EKSPONENTIAALINEN MALLI POHDITTAVAA 1. promillea on tuhannesosaa eli 1000 0,00. Maahan sitoutuneen hiilen määrä on 0,00 1500 biljoonaa tonnia = 6 biljoonaa tonnia. Neljä promillea maaperään sitoutuneesta hiilen määrästä on 6 biljoonaa tonnia, joka suurempi kuin vuosittainen ilmakehässä olevan hiilen määrän kasvu,3 biljoonaa tonnia. Vastaus: 6 biljoonaa tonnia. Maaperään sitoutuneen hiilen määrä on suurempi kuin vuosittainen ilmakehän hiilen määrän kasvu. 2. Maaperään sitoutuneen hiilen määrä kasvaa vuosittain 1,00-kertaiseksi ja hiiltä on maaperässä noin 1500 biljoonaa tonnia. Sadan vuoden päästä maaperään sitoutuneen hiilen määrä on 100 1,00 1500 biljoonaa tonnia 1,90... 1500 biljoonaa tonnia 2235,952... biljoonaa tonnia 2200 biljoonaa tonnia. Vastaus: 2200 biljoonaa tonnia
.1 Eksponenttifunktio ALOITA PERUSTEISTA 01. Funktiossa on f(x) = a q x vakio a on suureen alkuperäinen arvo ja vakio q on muutoskerroin. Kertolaskun tulos ei muutu, vaikka kertolaskun tekijöiden järjestyksen vaihtaa. Funktio voidaan esittää myös muodossa f(x) = q x a, jossa kertoimien järjestys on eri, mutta kuitenkin a on suureen alkuperäinen arvo ja q muutoskerroin. Funktio C kuvaa eksponentiaalista muutosta muodossa f(x) = 3 x 2, joten alkuperäinen arvo on a = 2 ja muutoskerroin on q = 3. Samoin kohta F f(x) = 3 2 x kuvaa eksponentiaalista muutosta, jossa alkuperäinen arvo on a = 3 ja muutoskerroin on q = 2. Vastaus: C, jossa a = 2 ja q = 3 sekä F, jossa a = 3 ja q = 2 02. Oheisissa kuvakaappauksissa on näytetty kuinka appletista luetaan vastaukset. a) Kuvaajasta nähdään kohdasta 50 %, että määrä on puolet alkuperäisestä 8 vuoden kuluttua. Vastaus: 8 vuoden kuluttua
b) Kuvaajasta nähdään, että noin 19 vuoden kuluttua metaania on jäljellä 20 %. Vastaus: 19 vuoden kuluttua c) Kuvaajasta nähdään, että kuuden vuoden kuluttua metaania on jäljellä noin 60 %, joten sitä on poistunut 100 % 60 % = 0 %. Vastaus: 0 %
03. Tehtävässä on eksponentiaalisten mallien kuvaajia ja suoria. Ensimmäisen asteen polynomifunktio on muotoa f(x) = kx + b ja sen kuvaajana on suora. Tehtävän funktioista A f(x) = 2x + 0,5 ja B f(x) = 0,5x + 2 ovat ensimmäisen asteen polynomifunktioita. Funktion A kuvaajana on laskeva suora (koska kulmakerroin 2 on negatiivinen) ja funktion B kuvaajana on nouseva suora (koska kulmakerroin 0,5 on positiivinen). Kuvaajista III ja IV ovat suoria. Ainoa nouseva suora on kuvaaja III. Kuvaajan III on oltava funktio B f(x) = 0,5x + 2. Ainoa laskeva suora on kuvaaja IV. Kuvaajan IV on oltava funktio A f(x) = 2x + 0,5. Eksponentiaalinen malli on muotoa f(x) = a q x, jossa a on alkuperäinen arvo ja q on muutoskerroin. Tehtävän funktioista C f(x) = 0,5 2 x ja D f(x) = 2 0,5 x ovat eksponentiaalisia malleja. Mallissa C on a = 0,5 ja q = 2 ja mallissa D on a =2 ja q = 0,5. Kuvaajista I ja II ovat eksponentiaalisen mallin kuvaajia. Kuvaaja I kuvaa eksponentiaalista vähenemistä, jolloin muutoskerroin q on välillä ]0, 1[. Kuvaajan I on oltava funktio D f(x) = 2 0,5 x. Kuvaaja II kuvaa eksponentiaalista kasvamista, jolloin muutoskerroin q > 1. Kuvaajan II on oltava funktio C f(x) = 0,5 2 x. Vastaus: A: IV, B: III, C: II ja D: I
0. Eksponentiaalinen malli on muotoa f(x) = a q x, jossa a on alkuperäinen arvo ja q on muutoskerroin. Tehtävässä tarkastellaan vain muutoskerrointa q. a) Kun bakteerien määrä kolminkertaistuu tietyssä ajassa, niin muutoskerroin on q = 3. Vastaus: q = 3 b) Kun bakteerien määrä kasvaa % tietyssä ajassa. Bakteereja on aikajakson jälkeen 100 % + % = 10 % eli bakteerien määrä kasvaa 1,0-kertaiseksi tässä ajassa. Muutoskerroin on q = 1,0. Vastaus: q = 1,0 c) Kun bakteerien määrä vähenee 55 % tietyssä ajassa. Bakteereja on aikajakson jälkeen 100 % 55 % = 5 % eli bakteerien määrä on pienentynyt 0,5-kertaiseksi tässä ajassa. Muutoskerroin on q = 0,5. Vastaus: q = 0,5
05. Funktio f(x) = 250 000 1,03 x on eksponentiaalinen malli, jossa alkuperäinen arvo on a = 250 000 ja muutoskerroin on q = 1,03. a) Alkuperäinen arvo a = 250 000 ilmaisee, että asunnon arvo arviointihetkellä on 250 000. Vastaus: 250 000 b) Muutoskerroin on q = 1,03 ilmaisee, että asunnon arvo kasvaa keskimäärin 3 % vuodessa. Vastaus: 3 % c) f(5) = 250 000 1,03 5 = 289 818,5186 290 000 f( 5) = 250 000 1,03 5 = 215652,196 216 000 Funktiossa x on aika vuosina arviointihetkestä lähtien, joten sijoittamalla x = 5 saadaan asunnon arvo viisi vuotta arviointihetken jälkeen ja sijoittamalla x = 5 saadaan asunnon arvo viisi vuotta ennen arviointihetkeä. Vastaus: f(5) 290 000; Asunnon arvo 5 vuoden kuluttua on 290 000. f( 5) 216 000; Asunnon arvo 5 vuotta ennen arviointihetkeä oli 216 000.
06. a) Eksponentiaalinen malli on muotoa f(x) = a q x, jossa a on alkuperäinen arvo ja q on muutoskerroin. Kun kaulakorun hinta nousee joka vuosi 2 %, niin hinta seuraavan vuonna on 100 % + 2 % = 102 % edellisen vuoden hinnasta eli hinta on kasvanut 1,02-kertaiseksi. Muutoskerroin on q = 1,02. Kun alkuarvona on kaulakorun nykyinen hinta 379, niin eksponentiaalisessa mallissa alkuperäinen arvo on a = 379. Saadaan eksponentiaalinen malli f(x) = 379 1,02 x, joka kuvaa kaulakorun hintaa x vuoden kuluttua siitä vuodesta, jolloin hinta oli 379. Vastaus: f(x) = 379 1,02 x b) Funktiossa f(x) = 255 1,02 x muuttuja x kuvaa aikaa vuosina, joten kaulakorun hinta seitsemän vuoden kuluttua saadaan sijoittamalla funktioon x = 7. f(7) = 379 1,02 7 = 35,351 35,35 Vastaus: 35,35 c) Kaulakorun hinta kymmenen vuotta aiemmin saadaan sijoittamalla funktioon x = 10. f( 10) = 379 1,02 10 = 310,912 310,91 Vastaus: 310,91
VAHVISTA OSAAMISTA 07. Funktio on kasvava, kun q > 1 ja vähenevä, kun 0 < q < 1. a) f(x) = 5 x Funktion muutoskerroin on q = 5, joten q > 1. Kyseessä on siten eksponentiaalinen kasvaminen. Vastaus: kasvamista b) g(x) = 1 5 x 1 Funktion muutoskerroin on q 0,2, joten 0 < q < 1. 5 Kyseessä on siten eksponentiaalinen väheneminen. Vastaus: vähenemistä
c) h(x) = 2 0,99 x Funktion muutoskerroin on q = 0,99, joten 0 < q < 1. Kyseessä on siten eksponentiaalinen väheneminen. Vastaus: vähenemistä d) i(x) = e x (Huom! Joissakin ohjelmissa funktio kirjoitetaan exp(x).) Funktion muutoskerroin on q = e = 2,718, joten q > 1. Kyseessä on siten eksponentiaalinen kasvaminen. Vastaus: kasvamista
08. a) Funktiossa f(x) = 3 0,8 x muutoskerroin on q = 0,8, joten se kuvaa eksponentiaalista vähenemistä. Väite on siis epätosi. Vastaus: epätosi, vähenemistä b) Funktiossa g(x) = 1, x muutoskerroin on q = 1,. Väite on siis tosi. Vastaus: tosi c) Funktiossa g(t) = 12 1,012 t on muutoskerroin q = 1,012, joten arvot kasvavat 1,2 % joka vuosi. Väite on siis epätosi. Vastaus: epätosi, kasvaa 1,2 % d) Funktiossa h(x) = 62,9 0,98 x alkuperäinen arvo on a = 62,9, joten se kertoo, että kuvaaja leikkaa y-akselin pisteessä (0; 62,9). Väite on siis epätosi. Vastaus: epätosi, (0; 62,9) 09. A Soluja on aluksi miljoona, ja niiden määrä kasvaa 20 % tunnissa. Kyseessä eksponentiaalinen kasvu. Alkuperäinen arvo on a = 1 000 000. Määrä kasvaa 20 %, joten muutoskerroin on 1,20. Tilanteeseen sopii funktio VI f(x) = 1 000 000 1,2 x. B Soluja on aluksi miljoona, ja niiden määrä vähenee 20 % tunnissa. Kyseessä eksponentiaalinen väheneminen. Alkuperäinen arvo on a = 1 000 000. Määrä vähenee 20 %, joten muutoskerroin on 0,80. Tilanteeseen sopii funktio III f(x) = 1 000 000 0,8 x. C Kaupungissa on aluksi miljoona asukasta, ja asukasluku kasvaa 2 % vuodessa. Kyseessä eksponentiaalinen kasvu. Alkuperäinen arvo on a = 1 000 000. Määrä kasvaa 2 %, joten muutoskerroin on 1,02. Tilanteeseen sopii funktio I f(x) = 1 000 000 1,02 x.
