Luento 16: Fluidien mekaniikka

Luento 16: Fluidien mekaniikka Johdanto ja käsitteet Sovelluksia Bernoullin laki

Luennon sisältö Johdanto ja käsitteet Sovelluksia Bernoullin laki

Jatkuvan aineen mekaniikka Väliaine yhteisnimitys kaasuilla ja nesteille Väliaineen muoto riippuu voimakkasti ulkoisista voimista Väliaineen tasapainotilanteita analysoidaan N-I:n ja N-III:n avulla Keskeiset käsitteet tiheys, paine ja noste Dynamiikkaa voidaan analysoida yksinkertaistettujen mallien avulla Eräs monimutkaisimmista mekaniikan osa-alueista CFD (computational fluid dynamics) oma tärkeä tieteenhaaransa

Tiheys Aineen tiheys on elementin massa jaettuna tilavuudella = m V Homogeeninen aine = vakiotiheys jokaisessa kohdassa Ei-homogeenisessä aineessa tiheys ei vakio, vaan paikan funktio = dm dv Tiheys riippuu yleensä myös olosuhteista kuten paineesta ja lämpötilasta Suhteellinen tiheys (specific gravity) on materiaalin tiheyden suhde veden tiheyteen 4 C lämpötilassa ( = 1000 kg m 3 )

Paine Väliaine tasapainossa: kaikkiin väliaineen kanssa kosketuksissa oleviin pintoihin kohdistuu normaalivoima Kuvitellaan väliaineen sisään pinta da Väliaine tasapainossa: pinta tasapainossa Pintaan kohdistuu voima df?! jotta tasapaino säilyisi, pintaan kohdistuttava toiselta puolelta voima df? Määritellään pintaan da kohdistuva paine p = df? da Paineen yksikkö on 1 Pa = 1 N m 2, muita yksiköitä 1 bar = 100 kpa, 1 atm = 1.013 bar = 101 300 Pa! Huom! Tässä yhteydessä p on paine, ei liikemäärä

Väliaineen aiheuttama paine Väliaineen oma paino vaikuttaa myös paineeseen Tarkastellaan väliaine-elementtiä, jonka paksuus pystysuunnassa on dy Elementin pohjaan vaikuttaa voima pa (suunta ylöspäin) Yläpintaan voima (p + dp)a (alaspäin) Lisäksi elementin oma paino dm g = ga dy (alaspäin) Tasapaino =) X Fy = pa (p + dp)a ga dy = 0 josta A dp ga dy = 0 =) dp = g dy

Paine syvyyden funktiona Vakiotiheyksiselle väliaineelle saadaan integroimalla Z p 2 Z y 2 dp = g dy =) p 2 p 1 = g(y 2 y 1 ) p 1 y 1 Paine voidaan ilmoittaa myös syvyyden avulla p = p 0 + gh kun p 0 on paine väliaineen pinnalla Katso Esimerkki 1

Pascalin laki Paine väliaineen pinnalla välittyy sellaisenaan väliaineen jokaiseen osaan ja astian seinämiin Esimerkiksi hydraulisen nostimen toisen männän kohdistama paine p = F 1 /A 1 välittyy sellaisenaan toiseen mäntään Jos toisen männän pinta-ala on A 2 F 1 A 1 = p = F 2 A 2 =) F 2 = A 2 A 1 F 1

Paineen mittaus Yleisin tapa paineen mittaamiseen on nesteellä täytetty taivutettu putki Toinen pää mitattavassa tilassa, toinen referenssipaineessa Paine luetaan nesteen pinnankorkeuserosta Manometrissä referenssipaine on ilmanpaine p 0 Suhteellinen paine (gauge pressure) Nestepatsaan korkeudesta saadaan absoluuttinen paine p a = p 0 Barometrissä vertailupaine on tyhjö Absoluuttinen paine suoraan p a = gh gh

Konseptitesti 1 Tehtävänanto Tarkastellaan kahta identtistä kuppia. Kupeissa olevan vesipinnan taso on yhtä korkealla. Toisessa kupeista on jääkuutioita. Kumpi kupeista painaa enemmän? 1. Kuppi, jossa ei ole jääkuutioita 2. Kuppi, jossa on jääkuutioita 3. Kupit ovat samanpainoisia

