Rhmäteoreettinen näkökulma Rubikin kuutioon Harjoitus 4, ratkaisuehdotus (5 sivua) 26.11.2012 Tehtävä 1. Etsi neliön smmetriarhmän D 8 kaikki alirhmät. Mitkä niistä ovat normaaleja? Ratkaisu. Rhmää D 8 käsiteltiin luentomateriaalin esimerkissä 4.9. Esimerkissä todettiin, että rhmä on alkioiden ρ = (1234) ja π = (12)(34) virittämä. Lisäksi jokainen rhmän alkio on muotoa π m ρ n joillakin m {0, 1} ja n {0, 1, 2, 3}. Toisin sanoen D 8 = {id, ρ, ρ 2, ρ 3, π, πρ, πρ 2, πρ 3 }. Tässä ρ 2 = (13)(24), ρ 3 = (1432), πρ = (24), πρ 2 = (14)(23) ja πρ 3 = (13). Lagrangen lauseen nojalla jokaisen alirhmän kertaluku jakaa rhmän kertaluvun, joka on kahdeksan. Alirhmissä on siis joko 1, 2, 4 tai 8 alkiota. Kertalukua 1 oleva alirhmä on tietenkin {id} ja kertalukua 8 oleva alirhmä D 8. Jos alirhmä sisältää alkion ρ, se sisältää mös alkiot ρ 2, ρ 3 ja ρ 4 = id. Jos alirhmässä on muitakin alkioita, niin sen kertaluku on suurempi kuin neljä ja kseessä on silloin rhmä D 8 itse. Siten ainoat epätriviaalit alirhmät, jotka sisältävät alkion ρ, ovat sklinen rhmä {id, ρ, ρ 2, ρ 3 } ja sen kaksialkioinen alirhmä {id, ρ 2 }. Jos alirhmä sisältää alkion ρ 3, niin se sisältää mös alkion ρ = (ρ 3 ) 3. Siten päädmme täsmälleen samoihin alirhmiin kuin llä. Tarkasteltavina ovat siis enää alkiot ρ 2, π, πρ, πρ 2 ja πρ 3. Nämä kaikki ovat alkioita, joiden kertaluku on kaksi, joten kukin niistä virittää kahden alkion sklisen rhmän. Tutkitaan sitten, millaisia rhmiä edellä mainituista alkioista valitut parit virittävät. Tapauksia on hteensä kmmenen. Ensinnäkin huomataan, että π πρ = ρ, π πρ 3 = ρ 3, πρ 2 πρ = ρ 3 πρ 2 πρ 3 = ρ. ja Rhmät π, πρ, π, πρ 3, πρ 2, πρ ja πρ 2, πρ sisältävät siis kaikki joko alkion ρ tai ρ 3, joten edellä osoitetun nojalla kaikki nämä alirhmät ovat itse asiassa koko rhmä D 8. Alkioiden ρ 2 ja π virittämä alirhmä on {id, ρ 2, π, πρ 2 }. Sama alirhmä ovat mös mös ρ 2, πρ 2 sekä π, πρ 2. Alkioiden ρ 2 ja πρ virittämä alirhmä puolestaan on {id, ρ 2, πρ, πρ 3 }. Saman alirhmän antavat mös pari ρ 2 ja πρ 3 sekä pari πρ ja πρ 3. Tutkitaan sitten, mitkä alirhmistä ovat normaaleja. Sellaiset alirhmät, joiden indeksi on kaksi, ovat normaaleja. Tässä tapauksessa siis kaikki neljän alkion alirhmät ovat normaaleja. 1
Muiden alirhmien tutkimisessa auttavat esimerkissä 4.9 selvitett konjugaattiluokat. Normaalisuuskiteerin nojalla on alirhmä on normaali täsmälleen silloin, jos se sisältää kaikkien alkioidensa konjugaatit. Luonnollisesti neutraalialkion ainoa konjugaatti on neutraalialkio itse. Mös alkio ρ 2 on konjugaattiluokkansa ainoa alkio, mikä tarkoittaa sitä, että sekään ei muutu missään konjugoinnissa. Alirhmä {id, ρ 2 } on siis normaali. Loput kahden alkion alirhmät eivät puolestaan ole normaaleja, sillä näemme, että ne eivät sisällä kaikkien alkoidensa kaikkia konjugaatteja. Siten olemmme osoittaneet, että rhmän D 8 alirmät ovat {id} (normaali), {id, πρ 3 }, {id, ρ 2 } (normaali), {id, ρ, ρ 2, ρ 3 } (normaali), {id, π}, {id, ρ 2, π, πρ 2 } (normaali), {id, πρ}, {id, ρ 2, πρ, πρ 3 } (normaali), {id, πρ 2 }, D 8. Tehtävä 2. Tarkastellaan edelleen neliön