MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Esimerkkikokoelma 1

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Esimerkkikokoelma 1 Aiheet: Joukko-opin peruskäsitteet Todennäköisyyslaskennan peruskäsitteet Todennäköisyyslaskennan peruslaskusäännöt Klassinen todennäköisyys ja kombinatoriikka Todennäköisyyden aksioomat Kokonaistodennäköisyyden ja Bayesin kaavat Avainsanat: Alkeistapahtuma Alkio Bayesin kaava Binomikaava Binomikerroin Ehdollinen todennäköisyys Ehtotapahtuma Empiirinen todennäköisyys Frekvenssi Frekvenssitulkinta Jono Joukko Kertolaskuperiaate Kertoma Klassinen todennäköisyys Koetoisto Kokonaistodennäköisyyden kaava Kombinaatio Kombinatoriikka Komplementti Komplementtitapahtuma Leikkaus Lukumääräfunktio Mahdoton tapahtuma Mitta Osajono Osajoukko Otanta Otanta palauttaen Otanta palauttamatta Otosavaruus Permutaatio Perusjoukko Pistevieraus Riippumattomuus Sattuma Satunnaisilmiö Satunnaiskoe Satunnaisotanta Suhteellinen frekvenssi Suhteellinen osuus Suotuisa alkeistapahtuma Tapahtuma Todennäköisyys Toisensa poissulkevuus Tyhjä joukko Tulosääntö Unioni Variaatio Varma tapahtuma Yhdiste Yhteenlaskuperiaate Yhteenlaskusääntö Joukko-oppi Joukko ja sen alkiot Joukko voidaan määritellä luettelemalla sen alkiot. Matematiikassa joukko määritellään usein antamalla ehto, jonka joukon alkioiden on toteutettava. Joukkoja on aina syytä tarkastella jonkin hyvin määritellyn perusjoukon osajoukkoina. Jos perusjoukon S alkio x on joukon A alkio eli x kuuluu joukkoon A, niin merkitsemme Milla Kibble ja Ilkka Mellin (2013) 1/41

x A Vastaavasti, jos perusjoukon S alkio x ei ole joukon A alkio eli x ei kuulu joukkoon A, niin merkitsemme x A Jos A on niiden perusjoukon S alkioiden x joukko, jotka toteuttavat ehdon P(x) eli joille lause P(x) on tosi, niin merkitsemme Ax S P( x) Jos joukko A on äärellinen ja sen alkiot ovat niin merkitsemme Osajoukko a 1, a 2,, a n A = {a 1, a 2,, a n } Olkoot joukot A ja B perusjoukon S osajoukkoja. Jos jokainen joukon A alkio on myös joukon B alkio, joukko A on joukon B osajoukko ja merkitsemme A B. Siten Tyhjä joukko AB, jos ja vain jos xax B Joukko on tyhjä, jos siinä ei ole yhtään alkiota. Merkitsemme tyhjää joukkoa symbolilla Tyhjä joukko on kaikkien joukkojen osajoukko. Jos siis A on perusjoukon S mielivaltainen osajoukko, niin A Joukko-opin perusoperaatiot: yhdiste Olkoot joukot A ja B perusjoukon S osajoukkoja. Joukkojen A ja B unioni eli yhdiste AB on niiden perusjoukon S alkioiden joukko, jotka kuuluvat joukkoon A tai joukkoon B (tai molempiin): AB xs xatai x B Joukko-opin perusoperaatiot: leikkaus Olkoot joukot A ja B perusjoukon S osajoukkoja. Joukkojen A ja B leikkaus AB on niiden perusjoukon S alkioiden joukko, jotka kuuluvat joukkoon A ja joukkoon B: Jos AB xs xaja x B AB = niin sanomme, että joukot A ja B ovat pistevieraita. Joukko-opin perusoperaatiot: komplementti Olkoon joukko A perusjoukon S osajoukko. Joukon A komplementti A c on niiden perusjoukon S alkioiden joukko, jotka eivät kuulu joukkoon A: Milla Kibble ja Ilkka Mellin (2013) 2/41

c A xs x A Joukko-opin perusoperaatiot: erotus Olkoot joukot A ja B perusjoukon S osajoukkoja. Joukkojen A ja B erotus A\B on niiden perusjoukon S alkioiden joukko, jotka kuuluvat joukkoon A, mutta eivät kuulu joukkoon B: Selvästi A\B = x xaja x B A\B = AB c Joukko-opin perusoperaatioiden laajennuksia: yhdiste Olkoot A 1, A 2,, A k perusjoukon S osajoukkoja. Joukkojen A 1, A 2,, A k unioni eli yhdiste on k i1 1 2 A A A A xs onolemassai 1,2,, k siten, että x A k Olkoot A i, i = 1, 2, perusjoukon S osajoukkoja. Joukkojen A i, i = 1, 2, unioni eli yhdiste on i1 A xs onolemassai 1,2, siten, että x Ai Joukko-opin perusoperaatioiden laajennuksia: leikkaus Olkoot A 1, A 2,, A k perusjoukon S osajoukkoja. Joukkojen A 1, A 2,, A k leikkaus on k i1 i 1 2 k i A A A A xs xa kaikillei = 1,2,, k Olkoot A i, i = 1, 2, perusjoukon S osajoukkoja. Joukkojen A i, i = 1, 2, leikkaus on i1 A xs xa kaikillei 1,2, i i i Todennäköisyys ja sen määritteleminen Satunnaisilmiö Reaalimaailman ilmiö on stokastinen ilmiö eli satunnaisilmiö, jos sillä on seuraavat ominaisuudet: (i) (ii) Ilmiö voi päätyä alkutilastaan useisiin erilaisiin lopputiloihin eli ilmiöllä on useita erilaisia vaihtoehtoisia tuloksia. Ilmiön alkutilan perusteella ei voida tarkasti ennustaa ilmiön lopputilaa eli sitä, mikä mahdollisista tulosvaihtoehdoista realisoituu eli toteutuu. (iii) Vaikka ilmiön lopputilaa ei voida ennustaa tarkasti, tulosvaihtoehtojen suhteellisten frekvenssien eli osuuksien nähdään ilmiön toistuessa käyttäytyvän säännönmukaisesti. Kutsumme satunnaisilmiötä usein satunnaiskokeeksi ja satunnaisilmiön esiintymiskertaa koetoistoksi. Todennäköisyyslaskennan peruskäsitteet Todennäköisyyslaskennan peruskäsitteet ovat otosavaruus, tapahtuma ja alkeistapahtuma: Milla Kibble ja Ilkka Mellin (2013) 3/41

(i) (ii) Sanomme, että satunnaisilmiön tulosvaihtoehto on alkeistapahtuma, jos satunnaisilmiötä ei voida purkaa sitä alkeellisempiin tulosvaihtoehtoihin Kutsumme satunnaisilmiön kaikkien alkeistapahtumien muodostamaa joukkoa otosavaruudeksi. (iii) Satunnaisilmiön tapahtumat ovat satunnaisilmiön alkeistapahtumien muodostamia otosavaruuden osajoukkoja. Kun sanomme, että jokin tapahtuma sattuu, tarkoitamme aina sitä, että jokin tapahtumaan liittyvistä alkeistapahtumista sattuu. Todennäköisyyslaskennan ja joukko-opin peruskäsitteet vastaavat seuraavalla tavalla toisiaan: Otosavaruus Perusjoukko Alkeistapahtuma Perusjoukon alkio Tapahtuma Perusjoukon osajoukko Todennäköisyys ja sen perusominaisuudet Olkoon A jokin otosavaruuden S tapahtuma eli olkoon A S Todennäköisyys Pr() on joukkofunktio, joka liittää tapahtumaan A reaaliluvun: Pr( A) Todennäköisyyden perusominaisuudet: (i) (ii) Olkoon tapahtuma A jokin otosavaruuden S tapahtuma. Tällöin 0 Pr(A) 1 Tyhjä joukko on mahdoton tapahtuma ja Pr() = 0 (iii) Otosavaruus S on varma tapahtuma ja Lukumääräfunktio Olkoon Pr(S) = 1 na n( A) funktio, joka kertoo joukon A alkioiden lukumäärän. Jos siis A a1 a2 a k {,,, } on äärellinen joukko, jonka alkioiden lukumäärä on k, niin n n( A) k A Kutsumme funktiota n() lukumääräfunktioksi. Klassinen todennäköisyys Oletetaan, että äärellisen otosavaruuden Milla Kibble ja Ilkka Mellin (2013) 4/41