Arkhimedeen laki Kappaleiden paino vaikuttaa pienemmältä nesteeseen upotettuna Neste kohdistaa kappaleeseen nostetta Arkhimedeen periaate: kun kappale on kokonaan tai osittain nesteen pinnan alapuolella, kohdistuu kappaleeseen nostevoima (buoyant force) Suunta ylöspäin Suuruus sama kuin kappaleen syrjäyttämän nestemäärän paino

Todistus Otetaan mielivaltaisen muotoinen nestetilavuus Neste on tasapainossa, joten tilavuuteen kohdistuvien voimien summa nolla X ~F = Z d~ F? + ~w = 0 joten nestetilavuuden pintaan kohdistuu voima Z d~ F? = ~w Korvataan nestetilavuus samankokoisella ja -muotoisella kappaleella! Sama voima ~w kohdistuu kappaleen pintaan

Pintajännitys Kolikko saattaa kellua veden pinnalla vaikka sen tiheys on moninkertainen verrattuna veden tiheyteen Syynä molekyylien väliset vetovoimat eli pintajännitys (surface tension) Pintajännityksen takia neste pyrkii minimoimaan pinta-alansa Tämän vuoksi sadepisara on pallo! Pienin kaikista vastaavan tilavuuksisista muista muodoista

Väliaineen virtaus Erilaisia virtaustyyppejä Stationaarinen (steady) Virtausnopeus ei muutu ajan funktiona Laminaarinen (laminar) Vierekkäiset kerrokset eivät sekoitu Pyörteinen (turbulent) Muuttuu ajan funktiona epäsäännöllisesti Ideaalinen väliaine kokoonpuristumatonta ( = vakio) Eikä siinä ole sisäistä kitkaa eli viskositeettiä Nesteet ovat kokoonpuristumattomia Kaasutkin voi approksimoida kokoonpuristumattomiksi Edellyttää pieniä paine-eroja

Virtausviiva Virtausviiva (flow line) polku, jota pitkin yksittäinen hiukkanen virtauksen mukana etenee Virtausputki (flow tube) tietyn poikkipinta-alan reunoista lähtevien virtausviivojen rajoittama osa virtausta. Ideaalisessa stationaarisessa virtauksessa virtausputken sisä- ja ulkopuolinen aine ei sekoitu. Virtaavan väliaineen massa ei muutu virtauksen edetessä Johtaa ns. jatkuvuusyhtälöön (continuity equation).

Konseptitesti 2 Tehtävänanto Valtimon seinämään on kertynyt kalkkeumia huonojen elintapojen vuoksi, kaventaen valtimoa. Minkä osan läpi verivuo (tilavuus / aikayksikkö) on suurin? v 1. Kapeassa kohdassa 2. Leveässä kohdassa 3. Vuo on yhtä suuri molemmissa kohdissa

Konseptitesti 3 Tehtävänanto Valtimon seinämään on kertynyt kalkkeumia huonojen elintapojen vuoksi, kaventaen valtimoa. Minkä osan läpi virtausnopeus on suurin? v 1. Kapeassa kohdassa 2. Leveässä kohdassa 3. Virtausnopeus on yhtä suuri molemmissa kohdissa

Jatkuvuusyhtälö Ajassa dt väliaine virtaa kohdassa 1 matkan v 1 dt ja kohdassa 2 matkan v 2 dt Poikkipintojen läpi siirtyvä massa oltava sama dm 1 = dm 2 =) 1 A 1 v 1 dt = 2 A 2 v 2 dt Jos väliaine kokoonpuristumatonta, niin 1 = 2 ja A 1 v 1 = A 2 v 2

Tilavuus- ja massavirta Av on tilavuusvirta (volume flow rate) dv dt = Av Av on massavirta (mass flow rate) dm dt = Av Jatkuvuusyhtälöstä seuraa, että virtausputken kaikille poikkipinnoile Yleisessä tapauksessa massavirta vakio Kokoonpuristumattomalle väliaineelle myös tilavuusvirta vakio

Konseptitesti 4 Tehtävänanto Valtimon seinämään on kertynyt kalkkeumia huonojen elintapojen vuoksi, kaventaen valtimoa. Veren mukana kulkeutuu verihiutaleita. Hiutaleen kulkeutuessa kapeasta kohdasta leveämpään, sitä ympäröivä nestepaine v 1. Kasvaa 2. Ei muutu 3. Pienenee

