Äärelliset kunnat ja polynomien jako alkutekijöihin

TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Heidi Kananoja Äärelliset kunnat ja polynomien jako alkutekijöihin Matematiikan, tilastotieteen ja filosofian laitos Matematiikka Syyskuu 2007

Tampereen yliopisto Matematiikan, tilastotieteen ja filosofian laitos KANANOJA, HEIDI: Äärelliset kunnat ja polynomien jako alkutekijöihin Pro gradu -tutkielma, 45 s. Matematiikka Syyskuu 2007 Tiivistelmä Tutkielmassa tarkastellaan äärellisiä kuntia ja polynomeja. Päälähdeteoksena käytetään Lidlin ja Niederreiterin kirjaa Introduction to finite fields and their applications. Aluksi määritellään polynomeihin ja äärellisiin kuntiin liittyviä peruskäsitteitä kuten minimaalipolynomi, kuntalaajennus ja hajoamiskunta sekä todistetaan niiden ominaisuuksia. Näitä määritelmiä ja lauseita tarvitaan myöhemmissä luvuissa. Seuraavaksi tarkastellaan äärellisiä kuntia tarkemmin. Ensimmäisessä aliluvussa käsitellään erityisesti alkioiden lukumäärää, todistetaan äärellisten kuntien olemassaolo ja yksikäsitteisyys sekä alikuntakriteeri ja määritellään primitiivinen alkio. Toisessa aliluvussa keskitytään jaottomien polynomien yli äärellisten kuntien juuriin. Kolmannessa aliluvussa määritellään käsitteet syklotominen kunta ja polynomi sekä ykkösen juuri, ja todistetaan joitain näiden perusominaisuuksia. Seuraavassa luvussa tutkitaan tarkemmin polynomeja yli äärellisten kuntien. Ensimmäisessä aliluvussa keskitytään polynomin kertaluvun käsitteeseen ja todistetaan siihen liittyviä ominaisuuksia. Pykälän lopussa määritellään myös primitiivinen polynomi. Toisessa aliluvussa esitellään sellaisia jaottomien polynomien ominaisuuksia, joita ei tutkielmassa aikaisemmin ole käsitelty. Pykälässä tutkitaan ennen kaikkea jaottomien pääpolynomien lukumäärää ja tuloa annetussa polynomirenkaassa. Lisäksi palataan syklotomisiin polynomeihin ja tehdään yhteenveto minimaalipolynomien keskeisimmistä ominaisuuksista. Viimeinen luku keskittyy polynomien jakoon alkutekijöihin kahden algoritmin avulla. Ensimmäisen aliluvun Berlekampin algoritmi soveltuu paremmin, kun tekijöihinjako suoritetaan yli pienten äärellisten kuntien. Vastaavasti Zassenhausin algoritmi toisessa aliluvussa on käyttökelpoisempi, kun tekijöihinjako suoritetaan yli suurten äärellisten kuntien. 1

Sisältö 1 Johdanto 3 2 Peruskäsitteitä 4 2.1 Polynomit............................. 4 2.2 Kuntalaajennukset........................ 6 3 Äärelliset kunnat 13 3.1 Äärellisten kuntien ominaisuuksia................ 13 3.2 Jaottomien polynomien juuret.................. 18 3.3 Ykkösen juuret ja syklotomiset polynomit........... 19 4 Polynomit yli äärellisten kuntien 23 4.1 Polynomien kertaluku ja primitiiviset polynomit........ 23 4.2 Jaottomat polynomit....................... 29 5 Polynomien tekijöihinjako 35 5.1 Tekijöihinjako yli pienten äärellisten kuntien.......... 35 5.2 Tekijöihinjako yli suurten äärellisten kuntien.......... 41 Viitteet 45 2

1 Johdanto Ensimmäiseksi tutkielmassa määritellään polynomien ja kuntien peruskäsitteitä ja todistetaan niiden ominaisuuksia. Näitä määritelmiä ja lauseita tarvitaan myöhemmissä luvuissa. Luvussa 3 tarkastellaan äärellisiä kuntia tarkemmin. Ensimmäisessä aliluvussa käsitellään erityisesti alkioiden lukumäärää, todistetaan äärellisten kuntien olemassaolo ja yksikäsitteisyys sekä alikuntakriteeri ja määritellään primitiivinen alkio. Toisessa aliluvussa keskitytään jaottomien polynomien yli äärellisten kuntien juuriin. Tässä pykälässä todistetaan niihin liittyen monia tärkeitä ominaisuuksia. Lisäksi määritellään alkion konjugaatti. Kolmannessa aliluvussa määritellään käsitteet syklotominen kunta ja polynomi sekä ykkösen juuri. Pykälässä myös todistetaan joitain näiden perusominaisuuksia. Luvussa 4 tutkitaan tarkemmin polynomeja yli äärellisten kuntien. Ensimmäisessä aliluvussa keskitytään polynomin kertaluvun käsitteeseen ja todistetaan siihen liittyviä ominaisuuksia. Pykälän lopussa määritellään myös primitiivinen polynomi. Aliluvussa 4.2 esitellään sellaisia jaottomien polynomien ominaisuuksia, joita ei tutkielmassa aikaisemmin käsitellä. Pykälässä tutkitaan ennen kaikkea jaottomien pääpolynomien lukumäärää ja tuloa annetussa renkaassa. Lisäksi palataan syklotomisiin polynomeihin ja tehdään yhteenveto minimaalipolynomien keskeisimmistä ominaisuuksista. Viimeinen luku keskittyy polynomien jakoon alkutekijöihin kahden algoritmin avulla. Ensimmäisen aliluvun Berlekampin algoritmi soveltuu paremmin, kun tekijöihinjako suoritetaan yli pienten äärellisten kuntien. Vastaavasti Zassenhausin algoritmi toisessa aliluvussa on käyttökelpoisempi, kun tekijöihinjako suoritetaan yli suurten äärellisten kuntien. Lukijalta edellytetään kurssien Algebra I ja Algebra II tietojen tuntemista. Lisäksi vaaditaan osattavan joitakin lineaarialgebran peruskäsitteitä kuten matriisin aste ja nolla-avaruus. Päälähdeteoksena käytetään Lidlin ja Niederreiterin kirjaa Introduction to finite fields and their applications. Tutkielman alilukujen 2.1 ja 2.2 lähteenä käytetään kirjan vastaavia pykäliä 1.3 ja 1.4. Luku 3 pohjautuu lähdeteoksen pykäliin 2.1, 2.2 ja 2.4 ja vastaavasti luku 4 pykäliin 3.1 ja 3.2. Viimeisen luvun lähteenä käytetään kirjan pykäliä 4.1 ja 4.2 soveltuvin osin. Kun tutkielmassa käytetään lähteenä muuta kuin näitä Lidlin ja Niederreiterin kirjan alilukuja, niin kyseiseen lähteeseen viitataan määritelmän tai todistuksen kohdalla erikseen. 3

2 Peruskäsitteitä 2.1 Polynomit Määritelmä 2.1. Polynomi p F [x] on jaoton yli kunnan F (tai jaoton renkaassa F [x]), jos p on positiivista astetta ja yhtälöstä p = bc, missä b, c F [x], seuraa, että joko b tai c on vakiopolynomi. Muussa tapauksessa polynomi on jaollinen. Lemma 2.1. Jos jaoton polynomi p renkaassa F [x] jakaa polynomien f 1,..., f m F [x] tulon f 1 f m, niin tällöin ainakin yksi tekijöistä f j on jaollinen polynomilla p. Todistus. Koska p jakaa tulon f 1 f m, saadaan yhtälö (f 1 + (p)) (f m + (p)) = 0 + (p) tekijärenkaassa F [x]/(p), missä merkinnällä (p) tarkoitetaan p:n generoimaa pääihannetta. On tunnettua, että F [x]/(p) on kunta [6, Lause 3, s. 283], joten jollekin polynomille f j pätee, että f j + (p) = 0 + (p). Siis p jakaa polynomin f j. Lause 2.2 (Polynomin yksikäsitteinen hajotelma). Mikä tahansa positiivista astetta oleva polynomi f F [x] voidaan kirjoittaa muodossa (2.1) f = ap e 1 1 p e k k, missä a F, e 1,..., e k N ja p 1,..., p k ovat erisuuria jaottomia pääpolynomeja renkaassa F [x]. Lisäksi tämä hajotelma on tekijöiden järjestystä vaille yksikäsitteinen. Todistus. Todistetaan induktiolla polynomin asteen suhteen, että jokainen positiivista astetta oleva polynomi f F [x] voidaan esittää kaavan (2.1) muodossa. Tapaus deg(f) = 1 on triviaali, koska jokainen astetta 1 oleva polynomi renkaassa F [x] on jaoton yli kunnan F. Oletetaan sitten, että väite pätee kaikille sellaisille positiivista astetta oleville renkaan F [x] polynomeille, joiden aste on pienempi kuin n ja todistetaan, että se pätee myös asteen n polynomeille. Olkoon siis deg(f) = n. Jos f on jaoton yli kunnan F, niin väite pätee, sillä f = a(a 1 f), missä a on f:n johtava kerroin ja a 1 f on jaoton pääpolynomi renkaassa F [x]. Jos taas f on jaollinen yli kunnan F, niin voidaan kirjoittaa f = gh, missä 1 deg(g) < n, 1 deg(h) < n ja g, h F [x]. Induktio-oletuksen perusteella polynomit g ja h voidaan kirjoittaa muodossa (2.1), joten myös f voidaan esittää tässä muodossa. Todistetaan sitten hajotelman yksikäsitteisyys. Oletetaan, että polynomilla f on kaksi kaavan (2.1) hajotelmaa. Siis (2.2) f = ap e 1 1 p e k k = bq d 1 1 q dr r. Vertailemalla johtavia kertoimia saadaan a = b. Jaoton polynomi p 1 renkaassa F [x] jakaa yhtälön (2.2) oikean puolen, joten lemman 2.1 perusteella p 1 4

