi. Ensimmäinen termi z 3 z 3 z z 3 n z n suppenee, kun 3 < z ja toinen termi z 2 z 2 z z 2 n z n suppenee, kun 2 < z. Siis sarja f(z) z suppenee, kun z > 3. 3 n z n z 2 n z n n 3 n 2 n (iii) Koska z 2 <, niin osamurtokehitelmän ensimmäinen termi kehitetään termin (z 2) mukaan geometriseksi sarjaksi seuraavasti: z n z 3 (z 2) (z 2) n. Edellinen sarja suppenee, kun z 2 <. Osamurtokehitelmän toisesta termistä saadaan ehto z 2. Siis sarja suppenee, kun < z 2 <. f(z) z 2 (z 2) n (iv) Koska z 2 >, niin <. Kehitetään osamurtokehitelmän (z 2) ensimmäinen termi geometriseksi sarjaksi termin (z 2) mukaan seuraavasti: z 3 z 2 z 2 z 2 (z 2) n (z 2). n Edellinen sarja suppenee, kun z 2 >. Siis sarja suppenee, kun z 2 >. Esimerkki 5.2. Etsitään funktion f(z) z 2 + (z 2). n 7 n n

(i) f(z) cos ( ) z (ii) f(z) e 3/z Laurentin sarja renkaassa < z <. (i) Pidetään tunnettuna kosinin sarjakehitelmää cos z ( ) n z 2n. (2n)! Nyt vaihtamalla termin z paikalle termi saadaan funktion Laurentin z sarja ( ) ( ) n cos z (2n)!z. 2n (ii) Sarjakehitelmänä f(z) on muotoa e z + z + z2 2! + z3 3! +. Nyt korvaamalla termi z termillä 3, missä z, saadaan funktion z Laurentin sarja e 3/z + 3 z + 32 2!z 2 + 33 3!z 3 +. 6 Erikoispisteet, nollat ja navat Pistettä α kutsutaan kompleksifunktion f erikoispisteeksi, jos f ei ole analyyttinen pisteessä α, mutta jokaisessa pisteen α ympäristössä D R (α) on ainakin yksi piste, jossa f on analyyttinen. Esimerkiksi funktio f(z) ei 2 z ole analyyttinen pisteessä z 2, mutta se on analyyttinen kaikilla muilla muuttujan z arvoilla. Näin ollen piste α 2 on funktion f erikoispiste. Pistettä α kutsutaan kompleksifunktion f eristetyksi erikoispisteeksi, jos funktio f ei ole analyyttinen pisteessä α ja jos on olemassa sellainen reaaliluku R >, että funktio f on analyyttinen kaikkialla punkteeratussa kiekossa DR(α). Edellä esitellystä esimerkistä f(z) huomataan, että piste z 2 2 z on eristetty erikoispiste. Funktio ei siis ole analyyttinen tässä pisteessä, mutta on analyyttinen sen ympäristössä. Määritelmä 6.. Olkoon funktion f Laurentin sarjalla f(z) n c n (z α) n eristetty erikoispiste pisteessä α, kun z A(α,, R). Seuraavaksi esitellään erilaisia erikoispisteitä. 8

(i) Jos c n, kun n, 2, 3,..., niin funktiolla f on poistuva erikoispiste pisteessä α. (ii) Jos k on sellainen positiivinen kokonaisluku, että c k ja c n kaikilla n < k, niin funktiolla f on k-kertainen napa pisteessä α. (iii) Jos c n äärettömän monella negatiivisella indeksillä n, niin piste α on funktion f oleellinen erikoispiste. Määritelmä 6.2 (k-kertainen nolla). Funktiolla f, joka on analyyttinen kiekossa D R (α), on k-kertainen nolla pisteessä α, jos f (n) (α), kun n,, 2,..., k ja f (k) (α). Kun k, niin nollaa kutsutaan yksinkertaiseksi nollaksi. Esimerkki 6.. [3, s. 76-77] Tutkitaan funktion f(z) z 2 (z+) erikoispisteitä Laurentin sarjojen avulla. Funktio f ei ole analyyttinen pisteissä α ja α 2. (i) Piste α. Funktion f Laurentin sarja tässä pisteessä on f(z) z 2 (z + ) z + z 2 z + z 2 z + ( z) n. Termistä voidaan päätellä, että piste α z 2 on funktion f kaksinkertainen napa. (ii) Piste α 2. Hajotetaan funktio f seuraavasti: Koska sarja z 2 z f(z) z ( ) + z 2 z. on analyyttinen pisteessä z, niin sillä on Laurentin z 2 z a n (z + ) n kyseessä olevan pisteen ympäristössä. Nyt f(z) z ( ) + a n (z + ) n, joten piste α 2 on funktion f yksinkertainen napa. Esimerkki 6.2. Tutkitaan funktioiden (i) f(z) sin(z) z, z, 9