D Kaupungissa on aluksi miljoona asukasta, ja asukasluku vähenee 2 % vuodessa. Kyseessä eksponentiaalinen väheneminen. Alkuperäinen arvo on a = 1 000 000. Määrä vähenee 2 %, joten muutoskerroin on 0,98. Tilanteeseen sopii funktio IV f(x) = 1 000 000 0,98 x. E Altaassa on aluksi miljoona litraa vettä, ja sinne pumpataan lisää vettä 20 litraa minuutissa. Kyseessä ei ole eksponentiaalinen muutos eli tilanteeseen ei sovi eksponentiaalinen malli. Veden määrä lisääntyy 20 litraa minuutissa, joten kyseessä on lineaarinen muutos. Lineaarinen malli on muotoa f(x) = kx + b, joka voidaan kirjoittaa myös toisessa järjestyksessä f(x) = b + kx. Mallissa alkuarvona on b ja kulmakerroin k kuvaa muutosta. Kun kulmakerroin on positiivinen, kyseessä on lineaarinen kasvu. Tehtävässä alkuarvo on b = 1 000 000 ja kulmakerroin on k = 20 kuvaa kasvua. Tilanteeseen sopii funktio II f(x) = 1 000 000 + 20x. F Altaassa on aluksi miljoona litraa vettä, ja sieltä valuu pois 20 litraa vettä minuutissa. Kyseessä ei ole eksponentiaalinen muutos eli tilanteeseen ei sovi eksponentiaalinen malli. Veden määrä vähenee 20 litraa minuutissa, joten kyseessä on lineaarinen muutos. Lineaarinen malli voidaan kirjoittaa muodossa f(x) = b + kx, jossa alkuarvona on b ja kulmakerroin k kuvaa muutosta. Kun kulmakerroin on negatiivinen, kyseessä on lineaarinen muutos. Tehtävässä alkuarvo on b = 1 000 000 ja kulmakerroin on k = 20 kuvaa vähenemistä. Tilanteeseen sopii funktio V f(x) = 1 000 000 20x. Vastaus: A: VI, B: III, C: I, D: IV, E: II ja F: V
10. a) Mallin alkuperäinen arvo on a = 60,1. Päästöjen määrä pienenee vuosittain 5 %, joten seuraavan vuoden päästöjen määrä on 100 % 5 % = 95 % edellisen vuoden päästöistä. Päästöt siis 0,95- kertaistuvat vuosittain, joten muutoskerroin q = 0,95. Mallin yksinkertaistamiseksi muuttujaksi valitaan aika vuosina vuodesta 201. Päästöjä kuvaava malli on f(x) = 60,1 0,95 x, missä x on vuosia vuodesta 201. Vastaus: f(x) = 60,1 0,95 x, jossa x on aika vuosina vuodesta 201 b) Vuonna 202 on kulunut 202 201 = 10 vuotta vuodesta 201. Vuoden 202 päästöjen määrä saadaan sijoittamalla malliin x = 10. f(10) = 60,1 0,95 10 = 35,98... 36,0 Kokonaispäästöt vuonna 202 ovat noin 36,0 miljoonaa hiilidioksiditonnia. Vastaus: 36,0 miljoonaa hiilidioksiditonnia c) Videossa https://vimeo.com/210765270/80cbeb09e näytetään, miten funktion kuvaaja piirretään sopivalla ohjelmalla.
0,1x 11. a) Mallissa y 100 000 alkuperäinen arvo on a = 100 000, joka ilmaisee, bakteerien määrän tilanteen alussa. Mallin mukaan siis vaaditaan 100 000 bakteeria, jotta infektio pääsee alkamaan elimistössä. Vastaus: 100 000 bakteeria 0,1 x b) Malli y 100 000 ilmaisee bakteerien määrän, kuin x on aika tunneissa. Bakteerien määrä 50 tunnin kuluttua saadaan sijoittamalla malliin x = 50. y 0,1 50 100 000 163800000 1600 000 000 Vastaus: 1 600 000 000 bakteeria 0,1 x 0,1 c) Mallissa y 100 000 kerroin x ilmaisee, kuinka moninkertaiseksi bakteerien määrä kasvaa x tunnissa. Muodostetaan yhtälö, kuinka monen tunnin x kuluttua bakteerien määrä on nelinkertaistunut ja ratkaistaan siitä tuntien määrä x. 0,1x 1 : 0,1 x 1 0,1 7,12... 0,1x 100 000 00 000 :100 000 0,1x 1 x x 7 Bakteerien määrä on nelinkertaistunut noin 7 tunnin kuluttua. Vastaus: 7 tunnissa
12 12. a) Malli f() t 500 0,5 t ilmaisee lääkeaineen määrän milligrammoina ihmisen elimistössä, kun lääkkeen ottamisesta on kulunut t tuntia. Alkuperäinen arvo on a = 500, joka ilmaisee, että alussa lääkeaineen määrä elimistössä on 500 mg. Vastaus: lääkeaineen määrän alussa 12 b) Malli f() t 500 0,5 t ilmaisee lääkeaineen määrän milligrammoina ihmisen elimistössä, kun lääkkeen ottamisesta on kulunut t tuntia. Lääkeaineen määrä elimistössä vuorokauden kuluttua alkuhetkestä saadaan sijoittamalla malliin t = 2. 2 12 f (2) 500 0,5 125, joten vuorokauden kuluttua lääkeaineen määrä on 125 mg. Vastaus: 125 mg c) Kun lääkkeen määrä on puoliintunut elimistössä, lääkettä on jäljellä 250 mg. Muodostetaan yhtälö ja ratkaistaan puoliintumiseen kuluva aika x. t 500 0,512 250 :500 t 0,512 0,5 t 0,512 0,5 1 Kun kantaluvut ovat yhtä suuret, niin riittää tutkia, milloin eksponentit ovat yhtä suuret. t 12 1 12 t 12 Lääkeaineen puoliintumisaika on 12 tuntia. Vastaus: 12 tuntia
13. Muodostetaan matemaattiset mallit Joensuun ja Seinäjoen asukasluvuille. Vuoden 2015 lopussa Joensuussa oli 75 51 asukasta ja Joensuun väestö kasvoi vuonna 2015 0,6 %. Jos kasvu jatkuu samanlaisena, voidaan Joensuun asukaslukua mallintaa funktiolla J(x) = 75 51 1,006 x, jossa x ilmaisee kuinka monta vuotta on kulunut vuodesta 2015 alkaen. Vuoden 2015 lopussa Seinäjoella oli 61 530 asukasta ja Seinäjoen väestö kasvoi vuonna 2015 1,1 %. Jos kasvu jatkuu samanlaisena, voidaan Seinäjoen asukaslukua mallintaa funktiolla S(x) = 61 530 1,011 x, jossa x ilmaisee kuinka monta vuotta on kulunut vuodesta 2015 alkaen. Piirretään molempien funktioiden kuvaajat samaan koordinaatistoon ja etsitään minä vuonna Seinäjoen asukasluku saavuttaa Joensuun asukasluvun. Käyrät leikkaavat, kun muuttujan x arvo on vähän yli 1 eli Seinäjoen asukasluku saavuttaa Joensuun asukasluvun vuonna 2015 + 1 = 2056, jos kasvu jatkuu samanlaisena molemmissa kaupungeissa. Käyrien leikkauspisteen y-koordinaatti on noin 96 680, joten molempien kaupunkien asukasluvut ovat tällöin noin 96 680. Vastaus: vuonna 2056, 96 680 asukasta
1. Suureen A nykyinen arvo on a. a) Kun suureen A arvo kasvaa 30 % vuodessa, niin muutoskerroin on q = 100 % + 30 % = 130 % = 1,30. Malli f(t) = a 1,3 t ilmoittaa suureen A arvon ajan t funktiona. Vastaus: f(t) = a 1,3 t b) Kun suureen A arvo vähenee 20 % vuodessa, niin muutoskerroin on q = 100 % 20 % = 80 % = 0,80. Malli f(t) = a 0,8 t ilmoittaa suureen A arvon ajan t funktiona. Vastaus: f(t) = a 0,8 t c) Kun suureen A arvo pienenee joka vuosi kolmasosaan edellisen vuoden arvosta, niin muutoskerroin on q 1. 3 t Malli f() t a 1 3 ilmoittaa suureen A arvon ajan t funktiona. Vastaus: t 1 f() t a 3 d) Kun suureen A arvo kasvaa joka vuosi kolmasosalla edellisen vuoden arvosta, niin muutoskerroin on q 1 1. 3 3 t Malli f() t a 3 ilmoittaa suureen A arvon ajan t funktiona. t Vastaus: f() t a 3
15. Eksponentiaalinen malli on muotoa f(x) = a q x, jossa a on alkuperäinen arvo ja q on muutoskerroin. a) Muurahaiskeossa on alussa 20 muurahaista, joten alkuperäinen arvo on a = 20. Jokaisen vuorokauden aikana muurahaisten määrä kasvaa 50 %, joten muutoskerroin on q = 100 % = 50 % = 150 % = 1,50. Malli f(x) = 20 1,5 x ilmaisee muurahaisten lukumäärän, kun aikaa alusta on kulunut x vuorokautta. Kun muurahaispesän muurahaisten määrä 20-kertaistuu, pesässä on 20 20 = 00 muurahaista. Ratkaistaan yhtälöstä 20 1,5 x = 00 20-kertaistumiseen kuluvien vuorokausien lukumäärä x. 20 1,5 x = 00 :20 1,5 x = 20 x = log 1,5 20 x = 7,388... x = 7, Muurahaisten määrä on 20-kertaistunut noin 7, vuorokauden kuluttua. Vastaus: 7, vuorokauden kuluttua
b) Aurinkosuojavoide päästää säteilystä läpi 20 %, joten muutoskerroin on q = 0,20. Säteilystä pääsee läpi 20 % silloin, kun voidekerroksen paksuus on 0,008 mm. Alkuperäistä arvoa ei tunneta, joten merkitään sitä kirjaimella a. Malli f( x) a 0,2 x ilmaisee säteilyn määrän, kun määrä alussa on a ja aurinkovoidetta on levitetty x kappaletta 0,008 millimetrin kerrosta. Kun UV-säteilystä 5 % pääsee läpi, niin läpi päässeen säteilyn määrä x on 0,05a. Ratkaistaan yhtälöstä a 0,2 0,05a tarvittavien voidekerroksen lukumäärä x. x a 0,2 0,05 a : a x 0,2 0,05 x log0,2 0,05 x 1,861... 0,008 mm voidekerroksia pitää levittää 1,861... kappaletta, joten voidetta pitää olla 1,861... 0,008 mm = 0,018... mm 0,015 mm paksu kerros. Vastaus: 0,015 mm
16. Muodostetaan mallit autojen arvoille. Merkitään auton A hintaa kirjaimella a (a > 0) ja sen arvo alenee 5 % vuodessa. Eksponentiaalisen mallin alkuperäinen arvo on a ja muutoskerroin q = 0,95. Auton A arvoa voidaan mallintaa funktiolla A(x) = a 0,95 x, jossa x ilmaisee kuinka monta vuotta vanha auto on. Auton B hinta on kaksinkertainen autoon A verrattuna eli 2a ja arvon alenema on 10 % vuodessa. Eksponentiaalisen mallin alkuperäinen arvo on 2a ja muutoskerroin q = 0,90. Auton B arvoa voidaan mallintaa funktiolla B(x) = 2a 0,90 x, jossa x ilmaisee kuinka monta vuotta vanha auto on. a) Auton A arvo on puoliintunut, kun sen arvo on 0,5a. Ratkaistaan yhtälöstä a 0,95 x = 0,5a auton arvon puolittumiseen kuluva aika x. x a 0,95 0,5 a : a x 0,95 0,5 x log0,95 0,5 x 13,513... x 1 Auton A arvo puolittuu noin 1 vuodessa. Auton B arvo on puoliintunut, kun sen arvo on a. Ratkaistaan yhtälöstä 2a 0,90 x = a auton arvon puolittumiseen kuluva aika x. x 2a 0,90 a :2a x 0,90 0,5 x log0,90 0,5 x 6,578... x 7 Auton B arvo puolittuu 7 vuodessa Vastaus: auto A 1 vuodessa ja auto B 7 vuodessa