alkeistapahtumat S = {s 1, s 2,, s n } s i, i = 1, 2,, n ovat symmetrisiä eli yhtä todennäköisiä ja olkoon tapahtuma A otosavaruuden S osajoukko. Tällöin tapahtuman A klassinen todennäköisyys Pr(A) saadaan määräämällä tapahtumalle A suotuisien alkeistapahtumien suhteellinen osuus kaikkien alkeistapahtumien joukossa eli jossa ja na ( ) Pr( A) ns ( ) Empiirinen todennäköisyys n(a) = tapahtumalle A suotuisien alkeistapahtumien lukumäärä = joukkoon A kuuluvien alkeistapahtumien lukumäärä n(s) = kaikkien mahdollisten alkeistapahtumien lukumäärä = otosavaruuteen S kuuluvien alkeistapahtumien lukumäärä Tarkastellaan satunnaiskoetta, jota voidaan toistaa siten, että seuraavat ehdot pätevät: (i) (ii) Kokeen olosuhteet säilyvät muuttumattomina koetoistosta toiseen. Koetoistot ovat riippumattomia siinä mielessä, että yhdenkään koetoiston tulos ei riipu siitä mitä tuloksia muista koetoistoista saadaan. Tarkkaillaan tapahtuman A esiintymistä koetoistojen aikana. Jos tapahtuman A suhteellinen frekvenssi eli osuus koetoistoista käyttäytyy stabiilisti eli lähestyy (jossakin mielessä) jotakin kiinteätä lukua koetoistojen lukumäärän kasvaessa rajatta, lukua kutsutaan tapahtuman A empiiriseksi todennäköisyydeksi. Oletetaan siis, että satunnaiskoetta toistetaan n kertaa ja olkoon f A tapahtuman A frekvenssi eli lukumäärä koetoistojen joukossa. Tällöin f A n on tapahtuman A suhteellinen frekvenssi eli suhteellinen osuus koetoistojen joukossa. Jos koetoistojen lukumäärän n annetaan kasvaa rajatta ja tällöin (jossakin mielessä) f A n p A niin sanomme, että luku p A on tapahtuman A empiirinen todennäköisyys. Todennäköisyys mittana Todennäköisyys on mitta, joka mittaa satunnaisilmiön tapahtumavaihtoehtojen sattumisen mahdollisuutta. Todennäköisyyden aksiomaattinen määrittely Milla Kibble ja Ilkka Mellin (2013) 5/41

Yksikään näistä todennäköisyyden naiiveista määritelmistä ei täytä hyvän matemaattisen määritelmän tunnusmerkkejä. Matemaattisesti kelvollisen yleisen määritelmän todennäköisyydelle esitti venäläinen matemaatikko A. N. Kolmogorov 1930-luvun alussa. Kolmogorovin aksioomien mukaan todennäköisyyslaskenta on matemaattisen mittateorian osa. Todennäköisyyden naiivit määritelmät voidaan sijoittaa sopivasti muotoiltuina Kolmogorovin aksioomajärjestelmään todennäköisyyden käsitteen tulkintoina tai kuvauksina. Todennäköisyyden aksioomat Olkoon S otosavaruus, jossa satunnaisilmiötä tarkastellaan. (i) Pr( S) 1 (ii) Jokaisen tapahtuman A S todennäköisyys Pr(A) on reaaliluku välillä [0,1]: 0Pr( A) 1 (iii) Jos tapahtumat A1, A2, A 3,... ovat toisensa poissulkevia, A, A, A, S ja A A, i j, sitten 1 2 3 Pr( Ai) Pr( Ai) i1 i1 i j Todennäköisyyden frekvenssitulkinta Oletetaan, että toistamme jotakin satunnaiskoetta ja tarkkailemme jonkin tapahtuman suhteellisen frekvenssin käyttäytymistä koetoistojen aikana. Todennäköisyyden frekvenssitulkinnan mukaan ko. tapahtuman koetoistoista määrätty suhteellinen frekvenssi vaihtelee satunnaisesti koetoistosta toiseen, mutta saa keskimäärin ko. tapahtuman todennäköisyyttä lähellä olevia arvoja. Vahvistavatko havainnot tämän on empiirinen kysymys. Olkoon tapahtuman A todennäköisyys Pr(A) = p Oletetaan, että sitä satunnaiskoetta, jonka tulosvaihtoehtona tapahtuma A on, toistetaan n kertaa. Tällöin todennäköisyyden frekvenssitulkinnasta seuraa, että on odotettavissa, että tapahtuman A frekvenssi f A on lähellä lukua np Todennäköisyyslaskennan peruslaskusäännöt Todennäköisyyslaskennan perusoperaatiot Tarkoitamme johdetulla tapahtumalla tapahtumaa, joka saadaan joukko-opin operaatioilla toisista tapahtumista. Todennäköisyyslaskennan peruslaskusäännöillä tarkoitetaan laskusääntöjä, joilla jonkin johdetun tapahtuman todennäköisyys saadaan määrätyksi toisten tapahtumien todennäköisyyksien avulla. Todennäköisyyslaskennan ja joukko-opin perusoperaatiot vastaavat seuraavalla tavalla toisiaan: Milla Kibble ja Ilkka Mellin (2013) 6/41

Tapahtuma A ei satu eli tapahtuman A komplementtitapahtuma sattuu Joukon A komplementti A c Tapahtuma A sattuu tai tapahtuma B sattuu tai molemmat sattuvat Joukkojen A ja B unioni eli yhdiste AB Tapahtuma A sattuu ja tapahtuma B sattuu Joukkojen A ja B leikkaus AB Tapahtuma A sattuu ja tapahtuma B ei satu Joukkojen A ja B erotus A\B Komplementtitapahtuman todennäköisyys Olkoon tapahtuma A otosavaruuden S osajoukko. Joukon A komplementtitapahtuman todennäköisyys on c A xs x A Pr(A c ) = 1 Pr(A) Yhdisteen todennäköisyys Olkoot tapahtumat A ja B otosavaruuden S osajoukkoja. Tällöin Pr(AB) on todennäköisyys sille, että tapahtuma A sattuu tai tapahtuma B sattuu tai molemmat sattuvat. Leikkauksen todennäköisyys. Olkoot tapahtumat A ja B otosavaruuden S osajoukkoja. Tällöin Pr(AB) on todennäköisyys sille, että tapahtuma A sattuu ja tapahtuma B sattuu. Yleinen yhteenlaskusääntö Yleisen yhteenlaskusäännön mukaan Pr(AB) = Pr(A) + Pr(B) Pr(AB) Toisensa poissulkevien tapahtumien yhteenlaskusääntö Jos tapahtumat A ja B eivät voi sattua samanaikaisesti eli ovat toisensa poissulkevia, niin AB = Siten toisensa poissulkevat tapahtumat ovat joukkoina pistevieraita. Jos tapahtumat A ja B ovat toisensa poissulkevia eli AB =, niin pätee toisensa poissulkevien tapahtumien yhteenlaskusääntö Pr(AB) = Pr(A) + Pr(B) Olkoot A 1, A 2,, A k pareittain toisensa poissulkevia, jolloin A i A j =, kun i j. Tällöin yhdisteen A 1 A 2 A k = A 1 tai A 2 tai tai A k sattuu Milla Kibble ja Ilkka Mellin (2013) 7/41

todennäköisyys on Ehdollinen todennäköisyys Pr(A 1 A 2 A k ) = Pr(A 1 ) + Pr(A 2 ) + + Pr(A k ) Olkoot tapahtumat A ja B otosavaruuden S osajoukkoja. Tällöin tapahtuman A ehdollinen todennäköisyys ehdolla, että tapahtuma B on sattunut, saadaan kaavalla Pr( A B) Pr( A B) Pr( B) jossa Pr(AB) on todennäköisyys, että tapahtuma A ja tapahtuma B ovat sattuneet eli Pr(AB) on tapahtumien A ja B leikkauksen todennäköisyys. Yleinen tulosääntö Yleisen tulosäännön mukaan Pr(AB) = Pr(A B)Pr(B) Tarkastellaan tapahtumia A 1, A 2,, A k. Tällöin leikkauksen todennäköisyys on A 1 A 2 A k = A 1 ja A 2 ja ja A k sattuvat Pr( A A A ) 1 2 k Pr( A1) Pr( A2 A1) Pr( A3 A1A2) Pr( Ak A1A2 Ak 1) Riippumattomuus ja riippumattomien tapahtumien tulosääntö Tapahtumat A ja B ovat riippumattomia, jos ja vain jos riippumattomien tapahtumien tulosääntö Pr( AB) Pr( A)Pr( B) pätee. Riippumattomien tapahtumien tulosääntö on yhtäpitävä sen kanssa, että Pr( A B) Pr( A) Tarkastellaan tapahtumia A 1, A 2,, A k. Jos tapahtumat A 1, A 2,, A k ovat riippumattomia, niin pätee riippumattomien tapahtumien tulosäännön yleistys Satunnaisotanta ja tulosääntö Pr( A A A ) Pr( A)Pr( A )Pr( A) Pr( A ) 1 2 k 1 2 3 Olkoon perusjoukko S äärellinen. Yksinkertaisessa satunnaisotannassa perusjoukosta S poimitaan osajoukko B arpomalla perusjoukosta alkioita osajoukkoon B yksi alkio kerrallaan. Osajoukkoa B kutsutaan otokseksi ja arvonnassa käytettyä menetelmää otantamenetelmäksi. Tarkastellaan todennäköisyyttä saada otokseen B alkioita perusjoukon S osajoukosta A: k (i) (ii) Jos otanta tehdään ilman takaisinpanoa eli palauttamatta poimittua alkiota takaisin perusjoukkoon, poimintatodennäköisyyksiä määrättäessä on sovellettava yleistä tulosääntöä. Jos otanta tehdään takaisinpanolla eli palauttamalla poimittu alkio aina takaisin perusjoukkoon, poimintatodennäköisyyksiä määrättäessä on sovellettava riippumattomien tapahtumien tulosääntöä. Milla Kibble ja Ilkka Mellin (2013) 8/41