(ii) f(z) e z erikoispisteitä. (i) Sinifunktion sarjakehitelmän nojalla f(z) sin(z) z [ ( ) n z 2n+ ] ( ) n z 2n z (2n + )! (2n + )!, joten piste z on poistuva erikoispiste. (ii) Eksponenttifunktion sarjakehitelmän nojalla f(z) e z n! z, n joten piste z on oleellinen erikoispiste. 7 Residy-teoriaa Tässä luvussa pääsemme laajentamaan auchyn integraalikaavaa 2.5 tapaukseen, jossa integraalilla on äärellinen määrä eristettyjä erikoispisteitä tien sisäänsä sulkemassa alueessa. Tätä menetelmää voidaan käyttää tapauksessa, jossa integrandilla on oleellinen erikoispiste z. Näin ollen residylaskenta on tärkeä laajennus auchyn integraalikaavaan nähden. 7. Residylause Tässä osiossa esitellään residy ja residylause. Määritelmä 7. (residy). Olkoon funktiolla f eristetty erikoispiste pisteessä z. Nyt funktio f voidaan esittää Laurentin sarjana kiekossa DR(z ) kaikilla z DR(z ). Tällöin f(z) a n (z z ) n, n jossa kerrointa a kutsutaan funktion f residyksi pisteessä z. Residystä käytetään merkintää Res[f, z ] a. Esimerkki 7.. Olkoon f(z) e z. Funktion f Laurentin sarja pisteessä z on muotoa f(z) e z + z + 2!z 2 +. Näin ollen residy saadaan termistä z, joten Res[f, ] a. 2

Tarkastellaan tapausta, jossa funktio f on analyyttinen kiekossa DR(z ). Jokaisella r, jolle < r < R, funktion f Laurentin sarjan kerroin saadaan yhtälöstä (7.) a n 2πi + r (z ) f(ξ) dξ, n, ±, ±2,..., (ξ z ) n+ jossa r + (z ) tarkoittaa ympyrää {z : z z r}, joka on positiivisesti suunnistettu. Tästä tuloksesta saadaan tärkeä tieto residystä Res[f, z ]. Olkoon mikä tahansa positiivisesti suunnistettu yksinkertainen sulkeutuva tie, joka sisältää pisteen z siten, että z on ainut funktion f kiinteä erikoispiste. Kun sijoitetaan n yhtälöön (7.) ja korvataan ympyrä r + (z ) yllä mainitulla tiellä, saadaan (7.2) f(ξ) dξ 2πia 2πi Res[f, z ] Tämän perusteella voidaan todeta, että löydettäessä funktion f Laurentin sarja, yhtälöä (7.2) voidaan käyttää tärkeänä apuvälineenä laskettaessa tieintegraaleja. Lause 7. (auchyn residylause). Olkoon D yhdesti yhtenäinen alue ja yksinkertainen suljettu positiivisesti suunnistettu tie alueessa D. Jos f on analyyttinen tien sisäänsä sulkemassa alueessa ja tiellä, lukuun ottamatta tien sisäpuolella olevia pisteitä z, z 2,..., z n, niin n f(z) dz 2πi Res[f, z k ]. Todistus. [, s. 39]. Koska tien sisällä on äärellinen määrä yksittäisiä pisteitä, niin on olemassa sellainen r >, että positiivisesti suunnistetut ympyrät k r + (z k ) (k, 2,..., n) ovat keskenään eriäviä ja kuuluvat tien sisään. auchy-goursatin lauseen 2.3 perusteella seuraa, että n (7.3) f(z) dz f(z) dz. k k k Funktio f on analyyttinen punkteeratussa kiekossa, jonka keskipiste on z k ja joka sisältää ympyrän k. Käyttämällä yhtälöä (7.2) saadaan (7.4) f(z) dz 2πi Res[f, z k ], kun k, 2,..., n. k Yhdistämällä yllä olevat yhtälöt (7.3) ja (7.4) saadaan n n f(z) dz f(z) dz 2πi Res[f, z k ] 2πi k k k joten lause on todistettu. 2 n k Res[f, z k ],

7.2 Residylaskenta Laskettaessa residyä pisteessä z Laurentin sarjasta tarvitaan vain kerroin a. Tämän vuoksi on toisinaan tarpeetonta joutua laskemaan funktion koko Laurentin sarja. Tässä osiossa esitellään menetelmä, jonka avulla voidaan laskea funktion residy, kun tiedetään erikoispisteen z laatu. Lause 7.2 antaa keinon residyn laskemiseen navoissa. Lause 7.2 (Residyn laskeminen navoissa). (i) Jos funktiolla f on yksinkertainen napa pisteessä z, niin Res [f, z ] lim z z (z z ) f(z). (ii) Jos funktiolla f on kaksinkertainen napa pisteessä z, niin d Res [f, z ] z z lim dz (z z ) 2 f(z). (iii) Jos funktiolla f on k-kertainen napa pisteessä z, niin Res [f, z ] (k )! lim z z d k dz k [ (z z ) k f(z) ]. Todistus. [, s. 3-3]. Jos funktiolla f on yksinkertainen napa pisteessä z, niin Laurentin sarja on muotoa f(z) a z z + a + a (z z ) + a 2 (z z ) 2 +. Kertomalla yhtälön molemmat puolet termillä (z z ) ja ottamalla raja-arvo z z saadaan lim (z z )f(z) z z [ z z lim a + a (z z ) + a (z z ) 2 + ] a Res [f, z ]. Näin kohta (i) on todistettu. Lopuksi riittää todistaa kohta (iii), sillä kohta (ii) saadaan kohdan (iii) erikoistapauksena. Olkoon funktiolla f k-kertainen napa pisteessä z. Nyt funktion f Laurentin sarja on muotoa f(z) a k (z z ) k + a k+ (z z ) k + + a z z + a + a (z z ) +. Kertomalla yhtälö molemminpuolin termillä (z z ) k saadaan (z z ) k f(z) a k + + a (z z ) k + a (z z ) k +. 22

