e int) dt = 1 ( 2π 1 ) (0 ein0 ein2π

Samankaltaiset tiedostot
Ortogonaaliprojektio äärellisulotteiselle aliavaruudelle

8. Avoimen kuvauksen lause

MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS Analyysi I Harjoitus alkavalle viikolle Ratkaisuehdotuksia (7 sivua) (S.M)

=p(x) + p(y), joten ehto (N1) on voimassa. Jos lisäksi λ on skalaari, niin

MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS

Oletetaan sitten, että γ(i) = η(j). Koska γ ja η ovat Jordan-polku, ne ovat jatkuvia injektiivisiä kuvauksia kompaktilta joukolta, ja määrittävät

0 kun x < 0, 1/3 kun 0 x < 1/4, 7/11 kun 1/4 x < 6/7, 1 kun x 1, 1 kun x 6/7,

Matematiikan ja tilastotieteen laitos Reaalianalyysi I Harjoitus Malliratkaisut (Sauli Lindberg)

JAKSO 2 KANTA JA KOORDINAATIT

Ratkaisu: Ensimmäinen suunta. Olkoon f : R n R m jatkuva eli kaikilla ε > 0 on olemassa sellainen δ > 0, että. kun x a < δ. Nyt kaikilla j = 1,...

HY, MTO / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIa, syksy 2018 Harjoitus 3 Ratkaisuehdotuksia.

7. Tasaisen rajoituksen periaate

5. Fourier-sarjat. f(x) e inx dx. c n (cos(nx) + i sin(nx)), n= N. f(x) e inx dx = f(n)

Seuraava topologisluonteinen lause on nk. Bairen lause tai Bairen kategorialause, n=1

r > y x z x = z y + y x z y + y x = r y x + y x = r

FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI Johdanto

8. Avoimen kuvauksen lause

Osoita, että täsmälleen yksi vektoriavaruuden ehto ei ole voimassa.

Lebesguen mitta ja integraali

peitteestä voidaan valita äärellinen osapeite). Äärellisen monen nollajoukon yhdiste on nollajoukko.

IV. TASAINEN SUPPENEMINEN. f(x) = lim. jokaista ε > 0 ja x A kohti n ε,x N s.e. n n

Analyysi I (sivuaineopiskelijoille)

sin(x2 + y 2 ) x 2 + y 2

Topologia Syksy 2010 Harjoitus 4. (1) Keksi funktio f ja suljetut välit A i R 1, i = 1, 2,... siten, että f : R 1 R 1, f Ai on jatkuva jokaisella i N,

Harjoitusten 4 ratkaisut Topologiset vektoriavaruudet 2010

Tehtäväsarja I Kerrataan lineaarikuvauksiin liittyviä todistuksia ja lineaarikuvauksen muodostamista. Sarjaan liittyvät Stack-tehtävät: 1 ja 2.

Funktiot. funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina.

f(x) sin k x dx, c k = 1

x = y x i = y i i = 1, 2; x + y = (x 1 + y 1, x 2 + y 2 ); x y = (x 1 y 1, x 2 + y 2 );

Oletetaan ensin, että tangenttitaso on olemassa. Nyt pinnalla S on koordinaattiesitys ψ, jolle pätee että kaikilla x V U

4. Hilbertin avaruudet

x = y x i = y i i = 1, 2; x + y = (x 1 + y 1, x 2 + y 2 ); x y = (x 1 y 1, x 2 + y 2 );

LUKU 6. Mitalliset funktiot

Onko kuvaukset injektioita? Ovatko ne surjektioita? Bijektioita?

HY / Avoin yliopisto Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II, kesä 2015 Harjoitus 1 Ratkaisut palautettava viimeistään maanantaina klo

1 Sisätulo- ja normiavaruudet

Johdatus matemaattiseen päättelyyn

5. Fourier-sarjat. f(x)e inx dx. c n (cos(nx) + i sin(nx)), n= N. 2π f(x)e inx dx = 1 2π. k= N. e inx, n Z. 2π f(x)e inx dx = 1 (f e n ) 2π

Helsingin Yliopisto, Matematiikan ja tilastotieteen laitos. Luennot, kevät 2006 ja kevät Kari Astala ja Petteri Piiroinen (v.

