Rademacherin lause. Anssi Niitti. Matematiikan Pro Gradu -tutkielma

Rademacherin lause Anssi Niitti Matematiikan Pro Gradu -tutkielma Jyväskylän yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Kevät 2008

Sisältö 1. Johdanto 2 2. Esitietoja. Hausdorff-mitat ja dimensiot 7.1. Carathéodoryn konstruktio 7.2. Hausdorff-mitat 9.. Hausdorff-dimensio 17 4. Rademacherin lause 19 5. Stepanovin lause 27 Viitteet 28 1

1. Johdanto Tässä tutkielmassa esitellään saksalaisen matemaatikon Hans Adolph Rademacherin (1892-1969) nimeä kantava lause. Lauseen mukaan Lipschitz-kuvaukset R m R n ovat Lebesguen mitan mielessä melkein kaikkialla differentioituvia. Lause on Lipschitz-analyysin perustuloksia. Ennen päätulosta esitellään Hausdorff-mitat ja joitakin niiden perusominaisuuksia. Hausdorff-mitat eroavat Lebesgue-mitoista siinä, että niiden dimensio ei ole sidottu avaruuden dimensioon, eikä se välttämättä ole kokonaisluku. Lisäksi ne voidaan määritellä muuallakin kuin euklidisissa avaruuksissa. Esimerkkinä lasketaan Cantorin 1 -joukon dimensiota vastaava Hausdorff-mitta. Lopuksi esitellään joitakin Lipschitz-kuvausten ja Hausdorff-mittojen ominaisuuksia sekä Rademacherin lausetta hieman yleistävä Stepanovin lause. 2

2. Esitietoja Tässä luvussa esitellään luettelonomaisesti joitakin jatkossa tarvittavia määritelmiä ja lauseita. Määritelmä 2.1. Olkoon X metrinen avaruus. Kuvaus µ : P(X) [0, ] on ulkomitta (joskus lyhyemmin vain mitta), jos se toteuttaa seuraavat ehdot: (1) µ( ) = 0 (2) µ on monotoninen: A B µ(a) µ(b) kaikilla A, B X () µ on subadditiivinen: µ( A i ) µ(a i ) kaikilla A i X, i = 1, 2,.... Määritelmä 2.2. Olkoon µ ulkomitta. Joukko A X on µ-mitallinen, jos kaikilla E X pätee µ(e) = µ(e A) + µ(e \ A). Seuraavia mitallisten joukkojen perusominaisuuksia tullaan jatkossa käyttämään usein erikseen mainitsematta. Todistuksia ei esitetä tässä (ks. [2, s.128-11]). Lause 2.. Olkoon µ : X [0, ] ulkomitta ja olkoon M kaikkien µ-mitallisten joukkojen A X perhe. (1) Mitan µ : X [0, ] suhteen mitallisten joukkojen kokoelma M on σ-algebra, ts. (a) M ja X M (b) jos A M, niin X \ A M (c) jos A 1, A 2, A,... M, niin A i M (2) Jos µ(a) = 0, niin A M () Jos A 1, A 2, A,... M ovat erillisiä, niin µ( A i ) = µ(a i ). (4) Jos A 1, A 2, A,... M ja A 1 A 2 A..., niin µ( A i ) = lim µ(a i ). i (5) Jos A 1, A 2, A,... M, A 1 A 2 A... ja µ(a 1 ) <, niin µ( A i ) = lim µ(a i ). i Määritelmä 2.4. Ulkomitta µ : P(X) [0, ] on Borel-mitta, jos kaikki X:n Borel-joukot ovat µ-mitallisia. Borel-mitta µ : P(X) [0, ] on Borel-säännöllinen, jos jokaiselle joukolle A X on olemassa Borel-joukko B siten, että A B ja µ(a) = µ(b).

Edelleen, Borel-mitta µ on Radon-mitta, jos (1) µ(k) < kaikilla kompakteilla joukoilla K X (2) µ(a) = sup{µ(k) : K on kompakti ja K A} avoimilla A X () µ(a) = inf{µ(u) : U on avoin ja A U} kaikilla A X Metrisen avaruuden X ulkomitta µ : P(X) [0, ] on metrinen ulkomitta, jos kaikilla A, B X, joille d(a, B) > 0, pätee µ(a B) = µ(a) + µ(b). Todistetaan esimerkkinä seuraava tulos. Myös käänteinen tulos pätee: metrisen avaruuden Borel-mitat ovat metrisiä mittoja. Lause 2.5. Olkoon X metrinen avaruus ja olkoon µ metrinen ulkomitta avaruudessa X. Tällöin µ on Borel-mitta. Todistus. Osoitetaan ensin, että ehdoista A 1 A 2 A..., A = A i ja d(a i, A \ A i+1 ) > 0 kaikilla i seuraa lim µ(a i ) = µ(a). Voidaan olettaa, että lim µ(a i ) < ; olkoon M > 0 i i sellainen, että µ(a i ) M kaikilla i. Merkitään B i = A i \ A i 1, i = 2,, 4,..., jolloin d(b i, B j ) > 0 aina kun i j 2. Koska µ on metrinen ulkomitta, saadaan kaikilla m = 1, 2,,... m m µ(b 2i ) = µ( B 2i ) µ(a 2m ) M, ja vastaavasti Tästä seuraa, että m µ(b 2i+1 ) M. lim m i=m Koska subadditiivisuuden nojalla saadaan µ(b i ) = 0. µ(a) µ(a m i=m B i ) µ(a m ) + µ( i=m B i ) µ(a m ) + µ(b i ), i=m lim i µ(a i) µ(a). 4

Epäyhtälö lim µ(a i) µ(a). i seuraa suoraan monotonisuudesta. Todistetaan nyt edellisen havainnon avulla, että suljetut joukot F X ovat µ- mitallisia. Mitan µ Borel-ominaisuus seuraa tästä. Olkoon E X ja olkoon F X suljettu. Asetetaan kaikilla i = 1, 2,,... A i = {x E \ F : d(x, F ) 1/i}. Koska µ on metrinen ja d(a i, E F ) 1/i, pätee kaikilla i µ(a i ) + µ(e F ) = µ(a i (E F )) µ(e). Koska F on suljettu, on A i = E \ F. Nyt A 1 A 2 A... ja d(a i, (E \ F ) \ A i+1 ) > 0 kaikilla i, joten Siten ja lause on todistettu. µ(e \ F ) = lim i µ(a i ). µ(e) µ(e \ F ) + µ(e F ) = lim µ(a i ) + µ(e F ) i µ(e), Seuraavien mittateorian perustulosten todistukset sivuutetaan. Fatoun lemman ja Lebesguen dominoidun konvergenssin todistus on esitetty yleisemmässä muodossa lähteessä [2, Thm 12.2, Thm 12.24]. Fubinin lause löytyy todistuksineen teoksesta [1, Thm 1.14] myöskin hieman yleisemmässä muodossa. Lause 2.6. (Fatoun lemma) Olkoon A R n mitallinen joukko ja olkoot f k : A [0, ] L n -mitallisia funktioita. Tällöin lim inf f k dl n lim inf f k dl n. k k A Lause 2.7. (Lebesguen dominoidun konvergenssin lause) Olkoon A R n mitallinen joukko ja olkoot f 1, f 2, f,... : A [, ] L n -mitallisia funktioita siten, että lim f k (x) on olemassa melkein kaikilla x A. Jos on olemassa integroituva k funktio g : A [0, ] siten, että kaikilla k = 1, 2,,... pätee f k (x) g(x) melkein kaikilla x A, niin lim f k(x)dl n = lim f k (x)dl n. k k A 5 A A

