RATKAISUT 8 17 8 a) Paraabelie y x ja y x + x + 1 leikkauspisteet saadaa määritettyä, ku esi ratkaistaa yhtälö x x + x + 1, eli x x, joka o yhtäpitävä yhtälö x x. Toise astee yhtälö ratkaisukaavalla saadaa x 1 ± () 1 ( ) 1 1 ± 9 1 ± { Ku x, o y x 1, ja ku x, o y x (). Leikkauspisteide koordiaatit ovat siis (, 1) ja (, ). b) Leikkauspisteide välissä x +x+1 > x, sillä x +x+1 o alaspäi ja x ylöspäi aukeava paraabeli. Pita-ala saadaa siis laskemalla itegraali ( ( x + x + 1) (x ) ) [ dx ( x + x + )dx ] x + x + x ( ) ( + + ) () + () + () Leikkauspisteide välii jäävä aluee pita-ala o siis 9. 9 Merkitää P (x) x 8x 18x + 7. Lasketaa aluksi polyomi derivaatta: 9. P (x) 1x x 6x 1x(x x ). Koska P () 7, ei yhteie ollakohta voi olla x, vaa se o toie derivaata kahdesta muusta ollakohdasta. Lasketaa yt ämä ollakohdat toise astee yhtälö ratkaisukaava avulla. Tiedetää, että jos x x, ii x ± ( ) 1 ( ) 1 ± 16 ± { Nyt riittää selvittää alkuperäise polyomi arvot äissä pisteissä. Lasketaa: P () 8 18 + 7 8 ja P () () 8() 18() + 7. Polyomi x 8x 8x +7 ja se derivaata yhteie ollakohta o siis x. 1.
RATKAISUT 8 17 1 Koska opiskelija tietää oikea vastaukse kymmeee väitteesee, riittää tarkastella iitä 15 väitettä, joide vastaukse hä joutuu arvaamaa. Läpipääsyy riittää, että hä arvaa äistä vähitää viisi oikei. Lasketaa aluksi komplemettitodeäköisyys, eli todeäköisyys sille, että opiskelija ei pääse läpi, vaa saa korkeitaa eljä oikei. Arvatessa oikea ja väärä vaihtoehdo todeäköisyydet ovat samat, eli molemmat todeäköisyydet ovat 1 Todeäköisyys sille, että kaikki meevät vääri o ( 1 15. ) Todeäköisyys sille, että täsmällee yksi o oikei o 15 ( ( 1 ) 1 1 ( ) 15 1 15, ) sillä mikä tahasa 15 tehtävästä voi olla oikei. Täsmällee kahde oikea todeäköisyys o ( ) ( 15 1 ) ( 1 1 ( ) 15 ) ( 1 15, ) koska ) mitkä tahasa kaksi voivat olla oikei, ja kaksi voidaa valita 15 vaihtoehdosta ( 15 tavalla. Vastaavasti täsmällee kolme oikea todeäköisyys o ( ) ( 15 1 15 ) ja täsmällee eljä oikea todeäköisyys o ( ) ( 15 1 15. ) Todeäköisyys läpipääsylle o siis ( (1 ) 15 1 + 15 ( 1 ) 15 + ( ) ( ) 15 15 1 + ( 15 ) ( 1 ) 15 ) eli opiskelija pääsee läpi oi 9% todeäköisyydellä. 11 Olkoo f(x) ax + b. a) Lasketaa itegraali 1 f(x)dx: 1 [ a 1 f(x)dx (ax + b)dx x + bx] a + b., 9, b) Johdetaa esi lauseke summalle S. Fuktio lauseke sijoittae saadaa S 1 ( ) i f 1 ( a i ) + b a i + 1 b a ( + 1) + b a( + 1) Huomataa seuraavaksi, että s 1 ( ) i 1 f f() + 1 f + b. b a + b + S a a( + 1) + + b Jote { S a(+1) + b s a() + b. ( ) i f() f(1) a( 1) + b + f ( ) i
RATKAISUT 8 17 c) Lasketaa esi summa S raja-arvo: ( ) ( a( + 1) lim S lim + b lim a 1 + 1 ) + b a + b. Lasketaa seuraavaksi erotukse S s raja-arvo. Käytetää tässä hyväksi muotoa s b a+b + S, joka kolmaeksi viimeie lauseke a)-kohdassa summaa s laskettaessa: ( ( b lim (S s ) lim S a + b )) ( + S lim b + a + b ). Siispä lim S a + b ja lim (S s ). Tehtävässä lasketut summat ja raja-arvot liittyvät itegraalie määrittelyy Darboux tai Riemai summie avulla. Lauseke S o tässä yläsumma ja s alasumma. Ku äide raja-arvo o sama, o itegraali määritelty. 1 Kirjoitetaa esi logaritmi osamäärä avulla: x + lim (l(x + ) l(x + )) lim l x x x +. Sieveetää seuraavaksi jakae parametrilla x, joka jälkee raja-arvo oki helppo laskea: x + lim l x x + lim l + x x + l, x sillä lim x x lim x x. Siispä lim (l(x + ) l(x + )) l x 1 Lähdetää liikkeelle havaiosta, että cos y + cos z, jos z π + π + y tai z π + π y jollaki kokoaisluvulla. Ku cos(x) + cos(x), o siis pädettävä että x π + π + x tai x π + π x. Käsitellää ämä tapaukset eriksee. Käsitellää esi tapaus x π + π + x, eli x π + π. Koska voi olla mikä tahasa kokoaisluku, voidaa tämä kirjoittaa siistimmässä muodossa x πm + π, missä m o mikä tahasa kokoaisluku. Käsitellää yt tapaus x π + π x, joka voidaa kirjoittaa muodossa 5x π + π, eli x π + π, missä o mielivaltaie kokoaisluku. 5 5 1 a) Todistettava epäyhtälö xy 1 (x + y ) o yhtäpitävä epäyhtälö xy x +y kassa. Siirtäe kaikki termit oikealle puolelle, saadaa tämä epäyhtälö puolestaa yhtäpitävää muotoo x xy + y, jolloi oikealta puolelta tuistetaa eliö: x xy + y (x y), joka o eliöä varmasti epäegatiivie. Epäyhtälö xy 1 (x + y ) o siis tosi, sillä se o yhtäpitävä epäyhtälö (x y) kassa. b) Todistetaa, että x 1 y 1 + + x y 1, ku x k a k A ja y k b k B, missä A a 1 + + a > ja B b 1 + b >.