Matriisilaskenta, LH4, 2004, ratkaisut 1. Hae seuraavien R 4 :n aliavaruuksien dimensiot, jotka sisältävät vain

Topologia I Harjoitus 6, kevät 2010 Ratkaisuehdotus

Analyysi 1. Harjoituksia lukuihin 1 3 / Syksy Osoita täsmällisesti perustellen, että joukko A = x 4 ei ole ylhäältä rajoitettu.

Analyysi 1. Harjoituksia lukuihin 4 7 / Syksy Tutki funktion f(x) = x 2 + x 2 jatkuvuutta pisteissä x = 0 ja x = 1.

Matemaattisen analyysin tukikurssi

Kanta ja dimensio 1 / 23

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus

6. Lineaariset operaattorit

Kirjoita jokaiseen koepaperiin nimesi, opiskelijanumerosi ym. tiedot! Laskin (yo-kirjoituksissa hyväksytty) on sallittu apuväline tässä kokeessa!

Tehtävä 1. Näytä, että tason avoimessa yksikköpallossa

e ax, kun x > 0 f(x) = 0, kun x < 0, 0, kun x > 0 e ax, kun x < 0 e (a iω)x dx = a+iω = 1 a 2 +ω 2. e ax, x > 0 e ax, x < 0,

MS-C1350 Osittaisdifferentiaaliyhtälöt Harjoitukset 5, syksy Mallivastaukset

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II. LM2, Kesä /141

Kuvaus. Määritelmä. LM2, Kesä /160

, c) x = 0 tai x = 2. = x 3. 9 = 2 3, = eli kun x = 5 tai x = 1. Näistä

U missä U A := {U R n : U avoin ja U A}; intuitiivisesti suurin avoin joukko, joka sisältyy A:han. Määritellään A:n sulkeuma A := F F A

Johdatus lineaarialgebraan

Tehtäväsarja I Tehtävät 1-5 perustuvat monisteen kappaleisiin ja tehtävä 6 kappaleeseen 2.8.

Analyysin peruslause

y x1 σ t 1 = c y x 1 σ t 1 = y x 2 σ t 2 y x 2 x 1 y = σ(t 2 t 1 ) x 2 x 1 y t 2 t 1

sin θ θ θ r 2 sin 2 θ φ 2 = 0.

Kurssikoe on maanantaina Muista ilmoittautua kokeeseen viimeistään 10 päivää ennen koetta! Ilmoittautumisohjeet löytyvät kurssin kotisivuilla.

Ominaisarvoon 4 liittyvät ominaisvektorit ovat yhtälön Ax = 4x eli yhtälöryhmän x 1 + 2x 2 + x 3 = 4x 1 3x 2 + x 3 = 4x 2 5x 2 x 3 = 4x 3.

Mathematicians are like Frenchmen: whatever you say to them they translate into their own language and forthwith it is something entirely

Kuva 1: Funktion f tasa-arvokäyriä. Ratkaisu. Suurin kasvunopeus on gradientin suuntaan. 6x 0,2

Metriset avaruudet 2017

Määritelmä Olkoon T i L (V i, W i ), 1 i m. Yksikäsitteisen lineaarikuvauksen h L (V 1 V 2 V m, W 1 W 2 W m )

Selvästi. F (a) F (y) < r x d aina, kun a y < δ. Kolmioepäyhtälön nojalla x F (y) x F (a) + F (a) F (y) < d + r x d = r x

Ratkaisu: (i) Joukko A X on avoin jos kaikilla x A on olemassa r > 0 siten että B(x, r) A. Joukko B X on suljettu jos komplementti B c on avoin.

