2 Kompleksiluvut 2A Kompleksilukujen konstruktio Kompleksiluvut ovat syntyneet reaaliluvuista luonnollisen tarpeen myötä: kaikilla epätriviaaleilla polynomiyhtälöillä, kuten yhtälöllä z 2 +1 = 0, ei ole reaalisia ratkaisuja Kuitenkin kolmannen ja neljännen asteen yhtälöitä ratkaistaessa havaitaan, että menetelmät helpottuvat, jos näilläkin yhtälöillä edes kuvitellaan olevan ratkaisuja, nimittäin laskujen välivaiheissa saatetaan tarvita tällaisia uudenlaisia lukuja, kompleksilukuja Kompleksilukuihin liittyvät nimitykset kertovat näitä kohtaan alun perin tunnetusta vieroksunnasta: Kompleksiluvuilla on reaalinen eli todellinen ja imaginaarinen eli kuvitteellinen osansa Renessanssin aikoihin, kun kolmannen ja neljännen asteen ratkaisukaavat kehitettiin, matematiikan harjoitus oli vielä varsin kokeellista ja hapuilevaa Vaikka nykymatemaatikko keksii asioita aivan yhtä paljon intuitionsa varassa kuin entisaikojenkin tutkijat, keksintöjen järkevyys on pystyttävä jotenkin oikeuttamaan kuvittelu ei riitä Siksi jatkossa näytetään, miten kompleksilukujen järjestelmä pystytään konstruoimaan reaalilukujen järjestelmästä lähtien Nykyään kukaan ei kiistä kompleksilukujen hyödyllisyyttä, sillä niiden ominaisuudet heijastuvat moniin muihinkin reaalilukuja koskeviin ongelmiin kuin polynomiyhtälöihin Yksinkertaisina esimerkkeinä mainittakoon vakiokertoimiset lineaariset tavalliset differentiaaliyhtälöt ja integrointia helpottava residylaskenta Tavoite: Muodostetaan reaalilukuja laajentavat lukujärjestelmä, jolla on reaalilukujen algebralliset ominaisuudet R1-R9 ja jossa yhtälöllä z 2 + 1 = 0 on ratkaisu Tavoite on mahdollisimman heikossa muodossa, muttta ns algebran peruslause osoittaa, että vahvempikin tavoite (kaikilla epätriviaaleilla yhtälöillä on ratkaisu) toteutuu saman tien Algebran peruslausetta ei kuitenkaan käsitellä tällä kurssilla, vaan Funktioteorian kurssilla Ideointia: Jotta tavoite tulisi toteutettua, uudessa lukujärjestelmässä yhtälöllä z 2 + 1 = 0 tulisi olla ratkaisu, jota merkittäköön symbolilla i Koska muodostettavassa järjestelmässä tulee olla reaalilukujen yhteen- ja kertolaskua vastaavat laskutoimitukset, siellä olisi jokaista x, y R kohti myös tulo y i ja summa x + y i Luvut x + yi olisivat kaikki eri lukuja, sillä jos x + yi = x + y i, missä x, x, y, y R, niin päädytään kahteen eri tapaukseen sen mukaan, onko y = y : 1) Jos y = y, niin x + yi = x + yi eli x = x 2) Jos y y, niin yhtälöstä x + yi = x + y i seuraa x x = (y y)i ja edelleen i = x x y y R, mikä on mieletöntä, sillä i2 +1 = 0 eli i 2 = 1, vaikka reaalilukujen neliöt ovat epänegatiivisia Huomaa, että yo päättelyt vaativat, että laskutoimitusten on käyttäydyttävä kuten reaalilukujen laskutoimitukset Uuden lukujärjestelmän luvut x + yi riippuvat siis 1
