Y56 Kevät 00 Y56 askuharjoitukset 4 - Mallivastaukset Harjoitus. Tuotantoteknologia Tavoitteena on oppia hahmottamaan yrityksen tuotantoa samatuotoskäyrien ja tuotantofunktion kautta, ja ymmärtää niiden suhde toisiinsa nähden. Viljelijän tuotantofunktio on panos T maa-alan määrä. y f( T, ) T, jossa panos on työvoiman määrä ja a) aske ja piirrä kuvioon vähintään kolme kombinaatiota panoksista ja T, joilla viljelijä tuottaa määrän y = 4. Johda näiden kombinaatioiden avulla viljelijän tuotannon samatuotoskäyrä tuotannon tasolle y = 4. Halutut pisteen voidaan ratkaista asettamalla tuotanto: y = 4, jolloin voidaan tuotantofunktiosta ratkaista jompikumpi panoksista: 4T 6 T 6 T Nyt sijoittamalla esim. :n arvot =,, 4 saadaan 6 6 6 T 6, T 8, T 4. 4 Eli saadaan panoskombinaatiot (, T) = (, 6) ja (, T) = (, 8) ja (, T) = (4, 4). Pisteet voidaan piirtää ja niiden kautta yhdistää samatuotoskäyrä, joka havainnollistaa ne panosten kombinaatiot, jotka tuottavat määrän 4.
Y56 Kevät 00 T tuotantopanos x (,6) (,8) Samatuotoskäyrät (isokvantit) (4,4) tuotantopanos X tuotantopanos x b) Viljelijä ei voi lyhyellä aikavälillä muuttaa viljelemänsä maa-alan määrää. Piirrä ja nimeä kuvioon viljelijän tuotantomahdollisuuksien joukko ja tuotantofunktio, kun maan pinta-ala on kiinteä T ja vain työvoiman määrä on muuttujana. (Vinkki: käytä esim. työvoiman määriä 0,, 4, 9, 6) Nyt kun piirretään tuotantomahdollisuuksien joukko ja sen yläreuna eli tuotantofunktio, niin täytyy vaihtaa tarkasteltavaa kehikkoa eli siis muuttaa akselien nimet. Tuotantomahdollisuuksien joukko ja tuotantofunktio piirretään siten, että oletetaan tehtävänannon mukaisesti yksi kiinteä panos: T, ja varioidaan toisen panoksen arvoa, esim. = 0,, 4, 9, 6, jolloin saadaan erilaisia tuotannon y arvoja. Sijoittamalla ensin kiinteä panos T saadaan: y T y y y Jolloin voidaan sijoittaa esim. annetut :n arvot 0,, 4, 9, 6:
Y56 Kevät 00 3 y 0 0 y y 4 y 9 3 y 6 4 Nyt pisteet voidaan piirtää koordinaatistoon: f (0,) 0 f (,) f (4,) f (9,) 3 f (6,) 4 y 4 3 y = ½ 4 9 6
Y56 Kevät 00 4 c) Piirrä edelliseen kuvaan, mutta eri värillä, miten viljelijän tuotantofunktio käyttäytyy pitkällä aikavälillä, kun viljelijä voi sopeuttaa myös maan määrää ja korottaa sen määrän neljään yksikköön. Nyt tehdään täysin sama laskutoimitus, mutta kiinnitetään maa-alan määrä neljään yksikköön T 4. Sijoittamalla ensin kiinteä panos T 4 saadaan: y T y 4 y y Jolloin voidaan sijoittaa esim. annetut :n arvot 0,, 4, 9, 6: y 0 0 y y 4 4 y 9 6 y 6 8 Nyt pisteet voidaan piirtää edelliseen koordinaatistoon: f (0,4) 0 f (,4) f (4,4) 4 f (9,4) 6 f (6, 4) 8
