802655S KETJUMURTOLUVUT OSA I CONTINUED FRACTIONS PART I

802655S KETJUMURTOLUVUT OSA I CONTINUED FRACTIONS PART I Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO KEVÄT 2017 Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN 802655S KETJUMURTOLUVUT YLIOPISTO OSA I CONTINUED FRACTIONS KEVÄT 2017 PART I 1 / 109

ABSTRACT Ketjumurtolukujen teoria on kiinteä osa matematiikan lukuteoriaa. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN 802655S KETJUMURTOLUVUT YLIOPISTO OSA I CONTINUED FRACTIONS KEVÄT 2017 PART I 2 / 109

INTRODUCTION/JOHDANTO ESITYKSIÄ SEKÄ TYÖKALUJA Luennoilla tarkastelemme aluksi reaalilukujen b-kantaesityksiä ja yksinkertaisia ketjumurtoesityksiä sekä esityksien ominaisuuksia-päättyvä, päättymätön, irrationaalisuus, jaksollisuus, approksimaatio-ominaisuudet. Seuraavaksi tutkitaan yleisiin ketjumurtolukuihin liittyviä rekursiota ja transformaatioita sekä suppenemis- ja irrationaalisuusehtoja. Edelleen tarkastellaan hypergeometristen sarjojen ketjumurtokehitelmiä, joista saadaan tuttujen lukujen kuten Neperin luvun ja piin ketjumurtokehitelmiä. Tutkimus suunnataan myös yleisempiin irrationaalisuuskysymyksiin ja Diofantoksen yhtälöihin. 802655S KETJUMURTOLUVUT/NOPPA LINK. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN 802655S KETJUMURTOLUVUT YLIOPISTO OSA I CONTINUED FRACTIONS KEVÄT 2017 PART I 3 / 109

INTRODUCTION/JOHDANTO ESITYKSIÄ SEKÄ TYÖKALUJA 802655S CONTINUED FRACTIONS/NOPPA LINK. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN 802655S KETJUMURTOLUVUT YLIOPISTO OSA I CONTINUED FRACTIONS KEVÄT 2017 PART I 4 / 109

INTRODUCTION/JOHDANTO BASICS AND REFERENCES/POHJATIEDOT JA LÄHTEITÄ Esitiedot: Pakolliset aineopinnot ja Lukuteorian perusteet. Kurssilla käytetään Lukuteorian perusteet kurssin merkintöjä. Notations and basics of Number Theory from the course: Basics of Number Theory. Lisa Lorentzen and Haakon Waadeland: Continued Fractions with Applications (1992). Oskar Perron: Die Lehre von den Kettenbruchen (1913). G.H. Hardy & E.M. Wright: An Introduction to the Theory of Numbers. Kenneth H. Rosen: Elementary number theory and its applications. Number Theory Web/LINK American Mathematical Monthly/LINK Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN 802655S KETJUMURTOLUVUT YLIOPISTO OSA I CONTINUED FRACTIONS KEVÄT 2017 PART I 5 / 109

Jakoalgoritmi Algebran perusteet: Lause 1 Olkoot a, b Z ja b 0. Tällöin! q Z ja! r N : a = qb + r, 0 r b 1. (3.1) Kun b Z +, niin q = a b. (3.2) Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN 802655S KETJUMURTOLUVUT YLIOPISTO OSA I CONTINUED FRACTIONS KEVÄT 2017 PART I 6 / 109

Kantakehitelmät Kokonaisluvun kantakehitelmät b-base expansion of an integer: Lause 2 Olkoot b Z 2 ja a N. Tällöin! esitys a = n 0 a n b n, 0 a n b 1, a n N. (4.1) Esitystä/representation (4.1) sanotaan kokonaisluvun b-kantakehitelmäksi. Merkintä 1 a m...a 0 = (a m...a 0 ) b = a m b m +... + a 1 b + a 0. (4.2) Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN 802655S KETJUMURTOLUVUT YLIOPISTO OSA I CONTINUED FRACTIONS KEVÄT 2017 PART I 7 / 109

Kantakehitelmät Kokonaisluvun kantakehitelmät Cantor expansion of an integer Lause 3 Olkoot {b 1, b 2,...} Z 2 ja a N annettu. Tällöin! esitys a = n 0 a n i=1 Seurauksena saadaan Cantorin kehitelmä Lause 4 Olkoon a N. Tällöin! Cantorin esitys n b i, 0 a n b n+1 1, a n N. (4.3) a = n 1 a n n!, 0 a n n, a n N. (4.4) Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN 802655S KETJUMURTOLUVUT YLIOPISTO OSA I CONTINUED FRACTIONS KEVÄT 2017 PART I 8 / 109

Kantakehitelmät Kokonaisluvun kantakehitelmät Lauseen 3 todistus Jakoalgoritmia toistamalla/by repeating the division algorithm a = q 1 b 1 + a 0, 0 a 0 b 1 1; q 1 = q 2 b 2 + a 1, 0 a 1 b 2 1; q 2 = q 3 b 3 + a 2, 0 a 2 b 3 1;... ; q s 1 = q s b s + a s 1, 0 a s 1 b s 1; q s = 0 b s+1 + a s, 0 a s b s+1 1. Osoitetaan myöhemmin, että tällainen s on olemassa. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN 802655S KETJUMURTOLUVUT YLIOPISTO OSA I CONTINUED FRACTIONS KEVÄT 2017 PART I 9 / 109

Kantakehitelmät Kokonaisluvun kantakehitelmät Siten a =(q 2 b 2 + a 1 )b 1 + a 0 =q 2 b 2 b 1 + a 1 b 1 + a 0 =(q 3 b 3 + a 2 )b 2 b 1 + a 1 b 1 + a 0 =q 3 b 3 b 2 b 1 + a 2 b 2 b 1 + a 1 b 1 + a 0 =... =a s b s b 2 b 1 +... + a 2 b 2 b 1 + a 1 b 1 + a 0. Sopimuksen mukaan 0 i=1 b i = 1 (tyhjä tulo= 1), joten saadaan esitys (4.3). Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN 802655S KETJUMURTOLUVUT YLIOPISTO OSA I CONTINUED FRACTIONS KEVÄT 2017 PART I 10 / 109

Kantakehitelmät Kokonaisluvun kantakehitelmät Näytetään vielä, että on olemassa sellainen s N, että q s+1 = 0. Meillä oli b k 2 kaikilla k. Siten a = q 1 b 1 + a 0 2q 1 ; q 1 = q 2 b 2 + a 1 2q 2 ; q 2 = q 3 b 3 + a 2 2q 3 ;... ; q k 1 = q k b k + a k 1 2q k, josta saadaan q k a 2 k. (4.5) Yksikäsitteisyyden todistus sivuutetaan. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN 802655S KETJUMURTOLUVUT YLIOPISTO OSA I CONTINUED FRACTIONS KEVÄT 2017 PART I 11 / 109

Kantakehitelmät Kokonaisluvun kantakehitelmät Esimerkki 1 Olkoot b 1 = 3, b 2 = 2, b 3 = 3, b 4 = 2 ja a = 11. Laskemalla saadaan, että 11 = 1 (2 3) + 1 3 + 2 = 0 (3 2 3) + 1 (2 3) + 1 3 + 2 (4.6) on luvun 11 Cantorin kehitelmä kannassa {3, 2, 3, 2} Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN 802655S KETJUMURTOLUVUT YLIOPISTO OSA I CONTINUED FRACTIONS KEVÄT 2017 PART I 12 / 109

Kantakehitelmät Kokonaisluvun kantakehitelmät Peräkkäisten lukujen digitit Palataan vielä Cantorin lauseen 3 tarkasteluun. Olkoot {b 1, b 2,...} Z 2 annettu. Tutkitaan tilannetta a = a 0 + a 1 b 1 + a 2 b 1 b 2 +... + a h b 1 b h +..., a 0 = b 1 1,..., a h 1 = b h 1, a h b h+1 2, (4.7) missä digitit a 0,..., a h 1 ovat maksimissaan. Lasketaan a + 1 = 1 + (b 1 1) + (b 2 1)b 1 +... + a h b 1 b h +... = b 1 + (b 2 1)b 1 + (b 3 1)b 1 b 2 +... + a h b 1 b h +... = b 2 b 1 + (b 3 1)b 1 b 2 +... + (b h 1)b 1 b h 1 + a h b 1 b h +... = b 3 b 1 b 2 +... + (b h 1)b 1 b h 1 + a h b 1 b h +... = b h b 1 b h 1 + a h b 1 b h +... = (a h + 1)b 1 b h +... (b h+1 1)b 1 b h +... (4.8) Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN 802655S KETJUMURTOLUVUT YLIOPISTO OSA I CONTINUED FRACTIONS KEVÄT 2017 PART I 13 / 109