Lause 2.8. (Fubini) Olkoon f : R n [0, ] L n -mitallinen funktio. Jos luvuille p, q N pätee p + q = n, niin f(x, y) dl n (x, y) = R n R q f(x, y) dl p (x) dl q (y) = R p R p R q f(x, y) dl q (y) dl p (x) Vitalin peitelauseeseen tullaan viittaamaan suoraan muutaman kerran. Epäsuorasti sitä tarvitaan ainakin Rademacherin lauseen todistuksessa rajoitetusti heilahtelevien funktioiden differentioituvuuden kohdalla (ks. [2, Thm 17.11, Thm 17.17]). Lause 2.9. (Vitalin peitelause) Olkoon µ Radon-mitta R n :ssä ja olkoon A R n. Olkoon B kokoelma suljettuja palloja siten, että kaikille x A, ε > 0 on olemassa pallo B(x, r) B, jolle r < ε. Tällöin on olemassa erilliset pallot B 1, B 2, B,... B siten, että µ(a \ B i ) = 0. 6

. Hausdorff-mitat ja dimensiot Seuraavaksi esiteltävä Carathéodoryn konstruktio on eräs keino rakentaa ulkomitta ns.peiteluokan (alla merkitään F :llä) ja esimitan (merkitään τ:lla) avulla. Ennen Carathéodoryn konstruktion esittelyä määritellään muutama jatkossa esiintyvä käsite. Määritelmä.1. Metrisen avaruuden X joukon A X halkaisijaa merkitään diam(a):lla ja se määritellään asettamalla diam(a) = sup{d(x, y) : x, y A}, missä d on avaruuden X metriikka. Merkintä d(x, A) tai d(a, x), missä A on metrisen avaruuden X osajoukko ja x X, tarkoittaa pisteen x etäisyyttä joukosta A ja se määritellään asettamalla d(x, A) = d(a, x) = inf{d(x, a) : a A}. Joukkojen A ja B etäisyys d(a, B) määritellään asettamalla d(a, B) = inf {d(a, b) : a A ja b B} Joukkoperhe E P(X) on joukon A peite, jos A E. Peite E on avoin (suljettu), jos kaikki siihen kuuluvat joukot E E ovat avoimia (suljettuja). Joukon A-peite E on sen δ-peite, jos kaikille E E pätee diam(e) δ..1. Carathéodoryn konstruktio. Olkoon X metrinen avaruus, F kokoelma X:n osajoukkoja ja τ : F [0, ] funktio siten, että (1) jokaiselle δ > 0 on olemassa X:n numeroituva δ-peite {E 1, E 2, E,...} F. (2) jokaiselle δ > 0 on joukko E F, jolle τ(e) δ ja diam(e) δ. Määritellään kaikilla δ ]0, ] kuvaukset ψ δ : P(X) [0, ] asettamalla { } ψ δ (A) = inf τ(e i ) : A E i, d(e i ) δ, E i F. Ehto (2) takaa, että ψ δ ( ) = 0. Kuvausten ψ δ monotonisuus seuraa suoraan määritelmästä. Subadditiivisuus voidaan osoittaa valitsemalla kullakin ε > 0 mitattaville joukoille A i peitteet {E k,i : k = 1, 2,,...}, joille τ(e k,i ) ψ δ (A i ) + 2 i ε. k=1 Yhdistämällä nämä peitteet saadaan yhdisteen A i peite {E k,i : k = 1, 2,,..., i = 1, 2,,...}. 7

Lisäksi ψ δ ( A i ) τ(e k,i ) k=1 ψ δ (A i ) + 2 i ε = ε + ψ δ (A i ). Kuvaukset ψ δ ovat siis ulkomittoja. Lisäksi ψ δ ψ ε aina, kun ε < δ, joten voidaan määritellä kuvaus ψ : P(X) [0, ] asettamalla ψ(a) = lim ψ δ (A) = sup ψ δ (A). δ 0 Kuvaus ψ on ulkomitta: ψ( ) = 0 ja monotonisuus periytyy mitoilta ψ δ. Subadditiivisuus toteutuu myös, sillä joukoille A 1, A 2, A,... X pätee ψ( A i ) = lim ψ δ ( A i ) δ 0 lim ψ δ (A i ) δ 0 lim ψ(a i ) δ>0 δ 0 = ψ(a i ) Näin saatua ulkomittaa ψ sanotaan esimitasta τ Carathéodoryn konstruktiolla saaduksi ulkomitaksi. Tällainen mitta ψ on varsin hyvin käyttäytyvä: Lause.2. (1) ψ on Borel-mitta. (2) Jos kaikki joukot E F ovat Borel-joukkoja, niin ψ on Borel-säännöllinen. Todistus. (1) Osoitetaan, että ψ on ns. metrinen ulkomitta; Borel-ominaisuus seuraa tästä [1, Thm 1.7]. Olkoon A, B X joukkoja, joille d(a, B) > 0. Metrisyys saadaan kun osoitetaan, että ψ(a B) = ψ(a) + ψ(b). Olkoon δ ]0, d(a, B)/2[ ja E 1, E 2,... F joukon A B δ-peite. Tällöin jokaiselle joukolle E i pätee E i A = tai E i B =. Peite voidaan siis jakaa niihin alkiohin, jotka leikkaavat joukkoa A, niihin jotka leikkaavat joukkoa B ja niihin, jotka eivät leikkaa kumpaakaan. Siten τ(e i ) = τ(e i ) + τ(e i ) + τ(e i ) A E i B E i E i (A B)= τ(e i ) + τ(e i ) A E i ψ δ (A) + ψ δ (B). B E i Koska δ-peite {E i } oli mielivaltainen, on ψ δ (A B) ψ δ (A) + ψ δ (B). 8

