DYNAMIIKKA II, LUENTO 7 (SYKSY 2015) Arttu Polojärvi

DYNAMIIKKA II, LUENTO 7 (SYKSY 2015) Arttu Polojärvi

LUENNON SISÄLTÖ Kertausta edelliseltä luennolta: Liikemäärän ja liikemäärän momentin tase. Hyrräyhtälöt. Liikeyhtälöiden muodostaminen. Lagrangen formalismi: Lagrangen liikeyhtälö ja määritelmiä: yleistetyt koordinaatit, virtuaaliset siirtymät Liike-energian lausekkeita erilaisille systeemeille. Liikeyhtälöt, virtuaaliset siirtymät ja D Alembertin periaate.

KERTAUS

KERTAUS: MEKANIIKAN PERUSLAIT Kinetiikka = liikkeen ja sen syyn (voimien ja niiden momenttien) tarkastelu. Liikemäärän taseen periaate: Kappaleen liikemäärän muutosnopeus on yhtä suuri kuin siihen vaikuttavien voimien summa f = d (mv) = ṁv + m v = m v = ma dt Liikemäärän momentin taseen periaate: Kappaleen liikemäärän momentin muutosnopeus on yhtä suuri kuin siihen vaikuttavien ulkoisten voimien aiheuttaminen momenttien summa m = l Lisäksi: massan säilymisen, energian taseen ja entropian kasvun periaatteet.

LIIKEMÄÄRÄN JA LIIKEMÄÄRÄN MOMENTTI: MÄÄRITELMIÄ Jäykän kappaleen liikkeen tarkasteluun tarvitsemme: Liikemäärä: p = m(v A + ω ρ AC ) Liikemäärän momentti 1: Liikemäärän momentti 2: = mv C l = J A ω l = ρ AC m v A + J A ω Liikemäärän momentti 1: kun piste A on massakeskipiste C tai kiinteä piste Liikemäärän momentti 2: kun piste A on mielivaltainen kappaleen piste

KERTAUS: HYRRÄYHTÄLÖT Lähtien liikemäärän momentin taseen yhtälöstä m = dl dt, saadaan hyrräyhtälöt välikoordinaatistossa m ξ = I O ω ξ + Iω ζ Ω η I O ω η Ω ζ m η = I O ω η + I O ω ξ Ω ζ Iω ζ Ω ξ m ζ = I ω ζ + I O ω η Ω ξ I O ω ξ Ω η, joissa (huom! J O on oletettu diagonaaliseksi) Ulkoinen momentti: Välikoordinaatiston kulmanopeus: Kappaleen absoluuttinen kulmanopeus: m = m ξ e ξ + m η e η + m ζ e ζ Ω = Ω ξ e ξ + Ω ηe η + Ω ζ e ζ ω = ω ξ e ξ + ω ηe η + ω ζ e ζ hitausmatriisin J O alkiot (origon suhteen): J ξξ = J ηη = I 0 ja J ζζ = I ja on käytetty oletuksia Kappale on pyörähdyssymmetrinen (tai riittää J ξξ = J ηη) Välikoordinaatiston ζ-akseli yhtyy symmetria-akseliin.

KERTAUS: HYRRÄYHTÄLÖT Miten tämä kalvo liittyy hyrräyhtälöihin? ṁ = ( ) dlo = dt XY Z ( ) dlo + Ω l O, dt ξηζ

KERTAUS: LIIKEYHTÄLÖIDEN MUODOSTAMINEN Yleisen jäykän kappaleen liikkeen yhtälöiden muodostaminen ulkomuistista on vaikeaa niiden monimutkaisuuden vuoksi. Kuitenkin meillä on nyt kaikki tarpeelliset yksinkertaiset ja jopa helpohkosti muistettavat rakennuspalikat niiden muodostamiseen! Massan vaikutusmitat, kulmanopeuden esitykset eri koordinaatistoissa, kappaleen partikkelin nopeuden esitykset, liikemäärä ja liikemäärän momentti, sekä liikelait f = ma ja m = dl/dt

DYNAMIIKKA II: L7: LAGRANGEN FORMALISMI I Arttu Polojärvi

OPPIMISTAVOITTEET Tämän luennon jälkeen opiskelija: Tietää Lagrangen liikeyhtälöihin liittyvät peruskäsitteet ja -määrittelyt soveltaakseen niitä dynamiikan ongelmissa. Ymmärtää kuinka muodostetaan liike-energian lauseke erilaisille systeemeille. Osaa soveltaa Lagrangen formalismia työkaluna liikeyhtälöiden muodostamisessa.