Kantakehitelmät Kokonaisluvun kantakehitelmät Digits of consecutive integers Siten ylivuoto pysähtyy ensimmäiseen vajaaseen digittiboksiin./overflow will stop to the first non-full digit box. Koska #{a 0, a 1,..., a h } = b 1 b h+1, (4.9) niin peräkkäiset kokonaisluvut/consecutive integers 0, 1,..., b 1 b h+1 1 ovat esitettävissä muodossa/ can be prepresented in the form a 0 + a 1 b 1 + a 2 b 1 b 2 +... + a h b 1 b h, 0 a i b i+1 1. (4.10) Seurauksena saadaan 1 + (b 1 1) + (b 2 1)b 1 +... + (b h 1)b 1 b h 1 + (b h+1 1)b 1 b h = b 1 b h b h+1 (4.11) Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN 802655S KETJUMURTOLUVUT YLIOPISTO OSA I CONTINUED FRACTIONS KEVÄT 2017 PART I 14 / 109

Kantakehitelmät Kokonaisluvun kantakehitelmät Digits of consecutive integers eli (b 1 1) + (b 2 1)b 1 +... + (b h+1 1)b 1 b h = b 1 b h b h+1 1, (4.12) mikä on voimassa myös arvolla/valid also with the value b 1 = 1. Niinpä esimerkiksi 1 1! + 2 2! +... + h h! = (h + 1)! 1. (4.13) Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN 802655S KETJUMURTOLUVUT YLIOPISTO OSA I CONTINUED FRACTIONS KEVÄT 2017 PART I 15 / 109

Kantakehitelmät Reaaliluvun b-kantakehitelmä Reaaliluvun b-kantakehitelmä/base b-expansion of a real number Lause 5 Olkoot b Z 2 ja x R, 0 x < 1. Tällöin esitys/representation x = n=1 x n b n, 0 x n b 1, x n N, (4.14) joka on yksikäsitteinen mikäli vaaditaan, että jokaista N Z + kohti sellainen luku k Z N että x k b 1. It is unique, if we demand that for every N Z + there such a number k Z N that x k b 1. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN 802655S KETJUMURTOLUVUT YLIOPISTO OSA I CONTINUED FRACTIONS KEVÄT 2017 PART I 16 / 109

Kantakehitelmät Reaaliluvun b-kantakehitelmä Merkintä 2 0, x 1 x 2... = (0, x 1 x 2...) b = x 1 b 1 + x 2 b 2 +... (4.15) a m...a 0, x 1 x 2... = (a m...a 0, x 1 x 2...) b = (4.16) a m b m +... + a 1 b 1 + a 0 b 0 + x 1 b 1 + x 2 b 2 +... Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN 802655S KETJUMURTOLUVUT YLIOPISTO OSA I CONTINUED FRACTIONS KEVÄT 2017 PART I 17 / 109

Kantakehitelmät Reaaliluvun b-kantakehitelmä Todistus. Kaikilla y R pätee (katso Lukuteorian perusteet) 0 y y < 1. (4.17) Asetetaan y 0 = x ja palautuskaavat/recurrences x k+1 = by k ; (4.18) y k+1 = by k x k+1 k N. (4.19) Tällöin ja x 1 = by 0 = bx (4.20) 0 x 1 = bx bx < b 0 x 1 b 1. (4.21) Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN 802655S KETJUMURTOLUVUT YLIOPISTO OSA I CONTINUED FRACTIONS KEVÄT 2017 PART I 18 / 109

Kantakehitelmät Reaaliluvun b-kantakehitelmä Edelleen ja Vastaavasti ja siten y 1 = by 0 x 1 = bx bx 0 y 1 < 1 (4.22) x = y 0 = x 1 b + y 1 b. (4.23) y 1 = x 2 b + y 2 b, 0 y 2 < 1, (4.24) x = y 0 = x 1 b + x 2 b 2 + y 2 b 2. (4.25) Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN 802655S KETJUMURTOLUVUT YLIOPISTO OSA I CONTINUED FRACTIONS KEVÄT 2017 PART I 19 / 109

Kantakehitelmät Reaaliluvun b-kantakehitelmä Edelleen missä Olkoon x = x 1 b + x 2 b 2 +... + x n b n + y n b n, (4.26) 0 x i b 1, 0 y i < 1 i = 1,..., n. (4.27) x = X n + y n b n, (4.28) Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN 802655S KETJUMURTOLUVUT YLIOPISTO OSA I CONTINUED FRACTIONS KEVÄT 2017 PART I 20 / 109

Kantakehitelmät Reaaliluvun b-kantakehitelmä missä X n = x 1 b + x 2 b 2 +... + x n b n (4.29) on kasvava/increasing ja rajoitettu/bounded. Näytetään, että X n on rajoitettu: X n b 1 b = b 1 b = b 1 b + b 1 b 2 +... + b 1 b n +... = (1 + 1b + 1b ) 2 +... 1 1 1/b = 1. (4.30) Siten lim X n = n=1 x n b n. (4.31) Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN 802655S KETJUMURTOLUVUT YLIOPISTO OSA I CONTINUED FRACTIONS KEVÄT 2017 PART I 21 / 109

Kantakehitelmät Reaaliluvun b-kantakehitelmä Osoitetaan vielä, että Tuloksen/By the result (4.26) nojalla lim X n = x. (4.32) x X n = x 1 b + x 2 b 2 +... + x n b n + y n b n ( x1 b + x 2 b 2 +... + x n b n ) = y n b n 1 b n 0. (4.33) Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN 802655S KETJUMURTOLUVUT YLIOPISTO OSA I CONTINUED FRACTIONS KEVÄT 2017 PART I 22 / 109

Kantakehitelmät Reaaliluvun b-kantakehitelmä Lauseen 5 yleistyksenä saadaan. Lause 6 Olkoot {b 1, b 2,...} Z 2 ja x R, 0 x < 1. Tällöin esitys x = n=1 c n b 1 b n, 0 c n b n 1, c n N. (4.34) Lauseen 6 erikoistapauksena saadaan Cantor tyyppinen esitys. Lause 7 Olkoon x R, 0 x < 1. Tällöin esitys x = n=2 d n n!, 0 d n n 1, d n N. (4.35) Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN 802655S KETJUMURTOLUVUT YLIOPISTO OSA I CONTINUED FRACTIONS KEVÄT 2017 PART I 23 / 109

Kantakehitelmät Reaaliluvun b-kantakehitelmä Esimerkki 2 Määrätään luvuille esitykset (4.35). e 2, 1/e (4.36) Käytetään eksponenttifunktion sarjakehitelmää/series expansion e z z n = n!, (4.37) jolloin 1 e = n=0 ( 1) n n! n=0 = 1 2! 1 3! + 1 4! 1 5! +... = 2 3! + 4 5! + 6 7! +... (4.38) Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN 802655S KETJUMURTOLUVUT YLIOPISTO OSA I CONTINUED FRACTIONS KEVÄT 2017 PART I 24 / 109

Kantakehitelmät Reaaliluvun b-kantakehitelmä Määritelmä 1 Esitys x = 0, x 1 x 2... (4.39) on päättyvä/finite/terminating, jos sellainen M Z +, että x k = 0, k Z M. (4.40) Esitys (4.39) on jaksollinen/periodic, mikäli sellaiset N N ja L Z +, että x n+l = x n, n Z N+1, (4.41) missä L on jakso/period. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN 802655S KETJUMURTOLUVUT YLIOPISTO OSA I CONTINUED FRACTIONS KEVÄT 2017 PART I 25 / 109

Kantakehitelmät Reaaliluvun b-kantakehitelmä Tällöin käytetään merkintöjä x = 0, x 1 x 2... = 0, x 1...x N x N+1...x N+L = 0, x 1...x N x N+1...x N+L x N+1...x N+L..., (4.42) missä N on alkutermin pituus/lenght of the initial term. Jos N = 0 eli alkutermiä ei ole/no initial term, niin tällöin kehitelmä on puhtaasti jaksollinen/purely periodic. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN 802655S KETJUMURTOLUVUT YLIOPISTO OSA I CONTINUED FRACTIONS KEVÄT 2017 PART I 26 / 109

Kantakehitelmät Reaaliluvun b-kantakehitelmä Huomautus 1 Jos muuta ei sanota, niin jakso ja alkutermi valitaan mahdollisimman lyhyeksi. If nothing else is mentioned, then we choose period and initial terms as short as possible. Käytetään myös termiä minimijakso/minimal period. Huomautus 2 Reaaliluvun päättyvä esitys on jaksollinen eli x = a, x 1...x N = a, x 1...x N 0... = a, x 1...x N 0 (4.43) ja rationaalinen eli x = a, x 1...x N Q. (4.44) Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN 802655S KETJUMURTOLUVUT YLIOPISTO OSA I CONTINUED FRACTIONS KEVÄT 2017 PART I 27 / 109

Kantakehitelmät Reaaliluvun b-kantakehitelmä b-kantaesitys/algoritmi Palautuskaavat (4.18) ja (4.19) antavat algoritmin: y 0 = x; x k+1 = by k ; y k+1 = by k x k+1, k = 0, 1, 2,...; (4.45) reaaliluvun b-kantaesityksen laskemiseen. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN 802655S KETJUMURTOLUVUT YLIOPISTO OSA I CONTINUED FRACTIONS KEVÄT 2017 PART I 28 / 109

