Kompleksitermiset jonot ja sarjat Aalto MS-C300, 205, v., Kari Eloranta Tutkitaan kompleksitermisten jonojen ja sarjojen ominaisuuksia. Päätavoite on kompleksifunktioiden sarjakehitelmien ymmärrys. Määritelmä Kompleksilukujono {z k } k=0 suppenee (konvergoi) kohti rajaa z jos jokaiselle ǫ > 0 on olemassa k 0 siten, että kaikille k k 0 pätee z k z < ǫ. Jono, joka ei suppene, hajaantuu (divergoi). Sarja k=0 z k suppenee/hajaantuu, jos osasummien S n = n k=0 z k jono suppenee/hajaantuu ylläolevassa mielessä. Jos sarja k=0 z k suppenee, sanotaan, että alkuperäinen sarja suppenee itseisesti (absoluuttisesti). Lause Jono suppenee joss sen reaali- ja imaginaariosat suppenevat. Määritelmä Piste z on jonon kasaantumispiste, jos jokaiselle ǫ > 0 pätee z k z < ǫ äärettömän monelle indeksin k arvolle.
Jonot ja sarjat 2 Lause (Bolzano-Weierstrass) Rajoitetulla äärettömällä jonolla on ainakin yksi kasaantumispiste. Lause (Cauchyn suppenemiskriteeri) Jono {z k } suppenee joss jokaiselle ǫ > 0 on olemassa N(ǫ) siten, että z n z m < ǫ kun min{n,m} > N. Lause Jos sarja 0 z k suppenee, niin välttämättä z k 0. Siten jos jono {z k } ei suppene nollaan, sarja väistamättä hajaantuu. Jos z k 0 niin siitä ei välttämättä seuraa sarjan 0 z k suppeneminen. Todistukset esim. Kreyszigissa.
Konvergenssikriteereja 3 Lause (Vertailutesti) Jos kompleksitermiselle sarjalle 0 z k löytyy reaaliterminen suppeneva sarja 0 r k ja pätee z k r k, k suppenee kompleksiterminen sarja absoluuttisesti. Esimerkki: Tarkastellaan kompleksista geometrista sarjaa k=0 zk. Jos q = z, eivät termit lähesty nollaa, joten sarja hajaantuu. Jos q <, niin kompleksisen sarjan suppenevuus palautuu reaalisen sarjan k=0 qk suppenevuuteen, joka on tunnettu. Jos määritellään S n = n k=0 zk, pätee S n+ = +zs n, joten summan raja-arvon S on toteutettava yhtälö S = +zs, josta edelleen S =. Siten ainakin avoimessa yksikköympyrässä pätee z sarjakehitelmä z = z k. k=0 Mieti, mitä summalle tapahtuu yksikköympyrällä, kun z on riittävän yksinkertainen, esimerkiksi yksikköjuuri.
Konvergenssikriteerejä 4 Lause (Suhdetesti) Jos jonon {z k } termit ovat nollasta eroavia ja pätee z k+ L, z k niin sarja 0 z k suppenee itseisesti, jos L < ja hajaantuu, jos L >. Jos L =, ei testi anna tulosta. Hieman yleisemmin, jos on olemassa q <, k 0 ja jokaiselle k k 0 pätee z k+ z k q, niin sarja suppenee itseisesti. Samoin jos asymptoottisesti pätee z k+ z k, niin sarja hajaantuu. Esimerkkejä:. Sarja (+i) k k=0 suppenee, sillä k! z k+ 2 z = k k + 0 eli L = 0 toimii suhdetestissa (tai mielivaltainen 0 < q < ).
Konvergenssikriteerejä 5 Jos yllä olevassa testissä L =, voi sarja olla joko suppeneva tai hajaantuva - asia on tutkittava muilla keinoin. Esimerkiksi harmoniselle sarjalle pätee S n ln(n +) eli sarja hajaantuu (reaalisella) integraalitestillä. k= 2. Samalla testilla muutkin reaaliset p-sarjat k p, p > (joille kaikille L = ) voidaan osoittaa suppeneviksi. Tästä seuraa välittömästi se hyödyllinen toisiasia, että sarja z k k p k= k, on suppeneva yksikköympyrässä (edellinen testi).