Klassinen todennäköisyys ja kombinatoriikka Satunnaiskokeen tulosvaihtoehtojen lukumäärien laskeminen on usein epätriviaali tehtävä ja apuna tarvitaan kombinatoriikaksi kutsuttua matematiikan osa-aluetta. Kombinatoriikan perusperiaatteet Tässä esitettävät kombinatoriikan kaavat voidaan johtaa käyttäen kahta perusperiaatetta, kertolaskuperiaatetta ja yhteenlaskuperiaatetta. (i) (ii) Joukko Kertolaskuperiaate Oletetaan, että operaatio M voidaan suorittaa m eri tavalla ja operaatio N voidaan suorittaa n eri tavalla ja oletetaan lisäksi, että operaatiot M ja N voidaan suorittaa toisistaan riippumatta. Tällöin yhdistetty operaatio Suoritetaan operaatio M ja operaatio N voidaan suorittaa mn eri tavalla. Yhteenlaskuperiaate Oletetaan, että operaatio M voidaan suorittaa m eri tavalla ja operaatio N voidaan suorittaa n eri tavalla ja oletetaan lisäksi, että operaatiot M ja N ovat toisensa poissulkevia. Tällöin yhdistetty operaatio Suoritetaan operaatio M tai operaatio N voidaan suorittaa (m + n) eri tavalla. Joukko on täysin määrätty, jos sen alkiot tunnetaan. Olkoot äärellisen joukon S (erilaiset) alkiot Tällöin merkitään: s 1, s 2,, s n S = {s 1, s 2,, s n } Joukot A ja B ovat samat, jos niissä on samat alkiot: jos ja vain jos Jono A = B x A x B Jono on täysin määrätty, jos sen alkiot ja niiden järjestys tunnetaan. Olkoon äärellisen jonon s i. alkio Tällöin merkitään: tai usein myös s i, i = 1, 2,, n s = (s 1, s 2,, s n ) s = s 1 s 2 s n Milla Kibble ja Ilkka Mellin (2013) 9/41

Jonot a = (a 1, a 2,, a n ) ja b = (b 1, b 2,, b n ) ovat samat, jos niissä on samat alkiot samassa järjestyksessä: jos ja vain jos a = b a i = b i, i = 1, 2,, n Kombinatoriikan perusongelmat Olkoon S äärellinen joukko, jonka (erilaisten) alkioiden lukumäärä on n = n(s) Kombinatoriikan perusongelmat: (1a) Kuinka monella eri tavalla joukon S alkiot voidaan järjestää jonoon? (1b) Kuinka monella eri tavalla joukon S alkioista voidaan muodostaa k:n alkion osajono? (2) Kuinka monella eri tavalla joukon S alkioista voidaan muodostaa k:n alkion osajoukko? Kombinatoriikan perusongelmien ratkaisut Olkoon S äärellinen joukko, jonka (erilaisten) alkioiden lukumäärä on n = n(s) Kombinatoriikan perusongelmien ratkaisut: (1a) Kutsumme joukon S kaikkien alkioiden jonoja joukon S alkioiden permutaatioiksi. Joukon S alkioiden kaikkien mahdollisten permutaatioiden lukumäärä on n!, jossa on n-kertoma. n! = n(n 1) 21 (1b) Kutsumme joukon S k:n alkion osajonoja joukon S alkioiden k-permutaatioiksi eli variaatioiksi. Joukon S alkioiden kaikkien mahdollisten k-permutaatioiden lukumäärä on n! P( nk, ) n ( n 1) ( n k 1) ( n k)! (2) Kutsumme joukon S k:n alkion osajoukkoja joukon S alkioiden k alkiota sisältäviksi kombinaatioiksi. Joukon S alkioiden kaikkien mahdollisten k alkiota sisältävien kombinaatioiden lukumäärä on jossa n C( nk, ) k on binomikerroin. n n! k k!( n k)! Milla Kibble ja Ilkka Mellin (2013) 10/41

Binomikaava Binomikaavan mukaan binomin x + y n. potenssi voidaan esittää muodossa n n ( x y) x y k0 k n n k k Äärellisen joukon osajoukkojen lukumäärä Olkoon joukon S alkioiden lukumäärä n = n(s). Tällöin joukon S osajoukkojen lukumäärä on n n n n n n N 2 0 1 2 n1 n Multinomikerroin Olkoon joukon S alkioiden lukumäärä n = n(s). Oletetaan, että positiiviset kokonaisluvut n i, i = 1, 2,, k toteuttavat ehdon n 1 + n 2 + + n k = n Oletetaan, että joukko S ositetaan pistevieraisiin osajoukkoihin A i, i = 1, 2,, k niin, että joukossa A i on n i = n(a i ) alkiota. Kuinka monella erilaisella tavalla yllä määritelty ositus voidaan tehdä? Vastauksen antaa multinomikerroin n n! nn 1 2 nk n1! n2! nk! jossa siis n 1 + n 2 + + n k = n Huomaa, että jos k = 2, saadaan binomikerroin jossa n 1 + n 2 = n n n! n n nn n! n! n n 1 2 1 2 1 2 Milla Kibble ja Ilkka Mellin (2013) 11/41

Kokonaistodennäköisyyden ja Bayesin kaavat Ositus Joukon S osajoukot B 1, B 2,, B n muodostavat joukon S osituksen, jos seuraavat ehdot pätevät: (i) B, i 1,2,, n i (ii) B B, i j i (iii) S B1B2 Bn Kokonaistodennäköisyyden kaava Olkoon A epätyhjä otosavaruuden S osajoukko: Oletetaan, että joukot j AS, A B 1, B 2,, B n muodostavat otosavaruuden S osituksen. Tällöin pätee kokonaistodennäköisyyden kaava Bayesin kaava n Pr( A) Pr( Bi) Pr( A Bi) i1 Olkoon A epätyhjä otosavaruuden S osajoukko: Oletetaan, että joukot AS, A B 1, B 2,, B n muodostavat otosavaruuden S osituksen. Tällöin pätee Bayesin kaava Pr( Bi) Pr( A Bi) Pr( Bi A) n, i1,2,, n Pr( B) Pr( A B) i1 i i Milla Kibble ja Ilkka Mellin (2013) 12/41

Esimerkki 1.1. Virheetöntä noppaa heitettäessä jokaisella silmäluvulla 1, 2, 3, 4, 5, 6 on sama todennäköisyys tulla tulokseksi. Jos virheetöntä noppaa heitetään kaksi kertaa, kaikkien mahdollisten heittotulosten muodostama perusjoukko voidaan määritellä kaavalla S = (x, y) x = 1, 2, 3, 4, 5, 6 ; y = 1, 2, 3, 4, 5, 6 jossa x = 1. heiton tulos ja y = 2. heiton tulos. Perusjoukkoa S voidaan kuvata seuraavalla lukukaaviolla: 2. heiton tulos y (x, y) 1. heiton tulos x 1 2 3 4 5 6 1 (1,1) (2,1) (3,1) (4,1) (5,1) (6,1) 2 (1,2) (2,2) (3,2) (4,2) (5,2) (6,2) 3 (1,3) (2,3) (3,3) (4,3) (5,3) (6,3) 4 (1,4) (2,4) (3,4) (4,4) (5,4) (6,4) 5 (1,5) (2,5) (3,5) (4,5) (5,5) (6,5) 6 (1,6) (2,6) (3,6) (4,6) (5,6) (6,6) Oletetaan, että 1. ja 2. heiton tulokset ovat siinä mielessä riippumattomia, että 1. heiton tulos ei vaikuta siihen, mikä tulee tukokseksi 2. heitosta. Tällöin voimme olettaa, että jokaisella heittotulosten parilla (x, y) on sama todennäköisyys tulla tulokseksi. Määritellään joukot A = (x, y) S y = 3 B = (x, y) S x 5 C = (x, y) S x + y = 6 D = (x, y) S x y = 3 E = (x, y) S y x 3 Merkitse perusjoukkoa S kuvaavaan kaavioon seuraavat joukot: A, B, C, D, E A C = Joukkojen A ja C yhdiste B E = Joukkojen B ja E leikkaus Esimerkki 1.1. Mitä opimme? Esimerkissä 1.1. tarkastellaan joukkojen määrittelemistä ja havainnollistamista sekä joukko-opin perusoperaatioita yhdiste ja leikkaus. Esimerkki 1.1. Ratkaisu: Esimerkin 1.1. joukot on varjostettu perusjoukkoa S kuvaaviin lukukaavioihin alla. Milla Kibble ja Ilkka Mellin (2013) 13/41