Derivoimalla yhtälö puolittain k kertaa saadaan d k [ (z z ) k f(z) ] dz k (k )! a + k! a (z z ) + (k + )! a (z z ) 2 +. 2 Kun otetaan raja-arvo z z, saadaan lopputulos lim z z d k dz k [ (z z ) k f(z) ] (k )! a (k )! Res[f, z ]. Näin ollen kohta (iii) on todistettu ja samalla myös kohta (ii). Esimerkki 7.2. [4, s. 344-345] Funktiolla f(z) on yksinkertainen napa pisteessä z 3 ja kaksinkertainen napa pisteessä z. Lasketaan (z ) 2 (z 3) funktion f residyt näissä pisteissä. Koska z 3 on yksinkertainen napa, käytetään lauseen 7.2 kohtaa (i). Tällöin Res[f(z), 3] lim z 3 (z 3)f(z) lim z 3 (z ) 2 4. Piste z on kaksinkertainen napa, joten lauseen 7.2 kohdan (ii) perusteella Res[f(z), ]! lim z d lim z lim z Esimerkki 7.3. [2, s. 73] Lasketaan integraali d dz (z )2 f(z) dz z 3 (z 3) 2 4. e z z 2 dz, jossa tie on ympyrä z 2. Funktiolla f(z) ez on navat pisteissä z ja z, jotka molemmat ovat integroimistien z 2 sisällä. Lasketaan funktion residyt näissä z 2 pisteissä seuraavasti: Res[f(z), ] lim(z )f(z) lim z z z + e ja 2 e z Res[f(z), ] lim (z + )f(z) lim z z z e 2. 23 e z

Nyt auchyn residylauseen 7. perusteella e z dz 2πi [Res[f(z), ] + Res[f(z), ]] z 2 ( ) e 2πi 2 e 2 ( ) e e 2πi 2 2πi sinh. Esimerkki 7.4. Lasketaan integraali dz (z ) 2 + 4, jossa tie on suorakulmion 2 x 2, y 3 positiivisesti suunnistettu reunakäyrä. Funktiolla f(z) on yksinkertaiset navat pisteissä z (z ) 2 +4 + 2i ja z 2 2i. Näistä pisteistä piste z on integroimistien sisällä. Lasketaan residy tässä pisteessä: Res[f(z), z ] lim z +2i lim z +2i 4i. Nyt auchyn residylauseen 7. perusteella (z 2i) (z 2i)(z + 2i) (z + 2i) dz (z ) 2 + 4 2πi Res[f(z), z ] 2πi 4i π 2. 8 Reaalisten integraalien laskeminen residylaskennan avulla Residylaskennan tärkeä sovellus on reaalisten integraalien laskeminen residylaskennan keinoin. Reaaliset funktiot muutetaan eri metodein kompleksisiksi integraaleiksi, jolloin pystytään hyödyntämään residylaskentaa. On kuitenkin tärkeä muistaa, että tulokset ovat reaalisia. Sen vuoksi täytyykin ymmärtää funktion reaali- ja imaginääriosien ominaisuuksia. 24

8. Trigonometriset integraalit Residy-teorian avulla pystytään arvioimaan tiettyjä määrättyjä reaalisia integraaleja. Yksi tapa tähän on tulkita reaalinen määrätty integraali kompleksisena integraalina pitkin yksinkertaista suljettua tietä. Esitellään tässä tapaus, jossa halutaan arvioida integraalia (8.) 2π F (cos θ, sin θ) dθ, jossa F (u, v) on kahden reaalimuuttujan u ja v funktio. Tarkastellaan yksikköympyrää () parametrisoinnilla + () : z cos θ + i sin θ e iθ, kun θ 2π. Tästä saadaan differentiaalit (8.2) dz ( sin θ + i cos θ) dθ ie iθ dθ ja dθ dz dz ieiθ iz. Yhdistämällä yhtälöt z cos θ + i sin θ ja z (8.3) cos θ 2 ( z + ) z ja sin θ 2i cos θ i sin θ saadaan ( z ). z Sijoittamalla cos θ, sin θ ja dθ lausekkeeseen (8.) määrätystä integraalista saadaan tieintegraali 2π jossa uusi integrandi on F (cos θ, sin θ) dθ + () f(z) dz, f(z) F ( (z + ), (z )) 2 2 2i z. iz Olkoon f analyyttinen yksikköympyrällä () ja sen sisäänsä sulkemassa alueessa lukuun ottamatta pisteitä z, z 2,..., z n. Nyt residylauseen perusteella (8.4) 2π F (cos θ, sin θ) dθ 2πi n k Res[f, z k ]. 25