Konvergenssikriteerejä 5 Jos yllä olevassa testissä L =, voi sarja olla joko suppeneva tai hajaantuva - asia on tutkittava muilla keinoin. Esimerkiksi harmoniselle sarjalle pätee S n ln(n +) eli sarja hajaantuu (reaalisella) integraalitestillä. k= 2. Samalla testilla muutkin reaaliset p-sarjat k p, p > (joille kaikille L = ) voidaan osoittaa suppeneviksi. Tästä seuraa välittömästi se hyödyllinen toisiasia, että sarja z k k p k= k, on suppeneva yksikköympyrässä (edellinen testi). Lause (Juuritesti) Jos k z k L, niin sarja z k suppenee itseisesti, jos L < ja hajaantuu, jos L >.
Potenssisarjat 6 Lause (Abel) Jos potenssisarja k=0 c k(z a) k, z,a,c k C, k suppenee kun z = z 0, suppenee se itseisesti joukossa {z z a < z 0 a }. Jos sarja hajaantuu z 0 :ssa hajaantuu se kaikilla z a > z 0 a. Tod.: Koska sarja suppenee z 0 :ssä, pätee c k (z 0 a) k 0. Siten on olemassa M < siten että c k (z 0 a) k M, k. Niinpä ( ) c k (z a) k z a k = c k(z 0 a) k z 0 a M z a k z 0 a joten k=0 c k(z a) k M k=0 z a z 0 a k. Koska z a z 0 a <, suppenee sarja vertailutestin nojalla (geometriseen sarjaan). Jos sarja suppenisi jollain z siten, että z a > z 0 a, niin edellisen nojalla sarja suppenisi kaikilla z a < z a eli erityisesti z 0 :ssä, ristiriita. QED
Potenssisarjat 7 Määritelmä Jos potenssisarja 0 c k(z a) k suppenee, kun z a < R, mutta hajaantuu, kun z a > R, on R sarjan suppenevuussäde. Selvästi R 0. Jos R = 0, suppenee sarja vain pisteessä a, sarjan kehityskeskipisteessä. Lause (Cauchy-Hadamardin kaava) Jos { n c n } 0 suppenee rajaan L, pätee R = /L. Jos L =, suppenee sarja vain sarjan kehityskeskipisteessä. Tod., idea: Jos n c n L 0, pätee n cn (z a) n = z a n c n z a L. Siten juuritestin nojalla sarja suppenee kun z a L < ja hajaantuu kun z a L >, joista väite seuraa. (Kriteeria voidaan hieman terävöittää, katso esim. Kreyszig.)
Potenssisarjat 8 Toisaalta voidaan huomata, että Suhdetestissä z n+ z n = c n+ (z a) n+ c n (z a) n = c n+ c n z a L z a. Siten L (s) = L z a, josta voidaan päätellä toinen tapa laskea suppenemisympyrän säde: R = L = lim c n. n c n+ Summa summarum, potenssisarjalle n=0 c n(z a) n pätee: Jos 0 < R <, niin sarja suppenee itseisesti, kun z a < R ja hajaantuu, kun z a > R. Jos R =, niin sarja suppenee itseisesti koko C:ssä ja jos R = 0, niin sarja suppenee vain kehityskeskipisteessä a.
Potenssisarjat 9 Uusien potenssisarjojen muodostamiseksi jo tunnetuista, on hyödyllistä tietää, että konvergoivat potenssisarjat voidaan summata termeittäin yhteen (helppo todistus osasummia tarkastelemalla). Jos määritellään sarjojen k=0 a kz k ja m=0 b mz m Cauchy-tulo ( n ) a k b n k z n voidaan todistaa n=0 k=0 Lause Kahden potenssisarjan Cauchy-tulo suppenee itseisesti molempien sarjojen suppenevuusympyröiden leikkauksessa. Jos sarjojen summia merkitään g(z) ja h(z), on Cauchy-tulo funktio g(z)h(z).
