Talousmatematiikan perusteet: Luento 18 Kertaus luennoista 11-17
Luennon sisältö Kertausluennolla käydään lyhyesti läpi kunkin 2. välikoealueeseen kuuluvan luennon ydinsisältö Täydellinen valmistautuminen välikokeeseen edellyttää kuitenkin koko materiaalin hallintaa luentojen 11-17 ja kotitehtävien 7-12 osalta. Kyselyn perusteella keskitytään erityisesti integrointiin Osittaisintegrointi Yhdistetyn funktion derivointisäännön käänteinen käyttö ja sijoitusmenettely Epäoleellinen integraali Lisäksi käydään läpi harjoitustehtävät 9.1, 9.2, 11.4, 11.5, 11.6, 12.4 Eeva Vilkkumaa 2
Luento 11: Lineaarinen optimointi Lineaarisessa optimointitehtävässä kohdefunktio ja rajoitteet ovat päätösmuuttujien suhteen lineaariset, esim. max 2x 1 +3x 2 s.e. 0.1x 1 + 0.55x 2 2500 0.7x 1 + 0.4x 2 3000 0.2x 1 + 0.05x 2 800 x 1, x 2 0 Kohdefunktio Rajoitteet Lineaarisen optimointitehtävän ratkaisu löytyy aina käyvän alueen kulmapisteestä Eeva Vilkkumaa 3
Luento 11: Lineaarinen optimointi Kahden muuttujan tehtävän ratkaisu graafisesti 1. Piirrä rajoitteiden määrittämä käypä alue 2. Määritä kohdefunktion tasa-arvosuora 3. Liu uta tasa-arvosuoraa kohdefunktion a) Kasvusuunnassa, jos kyseessä on maksimointitehtävä b) Vähenemissuunnassa, jos kyseessä on minimointitehtävä 4. Optimipiste löytyy kohdasta, jossa tasaarvosuora viimeisen kerran leikkaa käypää aluetta. 5. Huom! Vaihtoehtona kohdille 2-4 voit laskea kohdefunktion arvon kaikissa käyvän alueen kulmapisteissä ja valita niistä parhaan. Käypä alue Tasa-arvosuora 6000 = 2x 1 + 3x 2 Tasa-arvosuora 16377 = 2x 1 + 3x 2 Eeva Vilkkumaa 4
Luento 12: Usean muuttujan funktioiden derivointi Monen muuttujan funktion f(x 1,, x n ) muutosnopeudesta muuttujan x i suhteen kertoo osittaisderivaatta f(x 1,,x n ) x i f(x 1,,x n ) x i f(x 1,,x n ) x i > 0: funktio kasvaa muuttujan x i suhteen < 0: funktio vähenee muuttujan x i suhteen Osittaisderivaatta lasketaan 1. Mieltämällä kaikki muut muuttujat vakioiksi 2. Soveltamalla yhden muuttujan funktion derviointisääntöjä Esim. Tarkastellaan funktiota f x, y = 3xy 2 2y 2 + 4x 5y + 1. Määritä D x f x, y ja D y f x, y D x 3xy 2 2y 2 + 4x 5y + 1 = y 2 D x 3x + D x 4x = 3y 2 + 4 D y 3xy 2 2y 2 + 4x 5y + 1 = 3xD y y 2 + D y 2y 2 5y = 6xy 4y 5 Eeva Vilkkumaa 5
Luento 12: Usean muuttujan derivointi Funktion gradientti f x 1,, x n on vektori, jonka i. komponentti on osittaisderivaatta D i f(x 1,, x n ) Gradientti kertoo funktion nopeimman kasvun suunnan Esim. Tuotantofunktio on f x 1, x 2 = 3x 1 0.4 x 2 0.6. Miten 10 M lisäinvestointi kannattaisi jakaa työvoiman (x 1 ) ja pääoman (x 2 ) välillä, kun investointitaso tällä hetkellä on 20 M työvoimaan ja 10 M pääomaan? Kuinka paljon tuotannon arvo tällöin kasvaa? Ratkaisu: Gradientti f x 1, x 2 = 1.2x 1 0.6 0.6 x 2 0.79 1.8x 0.4 0.4 ; f 20, 10 =. Jaetaan lisäpanos gradientin suhteessa, 1 x 2 2.38 eli x 1 = 0.79 10 = 2.5 M, x 0.79+2.38 2 = 2.38 10 = 7.5 M. Tuotannon arvo kasvaa likimäärin f 20, 10 0.79+2.38 x = 0.79 2.5 + 2.38 7.5 = 19.8 M Suhteellinen muutosnopeus muuttujan x i suunnassa: D i (ln f x 1,, x n ) = D if(x 1,,x n ) f x 1,,x n Osittaisjousto muuttujan x i suunnassa: D i (ln f x 1,, x n ) x i = D if(x 1,,x n ) f x 1,,x n x i 6