Y56 Kevät 00 5 y y = ½ 4 3 y = ½ 4 9 6 d) Miten työvoiman rajatuottavuus (MP of labor) käyttäytyy pitkällä aikavälillä? Havainnollista rajatuotoskäyrä myös graafisesti (Vinkki: käytä em. työvoiman määriä): Työvoiman rajatuottavuus kertoo, miten työvoimapanoksen tuottavuus muuttuu. Pitkällä aikavälillä tarkoitin tehtävänannossa tilannetta, jossa 4 T. Matemaattisesti rajatuottavuus saadaan derivoimalla tuotantofunktiota tarkasteltavan panoksen suhteen: f( T, ) ( T ) T T MP Kun T 4 voidaan kirjoittaa:
Y56 Kevät 00 6 MP 4 Jälleen sijoittamalla esim. annetut :n arvot 0,, 4, 9, 6 saan rajatuotokseksi: MP MP MP MP MP 0 0 4 9 3 6 4 ukuparit voidaan piirtää koordinaatistoon, jossa x-akselilla on työvoimapanoksen määrä ja y-akselilla rajatuottavuus MP: MP / /3 /4 f( T, ) 4 9 6
Y56 Kevät 00 7 Kuva kertoo, että työvoiman rajatuottavuus on aleneva, kun toisen panoksen määrä on kiinteä. Rajatuottavuuden matemaattinen tulkinta on, että se kertoo edellä piirretyn tuotantofunktion kulmakertoimen kullakin tarkasteltavalla työvoiman määrällä. Oikeaksi vastaukseksi hyväksyttiin myös sama tarkastelu tehtynä tuotantofunktion avulla. Vastaukseksi sai siis piirtää myös tuotantofunktion ja siihen tuli havainnollistaa kulmakertoimen käyttäytyminen ( = rajatuottavuus kussakin tuotantofunktion tarkasteltavassa pisteessä). y y = ½ 4 3 Kulmakerroin eli tuotantofunktion tangentti kussakin pisteessä, ts. MP 4 9 6
Y56 Kevät 00 8 e) Muodosta vielä panosten välinen tekninen rajakorvaussuhde MRTS panoskombinaatiolle (4,4) ja kahdelle muulle a-kohdassa määrittelemällesi panoskombinaatiolle. Minkä tulkinnan annat tuloksillesi? Samatuotoskäyrä kertoo, että tietty sama tuotanto voidaan saada aikaan eri panoskombinaatioilla. Tekninen rajakorvaussuhde kertoo, miten pysytään samalla samatuotoskäyrällä, siis samalla tuotannon tasolla, mutta voidaan vaihtaa panoksia toisiinsa. Matemaattisesti MRST muodostetaan seuraavasti: MRTS MP MP. T asketaan nyt annetusta tuotantofunktiosta MP ja MPT: f( T, ) ( T ) T T MP ja f( T, ) ( T ) T T T MPT T Nyt MRTS voidaan kirjoittaa: T T T T T T T MRTS T
Y56 Kevät 00 9 (Muista miinus etumerkkinä!) Nyt tekninen rajakorvaussuhde voidaan laskea halutuille pisteille (, T). Käytetään kolmea a-kohdan pistettä (4,4), (,6) ja (,8): 4 MRTS(4, 4) 4 MRTS(,6) 6 MRTS(,8) 8 4 Mitä tulokset kertovat? Muistetaan, että MRTS kertoo samatuotoskäyrän kulmakertoimen eli käytännössä siis sen, miten panoksia voidaan vaihtaa toisiinsa kussakin pisteessä. Siis: pisteessä (4,4) kulmakerroin on - ja tiedetään, että yhden työvoimayksikön vaihtaminen yhteen maaalayksikköön tuottaa edelleen saman tuotannon. Pisteessä (,8) nähdään, että kulmakerroin on -/4 ja tiedetään, että kun työvoimapanosta on jo valmiiksi alhainen määrä, niin tarvitaan nelinkertainen määrä maa-alaa, jos halutaan pitää yllä sama tuotannon taso ja luopua yhdestä yksiköstä työvoimaa. (Jos tulokset