Virtauksen aiheuttava voima Jatkuvuusyhtälö: virtausnopeus voi muuttua paikan funktiona stationaarisessa virtauksessa Väliaineeseen kohdistuu voima! työ Ajassa dt väliaine liikkuu matkan ds 1 = v 1 dt kohdassa 1 ja matkan ds 2 = v 2 dt kohdassa 2 Kohdassa 1 väliainepalasta työntävä voima on F 1 = p 1 A 1 Kohdassa 2 väliainepalasta vastustaa voima F 2 = p 2 A 2

Työ ja kineettinen energia Väliainesosaan kohdistuu nettotyö dw = F 1 ds 1 + F 2 ds 2 = p 1 A 1 ds 1 p 2 A 2 ds 2 Jatkuvuusyhtälön perusteella A 1 ds 1 = A 2 ds 2 = dv =) nettotyö dw =(p 1 p 2 ) dv Väliaineen kineettisen energian muutos dk = 1 2 dm(v 2 2 v1 2 )= 1 2 dv (v 2 2 v1 2 )

Bernoullin yhtälö Jos väliaineen päät ovat eri korkeudella! potentiaalienergian muutos du = dm g(y 2 y 1 )= g(y 2 y 1 ) dv Energian säilymisen perusteella dw = dk + du (p 1 p 2 ) dv = 1 2 dv (v 2 2 v 2 1 )+ g(y 2 y 1 ) dv p 1 + gy 1 + 1 2 v 2 1 = p 2 + gy 2 + 1 2 v 2 2 mikä on Bernoullin yhtälö Pätee vain jos väliaine kokoonpuristumatonta ja ilman viskositeettiä

Viskositeetti Aiheutuu väliaineen sisäisestä kitkasta Viskoosit voimat vastustavat väliaineen osan liikettä toisen suhteen Viskoosi väliaine pyrkii tarttumaan kiinteään seinämään, johon se on kontaktissa Seinämän viereen muodostuu rajakerros (boundary layer), jossa väliaine lähes levossa. Viskositeetin takia soutaminen vaatii työtä Toisaalta viskositeetin ansiosta pystyy ylipäänsä soutamaan Tärkeä vaikutus virtaukseen putkissa

Esimerkki 1 Tarkastellaan patoa, jonka vedenpuoleinen seinämä oletetaan suorakulmaiseksi (pinta-ala A). Järven pinta on aivan padon yläreunan tasalla. 1. Osoita, että patoon kohdistuu vaakasuora voima F = gha/2, missä on veden tiheys ja H padon korkeus. 2. Laske patoon kohdistuva vääntömomentti padon alareunan mukaisen akselin suhteen

Ratkaisu 1. Pinta-alaelementti da, korkeus dy, leveys L. Ilmanpaine vaikuttaa padon molemmille puolille! nettovoima vain nesteen omasta painosta aiheutuva paine p = gy. Elementtiin da kohdistuu voima df = p da = gyl dy. Integroidaan! Z F = df = Z H gly dy = 1 2 glh2 = 1 2 gah 0 2. Elementin aiheuttama vääntömomentti padon pohjan suhteen suhteen on d =(H y) gly dy, koska y on syvyys Z = Z H d = gl (Hy 0 y 2 ) dy = gl " H 3 2 H 3 3 # = 1 6 gah2

Esimerkki 2 Metallipallon paino ilmassa on 29.4 N ja vedessä 18.5 N. Mikä on metallin tiheys? Ratkaisu ilmassa w = mg = gv vedessä w w = mg F b = gv w gv w jaetaan = w w w w = w = 2.7 10 3 kg m 3 w w w

Esimerkki 3 Ylhäältä avoimen vesiastian kyljessä on kapeneva putki (ks. kuva). Tankin vesi pääsee valumaan putkea pitkin ulos tankista. Putken poikkipinta-ala kapenee S! s. Määritä veden putkeen kohdistama vaakasuora voima, joka yrittää kiskoa putken irti tankista. Veden pinta vesisäiliössä on h metriä putken yläpuolella. Kitkavoimat voi jättää huomiotta. S s Ratkaisu pitkähkö, esitetään luennolla