jakaa jonkun polynomin q j, missä 1 j r. Koska myös q j on jaoton polynomi renkaassa F [x], on oltava q j = cp 1, missä c on vakiopolynomi. Koska q j ja p 1 ovat molemmat pääpolynomeja, niin q j = p 1. Täten voidaan supistaa kaavasta (2.2) p 1 ja q j. Jatketaan samalla tavalla jäljellä olevien polynomien kanssa. Äärellisen tällaisen askeleen jälkeen saadaan, että kaksi hajotelmaa on tekijöiden järjestystä vaille identtisiä. Kaavaa (2.1) sanotaan polynomin kanoniseksi hajotelmaksi. Luvussa 5 käsitellään polynomien tekijöihinjakoalgoritmeja yli äärellisten kuntien. Keskeinen kysymys on onko annettu polynomi renkaassa F [x] jaoton vai jaollinen yli kunnan F. Tässä keskitytään erityisesti jaottomiin polynomeihin yli kunnan F p. Kun halutaan määrittää kaikki asteen n jaottomat pääpolynomit yli kunnan F p, voidaan ensiksi määrittää kaikki asteen n jaolliset pääpolynomit yli kunnan F p ja sitten karsia ne kaikkien asteen n renkaan F p [x] pääpolynomien joukosta. Jos p tai n on suuri, tämä menetelmä ei ole käyttökelpoinen. Luvussa 4.2 kehitetäänkin parempia menetelmiä. Esimerkki 2.1. Etsitään kaikki astetta 4 olevat jaottomat polynomit yli kunnan F 2 (huom. nollasta eroava polynomi renkaassa F 2 [x] on automaattisesti pääpolynomi). Astetta 4 olevia polynomeja renkaassa F 2 [x] on kaiken kaikkiaan 2 4 = 16 kappaletta. Niistä ovat ne polynomit jaollisia yli kunnan F 2, joilla on astetta 1 tai 2 oleva tekijä. Täten lasketaan ne tulot (a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + x 3 )(b 0 + x) ja (a 0 + a 1 x + x 2 )(b 0 + b 1 x + x 2 ), missä a i, b j F 2, jolloin saadaan kaikki astetta 4 olevat jaolliset polynomit yli kunnan F 2. Vertaillaan näitä polynomeja kaikkiin 16:een astetta 4 oleviin polynomeihin. Tällöin jäljelle jää jaottomat polynomit f 1 (x) = x 4 + x + 1, f 2 (x) = x 4 + x 3 + 1 ja f 3 (x) = x 4 + x 3 + x 2 + x + 1 renkaassa F 2 [x]. Määritelmä 2.2. Alkiota b F sanotaan polynomin f F [x] juureksi (tai nollakohdaksi), jos f(b) = 0. Seuraavassa lauseessa annetaan juurten ja jaollisuuden tärkeä yhteys. Lause 2.3. Alkio b F on polynomin f F [x] juuri, jos ja vain jos x b jakaa polynomin f(x). Todistus. Jakoalgoritmin perusteella f(x) = q(x)(x b) + c, missä q F [x] ja c F. Tällöin f(b) = q(b)(b b) + c = c, joten f(x) = q(x)(x b) + f(b). Väite pätee tämän yhtälön perusteella. Määritelmä 2.3. Olkoon b F polynomin f F [x] juuri. Jos k on sellainen positiivinen kokonaisluku, että f(x) on jaollinen polynomilla (x b) k, mutta ei polynomilla (x b) k+1, niin k on juuren b kertaluku. Jos k = 1, niin b on f:n yksinkertainen juuri, ja jos k 2, niin b on f:n moninkertainen juuri. 5

Lause 2.4. Olkoon f F [x] sellainen polynomi, että deg(f) = n 0. Jos b 1,..., b m F ovat f:n erisuuria juuria, joiden kertaluvut ovat k 1,..., k m, niin tulo (x b 1 ) k1 (x b m ) km jakaa polynomin f(x). Täten k 1 + +k m n, ja polynomilla f voi olla korkeintaan n erisuurta juurta kunnassa F. Todistus. Jokainen polynomi x b j, 1 j m, on jaoton yli kunnan F, joten (x b j ) k j esiintyy polynomin f kanonisessa hajotelmassa. Siis (x b 1 ) k1 (x b m ) km esiintyy f:n kanonisessa hajotelmassa, jolloin se on f:n tekijä. Asteita vertailemalla saadaan k 1 + +k m n, ja m k 1 + +k m n todistaa viimeisen väitteen. Määritelmä 2.4. Jos f(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + + a n x n F [x], niin f:n derivaatta f määritellään kaavalla f = f (x) = a 1 + 2a 2 x + + na n x n 1 F [x]. Lause 2.5. Olkoon f F [x] positiivista astetta oleva polynomi ja olkoon b F sen juuri. Tällöin b on f:n moninkertainen juuri, jos ja vain jos se on f :n juuri. Todistus (vrt. [1, s. 307]). Koska b on polynomin f juuri, niin jakoalgoritmin mukaan voidaan kirjoittaa f(x) = (x b)g(x). Tällöin f (x) = (x b)g (x) + g(x). Nyt selvästi b on f:n moninkertainen juuri, jos ja vain jos g(b) = 0. Koska f (b) = g(b), niin väite pätee. Myös polynomin jaottomuus ja se, että sillä ei ole juuria, liittyvät toisiinsa. Jos f on sellainen jaoton polynomi renkaassa F [x], että deg(f) 2, niin lauseen 2.3 perusteella polynomilla f ei ole juuria kunnassa F. Väite pätee myös toiseen suuntaan polynomeilla, joiden aste on 2 tai 3, mutta ei välttämättä korkeamman asteen polynomeilla. Lause 2.6. Polynomi f F [x], jonka aste on 2 tai 3, on jaoton renkaassa F [x], jos ja vain jos sillä ei ole juuria kunnassa F. Todistus. Ehdon välttämättömyys jo edellä todettiin. Oletetaan, että polynomilla f ei ole juuria kunnassa F. Tehdään vastaoletus, että f on jaollinen renkaassa F [x]. Tällöin voidaan kirjoittaa f = gh, missä g, h F [x] ja 1 deg(g) deg(h). Koska deg(f) = deg(g) + deg(h) 3, niin deg(g) = 1. Siis g(x) = ax+b, missä a, b F ja a 0. Täten ba 1 on polynomin g juuri ja edelleen polynomin f juuri kunnassa F, mikä on ristiriidassa oletuksen kanssa. 2.2 Kuntalaajennukset Määritellään ensiksi kunnan karakteristika, joka on tärkeä käsite kuntateoriassa. Sitä tarvitaan niin tässä pykälässä kuin myöhemmissäkin luvuissa. 6