A = (x, y) S y = 3 2. heiton tulos y (x, y) B = (x, y) S x 5 2. heiton tulos y (x, y) C = (x, y) S x + y = 6 2. heiton tulos y (x, y) D = (x, y) S x y = 3 1. heiton tulos x 1 2 3 4 5 6 1 (1,1) (2,1) (3,1) (4,1) (5,1) (6,1) 2 (1,2) (2,2) (3,2) (4,2) (5,2) (6,2) 3 (1,3) (2,3) (3,3) (4,3) (5,3) (6,3) 4 (1,4) (2,4) (3,4) (4,4) (5,4) (6,4) 5 (1,5) (2,5) (3,5) (4,5) (5,5) (6,5) 6 (1,6) (2,6) (3,6) (4,6) (5,6) (6,6) 1. heiton tulos x 1 2 3 4 5 6 1 (1,1) (2,1) (3,1) (4,1) (5,1) (6,1) 2 (1,2) (2,2) (3,2) (4,2) (5,2) (6,2) 3 (1,3) (2,3) (3,3) (4,3) (5,3) (6,3) 4 (1,4) (2,4) (3,4) (4,4) (5,4) (6,4) 5 (1,5) (2,5) (3,5) (4,5) (5,5) (6,5) 6 (1,6) (2,6) (3,6) (4,6) (5,6) (6,6) 1. heiton tulos x 1 2 3 4 5 6 1 (1,1) (2,1) (3,1) (4,1) (5,1) (6,1) 2 (1,2) (2,2) (3,2) (4,2) (5,2) (6,2) 3 (1,3) (2,3) (3,3) (4,3) (5,3) (6,3) 4 (1,4) (2,4) (3,4) (4,4) (5,4) (6,4) 5 (1,5) (2,5) (3,5) (4,5) (5,5) (6,5) 6 (1,6) (2,6) (3,6) (4,6) (5,6) (6,6) 2. heiton tulos y (x, y) 1. heiton tulos x 1 2 3 4 5 6 1 (1,1) (2,1) (3,1) (4,1) (5,1) (6,1) 2 (1,2) (2,2) (3,2) (4,2) (5,2) (6,2) 3 (1,3) (2,3) (3,3) (4,3) (5,3) (6,3) 4 (1,4) (2,4) (3,4) (4,4) (5,4) (6,4) 5 (1,5) (2,5) (3,5) (4,5) (5,5) (6,5) 6 (1,6) (2,6) (3,6) (4,6) (5,6) (6,6) Milla Kibble ja Ilkka Mellin (2013) 14/41

E = (x, y) S y x 3 2. heiton tulos y (x, y) 1. heiton tulos x 1 2 3 4 5 6 1 (1,1) (2,1) (3,1) (4,1) (5,1) (6,1) 2 (1,2) (2,2) (3,2) (4,2) (5,2) (6,2) 3 (1,3) (2,3) (3,3) (4,3) (5,3) (6,3) 4 (1,4) (2,4) (3,4) (4,4) (5,4) (6,4) 5 (1,5) (2,5) (3,5) (4,5) (5,5) (6,5) 6 (1,6) (2,6) (3,6) (4,6) (5,6) (6,6) A C = (x, y) S (x, y) A tai (x, y) C 2. heiton tulos y (x, y) 1. heiton tulos x 1 2 3 4 5 6 1 (1,1) (2,1) (3,1) (4,1) (5,1) (6,1) 2 (1,2) (2,2) (3,2) (4,2) (5,2) (6,2) 3 (1,3) (2,3) (3,3) (4,3) (5,3) (6,3) 4 (1,4) (2,4) (3,4) (4,4) (5,4) (6,4) 5 (1,5) (2,5) (3,5) (4,5) (5,5) (6,5) 6 (1,6) (2,6) (3,6) (4,6) (5,6) (6,6) B E = (x, y) S (x, y) B ja (x, y) E = 2. heiton tulos y (x, y) 1. heiton tulos x 1 2 3 4 5 6 1 (1,1) (2,1) (3,1) (4,1) (5,1) (6,1) 2 (1,2) (2,2) (3,2) (4,2) (5,2) (6,2) 3 (1,3) (2,3) (3,3) (4,3) (5,3) (6,3) 4 (1,4) (2,4) (3,4) (4,4) (5,4) (6,4) 5 (1,5) (2,5) (3,5) (4,5) (5,5) (6,5) 6 (1,6) (2,6) (3,6) (4,6) (5,6) (6,6) Esimerkki 1.2. Esimerkki 1.2. on jatkoa esimerkille 1.1. Merkitse perusjoukkoa S kuvaavaan kaavioon seuraavat joukot: D c = Joukon D komplementti B \ C = Joukkojen B ja C erotus C \ B = Joukkojen C ja B erotus Milla Kibble ja Ilkka Mellin (2013) 15/41

Esimerkki 1.2. Mitä opimme? Esimerkki 1.2. on jatkoa esimerkille 1.1. ja siinä tarkastellaan joukkojen määrittelemistä ja havainnollistamista sekä joukko-opin perusoperaatioita komplementti ja erotus. Esimerkki 1.2. Ratkaisu: Esimerkissä 1.2. määritellyt joukot on merkitty alla varjostettuina perusjoukkoa S kuvaaviin lukukaavioihin. D c = (x, y) S (x, y) D 2. heiton tulos y (x, y) 1. heiton tulos x 1 2 3 4 5 6 1 (1,1) (2,1) (3,1) (4,1) (5,1) (6,1) 2 (1,2) (2,2) (3,2) (4,2) (5,2) (6,2) 3 (1,3) (2,3) (3,3) (4,3) (5,3) (6,3) 4 (1,4) (2,4) (3,4) (4,4) (5,4) (6,4) 5 (1,5) (2,5) (3,5) (4,5) (5,5) (6,5) 6 (1,6) (2,6) (3,6) (4,6) (5,6) (6,6) B \ C = (x, y) S (x, y) B ja (x, y) C 2. heiton tulos y (x, y) 1. heiton tulos x 1 2 3 4 5 6 1 (1,1) (2,1) (3,1) (4,1) (5,1) (6,1) 2 (1,2) (2,2) (3,2) (4,2) (5,2) (6,2) 3 (1,3) (2,3) (3,3) (4,3) (5,3) (6,3) 4 (1,4) (2,4) (3,4) (4,4) (5,4) (6,4) 5 (1,5) (2,5) (3,5) (4,5) (5,5) (6,5) 6 (1,6) (2,6) (3,6) (4,6) (5,6) (6,6) C \ B = (x, y) S (x, y) C ja (x, y) B 2. heiton tulos y (x, y) 1. heiton tulos x 1 2 3 4 5 6 1 (1,1) (2,1) (3,1) (4,1) (5,1) (6,1) 2 (1,2) (2,2) (3,2) (4,2) (5,2) (6,2) 3 (1,3) (2,3) (3,3) (4,3) (5,3) (6,3) 4 (1,4) (2,4) (3,4) (4,4) (5,4) (6,4) 5 (1,5) (2,5) (3,5) (4,5) (5,5) (6,5) 6 (1,6) (2,6) (3,6) (4,6) (5,6) (6,6) Milla Kibble ja Ilkka Mellin (2013) 16/41

Esimerkki 1.3. Esimerkki 1.3. on jatkoa esimerkille 1.1. Määrää todennäköisyydet esimerkin 1.1. kohdissa määritellyille tapahtumille. Esimerkki 1.3. Mitä opimme? Esimerkki 1.3. on jatkoa esimerkille 1.1. ja siinä tarkastellaan todennäköisyyslaskennan ja joukko-opin peruskäsiteiden ja -operaatioiden vastaavuutta sekä klassisen todennäköisyyden käsitettä. Esimerkki 1.3. Ratkaisu: Jos virheetöntä noppaa heitetään yhden kerran, jokaisella silmäluvulla 1, 2, 3, 4, 5, 6 on sama todennäköisyys tulla tulokseksi. Siten silmälukujen 1, 2, 3, 4, 5, 6 muodostamat alkeistapahtumat ovat symmetrisiä. Jos siis x on nopanheiton tulos, niin virheettömän nopan tapauksessa Pr(x) = 1/6, x = 1, 2, 3, 4, 5, 6 Jos virheetöntä noppaa heitetään kaksi kertaa, on järkevää ajatella, että jokaisella silmälukujen parilla jossa (x, y), x = 1, 2, 3, 4, 5, 6 ; y = 1, 2, 3, 4, 5, 6 x = tulos 1. nopan heitosta y = tulos 2. nopan heitosta on sama todennäköisyys tulla tulokseksi. Tämä johtuu siitä, että voimme olettaa, että 1. heiton tulos ei vaikuta 2. heiton tulokseen ja sen todennäköisyyteen (tämä voidaan täsmentää käyttämällä riippumattomien tapahtumien tulosääntöä). Siten voimme pitää silmälukujen 1, 2, 3, 4, 5, 6 muodostamia alkeistapahtumien pareja (x, y) ovat symmetrisinä, jolloin Pr(x, y) = 1/36, x = 1, 2, 3, 4, 5, 6 ; y = 1, 2, 3, 4, 5, 6 Klassisen todennäköisyyden määritelmän mukaan tapahtuman M todennäköisyys Pr(M) saadaan määräämällä tapahtumalle M suotuisien alkeistapahtumien suhteellinen osuus kaikista alkeistapahtumista. Siten jossa nm ( ) Pr( M ) ns ( ) n(m) = tapahtumalle M suotuisien alkeistapahtumien lukumäärä = joukkoon M kuuluvien alkeistapahtumien lukumäärä n(s) = kaikkien mahdollisten alkeistapahtumien lukumäärä Esimerkin 1.1. otosavaruus on = otosavaruuteen S kuuluvien alkeistapahtumien lukumäärä S = (x, y) x = 1, 2, 3, 4, 5, 6 ja y = 1, 2, 3, 4, 5, 6 Milla Kibble ja Ilkka Mellin (2013) 17/41