Luento 13: Matriisin ominaisarvot Matriisin ominaisarvot lasketaan ratkaisemalla yhtälö det(a λi) = 0 Esim. Määritä matriisin A = 2 1 1 3 ominaisarvot Ratkaisu: det(a λi) = 2 λ 1 1 3 λ = 2 λ 3 λ 1 = λ2 5λ + 5 = 0 Toisen asteen yhtälön ratkaisukaavasta saadaan λ = 5 ± 52 4 1 5 2 1 λ 1 = 3.62, λ 2 = 1.38 7
Luento 13: Rajoittamaton optimointi Rajoittamaton optimointitehtävä: max/ min f(x 1,, x n ) Kahden muuttujan tehtävän max/min f x, y ratkaisu: 1. Määritä gradientin nollakohta (x 0, y 0 ): f x 0, y 0 = 0 2. Muodosta Hessen matriisi H x, y = 2 f x 2 2 f y x 2 f x y 2 f y 2 3. Määritä Hessen matriisi gradientin nollakohdassa (x 0, y 0 ) o Jos det H x 0, y 0 > 0 ja 2 f x 2 > 0, pisteessä x 0, y 0 o Jos det H x 0, y 0 > 0 ja 2 f x 2 < 0, pisteessä x 0, y 0 TAI: on funktion lokaali minimi on funktion lokaali maksimi o Jos H x 0, y 0 :n kumpikin ominaisarvo on positiivinen, pisteessä x 0, y 0 on funktion lokaali minimi o Jos H x 0, y 0 :n kumpikin ominaisarvo on negatiivinen, pisteessä x 0, y 0 on funktion lokaali maksimi Eeva Vilkkumaa 8
Luento 13: Rajoittamaton optimointi Esim. Ratkaise min f x, y 1. Gradientin nollakohta: f x, y = 2. Hessen matriisi: H x, y = = x 2 + 2y 2 2xy + y 3. Hessen matriisi on vakio, eli H x 0, y 0 = 2 2 2 4 TAI: 2x 2y 4y 2x + 1 = 0 0 x 0 y 0 = 0.5 0.5 D x (2x 2y) D y (2x 2y) D x (4y 2x + 1) D y (4y 2x + 1) = 2 2 2 4 det H x 0, y 0 = 8 4 = 4 > 0 ja 2 f = 2 > 0 x 2 funktio saavuttaa gradientin nollakohdassa miniminsä f 0.5,0.5 H x 0, y 0 :n ominaisarvot λ 1 = 5.24, λ 2 = 0.76 ovat positiiviset funktio saavuttaa gradientin nollakohdassa miniminsä f 0.5,0.5 = 0.25. = 0.25. Tehtävät 9.1 ja 9.2 9
Luento 14: Rajoitettu optimointi Yhtälörajoitettu optimointitehtävä: max/ min f(x 1,, x n ) siten, että g 1 x 1,, x n = = g m x 1,, x n = 0 Kahden muuttujan ja yhden yhtälörajoitteen optimointitehtävän max/ min f(x, y) s.e. g x, y = 0 ratkaisu: 1. Muodosta Lagrangen funktio L x, y, v = f x, y + vg x, y 2. Määritä Lagrangen funktion gradientin nollakohta x, y, v : L x, y, v = 0 3. Muodosta reunustettu Hessen matriisi ഥH v, x, y = 4. Laske reunustetun Hessen matriisin determinantti det ഥH v, x, y gradientin nollakohdassa (välikokeessa ei tarvitse osata laskea 3x3-matriisin determinanttia, mutta ao. sääntö pitää tietää) o Jos det ഥH v, x, y < 0, pisteessä x, y on funktion f lokaali minimi o Jos det ഥH v, x, y > 0, pisteessä x, y on funktion f lokaali maksimi 0 g x g y g x 2 L x 2 2 L y x g y 2 L x y 2 L y 2 Eeva Vilkkumaa 10
Luento 14: Rajoitettu optimointi Esim. Ratkaise min f x, y = x 2 + 2y 2 2xy + y s.e. x + y = 2 1. Lagrangen funktio: L x, y, v = x 2 + 2y 2 2xy + y + v(x + y 2) 2. Gradientin nollakohta: L x, y, v = 2x 2y + v 4y 2x + 1 + v x + y 2 = 0 0 0 x y v = 0 1 1 3. Reunustettu Hessen matriisi ഥH v, x, y = 1 2 2 1 2 4 4. Det( ഥH v, x, y )=-10<0 pisteessä x, y on funktion f lokaali minimi 1.3 0.7 1.2 11