Esimerkki 8.. [4, s. 353-354] Lasketaan 2π (2 + cos θ) 2 dθ. Ensimmäiseksi muutetaan annettu trigonometrinen integraali tieintegraaliksi käyttäen apuna yhtälöitä (8.2) ja (8.3). Tällöin saadaan dz (2 + (z + 2 z )) 2 iz ( 2 + z 2 + 2z Sievennettynä integraali on muotoa 4 z i (z 2 + 4z + ) dz. 2 ) 2 dz iz. Jakamalla nimittäjä tekijöihin integrandi saadaan muotoon z f(z) (z 2 + 4z + ) z 2 (z z ) 2 (z z 2 ), 2 jossa z 2 3 ja z 2 2+ 3 ovat sen napoja. Näistä kahdesta navasta vain z 2 on yksikköympyrän sisäpuolella, joten z (z 2 + 4z + ) dz 2πi Res[f(z), z 2]. 2 Piste z 2 on kaksinkertainen napa, joten lauseen 7.2 kohdan (ii) perusteella Näin ollen 4 i joten lopulta saadaan vastaus Res[f(z), z 2 ] lim z z2 lim z z2 d dz (z z 2) 2 f(z) d z dz (z z ) 2 z z z z2 lim (z z ) 3 6 3. z (z 2 + 4z + ) dz 4 i 2πi Res[f(z), z ] 2π 4 i 2πi 6 3 4π 3 3, 4π dθ (2 + cos θ) 2 3 3. 26

8.2 Rationaalifunktioiden epäoleelliset integraalit Residy-teorian toinen tärkeä sovellus liittyy tietyn tyyppisiin epäoleellisiin integraaleihin. Tarkastellaan tapausta, jossa f on jatkuva reaalisen muuttujan x funktio välillä x <. Funktion f integraali yli joukon [, ] määritellään b f(x) dx lim f(x) dx b edellyttäen, että raja-arvo on olemassa. Jos f on määritelty kaikilla reaalisilla muuttujan x arvoilla, niin funktion f integraali yli joukon (, ) määritellään (8.5) f(x) dx b lim f(x) dx + lim f(x) dx a b a edellyttäen, että molemmat raja-arvot ovat olemassa. Jos integraali yhtälössä (8.5) on olemassa, sen arvo saadaan yhdellä raja-arvolla seuraavasti (8.6) f(x) dx lim R R R f(x) dx. Joillekin funktioille yhtälön (8.6) oikean puolen raja-arvo on olemassa, mutta yhtälön (8.5) oikean puolen raja-arvo ei ole olemassa. Määritelmä 8. (auchyn pääarvo). Olkoon f(x) jatkuva funktio kaikilla x R. Integraalin f(x) dx auchyn pääarvo määritellään f(x) dx lim edellyttäen, että raja-arvo on olemassa. R R R f(x) dx Jos f(x) P (x), jossa P ja Q ovat polynomeja, niin funktiota f kutsutaan Q(x) rationaalifunktioksi. Seuraavaksi esitellään kuinka residylausetta käytetään laskemaan auchyn pääarvo rationaalifuntion f integraalista yli joukon (, ). Lause 8.. Olkoon f(z) P (z), jossa P on m-asteinen polynomifunktio ja Q(z) Q on n-asteinen polynomifunktio. Jos Q(x) kaikilla x R ja n m + 2, niin [ ] P (x) k P Q(x) dx 2πi Res Q, z j, missä pisteet z, z 2,..., z k, z k ovat rationaalifunktion P ne navat, jotka kuuluvat ylempään Q puoliympyrään. 27 j

Kuva : Funktion P Q navat z, z 2,..., z k, z k sijaitsevat ylemmässä puolitasossa. Todistus. [, s. 323-325]. Ylemmässä puolitasossa on äärellinen määrä funtion P napoja. Tämän perusteella voidaan löytää sellainen reaaliluku R, että Q kaikki navat jäävät tien sisäänsä rajaamalle alueelle. Tämä alue koostuu x-akselilla olevan janan R x R ja ylemmän R-säteisen puoliympyrän R kehän sisäänsä rajaamasta alueesta, kuten kuvassa havainnollistetaan. Integraalin ominaisuuksien perusteella R R P (x) Q(x) dx P (z) Q(z) dz R P (z) Q(z) dz. Kirjoittamalla yhtälö uudestaan residylauseen perusteella saadaan (8.7) R R [ ] P (x) k P Q(x) dx 2πi Res Q, z j j R P (z) Q(z) dz. Todistetaan vielä, että integraali P (z) R dz lähestyy nollaa, kun R. Q(z) Valitaan mielivaltaltainen ɛ >. Olkoon P (z) a m z m + a m z m + + a z + a ja Q(z) b n z n + b n z n + + b z + b. 28