pitäisi piirtää kuvassa, niin tulisi merkitä kulmakerroin samatuotoskäyrälle kussakin tarkasteltavassa pisteessä!) f) aske lopuksi minkälaiset skaalatuotot viljelijän tuotantoteknologialla on? Muistetaan, että skaalatuotot kertovat, mitä tuotannolle tapahtuu, jos kaikkia panoksia nostetaan yhtäaikaisesti. Kokeillaan, mitä tapahtuu, jos panosten määrää nostetaan k:n verran: f ( k, kt) ( k) ( kt ) k k T k T k T k T kf (, T ) eli nähdään, että kummankin panoksen korottaminen k:n verran nostaa alkuperäistä tuotantoa juuri saman k:n verran. Kyseessä on siis vakioiset skaalatuotot. Saman tuloksen voi laskea myös numeerisesti tai toteamalla, että kyseessä on Cobb- Douglas-tuotantofunktio, jolloin panosten eksponentit voidaan summata:, jolloin kyseessä on siis vakioiset skaalatuotot.
Y56 Kevät 00 0 Ongelmia ratkaisuissa: -Cobb-Douglas tuotantofunktion derivointi tuotti osalle vaikeuksia. Tarkista, että osaat tulon derivoinnin. -Tulkinnat uupuivat usein. Tarkista, että ymmärrät intuitiivisesti, mitä MP ja MRTS tarkoittavat. Matemaattinen ratkaisu tarvitsee aina rinnalleen myös sanallisen selityksen eli oman tulkintasi saavuttamistasi tuloksista. -Kehikon vaihtaminen samatuotoskäyrän tarkastelusta tuotantofunktion tarkasteluun ja siitä rajatuottavuuden tarkasteluun tuotti osalle vaikeuksia. Tarkista, että ymmärrät, missä koordinaatistossa mitäkin tekijää tarkastellaan ja miksi. Harjoitus. Tuotantoteknologia: eontiefin teknologia Tavoitteena on ymmärtää kiinteäsuhteisen teknologian ominaisuuksia. x Yrityksen tuotantofunktio on muotoa y f( x, x) min, x. a) Piirrä tuotantofunktion samatuotoskäyrät (esim. kaksi ensimmäistä samatuotoskäyrää yhden ja kahden lopputuoteyksikön tuottamisesta (aseta y = ja y = ). b) Muodosta tuotantofunktiosta tekninen rajakorvaussuhde MRTS (Vinkki: Muista, että rajakorvaussuhde kertoo samatuotoskäyrän kulmakertoimen! Mieti miten kulmakerroin käyttäytyy tässä tapauksessa.) c) Minkä tulkinnan annat kohdan b) tulokselle? Keksitkö esimerkkiä? d) Oletetaan, että panoksen määrä on lyhyellä aikavälillä kiinteä: x. Piirrä nyt yrityksen tuotantofunktio, kun vain panoksen määrää on mahdollista varioida.
Y56 Kevät 00 Ratkaisu: a) Kyseessä on kiinteäsuhteinen tuotantoteknologia eli nk. eontief-tuotantofunktio. Teknologia on tässä sellainen, että yhden yksikön tuottamiseksi tarvitaan kaksi yksikköä panosta ja yksi yksikköä panosta. Ensimmäisen samatuotoskäyrän (siis isokvantin) muodostavat ne panosten kombinaatiot ( x, x ), joille pätee: min{x /, x } =. Toiselle käyrälle pätee samoin: min{x /, x } =. (Asetetaan siis y = tai y =.) Nämä isokvantit on havainnollistettu seuraavassa kuvassa. Yleisemmin kiinteäsuhteiselle tuotannolle pätee: y = min{ax,bx}, ja isokvantit ovat kuten alla.