LAGRANGEN FORMALISMI (LF)

LF: LIIKEYHTÄLÖT JA MÄÄRITELMIÄ Lagrangen liikeyhtälöt N-partikkelin partikkelisysteemille, jolla n vapausastetta (hyvin samantyyppiset jäykälle kappaleelle): Yleistetyt koordinaatit: q j, j = 1, 2,..., n Paikkavektorit: r i = r i(q 1, q 2,..., q n), i = 1, 2,... N Yleistetty voima: Q j = Liike-energia: T = 1 2 Liikeyhtälöt: N (F i + f i ) r i, q j N m iṙ i ṙ i j = 1, 2,..., n d dt ( T q j ) T q j = Q j, j = 1, 2,..., n

LF: LIIKE-ENERGIA JA SEN LAUSEKKEEN ERI MUOTOJA Katsotaan ensin yllä esiintyvää liike-energiaa. Johdetaan alkuun partikkelisysteemin ja jäykän kappaleen liike-energialle esitykset A on mv. siirtopiste: A on massakeskipiste C: A on kiinteä piste (v A = 0): T = 1 2 mv A v A + mv A (ω ρ AC ) + 1 2 ωt J A ω T = 1 2 mv C v C + 1 2 ωt J C ω T = 1 2 ωt J Aω, jotka saadaan myös jäykälle kappaleelle (taas kerran: ääretön määrä partikkeleita).

LF: LIIKE-ENERGIAN LAUSEKKEEN JOHTO Varmaan tuttu liike-energian lauseke T = (1/2)mv 2 prtikkelisysteemin tapauksessa T = 1 2 N m i v i v i Muistetaan partikkelin nopeudelle yhtälö v i = v A+ω ρ Ai ja aletaan sieventämään

LF: LIIKE-ENERGIAN LAUSEKKEEN JOHTO Liike-energian T lauseke saadaan auottua sievennettyä kompakteiksi esityksiksi T = 1 N m i(v A + ω ρ 2 Ai ) (v A + ω ρ Ai ) = 1 N N m i v A v A + v A (ω m i ρ 2 Ai ) + 1 N m i (ω ρ 2 Ai ) (ω ρ Ai ) = 1 2 mv A v A + mv A (ω ρ AC ) + 1 2 N m i (ω ρ Ai ) (ω ρ Ai ), Viimeinen termi auki huomioimalla yhteys (a b) c = a (b c) johon sijoitetaan 1 2 a = ω b = ρ Ai c = ω ρ Ai N m i(ω ρ Ai ) (ω ρ Ai ) = 1 N 2 ω m iρ Ai (ω ρ Ai ) = 1 2 ω JAω } {{ } =J A ω (ks. luento 6) Johon tulee vielä sijoittaa yhteys a b = a T b seuraavan sivun esityksiin pääsemiseksi.

LF: LIIKE-ENERGIAN LAUSEKKEEN JOHTO Saadaan siis sivennettyä liike-energialle kolme varsin kompaktia esitystapaa A on mv. siirtopiste: A on massakeskipiste C: A on kiinteä piste (v A = 0): T = 1 2 mva va + mva (ω ρ AC) + 1 2 ωt J Aω T = 1 2 mv C v C + 1 2 ωt J C ω T = 1 2 ωt J A ω Siirtopiste A:n helpoimpiin LY:hin johtava valinta riippuu yleensä ongelmasta. Näitä systemaattisesti käyttämällä saadaan esitettyä systeemin liike-energia.

LF: ESIMERKKI LIIKE-ENERGIASTA Piste A on rakenteen nivel: partikkelin hitausmomentti J A = ml 2 ja kulmanopeus ϕ joten saadaan (v A = 0) T = 1 2 ωt J A ω = 1 2 ml2 ϕ2. A kiinnitetty massaan (A=C): massan nopeus ṙ(ϕ) = l ϕe ϕ jolloin puolestaan saadaan (partikkelin, eli massan, J C = 0) T = 1 2 mv C v C = 1 2 ml2 ϕ2.

LF: YLEISTETYT KOORDINAATIT JA VAPAUSASTEET Vapausasteiden lukumäärä on systeemin aseman (konfiguraatio) yksikäsitteisesti kuvaavien koordinaattien lukumäärä. Koordinaatit voidaan valita eri tavoin mutta vapausasteiden lukumäärä on tietylle systeemille vakio. Kinemaattiset rajoitteet: sitovat vapausasteita toisiinsa ja rajoittavat ongelman systeemin liikeen mahdollisuuksia ja siten myös systeemin vapausasteita (esim. ensimmäisen kuvan kappaleet A ja B pysyvät liuskalla ja eivät siis uppoa siihen).