b) Autojen arvot ovat yhtä suuret, kun a 0,95 x = 2a 0,90 x. Yhtälöstä sopivalla ohjelmalla saadaan x = 12,820... 13. Autojen arvot ovat yhtä suuret noin 13 vuoden kuluttua. Vastaus: 13 vuoden kuluttua 17. Metsäkanalintujen lukumäärän muutos vuodessa on q 1100 1,117..., 10200 joten eksponentiaalisen mallin muutoskerroin on q = 1,117 Tänä vuonna lintuja on 11 00, joten viiden vuoden kuluttua niitä on 11 00 1,117 5 = 19 880,53 19 900 Vastaus: 19 900
18. Kofeiinia on aluksi 100 mg ja sen määrä puolittuu 50 milligrammaan 6 kuudessa tunnissa. Tästä saadaan yhtälö 100 q 50. Ratkaistaan yhtälöstä muutoskerroin q eli kuinka moninkertaiseksi kofeiinin määrä muuttuu yhdessä tunnissa. 6 100 q 50 :100 6 q q q 0,5 6 ( ) 0,5 ( ) 0,890... Kofeiinin määrälle elimistössä saadaan funktio f(x) = 100 0,890... x, jossa x on kahvikupin nauttimisesta kulunut aika tunteina. a) Kofeiinin määrä elimistössä kahdeksan tunnin jälkeen saadaan, kun funktioon f(x) sijoitetaan x = 8. f(8) = 100 0,890... 8 = 39,686... 0 Kofeiinin määrä elimistössä kahdeksan tunnin jälkeen on noin 0 mg. Vastaus: 0 mg b) Ratkaistaan yhtälöstä 100 0,890... x = 75, kuinka monen tunnin x kuluttua elimistössä on 75 mg kofeiinia. 100 0,890... x 75 :100 0,890... x 0,75 x log 0,890... 0,75 x 2,90... x 2,5 Kofeiinin määrä on 75 mg noin 2,5 tunnin kuluttua kahvikupin juomisen jälkeen. Petrin ei kannata juoda kahvia klo 19.30 jälkeen. Vastaus: klo 19.30 jälkeen
19. a) Tartuntojen määrä kaksinkertaistui 29 vuorokauden jaksoissa. Jos kaksinkertaistumisien lukumäärää epidemian alkamisesta merkitään kirjaimella x, niin muutos saadaan mallinnettua lausekkeella 2 x, missä x on 29 vuorokauden jaksojen lukumäärä. Tartunnan määrä tarkastelun alussa oli 250, joten eksponentiaalisen mallin alkuperäinen arvo on a = 250. Tilannetta kuvaava eksponentiaalinen malli on f( x) 250 2 x, jossa muuttuja x ilmaisee 29 vuorokauden jaksojen lukumäärän epidemian alkamisesta. Vastaus: f( x) 250 2 x, jossa x on 29 vuorokauden jaksojen lukumäärä b) Vuodessa on 365 12,586... kappaletta 29 vuorokauden jaksoa. 29 Tartuntojen määrä vuoden kuluttua tarkastelun alkuhetkestä saadaan sijoittamalla muuttujan x = 12,586... Tällöin 12,586... f (12,586...) 250 2 1537 325, 8 1500 000. Jos tautia ei olisi pysäytetty ja se olisi saanut riehua vapaasti vuoden ajan, niin vuoden kuluttua tartuntoja olisi ollut noin 1 500 000. Vastaus: 1 500 000
20. a) Galliumin puoliintumisaika on 6,5 h 1,9375 2 h vuorokautta. Galliumia on aluksi 100 mg, joten x vuorokauden kuluttua sen määrä on 100q x. Kun aikaa on kulunut 1,9375 vuorokautta, galliumia on jäljellä puolet eli 50 mg. Muodostetaan yhtälö ja ratkaistaan siitä muutoskerroin q. 1,9375 100q 50 :100 1,9375 q q q 0,5 1,9375 0,5 0,699... Vuorokauden jälkeen galliumia on jäljellä 100 0,699... 1 = 69,92... 70 mg. Vastaus: 70 mg b) Kun galliumista on hajonnut 99 %, sitä on jäljellä 1 % eli 0,01 100 mg = 1 mg. Muodostetaan yhtälö ja ratkaistaan siitä x. x 100 0,699... 1 :100 x 0,699... 0,01 x log0,699... 0,01 x 12,872... x 13 Galliumista on hajonnut 99 % noin 13 vuorokauden kuluttua. Vastaus: 13 vrk c) Muutoskerroin q = 0,699... kertoo, kuinka moninkertaiseksi gallium määrä muuttuu vuorokaudessa. Joten ensimmäisen vuorokauden jälkeen galliumista on jäljellä 69,92... % 70 % eli galliumia hajoaa 100 % 70 % = 30 %. Toisen vuorokauden aikana jäljellä olevasta galliumista hajoaa vastaavasti 30 %. Vastaus: 30 % ja 30 %
SYVENNÄ YMMÄRRYSTÄ 0,02t 21. Funktio pt () 100 2,7 ilmaisee, että p prosenttia akuista toimii vielä t kuukauden jälkeen. a) 36 kuukauden päästä toimivien akkujen osuus saadaan sijoittamalla funktioon t = 36. 0,02 36 p(36) 100 2,7 8,912, joten noin 9 % akuista kestää vähintään 36 kuukautta. Vastaus: 9 % b) 8 kuukauden päästä toimivien akkujen osuus saadaan sijoittamalla funktioon t = 8. 0,02 8 p(8) 100 2, 7 38,538, joten 38,538 % akuista kestää vähintään 8 kuukautta. Loput eli 100 % 38,538 % = 61,61 % 61% lopettaa toimintansa tätä aiemmin. Vastaus: 61 % c) Aikavälillä [36 kk, 8 kk] toimintansa lopettavien akkujen osuus saadaan a) ja b) kohtien perusteella: 8,912 % 38,538 % = 10,37 % 10 % Vastaus: 10 %
22. a) Merkitään radioaktiivisen hiilen määrää alussa kirjaimella a. Radiohiilen määrä puolittuu, eli tulee 0,5-kertaiseksi 5730 vuodessa, joten radiohiilen määrä voidaan laskea funktiolla f( x) a 0,5 x, jossa x on 5730 vuoden jaksojen lukumäärä. Löydettäessä voissa radiohiiltä oli jäljellä 78,5 % eli 0,785a. Muodostetaan yhtälö radiohiilen avulla ja ratkaistaan siitä 5730 vuoden jaksojen lukumäärä x. x a 0,5 0,785 a : a x 0,5 0,785 x log0,5 0,785 x 0,39... 5730 vuoden jaksoja on 0,39..., joten kulunut aika on 0,39... 5730 = 2001,119... 2000 vuotta. Voihin käytetty maito on lypsetty noin 2000 vuotta sitten. Vastaus: 2000 vuotta sitten b) Käytetään apuna a-kohdan funktiota f( x) a 0,5 x. Radiohiiltä oli alunperin 1 g, joten a = 1. Miljoonassa vuodessa on 1000 000 17,520... 5730 vuoden jaksoa. 5730 Lasketaan funktion f arvo, kun x = 17,520... f (17,520...) 1 0,5 2,912... 10 3,0 10 17,520... 53 53 Vastaus: 3,0 10 53 mg c) b-kohdalla todella vanhojen fossiilien (yli 60 000 vuotta) iän määritys radiohiilellä ei onnistu, koska radiohiiltä on jäljellä liian vähän. Vastaus:
23. Piirretään funktion f(t) = 1,2 e 0,007t 1,2 e 0,0t kuvaaja. a) Kuvaajasta analysointitoiminnolla saadaan, että veren alkoholipitoisuus on suurimmillaan noin 53 minuutin kuluttua ja tällöin se on noin 0,68 promillea. Vastaus: n. 53 min kuluttua, 0,68 b) Puolet alkoholipitoisuuden huippuarvosta on 0,68 0,3. 2 Kuvaajasta voidaan arvioida, että tähän kuluu aikaa noin 180 minuuttia. Vastaus: n. 180 min
c) Laskemalla sopivan ohjelman avulla funktion nollakohdat saadaan, että funktion ainoa nollakohta on t = 0. Funktio saa kohdan t = 0 jälkeen vain positiivisia arvoja. Mallin avulla ei voi päätellä milloin alkoholi on poistunut verestä kokonaan, koska funktio saa ajanhetken t = 0 jälkeen nollaa suurempia arvoja. Vastaus: ei voi 2. Muodostetaan yhtälö funktion f avulla milloin ruumiin lämpö oli 37 ja ratkaistaan siitä aika t. 21 11,9e 0,0659t 37 11,9e 0,0659t 37 21 11,9e 0,0659t 16 :11,9 e 0,0659t 1,3... 0,0659t ln1,3... t,92... t,5 :( 0,0659) Mallin mukaan kuolinhetki oli,5 tuntia sitten. Vastaus:,5 tuntia sitten
25. f(x) = a q x a) Muodostetaan yhtälöpari ja ratkaistaan siitä kirjainten a ja q arvot. Pisteestä (1, 6) saadaan yhtälö 6 = aq 1 ja pisteestä (3, 2) saadaan yhtälö 2 = aq 3 Ratkaistaan 6 aq 6 q a Sijoitetaan 3 2 aq 2 3 6 2 a a a 216 2 3 a 216 2 2 a 2 2a 216 :2 a 9 a 9 a 3 6 Kun a = 3, niin q 2. 3 6 Kun a = 3, niin q 2, joka on negatiivinen eli ei kelpaa, koska 3 eksponentiaalisessa mallissa muutoskertoimen q pitää olla positiivinen. Saatiin a = 3 ja q = 2, joten f(x) = aq x = 3 2 x. Vastaus: f(x) = 3 2 x
b) Muodostetaan yhtälöpari ja ratkaistaan siitä kirjainten a ja q arvot. Pisteestä (0,2) ja saadaan yhtälö 2 = aq 0 ja pisteestä(2, 2 9 ) saadaan yhtälö 2 2 aq. 9 Ratkaistaan 0 2 aq 2 a 1 a 2 Sijoitetaan 2 2 aq 9 2 2 2 q :2 9 1 2 q 9 2 1 q 9 1 q 3 Negatiivinen arvo ei kelpaa, koska eksponentiaalisessa mallissa q > 0, 1 joten saadaan q 3 Lisäksi saatiin a = 2, joten x 1 f( x) aq 2 3 x Vastaus: x 1 f( x) 2 3
.2 Geometrinen lukujono mallina ALOITA PERUSTEISTA 26. a) Suhdeluku q on luku, jolla lukujonon jäsen kerrotaan, jotta saadaan seuraava jäsen. Vastaus: q = b) Kahdella jakaminen on puolella kertomista, joten q = 1 2. Vastaus: q = 1 2 27. a) Suhdeluku on 16 2 = 32. 8 q 2, joten puuttuvat jäsenet ovat 8 2 = 16 ja Vastaus: puuttuvat jäsenet 16 ja 32, q = 2 a5 b) Suhdeluku on q 1, joten puuttuvat jäsenet ovat a 3 ja 27 9 3. 81 1 81 27 3 3 Vastaus: puuttuvat jäsenet 27 ja 9, q 1 3 3 2 c) Suhdeluku on q 3 ja puuttuvat jäsenet ovat 3 3 3 3 Vastaus: puuttuvat jäsenet 3 5 ja 3 q 3, 5 ja 3.