Luento 15: Integrointisääntöjä Perussäännöt af x dx = a f x dx (vakiokertoimen voi ottaa ulos integraalista) f x + g(x) dx = f x dx + g x dx (summan integraali = integraalien summa) Potenssifunktio: x n dx = xn+1 n+1 Esim. x 2 dx = x3, 3 x1.5 dx = x2.5 2.5 HUOM! Erikoistapaus: 1 dx = ln x x Eksponenttifunktio: a x dx = ax Esim. 3 x dx = 3x ln 3 Erityisesti: e x dx = e x Derivaatan integraali: f x dx = F x + c, missä f(x) = F (x) ln a Esim. 3x 2 dx = x 3 + c D x 3 + c = 3x 2 Integrointivakio c merkitään vain, jos sitä tarvitaan jatkolaskuissa Tehtävä 11.4 Eeva Vilkkumaa 12
Luento 15: Integrointisääntöjä Osittaisintegrointi: f x g x dx = f x g x g(x)f x dx Esim. Määritä x ln x dx. Valitaan f x = ln x ja g x = x f x = 1 x Siispä: ja g(x) = x2 2 න x ln x dx = ln x x2 2 න x2 2 1 x dx = x2 ln x x2 2 4 Kuinka valita, kumpi funktioista on f ja kumpi g? Valitse g :ksi funktio, jonka osaat integroida. Esim. edellä g x = x g(x) = x2 2, mutta g x = ln x g(x) =?? Muista, että tavoitteenasi on sellainen g(x)f x, jonka osaat integroida. Esim. tehtävässä x2 x dx saat valinnalla f x = x ja g x = 2 x integoitavaksi funktioksi eksponenttifunktion g x f x = 2x, kun taas valinta f x = 2 x ja g x = x johtaa ojasta allikkoon: g x f x = x2 2 2x ln 2 Yrityksen ja erehdyksen kautta! ln 2 Tehtävä 11.5 13
Luento 15: Integrointisääntöjä Yhdistetyn funktion derivointisäännön käänteinen käyttö: f x g (f x )dx = g(f x ) Esim. e 2x dx = 1 2 2e2x dx = 1 2 e2x, sillä yhdistetyn funktion g f x = e 2x derivaatta on f x g f x = 2 e 2x. Jos et suoraan hahmota integroitavasta funktiosta ulko- ja sisäfunktion derivaattoja, voit käyttää sijoitusmenettelyä: 1. Korvaa sisäfunktioksi hahmotettu f(x) apumuuttujalla y. Edellä f x = 2x = y x = y 2. 2. Määritä sisäfunktion derivaatta: f x = dy dx = dy. Edellä dx f x f x = 2 = dy dx = dy. dx 2 3. Korvaa integroitavassa funktiossa kaikki x-termit vastaavilla y-termeillä, integroi, ja palaa takaisin x- termeihin. Edellä e 2x dx = e y dy 2 = 1 2 ey dy = 1 2 ey = 1 2 e2x. Tehtävä 11.6 14
Luento 15: Integrointisääntöjä Jos integroitava funktio on eksponentti- tai potenssifunktio (tai vakioilla kerrottujen eksponentti- ja potenssifunktioiden summa), käytä tavallisia integrointisääntöjä Esim. 2x ) 4 + 3 x )dx, 2 ) x + e x )dx Ratkaisut: 2 5 x5 + 3x ln 3, 4 3 x3 2 + e x Jos integroitavassa funktiossa näkyy yhdistetty funktio kerrottuna (mahdollista vakiokerrointa lukuun ottamatta) sisäfunktionsa derivaatalla, käytä sijoitusmenettelyä Esim. x3 x2 dx, x x 2 + 5dx, e 0.5x dx Ratkaisut: 3x2 2 ln 3, 1 3 x2 + 5 3 2, 2e 0.5x Jos integroitava funktio on kahden funktion tulo siten, ettei kumpikaan tulon tekijöistä ole (mahdollista vakiokerrointa lukuun ottamatta) toisen tekijän sisäfunktion derivaatta, käytä osittaisintegrointia Esim. x2 x dx, x 2 ln x dx, xe 2x dx. Ratkaisut: 2x ln 2 (x 1 ln 2 x3 ), 9 e2x (3 ln x 1), (2x 1) 4 Huom! Viimeisessä esimerkissä toinen tulon tekijä on yhdistetty funktio e 2x, jonka integroinnissa joudut hyödyntämään myös yhdistetyn funktion derivointisäännön käänteistä käyttöä / sijoitusmenettelyä. 15
