Luento 3. Millerin indeksit Kidevirheet Röntgendiffraktio Elastisuusteoria

Luento 3 Millerin indeksit Kidevirheet Röntgendiffraktio Elastisuusteoria

Kidesuunnat Kidesuuntien määrittäminen kuutiollisessa kiteessä: 1) valitaan suorakulmaiset koordinaattiakselit kiteen symmetrian mukaisesti ja 2) tietyn vektorin suunta voidaan tällöin ilmaista kolmella luvulla, jotka merkitään hakasulkuihin. x z y Ekvivalentit (saman symmetrian) suunnat merkitään (esimerkiksi 100- sunnat): [110] [111] [111] 100 100, 010, 001, 100, 0 10, 00 1

Kidetasot Kuinka määritellään kidetasot? Noudatetaan seuraavaa algoritmia (kuutiolliselle kiteelle): 1) Piirretään hilaan mukautuvat akselit x, y, z (origo hilapisteessä, akselit atomirivien mukaisesti). 2) Etsitään tason ja akselien leikkauspisteet. 3) Otetaan leikkauspisteistä käänteisluvut. 4) Lavennetaan kaikki samalla luvulla, jotta saadaan vain kokonaislukuja. Nämä ovat ns. tason Millerin indeksit (h k l).

Millerin indeksit 1 Esimerkki. Vaiheet 1 ja 2: tason ja akselien leikkauspisteet. Saadaan joukko (3 2 2). z 2 x 3 2 y

Millerin indeksit 2 Esimerkki. Vaihe 3. Otetaan käänteisluvut. Saadaan (1/3 1/2 1/2). z 2 x 3 2 y

Millerin indeksit 3 Esimerkki. Vaihe 4. Lavennetaan x 6. Saadaan (2 3 3). z 2 x 3 2 y

Millerin indeksit 4 Lisäesimerkkejä. Samanarvoiset tasot/pinnat (esim. 100): 100 100, 010, 001, 100, 010, 001

Lisää esimerkkejä suuntia kuutiollisessa kiteessä: tasoja kuutiollisessa kiteessä:

Kidevirheet Käytännössä materiaalit eivät koskaan ole täydellisiä. Kidevirheillä on suuri vaikutus aineen fysikaalisiin ominaisuuksiin. Kidevirheet voidaan jakaa niiden dimensioiden perusteella 1) Pistevirheisiin (0-D) 2) Viivamaisiin virheisiin (1-D) 3) Tasomaisiin virheisiin (2-D) 4) Tilavuusvirheisiin (3-D)

Pistevirheet Erilaisia pistemäisiä kidevirheitä: 1) Vakanssi 2) Itseisvälisija-atomi 3) Epäpuhtausvälisija-atomi 4) Epäpuhtausatomi (pieni) hilapaikalla (korvausatomi) 5) Epäpuhtausatomi (iso) Lisäksi jos hilassa on luonnollisesti useampia alkuaineita, niin hilassa voi esiintyä anti-site virhe. Esim. galliumarsenidissa gallium voi olla arseenin hilapaikalla Ga As.

Kompleksit ja jännityskentät Tietyn tyyppisiä epäpuhtausatomeita (donorit ja akseptorit) seostetaan kiteeseen tarkoituksellisesti, jotta aineelle saadaan toivotut sähköiset ja optiset ominaisuudet. Pistevirheet voivat myös kasaantua ja muodostaa komplekseja tai klustereita. Pistemäisten virheiden vaikutus on perustuu usein jännityskenttään, joka syntyy niiden ympärille (esim. kuva alla). distortion of planes Vacancy vakanssi distortion of planes selfinterstitial itseisvälisija

Dislokaatiot Viivamaiset virheet (1-D) ovat yleensä dislokaatioita. Kuvassa särmädislokaatio (vas.) ja ruuvidislokaatio (oik.). Dislokaatiot ovat yleensä hyvin haitallisia heikentäen sähköisiä ja optisia ominaisuuksia, sekä aiheuttaen epäpuhtauksien voimistunutta diffuusiota.

Taso- ja tilavuusvirheet Esimerkkejä tasovirheistä (2-D) ovat raerajat monikiteisessä aineessa (kuva alla vas.), APD-rajat (anti-phase domain, alla oik.), jne. Esimerkkejä tilavuusvirheistä (3-D) ovat esim. huokoset (tyhjä tilat), amorfiset alueet, epäpuhtauksien kertymät, jne. grain boundaries

Röntgendiffraktio Röntgendiffraktio kiteestä havaittiin ensimmäistä kertaa vuonna 1912 (von Laue).

Braggin esitys Säteilyn heijastuminen kahdesta yhdensuuntaisesta tasosta, joiden väli on d. Säteiden matkaero on 2d sin Konstruktiiviseen interferenssiin tämän täytyy olla aallonpituuden monikerta 2dsin m Tämä on ns. Braggin ehto. d sin d sin sin AB d

von Laue -esitys Yleisesti tuleva sm-aalto pisteessä r ikr Rit E r, t Heijastunut aalto kohti detektoria Intensiteetti on e,, ( ) ik R E R t E r t r e r i t i k R k R ( ) i k k e r e r e it Summataan koko kiteen kontribuutio it E R, t e ( r ) e i k k r dv V ( ) ik I K r e r dv, K k k V 2 19

Varaustiheys Kiteen varaustiheys voidaan esittää Fourier-sarjana (1-dimensioinen esimerkki alla). i2 x n nx a ne g 2 n a

Laue-ehto Kiteen varaustiheys Fourier-sarjana kolmessa dimensiossa on (G käänteishilavektori) r e G jolloin heijastunut intensiteetti on Konstruktiivinen interferenssi, kun Tämä on ns. Laue-ehto. G igr igk r I K e dv G G V K k k G 2

Ewaldin pallo Sallitut heijastukset voidaan löytää ns. Ewaldin pallon avulla seuraavasti. 1) Piirrä käänteishila. 2) Piirrä tulevan säteilyn aaltovektori k, niin että vektorin kärki osuu johonkin hilan pisteeseen. 3) Piirrä saman vektorin alkupisteeseen k-säteinen ympyrä. 4) Kaikki ne hilapisteet, joissa piste osuu ympyrälle, toteuttavat Laueehdon.

Bragg vs. Laue Kuvasta nähdään, että aaltovektorin muutos Bragggeometriassa on 2 kk 2 sin Kidetasoja vastaava käänteishilavektori pystysuunnassa on G 2 m d Joten Laue-ehdosta saadaan 2 2 2 sin m d 2dsin m k k k 2 k k 2k 2 sin

Suhde Millerin indekseihin Oletetaan kidetaso, jolla on Millerin indeksit m,n,o. Käänteishilavektori G ma nb oc on kohtisuorassa tätä kidetasoa vastaan. Joten Laue-ehto voi toteutua kuvan tapauksessa.

Elastisuusteoria Tarkastellaan kiinteän kappaleen muodonmuutoksia. Kun kiinteään kappaleeseen kohdistetaan esim. voima F molemmista päistä, muodostuu kappaleeseen jännitystila. Esim. kuvan aksiaalisen venytysjännityksen tapuksessa jännitys on F A Venytysjännitys määritellään yleisesti positiiviseksi ja puristusjännitys negatiiviseksi.

Hooken laki Kun kappaleeseen vaikuttaa jännitys, sen suhteellinen venymä e on pienillä muodonmuutoksilla (<1%) lineaarinen jännitykseen nähden (Hooken laki) Ye, e. Kappale käyttäytyy elastisesti. Verrannollisuuskerroin Y on kimmokerroin. 0 w 0 Kun kappale venyy, sen poikkipinta-ala samalla pienenee. Muodonmuutosta venymää vastaan kohtisuorassa suunnassa kuvaa suppeumakerroin eli Poissonin luku w w w 0 0.

Leikkausjännitys Kappaleeseen kohdistuva voima voi olla myös materiaalitason suuntainen. Silloin siitä aiheutuvaa jännitystä kutsutaan leikkausjännitykseksi. Muodonmuutosta kutsutaan liukumaksi ja verrannollisuuskerrointa liukukertoimeksi. Hooken laki on nyt G. F A.

Hydrostaattinen jännitys Jos kappale asetetaan esim. väliaineeseen, kohdistuu siihen paine eli ns. hydrostaattinen jännitys. Tällöin kappaleen tilavuus muuttuu. Muodonmuutosta kutsutaan tilavuusvenymäksi ja verrannollisuuskerrointa tilavuuskimmokertoimeksi p BeV B p VV 0. Joskus käytetään myös puristuvuuskerrointa tilavuuskimmokertoimen sijaan e V V V 0 k 1 VV B p 0.

Hooken lain yleinen muoto Eri suunnista vaikuttava jännitys voidaan ottaa yleisesti huomioon, kun käytetään kuutta jännitys- ja venymäkomponenttia. Hooken laki on tällöin c e c e c e c e c e c e xx 11 xx 12 yy 13 zz 14 yz 15 zx 16 xy c e c e c e c e c e c e yy 21 xx 22 yy 23 zz 24 yz 25 zx 26 xy c e c e c e c e c e c e zz 31 xx 32 yy 33 zz 34 yz 35 zx 36 xy c e c e c e c e c e c e yz 41 xx 42 yy 43 zz 44 yz 45 zx 46 xy zx c51e xx c52e yy c5 3 e c 54 e c 55 e c 56 e zz yz zx xy c e c e c e c e c e c e xy 61 xx 62 yy 63 zz 64 yz 65 zx 66 xy Kimmokerroinmatriisi osoittautuu symmetriseksi c c. ij ji

Kuutiollinen symmetria Kuutiollisen symmetrian kiteelle kimmokerroinmatriisi saa vielä yksinkertaisemman muodon ja sisältää vain kolme kimmokerroinelementtiä. Ycubic c c c 11 12 12 c c c 12 11 12 c c c 12 12 11 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 c 0 0 44 0 0 0 0 c 0 0 0 0 0 0 44 c 44 Esimerkiksi tilavuuskimmokerroin on yksinkertaisesti 1 B c 2c 3 11 12

Plastiset muodonmuutokset Hooken laki on voimassa ns. suhteellisuusrajaan asti. Elastinen käyttäytyminen (eli muodonmuutokset palautuvat) jatkuu kimmorajaan asti. Sen jälkeen muodonmuutokset ovat plastisia. Lopulta saavutetaan murtumispiste. Jännitys, joka murtumiseen vaaditaan, on murtolujuus. Jotkut materiaalit (hauraat materiaalit) murtuvat heti kimmorajan ylittyessä. Kidevirheet vaikuttavat voimakkaasti murtumiseen.