Potenssisarjat 0 Esimerkki: Tiedetään, että yksikköympyrässä pätee z = k=0 zk. Jos sarja kerrotaan itsellään, on Cauchy-tulon konvoluutiokertoimet helppo laskea: n k=0 = n +, joten ( ) 2 = z (n +)z n = +2z +3z 2 +4z 3 + n=0 joka siis suppenee niinikään yksikköympyrässä. ( ) Huomaa, että yllä vasen puoli on d ja toisaalta oikea puoli on alkuperäinen dz z sarja termeittäin derivoituna. Yleisemmin, jos tarkastellaan sarjoja n=0 cnzn ja n=0 (n +)cnzn, Juuritesti sovellettuna jälkimmäiseen antaa n (n +)cn = n n + n c n. Koska n (n +), nähdään, että molemmille sarjoille kriteeri antaa saman rajan L, ergo saman suppenemissäteen R = L. Integroidun sarjan kertoimet ovat muotoa cn ja sama argumentti toimii. Siten on n osoitettu ensimmäinen puolisko seuraavasta Lause Termeittäin derivoidun tai integroidun sarjan suppenemissäde on sama kuin alkuperäisen. Potenssisarja, jolla on positiivinen suppenemissäde, on analyyttinen funktio suppenemisympyrässä.
Taylorin ja Maclaurinin sarjat Edellisen lauseen todistus ei ole kovinkaan vaikea (esim. Kr.). Kiinnostavampaa on se, että se itse asiassa täydentyy: jokaisella analyyttisella funktiolla on suppeneva potenssisarja. Osoittautuu, että reaalinen teoria yleistyy ja saadaan Lause (Taylorin lause) Olkoon f analyyttinen alueessa D. Jos a D, on olemassa yksikäsitteinen potenssisarja kehityskeskuksena a: f(z) = n=0 b n (z a) n, jossa b n = f (n) (a), n = 0,,2,... n! Sarja suppenee D:n suurimmassa a-keskisessä ympyrässä. Edelleen pätee b n M r n, jossa M = max {z z a =r} f(z). Todistus edellyttää kompleksi-integrointia ja siihen palataan. Jos a = 0, on kyseessä f:n Maclaurinin sarja.
Potenssisarjat 2 Analyyttiselle funktiolle on siis aina olemassa suppeneva potenssisarja. Reaalifunktiolla, vaikka se olisi äärettömän monta kertaa derivoituva, ei välttämättä ole ole olemassa suppenevaa sarjakehitelmää. Piste, jossa analyyttinen funktio lakkaa olemasta analyyttinen on erikois- eli singulaaripiste. Yleinen periaate on, että suppenemisympyrä ulottuu kehityskeskipisteestä a lähimpään erikoispisteeseen s saakka. Kuitenkin jos kehityskeskipistettä muutetaan (kuvassa a b), voidaan funktion uusi kehitelmä usein saada suppenemaan alkuperäisen ympyrän ulkopuolella. Tätä menettelyä kutsutaan analyyttiseksi jatkamiseksi. s a b
Potenssisarjat 3 Esimerkkejä:. Geometrinen sarja n=0 zn, z < suppenee funktioon z, jonka Maclaurinin sarja se siis yksikäsitteisyyden nojalla on. Funktiolla on singulariteetti arvolla z =, joten suppenemisympyrän on rajoituttava siihen. ( 2. Eksponenttifunktio on itsensä derivaatta, joten d n dz n e )(0) z =, n = 0,,2,... ja koko kompleksitasossa suppeneneva Maclaurinin sarja saadaan helposti: e z = n=0 z n n!. Huomataan erityisesti, että puhtaasti imaginaariselle argumentille saadaan summan reaali- ja imaginaariosat erotellen ( ) e iy = ( ) k y2k (2k)! +i ( ) k y 2k+ (2k +)!. k=0 k=0 Toisaalta ( d 2k+ sinz dz2k+ ) (0) = ( ) k, ja ( d 2k ) cosz (0) = ( ) k,k = 0,,2,..., dz2k muuten evaluaatiot nollia, joten nähdään, että ( ) on Eulerin kaava: e iy = cosy +i siny.
Potenssisarjat 4 3. Koska d dz ln( z) = ja koska geometrinen sarja voidaan integroida, saadaan z ) ln( z) = (z + z2 2 + z3 3 +..., z <. Jos sijoitetaan z z, saadaan tästä zn n= ( )n, funktion ln(+z) n Maclaurinin sarja. Edelleen, sijoittamalla z + z päädytään esitykseen lnz = ( ) n (z )n n n=, joka on logaritmin Taylorin sarja kehityskeskipisteenä a = ja suppenemissäteenä. 4. Tunnettua sarjakehitelmää voidaan hyödyntää monin tavoin. Jos tiedetään, että d dz arctanz = +z 2 (funktion ja käänteisfunktion derivaattojen esitykset ovat d reaalitapauksesta tutussa suhteessa: dz (f )(z) = f (f ), saadaan sijoittamalla (z)) geometriseen sarjaan z z 2 ja integroimalla: arctanz = ( ) n z2n+, z <. 2n + n=0 Arctan on moniarvoinen funktio, tässä sen päähaaran esitys.