Luento 16: Differentiaaliyhtälöt 1. kertaluvun separoituvassa differentiaaliyhtälössä x- ja y-termit saadaan muokattua yhtälömerkin eri puolille g y y = t(x) Perusperiaate 1. kertaluvun separoituvien differentiaaliyhtälöiden ratkaisuun: g y dy = t x g y dy = t x dx න g y dy = න t x dx dx Esim. Tuotteen kysynnän f x suhteellinen muutosnopeus kappalehinnan x suhteen on -0.2. Kappalehinnan ollessa 0 kysyntä on 100 kpl. Määritä kysyntäfunktio f x. Suhteellinen muutosnopeus f (x) f(x) dy dx y = 0.2. Merkitään f x = y, jolloin dy = 0.2 = 0.2dx y 1 dy = y 0.2dx ln y = 0.2x + c y = f(x) = e0.2x+c = be 0.2x, missä b = e c. Alkuehdosta f 0 = be 0 = b = 100 f(x) = 100e 0.2x. Eeva Vilkkumaa 16
Luento 16: Määrätty integraali Määrätty integraali vastaa funktion kuvaajan ja xakselin väliin jäävää pinta-ala välillä x a, b, kun x-akselin alapuolinen pinta-ala mielletään negatiiviseksi: 12 3 = 9 12 Määrätty integraali a b f x dx lasketaan siis Määrittämällä f(x):n integraalifunktio F x = f x dx Laskemalla integraalifunktion arvojen erotus integrointirajoilla: F b F(a) 3 Esim. 17
Luento 16: Epäoleellinen integraali Määrätyn integraalin raja-arvoa, jossa yläraja b ja/tai alaraja a, kutsutaan epäoleelliseksi integraaliksi. න a f x dx, න b f x dx, න f x dx Esim. Kalastuskunta on investoinut kalavesien tuoton parantamiseen. Oletetaan, että 1. Investointi alkaa tuottaa heti nopeudella 100 000 /v 2. Tuottonopeus vähenee ajan suhteen jatkuvasti 20 % vuodessa Mikä on investoinnin kokonaistuotto, jos tuoton oletetaan jatkuvan ikuisesti? b Tuotto ajankohtaan b asti: 0 100000 0.8 x dx = 100000 ln 0.8 (0.8b 1) Aikarajan b lähestyessä ääretöntä: lim b 100000 ln 0.8 (0.8b 1) = 100000 ln 0.8 448 142 18
Luento 17: Integraalin sovelluksia kassavirta-analyysiin Esim. Opiskelija lainaa rahaa jatkuvasti 6000 vuosivauhdilla. Nimellinen vuosikorko on 4% ja sitä kerrytetään jatkuvasti. Opiskelija maksaa koko summan korkoineen takaisin seitsemän vuoden opintojen päätyttyä. Kuinka paljon maksettavaa kertyy kaiken kaikkiaan? Esim. Terttu maksaa 10 vuoden annuiteettilainaansa takaisin jatkuvasti 10 000 :n vuosivauhtia. Korkokanta on 5%, ja sitä kerrytetään niin ikään jatkuvasti. Mikä on lainan nykyarvo? Tehtävä 12.4 Eeva Vilkkumaa 19
Luento 17: Integraalin sovelluksia todennäköisyyslaskentaan Satunnaismuuttujan X jakaumaa kuvaa tiheysfunktio f X x Teihysfunktiosta saadaan satunnaismuuttujan x Kertymäfunktio: F X x = fx t dt (Mikä on todennäköisyys, että X:n arvo on korkeintaan x?) Odotusarvo: E X = xfx x dx (Mikä on X:n odotettavissa oleva arvo?) Kertymäfunktion avulla voidaan laskea tapahtumatodennäköisyydet P X x = F X x P X > x = 1 F X x 20