Määritelmä 2.5 (vrt. [5, Määritelmä 4.8]). Olkoon F kunta. Alkuluku p, jolle pätee p 1 = 0 kunnassa F, on kunnan F karakteristika, ja sitä merkitään char(f ) = p. Jos tällaista lukua p ei ole olemassa, niin char(f ) = 0. Selvästi äärellisen kunnan F karakteristika on aina jokin alkuluku p, koska jos se olisi 0, niin ykkösen generoima additiivinen aliryhmä olisi kunnan F ääretön osajoukko. Määritelmä 2.6. Kunnan F osajoukkoa K, joka itse on kunta F :n laskutoimitusten suhteen, sanotaan F :n alikunnaksi. Tällöin F on kunnan K laajennus(kunta) ja F/K on kuntalaajennus. Jos F K, sanotaan, että K on kunnan F aito alikunta. Jos K on äärellisen kunnan F p, missä p on alkuluku, alikunta, niin kunnassa K on alkiot 0 ja 1. Tällöin K:n yhteenlaskun sulkeutuvuuden takia kunta K sisältää myös kaikki muut kunnan F p alkiot. Siis kunnalla F p ei ole aitoja alikuntia. Näin päästään seuraavaan käsitteeseen. Määritelmä 2.7. Kuntaa, joka ei sisällä aitoja alikuntia, sanotaan alkukunnaksi. Edellä olevan perusteella jokainen kertalukua p oleva äärellinen kunta, missä p on alkuluku, on alkukunta. Toinen esimerkki alkukunnasta on rationaalilukujen kunta Q. Kunnan F alikuntien mikä tahansa epätyhjä leikkaus on myös F :n alikunta. Jos muodostetaan kunnan F kaikkien alikuntien leikkaus, saadaan F :n alkukunta. Lause 2.7. Kunnan F alkukunta on isomorfinen joko kunnan F p tai Q kanssa sen mukaan onko kunnan F karakteristika alkuluku p vai luku 0. Todistus (vrt. [2, Lause 4.5]). Olkoon K kunnan F kaikkien alikuntien leikkaus. Oletetaan ensin, että char(f ) = 0. Tällöin alkiot n 1 F, missä n Z, ovat kaikki erisuuria ja ne muodostavat kunnan F sellaisen alirenkaan, joka on isomorfinen kokonaislukurenkaan Z kanssa. Nyt joukko { } m 1F S 1 = : m, n Z, n 0 n 1 F on sellainen kunnan F alikunta, joka on isomorfinen kunnan Q kanssa. Koska kunnan F minkä tahansa alikunnan on sisällettävä alkiot 0 ja 1, niin sen on sisällettävä myös kunta S 1. Siis S 1 K. Toisaalta koska S 1 itse on kunnan F alikunta, niin K S 1. Täten S 1 on kunnan F alkukunta. Oletetaan sitten, että char(f ) = p. Nyt joukko S 2 = {0 F, 1 F, 2 1 F,..., (p 1) 1 F } 7

on sellainen kunnan F alikunta, joka on isomorfinen kunnan F p kanssa. Jälleen koska kunnan F minkä tahansa alikunnan on sisällettävä alkiot 0 ja 1, niin sen on sisällettävä myös kunta S 2. Siis S 2 K. Toisaalta koska S 2 itse on kunnan F alikunta, niin K S 2. Täten S 2 on kunnan F alkukunta. Määritelmä 2.8. Olkoon K kunnan F alikunta ja olkoon M mikä tahansa kunnan F osajoukko. Tällöin kunta K(M) määritellään kunnan F kaikkien niiden alikuntien leikkaukseksi, jotka sisältävät sekä kunnan K että joukon M. Tätä sanotaan kunnan K laajennukseksi, joka on saatu liittämällä kuntaan K joukon M alkiot. Äärelliselle joukolle M = {θ 1,..., θ n } kirjoitetaan K(M) = K(θ 1,..., θ n ). Jos M sisältää vain yhden alkion θ F, niin sanotaan, että L = K(θ) on kunnan K yksinkertainen laajennus ja θ on kunnan L virittävä alkio yli kunnan K. Selvästi K(M) on kunnan F pienin alikunta, joka sisältää sekä kunnan K että joukon M. Määritellään seuraavaksi tärkeä laajennustyyppi. Määritelmä 2.9. Olkoon K kunnan F alikunta ja olkoon θ F. Jos θ toteuttaa epätriviaalin K-kertoimisen polynomiyhtälön eli jos a n θ n + +a 1 θ+ a 0 = 0, missä a i K ja kaikki a i :t eivät ole nollia, niin tällöin sanotaan, että θ on algebrallinen yli kunnan K. Kunnan K laajennus L on K:n algebrallinen laajennus, jos jokainen kunnan L alkio on algebrallinen yli kunnan K. Määritelmä 2.10 (vrt. [6, s. 347]). Olkoon K kunnan F alikunta. Jos θ F on algebrallinen yli kunnan K, niin f(θ) = 0 pätee jollakin nollasta eroavalla pääpolynomilla f(x) renkaassa K[x]. Pienintä astetta olevaa pääpolynomia g(x), jolla g(θ) = 0, sanotaan alkion θ minimaalipolynomiksi yli kunnan K. Alkion θ asteella yli kunnan K tarkoitetaan minimaalipolynomin g astetta. Lause 2.8. Olkoon K kunnan F alikunta ja olkoon θ F algebrallinen yli kunnan K. Tällöin alkion θ minimaalipolynomilla g(x) yli kunnan K on seuraavat ominaisuudet: (i) Minimaalipolynomi g on jaoton renkaassa K[x]. (ii) Polynomille f K[x] pätee f(θ) = 0, jos ja vain jos g jakaa polynomin f. (iii) Minimaalipolynomi g on yksikäsitteisesti määritelty. Todistus (vrt. [6, s. 347]). (i) Tehdään vastaoletus, että g(x) = h 1 (x)h 2 (x) renkaassa K[x], deg(h 1 ) < deg(g) ja deg(h 2 ) < deg(g). Tällöin h 1 (θ)h 2 (θ) = g(θ) = 0, joten h 1 (θ) = 0 tai h 2 (θ) = 0. Tämä on ristiriidassa minimaalipolynomin määritelmän kanssa. (ii) Olkoon f(θ) = 0. Käytetään jakoalgoritmia, jolloin saadaan f(x) = m(x)g(x) + r(x) renkaassa F [x], missä r(x) = 0 tai deg(r) < deg(g). Tällöin 8

r(θ) = f(θ) m(θ)g(θ) = 0, joten r(x) 0 on ristiriidassa minimaalipolynomin määritelmän kanssa. Täten r(x) = 0 ja g jakaa polynomin f. Väitteen toinen suunta on triviaali. (iii) Olkoon h toinen pienintä astetta oleva pääpolynomi, jolla h(θ) = 0. Tällöin kohdan (ii) nojalla g h, ja koska kohta (ii) pätee myös polynomille h, niin h g. Siis koska molemmat ovat pääpolynomeja, niin g = h. On syytä todeta, että sekä minimaalipolynomi että algebrallisen alkion θ aste riippuvat käsiteltävästä kunnasta K. Täten ensin on kiinnitettävä kunta K ennen kuin voidaan määrittää minimaalipolynomi tai alkion θ aste. Jos L on kunnan K laajennus, niin kuntaa L voidaan tarkastella vektoriavaruutena yli kunnan K. Kunnan L alkiot (vektorit) muodostavat Abelin ryhmän yhteenlaskun suhteen. Lisäksi jokainen vektori α L voidaan kertoa skalaarilla r K, jolloin rα L. Myös muut vektoriavaruuden ominaisuudet ovat voimassa: r(α + β) = rα + rβ, (r + s)α = rα + sα, (rs)α = r(sα) ja 1α = α, missä r, s K ja α, β L. Määritelmä 2.11. Olkoon L kunnan K laajennus. Jos L, jota nyt pidetään vektoriavaruutena yli kunnan K, on äärellisdimensioinen, niin tällöin sitä sanotaan kunnan K äärelliseksi laajennukseksi. Vektoriavaruuden L yli kunnan K dimensiota sanotaan tällöin kuntalaajennuksen L/K asteeksi ja sitä merkitään symbolilla [L : K]. Lause 2.9. Jos L on kunnan K äärellinen laajennus ja M on kunnan L äärellinen laajennus, niin tällöin M on kunnan K äärellinen laajennus ja [M : K] = [M : L][L : K]. Todistus. Merkitään [M : L] = m ja [L : K] = n. Olkoon {α 1,..., α m } kuntalaajennuksen M/L kanta ja olkoon {β 1,..., β n } kuntalaajennuksen L/K kanta. Tällöin jokainen α M on lineaarikombinaatio α = γ 1 α 1 + +γ m α m, missä γ i L, kun 1 i m. Kun kirjoitetaan jokainen γ i kannan alkioiden β j avulla, saadaan ( m m n ) m n α = y i α i = r ij β j α i = r ij β j α i, i=1 i=1 j=1 missä kertoimet r ij K. Tarvitsee enää osoittaa, että mn alkiota β j α i, missä 1 i m ja 1 j n, ovat lineaarisesti riippumattomia yli kunnan K. Oletetaan, että m n s ij β j α i = 0, i=1 j=1 missä kertoimet s ij K. Nyt ( m n ) s ij β j α i = 0, i=1 j=1 9 i=1 j=1