Täten zp (z) Q(z) zm+ (a m + a m z + + a z m+ + a z m ), z n (b n + b n z + + b z n+ + b z n ) josta seuraa zp (z) lim z Q(z) z m+ (a m + a m z + + a z m+ + a z m ) lim z z n (b n + b n z + + b z n+ + b z n ) lim z z m+ z n lim z a m + a m z + + a z m+ + a z m b n + b n z + + b z n+ + b z n. Koska n m+2, niin tämä raja-arvo supistuu muotoon ( a m bn ). Valittua lukua ɛ > kohti on olemassa tarpeeksi iso säde R siten, että zp (z) Q(z) < ɛ π aina, kun z R. Tämä tarkoittaa, että (8.8) P (z) Q(z) < ɛ π z ɛ πr aina, kun z R. ML-lauseen 2. ja epäyhtälön (8.8) perusteella R P (z) Q(z) dz R ɛ πr dz ɛ πr ɛ. πr Koska ɛ > oli valittu mielivaltaisesti, voidaan päätellä, että (8.9) lim R R P (z) dz. Q(z) Nyt yhtälön (8.9) perusteella yhtälön (8.7) oikean puoleinen integraali lähestyy nollaa, kun R, joten lause on todistettu. Esimerkki 8.2. Osoitetaan, että x 2 + 7 (x 2 + )(x 2 + 9) dx 5π 6. Integrandilla f(z) z 2 + 7 (z 2 + )(z 2 + 9) 29

on navat pisteissä z i, z 2 i, z 3 3i ja z 4 3i, joista z ja z 3 kuuluvat ylempään puolitasoon. Lasketaan residyt näissä navoissa seuraavasti: ja Nyt Esimerkki 8.3. Lasketaan Res[f(z), i] (z i)(z 2 + 7) lim z i (z i)(z + i)(z 2 + 9) z 2 + 7 lim z i (z + i)(z 2 + 9) i 2 + 7 (i + i)(i 2 + 9) 3 8i Res[f(z), 3i] (z 3i)(z 2 + 7) lim z 3i (z 2 + )(z + 3i)(z 3i) z 2 + 7 lim z 3i (z 2 + )(z + 3i) (3i) 2 + 7 ((3i) 2 + )(3i + 3i) 24i. x 2 ( + 7 3 (x 2 + )(x 2 + 9) dx 2πi 8i + ) 2πi 24i 24i 5π 6. (x 2 + ) 3 dx. Integrandilla f(z) (z 2 + ) 3 on ylemmässä puolitasossa kertalukua kolme oleva napa pisteessä i. Lasketaan residy tässä pisteessä seuraavasti: Res[f(z), i] 2! lim d 2 z i dz 2 (z + i) 3 2! lim z i 2 2 (2i) 5 3i 6. 3 2 (z + i) 5

Tämän perusteella ( (x 2 + ) dx 2πi 3i ) 3π 3 6 8. 8.3 Epäoleelliset integraalit ja trigonometriset funktiot Tässä osiossa tutkitaan integraaleja, joita voi kohdata tutkittaessa Fouriermuunnoksia ja Fourier-integraaleja. Niissä P on m-asteinen ja Q on n-asteinen polynomi siten, että n m +. Nyt jos Q(x) kaikilla x R, niin P (x) Q(x) cos x dx ja P (x) sin x dx Q(x) ovat suppenevia epäoleellisia integraaleja. Seuraavaksi esitellään, kuinka näitä integraaleja arvioidaan. Erityisen tärkeää on muistaa, että cos(αx) Re [exp (iαx)] ja sin(αx) Im [exp (iαx)], missä α on positiivinen reaaliluku. Lemma 8. (Jordanin lemma). Olkoon P m-asteinen ja Q n-asteinen polynomi ja n m +. Jos R on ylempi puoliympyrä z Re iθ, kun θ π, niin exp(iz)p (z) lim dz. R Q(z) R Todistus. [, s. 33]. Koska n m +, niin P (z), kun z. Täten Q(z) kaikilla ɛ > on olemassa sellainen R ɛ >, että (8.) P (z) Q(z) < ɛ π aina, kun z R ɛ. Käyttämällä ML-lausetta 2. yhdessä edellisen epäyhtälön (8.) kanssa saadaan (8.) R exp (iz) P (z) Q(z) dz R ɛ π eiz dz, mikäli R R ɛ. Ylemmän puoliympyrä R parametrisoinnin perusteella saadaan (8.2) dz R dθ ja e iz e y e R sin θ. 3