Luento 17: Integraalin sovelluksia todennäköisyyslaskentaan Tasajakautunut satunnaismuuttuja X~Uni(a, b ): Tiheysfunktio f X : R R +, f X x = ቐ 1, ba Kertymäfunktio F X : R R +, F X x = Odotusarvo E X = a+b 2 kun x [a, b] 0, muualla xa, ba 0, kun x < a kun x [a, b] 1, kun x > b Esim. Jäätelön päiväkysyntä on tasajakautunut välillä [50,100] litraa. Mikä on kysynnän odotusarvo? Entä todennäköisyys, että kysyntä on yli 85 litraa? E X = 50+100 2 = 75 Suoraan kertymäfunktiosta: P X > 85 = 1 F X 85 = 1 8550 = 0.3 10050 100 1 10085 Tiheysfunktiota integroimalla: P X > 85 = 85 dx = = 0.3 10050 10050 21
Luento 17: Integraalin sovelluksia todennäköisyyslaskentaan Eksponenttijakautunut satunnaismuuttuja X~Exp(λ) Tiheysfunktio f X : R R +, f X x = ቊ λeλx, kun x 0 0, kun x < 0 Kertymäfunktio F X : R R +, F X x = ቊ 1 eλx, kun x 0 0, kun x < 0 Odotusarvo E X = 1 λ Esim. Teknisen systeemin komponentti vikaantuu keskimäärin 2 kertaa vuodessa, jolloin vikaantumisten välinen aika X~Exp(2). Kuinka pitkään komponentti keskimäärin kestää vikaantumatta? E X = 1 =0.5 vuotta 2 Mikä on todennäköisyys sille, että komponentti kestää vikaantumatta yli vuoden? Suoraan kertymäfunktiosta: P X > 1 = 1 F X 1 = 1 (1 e 2 1 ) = e 2 13.5% Tiheysfunktiota integroimalla: P X > 1 = 1 2e 2x dx = lim b (e 2b e 2 1 ) = e 2 1 13.5% Entä alle kuukauden? Suoraan kertymäfunktiosta: P X 1 12 = F X 1 = 1 1 12 e2 1 12 15.4% Tiheysfunktiota integroimalla: P X 1 = 12 12 2e 2x dx = e 2 1 12 e 2 0 = 1 e 2 1 12 15.4% 0 22
Lisää matematiikan / matemaattisen mallinnuksen kursseja? Liiketoiminnan teknologian kandidaattikursseja (Business) Mathematics II syventävä matematiikan kurssi erityisesti optimointiin keskittyen (lineaarinen, epälineaarinen, stokastinen) Business Decisions 1 (matemaattisten mallien rakentaminen, simulointi ja ratkaiseminen liiketoiminnallisen päätöksenteon tukemisessa) Information and service management maisterikursseja Business Decisions 2 (syventävä kurssi matemaattisten päätöstukimallien rakentamisessa ja ratkaisemisessa) Models in marketing (matemaattisten/tilastollisten mallien käyttö markkinoinnissa) Lisäksi rutkasti analytiikkaan ja tilastollisiin malleihin keskittyviä kursseja (mm. Data Science for Business I, Multivariate Statistical Analysis) Uusi kurssi data-analytiikan ja optimointimallien yhdistämiseksi v. 2018: Data Science for Business II 23
Matemaattisten päätösmallintajien koti = FORS Suomen operaatiotutkimusseura FORS: www.operaatiotutkimus.fi o o o Ilmainen opiskelijajäsenyys! Opiskelijajäsenille maksuttomia seminaareja matemaattisen mallinnuksen hyödyntämisestä liike-elämän ja julkisen toiminnan eri osaalueilla 2017: OR liikuttaa ihmistä (mm. VR, Kone, MaaS) 2016: Security in the digital age (mm. PV, Supo, DefSec) 2015: Data-analytiikka kasvun ja kannattavuuden moottorina (mm. Futurice, SAS Institute, SportIQ) Koulutusta, jäsenlehti, verkostoja matemaattisen mallinnuksen ammattilaisiin jne 24