28. a) Geometrisen jonon 80, 0, 20, suhdeluku on q 0 1. Neljäs 80 2 jäsen on 20 1 = 20 2 2 = 10 ja n. jäsen n a 80 1 1 n. 2 Vastaus: a = 10 ja 1 1 a n n 80 2 b) Koska lukujonon ensimmäinen jäsen a 1 = 3 ja suhdeluku q = 2, niin seuraavat jäsenet ovat a 2 = 3 2 = 6, a 3 = 6 2 = 12, a = 12 2 = 2 ja n. jäsen a n = 3 2 n 1. Vastaus: a = 2 ja a n = 3 2 n 1
29. a) Piian viikoittaiset säästöt muodostavat jonon a 1 = 0,5, a 2 = 0,5 2 = 1, a 3 = 1 2 = 2, a = 2 2 =, a 5 = 2 = 8, a 6 = 8 2 = 16 ja a 7 = 16 2 = 32. Vastaus: 0,5; 1; 2; ; 8; 16 ja 32 b) Fridan viikoittaiset säästöt muodostavat jonon b 1 = 3, b 2 = 3 + 2 = 5, b 3 = 5 + 2 = 7, b = 7 + 2 = 9, b 5 = 9 + 2 = 11, b 6 = 11 + 2 = 13 ja b 7 = 13 + 2 = 15. Vastaus: 3, 5, 7, 9, 11, 13 ja 15 c) a-kohdan lukujonon jäsenet saadaan kertomalla edellinen jäsen luvulla 2, joten lukujono on geometrinen. b- kohdan lukujonon jäsenet saadaan lisäämällä edelliseen jäseneen luku 2, joten lukujonon aritmeettinen. Vastaus: a-kohdan jono on geometrinen ja b-kohdan aritmeettinen d) Piia laittaa 7 viikon aikana säästöön 0,5 + 1 + 2 + + 8 + 16 + 32 = 63,5 euroa ja Frida 3 + 5 +7 + 9 + 11 + 13 + 15 = 63 euroa. Vastaus: Piia
30. a) Lasketaan lukujonon. jäsen sijoittamalla n = lukujonon lausekkeeseen a n = 0,5 n. a = 0,5 = 0,0625 Tulos käytännössä tarkoittaa, että A-paperiarkin pinta-ala on 0,0625 m 2. Vastaus: a = 0,0625. A-paperin pinta-ala on 0,0625 m 2. b) Ratkaistaan yhtälöstä 0,5 n = 0,125 kirjain n. n 0,5 0,125 n log0,5 0,125 n 3 Tulos tarkoittaa, että jos A-sarjan paperiarkin pinta-ala on 0,125 m 2, niin kyseessä on A3-arkki. Vastaus: n = 3. A3-paperin pinta-ala on 0,125 m 2.
31. a) Yhden työvaiheen jälkeen paloja on 2, kahden vaiheen jälkeen, kolmannen vaiheen jälkeen 8 ja niin edelleen. Lukujonon ensimmäiset jäsenet ovat 2,, 8 ja 16. Vastaus: 2,, 8 ja 16 b) Jokainen pala jaetaan joka työvaiheessa kahdeksi palaksi, eli palojen määrä kaksinkertaistuu joka työvaiheessa. Suhdeluku on siis q = 2. Vastaus: q = 2 c) Lukujonon ensimmäinen jäsen on a 1 = 2 ja suhdeluku q = 2, joten lukujonon yleinen jäsen on a n = 2 2 n 1 = 2 1 2 n 1 = 2 1 + n 1 = 2 n. Vastaus: a n = 2 n d) Ratkaistaan yhtälön avulla, kuinka mones lukujonon jäsen luku 6 on. 2 n = 6 n log2 6 n 6 Vastaus: kuudes
VAHVISTA OSAAMISTA 32. a) Lasketaan lukujonon ensimmäisiä jäseniä: a 1 = 3 + (1 1) 5 = 3 + 0 5 = 3 a 2 = 3 + (2 1) 5 = 3 + 1 5 = 8 a 3 = 3 + (3 1) 5 = 3 + 2 5 = 13 Lasketaan peräkkäisten jäsenten suhteet: a2 8 2 2 a 1 3 3 a3 13 1 5 a 8 8 2 Peräkkäisten jäsenten suhteet eivät ole yhtä suuria, joten lukujono ei voi olla geometrinen. Joten väite on epätosi. Lukujonon lauseke a n = 3 + (n 1) 5 on aritmeettisen lukujonon yleinen jäsen, jossa a 1 = 3 ja d = 5. Lukujono on siis aritmeettinen. Vastaus: epätosi, aritmeettinen b) Lasketaan lukujonon ensimmäinen jäsen. b 1 = 16 0,5 1 1 = 16 0,5 0 =16 1 = 16 Väite on tosi. Vastaus: tosi c) Suhdeluku saadaan jakamalla geometrisen lukujonon peräkkäiset jäsenet. Lasketaan lukujonon kaksi ensimmäistä jäsentä. c 1 = 6 2 1 1 = 6 2 0 =6 1 = 6 c 2 = 6 2 2 1 = 6 2 1 =6 2 = 12 c2 Suhdeluku on 12 2, joten väite on epätosi. c1 6 (Suhdeluvun saa myös suoraan lukujonon lausekkeesta). Vastaus: epätosi, 2
d) Lukujonon jäsen saadaan kertomalla edellistä jäsentä luvulla 0,8 eli jäsen on 80 % edellistä jäsenestä. Väite on epätosi. Jäsen on 100 % 80 % = 20 % edellistä jäsentä pienempi. Vastaus: epätosi, 20 %, pienempi 33. A Lukujono a n = 10 2n on aritmeettinen. Aritmeettisen lukujonon havainnollistus koostuu erillisisistä pisteistä, jotka sijoittuvat samalle suoralle. Ainoa tällainen havainnollistus on IV. B Lukujono b n = 2 n 2 on geometrinen lukujono, jonka suhdeluku on 2. Kuvaajassa I pisteiden y-koordinaatit kaksinkertaistuvat, kun x- koordinaatit kasvavat yhdellä, joten se havainnollistaa lukujonoa b n. C Lukujono c n = 6 0,5 n 1 on geometrinen, jonka ensimmäinen jäsen on c 1 = 6 0,5 1 1 = 6 ja suhdeluku q = 0,5. Kuvaajassa VI pisteiden y-koordinaatit puolittuvat, kun x-koordinaatit kasvavat yhdellä, joten se havainnollistaa lukujonoa c n. D Funktio f ( x) x on ensimmäisen asteen polynomifunktio ja sitä 3 kuvaa suora. Ainoa kuvaaja, joka on suora, on kuvaaja II. E Funktion g(x) = 8 0,5x 2 on toisen asteen polynomifunktio. Funktiota g kuvaa alaspäin aukeava paraabeli, joka leikkaa y-akselin pisteessä (0, 8). Tällainen kuvaaja on V. F Funktio h(x) = 8 0,5 x on eksponentiaalinen malli, jonka alkuperäinen arvo on a = 8 ja muutoskerroin q = 0,5. Funktio h leikkaa y-akselin pisteessä on (0, 8) ja on vähenevä. Tällainen kuvaaja on III. Vastaus: A: IV, B: I, C: VI, D: II, E: V ja F: III
3. a) Muodostetaan lukujonon yleisen jäsenen kaavan a n = a 1 q n 1 avulla yhtälö sijoittamalla siihen n = 6, a 6 = 611 ja q =. Ratkaistaan yhtälöstä ensimmäinen jäsen a 1. 61 = a 1 6 1 61 = a 1 5 102a 1 = 61 : 102 a 1 = 6 Ensimmäinen jäsen on a 1 = 6 ja suhdeluku q =, joten yleinen jäsen on a n = 6 n 1. Vastaus: a 1 = 6, a n = 6 n 1 b) 15. jäsen on a 15 = 6 15 1 = 6 1 = 1 610 612 736. Vastaus: 1 610 612 736 c) Ratkaistaan yhtälön avulla, kuinka mones lukujonon jäsen luku 02 653 18 on. 6 n 1 = 02 653 18 : 6 n 1 = 67 108 86 n 1 = log 67 108 86 n 1 = 13 n = 1 Koska yhtälön ratkaisu on kokonaisluku, luku 02 653 18 on lukujonon 1. jäsen. Vastaus: on, 1. jäsen
35. Geometrisen lukujonon ensimmäinen jäsen a 1 = 3 ja suhdeluku q 12. Tällöin geometrisen lukujonon yleinen jäsen on 3 n 1 n 1 an aq 1 3. a) Ratkaistaan yhtälön avulla, kuinka monentena päivänä singleä kuunnellaan yli 60 000 kertaa. n 1 3 60 000 :3 n 1 20 000 n 1 log 20 000 n 1 7,13... n 7,13... 1 n 8,13... Kuuntelukertojen määrä ylittää ensimmäisen kerran 60 000 kertaa 9. päivänä julkaisusta. Vastaus: 9. päivänä b) Ratkaistaan yhtälön avulla, kuinka monentena päivänä singleä kuunnellaan yli1 000 000 kertaa. n 1 3 1000 000 :3 n 1 333 333,333... n 1 log 333 333,333... n 1 9,173... n 9,173... 1 n 10,173... Kuuntelukertojen määrä ylittää miljoonan 11. päivänä julkaisusta. Vastaus: 11. päivänä
36. a) Määritetään geometrisen lukujonon suhdeluku q peräkkäisten jäsenten avulla. q a 5 3 a2 15 3 Koska geometrisen lukujonon toinen jäsen on a 2 = 15 ja suhdeluku q = 3, niin ensimmäinen jäsen saadaan jakolaskulla a a q 15 3 2 1 5. Geometrisen lukujonon n. jäsenen lauseke on a n = 5 3 n 1. 8 1 7 Geometrisen lukujonon 8. jäsen on a8 aq 1 5 3 10 935. Vastaus: a n = 5 3 n 1, 10 935 b) Geometrisen lukujonon. jäsen a = 162 saadaan kertomalla ensimmäinen jäsen a 1 = 6 kolmesti suhdeluvulla q. Muodostetaan tästä yhtälö jo ratkaistaan siitä q. 6 q q q 162 3 6q 162 :6 3 q q q 27 3 27 3 Geometrisen lukujonon n. jäsenen lauseke on a n = 6 3 n 1. Geometrisen lukujonon 8. jäsen on a 8 1 7 8 aq 1 6 3 13122. Vastaus: a n = 6 3 n 1, 13 122
c) Geometrisen lukujonon 7. jäsen a 7 = 8 saadaan kertomalla toinen jäsen a 2 = 1 viidesti suhdeluvulla q. Muodostetaan tästä yhtälö jo ratkaistaan siitä q. 1 q q q q q 8 5 1q 8 :1 5 q q q 32 5 32 2 Lukujonon ensimmäinen jäsen a 1 saadaan, kun toinen jäsen a 2 = 1 jaetaan suhdeluvulla q = 2. a 1 1 7 2 Geometrisen lukujonon n. jäsenen lauseke on a n = 7 2 n 1. Geometrisen lukujonon 8. jäsen on a 8 = 7 2 8 1 = 7 2 7 = 896. Vastaus: a n = 7 2 n 1, 896
37. Koska savukkeiden kulutus vähenee vuosittain 11 %, kulutettujen savukkeiden määrät muodostavat geometrisen lukujonon. Lukujonon suhdeluku q = 0,89 (100 % 11 % = 89 % = 0,89). Lukujonon ensimmäinen jäsen on vuonna 201 kulutettujen savukkeiden määrä 317 miljoonaa, mutta laskujen helpottamiseksi käytetään ensimmäisenä jäsenenä lukua a 1 = 317. Geometrisen lukujonon yleinen jäsen on a n = 317 0,89 n 1. a) Vuoden 2020 jäsenluku on 2020 201 + 1 = 7. Lasketaan lukujonon 7. jäsen a 7 = 317 0,89 7 1 = 317 0,89 6 = 215,68... 215. Vuonna 2020 savukkeita kulutetaan noin 215 miljoonaa. Vastaus: 215 miljoonaa b) Savukkeiden kulutus alittaa 1000 miljoonaa, kun geometrisen lukujonon jäsen on pienempi kuin 1000. Muodostetaan yhtälö a n = 1000 ja ratkaistaan siitä järjestysluku n. 317 0,89 n 1 1000 : 317 0,89 n 1 0,231... n 1 log 0,89 0,231... n 1 12,550... n 12,550... 1 n 13,550... n 1 Lukujonon järjestysluku on 1, joten savukkeiden kulutus alittaa 1000 miljoonaa vuonna 201 + 1 1 = 2027. Vastaus: vuonna 2027
38. a) Tilin saldo seuraavana vuonna on 1,2 % suurempi kuin tänä vuonna, eli 101,2 % tämän vuoden saldosta, eli 1,012-kertainen tämän vuoden saldoon verrattuna. n vuoden aikana tilin saldo 1,012-kertaistuu n kertaa, jolloin se on a n = 200 1,012 n. Vastaus: a n = 200 1,012 n b) Lasketaan lukujonon jäseniä taulukkolaskentaohjelmalla. Kirjoitetaan soluun A2 luku 1 ja soluun A3 =A2+1 ja kopioidaan solua A3 alaspäin. Kirjoitetaan soluun B2 =200*1.012^A2 ja kopioidaan solua B2 alaspäin. Lasketaan lisää lukujonon jäseniä, kunnes löydetään ensimmäinen, joka ylittää 350 euroa. Lukujonon 7. jäsen on ensimmäinen, joka ylittää luvun 350, joten tilin saldo ylittää 350 euroa 7 vuoden kuluttua. Vastaus: 7 vuoden kuluttua
c) Videossa https://vimeo.com/210765280/6335c8f1 näytetään, miten lukujonon havainnollistus tehdään sopivalla ohjelmalla. 39. Geometrisen lukujonon 12; 9; 6,75; peräkkäisten jäsenten suhde on 9 q 0,75. Yleinen jäsen on siis a n = 12 0,75 n 1. Koska 0,75 < 1, 12 niin lukujonon jäsenet pienevät järjestysluvun n kasvaessa. Ratkaistaan yhtälön avulla, kuinka mones lukujonon jäsen on ensimmäinen, joka alittaa luvun 0,01. n 1 12 0, 75 0, 01 :12 n 1 0,75 0,000833... n 1 log0,75 0,000 833... n 1 2,65... n 25,65... Lukujonon 26. jäsen on ensimmäinen, joka alittaa luvun 0,01. Tarkistetaan laskemalla taulukkolaskentaohjelmalla lukujonon jäseniä alusta alkaen. Kirjoitetaan soluun A2 luku 1 ja soluun A3 =A2+1 ja kopioidaan solua A3 alaspäin. Kirjoitetaan soluun B2 luku 2 ja soluun B3 =B2*0.75 ja kopioidaan solua B3 alaspäin.