smmetriarhmää. Etsi jokaisen alkion D 8 keskittäjä ja laske indeksi [D 8 : C G ()]. Vertaa kutakin indeksiä alkion konjugaattiluokan kokoon. Mitkä alkioista kuuluvat rhmän keskukseen? Ratkaisu. Tiedämme, että kunkin alkion keskittäjä on rhmän D 8 alirhmä. Alirhmät on listattu edellisessä tehtävässä, joten keskittäjät lötvät tuosta listasta. Luonnollisesti alkion (1) keskittäjä on rhmä D 8. Esimerkin 4.9 nojalla tiedämme, että alkio ρ 2 = (13)(24) on konjugaattiluokkansa ainoa alkio. Siten se ei muutu missään konjugoinnissa ja siis kommutoi kaikkien alkioiden kanssa. Täten alkion ρ 2 keskittäjä on koko rhmä D 8. Muiden alkioiden konjugaattiluokat eivät ole ksiöitä, joten kaikki alkiot eivät keskitä niitä, vaan niiden keskittäjät ovat aitoja alirhmiä. Koska alkio ρ 2 kommutoi kaikkien alkioiden kanssa, se on jokaisen keskittäjän alkio. Siten loppujen alkioiden keskittäjät ovat epätriviaaleja alirhmiä, joihin kuuluu alkio ρ 2. Koska jokainen alkio kuuluu omaan keskittäjäänsä, voidaan kunkin alkion keskittäjä nt helposti poimia alirhmien joukosta. Näin saamme C D8 (id) = D 8, C D8 (π) = {id, ρ 2, π, πρ 2 }, C D8 (ρ 2 ) = D 8, C D8 (πρ) = {id, ρ 2, πρ, πρ 3 }, C D8 (ρ) = {id, ρ, ρ 2, ρ 3 }, C D8 (πρ 2 ) = {id, ρ 2, π, πρ 2 }, C D8 (ρ 3 ) = {id, ρ, ρ 2, ρ 3 }, C D8 (πρ 3 ) = {id, ρ 2, πρ, πρ 3 }. Seuraavassa taulukossa on verrattu alkioiden konjugaattiluokkien kokoja niiden keskittäjien kertalukuihin. Tulokset ovat lauseen 4.12 mukaisia eli konjugaattiluokan koko on sama kuin keskittäjän indeksi. Yllä lödettiin mös rhmän keskus. Se koostuu niistä alkioista, jotka keskittävät kaikki alkiot, tai toisaalta ovat ksin omassa konjugaattiluokassaan. Ainoat tällaiset 2
alkiot ovat id ja ρ 2. Siten ζd 8 = {id, ρ 2 }. Huomaa, että indeksi [D 8 : C D8 ()] on 1, jos ja vain jos ζd 8. D 8 C D8 () [D 8 : C D8 ()] id 1 8 1 ρ 2 4 2 ρ 2 1 8 1 ρ 3 2 4 2 π 2 4 2 πρ 2 4 2 πρ 2 2 4 2 πρ 3 2 4 2 Tehtävä 3. Olkoon G rhmä. Merkitään Z = ζg. Oletetaan, että tekijärhmä G/Z on sklinen. Osoita, että rhmä G on vaihdannainen ja G/Z on itse asiassa triviaali. Todistus. Tekijärhmän G/Z alkiot ovat muotoa gz, missä g G. Koska tekijärhmä on sklinen, saadaan kaikki alkiot rhmän virittäjän potensseina. Oletetaan, että alkio Z virittää tekijärhmän. Nt jokainen sivuluokka on muotoa (Z) n = n Z jollakin kokonaisluvulla n. Tehtävänä on osoittaa, että G on vaihdannainen. Olkoot a, b G. Koska sivuluokat muodostavat rhmän G osituksen, alkiot a ja b kuuluvat joihinkin sivuluokkiin. On siis olemassa sellaiset n, m Z, että a n Z ja b m Z. Nt a = n z 1 ja b = m z 2 joillakin z 1, z 2 Z = ζg. Keskuksen alkiot kommutoivat kaikkien alkioiden kanssa, joten saadaan ab = n z 1 m z 2 = n m z 1 z 2 = n+m z 1 z 2 ja ba = m z 2 n z 1 = m n z 2 z 1 = m+n z 2 z 1 = n+m z 1 z 2. Siispä ab = ba, mistä seuraa, että G on vaihdannainen. Koska G on vaihdannainen, tät olla G = ζg. Tekijärhmä G/ζG on siis triviaali. Tehtävä 4. Olkoon p jokin alkuluku. Osoita, että Z p 2 eli kertalukua p 2 oleva sklinen rhmä ei ole minkään kahden epätriviaalin alirhmänsä suora tulo. Todistus. Sklisellä rhmällä alirhmät määrätvät rhmän kertaluvun tekijöiden mukaan. Jokaista tekijää vastaa täsmälleen ksi alirhmä. Sklisen rhmän Z p 2 kertaluku on p 2. Koska p on oletuksen mukaan alkuluku, ovat sen ainoat jakajat 1, p ja p 2. Tekijöitä 1 ja p 2 vastaavat triviaalit alirhmät {[0]} ja Z p 2. Ainoa epätriviaali alirhmä on siis kokoa p, ja niitä on vain ksi kappale. Alirhmän tulo itsensä kanssa ei voi kuitenkaan olla suora, joten Z p 2 ei ole kahden epätriviaalin alirhmänsä suora tulo. 3