Kantakehitelmät Reaaliluvun b-kantakehitelmä Esimerkki 3 Nyt b = 2 ja y 0 = x = 1/7, jolloin 1 7 = (0, 001001...) 2 = (0, 001) 2. (4.46) x 1 = by 0 = 2 7 = 0; y 1 = by 0 x 1 = 2 7 0 = 2 7 ; x 2 = by 1 = 4 7 = 0; y 2 = by 1 x 2 = 4 7 0 = 4 7 ; (4.47) x 3 = by 2 = 8 7 = 1; y 3 = by 2 x 3 = 8 7 1 = 1 7 = y 0; x 4 = x 1 ;... Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN 802655S KETJUMURTOLUVUT YLIOPISTO OSA I CONTINUED FRACTIONS KEVÄT 2017 PART I 29 / 109

Kantakehitelmät Reaaliluvun b-kantakehitelmä Esimerkki 4 b = 10. 3 7 = 0, 428571, 2 7 = 0, 285714, 6 = 0, 857142, 7 4 7 = 0, 571428, 5 7 = 0, 714285, 1 = 0, 142857. 7 Huomautus 3 Huomaa, että rationaaliluku x Q voidaan esittää supistetussa muodossa x = r s, r s, r Z, s Z+. (4.48) Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN 802655S KETJUMURTOLUVUT YLIOPISTO OSA I CONTINUED FRACTIONS KEVÄT 2017 PART I 30 / 109

Kantakehitelmät Reaaliluvun b-kantakehitelmä Terminating expansion Lause 8 Olkoot b Z 2 ja x R, 0 x < 1. A). Jos rationaaliluvulle x Q, missä x = r s, r s, s = h pätee ehto/holds a condition niin esitys (4.14) on päättyvä. i=1 p v i i, p i P, v i Z +, (4.49) h p i b, (4.50) i=1 Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN 802655S KETJUMURTOLUVUT YLIOPISTO OSA I CONTINUED FRACTIONS KEVÄT 2017 PART I 31 / 109

Kantakehitelmät Reaaliluvun b-kantakehitelmä Terminating expansion B). Jos reaaliluvun x esitys (4.14) on päättyvä, niin x Q ja sen supistetulle esitykselle pätee ehto x = r s, r s, s = h i=1 p v i i, p i P, v i Z +, (4.51) h p i b. (4.52) i=1 Ehto/condition (4.50) lyhemmin/shortly p s p b, p P. (4.53) Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN 802655S KETJUMURTOLUVUT YLIOPISTO OSA I CONTINUED FRACTIONS KEVÄT 2017 PART I 32 / 109

Kantakehitelmät Reaaliluvun b-kantakehitelmä Todistus. A. Ehdosta (4.50) seuraa, että Siten b K x = b K r s Z+, joten s b K, K = max{v 1,..., v h }. (4.54) b K x = c 0 + c 1 b +... + c m b m, 0 c i b 1, m < K. (4.55) Siispä x = c m b K m +... + c 0 b K. (4.56) Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN 802655S KETJUMURTOLUVUT YLIOPISTO OSA I CONTINUED FRACTIONS KEVÄT 2017 PART I 33 / 109

Kantakehitelmät Reaaliluvun b-kantakehitelmä B. Olkoon esitys päättyvä eli Siten x = x 1 b +... + x N b N = x 1b N 1 +... + x N b N := r, r s. (4.57) s b N r = (x 1 b N 1 +... + x N )s, r s. (4.58) Olkoon p i s. Koska r s, niin p i b N, joten p i b kaikilla s:n alkutekijöillä p i. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN 802655S KETJUMURTOLUVUT YLIOPISTO OSA I CONTINUED FRACTIONS KEVÄT 2017 PART I 34 / 109

Kantakehitelmät Reaaliluvun b-kantakehitelmä Esimerkki 5 Olkoon b = 5 ja x = 7/9. Nyt s = 3 2, joten ehto (4.53) ei ole voimassa. Siten 5-kantainen kehitelmä luvulle 7/9 on päättymätön/infinite. Esimerkki 6 Olkoon b = 3 ja x = 7/9. Nyt s = 3 2, joten ehto (4.53) on voimassa. Siten 3-kantainen kehitelmä luvulle 7/9 on päättyvä/finite. Algoritmilla (4.45) saadaankin: 7 9 = (0, 21) 3. (4.59) Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN 802655S KETJUMURTOLUVUT YLIOPISTO OSA I CONTINUED FRACTIONS KEVÄT 2017 PART I 35 / 109

Kantakehitelmät Reaaliluvun b-kantakehitelmä Nyt y 0 = x = 7/9, jolloin x 1 = by 0 = 7 3 = 2; y 1 = by 0 x 1 = 7 3 2 = 1 3 ; x 2 = by 1 = 1 = 1; y 2 = by 1 x 2 = 1 1 = 0; x 3 = by 2 = 0; y 3 = by 2 x 3 = 0; x 4 = x 5 =... = 0. (4.60) Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN 802655S KETJUMURTOLUVUT YLIOPISTO OSA I CONTINUED FRACTIONS KEVÄT 2017 PART I 36 / 109

Kantakehitelmät Reaaliluvun b-kantakehitelmä Määritelmä 2 Olkoot n Z 2, b Z ja b n. Luvun b kertaluku ord n b, on pienin luku k Z +, jolle pätee b k 1 (mod n). (4.61) Olkoon b Z n ja alkion b generoima syklinen aliryhmä. Tällöin b = {b k k N} (4.62) ord n b = # b. (4.63) Koska aliryhmän kertaluku jakaa ryhmän kertaluvun, niin ord n b #Z n = ϕ(n). (4.64) Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN 802655S KETJUMURTOLUVUT YLIOPISTO OSA I CONTINUED FRACTIONS KEVÄT 2017 PART I 37 / 109

Kantakehitelmät Reaaliluvun b-kantakehitelmä Tarkemmin kurssilla Lukuteoria A/LINK. Esimerkki 7 n = 7, b = 10, 10 = 3 Z 7. ord 7 10 6 = ϕ(7). (4.65) Lasketaan siis joten 3 1 = 3, 3 2 = 2, 3 3 = 6, (4.66) ord 7 10 4 ord 7 10 = 6. (4.67) Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN 802655S KETJUMURTOLUVUT YLIOPISTO OSA I CONTINUED FRACTIONS KEVÄT 2017 PART I 38 / 109

Kantakehitelmät Reaaliluvun b-kantakehitelmä Periodic expansion Kerrataan vielä, että reaaliluvun päättyvä esitys on jaksollinen eli x = a, x 1...x N = a, x 1...x N 0... = a, x 1...x N 0 ja päättyvä esitys on rationaalinen eli x = a, x 1...x N Q. Erityisesti 0 = 0, 00... = 0, 0 = 0 1. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN 802655S KETJUMURTOLUVUT YLIOPISTO OSA I CONTINUED FRACTIONS KEVÄT 2017 PART I 39 / 109

Kantakehitelmät Reaaliluvun b-kantakehitelmä Periodic expansion Lause 9 Olkoot b Z 2 ja x R, 0 x < 1. A). Jaksollinen esitys on rationaalinen eli x = 0, x 1...x N x N+1...x N+L = r, r s. (4.68) s B). Rationaaliluvun x = r/s esitys on jaksollinen eli r s = 0, x 1...x N x N+1...x N+L. (4.69) Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN 802655S KETJUMURTOLUVUT YLIOPISTO OSA I CONTINUED FRACTIONS KEVÄT 2017 PART I 40 / 109

Kantakehitelmät Reaaliluvun b-kantakehitelmä Periodic expansion C). Olkoot x = r, r s, s = TU, U b; (4.70) s p T p b, p P; (4.71) ord U b = L; (4.72) ja luku N N on pienin/smallest, jolle pätee/for which holds T b N. (4.73) Tällöin jakson pituus on L ja alkutermin pituus N. Huom: Jos T = 1, niin N = 0, jolloin alkutermiä ei ole ja kehitelmä on puhtaasti jaksollinen. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN 802655S KETJUMURTOLUVUT YLIOPISTO OSA I CONTINUED FRACTIONS KEVÄT 2017 PART I 41 / 109

Kantakehitelmät Reaaliluvun b-kantakehitelmä Todistus. A. Tutkitaan ensin puhtaasti jaksollista kehitelmää/first we study a purely periodic expansion z = 0, z 1...z L = z 1 b +... + z L b L + 1 ( z1 b L b +... + z L b L + z 1 b L+1 +... + z ) L b 2L +... = d b L + 1 b L z, (4.74) mistä saadaan z = d b L 1. (4.75) Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN 802655S KETJUMURTOLUVUT YLIOPISTO OSA I CONTINUED FRACTIONS KEVÄT 2017 PART I 42 / 109

Kantakehitelmät Reaaliluvun b-kantakehitelmä Siispä x = 0, x 1...x N x N+1...x N+L = x 1 b +... + x N b N + 1 ( xn+1 b N +... + x N+L b b L + x N+1 b L+1 +... + x ) N+L b 2L +... = c b N + 1 b N d b L 1 := r s Q. (4.76) Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN 802655S KETJUMURTOLUVUT YLIOPISTO OSA I CONTINUED FRACTIONS KEVÄT 2017 PART I 43 / 109