Y56 Kevät 00 b) Tekninen rajakorvaussuhde (MRTS) kiinteäsuhteiselle tuotantoteknologialle. Rajakorvaussuhde kertoo, miten panoksia voidaan vaihtaa toisiinsa saman tuotannon ylläpitämiseksi. Graafisesti rajakorvaussuhde kertoo samatuotoskäyrän kulmakertoimen. Koska kiinteäsuhteisen tuotannon samatuotoskäyrät ovat :n muotoisia, niin MRTS on joko 0 tai riippuen siitä, mikä on panosten ja suhteellinen määrä. Kulmakerroin on samatuotoskäyrän vertikaalisella osuudella ja 0 samatuotoskäyrän horisontaalisella osuudella. Kulmassa kulmakerrointa ei voida määritellä (koska derivaattaa ei voi ottaa kulmassa)! Tarkemmin voidaan kirjoittaa: Tapaukselle y = min{x /, x }pätee x MRTS(x /, x ) = jos x 0 jos x x ja MRTS:ää ei voida siis määritellä, jos x / = x. Yleisemmin kiinteäsuhteiselle teknologialle y = min{x, x }pätee: MRTS(x, x ) = jos x < x 0 jos x > x ja MRTS:ää ei voida määritellä, jos x = x. (Suoralla x = x samatuotoskäyrät ovat kulmikkaita.) c) Mikä on siis MRTS:n tulkinta kiinteäsuhteisen tuotannon tapauksessa? eontief teknologiassa ei ole subsitituution mahdollisuutta. Panoksia ei voida siis vaihtaa toisiinsa. uennon esimerkkiä seuraten: sukkapuikkojen lisääminen yhtä neulojaa kohden ei lisää tuotantoa yhtään. Myöskään neulojien lisääminen ei auta ellei samalla lisätä sukkapuikkojen määrää. Panoksia täytyy siis lisätä kiinteässä suhteessa toisiinsa eikä toisen panoksen vähentämistä voida korvata toisella panoksella saman tuotannon tason säilyttämiseksi.
Y56 Kevät 00 3 Toinen mahdollinen esimerkki kiinteäsuhteisesta tuotantoteknologiasta on resepti. Jos esim. pähkinämurot sekoitetaan pähkinöistä ja muroista suhteella y = min{x /, x }, missä x on murojen määrä ja x on pähkinöiden määrä, niin lisää myyntiin valmiita muropakkauksia y saadaan vain lisäämällä murojen määrää : pähkinöiden määrään nähden. d) Miten piirretään tuotantofunktio annetulle kiinteäsuhteiselle teknologialle: Kun piirretään tuotantofunktio, niin pitää muistaa, että tarkastelu tehdään eri koordinaatistossa kuin samatuotoskäyrien tarkastelu! x Nyt y f( x, x) min, x, jolloin sijoittamalla ensin annettu kiinteä panos x saadaan: x x y f( x, x) min, xmin, Nyt sijoittamalla x :n arvoja, nähdään miten tuotanto muuttuu: 0 f (0,) min,min0,0 f (,) min,min, f (,) min,min, 3 f (3,) min,min, 4 f (4,) min,min, 5 f (5,) min,min, 6 f (6,) min,min3, jne.