joten koska α i :t ovat lineaarisesti riippumattomia yli kunnan L, saadaan n s ij β j = 0, kun 1 i m. j=1 Koska β j :t ovat lineaarisesti riippumattomia yli kunnan K, niin kaikki s ij :t ovat nollia. Lause 2.10. Jokainen kunnan K äärellinen laajennus on algebrallinen yli kunnan K. Todistus. Olkoon L kunnan K äärellinen laajennus ja merkitään [L : K] = m. Olkoon lisäksi θ L. Nyt alkiot 1, θ,..., θ m ovat lineaarisesti riippuvia yli kunnan K. Täten a 0 + a 1 θ + + a m θ m = 0, kun a 0,..., a m K ja jokin a i 0. Siis θ on algebrallinen yli kunnan K. Kun tutkitaan kunnan K yksinkertaisen laajennuksen K(θ) rakennetta oletetaan, että F on kunnan K laajennus ja θ F on algebrallinen yli kunnan K. Osoittautuu, että K(θ) on äärellinen (ja siksi algebrallinen) kunnan K laajennus. Lause 2.11. Olkoon θ F astetta n oleva algebrallinen alkio yli kunnan K ja olkoon g alkion θ minimaalipolynomi yli kunnan K. Tällöin: (i) K(θ) on isomorfinen jäännösluokkarenkaan K[x]/(g) kanssa. (ii) [K(θ) : K] = n ja {1, θ,..., θ n 1 } on vektoriavaruuden K(θ) kanta yli kunnan K. (iii) Jokainen α K(θ) on algebrallinen yli kunnan K ja sen aste yli kunnan K jakaa asteen n. Todistus. (i) Määritellään kuvaus τ : K[x] K(θ), τ(f) = f(θ). Tämä on selvästi rengashomomorfismi. Nyt lauseen 2.8 perusteella ker τ = {f K[x] : f(θ) = 0} = (g). Olkoon S τ:n kuva eli S on sellaisten polynomilausekkeiden joukko arvolla θ, joiden kertoimet kuuluvat kuntaan K. Tällöin renkaiden homomorfialauseen [4, Lause 1.40, s. 14] nojalla S on isomorfinen jäännösluokkarenkaan K[x]/(g) kanssa. Koska lauseen 2.8 perusteella minimaalipolynomi g on jaoton, niin K[x]/(g) on kunta. Siis myös S on kunta. Koska K S K(θ) ja θ S, niin laajennuksen K(θ) määritelmän perusteella S = K(θ). Siis (i) pätee. (ii) Koska S = K(θ), mikä tahansa α K(θ) voidaan kirjoittaa muodossa α = f(θ) jollakin f K[x]. Jakoalgoritmin mukaan f(x) = q(x)g(x) + r(x), missä q(x), r(x) K[x] ja deg(r) < deg(g) = n. Täten α = f(θ) = q(θ)g(θ) + r(θ) = r(θ), joten α on alkioiden 1, θ,..., θ n 1 K-kertoiminen lineaarikombinaatio. Toisaalta, jos a 0 + a 1 θ + + a n 1 θ n 1 = 0 tietyillä a i K, niin polynomin h(x) = a 0 + a 1 x + + a n 1 x n 1 K[x] yksi 10

juuri on θ. Tällöin lauseen 2.8(ii) perusteella h on polynomin g monikerta. Koska deg(h) < n = deg(g), tämä on mahdollista vain jos h(x) = 0 eli jokainen a i = 0. Täten alkiot 1, θ,..., θ n 1 ovat lineaarisesti riippumattomia yli kunnan K. Siis (ii) pätee. (iii) Kohdasta (ii) seuraa, että K(θ) on kunnan K äärellinen laajennus, joten α K(θ) on algebrallinen yli kunnan K lauseen 2.10 perusteella. Lisäksi K(α) on kunnan K(θ) alikunta. Jos d on α:n aste yli kunnan K, niin (ii)-kohdan ja lauseen 2.9 nojalla n = [K(θ) : K] = [K(θ) : K(α)][K(α) : K] = [K(θ) : K(α)]d. Siis d jakaa asteen n. Kunnan K yksinkertaisen algebrallisen laajennuksen K(θ) alkiot ovat siis polynomilausekkeita arvolla θ. Mikä tahansa laajennuksen K(θ) alkio voidaan kirjoittaa yksikäsitteisessä muodossa a 0 + a 1 θ + + a n 1 θ n 1, missä a i K, kun 0 i n 1. Lauseesta 2.11 on huomattava, että siinä oletetaan, että sekä K että θ ovat isommassa kunnassa F. Tämä on tarpeellista, jotta algebrallisissa lausekkeissa, jotka sisältävät alkion θ, olisi jotain järkeä. Seuraavaksi muodostetaan yksinkertainen laajennus ilman, että tätä oletusta tarvitsee tehdä. Lause 2.12. Olkoon f K[x] jaoton yli kunnan K. Tällöin on olemassa kunnan K sellainen yksinkertainen algebrallinen laajennus, että polynomin f juuri on sen virittävä alkio. Todistus. Tarkastellaan jäännösluokkarengasta L = K[x]/(f), joka on kunta, koska f on jaoton polynomi yli kunnan K. Kunnan L alkiot ovat jäännösluokkia [h] = h + (f), missä h K[x]. Mille tahansa alkiolle a K voidaan muodostaa jäännösluokka [a], jonka määrittelee vakiopolynomi a. Jos a, b K ovat erisuuret, niin [a] [b], koska polynomin f aste on positiivinen. Kuvaus a [a] antaa isomorfismin kunnasta K kunnan L alikuntaan K, joten kunta K voidaan samastaa kuntaan K. Toisin sanoen voidaan tarkastella kuntaa L kunnan K laajennuksena. Jokaiselle polynomille h(x) = a 0 + a 1 x + + a m x m K[x] voidaan muodostaa jäännösluokka [h] = [a 0 + a 1 x + + a m x m ] = [a 0 ] + [a 1 ][x] + + [a m ][x] m = a 0 + a 1 [x] + + a m [x] m hyödyntäen jäännösluokkien laskusääntöjä ja identiteettiä [a i ] = a i. Siis jokainen kunnan L alkio voidaan kirjoittaa K-kertoimisena polynomilausekkeena arvolla [x]. Koska jokaisen kunnan, joka sisältää sekä kunnan K että jäännösluokan [x], on sisällettävä nämä polynomilausekkeet, niin L on kunnan K yksinkertainen laajennus, joka on saatu liittämällä jäännösluokka [x]. Jos f(x) = b 0 + b 1 x + + b n x n, niin f([x]) = b 0 + b 1 [x] + + b n [x] n = [b 0 + b 1 + + b n x n ] = [f] = [0]. 11

Tällöin [x] on polynomin f juuri ja L on kunnan K yksinkertainen algebrallinen laajennus. Esimerkki 2.2. Esimerkkinä edellisen lauseen menetelmästä tarkastellaan alkukuntaa F 3 ja polynomia f(x) = x 2 + x + 2 F 3 [x], joka on jaoton yli kunnan F 3. Olkoon θ polynomin f juuri. Siis θ on jäännösluokka x + (f) kunnassa L = F 3 [x]/(f). Toinen polynomin f juuri kunnassa L on 2θ + 2, koska f(2θ+2) = (2θ+2) 2 +(2θ+2)+2 = θ 2 +θ+2 = 0. Lauseen 2.11(ii) perusteella yksinkertainen algebrallinen laajennus L = F 3 (θ) sisältää yhdeksän alkiota 0, 1, 2, θ, θ + 1, θ + 2, 2θ, 2θ + 1, 2θ + 2. Edellisessä esimerkissä voidaan liittää joko polynomin f juuri θ tai juuri 2θ+2 ja silti saadaan sama kunta. Tämä tilanne voidaan yleistää seuraavasti. Lause 2.13. Olkoot α ja β jaottoman pääpolynomin f yli kunnan K kaksi juurta. Tällöin on olemassa sellainen isomorfismi τ : K(α) K(β), että τ(α) = β ja τ(c) = c kaikilla c K. Todistus (vrt. [8, s. 188]). Koska f on jaoton pääpolynomi ja f(α) = 0, niin lauseen 2.8 perusteella f on alkion α minimaalipolynomi yli kunnan K. Lisäksi lauseen 2.12 mukaan K(α) on kunnan K yksinkertainen algebrallinen laajennus. Täten lauseen 2.11(i) nojalla on olemassa isomorfismi ϕ : K(α) K[x]/(f), missä ϕ(α) = x + (f) ja ϕ(c) = c + (f) kaikilla c K. Vastaavasti on olemassa isomorfismi ψ : K(β) K[x]/(f), missä ψ(β) = x + (f) ja ψ(c) = c + (f) kaikilla c K. Tällöin yhdistetty kuvaus τ = ψ 1 ϕ on isomorfismikuvaus τ : K(α) K(β), missä τ(α) = β ja τ(c) = c kaikilla c K. Seuraavaksi annetaan laajennuskunta, johon annetun polynomin kaikki juuret kuuluvat. Määritelmä 2.12. Olkoon f K[x] positiivista astetta oleva polynomi ja olkoon F kunnan K laajennuskunta. Jos f hajoaa lineaarisiin tekijöihin renkaassa F [x], f(x) = a(x α 1 )(x α 2 ) (x α n ), missä a on f:n johtava kerroin ja α 1, α 2,..., α n F, niin sanotaan, että f hajoaa kunnassa F. Kunta F on polynomin f hajoamiskunta yli kunnan K, jos f hajoaa kunnassa F ja lisäksi f = K(α 1, α 2,..., α n ). On selvää, että polynomin f hajoamiskunta F yli kunnan K on seuraavassa merkityksessä pienin kunta, joka sisältää kaikki f:n juuret: ei ole olemassa sellaista aitoa F :n alikuntaa, joka on kunnan K laajennus, että se sisältäisi kaikki f:n juuret. 12