Käyttämällä trigonometrista yhtälöä sin(π θ) sin θ ja yhtälöä (8.2) epäyhtälön (8.) oikea puoli saadaan muotoon (8.3) R Välillä θ π 2 (8.4) ɛ π eiz dz ɛ π e R sin θ R dθ 2ɛ π π voidaan käyttää epäyhtälöä 2θ π sin θ. π/2 e R sin θ R dθ. Yhdistämällä epäyhtälöt (8.4) ja (8.) yhtälön (8.3) kanssa saadaan exp (iz)p (z) dz 2ɛ π/2 e 2Rθ/π R dθ Q(z) π R ɛ π / 2 e 2Rθ/π ɛ ( e R ) < ɛ, kun R R ɛ. Koska ɛ > valittiin mielivaltaisesti, lemma on todistettu. Edellistä lemmaa tarvitaan seuraavan lauseen todistamiseen. Lause 8.2. Olkoon P m-asteinen ja Q n-asteinen reaalikertoiminen polynomi, jossa n m + ja Q(x) kaikilla x R. Jos α > ja (8.5) f(z) niin (8.6) (8.7) exp (iαz) P (z), Q(z) P (x) k Q(x) cos(αx) dx 2π Im(Res[f, z j ]) j P (x) k Q(x) sin(αx) dx 2π Re(Res[f, z j ]), jossa z, z 2,..., z k, z k ovat funktion f napoja, jotka kuuluvat ylempään puolitasoon. (Re(Res[f, z j ]) on residyn Res[f, z j ] reaaliosa ja Im(Res[f, z j ]) on residyn Res[f, z j ] imaginääriosa.) Todistus. [, s. 33]. Olkoon tie, joka koostuu x-akselista välillä R x R ja ylemmän puoliympyrän R kehästä, jonka parametrisointi on z R exp(iθ), kun θ π. Integraalin ominaisuuksien perusteella saadaan j ja R R exp(iαx)p (x) dx Q(x) exp(iαz)p (z) dz Q(z) R exp(iαz)p (z) dz. Q(z) 32

Jos R on tarpeeksi suuri, niin kaikki funktion f navat z, z 2,..., z k kuuluvat tien sisäänsä rajaamaan alueeseen. Tällöin voidaan käyttää residylausetta, jonka perusteella (8.8) R R exp(iαx)p (x) dx Q(x) k 2πi Res[f, z j ] j R exp(iαz)p (z) dz. Q(z) Koska α on positiivinen reaaliluku, muuttujanvaihdolla ζ αz nähdään, että exp(iαz)p (z) Jordanin lemma 8. pätee integrandiin. Näin ollen, kun otetaan Q(z) raja-arvo R yhtälössä (8.8) puolittain, saadaan [cos(αx) + i sin(αx)]p (x) dx Q(x) k 2πi Res[f, z j ] j k 2π Im(Res[f, z j ]) j k + 2πi Re(Res[f, z j ]). j Laskemalla edellisen yhtälön reaali- ja imaginääriosat saadaan yhtälöt (8.6) ja (8.7). Täten lause on todistettu. Esimerkki 8.4. Lasketaan cos 3x (x 2 + ) 2 dx. Integraali toteuttaa lauseen 8. ehdot, jossa α 3. Lasketaan ensin integraali e3iz. Integrandilla f(z) e3iz on kaksinkertaiset navat pisteissä z i ja z 2 i. Näistä navoista z i kuuluu ylempään puolitasoon. (z 2 +) 2 (z 2 +) 2 Lasketaan funktion f residy tässä pisteessä seuraavasti: Res[f(z), i] lim z i lim z i d dz d dz (z i) 2 e 3iz (z 2 + ) 2 e 3iz (z + i) 2 e 3iz (3iz 5) lim z i (z + i) 3 ie. 3 Nyt cos 3x dx Re (x 2 + ) 2 e 3iz [ Re 2πi ] 2π (z 2 + ) 2 ie 3 e. 3 33

Esimerkki 8.5. [3, s. 86].Lasketaan x sin mx x 2 + a 2 dx, kun m, a >. Tarkastellaan integraalia e miz z z 2 + a dz. 2 Tällä on yksinkertaiset navat z ±ia, joista piste z ia kuuluu ylempään puolitasoon. Lasketaan residy tässä pisteessä seuraavasti: Res[f(z), ia] lim z ia ma ia e 2ia 2 e ma. e imz z(z ia) (z + ia)(z ia) Nyt x sin mx dx Im e miz z x 2 + a2 z 2 + a dz 2 Im [2πi ] 2 e ma πe ma. Esimerkki 8.6. Lasketaan integraali Symmetrian perusteella x sin x x 2 + 9 dx. x sin x x 2 + 9 dx 2 Nyt m, joten tarkastellaan integraalia e iz z z 2 + 9 dz, x sin x x 2 + 9 dx. 34