Tehtävä 5. Oletetaan, että σ on joukon X permutaatio. Permutaation σ kantaja määritellään seuraavasti: supp(σ) = { X σ() }. Kantajaan kuuluvat siis ne alkiot, jotka liikkuvat permutaatiossa paikaltaan. (Toisin sanoen kantaja on kiintopistejoukon komplementti.) Olkoot σ ja τ joukon X permutaatioita ja joukon X alkio. Osoita, että a) σ() supp(σ), jos ja vain jos supp(σ) b) supp(σ) = supp(σ 1 ) c) supp(σ τ) supp(σ) supp(τ). Todistus. Jokainen kohta on helpointa käsitellä kontraposition kautta (tai tutkimalla kantajan sijasta kiintopistejoukkoa.) a) Oletetaan ensin, että / supp(σ). Tällöin σ() =, joten σ(σ()) = σ(). Näin ollen σ() / supp(σ). Oletetaan sitten, että σ() / supp(σ), eli σ(σ()) = σ(). Koska σ on injektio, tät päteä σ() =, joten / supp(σ). b) Helposti nähdään, että / supp(σ) σ() = = σ 1 () / supp(σ 1 ). Täten X \ supp(σ) = X \ supp(σ 1 ) ja siirtmällä komplementteihin nähdään, että supp(σ) = supp(σ 1 ). c) Oletetaan, että / supp(σ) supp(τ). Tämä tarkoittaa, että / supp(σ) ja / supp(τ). Siispä σ() = ja τ() =, joten eritisesti σ(τ()) = σ() =. Tällöin / supp(σ τ). On siis päätelt, että jos supp(σ τ), niin supp(σ) supp(τ). Tehtävä 6. Osoita, että Rubikin rhmän keskus sisält asentorhmään R a. Todistus. Olkoon τ siirto, joka liikuttaa paloja ja ei siten kuulu asentorhmään R a. Oletetaan, että τ siirtää kuution palan paikasta paikkaan ja. Olkoon σ sellainen perussiirto, että se liikuttaa paikassa olevaa palaa, mutta ei koske paikassa olevaan palaan. Tällainen perussiirto on aina mahdollista lötää seuraavasti. Paikat ja ovat joko molemmat nurkkapaikkoja tai molemmat särmäpaikkoja. Jos on särmäpaikka, se sijaitsee htä aikaa kahdella tahkolla ja voi sijaita näistä vain toisella. Tällöin voidaan valita sellainen σ, joka kiertää sitä tahkoa, jolla ei sijaitse. Toisaalta jos on nurkkapaikka, se sijaitsee htä aikaa kolmella tahkolla ja voi sijaita näistä vain hdellä. Tutkitaan konjugaattia στσ 1 ja katsotaan, mitä se tekee paikassa olevalle palalle A. Oheisessa kuvassa on esimerkki tilanteesta. Siirto σ 1 siirtää palan A pois paikasta ja tilalle jonkin palan. Tämän jälkeen siirto τ saattaa liikuttaa palaa A, mutta ainakaan se ei vie sitä paikkaan. Sinne menee nimittäin tällä hetkellä paikassa oleva pala. 4
Lopulta siirto σ saattaa vielä liikuttaa palaa A, mutta se ei voi viedä sitä paikkaan, sillä siirron σ oletettiin olevan sellainen, että se ei vaikuta paikkaan. Nt tiedämme, että pala A ei liiku konjugaatissa στσ 1 paikkaan. Siirto τ kuitenkin siirtää palan A paikkaan, mistä seuraa, että στσ 1 τ. On siis päätelt, että τ / ζg. Täten koko Rubikin rhmän keskus sisält asentorhmään R a. τ A σ 1 σ C A C 5