jossa x = 1. heiton tulos ja y = 2. heiton tulos. Otosavaruudessa S on 36 alkiota, joten n(s) = 36 Koska n(a) = 6, niin Pr(A) = n(a)/n(s) = 6/36 = 1/6 Koska n(b) = 12, niin Pr(B) = n(b)/n(s) = 12/36 = 1/3 Koska n(c) = 5, niin Pr(C) = n(c)/n(s) = 5/36 Koska n(d) = 3, niin Pr(D) = n(d)/n(s) = 3/36 = 1/12 Koska n(e) = 6, niin Pr(E) = n(e)/n(s) = 6/36 = 1/6 Koska n(ac) = 10, niin Pr(AC) = n(ac)/n(s) = 10/36 = 5/18 Sama tulos saadaan tietysti myös yleisen yhteenlaskusäännön Pr(AC) = Pr(A) + Pr(C) Pr(AC) avulla: Kohdan mukaan Pr(A) = 6/36 Pr(C) = 5/36 ja koska AC = {(3,3)} niin Pr(AC) = 1/36 Siten Pr(AC) = Pr(A) + Pr(C) Pr(AC) = 6/36 + 5/36 1/36 = 10/36 Koska B E =, niin Pr(B E) = 0 Milla Kibble ja Ilkka Mellin (2013) 18/41

Esimerkki 1.4. Esimerkki 1.4. on jatkoa esimerkille 1.2. Määrää todennäköisyydet esimerkin 1.2. kohdissa määritellyille tapahtumille. Esimerkki 1.4. Mitä opimme? Esimerkki 1.4. on jatkoa esimerkille 1.2. ja siinä tarkastellaan todennäköisyyslaskennan ja joukko-opin peruskäsiteiden ja -operaatioiden vastaavuutta sekä klassisen todennäköisyyden käsitettä; ks. myös esimerkkiä 1.3. Esimerkki 1.4. Ratkaisu: Klassisen todennäköisyyden määritelmän mukaan tapahtuman M todennäköisyys Pr(M) saadaan määräämällä tapahtumalle M suotuisien alkeistapahtumien suhteellinen osuus kaikista alkeistapahtumista. Siten jossa nm ( ) Pr( M ) ns ( ) n(m) = tapahtumalle M suotuisien alkeistapahtumien lukumäärä = joukkoon M kuuluvien alkeistapahtumien lukumäärä n(s) = kaikkien mahdollisten alkeistapahtumien lukumäärä Esimerkin 1.1. otosavaruus on = otosavaruuteen S kuuluvien alkeistapahtumien lukumäärä S = (x, y) x = 1, 2, 3, 4, 5, 6 ja y = 1, 2, 3, 4, 5, 6 jossa x = 1. heiton tulos ja y = 2. heiton tulos. Otosavaruudessa S on 36 alkiota, joten n(s) = 36 Koska n(d c ) = 33, niin Pr(D c ) = n(d c )/n(s) = 33/36 = 11/12 Sama tulos saadaan tietysti myös komplementtitapahtuman todennäköisyyden kaavan Pr(D c ) = 1 Pr(D) avulla: Koska Pr(D) = 3/36 = 1/12 niin Pr(D c ) = 1 Pr(D) = 1 1/12 = 11/12 Koska n(b \ C) = 11, niin Pr(B \ C) = 11/36 Milla Kibble ja Ilkka Mellin (2013) 19/41

Esimerkki 1.5. Koska n(c \ B) = 4, niin Pr(C \ B) = 4/36 = 1/9 Esimerkki 1.5. on jatkoa esimerkille 1.1. Tarkastellaan 1. ja 2. nopanheiton silmälukujen erotusta z = x y jossa x = 1. heiton tulos ja y = 2. heiton tulos. Määritellään lisäksi tapahtumat (d) A = {1. nopalla saadaan 5} B = {2. nopalla saadaan 5} C = {Erotus on 4} Määrää silmälukujen erotuksen z = x y otosavaruus. Määrää ehdollinen todennäköisyys Pr(A B) ja vertaa sitä tapahtuman A todennäköisyyteen. Ovatko tapahtumat A ja B riippumattomia? Määrää ehdollinen todennäköisyys Pr(C A ) ja vertaa sitä tapahtuman C todennäköisyyteen. Ovatko tapahtumat C ja A riippumattomia? Määrää ehdollinen todennäköisyys Pr(C B ) ja vertaa sitä tapahtuman C todennäköisyyteen. Ovatko tapahtumat C ja B riippumattomia? Esimerkki 1.5. Mitä opimme? Esimerkki 1.5. on jatkoa esimerkille 1.1. ja siinä tarkastellaan ehdollisen todennäköisyyden ja riippumattomuuden käsitteitä. Esimerkki 1.5. Ratkaisu: 1. nopanheiton tulokseen x liittyvä otosavaruus: 1, 2, 3, 4, 5, 6 2. nopanheiton tulokseen y liittyvä otosavaruus: 1, 2, 3, 4, 5, 6 Milla Kibble ja Ilkka Mellin (2013) 20/41

Muodostetaan silmälukujen x ja y mahdollisia erotuksia z = x y kuvaava aputaulukko: 2. heiton tulos y z = x y 1. heiton tulos x 1 2 3 4 5 6 1 0 1 2 3 4 5 2 1 0 1 2 3 4 3 2 1 0 1 2 3 4 3 2 1 0 1 2 5 4 3 2 1 0 1 6 5 4 3 2 1 0 Aputaulukosta nähdään, että kahden nopanheiton silmälukujen erotuksen z = x y otosavaruus on 5, 4, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, 4, 5 Klassisen todennäköisyyden määritelmän nojalla (ks. esimerkki 1.3.) aputaulukosta saadaan erotuksille z = x y seuraavat todennäköisyydet: z 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 Pr 1/36 2/36 3/36 4/36 5/36 6/36 5/36 4/36 3/36 2/36 1/36 Jos käytämme apuna esimerkin 1.1. otosavaruutta S = (x, y) x = 1, 2, 3, 4, 5, 6 ja y = 1, 2, 3, 4, 5, 6 kuvaavaa taulukkoa 2. heiton tulos y (x, y) 1. heiton tulos x 1 2 3 4 5 6 1 (1,1) (2,1) (3,1) (4,1) (5,1) (6,1) 2 (1,2) (2,2) (3,2) (4,2) (5,2) (6,2) 3 (1,3) (2,3) (3,3) (4,3) (5,3) (6,3) 4 (1,4) (2,4) (3,4) (4,4) (5,4) (6,4) 5 (1,5) (2,5) (3,5) (4,5) (5,5) (6,5) 6 (1,6) (2,6) (3,6) (4,6) (5,6) (6,6) niin klassisen todennäköisyyden määritelmän nojalla on helppo nähdä, että Pr(A) = Pr({1. nopalla saadaan 5}) = 6/36 = 1/6 Pr(B) = Pr({2. nopalla saadaan 5}) = 6/36 = 1/6 Milla Kibble ja Ilkka Mellin (2013) 21/41

Koska AB = {1. nopalla saadaan 5 ja 2. nopalla saadaan 5} niin klassisen todennäköisyyden määritelmän nojalla Pr(AB) = 1/36 Siten ehdollisen todennäköisyyden määritelmän perusteella nähdään, että Koska Pr(A B) = Pr(AB)/Pr(B) = (1/36)/(1/6) = 1/6 Pr(A B) = Pr(A) = 1/6 tapahtumat A ja B ovat riippumattomia. Tehtävän voi ratkaista myös käyttämällä apuna ennen -kohdan ratkaisua esitettyä aputaulukkoa rajoittumalla tarkastelemaan niitä soluja, joissa 2. nopalla saadaan 5. Näitä soluja on 6 ja täsmälleen yksi niistä vastaa sitä, että 1. nopalla on saatu 5. Siten suoraan klassisen todennäköisyyden määritelmän nojalla nähdään, että Huomautus: Pr(A B) = 1/6 Vaikka tehtävä voidaan ratkaista käyttämällä ym. aputaulukkoa, on syytä oppia käyttämään ehdollisen todennäköisyyden kaavaa. Alkeistapahtumien taulukointi ja niiden lukumäärien laskeminen on hankalaa, jos otosavaruus on iso ja se on jopa mahdotonta, jos otosavaruus on ääretön. Kohdassa kysytään ehdollista todennäköisyyttä tapahtumalle C = (x, y) S z = x y = 4 kun tapahtuma A = {x = 5} on sattunut. Kohdan otosavaruutta S kuvaavasta taulukosta on helppo nähdä seuraavaa: Jos A on sattunut, jäljellä on 6 vaihtoehtoa, joista erotus z = x y voi saada arvon 4 vain yhdellä tavalla, jos y saanut arvon 1. Siten Pr(C A) = 1/6 Sama tulos saadaan myös ehdollisen todennäköisyyden määritelmän perusteella: Koska Pr(C A) = Pr(CA)/Pr(A) = (1/36)/(1/6) = 1/6 Pr(C) = 2/36 Pr(C A) tapahtumat C ja A eivät ole riippumattomia. Milla Kibble ja Ilkka Mellin (2013) 22/41

