LUKU hdensuuntaissiirto Olkoot (M, N) suunnistettu pinta, p M ja v p R 3 p annettu vektori pisteessä p (vektorin v p ei tarvitse olla pinnan M tangenttivektori). Tällöin vektori (v p N(p)) N(p) on vektorin v p projektio normaalin N(p) suuntaan, ja vektori p v p := v p (v p N(p)) N(p) on vektorin v p projektio tangenttiavaruuteen T p (M). Olkoot α: I M pinnan M C -polku ja V pinnan M tangenttivektorikenttä pitkin polkua α, t.s. V on kuvaus I M R 3 siten, että V (t) T α(t) (M) kaikille t I. Määritelmä.. Tangenttivektorikentän V kovariantti derivaatta on V := α(t) V (t) = V (t) ( V (t) N(α(t))) N(α(t)), missä V (t) := (α(t); V (t)), kun V (t) = (α(t); V (t)). Huomautuksia.2. a) Koska V on derivaatan V (t) ortogonaalliprojektio tangenttiavaruuteen T α(t) (M), on myös V pinnan M tangenttivektorikenttä pitkin polkua α. b) C 2 -polun α: I M tangenttivektori α (t) on pinnan M tangenttivektorikenttä pitkin polkua α. Tämän kovariantille derivaatalle on voimassa α = α (t) = (α (t) N(α(t))) N(α(t)) α (t) T α(t) (M) α on geodeettinen polku. c) Geometrisesti tulkittuna kovariantti derivaatta V ilmaisee vektorin V (t) muutosnopeuden pinnalta M käsin nähtynä. Erityisesti, α ilmaisee polun α nopeuden α muutoksen pinnalta käsin nähtynä. Derivaattaa α kutsutaan toisinaan polun α kovariantiksi kiihtyvyydeksi. d) Jos on pinnan M tangenttivektorikenttä, voidaan sille määritellä kovariantti derivaatta tangenttivektorin v p T p (M) suuntaan asettamalla Viimeksi muutettu 24.3.2. D vp := p (D vp ) = Dvp (Dvp N(p)) N(p). 7
. HDENSUUNTAISSIIRTO 72 Vektorikenttä α on pinnan M tangenttivektorikenttä pitkin polkua α, ja sen kovariantille derivaatalle on ( α) = D α (t). Tästä syystä kovariantti derivaattaa D vp ei juuri tarvita, koska se voidaan korvata siirtymällä pinnan polkuihin. Lause.3. Olkoot V ja W pinnan M tangenttivektorikenttiä pitkin polkua α: I M ja f : I R C -funktio. Tällöin (i) ( V + W ) = V + Dt W ; (ii) (f V ) = f (t) V (t) + f(t) V ; (iii) ( V W ) = V W (t) + V (t) Dt W. Todistus. Jätetään lukijan tehtäväksi. Olkoot p, q R 3. Sanotaan, että vektorit (p; v) R 3 p ja (q; w) R 3 q ovat euklidisesti yhdensuuntaiset, jos w = v. Vastaavasti, vektorikenttä V : I R 3 R 3 pikin polkua α: I M on euklidisesti yhdensuuntainen, jos sen suuntaosa on vakio, V (t) = V (t ), kaikille t, t I, kun V (t) = (α(t); V (t)). Määritelmä.4. Olkoot α: I M pinnan M C -polku ja V pinnan M tangenttivektorikenttä pitkin polkua α. Sanotaan, että vektorikenttä V on (Levi-Civita-)yhdensuuntainen, jos V = kaikille t I. Siis tangenttivektorikenttä V on yhdensuuntainen, jos ja vain jos V ei näytä muuttuvan pinnalta M käsin nähtynä. Lause.5. Olkoot V ja W pinnan M tangenttivektorikenttiä pitkin polkua α: I M. Oletetaan, että V ja W ovat yhdensuuntaisia. Tällöin (i) pituus V on vakio; (ii) sisätulo V W on vakio; (iii) vektorikenttien V ja W välinen kulma on vakio (kunhan V (t) ja W (t) kaikille t I); (iv) summa V + W on yhdensuuntainen; (v) vektorikenttä c V on yhdensuuntainen kaikille c R. Todistus. Jätetään lukijan tehtäväksi. Lause.6. Olkoot α: I M C -polku, t I ja v T α(t )(M). Tällöin on olemassa yksi ja vain yksi pinnan M C -tangenttivektorikenttä V pitkin polkua α siten, että V on yhdensuuntainen ja V (t ) = v.