Kantakehitelmät Reaaliluvun b-kantakehitelmä B C. Olkoon sitten 0 < x < 1. Ehdon (4.73) nojalla Siten b N = TV, jollakin V Z +. (4.77) b N x = TV missä jakoalgoritmin nojalla r TU = rv U = cu + d U, (4.78) rv = cu + d, 0 d U 1, c, d N. (4.79) Oletuksista saadaan vielä d U ja 0 c < b N, joten b N x = c + d U, d U, 0 c < bn. (4.80) Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN 802655S KETJUMURTOLUVUT YLIOPISTO OSA I CONTINUED FRACTIONS KEVÄT 2017 PART I 44 / 109

Kantakehitelmät Reaaliluvun b-kantakehitelmä a) Tapaus U = 1. Nyt s = T, jolloin ehdon (4.71) nojalla p s = T p b, p P. (4.81) Lauseen 8 kohdan A. nojalla esitys on päättyvä. b) Tapaus U 2. Oletuksen (4.72) nojalla b L 1 (mod U), (4.82) joten on olemassa sellainen a N, että saadaan eräänlainen palautuskaava b L d U = (1 + au)d U = d U + ad. (4.83) Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN 802655S KETJUMURTOLUVUT YLIOPISTO OSA I CONTINUED FRACTIONS KEVÄT 2017 PART I 45 / 109

Kantakehitelmät Reaaliluvun b-kantakehitelmä Olkoon d U = d n b n, 0 d n b 1, d n N, (4.84) n=1 luvun d/u Lauseen 5 mukainen yksikäsitteinen kantakehitelmä. Sijoitetaan kehitelmä (4.84) kaavaan (4.83), jolloin saadaan d 1 b L 1 +... + d L b 0 + d L+1 b 1 + d L+2 b 2 + d L+3 b 3 +... = (4.85) ad + d 1 b 1 + d 2 b 2 + d 3 b 3 +... (4.86) Vertaamalla vastinpotenssien kertoimia (kantakehitelmien yksikäsitteisyyden nojalla) saadaan eli d 1 = d L+1, d 2 = d L+2, d 3 = d L+3,... (4.87) d L+j = d j j = 1, 2,..., (4.88) ja siten luvun d/u kantakehitelmä on puhtaasti jaksollinen. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN 802655S KETJUMURTOLUVUT YLIOPISTO OSA I CONTINUED FRACTIONS KEVÄT 2017 PART I 46 / 109

Kantakehitelmät Reaaliluvun b-kantakehitelmä Edelleen yhtälön (4.80) nojalla missä Niinpä x = c b N + 1 b N d U, (4.89) c = c K b K +... + c 0, K < N. (4.90) x = x 1 b 1 +... + x N b N + d 1 b (N+1) + d 2 b (N+2) +... + d L b (N+L) + d 1 b (N+L+1) + d 2 b (N+L+2) +... + d L b (N+2L) +... = 0, x 1...x N d 1...d L. (4.91) Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN 802655S KETJUMURTOLUVUT YLIOPISTO OSA I CONTINUED FRACTIONS KEVÄT 2017 PART I 47 / 109

Kantakehitelmät Reaaliluvun b-kantakehitelmä Esimerkki 8 Olkoon b = 10. Tutkitaan lukuja 1/7 ja 1/14. Aluksi x = 1 7, s = 7; U = 7 ord Ub = ord 7 10 = 6 = L; T = 1 N = 0. (4.92) Siten jakson pituus = 6 ja alkutermin pituus = 0 (Katso: Esimerkit 4 ja 7). Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN 802655S KETJUMURTOLUVUT YLIOPISTO OSA I CONTINUED FRACTIONS KEVÄT 2017 PART I 48 / 109

Kantakehitelmät Reaaliluvun b-kantakehitelmä Esimerkki 8 Olkoon b = 10. Tutkitaan lukuja 1/7 ja 1/14. Aluksi x = 1 7, s = 7; U = 7 ord Ub = ord 7 10 = 6 = L; T = 1 N = 0. (4.92) Siten jakson pituus = 6 ja alkutermin pituus = 0 (Katso: Esimerkit 4 ja 7). Kun taas x = 1, s = 2 7; U = 7 L = 6; 2 7 T = 2 b N = 10 1, N = 1. Siten jakson pituus = 6 ja alkutermin pituus = 1. (4.93) Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN 802655S KETJUMURTOLUVUT YLIOPISTO OSA I CONTINUED FRACTIONS KEVÄT 2017 PART I 48 / 109

Irrationaaliluvuista Määritelmä 3 Luku α C \ Q on irrationaalinen. (Myös ei-rationaaliset p-adiset (p P) luvut ovat irrationaalisia eli luku α C p \ Q on irrationaalinen, missä C p on kompleksilukujen kuntaa C vastaava p-adisten lukujen kunta.) Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN 802655S KETJUMURTOLUVUT YLIOPISTO OSA I CONTINUED FRACTIONS KEVÄT 2017 PART I 49 / 109

Irrationaaliluvuista Määritelmä 3 Luku α C \ Q on irrationaalinen. (Myös ei-rationaaliset p-adiset (p P) luvut ovat irrationaalisia eli luku α C p \ Q on irrationaalinen, missä C p on kompleksilukujen kuntaa C vastaava p-adisten lukujen kunta.) Monesti tyydytään suppeampaan määritelmään: Luku α R \ Q on irrationaalinen. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN 802655S KETJUMURTOLUVUT YLIOPISTO OSA I CONTINUED FRACTIONS KEVÄT 2017 PART I 49 / 109

Irrationaaliluvuista Esimerkki 9 5 / Q, i = 1 / Q. (5.1) Todistus kurssilla Lukuteorian perusteet. Määritelmä 4 Luku m Z on neliövapaa (square-free), jos ehdosta a 2 m, a Z, välttämättä seuraa a 2 = 1. Tulos (5.1) yleistyy tulokseksi: Lause 10 Olkoon D Z, D 1, neliövapaa. Tällöin D / Q. (5.2) Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN 802655S KETJUMURTOLUVUT YLIOPISTO OSA I CONTINUED FRACTIONS KEVÄT 2017 PART I 50 / 109

Irrationaaliluvuista Lause 11 Olkoot n Z 3 ja r Q +. Tällöin n 1 + r n / Q. (5.3) Lauseen 11 todistus palautuu Fermat n suureen lauseeseen: Jos p P 3, niin x p + y p z p x, y, z Z +. (5.4) Andre Wiles todisti Fermat n suuren lauseen työssään [Annals of Mathematics 141 (1994)]. Wilesin todistus perustuu mm. elliptisten käyrien ominaisuuksiin. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN 802655S KETJUMURTOLUVUT YLIOPISTO OSA I CONTINUED FRACTIONS KEVÄT 2017 PART I 51 / 109

Irrationaaliluvuista Tälläkin kurssilla log = log e = ln eli log tarkoittaa e-kantaista logaritmia, jolloin log e = 1. (5.5) Esimerkki 10 Todistus. Jos olisi niin mikä on mahdotonta. log 2 log 3 / Q. (5.6) log 2 log 3 = a b, a, b Z+, (5.7) 2 b = 3 a 2 3 a 2 3 (5.8) Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN 802655S KETJUMURTOLUVUT YLIOPISTO OSA I CONTINUED FRACTIONS KEVÄT 2017 PART I 52 / 109

Irrationaaliluvuista Seuraus 1 log 3 2 = log 2 log 3 / Q. (5.9) Mutta on huomattavasti vaikeampi todistaa, että Esimerkki 11 log 2 / Q. (5.10) Todistetaan myöhemmin ketjumurtolukujen avulla yleisempi tulos, josta seuraa esimerkiksi log m / Q, m Z 2. (5.11) Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN 802655S KETJUMURTOLUVUT YLIOPISTO OSA I CONTINUED FRACTIONS KEVÄT 2017 PART I 53 / 109

Irrationaaliluvuista An irrationality criterion Lauseeseen 9 nojautuen saadaan hyödyllinen irrationaalisuuskriteeri, jos luvulle τ tunnetaan jokin b-kantakehitelmä. Lause 12 Jos luvun τ kantakehitelmä on jaksoton eli niin τ / Q. τ (a, τ 1...τ N τ N+1...τ N+L ) b, (5.12) Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN 802655S KETJUMURTOLUVUT YLIOPISTO OSA I CONTINUED FRACTIONS KEVÄT 2017 PART I 54 / 109

Irrationaaliluvuista Esimerkki 12 Osoita, että τ = 0, 101001000100001... / Q. (5.13) Ratkaisu. Aluksi haetaan bittijonon sääntö jakamalla jono paloihin 1 01 001 0001 00001..., (5.14) jolloin havaitaan, että k. palan 00... 01 pituus on k ja siinä esiintyy k 1 nollaa, jokaisella k = 1, 2,... (Nollat muodostavat aukon, jonka pituus kasvaa aina yhdellä.) Siten { 1, n = n k = k(k+1) τ = 0, τ 1 τ 2 τ 3..., τ n = 2 ; 0, n n k = k(k+1) (5.15) 2. Tehdään nyt vastaoletus: τ Q. Tällöin τ:n kehitelmä on jaksollinen eli τ = 0, τ 1...τ N τ N+1...τ N+L, N 0, L 1. (5.16) Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN 802655S KETJUMURTOLUVUT YLIOPISTO OSA I CONTINUED FRACTIONS KEVÄT 2017 PART I 55 / 109