jolla on navat pisteissä z 3i ja z 2 3i. Näistä piste z 3i kuuluu ylempään puoliympyrään, joten lasketaan residy tässä pisteessä seuraavasti: Nyt Res[f(z), 3i] e iz z(z 3i) lim z 3i (z + 3i)(z 3i) ze iz lim z 3i z + 3i e 3 2. e ix x x 2 + 9 dx e iz 2πi e 3 2 π e 3 i. z z 2 + 9 dz Ottamalla yhtälöstä imaginääriosat puolittain saadaan [ ] Im e ix x x 2 + 9 dx π Im e i 3 Lopuksi symmetrian perusteella integraali x sin x x 2 + 9 dx 2 π e 3. x sin x x 2 + 9 dx π 2e 3. Toinen tapa ratkaista tehtävä on käyttää esimerkkiä 8.5 hyväkseen. Tässä tapauksessa m ja a 3, joten Im e mix x x 2 + a dx Im e ix x 2 x 2 + 3 dx 2 Im [ iπe 3] Nyt symmetrian perusteella x sin x x 2 + 9 dx 2 π e 3. x sin x x 2 + 9 dx π 2e 3. 35

8.4 Määrätyt tieintegraalit Tarkastellaan tapausta, jossa f on jatkuva välillä b < x c ja epäjatkuva pisteessä b. Tällöin funktion f epäoleellinen integraali yli välin [b, c] määritellään c c f(x) dx lim f(x) dx r b + r b olettaen, että raja-arvo on olemassa. Vastaavasti, jos f on jatkuva välillä a x < b ja epäjatkuva pisteessä b, niin funktion f epäoleellinen integraali yli joukon [a, b] määritellään b a R f(x) dx lim f(x) dx R b a olettaen, että raja-arvo on olemassa. Esimerkiksi 4 dx 4 2 x lim dx r + 2 x lim r + r / 4 r x 2 lim r + r 2. Jos f on jatkuva kaikilla x [a, c] paitsi pisteessä x b, missä a < b < c, niin funktion f auchyn pääarvo yli joukon [a, c] määritellään c a f(x) dx lim b r r + a f(x) dx + c b+r f(x) dx olettaen, että raja-arvo on olemassa. Tässä osiossa esitellään, kuinka residylaskentaa käytetään arvioimaan funktion f integraalin auchyn pääarvo välin (, ) yli, kun integrandilla f on yksinkertaisia napoja x-akselilla. Seuraavaksi esitellään lemma, jonka avulla päästään todistamaan osioon kuuluvat lauseet. Lemma 8.2. Olkoon funktiolla f yksinkertainen napa x-akselilla pisteessä t. Jos r on tie r : z t + re iθ, kun θ π, niin lim r r f(z) dz iπ Res[f, t ]. Todistus. [, s. 336]. Funktion f Laurentin sarja pisteessä z t on muotoa (8.9) f(z) Res[f, t ] z t + g(z), 36

jossa g on analyyttinen pisteessä z t. Käyttämällä tien r parametrisointia ja yhtälöä (8.9) saadaan (8.2) r f(z) dz Res [f, t ] π ire iθ dθ re iθ iπ Res [f, t ] + ir π π + ir g (t + re iθ ) e iθ dθ g(t + re iθ ) e iθ dθ. Koska g on jatkuva pisteessä t, niin on olemassa sellainen M >, että g (t + re iθ ) M ja π lim ir g(t + re iθ ) e iθ (8.2) dθ r lim π r r M dθ lim r rπm. Epäyhtälön (8.2) perusteella yhtälö (8.2) saadaan haluttuun muotoon lim r joten lemma on todistettu. r f(z) dz iπ Res[f, t ], Seuraavaksi esitellään kaksi lausetta, ja ne todistetaan heti perään yhteisellä todistuksella. Lause 8.3. Olkoon f(z) P (z), jossa P on m-asteinen ja Q n-asteinen Q(z) reaalikertoiminen polynomi ja n m + 2. Jos polynomilla Q on x-akselilla yksinkertaisia nollia pisteissä t, t 2,..., t l, niin (8.22) P (x) dx Q(x) k l 2πi Res[f, z j ] + πi Res[f, t j ], j j jossa z, z 2...., z k ovat funktion f napoja, jotka kuuluvat ylempään puolitasoon. Lause 8.4. Olkoon P m-asteinen ja Q n-asteinen reaalikertoiminen polynomi ja n m +. Oletetaan myös, että polynomilla Q on x-akselilla yksinkertaisia nollia pisteissä t, t 2,..., t l. Jos α on positiivinen reaaliluku ja jos exp(iαz)p (z) f(z), Q(z) 37

niin (8.23) (8.24) P (x) k Q(x) cos αx dx 2π Im(Res[f, z j ]) π j l Im(Res[f, t j ]) j P (x) k Q(x) sin αx dx 2π Re(Res[f, z j ]) j l + π Re(Res[f, t j ]), j ja joissa z, z 2,..., z k ovat funktion f napoja, jotka kuuluvat ylempään puolitasoon. Kuva 2: Pisteet t, t 2,..., t l ovat funktion f napoja x-akselilla ja pisteet z, z 2,..., z k funktion f napoja puoliympyröiden, 2,..., l yläpuolella. Lauseiden (8.3) ja (8.4) todistus. [, s. 336-338]. Koska funktiolla f on äärellinen määrä napoja, voidaan valita tarpeeksi pieni r siten, että puoliympyrät j : z t j + re iθ, missä θ π ja j, 2,..., l, ovat erilliset ja että funktion f navat z, z 2,..., z k ylemmässä puolitasossa ovat puoliympyröiden yläpuolella. 38