Todistus. Tangentivektorikentälle V on. HDENSUUNTAISSIIRTO 73 V = V (t) ( V (t) N(α(t))) N(α(t)) = V (t) ( V ( N α) (t) V (t) ( N α) (t) ) N(α(t)) = V (t) + ( V (t) ( N α) (t) ) N(α(t)) =. Siis V on yhdensuuntainen, jos ja vain jos V toteuttaa differentiaaliyhtälön (.) V (t) + ( V (t) ( N α) (t) ) N(α(t)) =. Koordinaateittain kirjoitettuna yhtälö saa muodon 3 V j (t) + V k (t) (N k α) (t) N j (α(t)) =, j 3. k= Tällä differentiaaliyhtälöryhmällä on yksikäsitteinen alkuehdon V (t ) = v toteuttava ratkaisu. Koska yhtälö on lineaarinen tuntemattoman funktion V suhteen, on ratkaisu määritelty koko välillä I. Osoitetaan, että saatu funktio V on pinnan M tangenttivektorikenttä. Kun yhtälö (.) kerrotaan puolittain vektorilla N(α(t)), saadaan ( V ( N α) ) (t) = V (t) N(α(t)) + V (t) ( N α) (t) =, joten V ( N α) on vakio. Mutta V (t ) ( N α)((t )) = v N(p) =, joten V ( N α). Siis V (t) T α(t) (M) kaikille t I. Seuraus.7. Olkoot α: I M pinnan M geodeettinen polku siten, että α (t) kaikille t I, ja V pinnan M tangenttivektorikenttä pitkin polkua α. Tällöin V on yhdensuuntainen, jos ja vain jos (i) pituus V on vakio, ja (ii) vektoreiden V (t) ja α (t) välinen kulma on vakio. Todistus. : Lause.5, kohdat (i) ja (iii). : Olkoon δ vektoreiden V (t) ja α (t) välinen kulma. Tällöin cos δ = V (t) α (t) V (t) α (t). Oletuksen mukaan δ on muuttujan t funktiona vakio. Samoin t V (t) =: a on vakio. Geodeettiselle polun vauhti t α (t) =: b on vakio. Olkoot t I ja v T α(t )(M) yksikkövektori siten, että v α (t ). Olkoon W lauseen.6 mukainen pinnan M tangenttivektorikenttä pitkin polkua α siten, että W on yhdensuuntainen ja W (t ) = v. Tällöin W (t) = ja W (t) α (t) = kaikille t I (lause.5), joten { W (t), α (t)} on tangenttiavaruuden T α(t) (M) ortogonaalinen kanta kaikille t I. Siis, on olemassa jatkuvat funktiot f, g : I R siten, että V (t) = f(t) α (t) + g(t) W (t).
Nyt cos δ =. HDENSUUNTAISSIIRTO 74 V (t) α (t) V (t) α (t) = f(t) α (t) α (t) a b = f(t) b/a ja V (t) 2 = f(t) 2 α (t) 2 + g(t) 2 W (t) 2 = f(t) 2 b 2 + g(t) 2. Näistä seuraa, että f on vakio, ja jatkuvuuden perusteella, että g on vakio. Siis V on yhdensuuntaisten tangenttivektorikenttien α ja W lineaarikombinaatio vakiokertoimin. Tällöin V on yhdensuuntainen. Määritelmä.8. Olkoot (M, N) suunnistettu pinta ja α: [a, b] M pinnan M C -polku sekä p := α(a), q := α(b). Olkoon v p T p (M). Asetetaan P α (v p ) := V (b) T q (M), missä V on pinnan M yhdensuuntainen tangenttivektorikenttä pitkin polkua α, jolle V (a) = v p. Kuvaus P α : T p (M) T q (M) on pinnan M yhdensuuntaissiirto pitkin polkua α. Esimerkki.9 (hdensuuntaissiirto pallolla pitkin pituuspiirejä). Pallokoordinaattien avulla pallon S 2 ϕ: ( π, π) ( π 2, π 2 ) S2, ϕ(θ, t) := (cos t cos θ, cos t sin θ, sin t), θ. pituuspiiri on α θ (t) := ϕ(θ, t) = (cos t cos θ, cos t sin θ, sin t). Olkoon δ R. Pallon pituuspiirin α θ tangenttivektori on yhdensuuntainen pitkin pituuspiiriä α θ. Koska vektorikenttä V θ,δ, V θ,δ (t) := (cos δ)α θ(t) + (sin δ)j αθ (t)(α θ(t)), muodostaa vakiokulman δ pituuspiirin α θ kanssa ja sen pituus on vakio = α θ (t) =, on V θ,δ yhdensuuntainen pitkin pituuspiiriä α θ. Koska V θ,δ (t) = ( cos θ cos δ sin t + sin θ sin δ, cos θ sin δ sin θ cos δ sin t, cos δ cos t ), on etelänavalla ja pohjoisnavalla V θ,δ ( π ) = (cos(θ δ), sin(θ δ), ) 2 V θ,δ ( π 2 ) = ( cos(θ + δ), sin(θ + δ), ) = (cos(θ + δ + π), sin(θ + δ + π), ). hdensuuntaissiirto riippuu siis käytetystä polusta.