(d) Kohdassa (d) kysytään ehdollista todennäköisyyttä tapahtumalle C = (x, y) S z = x y = 4 kun tapahtuma B = {y = 4} on sattunut. Kohdan otosavaruutta S kuvaavasta taulukosta on helppo nähdä seuraavaa: Jos B on sattunut, erotus z = x y ei voi saada arvoa 4. Siten Pr(C B) = 0 Sama tulos saadaan myös ehdollisen todennäköisyyden määritelmän perusteella: Pr(C B) = Pr(CB)/Pr(B) = (0/36)/(1/6) = 0/6 = 0 Esimerkki 1.6. Olkoot Pr(A) = 0.2 ja Pr(B) = 0.6. Määrää tapahtuman AB todennäköisyys, kun Pr(AB) = 0.1 A ja B ovat toisensa poissulkevia Esimerkki 1.6. Mitä opimme? Esimerkissä 1.6. tarkastellaan yleistä yhteenlaskusääntöä ja toisensa poissulkevien tapahtumien yhteenlaskusääntöä. Esimerkki 1.6. Ratkaisu: Olkoot tapahtumat A ja B otosavaruuden S osajoukkoja. Yleisen yhteenlaskusäännön mukaan Pr(AB) = Pr(A) + Pr(B) Pr(AB) Tiedämme, että Pr(A) = 0.2 ja Pr(B) = 0.6. Jos Pr(AB) = 0.1, niin Pr(AB) = Pr(A) + Pr(B) Pr(AB) = 0.2 + 0.6 0.1 = 0.7 Tiedämme, että Pr(A) = 0.2 ja Pr(B) = 0.6. Jos A ja B ovat toisensa poissulkevia, niin Pr(AB) = Pr() = 0 koska mahdottoman tapahtuman todennäköisyys on nolla. Siten Pr(AB) = Pr(A) + Pr(B) Pr(AB) = 0.2 + 0.6 0 = 0.8 Esimerkki 1.7. Olkoot Pr(A) = 0.2 ja Pr(B) = 0.6 kuten esimerkissä 1.6. Määrää tapahtuman AB todennäköisyys, kun A ja B ovat riippumattomia Milla Kibble ja Ilkka Mellin (2013) 23/41

Pr(A B) = 0.1 Esimerkki 1.7. Mitä opimme? Esimerkissä 1.7. tarkastellaan yleistä yhteenlaskusääntöä, ehdollisen todennäköisyyden ja riippumattomuuden käsitteitä sekä yleistä tulosääntöä ja riippumattomien tapahtumien tulosääntöä. Esimerkki 1.7. Ratkaisu: Olkoot tapahtumat A ja B otosavaruuden S osajoukkoja. Yleisen yhteenlaskusäännön mukaan Pr(AB) = Pr(A) + Pr(B) Pr(AB) Tiedämme, että Pr(A) = 0.2 ja Pr(B) = 0.6. Jos A ja B ovat riippumattomia, niin riippumattomien tapahtumien tulosäännön mukaan Siten Pr(AB) = Pr(A)Pr(B) Pr(AB) = Pr(A) + Pr(B) Pr(AB) = Pr(A) + Pr(B) Pr(A)Pr(B) = 0.2 + 0.6 0.20.6 = 0.68 Tiedämme, että Pr(A) = 0.2, Pr(B) = 0.6 ja Pr(AB) = 0.1. Yleisen tulosäännön mukaan Pr(AB) = Pr(AB)Pr(B) Siten Pr(AB) = Pr(A) + Pr(B) Pr(AB) = Pr(A) + Pr(B) Pr(A B)Pr(B) = 0.2 + 0.6 0.10.6 = 0.74 Esimerkki 1.8. Olkoot Pr(A) = 0.5 ja Pr(B) = 0.6. Yritä määrätä tapahtuman AB todennäköisyys, kun Pr(AB) = 0.1 A ja B ovat toisensa poissulkevia A ja B ovat riippumattomia (d) Pr(AB) = 0.1 Milloin tämä on mahdollista? Esimerkki 1.8. Mitä opimme? Esimerkissä 1.8. tarkastellaan yleistä yhteenlaskusääntöä, toisensa poissulkevuuden ja riippumattomuuden käsitteitä sekä ehdollisen todennäköisyyden määritelmää; ks. myös esimerkkejä 1.6. ja 1.7. Milla Kibble ja Ilkka Mellin (2013) 24/41

Esimerkki 1.8. Ratkaisu: Olkoot tapahtumat A ja B otosavaruuden S osajoukkoja. Yleisen yhteenlaskusäännön mukaan Pr(AB) = Pr(A) + Pr(B) Pr(AB) Tiedämme, että Pr(A) = 0.5 ja Pr(B) = 0.6. Jos Pr(AB) = 0.1, niin Pr(AB) = Pr(A) + Pr(B) Pr(AB) = 0.5 + 0.6 0.1 = 1 Tiedämme, että Pr(A) = 0.5 ja Pr(B) = 0.6. Jos A ja B ovat toisensa poissulkevia, niin AB =. Tällöin Pr(AB) = Pr() = 0 koska mahdottoman tapahtuman todennäköisyys on nolla. Siten Pr(AB) = Pr(A) + Pr(B) Pr(AB) = 0.5 + 0.6 0 = 1.1 > 1 mikä on mahdotonta. Annetut tiedot ovat siten ristiriitaisia. Tiedämme, että Pr(A) = 0.5 ja Pr(B) = 0.6. Jos A ja B ovat riippumattomia, niin riippumattomien tapahtuman tulosäännön mukaan Siten Pr(AB) = Pr(A)Pr(B) Pr(AB) = Pr(A) + Pr(B) Pr(AB) = Pr(A) + Pr(B) Pr(A)Pr(B) = 0.5 + 0.6 0.50.6 = 0.8 (d) Tiedämme, että Pr(A) = 0.5 ja Pr(B) = 0.6. Yleisen tulosäännön mukaan Pr(AB) = Pr(AB)Pr(B). Siten Pr(AB) = Pr(A) + Pr(B) Pr(AB) = Pr(A) + Pr(B) Pr(AB)Pr(B) = 0.5 + 0.6 0.10.6 = 1.04 > 1 mikä on mahdotonta. Annetut tiedot ovat siten ristiriitaisia. Milla Kibble ja Ilkka Mellin (2013) 25/41

Esimerkki 1.9. Uurnassa on 8 keltaista ja 4 sinistä palloa. Poimitaan uurnasta satunnaisesti kolme palloa takaisinpanolla eli palauttaen. Tällöin uurnasta nostetaan palloja yksi pallo kerrallaan ja jokainen nostettu pallo palautetaan ennen seuraavan pallon nostoa takaisin uurnaan. Mikä on todennäköisyys, että saat kolme sinistä palloa? Poimitaan uurnasta satunnaisesti kolme palloa ilman takaisinpanoa eli palauttamatta. Tällöin uurnasta nostettuja palloja ei palauteta takaisin uurnaan. Mikä on todennäköisyys, että saat kolme sinistä palloa? Poimitaan uurnasta satunnaisesti kolme palloa ilman takaisinpanoa. Mikä on todennäköisyys, että viimeisenä poimittu pallo on sininen, jos kaksi edellistä ovat olleet keltaisia? Ohje: Sovella -kohdassa riippumattomien tapahtumien tulosääntöä ja -kohdassa yleistä tulosääntöä. Esimerkki 1.9. Mitä opimme? Esimerkissä 1.9. havainnollistetaan ehdollisen todennäköisyyden ja riippumattomuuden käsitteitä sekä yleisen tulosäännön ja riippumattomien tapahtumien tulosäännön soveltamista satunnaisotantaan. Yksinkertaisessa satunnaisotannassa poiminta takaisinpanolla eli palauttaen tapahtuu niin, että jokainen poimittu objekti palautetaan poimimisen jälkeen välittömästi takaisin poimittavien joukkoon, jolloin sama objekti voi tulla poimituksi otokseen useita kertoja. Yksinkertaisessa satunnaisotannassa poiminta ilman takaisinpanoa eli palauttamatta tapahtuu niin, että poimittua objektia ei palauteta takaisin poimittavien joukkoon, jolloin sama objekti voi tulla poimituksi otokseen vain kerran. Esimerkki 1.9. Ratkaisu: Poimitaan kolme palloa uurnasta, jossa on 8 keltaista ja 4 sinistä palloa. Merkitään A i = {i. pallo on sininen} A i c = {i. pallo on keltainen} Kysytty todennäköisyys on Pr(A 1 A 2 A 3 ) Koska pallojen poiminta tapahtuu takaisinpanolla, niin tapahtumat A 1, A 2 ja A 3 ovat riippumattomia. Siten riippumattomien tapahtumien tulosäännön perusteella Pr(A 1 A 2 A 3 ) = Pr(A 1 )Pr(A 2 )Pr(A 3 ) = (4/12) 3 = 1/27 = 0.037037 koska poiminnan jokaisessa vaiheessa uurnassa on 12 palloa, joista 4 on sinistä. Milla Kibble ja Ilkka Mellin (2013) 26/41