Irrationaaliluvuista Valitaan sitten tarpeeksi suuri k, että n k > N ja k L, (5.17) jolloin ensimmäinen ehto varmistaa, että päästään pois alkutermiltä. Toisen ehdon nojalla saadaan aukko, jonka pituus on suurempi kuin jakson pituus - todistetaan tämä. Ykkösten välissä nollien muodostama aukko: τ nk... τ nk+1 1 00... 001 Toisaalta jaksollisuuden nojalla τ nk = 1 τ nk +L = 1. (5.18) Mutta n k + L n k + k < n k+1. Ristiriita. (5.19) Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN 802655S KETJUMURTOLUVUT YLIOPISTO OSA I CONTINUED FRACTIONS KEVÄT 2017 PART I 56 / 109

Irrationaaliluvuista Vastaavasti voidaan todistaa seuraavat tulokset: Esimerkki 13 Olkoon b Z 2. Osoita, että tällöin τ b = n=1 1 b (n+1 2 ) / Q. (5.20) Esimerkki 14 Champernowne constant/link C 10 = 0, 123456789 10 11 12 13... / Q. (5.21) Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN 802655S KETJUMURTOLUVUT YLIOPISTO OSA I CONTINUED FRACTIONS KEVÄT 2017 PART I 57 / 109

Irrationaaliluvuista Esimerkki 15 Muodostetaan sanoja seuraavasti käyttäen kuvausta σ(a) = ab, σ(b) = a, σ(xy) = σ(x)σ(y). (5.22) Lähtemällä sanasta b saadaan σ(b) = a, σ 2 (b) = σ(a) = ab, σ 3 (b) = σ(ab) = σ(a)σ(b) = aba, σ 4 (b) = σ(aba) = σ(a)σ(b)σ(a) = abaab, σ 5 (b) = σ(abaab) = σ(a)σ(b)σ(a)σ(a)σ(b) = abaababa,... σ (b) = abaababaabaab... Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN 802655S KETJUMURTOLUVUT YLIOPISTO OSA I CONTINUED FRACTIONS KEVÄT 2017 PART I 58 / 109

Irrationaaliluvuista Tulkitaan kirjaimet biteiksi: a = 1, b = 0, ja muodostetaan binääriluku Osoita, että κ / Q. κ = 0, 10110101...(= 0, abaababa...). (5.23) Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN 802655S KETJUMURTOLUVUT YLIOPISTO OSA I CONTINUED FRACTIONS KEVÄT 2017 PART I 59 / 109

Irrationaaliluvuista Tiedetään, että Neperin luvulle e pätee ( e = lim 1 + 1 ) n = n n k=0 1 k!. (5.24) Lause 13 Neperin luku e on irrationaalinen. Todistus kurssilla Lukuteorian perusteet. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN 802655S KETJUMURTOLUVUT YLIOPISTO OSA I CONTINUED FRACTIONS KEVÄT 2017 PART I 60 / 109

Irrationaaliluvuista Lause 14 Neperin luku e on transkendenttinen eli ehdosta a m e m + a m 1 e m 1 +... + a 1 e + a 0 = 0, a 0,..., a m Z, (5.25) seuraa a 0 =... = a m = 0 aina, kun m Z +. Siten e ei toteuta kokonaislukukertoimista polynomiyhtälöä, jonka aste 1. Todistetaan lievempi tulos Lause 15 Neperin luku e ei ole toisen asteen algebrallinen luku eli ae 2 + be + c 0, a, b, c Z, ac 0. (5.26) Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN 802655S KETJUMURTOLUVUT YLIOPISTO OSA I CONTINUED FRACTIONS KEVÄT 2017 PART I 61 / 109

Irrationaaliluvuista Todistus: Tehdään vastaoletus eli on olemassa sellaiset a, b, c Z, että ae 2 + be + c = 0, ac 0. (5.27) Ehto (5.27) on yhtäpitävää ehdon kanssa. Käyttämällä sarjaesityksiä, saadaan a ( m k=0 ) ( 1 m + b + c k! k=0 ae + b + ce 1 = 0, ac 0, (5.28) a ) ( 1) k = k! ( k=m+1 ) ( 1 c k! k=m+1 ) ( 1) k, (5.29) k! Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN 802655S KETJUMURTOLUVUT YLIOPISTO OSA I CONTINUED FRACTIONS KEVÄT 2017 PART I 62 / 109

Irrationaaliluvuista josta edelleen ( m ) ( m ) 1 ( 1) k A = A m := am! + bm! + cm! k! k! k=0 k=0 ( ) ( ) 1 ( 1) k = am! cm!. (5.30) k! k! k=m+1 Aluksi huomataan, että A m Z ja ( ) ( 1 A m a m! + c m! k! k=m+1 a + c m + 1 k=m+1 k=m+1 ) 1 k! ( 1 + 1 m + 2 + 1 (m + 2)(m + 3) +... jos valitaan m 5 ja m + 1 3( a + c ). Jos olisi ) 7 9, (5.31) A m = A m+1 = A m+2 = 0, (5.32) Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN 802655S KETJUMURTOLUVUT YLIOPISTO OSA I CONTINUED FRACTIONS KEVÄT 2017 PART I 63 / 109

Irrationaaliluvuista niin a ( ( m k=0 k!) 1 m + b + c k=0 ( m+1 ) a k=0 1 k! + b + c ( m+2 ) a + b + c k=0 1 k! ( 1) k ( k! m+1 ( 1) k k=0 ( k! m+2 ( 1) k k=0 k! ) = 0; ) = 0; ) = 0. Vähentämällä 1. yhtälö 2:sta ja vastaavasti 2. yhtälö 3:sta, saadaan (5.33) { a 1 (m+1)! + c ( 1)m+1 (m+1)! = 0; 1 a (m+2)! + c ( 1)m+2 (m+2)! = 0. (5.34) Siten saataisiin a = c = 0. Ristiriita hypoteesin (5.32) kanssa. Siispä A h 0, jollakin m h m + 2. Tällöin Ristiriita vastaoletuksen (5.27) kanssa. A h Z, 0 < A h < 1. (5.35) Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN 802655S KETJUMURTOLUVUT YLIOPISTO OSA I CONTINUED FRACTIONS KEVÄT 2017 PART I 64 / 109

Ketjumurtoluvut/Continued fractions Äärellinen ketjumurtoluku Äärellisellä ketjumurtoluvulla/finite continued fraction tarkoitetaan rationaalilauseketta a 1, (6.1) b 1 + a 2 b 2 +... + an bn jolle käytetään seuraavia merkintöjä/for which the following notations are used ( ) K n ak k=1 = a 1 a 2 b 1 + b... a n. (6.2) 2 + + b n b k Luvut a n ovat ketjumurtoluvun osaosoittajia/partial numerators ja luvut b n osanimittäjiä/partial numerators. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN 802655S KETJUMURTOLUVUT YLIOPISTO OSA I CONTINUED FRACTIONS KEVÄT 2017 PART I 65 / 109

Ketjumurtoluvut/Continued fractions Rekursiot Lause 16 Olkoot luvut A n ja B n annettu rekursioilla A n+2 = b n+2 A n+1 + a n+2 A n, (6.3) B n+2 = b n+2 B n+1 + a n+2 B n (6.4) lähtien alkuarvoista A 0 = b 0, B 0 = 1, A 1 = b 0 b 1 + a 1 ja B 1 = b 1. Tällöin ( ) b 0 + K n ak k=1 = A n n N, (6.5) B n kunhan B n 0. b k Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN 802655S KETJUMURTOLUVUT YLIOPISTO OSA I CONTINUED FRACTIONS KEVÄT 2017 PART I 66 / 109

Ketjumurtoluvut/Continued fractions Todistus. Induktiolla. n = 0, jolloin n = 1, jolloin V.P. = b 0 = b 0 1 = A 0 B 0 = O.P.. (6.6) V.P. = b 0 + a 1 b 1 = b 0b 1 + a 1 b 1 = A 1 B 1 = O.P.. (6.7) Induktio-oletus: Väite pätee, kun n = 0, 1,..., l, jolloin b 0 + a 1 b 1 + a 2 a l b... = A l = b la l 1 + a l A l 2. (6.8) 2 + + b l B l b l B l 1 + a l B l 2 Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN 802655S KETJUMURTOLUVUT YLIOPISTO OSA I CONTINUED FRACTIONS KEVÄT 2017 PART I 67 / 109

Ketjumurtoluvut/Continued fractions Korvataan b l muuttujalla x ja merkitään K(x) = b 0 + a 1 jolle kohdan (6.8) nojalla pätee b 1 + a 2 a l b... 2 + + x, (6.9) K(x) = xa l 1 + a l A l 2 xb l 1 + a l B l 2, (6.10) kunhan x 0 ja nimittäjä 0. Siten kohdista (6.9) ja (6.10) seuraa Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN 802655S KETJUMURTOLUVUT YLIOPISTO OSA I CONTINUED FRACTIONS KEVÄT 2017 PART I 68 / 109