Lause 2.14 (Hajoamiskunnan olemassaolo ja yksikäsitteisyys). Jos K on kunta ja f on mikä tahansa positiivista astetta oleva polynomi renkaassa K[x], niin tällöin on olemassa f:n hajoamiskunta yli kunnan K. Mitkä tahansa kaksi polynomin f hajoamiskuntaa yli kunnan K ovat keskenään isomorfisia kuvauksella, joka pitää K:n alkiot kiinteinä ja kuvaa f:n juuret toisilleen. Todistus (vrt. [6, s. 355, 358]). (Olemassaolo:) Olkoon n = deg(f) 1. Todistetaan induktiolla n:n suhteen. Jos n = 1, niin K on f:n hajoamiskunta. Oletetaan, että n > 1 ja että väite pätee, kun deg(f) = n 1. Olkoon p polynomin f jaoton mooninen tekijä. Nyt lauseen 2.12 perusteella on olemassa sellainen kunnan K laajennus F, joka sisältää p:n (ja siten f:n) juuren u 1. Olkoon F 1 = K(u 1 ), missä u 1 F 1. Nyt f(x) = (x u 1 )g(x) renkaassa F 1 [x] ja deg(g) = n 1. Tällöin induktio-oletuksen nojalla on olemassa g:n hajoamiskunta F 2 F 1. Täten g(x) = a(x u 2 ) (x u n ), missä a F 1 ja u i F 2, joten F 2 = F 1 (u 2,..., u n ) = F (u 1, u 2,..., u n ) on f:n hajoamiskunta yli kunnan F. (Yksikäsitteisyys:) Olkoon K ja K kuntia ja olkoon σ : K K isomorfismikuvaus. Olkoon lisäksi f K[x] positiivista astetta oleva polynomi. Määritellään f σ K [x] seuraavasti: jos f(x) = a 0 +a 1 x+ +a n x n, a i K, niin f σ (x) = σ(a 0 ) + σ(a 1 )x + + σ(a n )x n. Jos F K on f:n hajoamiskunta ja F K on f σ :n hajoamiskunta, niin osoitetaan, että on olemassa isomorfismi F F, joka laajentaa kuvauksen σ. Olkoon n = deg(f) = deg(f σ ). Todistetaan väite induktiolla n:n suhteen. Jos n = 1, niin F = K ja F = K, joten σ itse on haluttu kuvaus. Oletetaan, että n > 1 ja että väite pätee, kun deg(f) = n 1. Olkoon u F f:n jaottoman moonisen tekijän p juuri ja olkoon v F vastaavasti p σ :n juuri. Tällöin lauseen 2.13 perusteella on olemassa isomorfismikuvaus τ : K(u) K (v), τ(u) = v. Kirjoitetaan f(x) = (x u)g(x) renkaassa K(u)[x], missä deg(g) = n 1. Jos u 1 = u, u 2,..., u n ovat f:n juuret kunnassa F, niin F = K(u)(u 2,..., u n ) ja u 2,..., u n ovat g:n juuret kunnassa F. Täten F on g:n hajoamiskunta yli kunnan K(u). Toisaalta f σ (x) = f τ (x) = (x τ(u))g τ (x) = (x v)g τ (x), joten F on g τ :n hajoamiskunta yli kunnan K (v). Nyt induktio-oletuksen nojalla on olemassa isomorfismi F F, joka laajentaa kuvauksen τ ja siten myös kuvauksen σ. Täten hajoamiskunnat ovat yksikäsitteisiä isomorfiaa vaille. 3 Äärelliset kunnat 3.1 Äärellisten kuntien ominaisuuksia Kunnat F p ovat tärkeitä yleisessä kuntateoriassa, koska jokainen kunta, jonka karakteristika on alkuluku p, sisältää lauseen 2.7 perusteella sellaisen alikunnan, joka on isomorfinen kunnan F p kanssa. Täten jokaista kuntaa, jonka 13

karakteristika on p, voidaan pitää kunnan F p laajennuksena. Tämä havainto yhdessä sen tiedon kanssa, että jokaisen äärellisen kunnan karakteristika on alkuluku, on olennaista äärellisten kuntien luokittelulle. Ensiksi osoitetaan yksinkertainen ehto äärellisen kunnan alkioiden lukumäärälle. Lemma 3.1. Olkoon F äärellinen kunta sisältäen q-alkioisen alikunnan K. Tällöin kunnassa F on q m alkiota, missä m = [F : K]. Todistus. Kunta F on vektoriavaruus yli kunnan K ja, koska F on äärellinen, vektoriavaruus on äärellisdimensioinen. Jos [F : K] = m, niin kunnalla F on m:n alkion b 1, b 2,..., b m kanta yli kunnan K. Tällöin jokainen kunnan F alkio voidaan esittää yksikäsitteisesti muodossa a 1 b 1 + a 2 b 2 + + a m b m, missä a 1, a 2,..., a m K. Koska jokainen a i voi saada q arvoa, niin kunnalla F on täsmälleen q m alkiota. Lause 3.2. Olkoon F äärellinen kunta. Olkoon alkuluku p F :n karakteristika ja olkoon n F :n aste yli sen alkukunnan. Tällöin kunnassa F on p n alkiota. Todistus. Koska F on äärellinen kunta, sen karakteristika on alkuluku p. Tällöin lauseen 2.7 perusteella F :n alkukunta K on isomorfinen F p :n kanssa, joten siinä on p alkiota. Nyt lemman 3.1 perusteella kunnassa F on p n alkiota. Alkukunnista F p voidaan muodostaa muita äärellisiä kuntia käyttäen aliluvussa 2.2 kuvattua juurten virittämistä. Jos f F p [x] on jaoton astetta n oleva polynomi yli kunnan F p, niin liittämällä f:n juuri kuntaan F p saadaan äärellinen p n alkioinen kunta. Kuitenkin tässä vaiheessa ei ole selvää onko jokaiselle positiiviselle kokonaisluvulle n olemassa jaoton astetta n oleva polynomi renkaassa F p [x]. Jotta voidaan osoittaa, että jokaiselle alkuluvulle p ja jokaiselle n N on olemassa äärellinen p n -alkioinen kunta, todistetaan ensin seuraavat tulokset. Lause 3.3. Olkoon F kunta, jonka karakteristika on alkuluku p. Tällöin kun a, b F ja n N. (a + b) pn = a pn + b pn ja (a b) pn = a pn b pn, Todistus (vrt. [4, s. 16]). Hyödynnetään kaavaa ( ) p p(p 1) (p i + 1) = 0 (mod p) i 1 2 i kaikilla i Z, missä 0 < i < p. Tämä seuraa tiedosta, että ( p i) on kokonaisluku, ja havainnosta, että tekijää p osoittajassa ei voida supistaa. Nyt binomilauseen perusteella (a + b) p = a p + ( p 1 ) a p 1 b + + 14 ( ) p ab p 1 + b p = a p + b p, p 1

