Luento 10 Potentiaali jatkuu, voiman konservatiivisuus, dynamiikan ja energiaperiaatteen käyttö, reaalinen jousi
Tällä luennolla tavoitteena: Gravitaatio jatkuu Konservatiivinen voima Mitä eroa on energia- ja dynamiikkatarkasteluissa? Jousivoima, reaalinen jousi
Kertausta YHDEN HIUKKASEN TAPAUS: voiman tekemä työ W = ԦF d Ԧr Epärelativ. Relativ. Työ W = ( 1 2 mv2 ) W = (γmc 2 ) Energia E = mc 2 + K E = γmc 2 = mc 2 + K E = mc 2 + 1 2 mv2 Klassisesti hiukkasen energia koostuu kineettisestä energiasta. Hiukkasenergia koostuu lisäksi hiukkasen lepoenergiasta, mutta klassisessa tarkastelussa tämä on syytä unohtaa (pysyy vakiona)!
Kertausta Yhdelle hiukkaselle silloin kun hiukkasen massa ei muutu, voiman tekemä työ muuttaa hiukkasen kineettistä energiaa W = E = K
Kertausta MONEN HIUKKASEN TAPAUS systeemin sisäiset vuorovaikutukset (=hiukkasten väliset vv:t) + hiukkasilla vuorovaikutuksia systeemin ulkopuolisten olioiden kanssa Hiukkasten siirtyessä tehty työ: W = W sis + W ulk = E E W sis = W ulk Työn suunta (missä on helppo sotkea): positiivinen = liike voiman suuntaan. Potentiaalienergia: du = Fdr
Planeetta kiertää tähteä elliptisellä radalla, systeemi: planeetta. Planeetan liikemäärä Planeettaan kohdistuva voima Planeetan nopeus Planeetan paikkavektori
Pohditaan numeriikkaa: ohjelma laskee elliptisellä radalla kiertävän komeetan paikan, potentiaalienergian ja liike-energian. Mitä suureen K+U tarkasteleminen voi paljastaa? 1. Jos K+U vaihtelee, aika-askel on liian iso. 2. Jos K+U vaihtelee, nopeuden alkuarvo on väärin. 3. Jos K+U vaihtelee, komeetan massa on väärin.
Gravitaatiovoiman potentiaali U = න Fdr = න GmM r 2 U = GmM r Merkistä: negatiivinen potentiaali tarkoittaa, että vuorovaikutus on attraktiivinen! Kun r, U 0. Integrointivakio on siis 0. dr
Mikä seuraavista (r,u) kuvaajista kuvaa gravitatiopotentiaalia? Matter & Interactions 4e
Mites sitten U = mgh? U = GmM r U = GmM r + r ( GmM r ) U = GmM r 1 + r r + GmM r = GmM r (1 (1 + r r ) 1 ) Jos r r, (1 + r r ) 1 1 r r
mgh jatkuu U GmM r 1 1 + r r U GmM r 2 r Nyt GM = g ja r = h, joten r 2 U mgh
Potentiaali Voidaan tarkastella myös potentiaalienergian muutoksia Tietyissä tilanteissa kannattaa asettaa eri nollataso! U = GmM, nollataso äärettömyydessä (fysikaalisesti oikein) r U mgh, nollataso yleensä Maan pinnalla (tai sillä tasolla, minkä suhteen lasketaan) laskuissa helppoa ja järkevää, ja laskentatarkkuuden rajoissa oikein Kummassakin tapauksessa potentiaali kasvaa ylöspäin mennessä
Sovellus: pakonopeus Maan massa on M ja raketin m. Millä nopeudella raketin pitää lähteä, että se pääsee pois Maan painovoimakentästä? Vastaus: K 1 + U 1 = K 2 + U 2 : rajatapauksessa v 2 0 kun r 2, jolloin K 2 + U 2 = 0, ratkaistaan v 1 kun tunnetaan planeetan säde r 1.
Laskuesimerkki Maailman huiput juoksevat 100 m aikaan 9,6 s. Kuinka korkealle seiväshyppääjä voi hypätä? Vastaus: K 1 + U 1 = K 2 + U 2, rajatapaus kun K 2 = 0.