Kysytty todennäköisyys on Pr(A 1 A 2 A 3 ) Koska pallojen poiminta tapahtuu ilman takaisinpanoa, niin tapahtumat A 1, A 2 ja A 3 eivät ole riippumattomia. Siten yleisen tulosäännön perusteella Pr(A 1 A 2 A 3 ) = Pr(A 1 )Pr(A 2 A 1 )Pr(A 3 A 1 A 2 ) = (4/12)(3/11)(2/10) = 1/55 = 0.018182 Laskutoimituksen perustelu: (i) (ii) Ensimmäistä palloa poimittaessa uurnassa on 12 palloa, joista 4 on sinistä. Jos ensimmäisenä poimittu pallo oli sininen, toista palloa poimittaessa uurnassa on jäljellä 11 palloa, joista 3 on sinistä. (iii) Jos ensimmäisenä ja toisena poimitut pallot olivat sinisiä, kolmatta palloa poimittaessa uurnassa on jäljellä 10 palloa, joista 2 on sinistä. Kysytty todennäköisyys on Pr(A 3 A 1 c A 2 c ) Jos uurnassa on aluksi 8 keltaista ja 4 sinistä palloa ja 2 keltaisista palloista otetaan pois, niin jäljelle jää 6 keltaista ja 4 sinistä palloa. Siten todennäköisyys saada sininen pallo kolmantena on Pr(A 3 A 1 c A 2 c ) = 4/10 = 0.4 Esimerkki 1.10. Erään liikeyrityksen johto on harkinnut sulautumista toiseen yritykseen. Johto on selvittänyt osakkaiden mielipiteet sulautumisesta ja luokitellut osakkaat kolmeen luokkaan omistettujen osakkeiden lukumäärän ja mielipiteen mukaan. Luokittelun tuloksena saadut frekvenssit on annettu alla olevassa taulukossa. Määrää todennäköisyydet seuraaville tapahtumille: (d) Satunnaisesti valitulla osakkaalla on alle 200 osaketta. Satunnaisesti valittu osakas on sulautumista vastaan. Satunnaisesti valitulla osakkaalla on 200 1000 osaketta ja hän on sulautumisen puolesta. Satunnaisesti valitulla osakkaalla on 200 1000 osaketta tai hän on sulautumisen puolesta. (e) Satunnaisesti valittu osakas on sulautumista vastaan ehdolla että hänellä on alle 200 osaketta. Kysymys: Ovatko se, että osakkaalla on alle 200 osaketta ja se, että osakas on sulautumista vastaan tapahtumina riippumattomia? (f) Satunnaisesti valitulla osakkaalla on 200 osaketta tai enemmän ehdolla että hän on sulautumisen puolesta. Milla Kibble ja Ilkka Mellin (2013) 27/41

Osakkeiden lukumäärä Osakkaiden lukumäärä Puolesta Mielipide sulautumisesta Ei mielipidettä Vastaan < 200 38 9 29 200 1000 30 7 42 1000 < 32 4 59 Esimerkki 1.10. Mitä opimme? Esimerkissä 1.10. havainnollistetaan ehdollisen todennäköisyyden ja riippumattomuuden käsitteitä. Esimerkki 1.10. Ratkaisu: Määrätään ensin taulukon solujen rivi- ja sarakesummat sekä kokonaissumma: Osakkeiden lukumäärä Osakkaiden lukumäärä Puolesta Mielipide sulautumisesta Ei mielipidettä Vastaan Yhteensä < 200 38 9 29 76 200 1000 30 7 42 79 1000 < 32 4 59 95 Yhteensä 100 20 130 250 Vastaavat todennäköisyydet saadaan jakamalla kaikki taulukon luvut osakkaiden kokonaislukumäärällä 250. Tuloksena saadaan seuraava taulukko: Osakkeiden lukumäärä Osakkaiden lukumäärä Puolesta Mielipide sulautumisesta Ei mielipidettä Vastaan Yhteensä < 200 0.152 0.036 0.116 0.304 200 1000 0.120 0.028 0.168 0.316 1000 < 0.128 0.016 0.236 0.380 Yhteensä 0.400 0.080 0.520 1 Esimerkiksi: Pr(Osakkaalla 200 1000 osaketta) = 0.316 Pr(Osakas on sulautumisen puolesta ja osakkaalla on yli 1000 osaketta) = 0.128 Milla Kibble ja Ilkka Mellin (2013) 28/41

Edellä määrätystä todennäköisyyksien taulukosta saadaan: Pr(Osakkaalla on alle 200 osaketta) = 0.304 Pr(Osakas on sulautumista vastaan) = 0.52 Pr(Osakkaalla on 200 1000 osaketta ja osakas on sulautumisen puolesta) = 0.120 (d) Yleisen yhteenlaskusäännön nojalla: Pr(Osakkaalla on 200 1000 osaketta tai osakas on sulautumisen puolesta) = Pr(Osakkaalla on 200 1000 osaketta) + Pr(Osakas on sulautumisen puolesta) Pr(Osakkaalla on 200 1000 osaketta ja osakas on sulautumisen puolesta) = 0.316 + 0.400 0.120 = 0.596 (e) Käyttämällä ehdollisen todennäköisyyden määritelmää saadaan: Pr(Osakas on sulautumista vastaan ehdolla, että osakkaalla on alle 200 osaketta) = Pr(Osakas on sulautumista vastaan ja osakkaalla on alle 200 osaketta) /Pr(Osakkaalla on alle 200 osaketta) = 0.116/0.304 = 0.382 -kohdan mukaan Koska Pr(Osakas on sulautumista vastaan) = 0.52 Pr(Osakas on sulautumista vastaan ehdolla, että osakkaalla on alle 200 osaketta) = 0.382 Pr(Osakas on sulautumista vastaan) = 0.52 tapahtumat Osakas on sulautumista vastaan ja Osakkaalla on alle 200 osaketta eivät ole riippumattomia. Siten tieto siitä, että ehtotapahtuma Osakkaalla on alle 200 osaketta on sattunut sisältää informaatiota, jota voidaan käyttää hyväksi, kun määräämme tapahtuman Osakas on sulautumista vastaan todennäköisyyttä. Milla Kibble ja Ilkka Mellin (2013) 29/41

(f) Käyttämällä ehdollisen todennäköisyyden määritelmää saadaan: Pr(Osakkaalla on 200 osaketta tai enemmän ehdolla, että osakas on sulautumisen puolesta) = Pr(Osakkaalla on 200 osaketta tai enemmän ja osakas on sulautumisen puolesta) /Pr(Osakas on sulautumisen puolella) = (0.120 + 0.128)/0.400 = 0.620 Huomaa, että Pr(Osakkaalla on 200 osaketta tai enemmän ehdolla, että osakas on sulautumisen puolesta) = 0.620 Pr(Osakkaalla on 200 osaketta tai enemmän) = 0.696 Siten tieto siitä, että ehtotapahtuma Osakas on sulautumisen puolesta on sattunut sisältää informaatiota, jota voidaan käyttää hyväksi, kun määräämme tapahtuman Osakkaalla on 200 osaketta tai enemmän todennäköisyyttä. Esimerkki 1.11. Potilaan ikä saattaa vaikuttaa siihen millaista hoitoa hän saa. Eräässä USA:ssa tehdyssä tutkimuksessa verrattiin eri-ikäisten naisten pääsemistä mammografiaan (rintojen röntgentutkimus rintasyövän toteamiseksi), kun heidän rinnoissaan oli havaittu kyhmyjä. Tulokset on annettu taulukossa alla. Taulukon solut ovat todennäköisyyksiä, että kumpikin tapahtumista sattuu; esim. 0.321 on todennäköisyys, että potilas on alle 65-vuotias ja hänelle on tehty mammografia. Todennäköisyys Ikä Mammografia tehty Mammografiaa ei ole tehty alle 65 0.321 0.124 65 tai yli 0.365 0.190 Määrää seuraavien tapahtumien todennäköisyydet: A = potilas on alle 65-vuotias B = potilas on 65-vuotias tai yli C = potilaalle on tehty mammografia D = potilaalle ei ole tehty mammografiaa Ovatko tapahtumat B ja C riippumattomia? Milla Kibble ja Ilkka Mellin (2013) 30/41