kahdesta reaalilukuparametrista x, y R Hyvällä onnella muita lukuja ei tarvitse ottaa lukujärjestelmään, jolloin uusia lukuja voi pitää pareina (x, y) Koska (x + yi) + (x + y i) = x + x + (y + y )i, yhteenlaskuksi tulee itse asiassa vektorien yhteenlasku (x, y) + (x, y ) = (x + x, y + y ) Vastaavan tarkastelun voi tehdä kertolaskulle On aika siirtyä ideoinnista tarkan teknisen toteutuksen asteelle 21 Määritelmä Kompleksiluku z on reaalilukujen pari z = (x, y), x, y R Lukua x kutsutaan kompleksiluvun z reaaliosaksi, ja merkitään x = Rez Lukua y kutsutaan vastaavasti imaginaariosaksi, y = Imz Kahden kompleksiluvun z = (x, y) ja z = (x, y ) summa on z + z = (x + x, y + y ) ja tulo on Kompleksilukujen joukkoa merkitään z z = (xx yy, xy + x y) C = { (x, y) x, y R } Edellinen määritelmä selittää, miten kompleksiluvut konstruoidaan reaaliluvuista On tarkistettava, että tavoitteet toteutuvat, ts että halutut algebralliset ominaisuudet toteutuvat ja että kompleksilukujen järjestelmä jossain mielessä sisältää reaalilukujen järjestelmän Aloitetaan algebrallisten ominaisuuksien tarkastamisella 22 Lause Kompleksilukujen yhteen- ja kertolasku ovat vaihdannaisia ja liitännäisiä laskutoimituksia, joilla on neutraalialkiot, nolla- ja ykkösalkio Kullakin kompleksiluvulla on vastalukunsa ja jokaisella nollasta poikkeavalla kompleksiluvulla on käänteislukunsa Lisäksi osittelulaki on voimassa Todistus Kertolaskun vaihdannaisuus ja osittelulaki on todistettu laskuharjoituksissa Olkoot z = (x, y), w = (u, v), α = (β, γ) C Yhteenlaskun vaihdannaisuus: z + w = (x + u, y + v) Kompleksilukujen yhteenlaskun määritelmä = (u + x, v + y) Reaalilukujen yhteenlaskun vaihdannaisuus = w + z Määritelmä Kertolaskun vaihdannaisuus: z w = (xu yv, xv + uy) kompleksilukujen komponentteihin sovellettuna Kompleksilukujen kertolaskun määritelmä = (ux vy, uy + xv) Reaalilukujen kerto- ja yhteenlaskujen (!) vaihdannaisuus = w z Määritelmä 2
Yhteenlaskun liitännäisyys: (z + w) + α = (x + u, y + v) + α = ((x + u) + β, (y + v) + γ) Yhteenlaskun määritelmä kahdesti sovellettuna = (x + (u + β), y + (v + γ)) Reaalilukujen yhteenlaskun liitännäisyys = z + (u + β, v + γ) = z + (w + α) Määritelmä Yhteenlaskun neutraalialkio on (0, 0) ja kertolaskun (1, 0), koska kaikilla z = (x, y) C pätee z + (0, 0) = (x + 0, y + 0) = (x, y) = z ja z (1, 0) = (x, y) (1, 0) = (x 1 y 0, x 0 + 1 y) = (x 0, 0 + y) = (x, y) = z, joten z + (0, 0) = (0, 0) + z = z ja z (1, 0) = (1, 0) z = z, sillä laskutoimitukset ovat vaihdannaisia Luvun z = (x, y) vastaluku on ( x, y), sillä (x, y) + ( x, y) = ( x, y) + (x, y) = (x + ( x), y + ( y)) = (0, 0) Luvun z = (x, y) (0, 0) käänteisluku on z = ( koska x, y R ja x 0 tai y 0), sillä x x 2 +y, 2 ( z z x = x x 2 + y 2 y y x 2 + y 2, x ( x 2 + ( y) 2 = x 2 + y 2, x y + x y ) x 2 + y 2 = (1, 0) ja siis z z = z z = (1, 0) y x 2 +y 2 ) (huomaa, että x 2 +y 2 > 0, y x 2 + y 2 + x ) x 2 + y 2 y Missä mielessä reaaliluvut ovat osa kompleksilukujen järjestelmästä? hetkeksi x = (x, 0), kun x R, ja R = { x x R } Kaikilla x, y R Merkitään x + ỹ = (x, 0) + (y, 0) = (x + y, 0) = x + y ja x ỹ = (x, 0) (y, 0) = (x y 0 0, x 0 + y 0) = (xy, 0) = xy, ja jos x, y R, x y, niin x = (x, 0) (y, 0) = ỹ Joukon R luvuilla voi siis laskea peruslaskutoimituksia, ikään kuin ne olisivat reaalilukuja Tapana onkin samastaa luvut x ja x sekä pitää reaalilukujen joukkoa R 3