Ketjumurtoluvut/Continued fractions ( ak K(b l + a l+1 ) = b 0 + K l+1 b k=1 l+1 ( ) b l + a l+1 b l+1 A l 1 + a l A l 2 b k ( ) = b l + a l+1 b l+1 B l 1 + a l B l 2 a l+1 b l+1 A l 1 + b l A l 1 + a l A l 2 a l+1 = b l+1 B l 1 + b l B l 1 + a l B l 2 ) = a l+1 A l 1 + b l+1 A l a l+1 B l 1 + b l+1 B l = A l+1 B l+1, (6.11) missä on sovellettu rekursioita (6.3) ja (6.4) pariin otteeseen. Siten induktioaskel on osoitettu ja induktioperiaatteen nojalla väite pätee. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN 802655S KETJUMURTOLUVUT YLIOPISTO OSA I CONTINUED FRACTIONS KEVÄT 2017 PART I 69 / 109

Ketjumurtoluvut/Continued fractions Konvergentit/convergents Määritelmä 5 Luku A n /B n on äärettömän ketjumurtoluvun ( ) b 0 + K ak k=1 b k (6.12) n. konvergentti. Edelleen ketjumurtoluku (6.12) suppenee, mikäli raja-arvo lim n A n B n (6.13) on olemassa. Tällöin sanotaan, että äärettömän ketjumurtoluvun (6.12) arvo on raja-arvo (6.13). Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN 802655S KETJUMURTOLUVUT YLIOPISTO OSA I CONTINUED FRACTIONS KEVÄT 2017 PART I 70 / 109

Ketjumurtoluvut/Continued fractions Ääretön ketjumurtoluku/infinite continued fraction Ääretöntä ketjumurtolukua (6.12) voidaan merkitä myös seuraavilla tavoilla b 0 + a 1 a 2 b 1 + b... = b a 1 0 + 2 + b 1 + a. (6.14) 2 b 2 +... Edelleen käytetään merkintöjä [b 0 ; b 1,..., b n ] = b 0 + K n k=1 [b 0 ; b 1,...] = b 0 + K k=1 ( 1 ( 1 b k b k ) ; (6.15) ). (6.16) Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN 802655S KETJUMURTOLUVUT YLIOPISTO OSA I CONTINUED FRACTIONS KEVÄT 2017 PART I 71 / 109

Ketjumurtoluvut/Continued fractions Yksinkertainen ketjumurtoluku Usein tarkastellaan yksinkertaisia ketjumurtolukuja. Määritelmä 6 Olkoot Tällöin ketjumurtoluku b 0 N, b k Z +, a k = 1, k Z +. (6.17) [b 0 ; b 1,..., b n ] = b 0 + K n k=1 ( ) 1 b k (6.18) on äärellinen yksinkertainen (simple) ketjumurtoluku ja vastaavasti ( ) 1 [b 0 ; b 1,...] = b 0 + K k=1 b k (6.19) on ääretön yksinkertainen ketjumurtoluku. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN 802655S KETJUMURTOLUVUT YLIOPISTO OSA I CONTINUED FRACTIONS KEVÄT 2017 PART I 72 / 109

Ketjumurtoluvut/Continued fractions Yksinkertaiset ketjumurtoluvut Ketjumurtoalgoritmi Olkoon α R 0 annettu. Muodostetaan lukuun α liittyvä yksinkertainen ketjumurtolukukehitelmä [b 0 ; b 1,...] α (6.20) seuraavalla Ketjumurtoalgoritmilla: α 0 = α; k = 0; (6.21) α k = α k + {α k }, 0 {α k } < 1; (6.22) b k = α k ; (6.23) Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN 802655S KETJUMURTOLUVUT YLIOPISTO OSA I CONTINUED FRACTIONS KEVÄT 2017 PART I 73 / 109

Ketjumurtoluvut/Continued fractions Yksinkertaiset ketjumurtoluvut Ketjumurtoalgoritmi Jos Jos α k+1 = 1 {α k } Siten algoritmi alkaa seuraavasti: {α k } = 0 STOP; (6.24) {α k } > 0 ; (6.25) GO TO 6.22 with k = k + 1; (6.26) α 0 = α 0 + {α 0 }, 0 {α 0 } < 1; (6.27) b 0 = α 0 ; (6.28) Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN 802655S KETJUMURTOLUVUT YLIOPISTO OSA I CONTINUED FRACTIONS KEVÄT 2017 PART I 74 / 109

Ketjumurtoluvut/Continued fractions Yksinkertaiset ketjumurtoluvut Ketjumurtoalgoritmi Jos Jos {α 0 } = 0 STOP; (6.29) {α 0 } > 0 ; (6.30) α 1 = 1 {α 0 } = α 1 + {α 1 }, 0 {α 1 } < 1; (6.31) b 1 = α 1 ;... (6.32) Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN 802655S KETJUMURTOLUVUT YLIOPISTO OSA I CONTINUED FRACTIONS KEVÄT 2017 PART I 75 / 109

Ketjumurtoluvut/Continued fractions Yksinkertaiset ketjumurtoluvut Huomautus 4 Hyödyllisiä identiteettejä: [b 0 ; b 1,..., b m ] = b 0 + 1 [b 1 ; b 2,..., b m ] ; (6.33) α k = b k + 1 α k+1 ; (6.34) α = [b 0 ; b 1,..., b m 1, b m + {α m }] = [b 0 ; b 1,..., b m, α m+1 ]. (6.35) Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN 802655S KETJUMURTOLUVUT YLIOPISTO OSA I CONTINUED FRACTIONS KEVÄT 2017 PART I 76 / 109

Ketjumurtoluvut/Continued fractions Yksinkertaiset ketjumurtoluvut Esimerkki 16 Olkoon α = 3, 14. α 0 = α 0 + {α 0 } = 3 + 14/100; (6.36) b 0 = α 0 = 3; (6.37) {α 0 } = 14/100 > 0 (6.38) α 1 = 1 {α 0 } = α 1 + {α 1 } = 7 + 1/7; (6.39) b 1 = α 1 = 7; (6.40) {α 1 } = 1/7 > 0 (6.41) Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN 802655S KETJUMURTOLUVUT YLIOPISTO OSA I CONTINUED FRACTIONS KEVÄT 2017 PART I 77 / 109

Ketjumurtoluvut/Continued fractions Yksinkertaiset ketjumurtoluvut ja siten α 2 = 1 {α 1 } = α 2 + {α 2 } = 7 + 0; (6.42) b 2 = α 2 = 7; (6.43) {α 2 } = 0 STOP; (6.44) [b 0 ; b 1,...] 3,14 = [3; 7, 7]. (6.45) Huomautus 5 Tärkeä. Numeerisessa laskennassa desimaaliluvut katkaistaan, jolloin katkaistu esitys kannattaa heti kirjoittaa murtoluvuksi. Tällöin algoritmissa vältytään pyöristysvirheiltä. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN 802655S KETJUMURTOLUVUT YLIOPISTO OSA I CONTINUED FRACTIONS KEVÄT 2017 PART I 78 / 109

Ketjumurtoluvut/Continued fractions Yksinkertaiset ketjumurtoluvut Esimerkki 17 Olkoon α = 5. α 0 = 2 + 5 2 = α 0 + {α 0 }; (6.46) b 0 = α 0 = 2; (6.47) {α 0 } = 5 2 > 0 (6.48) α 1 = 1 {α 0 } = 1 5 2 = 5 + 2 = 4 + 5 2 = α 1 + {α 1 }; (6.49) b 1 = α 1 = 4; (6.50) {α 1 } = 5 2 > 0 (6.51) Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN 802655S KETJUMURTOLUVUT YLIOPISTO OSA I CONTINUED FRACTIONS KEVÄT 2017 PART I 79 / 109

Ketjumurtoluvut/Continued fractions Yksinkertaiset ketjumurtoluvut α 2 = 1 {α 1 } = 1 5 2 = 5 + 2 = 4 + 5 2 = α 2 + {α 2 }; (6.52) b 2 = α 2 = 4; (6.53) {α 2 } = 5 2 = {α 1 } > 0 b 3 = b 2 = b 1 = 4 (6.54) ja edelleen b k = 4 kaikilla k 1. Niinpä kehitelmä on jaksollinen. [b 0 ; b 1,...] 5 = [2; 4, 4, 4,...]. = [2; 4] (6.55) Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN 802655S KETJUMURTOLUVUT YLIOPISTO OSA I CONTINUED FRACTIONS KEVÄT 2017 PART I 80 / 109

Ketjumurtoluvut/Continued fractions Äärelliset yksinkertaiset ketjumurtoluvut Finite simple continued fractions Lause 17 Äärellisen yksinkertaisen ketjumurtoluvun arvo on rationaaliluku eli [b 0 ; b 1,..., b m ] Q b 0 N, b 1,..., b m Z +. (6.56) Todistus induktiolla käyttäen kaavaa (6.33). Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN 802655S KETJUMURTOLUVUT YLIOPISTO OSA I CONTINUED FRACTIONS KEVÄT 2017 PART I 81 / 109

Ketjumurtoluvut/Continued fractions Äärelliset yksinkertaiset ketjumurtoluvut Lause 18 Positiivinen rationaaliluku r/s Q + voidaan esittää äärellisenä yksinkertaisena ketjumurtolukuna eli sellaiset kokonaisluvut b 0 N, b 1,..., b m Z +, että Lisäksi rationaaliluvulla on yksikäsitteinen muotoa r s = [b 0; b 1,..., b m ]. (6.57) r s = [b 0; b 1,..., 1] (6.58) oleva esitys. Edelleen rationaaliluvun kaikki esitykset ovat äärellisiä. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN 802655S KETJUMURTOLUVUT YLIOPISTO OSA I CONTINUED FRACTIONS KEVÄT 2017 PART I 82 / 109