Y56 Kevät 00 4 Eli pienempi panoksista määrittää tuotannon määrän, jolloin on selvää, että kun suurempi kuin, niin kiinteä panos rajoittaa tuotannon kahteen yksikköön, vaikka muuttuvan panoksen määrä kuinka nousisi. Siis: jos neulojia on vain kaksi (x = neulojat), niin suikkapuikkojen (x = puikot) kasvattaminen yli neljän puikon ei enää lisää villasukkien määrää. Käytännössä tässä käytetyssä esimerkissä ei saataisi tuotantoa aikaiseksi yhtään, niin kauan kun sukkapuikkojen määrä on alle kolmella. Kun puikkoja on kolme ja neulojia, niin toinen neuloja saa kaksi puikkoa ja voi kutoa yhden villasukan, toinen ei kuitenkaan voi kutoa puolikasta. Em. luvut soveltuvatkin paremmin muroesimerkkiin, jossa tuotanto ei ole määrittelemätön panoksen x määrään 3 asti. Muroja voidaan sekoittaa vain tietyllä suhteella, mutta kaikista positiivisista määristä. x on Kuvio havainnollistaa:
Y56 Kevät 00 5 Harjoitus 3. Voiton maksimointi lämmittelyä. Tavoitteena on oppia muodostamaan yksinkertainen voitonmaksimointiongelma ja osata ratkaista se. Yritys toimii kilpailullisilla markkinoilla ja tuottaa määrän q. Sen kiinteät kustannukset ovat 0 ja muuttuvat kustannukset 0q + q. a) opputuotteen hinta on p = 0. Ratkaise yrityksen maksimointiongelma. Mikä on voiton maksimoiva tuotannon taso? b) aske myös yrityksen myyntitulot, kokonaiskustannukset ja voitto. Ratkaisu: a) Yrityksen voitot voidaan kirjoittaa pq(0qq 0) 0q0qq 0. Yrityksen maksimointiongelma on siten: max 0q 0q q 0 q, jonka ensimmäisen kertaluvun ehto (optimin välttämätön ehto) päätösmuuttujan q suhteen on: FOC. 0 0 4q 0 Tästä voidaan ratkaista optimaalinen tuotannon taso, ts. voiton maksimoiva tuotannontaso: 0 0 4q 0 004q 0 4q 00 q * 5 Varmistetaan vielä, että ratkaisu on varmasti vastaus yrityksen maksimointiongelmaan eli otetaan toisen kertaluvun ehto (ts. toisen derivaatan testi): SOC. -4 < 0 eli kyseessä on todella maksimi.
Y56 Kevät 00 6 b) Myyntitulot, kokonaiskustannukset ja voitto saadaan laskettua sijoittamalla q* = 5: Myyntitulot: pq = 0*5= 750 Kokonaiskustannukset: 0q + q +0 = 0*5+*5 +0 = 50 Voitto: 0q0qq 0 0*5 0*5 *5 0 = 30 tai suoraan erotus myyntitulojen ja kokonaiskustannusten välillä 750-50 = 30. Ongelmia ratkaisuissa: -Moni oletti virheellisesti, että olisi 0q + q tuotantofunktio kun kyseessä ovat muuttuvat kustannukset ja tuotanto on määritelty q:ksi. Nyt kustannukset oli ilmaistu funktiona tuotannosta, ei panoksien kautta. -Voittofunktiota kirjoittaessa pitää olla tarkkana etumerkkien kanssa! Kaikki kustannukset vähentävät voittoja, joten niiden pitää olla negatiivisia! -SOC:n ottaminen sujui, mutta tulkinta jäi osalla puutteelliseksi.