Jatketaan taulukkoa, kunnes löytyy ensimmäinen luvun 0,01 alittava lukujonon jäsen. Lukujonon 26. jäsen on ensimmäinen, joka on pienempi kuin 0,01. Vastaus: 26. jäsenestä alkaen
0. a) Koska alkuperäistä hintaa ei ole annettu, sitä on merkittävä kirjaimella. Merkitään alkuperäisiä hintoja kirjaimella a. Hinnat nousevat % vuodessa, joten ovat aina 100 % + % = 10 % edellisen vuoden hinnoista, eli ne kasvavat 1,0-kertaisiksi. Hinnat muodostavat geometrisen lukujonon, jonka ensimmäinen jäsen on a 1 = a ja 12. jäsen a 12 = a 1,0 12 = 1,601 a 1,6a. Hinnat nousevat noin 1,6-kertaisiksi. Vastaus: 1,6-kertaisiksi b) Kun hinnat ovat kaksinkertaistuneet, ne ovat 2a. n vuoden jälkeen hinnat ovat a 1,0 n. Ratkaistaan yhtälön avulla, mikä luvun n pitäisi olla, jotta hinnat olisivat 2a. n a 1, 0 2 a : a n 1, 0 2 n log1,0 2 n 17,672... Hinnat kaksinkertaistuvat 18 vuodessa. Vastaus: 18 vuotta
1. a) Koska harjoituksen kesto kasvaa joka päivä yhtä monta prosenttia, niin päivittäisten harjoitusten ajat muodostavat geometrisen jonon. Peräkkäisten jäsenten suhde on q = 100 % + 5 % = 105 % = 1,05. Määritetään 30. päivän harjoituksen kesto taulukkolaskentaohjelmalla. Kirjoitetaan luku 15 soluun A1 ja soluun A2 =A1*1.05. Kopioidaan solua A2 alaspäin 30:nnen rivin kohdalle.... Tunneiksi ja minuuteiksi muutettuna 61,7 minuuttia on 1 h 2 min. Vastaus: 1 h 2 min b) Harjoitusten kokonaiskesto on minuutteina saadaan käyttämällä taulukkolaskennan summa-komentoa. Kirjoitetaan soluun A31 =summa(a1:a30). Lasketaan, kuinka monta kokonaista tuntia 996,582... minuuttiin sisältyy. 996,582... 16,609..., joten kokonaisia tunteja on 16. 60 Muunnetaan desimaaliosa 0,609 tuntia minuuteiksi. 0,609 h = 0,609 60 min = 36,582 min 37 min. Vastaus: 16 h 37 min
2. Olkoon a n puhelinmallin myynti vuoden n:ntenä kuukautena, eli tammikuussa n = 1, helmikuussa n = 2 ja niin edelleen. Siis a 1 = 7817 ja a = 13 238. a) Puhelimen myyntimäärät muodostavat aritmeettisen lukujonon a n = a 1 + (n 1) d. Sijoittamalla tähän a = 13 238 ja n = saadaan yhtälö 13 238 = a 1 + ( 1) d. Sijoitetaan vielä a 1 = 7817 ja ratkaistaan erotusluku d. 13238 7817 3d 13238 7817 3d 3d 521 :3 d 1807 Aritmeettisen lukujonon ensimmäinen jäsen on a 1 = 7817 ja erotusluku d = 1807, joten jonon yleinen jäsen on a n = 7817 + (n 1) 1807. Joulukuun myynti on arviolta a 12 = 7817 + (12 1) 1807 = 27 69 28 000 kappaletta. Vastaus: 28 000 kappaletta b) Puhelimen myyntimäärät muodostavat geometrisen lukujonon a n = a 1 q n 1. Sijoittamalla tähän a = 13 238 ja n = saadaan yhtälö 13 238 = a 1 q 1. Sijoitetaan vielä a 1 = 7817 ja ratkaistaan suhdeluku q. 1 13238 7817q 3 13238 7817 q : 7817 1,693... q q 3 1,693... q 1,191... 3 Geometrisen lukujonon ensimmäinen jäsen on a 1 = 7817 ja suhdeluku q = 1,191, joten jonon yleinen jäsen on a n = 7817 1,191 n 1. Joulukuun myynti on arviolta 7817 1,191 12 1 = 53 939,686 5 000 kappaletta. Vastaus: 5 000 kappaletta
3. Olkoon a n seuraajien määrä vuoden maaliskuusta lähtien, eli maaliskuussa n = 1, huhtikuussa n = 2 ja niin edelleen. Siis a 3 = 680 ja a 7 = 1700. a) Seuraajien määrät muodostavat aritmeettisen lukujonon a n = a 1 + (n 1) d. Aritmeettisen lukujonon seitsemäs jäsen a 7 = 1700 saadaan, kun kolmanteen jäseneen a 3 = 680 lisätään erotusluku d neljä kertaa. Muodostetaan tästä yhtälö ja ratkaistaan siitä erotusluku d. a7 a3 d 1700 680 d 1700 680 d d 1020 : d 255 Aritmeettisen lukujonon ensimmäinen jäsen eli maaliskuun seuraajien määrä saadaan, kun kolmannesta jäsenestä vähennetään kahdesti erotusluku. Maaliskuussa seuraajia oli a 1 = a 2 2d = 680 2 255 = 170. Joulukuun seuraajien määrä on aritmeettisen lukujonon kymmenes jäsen a 10. Joulukuussa seuraajia on a 10 = a 1 + (10 1) d = 170 + 9 255 = 265. Vastaus: maaliskuun alussa 170, joulukuun alussa 265
b) Seuraajien määrät muodostavat geometrisen lukujonon a n = a 1 q n 1. Geometrisen lukujonon seitsemäs jäsen a 7 = 1700 saadaan, kun kolmatta jäsentä a 3 = 680 kerrotaan suhdeluvulla q neljästi. Muodostetaan tästä yhtälö ja ratkaistaan siitä suhdeluku q. a a q 7 3 1700 680 q : 680 q q q 2,5 2,5 1,257... Hylätään negatiivinen ratkaisu, koska seuraajien määrä aika välillä kasvaa. Geometrisen lukujonon ensimmäinen jäsen eli maaliskuun seuraajien määrä saadaan, kun kolmas jäsen jaetaan kahdesti suhdeluvulla. Maaliskuussa seuraajia oli a2 a 680 1 30,069... 30. 2 2 q 1,257... Joulukuun seuraajien määrä on geometrisen lukujonon kymmenes jäsen a 10. Joulukuussa seuraajia on 10 1 9 a10 aq 1 30,069... 1,257... 3379,900... 3380. Vastaus: maaliskuun alussa 30, joulukuun alussa 3380
SYVENNÄ YMMÄRRYSTÄ. a) Hirvien määrä vähenee vuosittain 20 %, joten se muuttuu 100 % 20 % = 80 % = 0,8-kertaiseksi. Muodostetaan hirvien määrälle vuosittaisen määrän mukaan hyödyntämällä rekursiivista sääntöä. a1 100 a2 a1 0,8 30 100 0,8 30 110 a a 0,8 30 110 0,8 30 118 3 2 Vastaus: 110 hirveä, 118 hirveä
b) Rekursiivinen sääntö sopii taulukkolaskentaan hyvin. a-kohdan nojalla hirvien määrä saadaan, kun edellisen vuoden hirvien määrä kerrotaan luvulla 0,8 ja lisätään saatuun tulokseen luku 30, joten rekursiivinen sääntö on muotoa a 1 = 100 ja a n 1 a n 0,8 30, n 2,3,,.... Lasketaan taulukkolaskennan avulla jonon jäseniä eteenpäin Lukujono näyttää lähestyvän lukua 150, sillä mitä lähemmäksi sitä päästään sitä useampi rivi tarvitaan kokonaisten määrän muuttumiseen. Tarkistetaan vielä laskemalla hirvien määrä seuraavan kesänä, jos hirvien määrä on edellisenä kesänä on 150. 150 0,8 + 30 = 120 +30 = 150 Luku 150 pysyy lukuna 150 muutosten jälkeenkin eli hirvien määrä ei voi ylittää tällä säännöllä 150 määrää. Vastaus: 150 hirveen
5. Myrskyn jälkeen lammessa on 0,035 10 tonnia = 0,35 tonnia suolaa ja 120 tonnia + 10 tonnia = 130 tonnia vettä. Merkitään kirjaimella x lammessa olevan veden määrää. Muodostetaan yhtälö suolan määrälle, kun suolapitoisuus on 1 %, ja ratkaistaan siitä x. 0,01x 0,35 : 0,01 x 35 Kun lammessa on vettä 35 tonnia, niin lammen suolapitoisuus on 1 %. Veden määrä vähenee vuorokaudessa 3 %, eli huomenna vettä on 100 % 3 % = 97 % tämän päivän määrästä. Veden määrä siis 0,97- kertaistuu päivittäin. n päivän kuluttua lammen vesimäärä on 130 0,97 n. Ratkaistaan yhtälöstä 130 0,97 n = 35 päivä n, milloin lammen suolapitoisuus on 1 %. n 130 0,97 35 :130 n 0,97 0,269... n log0,97 0,269... n 3,080... n 3 Lammen suolapitoisuus on 1 % noin 3 päivän kuluttua. Vastaus: 3 päivän kuluttua
6. Muodostetaan etumatkaa kuvaava geometrinen lukujono. Kymmenesosan kutistuminen tarkoittaa 10 % alenemaa, eli jokaisen etapin jälkeen etumatkaa on 90 % edellisestä jäljellä. a1 200 a2 200 0,9 2 a3 200 0,9 0,9 200 0,9 3 a 200 0,9 1 a 200 0,9 n n Kyseisen geometrisen lukujonon ensimmäinen jäsen on 200 ja suhdeluku on 0,9. Määritetään, kuinka mones lukujonon jäsen on alle 0,5. Kirjoitetaan luku 200 soluun A1 ja soluun A2 =A1*0.9. Kopioidaan solua A2 alaspäin kunnes arvo on pienempi kuin 0,5.... Poliisi saa Arskan kiinni 57 etapin jälkeen, joten Arska on saatu kiinni, kun 58 etappi alkaa. Poliisin yhteensä juoksema matka saadaan taulukkolaskennan summatoiminnolla. Esimerkiksi kirjoittamalla soluun A59 =summa(a1:a57). Poliisi juoksee yhteensä noin 1995 metriä. Vastaus: sai, juostuaan 1995 m
7. a) Aritmeettiselle jonolle on a n = a 1 + (n 1) d. Sijoitetaan a 5 = 1, n = 5 ja a 1 =, ja ratkaistaan saadusta yhtälöstä erotusluku d. 1 5 1 d 1 d 1 d 3 d : 3 d Lukujonon toinen, kolmas ja neljäs termi ovat 3 1 a2 a1 d 3 1 3 1 a3 a2 d 3 2 2 1 3 3 a a3 d 2 1. 2 Lukujonon yleinen termi on 3 an n 1, joten kymmenes termi on 3 3 16 27 11 3 a10 10 1 9 2. 1 1 3 3 Vastaus: a2 3, a3 2, a 1 ja a10 2 2
b) Geometriselle jonolle on voimassa a n = a 1 q n 1. Sijoitetaan a 5 = 1, n = 5 ja a 1 =, ja ratkaistaan saadusta yhtälöstä suhdeluku q. 1 q 5 1 1 q : 1 q q q 1 1 Tutkitaan tapaukset q 1 ja q 1 erikseen. Kun q 1, niin toinen, kolmas ja neljäs jäsen ovat a 3 3 2 aq 1 1 6 2 2 3 a2q 1 2 2 a 16 2 a3q 2 1 2 2 2 2 16 a Kymmenes jäsen on 9 1 9 a10 aq 1 1 1 1 9 1 Kun q 1, niin jäsenet ovat muuten samat kuin arvolla q 1, mutta parilliset jäsenet ovat negatiivisia. Siis a2 6, a3 2, a ja a 1 10. Vastaus: a2 6, a3 2, 1 a ja a10