Kuvausten ψ δ subadditiivisuus antaa vastakkaisen epäyhtälön, joten ψ δ (A B) = ψ δ (A) + ψ δ (B). Väite seuraa tästä antamalla δ 0. (2) Olkoon A X. Pitää siis löytää Borel-joukko B X siten, että A B ja ψ(a) = ψ(b). Jos ψ(a) =, voidaan valita B = X. Voidaan siis olettaa, että ψ(a) <. Tällöin myös ψ δ (A) < kaikilla δ > 0. Valitaan jokaiselle k = 1, 2,... Borel-joukot A k,1, A k,2,... siten, että diam(a k,i ) 1, k A A k,i ja τ(a k,i ) ψ 1 (A) + 1. k k Asettamalla B = k=1 A k,i saadaan Borel-joukko B A, jolle monotonisuuden nojalla pätee ψ 1 k (A) ψ 1 (B). k Toisaalta jokaisella k pätee B A k,i, joten ψ 1 (B) k τ(a k,i ) ψ 1 (A) + 1 k k. Antamalla k saadaan ψ(a) = ψ(b), joten ψ on Borel-säännöllinen..2. Hausdorff-mitat. Olkoon X separoituva metrinen avaruus 1. Kun valitaan Carathéodoryn konstruktiossa edellisten merkintöjen mukaan ja F = P(X) τ(e) = diam(e) s kun s 0, saadaan sopimalla erikoistapaukset 0 0 = 1 ja d( ) s = 0 ulkomitta ψ, jota sanotaan s-ulotteiseksi Hausdorff-mitaksi. Sitä merkitään symbolilla H s. Konstruktiossa saatua mittaa ψ δ merkitään vastaavasti Hδ s. Toisin sanoen H s = lim δ 0 H s δ(a), 1 Voitaisiin määritellä ei-separoituvissakin. 9

missä { } Hδ(A) s = inf (diam(e i )) s : E i X, diam(e i ) δ ja A E i. Seuraavassa lauseessa todetaan, että Hausdorff-mitan konstruktiossa voidaan hyvin rajoittaa peiteluokkaa F muuttamatta itse mittaa. Avaruuden R n joukko on konveksi, jos se sisältää kaikki pistepariensa väliset janat. Joukon A R n konveksi verho on konveksi joukko V R n, jolle pätee V K kaikilla konvekseilla K R n, joille A K. Lause.. Valinnoilla (1) F = {F X : F on suljettu}, (2) X = R n ja F = {F X : F on konveksi} tai () F = {F X : F on avoin} Carathéodoryn konstruktio antaa saman mitan ψ = H s. Todistus. Kohta (1): Olkoon A X ja s > 0. Olkoon ψ δ kuten Hδ s mutta määritelty siten, että peitejoukkoina käytetään vain suljettuja joukkoja. Merkitään ψ = lim ψ δ. Pitää δ 0 osoittaa, että ψ(a) = H s (A). Olkoon ε > 0 ja olkoon {E 1, E 2, E,...} joukon A δ-peite, jolle pätee diam(e i ) s Hδ(A) s + ε. Sulkemalla joukot E i saadaan A:lle suljettu δ-peite E 1, E 2, E,.... Joukkojen sulkeminen ei muuta halkaisijaa, joten infimumin määritelmän nojalla pätee ψ δ (A) H s δ(a) + ε. Koska ε on mielivaltainen, saadaan epäyhtälö ψ(a) H s (A). Epäyhtälö ψ(a) H s (A) puolestaan seuraa suoraan infimumin määritelmästä. Kohta (2) saadaan samaan tapaan tarkastelemalla peitejoukkojen sulkeumien sijaan niiden konvekseja verhoja. Kohta (): Olkoon A X ja s > 0. Olkoot ψ δ ja ψ kuten edellä, mutta avoimien peitejoukkojen kautta määriteltynä. Osoitetaan, että ψ(a) = H s (A). Jokaiselle A:n δ-peitteelle E 1, E 2, E,... saadaan määriteltyä kaikilla t > 1 avoin tδ-peite U 1, U 2, U,... pullistamalla joukkoja E i sopivasti: U i = {x : d(x, E i ) < 1 2 (t 1)diam(E i)}. 10

Kun joukot U i ovat näin määritelty, saadaan diam(u i ) s = t s diam(e i ) s. Olkoon ε > 0 ja olkoon {E 1, E 2, E,...} sellainen joukon A δ-peite, jolle pätee diam(e i ) s Hδ(A) s + ε. Nyt edellisen nojalla kaikilla t > 1 saadaan ψ tδ (A) t s (H s δ(a) + ε). Koska ε > 0 on mielivaltainen, saadaan tästä viemällä δ 0 edelleen siis kaikilla t > 1, joten ψ(a) t s H s (A), ψ(a) H s (A). Epäyhtälö ψ(a) H s (A) saadaan suoraan määritelmästä. Lause.4. (1) H s on Borel-säännöllinen mitta. (2) H s (A) = 0 Hδ s(a) = 0 kaikilla δ > 0 Hs δ (A) = 0 jollakin δ > 0. () H s (A + x) = H s (A) ja H s (ta) = t s H s (A) kun A R n, A + x := {a + x : a A} ja ta := {ta : a A}. Todistus. Kohta (1) seuraa suoraan lauseista. ja.2. Kohta (2): Todistetaan ensin, että H s (A) = 0 H s δ(a) = 0 kaikilla δ > 0. Olkoon A joukko, jolle H s (A) = 0. Tällöin kaikilla ε > 0 on Hδ s (A) < ε kun δ on riittävän pieni. Infimumin määritelmän nojalla Hδ s (A) on δ:n suhteen vähenevä, joten edellinen pätee kaikille δ. Koska ε on mielivaltainen, on oltava Hδ s(a) = 0 kaikilla δ. Osoitetaan sitten, että H s δ(a) = 0 jollakin δ > 0 H s (A) = 0. Olkoon ε > 0. Olkoon δ > 0 sellainen, että Hδ s (A) = 0. Tällöin on olemassa joukon A δ-peite {E 1, E 2, E,...}, jolle pätee diam(e i ) s < ε. Tästä seuraa, että diam(e i ) < ε 1/s kaikilla i = 1, 2,,... ja siten H s ε 1/s (A) ε. Koska ε 1/s 0 kun ε 0, pätee H s (A) = 0. 11