kompleksilukujen C osajoukkona Tiukan formaalisti asiaa tarkastellen tässä syyllistytään reaalilukujen uudelleenmäärittelyyn, koska joukko-opillisesti x = (x, 0) x, mutta algebrallista haittaa tästä ei ole, sillä R varustettuna peruslaskutoimituksilla on isomorfinen eli samanrakenteinen algebrallisen järjestelmän kanssa Samastuksesta on se hyöty, että lukujärjestelmän voi ajatella muodostuvan nousevasta ketjusta N Z Q R C Lisäksi nolla-alkiota (0, 0) ja ykkösalkiota (1, 0) voidaan merkitä yksinkertaisesti 0 ja 1 Luvun z = (x, y) vastaluvulle ja käänteisluvulle käytetään luonnollisia merkintöjä z = ( x, y) ja z 1 = ( x x 2 + y 2, y ), kun z 0 x 2 + y 2 Mer- Tarkastetaan vielä, että kompleksiluvuilla on tavoiteltu erikoispiirteensä kitään imaginaariyksikköä (0, 1) symbolilla i Tällöin i 2 = (0, 1) (0, 1) = (0 0 1 1, 0 1 + 0 1) = ( 1, 0) eli samastuksen takia i 2 = 1, joten z = i on yhtälön z 2 + 1 = 0 ratkaisu Siis kaikilla kompleksilukujen järjestelmälle asetetut tavoitteet on onnistuttu toteuttamaan Merkinnöistä: Jokainen z = (x, y) C voidaan muokata muotoon z = (x, y) = (x, 0) + (0, y) = (x, 0) + (y 0 0 1, y 1 + 0 0) = (x, 0) + (y, 0) (0, 1) eli kun käytetään edellä selitettyä samastusta, z = x + yi Esitys z = x + yi on lisäksi yksikäsitteinen, kunhan x, y R (Jos rajoitusta ei tehdä, erilaisia tapoja on luonnollisesti useita, esim z = z + 0 i) Jatkossa käytetään lähinnä tätä tavanomaista algebrallista esitystä z = x + yi ja kompleksiluvun koordinaattiesitystä z = (x, y) vain geometrisissä yhteyksissä Algebrallinen esitys selittää myös, miksi laskutoimitukset määriteltiin, kuten määriteltiin, esim lukujen z = x + yi ja z = x + y i, missä x, x, y, y R, tulolle pätee z z = (x + yi)(x + y i) = xx + xy i + yix + yi y i = xx + (xy + x y)i + yy ( 1) = xx yy + (xy + x y)i 4
2B Kompleksitaso Karteesinen koordinaatisto Kompleksiluvut ovat määritelmänsä perusteella reaalilukupareja z = (x, y) eli tason pisteitä: reaaliosa x = Rez on x-koordinaatti ja imaginaariosa y = Imz y- koordinaatti Kun tasoa tarkastellaan kompleksilukujen avulla, on tapana puhua kompleksitasosta 23 Määritelmä Kompleksiluvun z = x + yi, x, y R, itseisarvo on z = x 2 + y 2 Luvun z liittoluku on z = x yi z z = x 2 +y 2 y = Imz x = Rez z y Kompleksiluvun z itseisarvo on siis sen etäisyys origosta ja liittoluku z piste, jonka saa peilaamalla x-akselin suhteen Kahden kompleksiluvun z = x + yi ja w = u + vi välisen etäisyyden huomataan olevan (x u)2 + (y v) 2 = (x u) + (y v)i = (x + yi) (u + vi) = z w 24 Lause Peilaus x-akselin suhteen p: C C, p(z) = z, säilyttää seuraavassa mielessä laskutoimitukset: Kun z, w C, p(z + w) = p(z) + p(w) eli z + w = z + w ja p(z w) = p(z) p(w) eli z w = z w Todistus Olkoon z = x + yi, w = u + vi C, missä x, y, u, v C Tällöin z + w = (x + u) + (y + v)i = x + u (y + v)i x yi + u vi = z + w 5