8. Olkoon nykyinen maakaasun kulutus a. Tällöin 60 vuoden kulutus on 60a. Määritetään seuraavaksi kasvavalle kulutukselle geometrinen jono. Nykykulutus on a, joten jonon ensimmäinen jäsen a 1 = a. Seuraava jäsen on 1 % suurempi eli a 2 = a 1,01. Vastaavasti kolmas jäsen a 3 on 1 % suurempi edellisen vuoden kulutus eli jonon toinen jäsen a 3 = a 1,01 1,01 = a 1,01 2. Jäsenet muodostavat geometrisen jonon a n = a 1,01 n 1, jossa n on kuluneiden vuosien määrä. Nyt määritetään kuluneiden vuosien määrä, kun jonon a n summa S n saavuttaa arvon 60a. Laskemalla geometrisen summan kaavalla: a 1 1,01 n 60 a 1 1,01 n 1 1,01 60 ( 0,01) 0,01 n 1 1,01 0,6 n 1, 01 1, 6 n 1, 01 1, 6 n log 1,01(1, 6) n 7,23... n 7 Taulukkolaskentaohjelmalla: Kirjoitetaan luku 1 soluun A1 ja soluun A2 =A1*1.01. Kirjoitetaan soluun B1 =A1 ja soluun B2 =B1+A2. Kopioidaan soluja A2 ja B2 alaspäin kunnes sarakkeen B arvo on yli 60.... Maakaasu riittää 7 täydeksi vuodeksi. Vastaus: 7 vuodeksi
9. Olkoon a n huoneen painuma n:ntenä vuonna rakennuksen valmistumisesta. Tiedetään, että a 1 = 0,01 270 = 2,7 ja a n + 1 = 0,6a n. Painaumien summa on k:n vuoden jälkeen a 1 + a 2 + a 3 + + a k 2,7 0,6 2,7 0,6 0,6 2,7... 0,6 0,6 0,6...0,6 2,7 2 k 1 2, 7 0, 6 2, 7 0, 6... 0, 6 2, 7 k 1 kpl Tutkitaan taulukkolaskentaohjelmalla painaumien summaa. Kun aikaa kuluu, vuosittainen painauma lähestyy nollaa. Taulukkolaskentaohjelma antaa 200 ensimmäisen painauman summaksi 6,75 cm. Seinän korkeus on alun perin 270 cm, joten sen korkeus on vielä 200 vuoden päästä yli 263 cm. Kaapin voi siis huoletta pystyttää ainakin 200 vuodeksi. Vastaus: voi
.3 Eksponentiaalisen mallin sovittaminen ALOITA PERUSTEISTA 50. A Lineaarisen mallin havaintopisteet ovat suoralla tai sen lähistöllä. Kuvan III pistejoukko näyttää olevan lähimpänä suoraa, joten lineaarista mallia vastaa kuva III. B Polynomisen mallin havaintopisteet ovat polynomifunktion kuvaajalla tai sen lähistöllä. Kuvan I pistejoukko näyttää muodostavan paraabelin, joten polynomista mallia vastaa kuva I. C Eksponentiaalisen mallin havaintopisteet ovat eksponenttifunktion kuvaajalla tai sen lähistöllä. Kuvan II pistejoukko näyttää muodostavan eksponenttifunktion kuvaajan, joten eksponentiaalista mallia vastaa kuva II. Vastaus: A: III, B: I ja C: II 51. Merkitään taulukon pisteet koordinaatistoon ja sovitetaan niihin eksponentiaalinen malli sopivalla ohjelmalla. Mallin yhtälö on y = 0,69 1,3 x. Vastaus: y = 0,69 1,3 x
52. a) Vuodesta 1997 vuoteen 2020 on 2020 1997 = 23 vuotta. Pörssikurssi vuonna 2020 saadaan sijoittamalla x = 23 malliin f. f(23) = 2 2,5 23 = 2 82 170 93,00... 2,8 10 9 Vuosien 1997-2000 mallin mukaan pörssikurssi vuonna 2020 olisi ollut noin 2,8 miljardia euroa. Vastaus: 2,8 miljardia euroa b) Ratkaistaan yhtälöllä, kuinka monen vuoden x kuluttua funktio g(x) saa arvon 0,01. x 2597 0, 7 0, 01 : 2597 x 0,01 0,7 2597 0,7 0,01 x log 2597 x 3,95... x 35 Pörssikurssin arvo on mallin mukaan 0,01 euroa vuonna 1997 + 35 = 2032. Vastaus: vuonna 2032
53. a) Lineaarinen malli voidaan sovittaa kirjoittamalla syöttökenttään SovitaSuora[palkat] ja eksponentiaalinen mallin kirjoittamalla SovitaKasvu[palkat]. Kesätyöpalkkojen lineaarisen mallin yhtälö on f(x) = 206,x 2910,67 ja eksponentiaalisen mallin funktio on g(x) = 1,66 1, x. Vastaus: f(x) = 206,x 2910,67 ja g(x) = 1,66 1, x b) Lineaarisen mallin mukaan Ellan kesätyötienestit 25-vuotiaana saadaan sijoittamalla funktioon x = 25. f(25) = 206, 25 2910,67 = 229,33 Eksponentiaalisen mallin mukaan Ellan kesätyötienestit 25-vuotiaana saadaan sijoittamalla funktioon x = 25. g(25) = 1,66 1, 25 769,80 Lineaarisen mallin mukaan Ella tienaa kesätöistä 25-vuotiaana 229,33 ja eksponentiaalisen mallin mukaan 769,80. Lineaarisen mallin mukainen palkka kuulostaa realistisemmalta kuin eksponentiaalisen mallin mukainen. Vastaus: Lineaarisen mallin mukaan 229,33 ja eksponentiaalisen mukaan 769,80. Molempien mallien antamat ennusteet ovat mahdollisia.
5. a) Siirretään punaiset pisteet kuvan käyrän päälle. Tällöin saadaan mallin lauseke. Funktion lauseke on esimerkiksi f(x) = 165,7907 0,9833 x. Vastaus: f(x) = 165,7907 0,9833 x b) Suomessa on lypsylehmiä alle 200 000, kun mallin lauseke saa arvokseen alle 200. Muodostetaan yhtälö f(x) = 200 ja ratkaistaan siitä vuosien määrä x. x 165, 7907 0,9833 200 :165, 7907 x 0,9833 0,121... x log0,9833 0,121... x 125,150 x 125 Suomen lypsylehmien määrä alittaa 200 000 noin vuonna 1920 + 125 = 205. Vastaus: vuonna 205
55. Videossa https://vimeo.com/210765293/5ddd73e8 näytetään, miten eksponentiaalinen malli saadaan sopivalla ohjelmalla. Ohjelma antaa viikoittaisten imurointikertojen lukumääräksi funktion f(x) = 18,3 0,77 x, missä x on lapsen ikä vuosina. Viikoittaisten imurointikertojen lukumäärä lapsen ollessa 7-vuotias saadaan sijoittamalla x = 7 funktioon f. f(7) = 2,91... 3 Lapsen ollessa 7-vuotias mallin mukaan imurointikertoja on 3 viikossa. Vastaus: f(x) = 18,3 0,77 x, 3 kertaa viikossa
56. Videossa https://vimeo.com/210765307/8b2752758 näytetään, miten eksponentiaalinen ja polynominen malli saadaan sopivalla ohjelmalla. a) Sovitetaan pisteisiin eksponentiaalinen malli. Ohjelma antaa funktion lausekkeeksi f(x) = 0,99 1,711 x. Lasketaan mallin mukainen,5 cm paksun kalan kypsennysaika. f(,5) = 11,16 11 Kun kalan paksuus on,5 cm, on kypsennysaika noin 11 minuuttia. Vastaus: f(x) = 0,99 1,711 x, kypsennysaika 11 min
b) Sovitetaan pisteisiin toisen asteen polynomifunktio. Ohjelma antaa funktion lausekkeeksi g(x) = 0,536x 2 + 0,56x + 0,9. Lasketaan mallin mukainen,5 cm paksun kalan kypsennysaika. g(,5) = 12,87 12,5 Kun kalan paksuus on,5 cm, on kypsennysaika noin 12,5 minuuttia. Vastaus: g(x) = g(x) = 0,536x 2 + 0,56x + 0,9, kypsennysaika 12,5 min 57. A Vesipisaran etäisyys maanpinnasta pienenee ajan kuluessa, joten tilanne A ja kuvaaja II kuuluvat yhteen. B Kun maksavia kuuntelijoita ei ole yhtään, ei lipputulojakaan ole. Kuuntelijoiden määrän kasvaessa lipputulot kasvavat lineaarisesti, joten kuvaaja on origon kautta kulkeva suora. Tilanne B ja kuvaaja III kuuluvat yhteen. C Jos hirvien määrä kasvaa yhtä monta prosenttia joka vuosi, niin kasvu on eksponentiaalista ja kuvaaja ylöspäin kaartuva käyrä. Tilanne C ja kuvaaja I kuuluvat yhteen. Vastaus: A: II, B: III ja C: I
58. a) Merkitään taulukon pisteet koordinaatistoon ja sovitetaan niihin eksponentiaalinen malli sopivalla ohjelmalla. Ohjelma antaa funktion lausekkeeksi f(x) = 3719,156 0,988 x, jossa x on matkustusaika keskustasta minuutteina. Vastaus: f(x) = 3719,156 0,988 x b) Tunti on 60 minuuttia, joten arvio asunnon neliömetrihinnasta saadaan sijoittamalla x = 60 funktioon f. f(60) = 1837,63... 1837 Mallin mukaan tunnin matkustusajan päässä Helsingin keskustassa olevan asunnon neliömetrihinta on noin 1837 euroa. Vastaus: 1837 c) Lasketaan asunnon neliömetrihinta 0 000 2 1333,333... /m 1333,33 / m 30 m 2 2 Muodostetaan yhtälö f(x) = 1333,33 ja ratkaistaan siitä sopivalla ohjelmalla matkustusaika x. f ( x) 1333,33 x 87,289... x 87 Asunto on noin 87 minuutin päässä Helsingin keskustasta. Vastaus: 87 min
59. Muokataan taulukkoa niin, että vuosi ilmaisee vuodesta 2000 kuluneen ajan. Tällöin taulukko kirjoitetaan muodossa Vuosi 11 12 13 1 15 Kirjeiden määrä (miljoonaa) 1100 1060 1000 900 80 a) Merkitään taulukon pisteet koordinaatistoon ja sovitetaan niihin eksponentiaalinen malli sopivalla ohjelmalla. Ohjelma antaa eksponentiaalisen mallin lausekkeeksi f(x) = 231,763 0,932 x. Mallin mukaan kirjepostin määrä on 231,763 0,932 x miljoonaa kirjettä, jossa x kulunut aika vuodesta 2000. Vastaus: f(x) = 231,763 0,932 x, jossa x kulunut aika vuodesta 2000 b) Vuonna 2011 toteutunut määrä on 1100 miljoonaa kirjettä ja mallin mukaan f(11) = 1122,282... 1120 miljoonaa kirjettä. Lasketaan, kuinka monta prosenttia mallin arvo on todellisesta arvosta. 1122,282... 1,020... 1,02 102 % 1100 Mallin arvo on 102 % 100 % = 2 % suurempi kuin todellinen arvo. Vuonna 2012 toteutunut määrä on 1060 miljoonaa kirjettä ja mallin mukaan f(12) = 106,099... 1050 miljoonaa kirjettä. Lasketaan, kuinka monta prosenttia mallin arvo on todellisesta arvosta.