joten induktiolla n:n suhteen voidaan todistaa lauseen ensimmäinen yhtäsuuruus. Tämän jälkeen sitä voidaan käyttää lauseen toisen yhtälön todistamiseen, jolloin saadaan mistä toinen yhtälö seuraa. a pn = ((a b) + b) pn = (a b) pn + b pn, Lemma 3.4. Jos F on äärellinen q-alkioinen kunta, niin jokainen a F toteuttaa yhtälön a q = a. Todistus. Jos a = 0, niin yhtälö a q = a on triviaali. Kunnan F nollasta eroavat alkiot muodostavat kertalukua q 1 olevan ryhmän kertolaskun suhteen. Olkoon ord(a) = m, jolloin a m = 1. Nyt Lagrangen lauseen [6, Lause 2, s. 130] perusteella m (q 1), joten q 1 = km, missä k Z. Täten a q 1 = a km = (a m ) k = 1 k = 1 kaikilla a F ja a 0. Siis a q = a. Lemma 3.5. Olkoon F äärellinen q-alkioinen kunta ja olkoon K sen alikunta. Tällöin renkaan K[x] polynomi x q x hajoaa tekijöihin renkaassa F [x] siten, että x q x = a F(x a), ja F on polynomin x q x hajoamiskunta yli kunnan K. Todistus. Astetta q olevalla polynomilla x q x on enintään q juurta kunnassa F. Lemman 3.4 perusteella tiedetään q sellaista juurta, nimittäin kunnan F kaikki alkiot. Täten annettu polynomi hajoaa kunnassa F väitetyllä tavalla eikä se voi hajota missään pienemmässä kunnassa. Nyt edeltäviä lauseita apuna käyttäen voidaan todistaa tärkeä lause äärellisten kuntien olemassaolosta ja yksikäsitteisyydestä. Lause 3.6 (Äärellisten kuntien olemassaolo ja yksikäsitteisyys). Jokaiselle alkuluvulle p ja jokaiselle positiiviselle kokonaisluvulle n on olemassa sellainen äärellinen kunta, missä on p n alkiota. Jokainen äärellinen kunta, missä q = p n on alkioiden lukumäärä, on isomorfinen polynomin x q x hajoamiskunnan kanssa yli kunnan F p. Todistus. (Olemassaolo:) Olkoon x q x polynomi renkaassa F p [x], missä q = p n, ja olkoon F sen hajoamiskunta yli kunnan F p. Tällä polynomilla on q erisuurta juurta kunnassa F, koska sen derivaatta on qx q 1 1 = 1 renkaassa F p [x], jolloin sillä ei ole yhteisiä juuria polynomin x q x kanssa (vrt. Lause 2.5). Olkoon S = {a F : a q a = 0}. Nyt S on F :n alikunta, sillä: (i) S sisältää alkiot 0 ja 1; (ii) jos a, b S, niin lauseen 3.3 perusteella (a b) q = a q b q = a b, joten a b S; (iii) jos a, b S ja b 0, niin (ab 1 ) q = a q b q = ab 1, joten ab 1 S. Toisaalta polynomi x q x hajoaa 15

kunnassa S, koska S sisältää kaikki sen juuret. Siis F = S. Koska q = p n on S:n alkioiden lukumäärä, F on äärellinen q-alkioinen kunta. (Yksikäsitteisyys:) Olkoon F äärellinen kunta, missä alkoiden lukumäärä on q = p n. Tällöin lauseen 3.2 perusteella p on kunnan F karakteristika, joten F p on F :n alikunta. Lemman 3.5 mukaan F on polynomin x q x hajoamiskunta yli kunnan F p. Täten yksikäsitteisyys seuraa hajoamiskuntien yksikäsitteisyydestä (isomorfiaa vaille), joka todettiin lauseessa 2.14. Nyt lauseen 3.6 perusteella voidaan siis tarkastella q-alkioista äärellistä kuntaa yksikäsitteisesti. Merkitään tätä kuntaa symbolilla F q, missä siis q on kunnan F q karakteristikan p potenssi. Lause 3.7 (Alikuntakriteeri). Olkoon F q äärellinen kunta, missä q = p n on alkioiden lukumäärä. Tällöin jokainen kunnan F q alikunta on kertalukua p m, missä m on n:n positiivinen jakaja. Kääntäen jos m on n:n positiivinen jakaja, niin kunnalla F q on täsmälleen yksi p m -alkioinen alikunta. Todistus. On selvää, että kunnan F q alikunta K on kertalukua p m jollakin positiivisella kokonaisluvulla m n. Lemman 3.1 perusteella q = p n on luvun p m potenssi, joten m on välttämättä n:n jakaja. Kääntäen jos m on n:n positiivinen jakaja, niin tällöin p m 1 jakaa luvun p n 1, jolloin x pm 1 1 jakaa polynomin x pn 1 1 renkaassa F p [x]. Siis x pm x jakaa polynomin x pn x = x q x renkaassa F p [x]. Täten jokainen polynomin x pm x juuri on polynomin x q x juuri, jolloin se kuuluu kuntaan F q. Siis F q sisältää alikuntana polynomin x pm x hajoamiskunnan yli kunnan F p. Lauseen 3.6 perusteella tällaisen hajoamiskunnan kertaluku on p m. Jos olisi kaksi erisuurta kertaluvun p m hajoamiskuntaa kunnassa F q, niin ne yhdessä sisältäisivät polynomin x pm x juuria kunnassa F q enemmän kuin p m kappaletta, mikä olisi selvä ristiriita. Lauseen 3.7 todistus osoittaa, että yksikäsitteinen kertalukua p m oleva kunnan F p n alikunta, missä m on n:n positiivinen jakaja, koostuu täsmälleen polynomin x pm x F p [x] juurista kunnassa F p n. Merkitään symbolilla F q äärellisen kunnan F q nollasta eroavien alkioiden multiplikatiivista ryhmää eli yksikköryhmää. Seuraava tulos antaa tämän ryhmän hyödyllisen ominaisuuden. Lause 3.8. Jokaisen äärellisen kunnan F q yksikköryhmä F q on syklinen. Todistus. Voidaan olettaa, että q 3. Olkoon h = p r 1 1 p r 2 2 p rm m ryhmän F q kertaluvun h = q 1 alkutekijähajotelma. Jokaisella indeksillä i, missä 1 i m, polynomilla x h/p i 1 on enintään h/p i juurta kunnassa F q. Koska h/p i < h, niin kunnassa F q on olemassa nollasta eroavia alkioita, jotka eivät ole tämän polynomin juuria. Olkoon a i tällainen alkio ja olkoon b i = a h/pr i i i. 16

Nyt b pr i i i = 1, joten b i :n kertaluku on luvun p r i i missä 0 s i r i. Toisaalta b pr i 1 i i = a h/p i i 1, tekijä ja on siksi muotoa p s i i, joten alkion b i kertaluku on p r i i. Väitetään, että alkion b = b 1b 2 b m kertaluku on h. Todistetaan tämä epäsuorasti ja tehdään vastaoletus, että alkion b kertaluku on h:n aito tekijä. Tällöin se on ainakin yhden kokonaisluvun h/p i, missä 1 i m, tekijä. Olkoon tämä luku h/p 1. Tällöin 1 = b h/p 1 = b h/p 1 1 b h/p 1 2 b h/p 1 m. Nyt jos 2 i m, niin p r i i jakaa luvun h/p 1. Täten b h/p 1 i = 1, joten b h/p 1 1 = 1. Nyt alkion b 1 kertaluku jakaa luvun h/p 1, mikä on mahdotonta, sillä alkion b 1 kertaluku on p r 1 1. Siis F q on syklinen ryhmä, jonka alkio b generoi. Määritelmä 3.1. Syklisen ryhmän F q generoivaa alkiota sanotaan kunnan F q primitiiviseksi alkioksi. Määritellään Eulerin funktio φ(n) kaavalla φ(n) = 1. 0 k<n syt(k,n)=1 Toisin sanoen Eulerin funktio kertoo niiden lukua n N pienempien positiivisten kokonaislukujen lukumäärän, jotka ovat n:n kanssa keskenään jaottomia. On tunnettua, että kertalukua m olevalla äärellisellä syklisellä ryhmällä on φ(m) generaattoria [4, Lause 1.15(v), s. 7]. Täten F q sisältää φ(q 1) primitiivistä alkiota. Primitiivisten alkioiden olemassaolon avulla voidaan todistaa seuraava lause, jonka seurauksena jokaista äärellistä kuntaa voidaan pitää sen alkukunnan yksinkertaisena algebrallisena laajennuksena. Lause 3.9. Olkoon F q äärellinen kunta ja olkoon F r äärellinen laajennuskunta. Tällöin F r on kunnan F q yksinkertainen algebrallinen laajennus ja jokainen kunnan F r primitiivinen alkio voi toimia kunnan F r virittävänä alkiona yli kunnan F q. Todistus. Olkoon ζ kunnan F q primitiivinen alkio. Selvästi F q (ζ) F r. Toisaalta F q (ζ) sisältää nolla-alkion ja kaikki alkion ζ potenssit, joten se sisältää kaikki kunnan F r alkiot. Siis F r = F q (ζ). Korollaari 3.10. Jokaiselle äärelliselle kunnalle F q ja jokaiselle positiiviselle kokonaisluvulle n on olemassa jaoton astetta n oleva polynomi renkaassa F q [x]. Todistus. Olkoon F r sellainen kunnan F q laajennuskunta, että sen kertaluku on q n. Täten [F r : F q ] = n. Lauseen 3.9 perusteella F r = F q (ζ) jollakin ζ F r. Tällöin lauseiden 2.8(i) ja 2.11(ii) mukaan alkion ζ minimaalipolynomi yli kunnan F q on jaoton astetta n oleva polynomi renkaassa F q [x]. 17