ja z w = (xu yv) + (xv + uy)i = xu yv (xv + uy)i (xu ( y)( v)) + (x ( v) + u ( y))i = (x yi) (u vi) = z w Ajatukseen, missä mielessä laskutoimitukset säilyvät kuvauksissa, paneudutaan tarkemmin ryhmien isomorfismia käsittelevässä luvussa Liittolukua voi käyttää edellämainittujen geometristen suureiden z, Rez, Imz laskemiseen 25 Lause Kaikilla z C pätee a) z = zz, b) Rez = z + 2 z ja c) Imz = z 2i z Todistus Olkoon z = x + yi, x, y R a) zz = (x + yi)(x yi) = x 2 (yi) 2 = x 2 y 2 i 2 = x 2 + y 2 = z 2, joten koska z 0, saadaan z = zz b) z + 2 z c) z 2i z x + yi + x yi = 2 = 2x 2 = x = Rez x + yi x + yi = 2i = 2yi 2i = y = Imz 26 Lause Kaikilla z, w C on voimassa 1) z + w z + w, 2) z w = z w ja 3) z = 0, jos ja vain jos z = 0 Todistus Olkoon z, w C Käsitellään kohdat hieman epätavallisessa järjestyksessä 2) z w = (zw)zw = (zw)z w liittoluku säilyttää kertolaskun = (zz)(ww) = z 2 w 2, joten koska itseisarvot ovat epänegatiivisia, z w = z w 1) z + w 2 = (z + w)(z + w) = (z + w)(z + w) liittoluku säilyttää yhteenlaskun = zz + zw + zw + ww = z 2 + zw + zw + w 2 Huomaa, että w = w, joten zw = z w = zw = z 2 + 2 Re(zw) + w 2 z 2 + 2 zw + w 2 Re(zw) luvun zw x-koordinaatti z 2 + 2 z w + w 2 = z 2 + 2 z w + w 2 = ( z + w ) 2, joten itseisarvojen epänegatiivisuuden tähden z + w z + w 3) 0 = 0 2 + 0 2 = 0 ja toisaalta jos z = x + yi 0 (x, y R), niin x 0 tai y 0, joten x 2 + y 2 > 0 ja z = x 2 + y 2 > 0 Siis z = 0 täsmälleen silloin, kun z = 0 Itseisarvon ominaisuuksista 1 3 seuraa, että se on normi (vrt kurssin Topologia I luentoihin) 6
Napakoordinaatisto Jokaisella z C, z 0, origosta lähtevä pisteen z kautta kulkeva puolisuora leikkaa yksikköympyrän pisteessä (cos ϕ, sin ϕ), ϕ [0, 2π[ Pisteen z saa tästä pisteestä skaalaamalla kertoimella r = z eli pisteen z etäisyydellä origosta Siis z = r cos ϕ + ir sin ϕ = r(cos ϕ + i sin ϕ) z = (r cos ϕ, r sin ϕ) (cos ϕ, sin ϕ) ϕ = arg z 27 Määritelmä Kompleksiluvun z argumentti on se yksikäsitteinen ϕ [0, 2π[, jolle z = z (cos ϕ + i sin ϕ), kun z 0 Tapauksessa z = 0 sovitaan, että argumentti on 0 Luvun z argumenttia merkitään arg z Tutkitaan argumenttien käyttäytymistä tuloissa Kirjoitetaan kompleksiluvut z, w C muodossa z = r(cos ϕ + i sin ϕ) ja w = ϱ(cos ψ + i sin ψ), missä r = z, ϱ = w, ϕ = arg z ja ψ = arg w Huomaa, että r, ϱ, ϕ, ψ R, r, ϱ 0 ja ϕ, ψ [0, 2π[ Lukujen tuloksi saadaan zw = r(cos ϕ + i sin ϕ)ϱ(cos ψ + i sin ψ) = rϱ((cos ϕ cos ψ sin ϕ sin ψ) + i(sin ϕ cos ψ + cos ϕ sin ψ)) = rϱ(cos(ϕ + ψ) + i sin(ϕ + ψ)) kosinin ja sinin yhteenlaskukaavoja käyttäen Jos siis z, w 0, niin arg(zw) = arg(z) + arg(w) tai arg(zw) = arg(z) + arg(w) 2π Lausekkeita yksinkertaistaa se, että kompleksitasossa määritellään eksponenttifunktio kaavalla e z = e x (cos y + i sin y), kun z = x + iy, x, y R [Syy siihen, miksi näin määritellään, esitellään Funktioteorian kurssilla Sarjateoriansa hyvin osaaville riittänee mainita, että DiffintI:ssä opetetut 7
eksponenttifunktion ja trigonometristen funktioiden Taylorin kaavat pätevät kompleksitasossakin] Erityisesti on voimassa Eulerin kaava Siten edellä z = re iϕ, w = ϱe iψ ja Osoitetaan vielä, että tuttu laskulaki e iϕ = cos ϕ + i sin ϕ (re iϕ )(ϱe iψ ) = zw = rϱe i(ϕ+ψ) e z+z = e z e z pätee myös kaikilla z, z C Merkitään z = x+iy, z = x +iy, x, y, x, y R Tällöin e z e z = e x (cos y + i sin y)e x (cos y + i sin y ) määritelmä = e x e x (cos(y + y ) + i sin(y + y )) sovelletaan aiemmin laskettua arvoilla r = e x, ϱ = e x, ϕ = y, ψ = y = e x+x (cos(y + y ) + i sin(y + y )) reaalilukujen vastaava laskulaki = e x+x +i(y+y ) = e z+z määritelmä 2C Algebrallisia ominaisuuksia Kompleksilukujen konstruktion alkuperäisenä vaatimattomana tavoitteena oli, että yhtälöllä z 2 + 1 = 0 olisi ratkaisu Itse asiassa kuitenkin voidaan todistaa jopa ns algebran peruslause, eli että jokaisella epävakiolla polymonifunktiolla on nollakohta kompleksitasossa Tästä seuraisi varsin suoraviivaisesti, että n asteen yhtälöllä, jolla ei ole monikertaisia juuria, on n eri kompleksilukuratkaisua Algebran peruslausetta ei ole mahdollista käydä läpi tällä kurssilla, joten tyydytään seuraavaan: 28 Lause Olkoon n N = N {0} Luku z C on yhtälön z n = 1 ratkaisu, 2πi 2πi k jos ja vain jos z = e n k jollakin k Z Yhtälöllä on siis n eri ratkaisua z = e n, k = 0,, n 1 Todistus Tarkastellaan mielivaltaista kompleksilukua z Esitetään se muodossa z = r e iϕ, missä r = z ja ϕ = arg z Koska z n = (r e iϕ ) n = r n (e iϕ ) n = r n e inϕ, luvulle z n pätee z n = r n e i nϕ = r n 1 = r n = z n Jos siis z > 1, niin z n > 1, jos taas z < 1, niin z n < 1 Siten yhtälön z n = 1 ratkaisuja voivat olla vain luvut z C, joille z = 1 Oletetaan siis, että z = 1 eli z = e iϕ Luku z sijaitsee siten kompleksitason yksikköympyrällä ja z n = (e iϕ ) n = e inϕ Toisaalta e inϕ = cos nϕ+i sin nϕ = 1 täsmälleen silloin, kun kulma nϕ on kulman 2π monikerta eli nϕ = k 2π jollakin k Z Tällöin z = e iϕ 2πi k = e n Kun k = 0,, n 1, arg z = k 2π n [0, 2π[ Nämä ratkaisut ovat siis eri ratkaisuja, koska niillä on eri argumentit On helppoa havaita, että muilla arvoilla saatavat ratkaisut palautuvat näihin 8