Ketjumurtoluvut/Continued fractions Äärelliset yksinkertaiset ketjumurtoluvut Todistus. Eukleideen algoritmi Lukuteorian perusteet/link: r 0 = r, r 1 = s r 0 = b 0 r 1 + r 2 0 r 2 < r 1. r k = b k r k+1 + r k+2 0 r k+2 < r k+1. r m 1 = b m 1 r m + r m+1 m N : r m+1 0, r m+2 = 0 r m = b m r m+1 r m+1 = syt(r, s). 0 r m+1 < r m Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN 802655S KETJUMURTOLUVUT YLIOPISTO OSA I CONTINUED FRACTIONS KEVÄT 2017 PART I 83 / 109

Ketjumurtoluvut/Continued fractions Äärelliset yksinkertaiset ketjumurtoluvut Nyt r/s = α 0 ja α 0 = r 0 r 1 = b 0 + r 2 r 1 = α 0 + {α 0 }, (6.59) 0 {α 0 } = r 2 r 1 < 1; (6.60) α 1 = 1 {α 0 } = r 1 r 2 = b 1 + r 3 r 2 = α 1 + {α 1 }, (6.61)... 0 {α 1 } = r 3 r 2 < 1; (6.62) Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN 802655S KETJUMURTOLUVUT YLIOPISTO OSA I CONTINUED FRACTIONS KEVÄT 2017 PART I 84 / 109

Ketjumurtoluvut/Continued fractions Äärelliset yksinkertaiset ketjumurtoluvut... Siten α k = r k r k+1 = b k + r k+2 r k+1, (6.63) α k+1 = 1 {α k } = r k+1 r k+2, (6.64) α m 1 = r m 1 r m = b m 1 + r m+1 r m, (6.65) α m = 1 {α m 1 } = r m r m+1 = b m + 0. (6.66) {α m } = 0 (6.67) Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN 802655S KETJUMURTOLUVUT YLIOPISTO OSA I CONTINUED FRACTIONS KEVÄT 2017 PART I 85 / 109

Ketjumurtoluvut/Continued fractions Äärelliset yksinkertaiset ketjumurtoluvut ja r s = [b 0; b 1,..., b m ]. (6.68) Koska b m 2 (totea!), niin r s = [b 0; b 1,..., b m 1, b m ] = [b 0 ; b 1,..., b m 1, b m 1, 1]. (6.69) Siten rationaaliluvulla on yksikäsitteinen muotoa r s = [b 0; b 1,..., 1] (6.70) oleva esitys. Edelleen, Eukleideen algoritmin pituus on äärellinen, joten esitykset ovat äärellisiä. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN 802655S KETJUMURTOLUVUT YLIOPISTO OSA I CONTINUED FRACTIONS KEVÄT 2017 PART I 86 / 109

Ketjumurtoluvut/Continued fractions Äärelliset yksinkertaiset ketjumurtoluvut Lauseen 16 erikoistapauksena saadaan n. konvergentti laskettua seuraavien rekursioiden (6.71) ja (6.72) avulla. Lause 19 Olkoot luvut A n ja B n annettu rekursioilla A n+2 = b n+2 A n+1 + A n, (6.71) B n+2 = b n+2 B n+1 + B n (6.72) lähtien alkuarvoista A 0 = b 0, B 0 = 1, A 1 = b 0 b 1 + 1 ja B 1 = b 1. Tällöin [b 0 ; b 1,..., b n ] = A n B n n N. (6.73) Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN 802655S KETJUMURTOLUVUT YLIOPISTO OSA I CONTINUED FRACTIONS KEVÄT 2017 PART I 87 / 109

Ketjumurtoluvut/Continued fractions Äärelliset yksinkertaiset ketjumurtoluvut Lause 20 Olkoon (F n ) on Fibonaccin lukujono. Tällöin ( ) n 1 5 + 1 B n F n+1 n Z +. (6.74) 2 Lause 21 Determinanttikaavat. A n+1 B n A n B n+1 = ( 1) n n N. (6.75) A n+2 B n A n B n+2 = b n+2 ( 1) n n N. (6.76) Todistus induktiolla käyttäen rekursioita (6.71) ja (6.72). Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN 802655S KETJUMURTOLUVUT YLIOPISTO OSA I CONTINUED FRACTIONS KEVÄT 2017 PART I 88 / 109

Ketjumurtoluvut/Continued fractions Äärelliset yksinkertaiset ketjumurtoluvut Seuraus 2 A n+1 B n+1 A n B n = ( 1)n B n B n+1 n N. (6.77) A n+2 B n+2 A n B n = b n+2( 1) n B n B n+2 n N. (6.78) Seuraus 3 A 0 B 0 < A 2 B 2 < A 4 B 4 <... < A 2k B 2k < (6.79) kaikilla k, h N. < A 2h+1 B 2h+1 <... < A 5 B 5 < A 3 B 3 < A 1 B 1. (6.80) Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN 802655S KETJUMURTOLUVUT YLIOPISTO OSA I CONTINUED FRACTIONS KEVÄT 2017 PART I 89 / 109

Ketjumurtoluvut/Continued fractions Äärelliset yksinkertaiset ketjumurtoluvut Todistus. Tuloksen (6.78) nojalla mikä todistaa epäyhtälöt (6.79). Samaten tuloksen (6.78) nojalla A 2k+2 B 2k+2 A 2k B 2k = b 2k+2 B 2k B 2k+2 > 0 k N (6.81) A 2h+3 B 2h+3 A 2h+1 B 2h+1 = b 2h+1 B 2h+1 B 2h+3 < 0 h N (6.82) mikä todistaa epäyhtälöt (6.80). Tutkitaan vielä epäyhtälöketjujen (6.79) ja (6.80) välistä epäyhtälöä. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN 802655S KETJUMURTOLUVUT YLIOPISTO OSA I CONTINUED FRACTIONS KEVÄT 2017 PART I 90 / 109

Ketjumurtoluvut/Continued fractions Äärelliset yksinkertaiset ketjumurtoluvut a) Tapaus h k. Tällöin b) Tapaus h < k. Tällöin A 2h+1 B 2h+1 A 2k B 2k = A 2h+1 B 2h+1 A 2h B 2h + A 2h B 2h A 2k B 2k 6.77 = (6.83) 1 B 2h B 2h+1 + A 2h B 2h A 2k B 2k 6.79 > 0. (6.84) A 2h+1 A 2k 6.80 > A 2k+1 A 2k 6.77 = B 2h+1 B 2k B 2k+1 B 2k 1 B 2k B 2k+1 > 0. (6.85) Siten A 2h+1 B 2h+1 A 2k B 2k > 0 h, k N. (6.86) Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN 802655S KETJUMURTOLUVUT YLIOPISTO OSA I CONTINUED FRACTIONS KEVÄT 2017 PART I 91 / 109

Ketjumurtoluvut/Continued fractions Äärelliset yksinkertaiset ketjumurtoluvut Lause 22 A n A n+1, B n B n+1, (6.87) A n B n n N. (6.88) Huomautus 6 Tuloksen (6.88) nojalla konvergentit An B n rationaalilukuja. ovat supistetussa muodossa olevia Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN 802655S KETJUMURTOLUVUT YLIOPISTO OSA I CONTINUED FRACTIONS KEVÄT 2017 PART I 92 / 109

Ketjumurtoluvut/Continued fractions Äärettömät yksinkertaiset ketjumurtoluvut Lause 23 Olkoon [b 0 ; b 1,..., b n ] = A n B n, b 0 N, b 1,..., b m Z +, (6.89) äärettömän yksinkertaisen ketjumurtoluvun [b 0 ; b 1,...] konvergenttijono. Tällöin ja lim n A n B n = τ, τ R +, (6.90) 0 < τ A m < 1 m N. (6.91) B m B m+1 B m Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN 802655S KETJUMURTOLUVUT YLIOPISTO OSA I CONTINUED FRACTIONS KEVÄT 2017 PART I 93 / 109

Ketjumurtoluvut/Continued fractions Äärettömät yksinkertaiset ketjumurtoluvut Todistus. Tuloksien (6.79) ja (6.80) nojalla jono ( A 2k B 2k ) on kasvava ja ylhäältä rajoitettu. Vastaavasti jono ( A 2h+1 B 2h+1 ) on vähenevä ja alhaalta rajoitettu. Täten lim k lim h A 2k B 2k = α 2, (6.92) A 2h+1 Yhtälöstä (6.74) ja (6.77)saadaan B 2h+1 = α 1. (6.93) 0 < A 2k+1 B 2k+1 A 2k B 2k = 1 F 2k+1 F 2k+2 1 B 2k B 2k+1 (6.94) ( ) 4k 5 1 k Z +. (6.95) 2 Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN 802655S KETJUMURTOLUVUT YLIOPISTO OSA I CONTINUED FRACTIONS KEVÄT 2017 PART I 94 / 109