Potenssisarjat 5 /(-z 5 ) Arg(/(-z 5 )) z 4.5 4 3.5 3 2.5 2.5 - -0.8-0.6-0.4-0.2 0 0.2 0.4 0.60.8 0.5-0.2 y 0 0.2 x 0.4 0.6 0.8 - -0.8-0.6-0.4 z 0.8 0.6 0.4 0.2 0-0.2-0.4-0.6-0.8 - -0.8-0.6-0.4-0.2 0 0.2 0.4 0.60.8 - -0.2 y 0 0.2 x 0.4 0.6 0.8 - -0.8-0.6-0.4 ( ) z ja Arg 5 z 5 kiekossa z 0.95. Yksinkertaiset navat viidensissä yksikköjuurissa.
Laurent-sarjat 6 Funktio voidaan kehittää sarjaksi useilla eri tavoin. Esimerkiksi z 3 = z 3 z = z (+ joka suppenee kun 3 z < eli z > 3. ) 3z 32 + z 2 + = z + 3 z 2 + 9 z 3 +, Jotta voidaan käsitellä funktioita, joilla on erilaisia singulariteettejä kompleksitasossa, yleistetään sarjakehitelmät seuraavasti Määritelmä (Laurent-sarja) Jos funktiolle on olemassa jossain alueessa suppeneva sarja f(z) = n= c n (z a) n, c n C, sanotaan sen olevan f:n Laurent-sarja kehityskeskipisteenä a.
Laurent-sarjat 7 Sarjan suppenemiseen vaikuttaa kaksi tekijää: (i) ei-negatiivisten potenssien summautuminen jossain kiekossa z a < R 2 ja toisaalta (ii) z a :n potenssien muodostaman vasemman hännän suppeneminen, kun z a < R. Jos R < R 2, saadaan Laurent-sarjan suppenemisalueeksi rengas (annulus). R R2 Esimerkkejä:. Funktion f(z) = z 2 Laurent-kehitelmä origossa löytyy (z+) geometrisen sarjan avulla: f(z) = z 2 [ ( z)] = z 2 ( z +z 2 z 3 + ) = z 2 z + z +z2 joka suppenee punkteeratussa kiekossa {z 0 < z < }. Jos valitaan a =,
Laurent-sarjat 8 voidaan kehittää seuraavasti: f(z) = z + [ (z +)] 2 = ( +2(z +)+3(z +) 2 + ) z + = z + +2+3(z +)+4(z +)2 + Tämä suppenee punkteeratussa kiekossa {z 0 < z + < }. 2. Tarkastellaan funktiota g(z) = e /z. Kaikkialla tasossa suppenevasta e z :n Maclaurinin kehitelmästä saadaan esitys g(z) = + z + 2!z 2 + 3!z 3 +, joka on siis g:n punkteeratussa tasossa {z z 0} suppeneva Laurent-sarja. 3. Jos on annettuna esimerkiksi h(z) = z 3 e /z, saattaa olla mielenkiintoa kehittää myös pisteen z = suhteen. Asetetaan w = z, silloin kehityskeskuksena w 0 = 0: h(z) = h( ( ) )(+w w ) = w 3 + w2 2! + w3 3! + = w 3+ w 2+ 2!w + 3! +w 4! +, joka suppenee punkteeratussa tasossa {w w 0}.
Erikoispisteet 9 Määritelmä Olkoon funktiolle f:lla suppeneva Laurent-kehitelmä f(z) = c n (z a) n + + c z a + c k (z a) k, c n 0. k=0 Jos n = 0, on f analyyttinen suppenemisalueessa. Jos n > 0, on sillä n:nen asteen napa a:ssa. Jos n =, on kyseessä yksinkertainen napa. Jos n = on kyseessä oleellinen singulariteetti. Esimerkkeja:. Polynomeilla, kuten ei millään muullakaan kokonaisella funktiolla ole erikoispisteitä. Polynomien osamäärät eli rationaalifunktiot, ovat analyyttisia muualla, paitsi nimittäjän nollakohdissa. Jos R(z) = P(z) Q(z) = d (z z 0)(z z ) (z z k ) (z z )(z z 2 ) (z z m), on funktiolla navat pisteissä { z i } m ja näiden kertaluvut määräävät navan asteen.
