Matematiikan ja tilastotieteen laitos Funktionaalianalyysin peruskurssi Kevät 9) Harjoitus 7 Ratkaisuja Jussi Martin). E Hilbert avaruus L [, π]) ja gt) := t, t [, π]. Määrää funktion g Fourier kertoimet kannan π e int) n= suhteen ja laske kertoimien avulla g. e t ĝ) = t dt = tdt = π) π π π = π 3 ja kun n, saadaan osittaisintegroimalla, että ĝn) = t e int dt = ein einπ π π π in in ) e int ) in dt = ) π ) π in in) eiπ e i ) = π π = πin in. ) Koska π e int on ortonormaali kanta Hilbert-avaruudessa n= L [, π]), nähdään luentomonisteen lausetta 4.39. käyttämällä, että g = g, e n ) = ĝn) = 4π 3 π + k = 4π3 + 4π k. n Z n Z Ja tällöin siis k= k= g = 4π3 + 4π k. Tämä saadaan sievenpään muotoon mikäli voidaan käyttää tietoa k= ζ) = π 6, missä ζx) = k= k on Riemannin zeta-funktio; tällöin saadaan x että g = 4π 3 + 4π3 6 = 6π 3 3 = 4 π 3 3.. Osoita, että Legendren polynomit n + d n p n t) := n n! dt n t ) n) muodostavat ortonormaalin jonon avaruudessa L [, ]). Jos m < n ja c n := että n+ n n! k= k =, niin osittaisintegroimalla n kertaa saadaan, d m p m, p n ) = c m dt m t ) m) d n c n dt n t ) n)) dt [ d = c m c n ) m m+n dt m+n t ) m)] t ) n dt
= ) m c m c n t ) n dt =, sillä sijoitustermit häviävät ja polynomin t ) m korkeinta astetta oleva termi on astetta m, joten polynomin m + n):s derivaatta häviää, koska m + n > n. Symmetrian nojalla p m, p n ) = myös, kun m > n eli p m, p n ) = aina kun m n. Jos taas m = n saadaan osittaisintegroimalla n kertaa, että p n, p n ) = c d n n dt n t ) n) d n dt n t ) n) dt = ) n c n = ) n c nn)! [ d n dt n t ) n)] t ) n dt t ) n dt, sillä sijoitustermit häviävät ja n ) n t ) n = t ) n k ) k d n, joten k dt n t ) n) k= n = ) ) dn dt n tn + +... + = n)! Tekemällä muuttujanvaihto x u; x = u, dx = du ja osittaisintegroimalla n kertaa, saadaan että p n, p n ) = ) n c nn)! u) n u ) n du = ) n c nn)! n u n u ) n du = ) n c nn)! n n! n)! un n!u ) du = c n n!) n+ ) nn)! = n + n!) n)! n + n n)!n n!) n)! sillä sijoitustermit häviävät. Näin ollen p m, p n ) = δ mn. n + =, 3. Tarkastellaan Hilbert avaruutta E := L R). Etsi jokin E:n alkio ψ, jolle supp ψ) = [, ] sekä toisaalta kaikki funktiot ψ k, k Z, missä ψ k t) := ψt k), t R, ovat keskenään ortogonaaliset. Määritelmä: funktion ψ kantaja on supp ψ) := {x R ψx) }.) { e ψt) = iπt, kun t [, ], kun x R \ [, ]. Tällöin { ψ m, ψ n ) = e dt =, kun m = n K m,n e i[ m n)]πt dt =, kun m n, missä K m,n = suppψ m ) suppψ n ); sillä jos m n, niin K m,n voi olla joko tyhjäjoukko jos n m > tai piste {max{m, n}} jos n m = tai väli [min{m, n} +, min{m, n} + ] jos n m = ja kaikissa näissä tapauksissa
3 integraalin arvo on nolla. 4.-5. Kuten luennoilla kerrottiin, Banach avaruuden X rajoitettu lineaarinenoperaattori P : X X on projektio, jos P := P P ) = P. Tarkemmin, tällainen operaattori on projektio aliavaruudelle Y, kun Y := P X). Tällöin pätee X = Y Z, missä Z := kerp ) := {x X P x = }. Sanotaan, että Z on Y :n komplementti.) Etsi jokin projektio Banach avaruudelta C, ) a) yksiulotteiselle aliavaruudelle Y, jonka virittää vakiofunktio, b) yksiulotteiselle aliavaruudelle Y, jonka virittää funktio e t, c) aliavaruudelle d) aliavaruudelle e) aliavaruudelle