Kohta (): Tapaus H s (A + x) = H s (A) on selvä: tämä nähdään siirtämällä peitejoukkoja samalla vektorilla x. Joukon halkaisija ei muutu siirrettäessä. Yhtälö H s (ta) = t s H s (A) vaatii pienen perustelun. Olkoon ε > 0 ja olkoon {E 1, E 2, E,...} joukon A epsilon-optimaalinen δ-peite: diam(e i ) s Hδ(A) s + ε. Tällöin {te i : i = 1, 2,,...} on ta:n tδ-peite. Niinpä Htδ s (ta) (diam(te i )) s = t s (diam(e i )) s t s H s δ (A) + ts ε. Koska ε voidaan valita miten pieneksi hyvänsä, pätee kaikilla δ ja tästä saadaan epäyhtälö H s tδ(ta) t s H s δ(a), H s (ta) t s H s (A). Käänteinen epäyhtälö saadaan edellistä epäyhtälöä soveltamalla: t s H s (A) = t s H s (t 1 (ta)) t s t s H s (ta) = H s (ta). Esimerkki.5. Cantorin 1-joukko C 1 saadaan kun välistä [0, 1] poistetaan keskimmäinen avoin kolmannes ja toistetaan tätä menettelyä jäljellejääville väleille rekur- siivisesti. Täsmällisemmin sanoen C 1 on leikkaus kaikista näin syntyvistä välivaiheista I i, i = 0, 1, 2,..., joista kukin koostuu i :n mittaisista väleistä I i,j, j = 1, 2,..., 2 i. Ensimmäiset välivaiheet ovat I 0 = [0, 1], I 1 = I 1,1 I 1,2 = [0, 1] [ 2, 1], I 2 = I 2,1 I 2,2 I 2, I 2,4 = [0, 1] [ 2, ] [ 6, 7] [ 8, 1]. 9 9 9 9 9 9 Kuva 1. Cantorin 1 -joukon ensimmäiset konstruktiovaiheet 12

Osoitetaan, että H s (C 1 ) = 1 kun s = log 2. Epäyhtälö log Hs (C 1 ) 1 saadaan helposti valitsemalla aina δ-peitteeksi sellaisen konstruktiovaiheen I i osavälit I i,j, j = 1, 2,..., 2 i, jotka toteuttavat ehdon diam(i i,j ) < δ kaikilla j. Tällainen vaihe i löytyy kaikilla δ > 0, sillä välivaiheen I i osavälien pituudet ovat i. Tälle peitteelle saadaan nyt 2 i j=1 diam(i i,j ) s = 2 i ( i ) s = 1. Yhtälön toinen suunta on hieman mutkikkaampi. Lauseen. ja C 1 :n kompaktiuden nojalla riittää tarkastella äärellisiä suljetuista väleistä koostuvia peit- teitä. Lisäksi voidaan olettaa, että peitevälien päissä ei ole ylimääräistä; ts. välien päätepisteet osuvat päällekkäin joidenkin Cantorin joukon konstruktiovälien päiden kanssa siten, että jokaisen peitevälin [a, b] alkupiste a osuu jonkin konstruktiovälin alkupisteeseen ja loppupiste b jonkin konstruktiovälin loppupisteeseen. Olkoot V 1, V 2, V,..., V k tällainen suljetuista väleistä koostuva C 1 :n peite. Pitää osoittaa, että (.1) k diam(v i ) s 1 Jokainen peiteväli V i alkaa siis jonkin konstuktiovälin alkupisteestä. Olkoon a i pienin konstruktiovaihe l, josta löytyy tällainen väli siten, että tämä väli sisältyy kokonaan peiteväliin V i. Olkoon b i vastaavasti pienin konstruktiovaihe, josta löytyy sellainen väli, jolla on yhteinen päätepiste V i :n kanssa ja joka sisältyy väliin V i. Valitaan sitten suurin näistä kaikista asettamalla ja l i = max {a i, b i }, l = max{l i : i = 1, 2,..., k}. Kun l on näin valittu, jokainen peiteväli V i alkaa jostakin vaiheen l konstruktiovälin alkupisteestä ja myös päättyy johonkin vaiheen l konstruktiovälin loppupisteeseen. Ajatuksena on nyt hajoittaa kukin peiteväli V i vaiheittain pienempiin osiin siten, että lopulta jäljelle jäävään peitteeseen kuuluu enää täsmälleen C 1 :n konstruktiovaiheen l välit. Tämä täytyy tietysti tehdä niin, että yhtälön.1 vasem- man puolen summa ei kasva. Ensimmäisessä vaiheessa kukin peiteväli V i, joka sisältää keskimmäisen kolmanneksen ( 1, 2) jaetaan osiin U 1 ja U 2 siten, että U 1 = V i [0, 1] ja U 2 = V i [ 2, 1]. Seuraavassa vaiheessa poistetaan peiteväleistä vastaavasti C 1 :n komplementin välit ( 1, 2) ja ( 7, 8 ). Näin jatketaan, kunnes kaikki komplementtivälit Cantorin 9 9 9 9 joukon konstruktiovaiheista 1, 2,..., l on poistettu. Joka vaiheessa välikokoelman 1

peiteominaisuus säilyy ja lopulta jäljelle jäävät välit V 1, V 2,..., V n peittävät kukin täsmälleen yhden konstruktiovälin I l,j, joten n diam(v i ) s 2 l j=1 diam(i l,j ) s = 1. Kuva 2. Peitevälin jako Riittää siis osoittaa, että k (.2) diam(v i ) s n diam(v i ) s, missä välit V i ovat muodostettu alkuperäisistä peiteväleistä V i edellämainitulla tavalla. Tarkastellaan yksittäistä peiteväliä V ja sen jakamista. Olkoon K suurin väliin V sisältyvä avoin komplementtiväli edellä esitetyssä hajoittamistavassahan poistetaan väleistä aina suurin niihin kuuluva komplementtiväli. Nyt V jakautuu peräkkäisiin väleihin I, K ja J, joista vain suljetut välit I ja J leikkaavat joukkoa C 1. Pitää siis osoittaa, että diam(v ) s diam(i) s + diam(j) s. Cantorin joukon konstruktiota tarkastelemalla (ks. kuva 2) huomataan, että koska peiteväli V alkaa Cantorin joukon pisteestä ja myös loppuu sellaiseen, eikä V sisällä K:ta suurempia komplementtivälejä, on oltava diam(i), diam(j) diam(k). Koska s < 1, kuvaus x x s on konkaavi 2. Kun vielä huomataan, että s = 2, saadaan arvio diam(v ) s (diam(i) + diam(k) + diam(j)) s 2( 1 (diam(i) + diam(j)))s 2 2( 1 2 diam(i)s + 1 2 diam(j))s ) = diam(i) s + diam(j) s, ja siten yhtälö.2 pätee. Osoitetaan seuraavaksi, että R n :ssä H n on Radon-mitta. Todistusta varten tarvitaan seuraava Borel-säännöllisten mittojen arviointilause, jonka todistus ohitetaan tässä (ks. [1, Thm 1.10]). 2 Kuvaus f : R R on konkaavi, jos f(a)+f(b) 2 f(a+b) 2 kaikilla a, b R 14