Erikoispisteet 20 Rationaalifunktiot ovat esimerkkeja meromorfisista funktioista. Muita sellaisia ovat esimerkiksi ei-kokonaiset trigonometriset funktiot kuten tan z, joilla on yksinkertainen napa jokaisessa pisteessä π +ikπ eli cosz nollakohdissa. 2 2. Edellä olevan Esimerkin 2. jatkoa... funktion g(z) = e /z Laurent-sarjaesityksen perusteella funktiolla z k e /z on origossa napa jokaisella k =,2,3... Siten g:lla on äärettömän kertaluvun napa origossa eli oleellinen singulariteetti. Funktio e /z käyttäytyy origon läheisyydessa hyvin villisti. Yhtälön e /z = a 0 ratkaisujoukko on { } z k = Ln(a)+i2kπ, k Z z k Siten kun k nähdään, että z k 0 eli origon jokaisessa ympäristössä on ääretön määrä yhtälön ratkaisuja. Tämä on itse asiassa tyypillinen tilanne: Lause (Picard) Oleellisen singulariteetin ympäristössä funktio saa kaikki kompleksilukuarvot mahdollisesti yhtä lukuunottamatta äärettömän monta kertaa. Huomaa, että Esimerkin 2 kohdalla tiedämme myös poikkeusarvon: 0.
Erikoispisteet ja residyt 2 Jatkossa erityisen oleelliseksi osoittautuu Laurent-kehitelmän kerroin c. Sitä kutsutaan kehitelmän residyksi pisteessä a. Jos funktiolla f on vain ensimmäisen kertaluvun (yksinkertainen) napa, pätee f(z) = c z a +c 0 +c (z a)+c 2 (z a) 2 +..., joten residy voidaan laskea kaavalla Res z=a f(z) = c = lim z a (z a)f(z). Huomataan myös, että jos tunnetaan esitys f(z) = g(z) h(z), g ja h analyyttisia a:n ympäristössä, g(a) 0, pätee Taylor-kehittämällä h(z) = h (a)(z a)+ h (a) 2 (z a)2 +...
Erikoispisteet ja residyt 22 Siten residylle yksinkertaisessa navassa pätee myös usein käyttökelpoinen esitys: Res z=a f(z) = lim z a g(z) h (z), Yleinen laskukaava residylle korkeampiasteisessa navassa: Lause Jos funktiolla f on m:nnen asteen napa pisteessä a, ratkaistaan residy eli kerroin c kaavasta { } d m Res z=a f(z) = (m )! lim z a dz m [(z a)m f(z)].
Erikoispisteet ja residyt 23 Esimerkkejä:. Funktio sinz on origossa määrittelemätön 0, mutta koska z 0 sinz z = z ) (z z3 3! + z5 5! = = z2 3! + z4 5! +, voidaan erikoispisteessä z = 0 määritellä funktion arvoksi ja siitä tulee silloin analyyttinen myös origossa. Tällöin sanotaan, että origo on poistuva erikoispiste. z 2. Rationaalifunktiolla 2 2z (z+) 2 (z 2 on yksinkertaiset navat pisteissä ±2i ja +4) kaksinkertainen napa pisteessä. Edellisissä residyt ovat z 2 2z lim (z (±2i)) z ±2i (z +) 2 (z 2 +4) = 4 (±4i) (±2i +) 2 (±4i) = 25 (7+(±i)) ja kolmannessa { d lim (z +) 2 z 2 } 2z (z 2 +4)(2z 2) (z 2 2z)(2z)! z dz (z +) 2 (z 2 = lim +4) z (z 2 +4) = 4 25.
Nollakohdat 24 Koska usein on annetun funktion erikoispisteiden ymmärtämisen kannalta oleellista ymmärtää jonkun muun funktion nollakohdat, esitetään lopuksi eräänlainen summaus aiheesta. Olkoon Z(f) = {a C a D,f(a) = 0} alueessa D määritellyn kompleksifunktion f nollakohtien joukko. Lause Jos f on analyyttinen alueessa D, niin pätee sille täsmalleen yksi seuraavista: Z(f) = 2 Z(f) = D 3 Z(f) = {a,a 2,...,a n } 4 Z(f) = {a j } j= a j D. ( D siis tarkoittaa joukon D reunaa)