Määrää todennäköisyys sille, että potilaalle on tehty mammografia, jos hän on ollut alle 65-vuotias ja vertaa sitä todennäköisyyteen, että potilaalle on tehty mammografia, jos hän on ollut 65-vuotias tai yli. Esimerkki 1.11. Mitä opimme? Esimerkissä 1.11. havainnollistetaan ehdollisen todennäköisyyden käsitettä. Esimerkki 1.11. Ratkaisu: Kysytyt todennäköisyydet saadaan laskemalla tehtävän taulukosta ns. reunatodennäköisyydet eli rivi- ja sarakesummat: Todennäköisyys Ikä Mammografia tehty Mammografiaa ei ole tehty Summa alle 65 0.321 0.124 Pr(A) = 0.445 65 tai yli 0.365 0.190 Pr(B) = 0.555 Summa Pr(C) = 0.686 Pr(D) = 0.314 1 Jos tapahtumat B ja C ovat riippumattomia, niin riippumattomien tapahtumien tulosäännöstä seuraa, että Pr(BC) = Pr(B)Pr(C) Taulukosta saadaan Pr(BC) = 0.365 Pr(B)Pr(C) = 0.381 Koska Pr(BC) Pr(B)Pr(C) tapahtumat B ja C eivät ole riippumattomia. Ehdollisen todennäköisyyden määritelmän mukaan Pr(CA) = Pr(CA)/Pr(A) = 0.321/0.445 = 0.721 Pr(CB) = Pr(CB)/Pr(B) = 0.365/0.555 = 0.657 Tämän perusteella nuoremmilla potilailla todennäköisyys päästä mammografiaan on jonkin verran suurempi kuin vanhemmilla potilailla. Esimerkki 2.1. Tarkastellaan kirjainten a, e, i, k, l, m, p (7 kpl) muodostamaa joukkoa S = {a, e, i, k, l, m, p}. Kuinka monta erilaista jonoa joukon S kirjaimista voidaan muodostaa? Kuinka monta erilaista 3:n alkion osajonoa joukon S kirjaimista voidaan muodostaa? Kuinka monta erilaista 3:n alkion osajoukkoa joukon S kirjaimista voidaan muodostaa? Milla Kibble ja Ilkka Mellin (2013) 31/41

Esimerkki 2.1. Mitä opimme? Esimerkissä 2.1. tarkastellaan esimerkkejä kombinatoriikan perusongelmista sekä niiden ratkaisemista kombinatoriikan perusperiaatteiden avulla. Esimerkki 2.1. Ratkaisu: Joukossa S = {a, e, i, k, l, m, p} on n(s) = 7 erilaista alkiota. Siten joukon S alkioista voidaan muodostaa 7! = 7654321 = 5040 erilaista jonoa eli permutaatiota. Tulos voidaan perustella käyttämällä ns. lokeromallia: Koska joukossa S on 7 erilaista alkiota, muodostetaan lokerikko, jossa on 7 lokeroa. Ideana on täyttää lokerikko joukon S alkioilla vaiheittain. Kirjainten a, e, i, k, l, m, p muodostamien jonojen lukumäärä on sama kuin erilaisten järjestysten lukumäärä, joissa kirjaimet a, e, i, k, l, m, p voidaan asettaa ko. 7:ään lokeroon. Alla olevan taulukon varjostetut solut kuvaavat ko. lokerikkoa. Jokaiseen lokeroon on merkitty luvulla n kuinka monella tavalla lokeron täyttö voidaan tehdä. Lokeron nro 1 2 3 4 5 6 7 n 7 6 5 4 3 2 1 1. lokero: Lokero voidaan täyttää 7:llä eri tavalla kirjaimilla a, e, i, k, l, m, p 2. lokero: Lokero voidaan täyttää 6:lla eri tavalla jäljelle jääneillä kirjaimilla, koska 1 kirjaimista on käytetty. 3. lokero: Lokero voidaan täyttää 5:llä eri tavalla jäljelle jääneillä kirjaimilla, koska 2 kirjaimista on käytetty. 4. lokero: Lokero voidaan täyttää 4:llä eri tavalla jäljelle jääneillä kirjaimilla, koska 3 kirjaimista on käytetty. 5. lokero: Lokero voidaan täyttää 3:lla eri tavalla jäljelle jääneillä kirjaimilla, koska 4 kirjaimista on käytetty. 6. lokero: Lokero voidaan täyttää 2:lla eri tavalla jäljelle jääneellä kirjaimella, koska 5 kirjaimista on käytetty 7. lokero: Lokero voidaan täyttää 1:llä eri tavalla jäljelle jääneellä kirjaimella, koska 6 kirjaimista on käytetty. Koska jokainen täyttöoperaatio voidaan tehdä riippumatta aikaisemmin suoritetuista täyttöoperaatioista, niin kombinatoriikan kertolaskuperiaatteen mukaan koko lokerikko voidaan täyttää 7654321 = 7! = 5040 erilaisella tavalla. Milla Kibble ja Ilkka Mellin (2013) 32/41

Joukon S = {a, e, i, k, l, m, p} alkioista voidaan muodostaa 7! 7! 7654321 P(7,3) 765 210 (7 3)! 4! 4321 erilaista 3:n alkion osajonoa eli variaatiota. Tulos voidaan perustella käyttämällä ns. lokeromallia: Muodostetaan lokerikko, jossa on 3 lokeroa. Ideana on täyttää lokerikko joukon S alkioilla vaiheittain. Kirjainten a, e, i, k, l, m, p muodostamien 3:n alkion osajonojen lukumäärä on sama kuin erilaisten järjestysten lukumäärä, joissa 3 kirjaimista a, e, i, k, l, m, p voidaan asettaa lokeroihin. Alla olevan taulukon varjostetut solut kuvaavat ko. lokerikkoa. Jokaiseen lokeroon on merkitty luvulla n kuinka monella tavalla lokeron täyttö voidaan tehdä. Lokeron nro 1 2 3 n 7 6 5 1. lokero: Lokero voidaan täyttää 7:llä eri tavalla kirjaimilla a, e, i, k, l, m, p 2. lokero: Lokero voidaan täyttää 6:lla eri tavalla jäljelle jääneillä kirjaimilla, koska 1 kirjaimista on käytetty. 3. lokero: Lokero voidaan täyttää 5:llä eri tavalla jäljelle jääneillä kirjaimilla, koska 2 kirjaimista on käytetty. Koska jokainen täyttöoperaatio voidaan tehdä riippumatta aikaisemmin suoritetuista täyttöoperaatioista, niin kombinatoriikan kertolaskuperiaatteen mukaan koko lokerikko voidaan täyttää 7654321 7! 7! 765 210 4321 4! (7 3)! erilaisella tavalla. Tulos seuraa myös -kohdassa esitetystä tarkastelusta pysäyttämällä lokeroiden täyttö sen jälkeen, kun 3. lokero on saatu täytetyksi. Joukon S = {a, e, i, k, l, m, p} alkioista voidaan muodostaa 7 7! 7! 7654321 C(7,3) 35 3 3!(7 3)! 3!4! 3214321 erilaista 3:n alkion osajoukkoa eli kombinaatiota. Tulos voidaan perustella seuraavalla tavalla: Olkoon joukon S alkioiden 3:n alkion osajoukkojen lukumäärä x, jossa x on vielä toistaiseksi tuntematon luku. -kohdan mukaan joukon S alkioiden 3:n alkion osajonojen lukumäärää on 7! P(7,3) (7 3)! Joukon S alkioiden 3:n alkion osajonot voidaan muodostaa kahdessa vaiheessa: Milla Kibble ja Ilkka Mellin (2013) 33/41

(i) (ii) Valitaan joukon S alkioiden joukosta 3:n alkion osajoukko. Tämä voidaan tehdä x eri tavalla, jossa x on vielä toistaiseksi tuntematon luku. Järjestetään kohdassa (i) valitut 3 alkiota jonoksi. Tämä voidaan tehdä -kohdan mukaan 3! eri tavalla. Koska operaatiot (i) ja (ii) voidaan suorittaa toisistaan riippumatta, niin joukon S alkioiden 3:n alkion osajonot voidaan muodostaa kombinatoriikan kertolaskuperiaatteen mukaan x 3! eri tavalla. Olemme määränneet joukon S alkioiden 3:n alkion osajonojen lukumäärän kahdella eri tavalla ja saamme siten x:n ratkaisemiseksi yhtälön Siten 7! P(7,3) x3! (7 3)! P(7,3) 7! 7 x C(7,3) 3! 3!(7 3)! 3 Esimerkki 2.2. Olkoot tietokoneen salasanat muotoa XXXXX, jossa X on jokin vokaaleista a, e, i, o, u (5 kpl). Laske erilaisten sanojen lukumäärä, kun sanojen muodostamista rajoittavat seuraavat ehdot: (d) Kaikkien kirjainten on oltava salasanassa erilaisia. Salasanassa on oltava yksi pari eli täsmälleen kaksi samaa vokaalia (esim. eaioe). Salasanassa on oltava kolmoset eli täsmälleen kolme samaa vokaalia (esim. aaoea). Salasanassa on oltava täyskäsi eli kolmoset ja pari (esim. ioioo). Esimerkki 2.2. Mitä opimme? Esimerkissä 2.2. tarkastellaan esimerkkejä kombinatoriikan perusongelmista sekä niiden ratkaisemista kombinatoriikan perusperiaatteiden avulla. Ks. myös esimerkkiä 2.1. Esimerkki 2.2. Ratkaisu: Kaikki muodostettavat salasanat ovat muotoa XXXXX, jossa X = a, e, i, o, u (5 kpl) Kohdat (d) eroavat toisistaan siten, että salasanojen muodostamista rajoittavat niissä erilaiset ehdot. Sovellamme tunnusten muodostamisessa ns. lokeromallia: Salasanaa asetetaan vastaamaan lokerikko, jossa on 5 lokeroa. Kaikkien kirjainten on oltava salasanassa erilaisia. Milla Kibble ja Ilkka Mellin (2013) 34/41