3.2 Jaottomien polynomien juuret Tässä aliluvussa kerätään tietoa jaottoman polynomin yli äärellisen kunnan juurten joukosta. Lemma 3.11. Olkoon f F q [x] jaoton polynomi yli äärellisen kunnan F q ja olkoon α f:n juuri F q :n laajennuskunnassa. Oletetaan lisäksi, että h F q [x]. Tällöin h(α) = 0, jos ja vain jos f jakaa polynomin h. Todistus. Olkoon a f:n johtava kerroin ja olkoon g(x) = a 1 f(x). Nyt g on sellainen jaoton pääpolynomi renkaassa F q [x], että g(α) = 0. Täten määritelmän 2.10 perusteella se on α:n minimaalipolynomi yli kunnan F q. Loppu seuraa lauseesta 2.8(ii). Lemma 3.12. Olkoon f F q [x] jaoton astetta m oleva polynomi yli kunnan F q. Tällöin f(x) jakaa polynomin x qn x, jos ja vain jos m jakaa luvun n. Todistus. Oletetaan, että f(x) jakaa polynomin x qn x. Olkoon α polynomin f juuri f:n hajoamiskunnassa yli kunnan F q. Tällöin α qn = α, joten α F q n. Siis F q (α) on kunnan F q n alikunta. Mutta koska [F q (α) : F q ] = m ja [F q n : F q ] = n, niin lauseen 2.9 perusteella m jakaa luvun n. Oletetaan kääntäen, että m jakaa luvun n. Tällöin lauseen 3.7 perusteella F q n sisältää kunnan F q m alikuntana. Jos α on polynomin f juuri f:n hajoamiskunnassa yli kunnan F q, niin [F q (α) : F q ] = m, joten F q (α) = F q m. Koska α F q n, niin α qn = α. Siis α on polynomin x qn x F q [x] juuri. Nyt lemman 3.11 perusteella f(x) jakaa polynomin x qn x. Lause 3.13. Jos f on jaoton astetta m oleva polynomi renkaassa F q [x], niin sillä on juuri α kunnassa F q m. Lisäksi kaikki f:n juuret ovat yksinkertaisia ja ne ovat kunnan F q m m erisuurta alkiota α, α q, α q2,..., α qm 1. Todistus. Olkoon α polynomin f juuri f:n hajoamiskunnassa yli kunnan F q. Tällöin [F q (α) : F q ] = m, joten F q (α) = F q m ja erityisesti α F q m. Seuraavaksi osoitetaan, että jos β F q m on f:n juuri, niin myös β q on sen juuri. Kirjoitetaan f(x) = a m x m + +a 1 x+a 0, missä a i F q jokaisella 0 i m. Nyt lemman 3.4 ja lauseen 3.3 perusteella saadaan f(β q ) = a m β qm + + a 1 β q + a 0 = a q mβ qm + + a q 1β q + a q 0 = (a m β m + + a 1 β + a 0 ) q = f(β) q = 0. Siis alkiot α, α q, α q2,..., α qm 1 ovat polynomin f juuria. Todistetaan vielä, että nämä alkiot ovat erisuuria. Tehdään vastaoletus, että α qj = α qk joillakin kokonaisluvuilla j ja k, missä 0 j < k m 1. Tällöin α qm k+j = α qm = α. Nyt lemmasta 3.11 seuraa, että f(x) jakaa polynomin x qm k+j x. Tämä on mahdollista lemman 3.12 mukaan vain jos m jakaa luvun m k + j. Mutta koska 0 < m k + j < m, niin se on mahdotonta. 18

Korollaari 3.14. Olkoon f jaoton astetta m oleva polynomi renkaassa F q [x]. Tällöin F q m on f:n hajoamiskunta yli kunnan F q. Todistus. Lauseen 3.13 perusteella f hajoaa kunnassa F q m. Lisäksi polynomin f juurelle α kunnassa F q m pätee F q (α, α q, α q2,..., α qm 1 ) = F q (α) = F q m, missä toinen yhtäsuuruus saadaan lauseen 3.13 todistuksesta. Seuraavaksi nimetään alkiot, jotka esiintyivät lauseessa 3.13. Nyt ei ole väliä onko α F q m jaottoman astetta m olevan polynomin renkaassa F q [x] juuri vai ei. Määritelmä 3.2. Olkoon F q m kunnan F q laajennus ja olkoon α F q m. Tällöin alkioita α, α q, α q2,..., α qm 1 sanotaan α:n konjugaateiksi kunnan F q suhteen. Esimerkki 3.1. Olkoon α F 16 polynomin f(x) = x 4 + x + 1 F 2 [x] juuri. Tällöin α:n konjugaatit kunnan F 2 suhteen ovat α, α 2, α 4 = α + 1 ja α 8 = α 2 + 1. Vastaavasti alkion α konjugaatit kunnan F 4 suhteen ovat α ja α 4 = α + 1. Alkion α F q m konjugaatit kunnan F q suhteen ovat erisuuria, jos ja vain jos α:n minimaalipolynomi yli kunnan F q on astetta m. Muutoin tämän minimaalipolynomin aste d on m:n aito tekijä. Tällöin α:n konjugaatit kunnan F q suhteen ovat erisuuret alkiot α, α q, α q2,..., α qd 1, missä jokainen on toistettu m/d kertaa. Lemma 3.15. Kertalukua m olevassa äärellisessä syklisessä ryhmässä a alkio a k generoi astetta m/ syt(k, m) olevan aliryhmän. Todistus (vrt. [4, s. 7]). Olkoon d = syt(k, m). Syklisen ryhmän a k kertaluku on pienin sellainen positiivinen kokonaisluku n, että a kn = 1. Tämä yhtälö pätee, jos ja vain jos m jakaa tulon kn tai yhtäpitävästi m/d jakaa luvun n. Pienin tällainen positiivinen kokonaisluku on n = m/d. Lause 3.16. Alkion α F q konjugaateilla kunnan F q minkä tahansa alikunnan suhteen on sama kertaluku ryhmässä F q. Todistus. Lauseen 3.8 perusteella F q on syklinen ryhmä. Täten koska jokainen F q :n karakteristikan potenssi on keskenään jaoton F q:n kertaluvun q 1 kanssa, niin tulos seuraa lemmasta 3.15. 3.3 Ykkösen juuret ja syklotomiset polynomit Tässä aliluvussa tarkastellaan polynomin x n 1, missä n N, hajoamiskuntaa yli mielivaltaisen kunnan K. Tällöin saadaan määriteltyä käsitteet ykkösen juuri ja syklotominen polynomi, joita tarvitaan tutkielmassa myöhemminkin. 19