Lause.6. Olkoon X metrinen avaruus, µ Borel-säännöllinen mitta, A X µ-mitallinen joukko ja ε > 0. Tällöin (1) Jos µ(a) <, on olemassa suljettu joukko F A siten, että µ(a \ F ) < ε. (2) Jos on olemassa avoimet joukot V 1, V 2, V,... siten, että A ja V i µ(v i ) < kaikille i, niin silloin on olemassa avoin joukko V siten, että A V ja µ(v \ A) < ε. Edellisen lauseen epäyhtälö µ(a \ F ) < ε voidaan myös kirjoittaa muodossa µ(f ) > µ(a) ε, sillä joukot A ja F ovat µ-mitallisia ja µ(f ) <. Lause.7. H n on Radon-mitta R n :ssä. Todistus. Näytetään ensin rajoitettujen joukkojen äärellismittaisuus. δ-halkaisijaisen tasasivuisen n-välin sivun pituus on δ n ja siten n-välin [0, 1] n peittämiseen riittää n n kappaletta δ-halkaisijaisia n-välejä. Koska δ n ( δ + 1)n δ n = ( n + δ) n n n 2 <, lauseen.4 ja monotonisuuden nojalla rajoitettujen joukkojen mitat ovat äärellisiä. Näytetään sitten, että H n täyttää Radon-mitan arviointiehdot. Olkoon A R n avoin joukko ja olkoon ε > 0. Jos H n (A) <, lause.6 antaa suljetun F A, jolle H n (F ) > H n (A) ε. Asettamalla kaikille i = 1, 2,,... K i = B(0, i) F saadaan kompaktit joukot K i. Koska joukot K 1, K 2, K,... ovat H n -mitallisia, lim i Hn (K i ) = H n ( K i ) = H n (F ), ja siten jollakin K i pätee H n (K i ) > H n (A) ε. Yhtälö H n (A) = sup {H n (K) : K on kompakti ja K A} pätee siis kaikille A, joille H n (A) <. Jos taas H n (A) =, voidaan joukko A esittää yhdisteenä äärellismittaisista joukoista A k, k = 1, 2,,..., A k = A B(0, k). Joukot A 1 A 2... ovat Borel-joukkoina H n -mitallisia ja siten lim k Hn (A k ) = H n ( A k ) = H n (A) =. Merkinnällä x, x R tarkoitetaan lähintä x:ää suurempaa kokonaislukua: k=1 x = min {k : k Z ja x k} 15

Siten kaikille M > 0 on M < H n (A k ) < jollakin k, ja soveltamalla lausetta.6 joukkoon A k saadaan kompakti K A, jolle H n (K) > M. Yhtälö H n (A) = sup {H n (K) : K on kompakti ja K A} pätee siis kaikille avoimille A R n. Olkoon sitten A R n mielivaltainen joukko, jolle H n (A) <, ja olkoon ε > 0. Koska H n on Borel-säännöllinen, on olemassa Borel-joukko B siten, että A B ja H n (A) = H n (B). Asettamalla V k = B(0, k), k = 1, 2,,... saadaan avoimet joukot, joille pätee B V k ja H n (V k ) < kaikilla k. Lauseen.6 nojalla on k=1 olemassa avoin joukko V R n siten, että B V ja H n (V ) H n (B) + ε. Siis yhtälö pätee ja lause on todistettu. H n (A) = inf {H n (U) : U on avoin ja A U} Lause.8. Olkoon A R n. Tällöin missä L(n) = L n (B(0, 1)). H n (A) 2 n L(n) 1 L n (A), Todistus. Olkoon A R n ja olkoon ε > 0. Olkoon I 1, I 2, I,... kokoelma avoimia n-välejä, jotka peittävät A:n, ja joille L n (I i ) < L n (A) + ε. Vitalin peitelauseesta 2.9 saadaan kullekin n-välille I i kokoelma erillisiä palloja {B i,j : j = 1, 2,,...}, B i,j I i, joille diam(b i,j ) < δ ja H n (I i \ B i,j ) = 0. j=1 Lauseen.4 nojalla kaikille δ > 0 pätee myös H n δ (I i \ B i,j ) = 0. j=1 Koska L n on Borel-mitta ja pallot B i,j ovat erillisiä, on L n (B i,j ) = L n ( B i,j ) L n (I i ). j=1 j=1 16

Koska Hδ n on ulkomitta, saadaan Hδ n(a) Hδ n(i i) Hδ n(b i,j) + Hδ n(i i \ B i,j ) = j=1 j=1 j=1 2n L(n) < 2n josta väite seuraa taas kun ε 0. diam(b i,j ) n 2 n L n (B i,j ) L(n) L n (I i ) L(n) (Ln (A) + ε), j=1 Huomautus.9. Itse asiassa pätee H n (A) = 2 n L(n) 1 L n (A), mutta tämän todistus on paljon mutkikkaampi. Jos Hausdorff-mitan tarkastelussa voitaisiin rajoittua palloihin, tulos saataisiin helposti yhtälöstä diam(b) n = 2n L n (B). L(n) Tämä ei kuitenkaan käy päinsä: kulmikkaan joukon peittäminen voi vaatia halkaisijaltaan joukkoa itseään paljon suuremman pallon. Esimerkiksi R 2 :n tasasivuisen kolmion halkaisija on yhtä kuin sen sivun pituus. Pienin pallo, jolla kolmion voi peittää on kuitenkin halkaisijaltaan kolmioon verrattuna 2 -kertainen. Yhtälön todistus esitetään lähteessä [4, Thm 1.12] ns. isodiametrisen epäyhtälön avulla... Hausdorff-dimensio. Hausdorff-mittojen eräs ominaisuus on se, että mielivaltaisen joukon A X mitta H s (A) on positiivinen ja äärellinen korkeintaan yhdellä s. Tätä rajapistettä s 0 suuremmilla s on H s (A) = 0 ja kun 0 s < s 0, pätee H s (A) =. Itse rajapisteessä s 0 kaikki arvot [0, ] ovat mahdollisia. Lemma.10. Olkoon X metrinen metrinen avaruus ja A X. Tällöin kaikilla s pätee (1) Jos H s (A) <, niin H t (A) = 0 kun t > s. (2) Jos H s (A) > 0, niin H t (A) = kun t < s. Todistus. Kohta 1: Olkoon H s (A) < ja olkoon t > s. Olkoon δ > 0 ja olkoon {E 1, E 2, E,...} sellainen joukon A δ-peite, että 17