Systeemin valinnasta Pallon tippuminen, TAPA 1 Pallo pudotetaan levosta korkeudelta h. Määritä kineettinen energia, kun pallo osuu maahan. SYSTEEMI: pallo (~pistemäinen kappale) HUOM: U = 0 YMPÄRISTÖ: Maa ԦF G = 0, mg d Ԧr = dx, dy E mek = K = W ulk K = h 0 mgdy 1 2 mv2 0 = 0 + mgh y x ԦF G maa
Systeemin valinnasta Pallon tippuminen, TAPA 2 Pallo pudotetaan levosta korkeudelta h. Määritä kineettinen energia, kun pallo osuu maahan. SYSTEEMI: pallo + Maa YMPÄRISTÖ: ei mitään ԦF G = 0, mg ja ԦF G = 0, mg U y = mgy E mek = (mc 2 + Mc 2 + K maa + K pallo + U) E mek = K maa + K pallo + U = W ulk = 0 K maa + K pallo + U = 0 K maa 0 K pallo = U 1 2 mv2 0 = 0 + mgh y x maa ԦF G ԦF G
Putoava kappale ja gravitaation tekemä työ Systeemi: Maa ja jokin kappale Oletus: Maa ei liiku (suuren massan takia) -> ainoa sisäistä työtä tekevä voima on kappaleen paino y y 0 W = mgy 0 mgy 1 y 1 x
Putoava kappale ja gravitaation tekemä työ Valitaanpas toinen reitti: y 1 y 0 4 3 y 1 2 y a W 1 = 0 W 2 = mgy 0 mgy a W 3 = 0 W 4 = mgy a mgy 1 x W tot = W 1 + W 2 + W 3 + W 4 = mgy 0 mgy 1 Johtopäätös: Työ ei nyt riipu reitistä vaan vain alku- ja loppupisteistä!!
Mekaaninen energia, konservatiivinen voima ja energiaperiaate Systeemin suuretta K + U (tai mc 2 + K + U) kutsutaan mekaaniseksi energiaksi Voimat, joilla W riippuu vain alku- ja loppupisteistä, ovat konservatiivisia Niille on olemassa integraali ԦF d Ԧr, ja potentiaalienergia voidaan laskea U = Ԧr1 Ԧr 2 ԦF d Ԧr = ԦF d Ԧr + U(Ԧr 0 )
Konservatiivinen vuorovaikutus Konservatiivisille vuorovaikutuksille voiman tekemä työ on riippumaton kuljetusta reitistä eli työ riippuu vain alku- ja loppupisteistä Tällöin: W sis = a b ԦF d Ԧr = U b U a = U eli: E W sis = W ulk E + U = W ulk Jos systeemi on eristetty, eli ulkoisia vuorovaikutuksia ei esiinny: E + U = 0, missä: (ei huom. lepoen.) Relativistinen E = K = 1 2 mv2 E = γmc 2 = mc 2 + K
Konservatiivisessa systeemissä Jos ulkoisia vuorovaikutuksia EI ole: mc 2 + K + U = 0 Systeemi W < 0 K F sis U W > 0
Kysymys Heiluri lähetetään korkeudelta h A radan alimpaan pisteeseen nähden (0). Heilurin lanka osuu esteeseen ja punnus heilahtaa siksi korkeudelle h B. Tällöin pätee A) h A > h B B) h A = h B C) h A < h B D) Ei voi tietää h A h B Huom! v 2 0, ympyrärata
Dynamiikka vs. energiatarkastelu Dynamiikka m Ԧa = ԦF(Ԧr) m d2 Ԧr dt 2 = ԦF(Ԧr) Energiatarkastelu U Ԧr = ԦF(Ԧr) d Ԧr E mek = K + U = 1 2 mv2 + U(Ԧr) Ԧr(t) v Ԧr = 2 m (E mek U Ԧr ) Yleensä ratkaistavana differentiaaliyhtälö; Tuloksena paikkavektori ajan funktiona Reitti tunnettava; Tuloksena nopeus paikan funktiona
Kilpailu: minä lasken taululla dynamiikalla, te energiaperiaatteella [1] Muuri (kts. kuva) on yli 700 jalkaa (210 m) korkea[2]. Tormund tiputtaa muurilta järkäleen, jonka massa on m. Mikä on järkäleen nopeus maan pinnalla? [1] http://gameofthrones.wikia.com/wiki/beyond_the_wall [2] Martin, George R.R.: A Game of Thrones, Random House, USA, 1997 Westerosissa y- suuntainen kiihtyvyys on g ja muurin korkeus h.