Y56 Kevät 00 7 Harjoitus 4. Voiton maksimointi ja valtion puuttuminen markkinoiden toimintaan Tavoitteena on kehittää voitonmaksimointiongelman ratkaisemisen laskurutiinia ja sisällyttää erilaisia vaikuttavia tekijöitä yrityksen ongelmaan. Yritys toimii kilpailullisilla markkinoilla ja sen tuotantofunktio on 0 y f g g g, missä g on yrityksen käyttämän panoksen määrä. Panoksen hinta on c = 8 ja tuotoksen hinta p = 4. a) Muodosta aluksi yrityksen voiton maksimointiongelma ennen kuin valtio puuttuu markkinoiden toimintaan ja ratkaise se. aske myös yrityksen tuotanto ja voitto. b) Valtio puuttuu markkinoiden toimintaan. Se kerää veroa euroa käytetyltä panosyksiköltä, merkitään veroa (tax): t =. Muodosta nyt yrityksen voitonmaksimointiongelma ja ratkaise se. aske myös yrityksen tuotanto ja voitto. c) Tarkastele nyt tilannetta, jossa valtio tukeekin tuotantoa 0,5 eurolla per tuotettu yksikkö, merkitään tukea (subsidy): s = 0,5. d) Millainen on tilanne, jos valtio samanaikaisesti verottaa panoskäyttöä ja tukee tuotantoa? Kirjoita kaikki johtamasi tiedot alla olevaan taulukkoon. Voit myös kirjoittaa laskujesi välivaiheita esiin. Ongelmia ratkaisuissa: -Tehtävä osattiin pääsääntöisesti hyvin ja sen tarkoituksena oli saada teidät toistamaan maksimointiongelman vaiheet niin monta kertaa, että ne varmasti tulevat jatkossa selkärangasta. Esim. SOC:n ottamista ja tulkintaa ei pidä unohtaa! -Yleisiä virheitä: Ongelman muodostaminen eli osalle veron ja tuen sijoittaminen oikeisiin kohtiin tuotti ongelmia. Vero asetettiin panoksen käytölle, joten se lisää panoskustannuksia. Tuki puolestaan asetettiin tuotannolle, joten se lisää myydystä määrästä saatavia tuloja. Virheistä ei kuitenkaan tässä vaiheessa sakotettu, vaan yrityksestä palkittiin, koska emme olleet ratkaisseet vastaavia tapauksia luennollakaan. -Pisteitä sen sijaan menetti, jos ei ollut osannut määritellä muita kriittisiä tekijöitä oikein (FOC = 0, SOC < 0 ja sijoitukset).
Y56 Kevät 00 8 a b c d Voiton max max pf ( g) cg g gg g max 4(0 ) 8 g max pf( g) ( ctg ) g gg g max 4(0 ) 0 g max ( p s) f ( g) cg g max 4,5(0 ) 8 g g g g max ( psf ) ( g) ( ctg ) g gg g max 4,5(0 ) 0 g FOC pf '( g) c 0 g 808g80 g pf '( g) ( ct) 0 g 808g00 g ( ps) f '( g) c 0 g 909g80 g ( ps) f '( g) ( ct) 0 g 909g00 g SOC pf ''( g) 0 g 80 g pf ''( g) 0 g 80 g ( ps) f ''( g) 0 g 90 g ( ps) f ''( g) 0 g 90 g siis maksimissa ollaan siis maksimissa ollaan siis maksimissa ollaan siis maksimissa ollaan
Y56 Kevät 00 9 Ratkaistaan optimaalinen panoskäyttö ehdosta Optimaaline n g FOC = 0 g*: 808g80 g* 9 80 8g 0 0 g* 8,75 909g 80 g* 9, 90 9g 0 0 g* 8,9 Optimaaline n y Ratkaistaan optimaalinen tuotanto sijoittamalla ratkaistu panos tuotantofunktioon: y*( g*) 0 g* g* y*(9) 99 y*( g*) 0 g* g* y *(8, 75) 98, 4 y*( g*) 0 g* g* y *(9,) 99, y*( g*) 0 g* g* y *(8,9) 98,8 Voitot Ja voitot saadaan sijoittamalla optimaalinen panos voittofunktioon: *( g*) pf ( g*) cg * *(9) 34 *( g*) pf( g*) ( ctg ) * *( g*) ( p s) f ( g*) cg * *( g*) ( psf ) ( g*) ( ctg ) * *(8, 75) 306, 5 *(9,) 373,6 *(8,9) 355, 6