Kun n N = N {0}, joukossa C n = { z C z n = 1 } on siis n alkiota Joukko C n on jatkossa kanoninen algebrallinen esimerkki 29 Määritelmä a) Alkion z C kertaluku yhteenlaskun suhteen on pienin sellainen n N, että n z = z + + z = 0, jos tällainen on olemassa, muuten ääretön Alkion }{{} nkpl z C kertaluku kertolaskun suhteen on pienin sellainen n N, että z n = z z }{{} jos tällainen on olemassa, muuten ääretön b) Epätyhjä osajoukko A C on yhteenlaskun suhteen suljettu eli vakaa, jos kaikilla z, w A pätee z + w A Joukko A C on kertolaskun suhteen suljettu eli vakaa, jos kaikilla z, w A pätee z w A 210 Esimerkki Joukot N, Z, Q, R ja C ovat tunnetusti suljettuja sekä yhteen- että kertolaskun suhteen Joukko A = {2, 3, 5} ei ole suljettu yhteenlaskun suhteen, koska 3 + 5 = 8 A, eikä kertolaskun suhteen, sillä 2 3 = 6 A, Olkoon n N Joukko C n ei ole suljettu yhteenlaskun suhteen, koska 1 C n, mutta 1 + 1 = 2 C n, sillä 2 n > 1 C n on kuitenkin suljettu kertolaskun suhteen, koska jos w, z C n, niin w n = 1 ja z n = 1, joten (zw) n = z n w n = 1 1 = 1 Kertaluku yhteenlaskun suhteen osoittautuu triviaaliksi: 211 Lemma Luvun 0 kertaluku yhteenlaskun suhteen on yksi Jos z C, z 0, niin luvun z kertaluku yhteenlaskun suhteen on ääretön Jos z C, z 1, niin luvun z kertaluku kertolaskun suhteen on ääretön Todistus Luvun 0 kertaluku yhteenlaskun suhteen on 1, koska 1 0 = 0 Olkoon z = x + iy C = C {0}, x, y R Tällöin x 0 tai y 0, joten voidaan vedota reaalilukujen ominaisuuksiin: Edellisessä tapauksessa nx 0, jälkimmäisessä ny 0, kun n N, joten kaikilla n N nz = nx + i(ny) 0 Jos z C, z 1, niin kaikilla n N pätee z n = z n 1 ( z R), joten z n 1 Siis tällöin luvun z kertaluku kertolaskun suhteen on ääretön Joukoista C n saadaan epätriviaaleja esimerkkejä Esimerkiksi joukon C 6 alkion e πi 3 kertaluku kertolaskun suhteen on 6, sillä nkpl = 1, (e πi 3 ) 6 = e 2πi = cos 2π + sin 2π = 1 + i 0 = 1, mutta arg ( ) (e πi 3 h) = arg((e h πi 3 )) = hπ 3 0, kun h = 1,, 5 212 Lause Olkoon z C ja A suppein kertolaskun suhteen suljettu joukko, jolla on alkionaan z Tällöin jos alkion z kertaluku kertolaskun suhteen on n N, niin joukossa A on n alkiota Jos kertaluku on ääretön, niin joukko A on myös ääretön 9
2D Tason yhteneväisyyskuvauksista Alkeisgeometriasta tiedetään, että tason kuvaus f on yhteneväisyyskuvaus, jos se säilyttää pisteiden väliset etäisyydet Koska pisteiden z, w C etäisyys on z w ja kuvapisteiden f(z) ja f(w) etäisyys f(z) f(w), ehdon voi kirjoittaa seuraavasti: f: C C on yhteneväisyyskuvaus täsmälleen silloin, kun kaikilla z, w C pätee f(z) f(w) = z w Seuraavassa lauseessa esiintyvät perusyhteneväisyyskuvaukset 213 Lause Olkoot ϕ R ja t C Peilaus p: C C, p(z) = z, kierto kulman ϕ verran origon ympäri r: C C, r(z) = z e iϕ, ja siirto luvun t verran s: C C, s(z) = z + t, ovat yhteneväisyyskuvauksia Todistus Olkoot z, w C Tällöin p(z) p(w) = z w = z + w = z + ( w) = z w, r(z) r(w) = ze iϕ we iϕ = (z w)e iϕ = z w e iϕ = z w 1 = z w ja s(z) s(w) = z + t (w + t) = z w Laskuharjoituksissa on osoitettu, että kaikki yhteneväisyyskuvaukset saadaan näitä yhdistelemällä 10