Avaruuden R n aliavaruus

Päättelyn voisi aloittaa myös edellisen loppupuolelta ja näyttää kuten alkupuolella, että välttämättä dim W < R 1 R 1

DIFFERENTIAALI- JA INTEGRAALILASKENTA I.1. Ritva Hurri-Syrjänen/Syksy 1999/Luennot 6. FUNKTION JATKUVUUS

Numeerinen integrointi ja derivointi

Harjoitus Etsi seuraavien autonomisten yhtälöiden kriittiset pisteet ja tutki niiden stabiliteettia:

MS-A0107 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 (CHEM)

1 Määrittelyjä ja aputuloksia

Ratkaisuehdotus 2. kurssikoe

Vektorianalyysi I MAT Luennoitsija: Ritva Hurri-Syrjänen Luentoajat: ti: 14:15-16:00, to: 12:15-14:00 Helsingin yliopisto 21.

f(k)e ikx = lim S n (f; x) kaikilla x?

Kertausta: avaruuden R n vektoreiden pistetulo

802320A LINEAARIALGEBRA OSA II

Kertausta: avaruuden R n vektoreiden pistetulo

y = 3x2 y 2 + sin(2x). x = ex y + e y2 y = ex y + 2xye y2

Matematiikan tukikurssi

1 sup- ja inf-esimerkkejä

2. Viikko. CDH: luvut (s ). Matematiikka on fysiikan kieli ja differentiaaliyhtälöt sen yleisin murre.

8 Potenssisarjoista. 8.1 Määritelmä. Olkoot a 0, a 1, a 2,... reaalisia vakioita ja c R. Määritelmä 8.1. Muotoa

2.6 Funktioiden kuvaajat ja tasa-arvojoukot

Polkuintegraali yleistyy helposti paloitain C 1 -poluille. Määritelmä Olkoot γ : [a, b] R m paloittain C 1 -polku välin [a, b] jaon

Matematiikan ja tilastotieteen laitos Algebra I - Kesä 2009 Ratkaisuehdoituksia harjoituksiin 8 -Tehtävät sivua Heikki Koivupalo ja Rami Luisto

Sarjat ja differentiaaliyhtälöt

Ratkaisuehdotus 2. kurssikokeeseen

Johdantoa INTEGRAALILASKENTA, MAA9

u(0, t) = 0 kaikille t > 0: lämpötila pidetään vakiona pisteessä x = 0;

Cantorin joukko LUKU 8

Mat / Mat Matematiikan peruskurssi C3-I / KP3-I Harjoitus 5 / vko 42, loppuviikko, syksy 2008

Ratkaisut vuosien tehtäviin

MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 5. viikolle /

Matematiikan tukikurssi

Funktioista. Esimerkki 1

Transkriptio:

Matematiikan ja tilastotieteen laitos Funktionaalianalyysin peruskurssi Kevät 9) Harjoitus 7 Ratkaisuja Jussi Martin). E Hilbert avaruus L [, π]) ja gt) := t, t [, π]. Määrää funktion g Fourier kertoimet kannan π e int) n= suhteen ja laske kertoimien avulla g. e t ĝ) = t dt = tdt = π) π π π = π 3 ja kun n, saadaan osittaisintegroimalla, että ĝn) = t e int dt = ein einπ π π π in in ) e int ) in dt = ) π ) π in in) eiπ e i ) = π π = πin in. ) Koska π e int on ortonormaali kanta Hilbert-avaruudessa n= L [, π]), nähdään luentomonisteen lausetta 4.39. käyttämällä, että g = g, e n ) = ĝn) = 4π 3 π + k = 4π3 + 4π k. n Z n Z Ja tällöin siis k= k= g = 4π3 + 4π k. Tämä saadaan sievenpään muotoon mikäli voidaan käyttää tietoa k= ζ) = π 6, missä ζx) = k= k on Riemannin zeta-funktio; tällöin saadaan x että g = 4π 3 + 4π3 6 = 6π 3 3 = 4 π 3 3.. Osoita, että Legendren polynomit n + d n p n t) := n n! dt n t ) n) muodostavat ortonormaalin jonon avaruudessa L [, ]). Jos m < n ja c n := että n+ n n! k= k =, niin osittaisintegroimalla n kertaa saadaan, d m p m, p n ) = c m dt m t ) m) d n c n dt n t ) n)) dt [ d = c m c n ) m m+n dt m+n t ) m)] t ) n dt