Y56 Kevät 00 0 Harjoitus 5. Kustannusten minimointi Tavoitteena on oppia muodostamaan yrityksen kustannusten minimoinnin ongelma ja ratkaista se. Yrityksen tuotantofunktio on y x 3 x, missä x ja x ovat panosten ja määrät. Panoksien hinnat ovat ( w, w) (, ). Mikä on halvin tapa tuottaa määrä y = 6? Mitkä ovat minimoidut kokonaiskustannukset tuotantomäärän y = 6 tuottamisesta? Ratkaisu: Yrityksen kustannukset ovat Cwx wx ja tuotantofunktio y x 3 x. Yritys haluaa tehtävänannon mukaan tuottaa määrään 6 mahdollisimman halvalla. Muodostetaan nyt yrityksen minimointiongelma: min wx x, x wx ehdolla y = 6 eli min wx x, x wx ehdolla x 3 x 6 Muodostetaan rajoitetusta optimointiongelmasta rajoittamaton agrangen tekniikalla: min wx wx x 3 x 6 x, x Otetaan ensimmäisen kertaluvun ehdot (FOC): w 0 x x 3 w 0 x x x 3 x 6 0 Optimaalisten panoskäyttöjen ratkaisemiseksi on monta eri tapaa. yhyempi tapa on jakaa kaksi ensimmäisen kertaluvun ehtoa puolittain, jolloin panokset saadaan ratkaistua nopeammin ilman, että lambdalle tarvitsee selvittää arvoa:
Y56 Kevät 00 x x 3 w w w w w x 3w x w x 3 w x w x x w 3 3 w x x 9w x x Sijoittamalla ( w, w ) (, ) 4 x saadaan: x 9, joka voidaan sijoittaa esim. tuotantofunktioon (eli rajoitteeseen): 4 3 6 9 x x, jolloin saadaan ratkaistua neliöimällä kummatkin puolet panoksen arvo: x 9 ja jälleen sijoittamalla saadaan: x 8,5. *** Toinen, mutta pidempi tapa on esim. Ratkaistaan x : w w w w x x 0 x x x w x 4w Ratkaistaan vastaavasti x : 3 3 3 w 3 w x 9 w w x 0 x 3 x x w x 4w Voidaan sijoittaa edellä ratkaistuihin yhtälöihin ( w, w) (, ), jolloin saadaan
Y56 Kevät 00 x ja 4 x 9. 6 Sijoitetaan nämä vielä rajoitteeseen : n ratkaisemiseksi: 9 9 9 3 6 0 3 6 6 6 64 5,8 4 6 4 6 4 4 Nyt voimme ilmoittaa panosten x ja x määrät eksplisiittisesti: x 8,5 ja x 9. Entä SOC.? Oikea tapa varmistaa, että yo. panoskombinaatio on ratkaisu yrityksen kustannusten minimointiongelmaan, on reunustetun Hessen matriisin muodostaminen (kiinnostuneet: ks. matematiikka 9b). Toteamme tässä yhteydessä vain, että ko. panoskombinaatio muodostaa ratkaisun minimointiongelmaan. Tuotannon taso y = 6 saavutetaan siis halvimmalla valitsemalla panoskombinaatio ( x; x) (8,5;9). Valitusta panoskombinaatiosta syntyvät minimoidut kokonaiskustannukset saadaan laskettua sijoittamalla ( x; x) (8,5;9) yrityksen kokonaiskustannuksiin: Cwx wx 8,5 9 46,5. Ongelmia ratkaisuissa: - Suurimmalle osalle neliöjuurten laskurutiinit tuottivat ongelmia ja lopulliset tulokset eivät olleet oikeat. Täydet pisteet sai kuitenkin, jos oli osannut muodostaa ja ratkaista ongelman, vaikka ratkaisut numeerisesti eivät olisikaan olleet oikeat. - Osalle tuotti vaikeuksia määritellä alussa kokonaiskustannukset. Osa merkitsi virheellisesti tuotantofunktion osaksi kustannuksia, mutta myös rajoitteeksi. On tärkeää ymmärtää intuitiivisesti, mitä tehtävässä halutaan ratkaistavan, jotta osaa asetella ongelman oikein.