106,099... 1060 0,986... 0,99 99 % Mallin arvo on 100 % 99 % = 1 % pienempi kuin todellinen arvo. Vuonna 2013 toteutunut määrä on 1000 miljoonaa kirjettä ja mallin mukaan f(13) = 975,088... 980 miljoonaa kirjettä. Lasketaan, kuinka monta prosenttia mallin arvo on todellisesta arvosta. 975,088... 0,975... 0,98 98 % 1000 Mallin arvo on 100 % 98 % = 2 % pienempi kuin todellinen arvo. Vuonna 201 toteutunut määrä on 900 miljoonaa kirjettä ja mallin mukaan f(1) = 908,898... 910 miljoonaa kirjettä. Lasketaan, kuinka monta prosenttia mallin arvo on todellisesta arvosta. 908,897... 1,009... 1,01 101 % 900 Mallin arvo on 101 % 100 % = 1 % suurempi kuin todellinen arvo. Vuonna 2015 toteutunut määrä on 80 miljoonaa kirjettä ja mallin mukaan f(15) = 87,200... 850 miljoonaa kirjettä. Lasketaan, kuinka monta prosenttia mallin arvo on todellisesta arvosta. 87,200... 1,008... 1,01 101 % 80 Mallin arvo on 101 % 100 % = 1 % suurempi kuin todellinen arvo. Vastaus: vuosi kirjeiden määrä ero prosentteina (miljoonaa) 2011 1120 2 % suurempi 2012 1050 1 % pienempi 2013 980 2 % pienempi 201 910 1 % suurempi 2015 850 1 % suurempi
c) Mallin ennustama kirjepostin määrä vuonna 2030 saadaan sijoittamalla x = 30 funktioon f. f(30) = 231,763 0,932 30 = 295,155... 295 Kirjeiden määrä vuonna 2030 on mallin mukaan noin 295 miljoonaa. Vastaus: 295 miljoonaa 60. a) Merkitään taulukon pisteet koordinaatistoon ja sovitetaan niihin eksponentiaalinen malli sopivalla ohjelmalla. Ohjelma antaa eksponentiaaliseksi malliksi lausekkeeksi f(x) = 1979,292 0,9959 x, jossa x on kuukausia latauksen lopettamisesta. Vastaus: f(x) = 1979,292 0,9959 x b) Puoli vuotta on 180 vuorokautta, joten akun varauksen määrä saadaan sijoittamalla x = 180 funktioon f. f(180) = 93,53... 9 Akun varaus puolen vuoden kuluttua on noin 9 mah. Vastaus: 9 mah
c) Kun varausta on kadonnut 95 %, sitä on jäljellä 100 % 95 % = 5 %. Täydestä akun varauksesta 2100 mah 5 % on 0,05 2100 mah = 105 mah. Muodostetaan mallin avulla yhtälö, milloin akun varaus on 105 mah ja ratkaistaan siitä sopivalla ohjelmalla vuorokausien määrä x. f( x) 105 x 713,76... Muutetaan vuorokaudet kuukausiksi 713,76... 23,782... 2. 30 Akun varausta on jäljellä 5 % 2 kuukauden kuluttua lataamisesta. Vastaus: 2 kk
61. Merkitään pisteet (0, 157), (2, 170) ja (3, 250) koordinaatistoon ja sovitetaan niihin lineaarinen ja eksponentiaalinen malli sopivalla ohjelmalla. Ohjelma antaa lineaariseksi malliksi funktion f(x) = 27,5x + 16,5 ja eksponentiaaliseksi malliksi funktion g(x) = 19,308 1,187 x. a) Lineaarisen mallin mukainen populaation koko viiden vuoden kuluttua saadaan sijoittamalla mallin lausekkeeseen x = 5. f(5) = 28 280 Eksponentiaalisen mallin mukainen populaation koko viiden vuoden kuluttua saadaan sijoittamalla mallin funktioon x = 5. g(5) = 298,819... 300 Mallien mukaan okapi populaation koko lähes kaksinkertaistuu viidessä vuodessa, joten mallit näyttäisivät antavan liian optimistisen kuvan populaation kasvusta. (Okapit synnyttävät yhden jälkeläisen kerran 5 vuodessa). Vastaus: lineaarisella 280, eksponentiaalisella 300 b) Tarkasteluhetkien välillä mallit antavat lähes yhtä suuria arvoja. Tarkasteluhetkien ulkopuolella eksponentiaalinen malli antaa suurempia arvoja kuin lineaarinen malli. Vastaus:
62. a) Merkitään taulukon pisteet koordinaatistoon siten, että x-koordinaatit alkavat vuodesta 2000, ja sovitetaan niihin lineaarinen malli sopivalla ohjelmalla. Ohjelma antaa ruotsinkielisten määrän lineaariseksi malliksi suoran y = 261,1x + 29 233,6 ja venäjänkielisten malliksi suoran y = 3288,1x + 23 356,. Määritetään ohjelman avulla suorien leikkauspiste. Leikkauspisteen x- koordinaatti kertoo, kuinka monen vuoden kuluttua venäjänkielisten määrä ylittää ruotsinkielisten määrän. Mallin mukaan venäjänkielisten määrä ohittaa ruotsinkielisten määrän noin vuonna 2000 + 76 = 2076. Vastaus: vuonna 2076
b) Merkitään taulukon pisteet koordinaatistoon siten, että x-koordinaatit alkavat vuodesta 2000, ja sovitetaan niihin eksponentiaalinen malli sopivalla ohjelmalla. Ohjelma antaa ruotsinkielisten määrän eksponentiaaliseksi malliksi funktion f(x) = 29 26,2733 0,9991 x ja venäjänkielisten malliksi funktion g(x) = 35 022,9562 1,05 x. Määritetään ohjelman avulla käyrien leikkauspiste. Leikkauspisteen x- koordinaatti kertoo, kuinka monen vuoden kuluttua venäjänkielisten määrä ylittää ruotsinkielisten määrän. Mallin mukaan venäjänkielisten määrä ohittaa ruotsinkielisten määrän noin vuonna 2000 + 3 = 203. Vastaus: vuonna 203
63. a) Merkitään taulukon pisteet koordinaatistoon siten, että x-koordinaatit alkavat vuodesta 2000, ja sovitetaan niihin eksponentiaalinen malli sopivalla ohjelmalla. Ohjelma antaa eksponentiaaliseksi malliksi funktion f(x) = 1,069 1,387 x, jossa x on vuosia vuodesta 2000. Vastaus: f(x) = 1,069 1,387 x, jossa x on vuodesta 2000 kulunut aika b) Eksponentiaalisen mallin muutoskerroin kertoo, kuinka moninkertaiseksi funktion arvo muuttuu, kun muuttujan arvo kasvaa yhdellä yksiköllä, joten sensorien tilausmäärä 1,387-kertaistuu vuosittain. Mallin mukaan sensorien tilausmäärä kasvaa noin 38,5 % vuosittain. Vuonna 2012 sensorien tilausmäärä oli 50 miljoonaa kappaletta ja vuonna 2019 ennustettu tilausmäärä on 70. Merkitään, että tilausmäärä q-kertaistuu vuosittain. Muodostetaan yhtälö ja ratkaistaan siitä q. 2019 2012 50 q 70 :50 7 q 9, 7 q 9, q 1,3772... Vuosien 2012 ja 2019 välillä tilausmäärät kasvaa keskimäärin noin 37,7 %. Vastaus: mallin mukaan 38,5 %, vuosien 2012 2019 muutoksen mukaan 37,7 %
c) Mallin mukaan sensorien tilausmäärä vuonna 2020 on 1,387 70 = 650,809... 650 miljoonaa. Vuosien 2012 2019 muutoksen mukaan sensorien tilausmäärä vuonna 2020 on 1,3772... 70 = 67,315... 67 miljoonaa. Vastaus: mallin mukaan 650 miljoonaa, vuosien 2012 2019 muutoksen mukaan 67 miljoonaa 6. Merkitään taulukon pisteet koordinaatistoon ja sovitetaan niihin eksponentiaalinen malli sopivalla ohjelmalla. Ohjelma antaa eksponentiaaliseksi malliksi f(x) = 869,25 0,8801 x. a) Lasketaan, kuinka paljon säteilystä pääsee mallin mukaan läpi 1,0 cm sijoittamalla funktioon x = 10. f(10) = 22,97... Lasketaan, kuinka monta prosenttia säteilystä pääsee levystä läpi. 22,97... 869,25 0,278... 0,28 28 % Säteilystä ei pääse 1,0 cm levyn läpi 100 % 28 % = 72 %. Vastaus: 72 %
b) Puolet säteilymäärän alkuarvosta on 869,25 3,7125. 2 Muodostetaan säteilymäärästä yhtälö ja ratkaistaan siitä sopivalla ohjelmalla levyn paksuus x. f ( x) 3,7125 x 5,28... x 5, Lyijylevyn puoliintumispaksuus on noin 5, mm. Vastaus: 5, mm
65. a) Merkitään taulukon pisteet koordinaatistoon siten, että x-koordinaatti ilmaisee vuosien määrän vuodesta 1970, ja sovitetaan niihin eksponentiaalinen malli sopivalla ohjelmalla. Ohjelma antaa eksponentiaaliseksi malliksi funktion f(x) = 883,758 1,197 x, jossa x on vuodesta 1970 kulunut aika. Vastaus: f(x) = 883,758 1,197 x, jossa x on vuodesta 1970 kulunut aika b) Mallin mukaan transistoreiden lukumäärä vuonna 1971 saadaan sijoittamalla funktioon x = 1971 1970 = 1. f(1) = 125,661... 1250 Mallin mukaan transistoreiden lukumäärä vuonna 2020 saadaan sijoittamalla funktioon x = 2020 1970 = 50. f(50) = 3,599... 10 10 3,6 10 10 Vastaus: 1250 ja 3,6 10 10 c) Mallin muutoskerroin on q = 1,197 eli transistoreiden lukumäärä 1,197-kertaistuu vuosittain. Mallin mukaan kahdessa vuodessa transistoreiden määrä kasvaa 1,1197 2 = 2,015... 2-kertaiseksi. Mooren lain mukaan transistoreiden lukumäärä noin kaksinkertaistuu vuosittain, joten mallin mukaan Mooren laki pitää paikkaansa. Vastaus: pitää