Y := {f C, ) ft) = f t) t [, ]}, Y := {f C, ) f) = }, Y := {f C, ) f) = f ) = }. Huomaa, että sinun tulee todeta, että operaattorisi ovat lineaarisiaja rajoitettuja. Pystytkö esittämään a) ja b) kohtiin useita eri vastauksia? Huomaa, kuinka komplementti Z riippuu siitä, minkä projektion valitsit! a)-kohta: x [, ] ja P x kuvaus Tällöin P x on lineaarinen, koska P x : C, ) Y, f fx )χ [,]. P x af + bg) = afx ) + bgx ) ) χ [,] = afx )χ [,] + bfx )χ [,] = ap x f + bp x g kaikilla a, b K, f, g C, ). Lisäksi se on rajoitettu, koska P x P x f = fx ) f. on surjektio, koska jokainen vakiofunktio on itsensä kuva: P x cχ [,] = cχ [,]. Tämän yhtälön avulla nähdään myös, että P x P x = P x, sillä P x fx )χ [,] = fx )χ [,] eli P x todellakin on projektio avaruudelle Y. Jos nyt valitaan kaksi eri pistettä väliltä [, ] saadaan näitä vastaaviksi kuvauksiksi P x eri kuvaukset, sillä esimerkiksi b)-kohta: P id [,] = χ [,] P id [,] = χ [,]. Z = kerp x ) = {f C, ) : fx ) = }. x [, ] ja P x kuvaus P x : C, ) Y, f fx )e x e t.
4 Tällöin P x on lineaarinen, koska P x af + bg) afx ) + bgx ) ) e x e t = afx )e x e t + bfx )e x e t = ap x f + bp x g kaikilla a, b K, f, g C, ). Lisäksi se on rajoitettu, koska P x f = fx )e x e t e x e 4 f. P x on surjektio, koska jokainen funktio ce t on itsensä kuva: P x ce t = ce x e x e t = ce t. Tämän yhtälön avulla nähdään myös, että P x P x = P x, sillä P x fx )e x e t = fx )e x e t eli P x todellakin on projektio avaruudelle Y. Jos nyt valitaan kaksi eri pistettä väliltä [, ] saadaan näitä vastaaviksi kuvauksiksi P x eri kuvaukset, sillä esimerkiksi c)-kohta: P id [,] = e x e t P id [,] = e x e t. Z = kerp x ) = {f C, ) : fx ) = }. P : C, ) C, ), fx) gx), { fx) f), kun x [, ] gx) = f x) f), kun x [, [. Tällöin kuvaus P on hyvin määritelty, koska g on jatkuva jokaisella f C, ). Lisäksi se on lineaarinen, koska ± afx) + bhx) ) af) + bh) ) = a ± fx) f) ) + b ± hx) h) ), kaikilla a, b K, f, h C, ). Lisäksi kuvaus on rajoitettu, sillä P f f, kaikilla f C, ). Jos nyt f Y on jatkuvuuden nojalla pakko olla f) = sekä tietysti ft) = f t) kaikilla t [, ]). Tällöin nähdään, että P f = f kaikilla f Y. Minkä avulla huomataan, että jokainen f Y on itsensä kuva kuvauksessa P eli kuvaus on surjektio. Lisäksi tästä seuraa myös, että P P = P eli kuvaus on projektio avaruudelle Y. d)-kohta: P : C, ) C, ), fx) fx) f). Tällöin P on lineaarinen, koska ) ) ) ) afx) + bgx) af) + bg) = a fx) f) + b gx) g), kaikilla a, b K, f, g C, ). Lisäksi kuvaus on rajoitettu, sillä P f f, kaikilla f C, ). Jos f Y on fx) f) = fx) = fx) eli P f = f kaikilla f Y. Minkä avulla taas nähdään, että kuvaus on surjektio Y :lle ja P P = P eli kuvaus on projektio Y :lle.
5 e)-kohta: P : C, ) C, ), fx) fx) / f) f ) ) x + ) f ). Tällöin P f) = P f ) = eli kuvaus on hyvin määritelty. Se on myös lineaarinen, koska ) ) afx) + bgx) / af) + bg) af ) bg ) x + ) af ) bg ) ) = a fx) / f) f ) ) ) x ) f ) +b gx) / g) g ) ) ) x ) g ), kaikilla a, b K, f, g C, ). Lisäksi kuvaus on rajoitettu, sillä P f 5 f, kaikilla f C, ). Se, että kuvaus on projektio Y :lle, seuraa taas siitä, että P f = f kaikilla f Y ja siten kuvaus on surjektio Y :lle ja P P = P.