. HDENSUUNTAISSIIRTO 75 - Z - - - Z - - Kuva. hdensuuntaissiirto pallolla pitkin pituuspiirejä. Pallo ja vektorikenttä V θ,δ nähtynä etelänavalta (vasen kuva) ja pohjoisnavalta (oikea kuva). Kuvissa θ = δ = π/6. Huomaa, että y-akselin suunta on vastakkainen etelä- ja pohjoisnavalta nähtynä. Ennenkuin selvitetään, miten vektorikentät muuttuvat, kun niitä siirretään yhdensuuntaisesti pitkin leveyspiirejä, tarkastellaan hieman yleisiä apuvälineitä. Olkoot α: I M pinnan polku ja pinnan yksikkötangenttivektorikenttä pitkin polkua α. 2 Jokaiselle p M olkoon J p : T p (M) T p (M) kierto kulman π verran, 2 J p v p = N(p) v p. Tällöin (t) kaikille t I, joten on olemassa funktio ω = ω : I R siten, että 3 Dt = ω(t) (J )(t), missä (J)(t) := J α(t) (t). Vastaavasti, (J) (J)(t). Koska (t) (J)(t) = kaikille t I, on () (J)(t) + (t) Dt (J) =. Siis { Dt = ω(t) (J)(t), (.2) (J ) = ω(t) (t). Lemma.. Olkoot pinnan M yksikkötangenttivektorikenttä pitkin polkua α ja δ vektorikenttien ja välinen differentioituva kulmafunktio, (t) = cos δ(t) (t) + sin δ(t) (J )(t), t I. Tällöin = (δ (t) + ω(t)) (J )(t). 2 Tälläinen vektorikenttä on helppo saada aikaiseksi ainakin jokaisessa karttaympäristössä ϕ(u) M: jos ϕ := E ϕ / Eϕ, niin := ( ϕ ϕ ) α käy. 3 Jos tarkastellaan karttaympäristössä ϕ(u) M määriteltyä yksikkötangenttivektorikenttää, on sen kovariantille derivaatalle tangenttivektorin v p T p (M) suuntaan D vp = ω(vp ) (J )(p), missä ω : T p (M) R. Vastaavasti saadaan D vp (J ) = ω(v p ) (p). Kuvaus ω : T p (M) R on lineaarinen ja nimeltään vektorikentän määräämä konnektiomuoto.
. HDENSUUNTAISSIIRTO 76 Todistus. Suoraan laskemalla (apuna lause.3, yhtälöt (.2) ja J 2 = I) = δ (t) sin δ(t) (t) + cos δ(t) + δ (t) cos δ(t) (J )(t) + sin δ(t) (J ) = δ (t) sin δ(t) (t) + cos δ(t) (ω(t) (J )(t)) + δ (t) cos δ(t) (J )(t) + sin δ(t) ( ω(t) (t)) = (δ (t) + ω(t)) ( sin δ(t) (t) + cos δ(t) (J )(t) ) = (δ (t) + ω(t)) (J )(t). Seuraus.. Edellisen lemman oletuksin ja merkinnöin: Vektorikenttä on yhdensuuntainen pitkin polkua α, jos ja vain jos δ (t) + ω(t) = kaikille t I. Seuraus.2. Edellisen lemman oletuksin ja merkinnöin: Jos vektorikenttä on yhdensuuntainen pitkin polkua α, niin parametrivälillä a t b vektorikenttien ja välinen kulma muuttuu on δ(b) δ(a) = b a ω(t) dt. Kovariantin derivaatan avulla yksikkövauhtisen polun α geodeettinen kaarevuus κ g (t) = ( α ) J α(t) α (t). Kun lemmaa. sovelletaan vektorikenttään = α, saadaan Seuraus.3. Lemman. oletuksin ja merkinnöin: ksikkövauhtisen polun α geodeettinen kaarevuus on κ g (t) = δ (t) + ω(t), missä δ on vektorikenttien ja α välinen kulmafunktio. Seuraus.4. Edellisen seurauksen oletuksin ja merkinnöin: Jos α on yksikkövauhtinen, niin parametrivälillä a t b vektorikenttien ja α välinen kulma muuttuu δ(b) δ(a) = b a κ g (t) dt b a ω(t) dt. Esimerkki.5 (hdensuuntaissiirto pallolla pitkin leveyspiirejä). Pallokoordinaattien avulla t. leveyspiiri on β t (θ) = (cos t cos θ, cos t sin θ, sin t). Leveyspiirin β t vauhti β t(θ) = cos t on vakio, joten sovelletaan lemmaa. vektorikenttään (θ) := cos t β t(θ) = (β t (θ); ( sin θ, cos θ, )). Tälle vektorikentälle ω(θ) = (D θ ) (J )(θ) = sin t.