[1] Muuri (kts. kuva) on yli 700 jalkaa (210 m) korkea[2]. Tormund tiputtaa muurilta järkäleen, jonka massa on m. Kauanko järkäleella kestää pudota? [1] http://gameofthrones.wikia.com/wiki/beyond_the_wall [2] Martin, George R.R.: A Game of Thrones, Random House, USA, 1997 Westerosissa y- suuntainen kiihtyvyys on g ja muurin korkeus h.
Mikä seuraavista toteuttaa vaatimuksen F x = -du s / dx = -k s x jossa x on poikkeutus tasapainoasemasta (C on vakio)? 1. 2. 3. 4. 5. U s = -k s +C U s = k s +C U s = k s x 2 +C U = - 1 k sx 2 +C s 2 U = 1 k sx 2 +C s 2
Jousi: reaalinen jousivoima Yllä todettiin, että U jousi = k 2 x2 + C Tämä ei nyt ole ihan ongelmaton oikeassa elämässä Kun x, U Toisaalta kun U < 0, systeemi on sidottu Potentiaalin saa negatiiviseksi integrointivakiolla, mutta edelleen potentiaali kasvaa äärettömyyteen Usein asetetaan potentiaalin nollatasoksi x 0. Helpottaa laskemista, ja on ok jos ollaan kiinnostuttu vain muutoksista.
Oikea jousi Oikea jousi ei voi puristua rajatta kasaan, eikä venyä rajatta Harmoninen potentiaali pätee vain rajatulla alueella Spiraalijouselle se alue, jossa kierteet eivät koske toisiaan tai ole täysin oienneet
Esimerkki: sähköinen potentiaali F el = 1 q 1 q 2 4πε 0 r 2 U el = 1 q 1 q 2 4πε 0 r q 1 q 2 > 0 q 1 q 2 < 0
y-akseli: energia; x-akseli: etäisyys Mikä graafi osoittaa parhaiten elektronin ja protonin välisen potentiaalienergian? 5: ei mikään näistä Matter & Interactions 4e
y-akseli: energia; x-akseli: etäisyys Mikä graafi näyttää oikein suureet K, U, ja K+U kahdelle elektronille? 5: ei mikään näistä Matter & Interactions 4e
Kahden hiukkasen systeemin potentiaalienergia Kahden hiukkasen, esim. protonin ja elektronin, välinen vuorovaikutus on häviävän pieni kun hiukkaset ovat äärettömän kaukana toisistaan. Hiukkasten lähestyessä toisiaan, vuorovaikutus on attraktiivinen (ainakin esimerkkitapauksessa) ja kääntyy repulsioksi hyvin pienillä etäisyyksillä. Tällaisen systeemin potentiaalienergia näyttäisi siis seuraavalta: U r
Kahden hiukkasen systeemin potentiaalienergia U E U K r
Kysymys Kuinka suuri systeemin mekaaninen energia täytyy vähintään olla, jotta hiukkaset pääsisivät äärettömän kauaksi toisistaan? U(r) A B C r D
Sidottu ja ei-sidottu kahden hiukkasen systeemi U SIDOTTU: E = U+K < 0 U EI-SIDOTTU: E = U+K > 0 E E U K r U K r -> Liikkeen rajat!!
Milloin voidaan approksimoida harmonisella potentiaalilla?
Ensi viikolla Vaimentavat voimat, energian dissipaatio Energian kvantittuminen Kvantti-harmoninen värähtelijä