= ) m c m c n t ) n dt =, sillä sijoitustermit häviävät ja polynomin t ) m korkeinta astetta oleva termi on astetta m, joten polynomin m + n):s derivaatta häviää, koska m + n > n. Symmetrian nojalla p m, p n ) = myös, kun m > n eli p m, p n ) = aina kun m n. Jos taas m = n saadaan osittaisintegroimalla n kertaa, että p n, p n ) = c d n n dt n t ) n) d n dt n t ) n) dt = ) n c n = ) n c nn)! [ d n dt n t ) n)] t ) n dt t ) n dt, sillä sijoitustermit häviävät ja n ) n t ) n = t ) n k ) k d n, joten k dt n t ) n) k= n = ) ) dn dt n tn + +... + = n)! Tekemällä muuttujanvaihto x u; x = u, dx = du ja osittaisintegroimalla n kertaa, saadaan että p n, p n ) = ) n c nn)! u) n u ) n du = ) n c nn)! n u n u ) n du = ) n c nn)! n n! n)! un n!u ) du = c n n!) n+ ) nn)! = n + n!) n)! n + n n)!n n!) n)! sillä sijoitustermit häviävät. Näin ollen p m, p n ) = δ mn. n + =, 3. Tarkastellaan Hilbert avaruutta E := L R). Etsi jokin E:n alkio ψ, jolle supp ψ) = [, ] sekä toisaalta kaikki funktiot ψ k, k Z, missä ψ k t) := ψt k), t R, ovat keskenään ortogonaaliset. Määritelmä: funktion ψ kantaja on supp ψ) := {x R ψx) }.) { e ψt) = iπt, kun t [, ], kun x R \ [, ]. Tällöin { ψ m, ψ n ) = e dt =, kun m = n K m,n e i[ m n)]πt dt =, kun m n, missä K m,n = suppψ m ) suppψ n ); sillä jos m n, niin K m,n voi olla joko tyhjäjoukko jos n m > tai piste {max{m, n}} jos n m = tai väli [min{m, n} +, min{m, n} + ] jos n m = ja kaikissa näissä tapauksissa

3 integraalin arvo on nolla. 4.-5. Kuten luennoilla kerrottiin, Banach avaruuden X rajoitettu lineaarinenoperaattori P : X X on projektio, jos P := P P ) = P. Tarkemmin, tällainen operaattori on projektio aliavaruudelle Y, kun Y := P X). Tällöin pätee X = Y Z, missä Z := kerp ) := {x X P x = }. Sanotaan, että Z on Y :n komplementti.) Etsi jokin projektio Banach avaruudelta C, ) a) yksiulotteiselle aliavaruudelle Y, jonka virittää vakiofunktio, b) yksiulotteiselle aliavaruudelle Y, jonka virittää funktio e t, c) aliavaruudelle d) aliavaruudelle e) aliavaruudelle Y := {f C, ) ft) = f t) t [, ]}, Y := {f C, ) f) = }, Y := {f C, ) f) = f ) = }. Huomaa, että sinun tulee todeta, että operaattorisi ovat lineaarisiaja rajoitettuja. Pystytkö esittämään a) ja b) kohtiin useita eri vastauksia? Huomaa, kuinka komplementti Z riippuu siitä, minkä projektion valitsit! a)-kohta: x [, ] ja P x kuvaus Tällöin P x on lineaarinen, koska P x : C, ) Y, f fx )χ [,]. P x af + bg) = afx ) + bgx ) ) χ [,] = afx )χ [,] + bfx )χ [,] = ap x f + bp x g kaikilla a, b K, f, g C, ). Lisäksi se on rajoitettu, koska P x P x f = fx ) f. on surjektio, koska jokainen vakiofunktio on itsensä kuva: P x cχ [,] = cχ [,]. Tämän yhtälön avulla nähdään myös, että P x P x = P x, sillä P x fx )χ [,] = fx )χ [,] eli P x todellakin on projektio avaruudelle Y. Jos nyt valitaan kaksi eri pistettä väliltä [, ] saadaan näitä vastaaviksi kuvauksiksi P x eri kuvaukset, sillä esimerkiksi b)-kohta: P id [,] = χ [,] P id [,] = χ [,]. Z = kerp x ) = {f C, ) : fx ) = }. x [, ] ja P x kuvaus P x : C, ) Y, f fx )e x e t.