Olkoon R niin suuri, että funktion f navat ylemmässä puolitasossa ovat puoliympyrän R : z Re iθ sisäpuolella, kun θ π, ja että funktion f x-akselilla olevat navat ovat välillä R x R. Olkoon positiivisesti suunnistettu yksinkertainen sulkeutuva tie, joka koostuu ylemmän puoliympyrän R kehästä, teistä, 2,..., l ja x-akselin osista, jotka jäävät puoliympyröiden väliin. Tätä hieman monimutkaista tilannetta havainnollistetaan kuvassa 2. Residylauseen perusteella f(z) dz 2πi k j Res[f, z j ]. Tämä voidaan kirjoittaa muotoon (8.25) I R k l f(x) dx 2πi Res[f, z j ] + j j j f(z) dz R f(z) dz, jossa I R on se osa x-akselia välillä R x R, joka jää välien (t j r, t j +r) väleihin, kun j, 2,..., l. Käyttämällä samaa tekniikkaa kuin lauseiden 8. ja 8.2 todistuksissa saadaan (8.26) lim R R f(z) dz. Kun R ja r yhtälössä (8.25) ja kun käytetään lemmaa 8.2 ja yhtälöä (8.26) saadaan k l (8.27) f(x)dx 2πi Res[f, z j ] + πi Res[f, t j ]. j j Jos funktio f on kuten lauseessa 8.3, niin yhtälön (8.27) perusteella lause 8.3 on todistettu. Jos taas funktio f on kuten lauseessa 8.4, niin laskemalla yhtälöstä (8.27) imaginääriosa saadaan yhtälö (8.23) ja laskemalla yhtälöstä (8.27) reaaliosa saadaan yhtälö (8.24). Näin myös lause 8.4 on todistettu. Esimerkki 8.7. Vrt. [, s. 334]. Lasketaan Integrandilla f(z) z z 3 8 x dx x 3 8. z (z 2)(z + + i 3)(z + i 3) on yksinkertaisia napoja pisteissä t 2, z + i 3 ja z 2 i 3. Näistä piste z 2 ei kuulu ylemmälle puolitasolle, joten lasketaan residyt 39

pisteissä t ja z seuraavasti: ja z Res[f(z), t ] lim (z t ) z t z 3 8 z(z t ) lim z t (z 2)(z + + i 3)(z + i 3) 2 lim z t (z + + i 3)(z + i 3) 6 z Res[f(z), z ] lim (z z ) z z z 3 8 lim z z z(z z ) (z 2)(z + + i 3)(z + i 3) + i 3 (i 3 3)(2i 3) i 3. 2 Residyjen avulla voidaan nyt laskea tehtävä loppuun Esimerkki 8.8. Lasketaan x dx x 3 8 2πi Res [f(z), z ] + πi Res [f(z), t ] 2πi i 3 2 π 3 6. + πi 6 dx x(x 2 4x + 5). Lausetta 8.3 voidaan myös käyttää tilanteessa, jossa m. Integrandi f(z) dx x(x 2 4x + 5) täyttää ehdon, jossa rationaalifunktion nimittäjän asteluku n m + 2. Integrandilla on reaalinen napa z ja kompleksiset navat z 2 + i ja 4

z 2 2 i. Jälkimmäisistä kahdesta z kuuluu ylempään puolitasoon. Lasketaan siis residyt pisteissä z ja z seuraavasti: R Res[f(z), z ] lim (z z ) z z z(z 2 4z + 5) lim z (z 2 4z + 5) ja 5 R Res[f(z), z ] z z lim (z z ) z(z 2 4z + 5) z z z z lim z(z z )(z z 2 ) z (z z 2 ) (2 + i)2i. Nyt dx x(x 2 4x + 5) Re[2πiR + πir ] 2π 5. 4

Viitteet [] Mathews, J., Howell, R. omplex Analysis for Mathematics and Engineering Fourth Edition Jones and Bartlett Publishers, Sudbury, 2. [2] Moore, T., Hadlock, E. omplex Analysis World Scientific Publishing o. Pte. Ltd., Singapore, 99. [3] Pohjolainen, S. Kompleksimuuttujan funktioita Kurssimateriaali, Sisäinen julkaisu, Tampereen teknillinen yliopisto, 2. [4] Zill, D., Shananan, P. A First ourse in omplex Analysis with Applications Jones and Bartlett Publishers, Sudbury, 23. 42