66. a) Merkitään henkilön päivässä syömien pähkinöiden määrää grammoina kirjaimella x ja kuolleisuutta kirjaimella y. Pisteet (1; 0,95), (2; 0,90); (3; 0,85), (; 0,83), (5; 0,82), (10; 0,77), (15; 0,7), (20; 0,73) ja (25; 0,72) ovat kuvaajalla. Sovitetaan pisteisiin eksponentiaalinen malli. Ohjelma antaa mallin lausekkeeksi f(x) = 0,89 0,99 x. Videossa https://vimeo.com/210765212/567137ec8b näytetään, miten sopivalla sovitetaan pisteisiin erilaisia polynomifunktioita. Testaamalla eriasteisia polynomeja kolmannen asteen polynomi kuvaa tilannetta parhaiten. Ohjelma antaa funktion lausekkeeksi g(x) = 0,000 05x 3 + 0,00257x 2 0,0269x + 0,971. Vastaus: esim. eksponentiaalinen malli f(x) = 0,89 0,99 x, polynominen malli g(x) = 0,000 05x 3 + 0,00257x 2 0,0269x + 0,971
b) Polynomifunktion kuvaaja kulkee tarkemmin pisteiden kautta kuin eksponentiaalinen malli, joten sen avulla on parempi arvioida Karin kuolleisuuslukua. Molemmat mallit tosin antavat suunnilleen saman tuloksen. Kun päivittäin syötyjen pähkinöiden määrä kasvaa, polynomimallin mukaan kuolleisuus muuttuu negatiiviseksi. Minkään väestöryhmän kuolleisuus ei voi olla negatiivinen, joten polynomimalli ei sovellu Marin pähkinöiden syönnin terveysvaikutusten arviointiin. Eksponentiaalisessa mallissa ei ole vastaavaa ongelmaa, joten se soveltuu Marin tapaukseen paremmin. Vastaus: Kari: polynominen malli, Mari: eksponentiaalinen malli
67. a) Merkitään käyttäjien määrää kirjaimella x ja muistin tarvetta kirjaimella y. Määritetään malli lukemalla kuvasta likimääräisesti funktion y = f(x) arvoja ja sovittamalla pisteisiin (x, f(x)) funktion kuvaaja sopivalla ohjelmalla. Sovituksen voisi periaatteessa tehdä jo kahden pisteen avulla. Pisteiden lukeminen kuvasta on kuitenkin epätarkkaa, joten tarkempi tulos saadaan, kun pisteitä on enemmän. Pisteet (0, 100), (0, 200), (80, 00), (120, 750), (10, 1000) ja (180, 2000) ovat suurin piirtein kuvaajalla. Taulukoidaan pisteet, muodostetaan taulukosta pistelista ja sovitetaan siihen eksponentiaalisen mallin kuvaaja. Ohjelma antaa funktion lausekkeeksi f(x) = 102,51 1,02 x. Vastaus: f(x) = 102,51 1,02 x, jossa x on käyttäjien määrä b) Mallin mukaan 250 käyttäjän palvelin tarvitsee muistia f(250) = 6353,5 600 megatavua ja 0 käyttäjän palvelin f(0) = 102,506... 103 megatavua. Jos palvelimella ei ole käyttäjiä, niin malli antaa kuvaajan mukaisen tuloksen. Kuvaajasta ei pysty tarkistamaan muistin tarvetta 250 käyttäjälle. Vastaus: 600 megatavua ja 103 megatavua
c) Mallin mukaan 0 käyttäjän palvelin tarvitsee 102,51 megatavua muistia, ja käyttäjien määrän kasvaminen yhdellä 1,02-kertaistaa muistin tarpeen. Lukujono on siis geometrinen, ja sen yleinen jäsen on a n = 102,51 1,02 n. Palvelimen käyttäjien määrä on kokonaisluku, joten lukujono kuvaa tilannetta eksponenttifunktiota paremmin. Vastaus: a n = 102,51 1,02 n, lukujono
SYVENNÄ YMMÄRRYSTÄ 68. Järven vesi on uimakelpoista, kun saastumisen jälkeen vettä on 200 0,3125 -kertainen määrä. Muodostetaan veden vaihtuvuudesta 60 yhtälö ja ratkaistaan siitä vuosien määrä t. 0,02t a e 0,3125 a : a 0,02t e 0,3125 0, 02t ln 0,3125 : ( 0, 02) t 58,157... Vesi on jälleen uimakelpoista 59 vuoden kuluttua. Vastaus: 59 vuoden kuluttua 69. a) Ensimmäisen kaksinkertaistumisen jälkeen työtuntien määrä 800 0,8 1000 -kertaistuu. Toisen kaksinkertaistumisen jälkeen työtuntien määrä 60 0,8 800 -kertaistuu. Kolmannen kaksinkertaistumisen jälkeen työtuntien määrä 512 0,8 60 -kertaistuu. Joten järjestysnumeron kaksinkertaistuessa työmäärä vähenee 100 % 80 % = 20 %. Vastaus: 20 % b) Työmäärän vähenemiskerroin on q = 0,8. Vastaus: q = 0,8
c) Lentokoneen valmistuksen ensimmäisen tuotteen työmäärä on a = 1000 ja vähenemiskerroin on q = 0,8. Oppimiskäyrän funktio on f(x) = 1000 0,8 x, jossa x on järjestysnumeron kaksinkertaistumisten lukumäärä. Piirretään funktion kuvaaja sopivalla ohjelmalla. Vastaus: f(x) = 1000 0,8 x, jossa x on järjestysnumeron kaksinkertaistumisten lukumäärä,
70. Hetkellä x = 2 vedestä oli vaihtunut 13 %, joten alkuperäisestä vedestä oli jäljellä 100 % 13 % = 87 %. Siis f(2) = 0,87a. Muodostetaan tämän tiedon avulla yhtälö. f 2 0,87a 2 t a 0,5 0,87 a : a 2 t 0,5 0,87 2 log0,5 0,87 t t 2 log0,5 0,87 t :log0,5 0,87 t 2 log0,5 0,87 t 9,95... Veden alkuperäistä määrää a ei voida näiden tietojen perusteella ratkaista. Puoliintumisajaksi t saatiin 9,95 d 10 d. Valitaan funktion kuvaajan piirtämiseksi y-akselin otsikoksi osuus alkuperäisestä vesimäärästä a. Tällöin kerroin a voidaan jättää pois funktion arvoja laskiessa, eli riittää piirtää funktion kuvaaja. gx ( ) 0,5 x 9,95... 9,95 Vastaus: f x a 0,5, 10 vuorokautta x
71. a) Kun kulunutta aikaa merkitään x-koordinaateilla ja säteilyn määrä y- koordinaateilla, saadaan koordinaattipisteet (0, ), (1, 2) ja (7, 1). Merkitään pisteet koordinaatistoon ja sovitetaan niihin eksponentiaalinen malli, jonka kantaluku on e (esimerkiksi GeoGebrassa komento SovitaEksp[ pistelista ]). Ohjelma antaa mallin funktioksi f(x) = 3,109 e 0,1693x. Vastaus: f(x) = 3,109 e 0,1693x b) Muutoskertoimen k etumerkistä voidaan päätellä onko kyseessä eksponentiaalinen kasvaminen vai väheneminen. Jos muutoskerroin k on positiivinen, kyseessä on eksponentiaalista kasvamista, ja jos negatiivinen, kyseessä on eksponentiaalista vähenemistä. Vastaus: Etumerkistä voidaan päätellä, onko kyseessä eksponentiaalinen kasvamista vai väheneminen.
72. a) Merkitään taulukon pisteet koordinaatistoon ja sovitetaan niihin eksponentiaalinen malli sopivalla ohjelmalla. Ohjelma antaa vaahdon paksuuden eksponentiaaliseksi malliksi funktion f(x) = 15,638 0,992 x. Vastaus: f(x) = 15,638 0,992 x, jossa x on aika sekunteina juoman kaatamisesta b) Muodostetaan yhtälö sijoittamalla funktion arvoksi 1,0 ja ratkaistaan siitä sopivalla ohjelmalla kuluva aika x. f( x) 1,0 x 70,359... x 70 Vaahtoa on jäljellä 1,0 cm, kun aikaa on kulunut 70 s = 7 min 50 s. Vastaus: 7 min 50 s
c) Lasketaan vaahdon määrän arvojen luonnolliset logaritmit taulukkolaskentaohjelmalla. Kopioidaan A ja B sarakkeille annetut tiedot. Kirjoitetaan soluun C2 =ln(b2) ja kopioidaan solua alaspäin. Merkitään taulukon A ja C sarakkeiden pisteet koordinaatistoon.
Pisteet näyttävät muodostavan lineaarisen mallin, joten sovitetaan pisteisiin suora. Ohjelma antaa lineaariseksi malliksi suoran y = 0,0058x + 2,7501. Vastaus: lineaarinen malli y = 0,0058x + 2,7501
73. a) Sovitetaan funktio appletin avulla. Appletti antaa funktion lausekkeeksi f(x) = 20(3e 0,05x + 1) = 60e 0,05x + 20. Vastaus: f(x) = 60e 0,05x + 20 b) Funktion lausekkeen perusteella jäähtymisvakio k = 0,05. Vastaus: k = 0,05 c) Funktion lausekkeessa vakio on ympäristön lämpötila, joten ympäristön lämpötila on 20 C. Vastaus: 20 C d) Kuvaajan perusteella teen lämpötila saavuttaa ympäristön lämpötilan noin 100 minuutin kuluttua. Vastaus: n. 100 min kuluttua
ALOITUSAUKEAMAAN LIITTYVIÄ TEHTÄVIÄ 1. Merkitään vuosia x-koordinaateilla vuodesta 2000 lähtien ja hankkeessa mukana olevien maiden määrää y-koordinaateilla, tällöin saadaan pisteet (19, 0) ja (21, 100). Merkitään pisteet koordinaatistoon ja sovitetaan niihin eksponentiaalinen malli. Ohjelma antaa eksponentiaaliseksi malliksi funktion f(x) = 0,0066 1,5811 x, missä x on vuosia vuodesta 2000. Mallin muutoskerroin on q = 1,5811 eli osallistuvien maiden lukumäärä kasvaa vuosittain 1,5811-kertaiseksi. Osallistuvien maiden lukumäärä kasvaa noin 58 % vuosittain. Vastaus: f(x) = 0,0066 1,5811 x, missä x on vuosia vuodesta 2000, 58 % 2. Muodostetaan yhtälö sijoittamalla funktion arvoksi 200 ja ratkaistaan sopivalla ohjelmalla siitä aika x. f ( x) 200 x 22,512... Mallin mukaan kaikki maapallon maat ovat mukana hankkeessa vuoden 2022 aikana. Vastaus: vuonna 2022