LF: YLEISTETYT KOORDINAATIT JA VAPAUSASTEET Yleistetyt koordinaatit q i ovat toisistaan riippumattomia ja määrittävät systeemin aseman yksikäsitteisesti rikkomatta sen kinemaattisia rajoitteita. Jos systeemissä on N partikkelia ja n vapausastetta voidaan sen partikkeleiden asema kuvata paikkavektoreilla N = 2 & n = 1 Oletus: pallonivel O:ssa r i = r i (q 1, q 2, q 3,..., q n, t) i = 1, 2, 3,..., N Huomaa tässä, että n ei ole välttämättä ole sama kuin N. Yleistyt koordinaatit voidaan valita usealla eri tavalla, mutta niiden lukumäärä on tietylle systeemille vakio. N = 1 & n = 3

LF: ESIMERKKI Heilurille tuttu yleistetty koordinaatti q = ϕ (n = 1), ja käyttäen tätä siis voidaan kirjoittaa r = r(q) = r(ϕ) joka siis toisaalta auki kirjoitettuna on r(ϕ) = l(sin ϕi + cos ϕj). Oletus: x osoittaa vasemmalle, y alas. Kinemaattinen rajoite heilurille: r = l.

LF: ESIMERKKI Tutustutaan sitten vaan ihan määritelmiin: Oheisen kuvan mukaisessa systeemissä partikkelin (massa m) liike on rajattu kiilan kaltevalle tasolle. Kiila itsessään suorittaa kuvan mukaisesti sinimuotoista liikettä. Systeemissä ei vaikuta kitkavoimia. Muodosta systeemin Lagrangen liikeyhtälöt tapauksessa, jossa yleistetyksi koordinaatiksi valitaan vasemman kuvan x ja oikean kuvan s. r P = r P (x) r P = r P (s)

LF: DIFFERENTIAALEJA JA DERIVOINTIA Kuinka toimitaan operaatioiden d dt ( T q j ) T q j = Q j kanssa? Tarkastellaan paikkavektorin r i = r i (q 1,..., q n, t) differentiaalista muutosta dr i = ri q 1 dq 1 + ri q 2 dq 2 +... + ri t dt = n r i q j dq j + ri t dt josta saadaan jakamalla dt:llä ja huomioiden viimeiselle termille dt/dt = 1 dr i dt = r i dq 1 q 1 dt + r i dq 2 q 2 dt +... + r i dt t dt = r i q 1 + r i q 2 +... + r i q 1 q 2 t = r i q j + ri q j t = ṙi J Eri operaattorit: / t=partial derivative ja d/dt=total derivative. Tapauksessa / t ei huomioitaisi, että eri muuttujat voivat olla ajasta riippuvia.

LF: DIFFERENTIAALEJA JA DERIVOINTIA Erityisen usein tulee vastaan liike-energian lausekkeita muotoa (oletetaan tässä q = xi) T = 1 2 mv v = 1 2 mẋ2 ja T ẋ = mẋ mutta T x = 0. Ensi viikolla usein vastaan tulee (potentiaalienergian) lausekkeita, jotka ovat muotoa f(x) = mgx jolle f ẋ = 0. Suure ja sen muutosnopeus oletetaan osittaisderivaatassa toisistaan riippumattomiksi.

LF: VIRTUAALISET SIIRTYMÄT Virtuaalisia siirtymiä tarvitaan virtuaalisen työn lausekkeen johdossa, joka puolestaan sitten taas johtaa Lagrangen liikeyhtälöihin. Virtuaalinen siirtymä on paikkavektorin variaatio yleistettyjen koordinaattien suhteen δr i = r i q 1 δq 1 + r i q 2 δq 2 + r i q 3 δq 3 +... + r i q n δq n = n j=1 r i q j δq j Toisaalta virtuaalinen siirtymä voidaan kirjoittaa komponenttimuodossa kuten vektori δr i = δx ii + δy ij + δz ik = n j=1 x i q j δq ji + n j=1 y i q j δq jj + n j=1 z i q j δq jk Kinemaattisesti luvalliset virtuaaliset siirtymät eivät riko tehtävän kinemaattisia rajoitteita differentiaalisen (hyvin pienen) siirtymän mielessä. Meille hyvä valinta. Kinemaattisesti luvattomat virtuaaliset siirtymät puolestaan rikkovat systeemin kinemaattisia rajoitteita. Voi käyttää esim. statiikan tehtävissä näppärästi. Virtuaalisia siirtymiä tarkastellessa systeemin aika tulee ajatella jäädytetyksi: esim. voimat säilyttävät tarkasteluhetken arvonsa ja suuntansa (pikkasen abstrakti juttu).