Tällöin diam(e i ) s Hδ(A) s + 1. Hδ t(a) diam(e i ) t = diam(e i ) s diam(e i ) t s δ t s diam(e i ) s δ t s (Hδ s (A) + 1). Koska tämä pätee kaikille δ > 0, ja lisäksi t s > 0 sekä H s δ(a) + 1 H s (A) + 1 <, pätee H t (A) = 0. Kohta 2 on yhtäpitävä kohdan 1 kanssa (kontrapositio). Määritelmä.11. Joukon A X Hausdorff-dimensio on luku dim H (A) = sup{t 0 : H t (A) = } = sup{t 0 : H t (A) > 0} = inf{t 0 : H t (A) = 0} = inf{t 0 : H t (A) < }. Hausdorff-dimensio perii monotonisuuden Hausdorff-mitoilta H s : jos A B ja s < dim H (A), niin H s (B) H s (A) =, joten dim H (B) s. Sileille k- ulotteisille R n :n pinnoille Hausdorff- dimensio on k ja R n :n osajoukoille A on dim H (A) n. Esimerkki.12. Esimerkissä.5 näytettiin, että Cantorin 1-joukolle C 1 pätee H s (C 1 ) = 1 kun s = log 2. Tästä tiedetään, että dim log H(C 1 ) = log 2. Dimension log laskemiseen riittää kuitenkin osoittaa pelkästään 0 < H s (C 1 ) <. Tämä on paljon helpompaa kuin mitan tarkka laskeminen. 18

4. Rademacherin lause Määritelmä 4.1. Olkoon A R m. Kuvaus f : A R n on Lipschitz-kuvaus, jos jollakin vakiolla L < f(x) f(y) L x y kaikilla x, y A. Pienintä tällaista vakiota sanotaan f:n Lipschitz-vakioksi. Esitetään seuraavaksi pieni aputulos, jota tarvitaan Rademacherin lauseen (lause 4.5) todistuksessa. Esitellään ensin joitakin merkintöjä. Määritelmä 4.2. Merkinnällä e f(x) tarkoitetaan vektorin e suuntaista funktion f osittaisderivaattaa pisteessä x. Koordinaattiakseleiden suuntaisia yksikkövektoreita merkitään e i :llä: e 1 = (1, 0, 0,..., 0) e 2 = (0, 1, 0,..., 0)... e m = (0, 0, 0,..., 1). Joukko S n R n+1 on origokeskisen yksikköpallon pinta: S n = {x R n+1 : x = 1} Kuvauksen f : R m R, gradienttia pisteessä x merkitään symbolilla f(x) ja se määritellään asettamalla f(x) = ( e1 f(x), e2 f(x), e f(x),..., em f(x)) Määritelmä 4.. Olkoon ϕ : R m R kuvaus. Kuvauksen ϕ kantaja on joukko {x R m : ϕ(x) 0}. Kuvausluokka C 0 (R m ) on kaikkien niiden kompaktikantajaisten kuvausten R m R joukko, joilla on kaikkien kertalukujen derivaatat. Lemman todistuksessa käytetään hyväksi sitä tietoa, että Lipschitz-kuvaukset R R ovat rajoitetusti heilahtelevina L 1 -melkein kaikkialla differentioituvia (ks. [2, Thm 17.17]). Tätä tietoa hyödynnetään myös Rademacherin lauseen todistuksessa. Lemma 4.4. Olkoon f : R m R Lipschitz-kuvaus ja olkoon e m-ulotteinen yksikkövektori, e R m, e = 1. Jos osittaisderivaatta e f(x) on olemassa melkein kaikilla x R m, niin e f(x) = (e f(x)) melkein kaikilla x R m. Todistus. Olkoon ϕ C0 (R m ). Kaikille h > 0 saadaan muuttujanvaihdolla f(x + he) f(x) ϕ(x) ϕ(x he) ϕ(x) dx = f(x) dx. h h R m 19 R m

Koska f on Lipschitz-kuvaus, pätee kaikilla h > 0 f(x + he) f(x) h L, missä L on f:n Lipschitz-vakio. Toisaalta on olemassa M > 0 siten, että ϕ(x) ϕ(x he) h M kaikilla h > 0, sillä kuvaus ϕ on rajoitettu. Koska lisäksi f on melkein kaikkialla e:n suuntaan derivoituva, Lebesguen dominoidun konvergenssin lausetta voidaan soveltaa yhtälön molempiin puoliin, jolloin saadaan e f(x)ϕ(x)dx = e ϕ(x)f(x)dx. R m Jakamalla yhtälön oikean puolen integraali ja osittaisintegroinnilla saadaan e ϕ(x)f(x) dx = (e ϕ(x))f(x) dx R m R m m = (e e j ) f(x) j ϕ(x) dx = = R m j=1 m (e e j ) j=1 R m Siten kaikilla ϕ C0 (R m ) pätee e f(x)ϕ(x)dx = R m R m R m R m ϕ(x) j f(x) dx ϕ(x)(e f(x)) dx, ϕ(x)(e f(x)) dx Väite seuraa tästä Rieszin esityslauseen yksikäsitteisyyden kautta (ks. [1, Thm 1.16] Lause 4.5. (Rademacherin lause) Lipschitz-kuvaus f : R m R n on differentioituva L m -melkein kaikkialla R m :ssä. Todistus. Kuvaus f on differentioituva kussakin pisteessä täsmälleen silloin kuin sen jokainen komponenttifunktio on differentioituva ko. pisteessä. Niinpä riittää tarkastella tapausta n = 1. Lipschitz-kuvaukset R R ovat L 1 -melkein kaikkialla differentitoituvia ([2, Thm 17.17]), joten tapaus m = 1 on selvä. 20