Seurauksen. mukaan vektorikenttä,. HDENSUUNTAISSIIRTO 77 (θ) := cos δ(t) (θ) + sin δ(t) (J )(θ), on yhdensuuntainen pitkin leveyspiiriä β t, kun sen ja leveyspiirin β t välinen kulma δ valitaan niin, että δ (θ) = sin t, t.s. δ = δ(θ) = θ sin t. Nyt (J )(θ) = ( cos θ sin t, sin t sin θ, cos t), joten (θ) = ( cos(θ sin t) sin θ + cos θ sin t sin(θ sin t), cos θ cos(θ sin t) + sin t sin θ sin(θ sin t), cos t sin(θ sin t) ), ja Greenwichin pituuspiirillä () = (,, ) sekä uudestaan Greenwichin pituuspiirillä (2π) = (sin t sin(2π sin t), cos(2π sin t), cos t sin(2π sin t)). hden leveyspiirin kierroksen jälkeen leveyspiirin ja vektorin (θ) välinen kulma on muuttunut kulman 2π sin t verran. Edellä on tarkasteltu vain C -polkuja pitkin tapahtuvaa yhdensuunssiirtoa. Olkoot nyt p, q M, ja α: [a, b] M paloittain C -polku, jolle p := α(a), q := α(b). Siis on olemassa välin [a, b] jako a = t < t < t 2 < < t k < t k+ = b siten, että α [tj,t j+ ] on C -polku kaikille j {,,..., k}. hdenssuuntaissiirto pitkin polkua α määritellään seuraavasti: Olkoon v T p (M). Asetetaan ja v := P α [t,t ] (v), v 2 := P α [t,t 2 ] (v ), v k+ := P α [tk,t k+ ] (v k), P α (v) := v k+ T q (M). Lause.6. Olkoot (M, N) suunnistettu pinta ja α: [a, b] M pinnan M paloittain C -polku pisteestä p = α(a) pisteeseen q = α(b). Olkoon P α : T p (M) T q (M) yhdenssuuntaissiirto pitkin polkua α, Tällöin (i) P α on lineaarikuvaus; (ii) P α on bijektio; ja (iii) P α (v) P α (w) = v w kaikille v, w T p (M). Todistus. Kohta (i) seuraa helposti siitä, että jos V ja W ovat yhdensuuntaisia pitkin polkua α, niin V + W ja c V, c R, ovat yhdensuuntaisia. Kohta (iii) seuraa siitä, että jos V ja W ovat yhdensuuntaisia pitkin polkua α, niin V W on vakio.
. HDENSUUNTAISSIIRTO 78 - - Z Z - - - - Kuva 2. hdensuuntaissiirto pallolla pitkin leveyspiirejä. Kuvissa t = π/9, jolloin leveyspiirin β t (θ) ja vektorin (θ) välinen kulma δ(θ) = θ sin t muuttuu arvosta δ = arvoon δ = 2π sin(π/9) 2.5, kun leveyspiiri kierretään kerran ympäri. Oikeassa kuvassa pallo ja vektorikenttä nähtynä pohjoisnavalta. - - Z Z - - - - Kuva 3. Pallo ja vektorikenttä nähtynä x-akselin suunnasta (vasen kuva; Greenwichin pituuspiiri keskellä) ja y-akselin suunnasta (oikea kuva; Greenwichin pituuspiiri vasemmalla). Kohtaa (ii) varten todetaan, että jos P α (v) =, niin = P α (v) 2 = v 2 kohdan (iii) nojalla. Siis v =, joten P α on injektio. Mutta lineaarinen injektio P α : T p (M) T q (M), missä T p (M) ja T q (M) ovat samanulotteisia vektoriavaruuksia, on dimensiolauseen nojalla myös surjektio.