LF: VIRTUAALISET SIIRTYMÄT JA D ALEMBERTIN PERIAATE Käytetään partikkelin i voimaresultantille (voimien summa partikkelille) merkintää K i = F i + Z i i = 1, 2, 3... N, jossa F i on partikkelin i ulkoisten voimien ja Z i partikkelin i rajoitevoimien resultantti. Saadaan N kappaletta liikeyhtälöitä (LY) eli kaikille partikkeleille pädettävä liikelaki K i m i a i = 0 (ihan perus Newtonin liikelaki). Valitaan N mv. vektoria b i = b xi i+b yi j+b zi k ja otetaan edellisistä LY:stä pistetuloja N (K i m i a i ) b i = 0, joten (K i m i a i ) b i = 0, joista jälkimmäinen on vain liikeyhtälöiden summa. N (K i m ia i) δr i = 0, jossa δr i on virtuaalinen siirtymä (mutta siis voisi vielä tässä olla tavallinen vektori).

LF: VIRTUAALISET SIIRTYMÄT JA D ALEMBERTIN PERIAATE Jos valitaan kinemaattisesti sallitut virtuaaliset siirtymät δr i saadaankin edellisestä N N N (K i m ia i) δr i = (F i + Z i m ia i) δr i = (F i m ia i) δr i = 0 } {{ } D Alembertin periaate joissa siis Z i δr i = 0 ja yhtälöihin jääkin ainoastaan lopulta vain ulkoiset voimat F i. Kinemaattisesti sallitut δr i ovat aina kohtisuorassa rajoitevoimia vastaan! Hyöty meille: kinemaattisesti sallitut δr i ei rajoitevoimia liikeyhtälöissä!

LF: ESIMERKKEJÄ RAJOITEVOIMIEN SUUNNISTA Piirrä näistä vapaakappalekuvat jos ei tunnu uskottavalta! Massojen liike rajoitettu suoralle (i = 1, 2) kinem. sallittu δr i i Rajoitevoimat ( lattian tukivoimat) N i j N i δr i eli N i δr i = 0. Massan liike rajoitettu ympyräradalle kinem. sallittu δr e ϕ Rajoitevoima (nyt sauvavoima) S e r S δr eli S δr = 0.

LF: VIRTUAALINEN TYÖ Määritelmä: virtuaalinen työ δw saadaan N partikkelin systeemille yhtälöstä N N n r i δw = K i δr i = K i δq j = q j j=1 n N j=1 K i r i q j }{{} Q j (määritelmä) δq j = n Q j δq j Edellisillä kalvoilla todetusta seuraa: kinemaattisesti sallitussa virtuaalisessa siirtymässa rajoitevoiminen tekemä virtuaalinen työ häviää (Z i δr i Z i δr i = 0). j=1 g N g N δr N δr = 0 N δr 0 Virtuaalisia siirtymiä tarkastellessa systeemin aika tulee ajatella jäädytetyksi: voimat säilyttävät tarkasteluhetken arvonsa ja suuntansa. (kuvien tapauksissa N vakio.) δr

LF: VIRTUAALINEN TYÖ JA YLEISTETTY VOIMA Huomataan vielä, että joskus Q j :t saa helposti edellisestä δw :n määritelmästä N n δw = K i δr i = Q j δq j. j=1 Kuvan systeemin massaton osa C on pakkoliikkeessä x C = a sin ωt, jossa a ja ω ovat vakioita. Venymätön lanka yhdistää kappaleen A (massa m 1 ) jouseen 2 kulkien kitkattomasti laakeroidun sylinterin (massa m 2) yli. Muodosta systeemin liikeyhtälöt, kun yleistetyksi koordinaatiksi valitaan kuvan x. Painovoimaa ei tarvitse huomioida.

LF: MITÄ HYÖTYÄ JA MUISTETTAVAA? Jatketaan yhtälöiden johtoa seuraavissa kalvoissa, mutta jos nyt voidaan muistuttaa listasta asioita, jotka aina liittyvöt Lagrangen liikeyhtälöihin. Yleinen menettely systeemin liikeyhtälöiden muodostamiseen. Aina saman verran liikeyhtälöitä kuin systeemin yleistettyjä koordinaatteja! Aina minimimäärä yhtälöitä systeemin liikkeen kuvaamisessa. Todella tehokasta: T ja Q j määritelmien mukaan, sievennä, derivoi LY:t. Huomaathan: yleistetyt voimat Q j eivät ole vektoreita vaan skalaareita! Abstraktiotaso nousee jonkin verran Newtonin mekaniikkaan verrattuna!