Merkitään e f(x):llä funktion f derivaattaa pisteessä x suuntaan e S m 1 = {x R m : x = 1} silloin kun derivaatta on olemassa. Jokaisella e merkitään B e :llä niiden pisteiden x R m muodostamaa joukkoa, joissa f ei ole e:n suuntaan derivoituva. Koska f on L m - mitallinen, on myös B e L m -mitallinen. Tarkastelemalla kussakin pisteessä x R m kuvausta f yhteen suuntaan e kerrallaan 4 voidaan soveltaa tapausta m = 1. Näin saadaan kaikilla x R m L 1 (B e {x + te : t R}) = 0. Tästä seuraa Fubinin lauseella L m (B e ) = 0, joten kaikilla e S m 1 kuvaus f on derivoituva e:n suuntaan L m -melkein kaikkialla R m :ssä. Olkoon {v 1, v 2, v,...} joukon S m 1 tiheä osa. Merkitään jokaisella i = 1, 2,,... A i :lla joukkoa, joka koostuu niistä pisteistä x R m, joille f(x) sekä vi f(x) ovat määritelty ja vi f(x) = (v i f(x)). Merkitään A = A i. Lemman 4.4 nojalla L m (R m \ A) = 0. Nyt lauseen todistamiseksi riittää osoittaa, että f on differentioituva joukossa A. Merkitään kaikilla x A, e S m 1 ja h > 0 f(x + he) f(x) Q(x, e, h) = (e f(x)). h Riittää osoittaa, että Q(x, e, h) suppenee kohti nollaa kun h 0 kaikilla x A ja että suppeneminen on tasaista e:n suhteen. Olkoon L f:n Lipschitz-vakio. Huomataan, että kaikille e, e S m 1 pätee Q(x, e, h) Q(x, e, h) (m + 1)L e e. Olkoon ε > 0. Joukon S m 1 kompaktiuden ja v i :den valinnan nojalla on olemassa N N siten, että kaikille e S m 1 voidaan valita i N, jolle e v i < ε/(2(m + 1)L). Joukon A määritelmän mukaan lim Q(x, v i, h) = 0 h 0 kaikille i, joten on olemassa δ > 0 siten, että Q(x, v i, h) < ε/2 kun h < δ ja i N. Niinpä kaikille e S m 1 ja h < δ saadaan sopivalla i {1,..., N} Q(x, e, h) Q(x, e, h) Q(x, v i, h) + Q(x, v i, h) < (m + 1)L e v i + ε/2 < ε. Lause 4.6. Olkoot f : R m R n Lipschitz kuvaus, 0 s m ja A R m. Tällöin H s (f(a)) L s H s (A), 4 Kuvausten g(t) = x + te ja f g avulla 21

missä L on f:n Lipschitz-vakio. Erityisesti dim H (f(a)) dim H (A) Todistus. Olkoot ε > 0 ja δ > 0. Hausdorffin mitan määritelmästä saadaan joukon A δ-peite U 1, U 2,..., jolle diam(u i ) s Hδ(A) s + L s ε. Tällöin f(a) f(u i ) ja diamf(u i ) Lδ kaikilla i, joten joukot f(u 1 ), f(u 2 ),... i muodostavat f(a):n Lδ-peitteen. Taas Hausdorff-mitan määritelmän nojalla saadaan HLδ(f(A)) s (diamf(u i )) s L s (diamu i ) s L s (H s δ(a) + L s ε) = L s H s δ(a) + ε. Väite seuraa tästä kun δ 0 epäyhtälön molemmin puolin, sillä kiinteällä L pätee H s (f(a)) = lim Hδ s (f(a)) = lim δ 0 δ 0 Hs Lδ (f(a)). Esimerkki 4.7. Olkoon V R m n-ulotteinen taso, 0 < n < m. Projektiokuvaus p V : R m V on tarkalleen 1-Lipschitz-kuvaus: se ei kasvata etäisyyksiä, mutta säilyttää projektiotason suuntaisten vektoreiden pituuden. Lauseen 4.6 nojalla minkään joukon A R m Hausdorff-mitta ja -dimensio eivät kasva projektiossa. Joukon surkastuminen sen sijaan on toki mahdollista: kun A on V :n ortogonaalikomplementti, H m n (A) =, mutta H m n (p V (A)) = 0. Dimensio putoaa tässä tapauksessa (m n):stä nollaan. Esimerkki 4.8. Jordan-käyrä on jatkuvan injektion [a, b] R n kuvajoukko. Tässä [a, b] R on siis jokin suljettu väli. Käyrän Γ = ϕ([a, b]) pituus L(Γ) määritellään asettamalla k L(Γ) = sup ϕ(t i ) ϕ(t i 1 ), missä supremum otetaan yli kaikkien välin [a, b] jakojen a = t 0 < t 1 < t 2 <... < t k = b. Osoitetaan lauseen 4.6 avulla, että Jordan-käyrälle Γ pätee H 1 (Γ) = L(Γ). Olkoon Γ = ϕ([a, b]), u = ϕ(a) ja v = ϕ(b). Olkoon p : R n R n projektio suoralle, joka kulkee käyrän Γ päätepisteiden u ja v kautta. Projektio on 1-Lipschitz-kuvaus ja [u, v] p(γ), joten H 1 (Γ) H 1 (p(γ)) H 1 ([u, v]) = L 1 ([u, v]) = u v. 22

Olkoon a = t 0 < t 1 < t 2 <... < t k = b välin [a, b] jako. Soveltamalla edellistä havaintoa käyrän Γ osiin saadaan k ϕ(t i ) ϕ(t i 1 ) k H 1 (ϕ([t i 1, t i ])) = H 1 (Γ), sillä käyrän osat ϕ([t i, t i 1 ]) leikkaavat toisiaan vain päätepisteissä. Käyrän pituuden määritelmästä saadaan L(Γ) H 1 (Γ). Oletetaan yhtälön toista suuntaa varten, että L(Γ) <. Olkoon ϕ käyrän Γ parametrisointi käyrän pituuden suhteen eli jatkuva bijektio [0, L(Γ)] Γ siten, että kaikille t [0, L(Γ)] pätee L(ϕ([0, t])) = t. Äärellispituinen käyrä voidaan aina parametrisoida pituutensa suhteen. Käyrän parametrisointi ϕ on 1-Lipschitz-kuvaus, sillä kaikille s, t [0, L(Γ)], s < t, pätee ϕ(s) ϕ(t) L(ϕ([s, t])) = L(ϕ([0, t])) L(ϕ([0, s])) = t s. Lause 4.6 antaa siis toisenkin suunnan: H 1 (Γ) H 1 ([0, L(Γ)]) = L(Γ). Seuraavassa lauseessa merkitään Df(x):llä f:n derivaattaa pisteessä x R m ja Df(x)(R m ):llä vastaavasti tämän derivaatan kuvajoukkoa. Lause sanoo, että Lipschitz-kuvaukselle R m R n niiden pisteiden, joissa määritelty derivaatta lineaarikuvaksena pienentää dimensiota, kuvajoukko on m-ulotteisen Hausdorffmitan mielessä nollamittainen. Erityisesti siis tämän joukon Hausdorff-dimensio on korkeintaan m. Lineaarialgebran dimensiolauseen mukaan pisteeseen x muodostettu derivaatta säilyttää lineaarikuvauksena lähtöjoukon R m dimension täsmälleen silloin kun se on injektio Hausdorff-dimensio on hypertasojen tapauksessa yhtenevä lineaarialgebrallisen dimension kanssa. Tapaus n, m = 1 on helppo ymmärtää: Lipschitz-kuvauksen melkein jokainen kuvapiste f(x) on sellainen, että sen alkukuvapisteissä x derivaatta on nollasta eroava. Moniulotteisessa tapauksessa (n > 1) derivaatta voi olla nollasta eroava ja silti pienentää dimensiota vaikkapa kuvaamalla nollaan vain yhden yksikkövektorin v ja sen vastavektorin v eli litistämällä yhden suunnan. Lause 4.9. Olkoon f : R m R n Lipschitz-kuvaus. Tällöin Todistus. Olkoon 0 < R < ja H m ({f(x) : dim H (Df(x)(R m )) < m}) = 0. A = {x R m : x < R, dim H (Df(x)(R m )) < m}. Olkoot x A, r > 0 ja L kuvauksen f Lipschitz-vakio. Tällöin f:n Lipschitzominaisuuden nojalla f(b(x, r)) B(f(x), Lr). 2