Määritelmä 3.3. Olkoon n positiivinen kokonaisluku. Polynomin x n 1 hajoamiskunta yli kunnan K on n:s syklotominen kunta yli kunnan K ja sitä merkitään K (n). Polynomin x n 1 juuret kunnassa K (n) ovat ykkösen n:nsiä juuria yli kunnan K. Kaikkien näiden juurien joukkoa merkitään symbolilla E (n). Tässä tutkielmassa keskitytään äärellisiin kuntiin. Ykkösen juurien perusominaisuudet pätevät kuitenkin kaikilla kunnilla. Joukko E (n) määritetään n:n ja kunnan K karakteristikan suhteella kuten seuraava lause osoittaa. Kun tässä aliluvussa viitataan kunnan K karakteristikaan p, sallitaan siis myös tapaus p = 0. Lause 3.17. Olkoon n positiivinen kokonaisluku ja olkoon K kunta, jonka karakteristika on p. Tällöin: (i) Jos p ei jaa lukua n, niin E (n) on kertalukua n oleva syklinen ryhmä kunnan K (n) kertolaskun suhteen. (ii) Jos p jakaa luvun n, niin kirjoitetaan n = mp e, missä m ja e ovat positiivisia kokonaislukuja ja m ei ole jaollinen luvulla p. Tällöin K (n) = K (m) ja E (n ) = E (m). Lisäksi polynomin x n 1 juuret kunnassa K (n) ovat joukon E (m) m alkiota ja jokaisen juuren kertaluku on p e. Todistus. (i) Tapaus n = 1 on triviaali. Olkoon n 2. Tällöin polynomilla x n 1 ja sen derivaatalla nx n 1 ei ole yhteisiä juuria, sillä derivaatalla nx n 1 on vain juuri 0 kunnassa K (n). Täten lauseen 2.5 perusteella polynomilla x n 1 ei voi olla moninkertaisia juuria, joten joukossa E (n) on n alkiota. Nyt jos ζ, η E (n), niin (ζη 1 ) n = ζ n (η n ) 1 = 1. Siis ζη 1 E (n). Tästä seuraa, että E (n) on multiplikatiivinen ryhmä. Olkoon n = p e 1 1 p e 2 2 p et t luvun n alkutekijähajotelma. Tällöin voidaan osoittaa samoin perustein kuin lauseen 3.8 todistuksessa, että jokaisella indeksillä i, missä 1 i t, on olemassa sellainen alkio α i E (n), että seuraavat ominaisuudet pätevät: alkio α i ei ole polynomin x n/p i 1 juuri, luvun β i = α n/pe i i i on syklinen ryhmä generaattorinaan β = β 1 β 2 β t. kertaluku on p e i i ja E (n) (ii)väite seuraa suoraan yhtälöstä x n 1 = x mpe 1 = (x m 1) pe ja kohdasta (i). Määritelmä 3.4. Olkoon K kunta, jonka karakteristika on p, ja olkoon n sellainen positiivinen kokonaisluku, joka ei ole jaollinen luvulla p. Tällöin syklisen ryhmän E (n) generaattori on ykkösen primitiivinen n:s juuri yli kunnan K. Koska kertalukua n olevalla äärellisellä syklisellä ryhmällä on φ(n) generaattoria, niin on olemassa täsmälleen φ(n) kappaletta määritelmän 3.4 ehtojen mukaisia ykkösen eri primitiivisiä n:nsiä juuria yli kunnan K. Jos ζ on yksi niistä, niin ykkösen kaikki primitiiviset n:nnet juuret yli kunnan K 20

ovat potenssit ζ s, missä 1 s n ja syt(s, n) = 1. Polynomilla, jonka juuret ovat täsmälleen ykkösen primiitiviset n:nnet juuret yli kunnan K, on tärkeä merkitys. Määritelmä 3.5. Olkoon K kunta, jonka karakteristika on p, ja olkoon n sellainen positiivinen kokonaisluku, joka ei ole jaollinen luvulla p. Olkoon lisäksi ζ ykkösen primitiivinen n:s juuri yli kunnan K. Tällöin polynomi Q n (x) = n s=1 syt(s,n)=1 on n:s syklotominen polynomi yli kunnan K. (x ζ s ) Polynomin Q n (x) aste on φ(n), ja sen kertoimet kuuluvat n:nteen syklotomiseen kuntaan yli kunnan K. Yksinkertainen todistus osoittaa, että ne itse asiassa sisältyvät kunnan K alkukuntaan. Seuraavassa lauseessa merkinnällä d n tarkoitetaan tuloa, joka käy läpi luonnollisen luvun n kaikki positiiviset jakajat d. Lause 3.18. Olkoon K kunta, jonka karakteristika on p, ja olkoon n sellainen positiivinen kokonaisluku, joka ei ole jaollinen luvulla p. Tällöin: (i) Yhtälö x n 1 = d n Q d(x) pätee. (ii) Polynomin Q n (x) kertoimet kuuluvat kunnan K alkukuntaan tai, jos kunnan K alkukunta on rationaalilukujen kunta, niin kertoimet kuuluvat kokonaislukujen renkaaseen Z. Todistus. (i) (vrt. [6, s. 520]) Olkoon ζ ykkösen primitiivinen n:s juuri yli kunnan K. Jos d n, niin ykkösen primitiiviset d:nnet juuret ovat täsmälleen ne syklisen ryhmän E (n) alkiot, joiden kertaluku on d. Käänteisesti jokainen ryhmän E (n) alkio on ykkösen primitiivinen d:s juuri täsmälleen yhdellä n:n positiivisella jakajalla d. Täten n x n 1 = ζ s=1(x s ) = d n d s=1 syt(s,d)=1 (x ζ s ) = d n Q d (x). (ii) Huomataan, että Q n (x) on pääpolynomi ja todistetaan väite induktiolla n:n suhteen. Kun n = 1, saadaan Q 1 (x) = x 1, jolloin väite selvästi pätee. Olkoon nyt n > 1, ja oletetaan, että väite pätee kaikilla polynomeilla Q d (x), missä 1 d < n. Tällöin saadaan kohdan (i) perusteella, että Q n (x) = (x n 1)/f(x), missä f(x) = d n,d<n Q d(x). Induktio-oletuksen nojalla f(x) on sellainen pääpolynomi, että sen kertoimet kuuluvat kunnan K alkukuntaan tai renkaaseen Z, jos kunnan K karakteristika on 0. Laskemalla jakokulmassa osamäärä (x n 1)/f(x) nähdään, että polynomin Q n (x) kertoimet kuuluvat kunnan K alkukuntaan tai vastaavasti renkaaseen Z. 21

Esimerkki 3.2. Olkoon r alkuluku ja olkoon k N. Tällöin koska Q r k(x) = 1 + x rk 1 + x 2rk 1 + + x (r 1)rk 1, Q r k(x) = x rk 1 Q 1 (x)q r (x) Q r k 1(x) = xrk 1 x rk 1 1 lauseen 3.18(i) perusteella. Jos k = 1, saadaan Q r (x) = 1+x+x 2 + +x r 1. Ekplisiittinen lauseke n:nnelle syklotomiselle polynomille yleistäen esimerkin 3.2 polynomin Q r k kaavan annetaan aliluvussa 4.2. Äärellisten kuntien sovelluksissa on hyödyllistä tietää joitain syklotomisten kuntien ominaisuuksia. Lause 3.19. Syklotominen kunta K (n) on kunnan K yksinkertainen algebrallinen laajennus. Lisäksi: (i) Jos K = Q, niin syklotominen polynomi Q n on jaoton yli kunnan K ja [K (n) : K] = φ(n). (ii) Jos K = F q, missä syt(q, n) = 1, ja d on pienin sellainen kokonaisluku, jolle pätee kongruenssi q d 1 (mod n), niin Q n hajoaa φ(n)/d erisuureen jaottomaan astetta d olevaan pääpolynomiin renkaassa K[x]. Tällöin K (n) on minkä tahansa tällaisen jaottoman tekijän hajoamiskunta yli kunnan K ja [K (n) : K] = d. Todistus. Jos on olemassa ykkösen primitiivinen n:s juuri ζ yli kunnan K, niin selvästi K (n) = K(ζ). Muulloin on sellainen tilanne, joka kuvailtiin lauseessa 3.17(ii). Tällöin K (n) = K (m), joten väite jälleen pätee. Mitä tulee jäljellä oleviin väitteisiin, todistetaan vain kohta (ii), joka on tärkeä tapaus tässä tutkielmassa. Olkoon η ykkösen primitiivinen n:s juuri yli kunnan F q. Tällöin η F q k, jos ja vain jos η qk = η (yhtälö on yhtäpitävä kongruenssin q k 1 (mod n) kanssa). Pienin positiivinen kokonaisluku, jolla tämä pätee on k = d, joten η on kunnassa F q d, mutta ei sen aidossa alikunnassa. Täten juuren η minimaalipolynomi yli kunnan F q on astetta d, ja koska η on polynomin Q n mielivaltainen juuri, seuraa haluttu tulos. Esimerkki 3.3. Olkoon K = F 11 ja olkoon Q 12 (x) = x 4 x 2 +1 F 11 [x]. Nyt lauseen 3.19(ii) merkinnöillä d = 2. Siis Q 12 (x) hajoaa muotoon Q 12 (x) = (x 2 + 5x + 1)(x 2 5x + 1), missä molemmat tekijöistä ovat jaottomia polynomeja renkaassa F 11 [x]. Syklotominen kunta K (12) on yhtä kuin F 121. Syklotomisten kuntien ja äärellisten kuntien välillä on vielä muitakin yhteyksiä kuten seuraava lause osoittaa. Lause 3.20. Äärellinen kunta F q on (q 1):s syklotominen kunta yli minkä tahansa sen alikunnan. 22