Ketjumurtoluvut/Continued fractions Äärettömät yksinkertaiset ketjumurtoluvut Edelleen raja-arvona saadaan 0 lim k A 2k+1 B 2k+1 lim k A 2k B 2k lim k ( ) 4k 5 1, (6.96) 2 josta Siten lim n α 1 = α 2. (6.97) A n B n = α 1 = α 2. (6.98) Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN 802655S KETJUMURTOLUVUT YLIOPISTO OSA I CONTINUED FRACTIONS KEVÄT 2017 PART I 95 / 109

Ketjumurtoluvut/Continued fractions Äärettömät yksinkertaiset ketjumurtoluvut Merkitään vielä τ = α 1 = α 2. Tällöin (Laskarit) mistä saadaan τ > 0 ja edelleen 0 < τ A 2k B 2k < A 2k+1 B 2k+1 A 2k B 2k = Vastaavasti (osoita!) 0 < A 2k+1 B 2k+1 τ < 0 < A 2k B 2k < τ < A 2k+1 B 2k+1, (6.99) 1 B 2k B 2k+1 k N. (6.100) 1 B 2k+1 B 2k+2 k N. (6.101) Siispä 0 < τ A m < 1 m N. (6.102) B m B m+1 B m Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN 802655S KETJUMURTOLUVUT YLIOPISTO OSA I CONTINUED FRACTIONS KEVÄT 2017 PART I 96 / 109

Ketjumurtoluvut/Continued fractions Äärettömät yksinkertaiset ketjumurtoluvut Lause 24 Olkoon [b 0 ; b 1,..., b n ] = A n, n N, (6.103) B n äärettömän yksinkertaisen ketjumurtoluvun [b 0 ; b 1,...] = τ konvergenttijono. Tällöin ( 1) n τ = b 0 + (6.104) B n B n+1 ja Edelleen kaikilla m N. b m+2 B m B m+2 < 1 (b m+1 + 2)B 2 m n=0 τ A m < 1 m N. (6.105) B m B m+1 B m < τ A m B m < 1 b m+1 Bm 2 1 B 2 m (6.106) Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN 802655S KETJUMURTOLUVUT YLIOPISTO OSA I CONTINUED FRACTIONS KEVÄT 2017 PART I 97 / 109

Ketjumurtoluvut/Continued fractions Äärettömät yksinkertaiset ketjumurtoluvut Huomautus 7 Usein arvion (6.105) sijasta käytetään väljempää arviota (6.106). Todistus. Summataan yhtälö (6.77) puolittain, jolloin ja siten m 1 n=0 ( An+1 A ) m 1 n = B n+1 B n n=0 Raja-arvona saadaan (6.104). Edelleen ( 1) n B n B n+1 (6.107) m 1 A m ( 1) n = b 0 +. (6.108) B m B n=0 n B n+1 τ A m B m = n=m ( 1) n B n B n+1, (6.109) Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN 802655S KETJUMURTOLUVUT YLIOPISTO OSA I CONTINUED FRACTIONS KEVÄT 2017 PART I 98 / 109

Ketjumurtoluvut/Continued fractions Äärettömät yksinkertaiset ketjumurtoluvut missä alternoivan summan ominaisuuksilla saadaan 1 1 < B m B m+1 B m+1 B m+2 τ A m < 1. (6.110) B m B m+1 B m Vielä 1 B m B m+1 1 B m+1 B m+2 = B m+2 B m B m B m+1 B m+2 = b m+2 B m B m+2. (6.111) Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN 802655S KETJUMURTOLUVUT YLIOPISTO OSA I CONTINUED FRACTIONS KEVÄT 2017 PART I 99 / 109

Ketjumurtoluvut/Continued fractions Äärettömät yksinkertaiset ketjumurtoluvut Lause 25 Äärettömän yksinkertaisen ketjumurtoluvun arvo τ on irrationaalinen eli b 0 N, b 1, b 2,... Z + pätee τ = [b 0 ; b 1,...] / Q. (6.112) Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN 802655S KETJUMURTOLUVUT YLIOPISTO OSA I CONTINUED FRACTIONS KEVÄT 2017PART 100 I / 109

Ketjumurtoluvut/Continued fractions Äärettömät yksinkertaiset ketjumurtoluvut Todistus. Aluksi, Lauseen 23 nojalla τ R +. I tapa. Lauseen 18 nojalla rationaaliluvun esitys on päättyvä, joten päättymättömän arvo ei voi olla rationaalinen. II tapa. Vastaoletus Tuloksen (6.100) nojalla [b 0 ; b 1,...] = τ = r/s Q +, r, s Z +. (6.113) 0 < r s A 2k B 2k < 1 B 2k B 2k+1 k Z + (6.114) Täten 0 < rb 2k sa 2k s B 2k+1 k Z +. (6.115) Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN 802655S KETJUMURTOLUVUT YLIOPISTO OSA I CONTINUED FRACTIONS KEVÄT 2017PART 101 I / 109

Ketjumurtoluvut/Continued fractions Äärettömät yksinkertaiset ketjumurtoluvut Koska niin rb 2k sa 2k Z +, (6.116) 1 rb 2k sa 2k s B 2k+1 k Z +. (6.117) Tuloksen (6.74) nojalla on olemassa sellainen k Z +, että s B 2k+1 < 1, (6.118) joka johtaa ristiriitaan. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN 802655S KETJUMURTOLUVUT YLIOPISTO OSA I CONTINUED FRACTIONS KEVÄT 2017PART 102 I / 109

Ketjumurtoluvut/Continued fractions Äärettömät yksinkertaiset ketjumurtoluvut Lause 26 Olkoon α R \ Q, α > 0 annettu ja olkoon [b 0 ; b 1,...] α (6.119) Ketjumurtoalgoritmilla muodostettu lukuun α liittyvä yksinkertainen ketjumurtolukukehitelmä. Tällöin α = [b 0 ; b 1,...] α. (6.120) Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN 802655S KETJUMURTOLUVUT YLIOPISTO OSA I CONTINUED FRACTIONS KEVÄT 2017PART 103 I / 109

Ketjumurtoluvut/Continued fractions Äärettömät yksinkertaiset ketjumurtoluvut Todistus. Olkoon ketjumurtolukuun [b 0 ; b 1,..., b k ] = A k B k (6.121) [b 0 ; b 1,...] α (6.122) liittyvä konvergenttijono. Toisaalta ketjumurtoalgoritmin identiteetin (6.35) nojalla missä α = [b 0 ; b 1,..., b m 1, α m ] = Ãm B m, (6.123) Ã m = α m A m 1 + A m 2, B m = α m B m 1 + B m 2. (6.124) Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN 802655S KETJUMURTOLUVUT YLIOPISTO OSA I CONTINUED FRACTIONS KEVÄT 2017PART 104 I / 109

Ketjumurtoluvut/Continued fractions Äärettömät yksinkertaiset ketjumurtoluvut Lasketaan seuraavaksi B m à m A m Bm = B m (α m A m 1 + A m 2 ) A m (α m B m 1 + B m 2 ) = α m (A m 1 B m A m B m 1 ) + A m 2 B m A m B m 2 = ( 1) m (α m b m ) = ( 1) m {α m }. (6.125) Siten α A m = à m A m B m = B m B m {α m } B m B m 0. (6.126) m Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN 802655S KETJUMURTOLUVUT YLIOPISTO OSA I CONTINUED FRACTIONS KEVÄT 2017PART 105 I / 109

Ketjumurtoluvut/Continued fractions Äärettömät yksinkertaiset ketjumurtoluvut Lause 27 Olkoot b 0, c 0 N, b 1, c 1, b 2, c 2,... Z + ja tällöin [b 0 ; b 1,...] = [c 0 ; c 1,...], (6.127) b k = c k k N. (6.128) Siten irrationaaliluvun yksinkertainen ketjumurtokehitelmä on yksikäsitteinen. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN 802655S KETJUMURTOLUVUT YLIOPISTO OSA I CONTINUED FRACTIONS KEVÄT 2017PART 106 I / 109

Ketjumurtoluvut/Continued fractions Äärettömät yksinkertaiset ketjumurtoluvut Huomautus 8 Tarkastellaan ääretöntä yksinkertaista ketjumurtolukua jonka konvergenttijonolle pätee sillä rekursiot [1, 1, 1,...] = [b 0, b 1,...], (6.129) [b 0, b 1,..., b m ] = A m B m = F m+2 F m+1, (6.130) A k = A k 1 + A k 2, B k = B k 1 + B k 2 k = 2, 3,..., (6.131) antavat Fibonaccin jonoja. Koska nämä rekursiot osataan ratkaista Lukuteorian perusteet/link Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN 802655S KETJUMURTOLUVUT YLIOPISTO OSA I CONTINUED FRACTIONS KEVÄT 2017PART 107 I / 109

Ketjumurtoluvut/Continued fractions Äärettömät yksinkertaiset ketjumurtoluvut eli ( F k = 1 5 + 1 5 2 ) k ( 1 ) k 5, (6.132) 2 niin raja-arvokin lim m A m saadaan kivuttomasti. Niinpä B m = lim m F m+2 F m+1 = 5 + 1 2 (6.133) [1, 1, 1,...] = 5 + 1. (6.134) 2 Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN 802655S KETJUMURTOLUVUT YLIOPISTO OSA I CONTINUED FRACTIONS KEVÄT 2017PART 108 I / 109