4 Tällöin P x on lineaarinen, koska P x af + bg) afx ) + bgx ) ) e x e t = afx )e x e t + bfx )e x e t = ap x f + bp x g kaikilla a, b K, f, g C, ). Lisäksi se on rajoitettu, koska P x f = fx )e x e t e x e 4 f. P x on surjektio, koska jokainen funktio ce t on itsensä kuva: P x ce t = ce x e x e t = ce t. Tämän yhtälön avulla nähdään myös, että P x P x = P x, sillä P x fx )e x e t = fx )e x e t eli P x todellakin on projektio avaruudelle Y. Jos nyt valitaan kaksi eri pistettä väliltä [, ] saadaan näitä vastaaviksi kuvauksiksi P x eri kuvaukset, sillä esimerkiksi c)-kohta: P id [,] = e x e t P id [,] = e x e t. Z = kerp x ) = {f C, ) : fx ) = }. P : C, ) C, ), fx) gx), { fx) f), kun x [, ] gx) = f x) f), kun x [, [. Tällöin kuvaus P on hyvin määritelty, koska g on jatkuva jokaisella f C, ). Lisäksi se on lineaarinen, koska ± afx) + bhx) ) af) + bh) ) = a ± fx) f) ) + b ± hx) h) ), kaikilla a, b K, f, h C, ). Lisäksi kuvaus on rajoitettu, sillä P f f, kaikilla f C, ). Jos nyt f Y on jatkuvuuden nojalla pakko olla f) = sekä tietysti ft) = f t) kaikilla t [, ]). Tällöin nähdään, että P f = f kaikilla f Y. Minkä avulla huomataan, että jokainen f Y on itsensä kuva kuvauksessa P eli kuvaus on surjektio. Lisäksi tästä seuraa myös, että P P = P eli kuvaus on projektio avaruudelle Y. d)-kohta: P : C, ) C, ), fx) fx) f). Tällöin P on lineaarinen, koska ) ) ) ) afx) + bgx) af) + bg) = a fx) f) + b gx) g), kaikilla a, b K, f, g C, ). Lisäksi kuvaus on rajoitettu, sillä P f f, kaikilla f C, ). Jos f Y on fx) f) = fx) = fx) eli P f = f kaikilla f Y. Minkä avulla taas nähdään, että kuvaus on surjektio Y :lle ja P P = P eli kuvaus on projektio Y :lle.

5 e)-kohta: P : C, ) C, ), fx) fx) / f) f ) ) x + ) f ). Tällöin P f) = P f ) = eli kuvaus on hyvin määritelty. Se on myös lineaarinen, koska ) ) afx) + bgx) / af) + bg) af ) bg ) x + ) af ) bg ) ) = a fx) / f) f ) ) ) x ) f ) +b gx) / g) g ) ) ) x ) g ), kaikilla a, b K, f, g C, ). Lisäksi kuvaus on rajoitettu, sillä P f 5 f, kaikilla f C, ). Se, että kuvaus on projektio Y :lle, seuraa taas siitä, että P f = f kaikilla f Y ja siten kuvaus on surjektio Y :lle ja P P = P.