Merkitään W x = {Df(x)y +f(x) : y R m }. Koska x A, on dim W x m 1. Nyt derivaatan määritelmää soveltaen kaikille y B(x, r) pätee f(y) (Df(x)(y x) + f(x)) rδ(y x), missä δ(y x) 0 kun y x. Siten kaikille ε > 0 pätee pienillä r > 0 f(b(x, r)) B(f(x)), Lr) {y : d(y, W x ) εr}. Kuva. Esimerkki tilanteesta n = 2 Nyt f(b(x, r)):n mittaa voidaan arvoida n-ulotteisen sylinterin mitan avulla. Jollakin vain m:stä ja n:stä riippuvalla vakiolla c pätee H m (f(b(x, r)) cεr(lr) m 1. Vitalin peitelauseen 2.9 avulla saadaan erilliset pallot B i = B(x i, r i ), joille ja L m (A \ B i ) = 0 L m (B i ) < L m (A) + ε. 24

Lauseen 4.6 nojalla H m (f(a \ B i )) = 0. Koska lisäksi saadaan f(a) ( f(b i ) f(a ( B i )), H m (f(a)) H (f(b m i )) cl m 1 ε (r i ) m cl m 1 L(m) 1 ε L m (B i ) cl m 1 L(m) 1 ε(l m (A) + ε), missä L(m) on se vakio, jolle L m (B i ) = L(m)(r i ) m. Lause seuraa tästä kun ε 0 soveltamalla lemmaa.4. Seuraavassa lauseessa esiintyvä yläintegraali Lebesguen mitan L m suhteen määritellään asettamalla ylä f(x)dl m x = inf g(x)dl m x : f g ja g on L m -mitallinen, A A kun f on (ei-l m -mitallinen) funktio, f : X [0, ], A X R m. Lause 4.10. Olkoon A R n ja f : A R m Lipschitz-kuvaus. Tällöin kaikille s [m, n] pätee ylä H s m (A {x : f(x) = y})dl m y α(m)l(f) m H s (A), R m missä L on kuvauksen f Lipschitz-vakio ja α(m) on m:stä riippuva vakio. Todistus. Jokaisella k = 1, 2,,... on olemassa A:n 1/k-peite E k,1, E k,2, E k,,..., joka on 1/k-optimaalinen Hausdorffin 1/k-mitan suhteen: diam(e k,i ) H1/k(A) s + 1/k. Määritellään kuvapuolelle vastinjoukot F k,i asettamalla F k,i = { y R m : E k,i f 1 (y) }. 25

Olkoon L f:n Lipschitz-vakio. Koska diam(f k,i ) LdiamE k,i, pätee L m (F k,i ) L(m)(Ldiam(E k,i )) m. Fatoun lemmaa soveltamalla saadaan ylä H s m (A {x : f(x) = y})dl m y R m = ylä lim H s m R m k 1/k (A {x : f(x) = y})dlm y lim inf diam(e k,i {x : f(x) = y}) s m dl m y R m k lim inf k lim inf k diam(e k,i {x : f(x) = y}) s m dl m y F k,i diam(e k,i {x : f(x) = y}) s m L m (F k,i ) diam(e k,i ) s L(m)L m lim inf k L(m)L m lim inf k (Hs 1/k L(m)L m H s (A). (A) + 1/k) 26

5. Stepanovin lause Rademacherin lausetta voidaan hieman yleistää. Kuvauksen ei tarvitse Lipschitzkuvaus, jos rajoitetaan tarkastelu vain niihin pisteisiin, joissa sillä on lokaali Lipschitz-ominaisuus. Se riittää differentioituvuuteen. Määritelmä 5.1. Olkoon A R m ja f : A R n kuvaus. Määritellään kuvauksen f lokaali Lipschitz-vakio pisteessä x A asettamalla Lip(f, x) = lim sup y x f(y) f(x). y x Lause 5.2. Olkoon A R n avoin joukko, f : A R ja S(f) niiden pisteiden x A joukko, joissa f on lokaalisti Lipschitz-kuvaus, ts. S(f) = {x A : Lip(f, x) < }. Tällöin kuvaus f on differentioituva L n -melkein kaikkialla joukossa S(f). Todistus. Olkoot B 1, B 2, B,... kaikki ne avoimet pallot, joiden keskipiste ja säde ovat rationaalisia, ja joissa f on rajoitettu. Jokaisessa pallossa B j kuvausta f voidaan approksimoida ylhäältä ja alhaalta j-lipschitz -kuvauksilla u, v. Määritellään kuvaukset u j ja v j näiden Lipschitz-kuvausten pisteittäisinä ylä- ja alarajoina: u j (x) = inf {u(x) : u f ja u on j-lipschitz}, v j (x) = sup {v(x) : v f ja v on j-lipschitz}. Tällöin u j ja v j ovat myös j-lipschitz -kuvauksia, joten kun merkitään N = {x B j : u j tai v j ei differentioituva x:ssä}, j=1 saadaan Rademacherin lauseen nojalla L n (N) = 0. Olkoot x S(f) \ N ja L = Lip(f, x) <. Tällöin on olemassa r > 0 siten, että f(y) f(x) L y x kaikilla y B(x, r). Huomataan, että on olemassa äärettömän monta palloa B j siten, että B(x, r/2) B j B(x, r), ja niinpä voidaan valita indeksi j L, jolla ylläoleva pätee. Tällöin f(y) f(x) j y x kaikilla y B j. Tästä seuraa u j :n ja v j :n määritelmän nojalla f(x) = u j (x) = v j (x). Koska u j ja v j ovat differentioituvia x:ssä ja v j f u j kaikkialla pallossa B j, on myös f differentioituva x:ssä. 27

Viitteet [1] Pertti Mattila: Geometry of Sets and Measures in Euclidean Spaces. Cambridge University Press (1995) [2] E. Hewitt & K. Stromberg: Real and Abstract Analysis. Springer-Verlag (1965) [] Kenneth Falconer: Fractal Geometry. John Wiley & Sons Ltd (1990) [4] Kenneth Falconer: The Geometry of Fractal Sets. Cambridge University Press (1985) 28