RATKAISUT 8 17 a-kohda epäyhtälö ojalla x k y k 1 (x k + y k), ku 1 k. Summataa ämä termit yhtee. Saadaa x 1 y 1 + + x y 1 (x 1 + y 1 + + x + y ) 1 ( (x 1 + x + (y1 + + y) ) 1 (( ) ( )) a 1 A + + a b + 1 A B + + b B 1 ( ) a 1 + + a + b 1 + + b 1 ( ) A A B A + B 1, B jote väite o todistettu. c) Johdetaa yt Cauchy epäyhtälö a 1 b 1 + + a b a 1 + + a b 1 + + b. Mikäli A a 1 + + a, o pädettävä myös a 1 a. Vastaavasti, jos B b 1 + + b, o pädettävä b 1 b. Molemmissa tapauksissa myös epäyhtälö vase puoli o olla, jolloi epäyhtälö pätee. Voidaa siis olettaa, että A > ja B >, kute b-kohdassaki oletettii. Tällöi b-kohda epäyhtälö ojalla x 1 y 1 + + x y 1. Sijoitetaa parametrie x k ja y k lausekkeet epäyhtälöö, jolloi epäyhtälö muuttuu muotoo a 1 A b1 B + + a A b B 1. Koska A, B >, voidaa epäyhtälö kertoa puolittai luvulla AB merki käätymättä. Saadaa a 1 b 1 + a b AB a 1 + + a b 1 + + b, jolloi väite o todistettu. 15 a) Origo kautta kulkeva suora yhtälö o muotoa y kx, ku suora ei ole y-akseli suutaie. Koska tehtäväao suora kulkee pistee (, ) kautta origo lisäksi, ei suora ole y-akseli suutaie. Piste (, ) o suoralla, jote kulmakertoime k o toteutettava yhtälö k, jote k. Suora yhtälö o siis y x. b) Origokeskise ympyrä yhtälö o muotoa x + y r, missä r o säde. Piste o ympyrällä, jote sätee o toteutettava yhtälö + r, eli r 5. Säde o epäegatiivie, jote r 5. Ympyrä yhtälö o siis x + y 5.
RATKAISUT 8 17 5 c) Sellaise ylöspäi aukeava paraabeli, joka huippu o origossa yhtälö o muotoa y ax, missä a >. Sijoitetaa piate (, ) yhtälöö. Saadaa a 9a, jote a 9, eli paraabeli yhtälö o y 9 x. 16 a) Tehtävä voisi ratkaista myös iduktiolla tutematta lukuteoria käsitteitä. Jotta saadaa selville viimeie umero, lasketaa jakojääös kymmeellä jaettaessa. Huomataa, että 16 6 (mod 1), jote 16 16 6 16 (mod 1). Koska 6 6 6 (mod 1), o pädettävä myös 6 6 (mod 1) kaikilla positiivisilla kokoaisluvuilla, jote ee kaikkea 16 16 6 16 6 (mod 1). Viimeie umero o siis kuusi. b) Kirjoitetaa luku muodossa 16 16 1 ( lg 16 16 ) 1 6661,859 7, 1 1 6661. Koska 1 6661,859 7, 1 1 6661 ja 1 6661,8591 7, 1 1 6661, säilyvät kaksi esimmäistä umeroa samoia, vaikka ekspoettia pyöristettäisii ylös- tai alaspäi. Tarkkuus o siis riittävä. Esimmäiset kaksi umeroa ovat 71. c) Luvu umeroide lukumäärä o luvu kymmekataie logaritmi ylöspäi pyöristettyä, tai jos kymmekataie logaritmi o kokoaisluku, ii tällöi se lisättyä yhdellä. Koska lg 16 16 6661, 86, jote luvussa 16 16 o 666 umeroa. 17 Merkitää eliö N 1 sivu pituutta 9s s, eliö N sivu pituutta s ja eliö N sivu pituutta 11s. Nyt eliö N ala o s. Kolmio K sivut ovat siis s, s ja 11s. Kolmio ala voi määrittää useallaki keiolla. Käydää yt läpi kaksi erilaista tapaa. Esi Pythagorakse lauseesee perustuva. Koska ( 11s) 11s s + 9s ( s) + (s), o kolmio K suorakulmaie. Se kateettie pituudet ovat s ja s, jote se ala o s. Toie äppärä tapa määrittää kolmio ala perustuu Heroi kaavaa. Tällöi ei tarvitse tarkistaa, että kolmio o suorakulmaie. Heroi kaava ojalla kolmio ala o s + s + 11s s + s + 11s s s + 11s s + s 11s ( s ( + 11) ) ( ( ) 11 ) s s (( + 11) + ( ) 11 ) ( + 11) ( 11 ) 8 s 7 s.
6 RATKAISUT 8 17 Kolmio ja eliö N pita-aloje suhde o siis s s.