4. Martingaalit ja lokaalit martingaalit

STOKASTISET DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 45 4. Martingaalit ja lokaalit martingaalit Lähestymme nyt jo kovaa vauhtia hetkeä, jolloin voimme aloittaa stokastisen integroinnin. Ennen sitä käymme vielä läpi yhtä keskeistä Brownin liikkeen ominaisuutta. 4.1. Martingaalit. Siinä missä Markovin ominaisuus kertoi, että tulevaisuuden käyttäytymisen ennustamiseksi riittää tuntea pelkästään systeemin tila nykyhetkellä koko historian sijaan, niin martingaaliominaisuus kertoo, että odotuksemme tulevaisuudesta, jos tunnemme historian, on se, että mikään ei muutu. Määrittelemmekin 4.1. Määritelmä. Olkoon (X t ) reaaliarvoinen stokastinen prosessija (F t ) jokin filtraatio. Sanomme, että X on martingaali filtraation (F t ) suhteen (tai (F t )- martingaali), jos E X t < jokaisella t T, prosessi X on (F t )-adaptoitu ja lisäksi (4.2) E (X s F t )=X t jokaisella ajanehetkellä s > t T. Jos yhtäsuuruuden = korvaa ehdossa (4.2) merkillä (vastaavasti ), niin tällaista prosessia nimitetään alimartingaaliksi (vastaavasti ylimartingaaliksi). Tarkastelemme aluksi muutamia esimerkkejä martingaaleista sekä prosesseista, jotka ovat lähes martingaaleja, mutteivat kuitenkaan. 4.3. Lause. Brownin liike on martingaali (täydennetyn) historiansa suhteen. Todistus. Tiedämme jo, että B on adaptoitu sekä integroituva. Koska Brownin liikkeellä on riippumattomat lisäykset, niin E (B s H t )=E (B s B t + B t H t )=B t + E (B s B t )=B t. 4.4. Esimerkki. Prosessi X t := Bt 2 t on myös martingaali Brownin liikkeen historian suhteen, sillä selvästi X on adaptoitu, ja E X t t+e Bt 2 =2t<. Martingaaliominaisuuden (4.2) osoittaminen on seuraavanlainen lasku: E (X s H t )=E (B s (B s B t + B t ) H t ) s = E (B s (B s B t ) H t )+B 2 t s = E ( (B s B t ) 2 + B t (B s B t ) H t ) + Xt + t s = s t + B t E (B s B t H t )+X t + t s = B t E (B s B t )+X t = X t

46 STOKASTISET DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT Seuraava esimerkki esittelee, mitä voimme martingaaliomainaisuudesta esimerkiksi kaivaa ulos. 4.5. Esimerkki. Edellisen esimerkin martingaaliominaisuus voidaan helposti yleistää tämän useampiulotteiseen tilanteeseen, sillä jos B on d-ulotteinen Brownin liike, niin Y t := B(t) 2 td = d (B j (t) 2 t) on d:n martingaalin summana martingaali. Olkoon nyt τ = inf{ t : B t = r }, mikä on ensimmäinen osumishetki r-säteisen pallon reunaan. Tiedämme siis, että Jos τ olisi tavallinen ajanhetki, niin j=1 E x Y (τ) =E x ( r 2 τd) =r 2 de x τ. E x Y (t) =E x E (Y (t) H s ) = E x Y (s) jokaisella s < t, joten erityisesti E x Y (t) = E x Y (0) = E x B(0) 2 = x 2. Jos voisimme jotenkin yleistää tämän koskemaan myös pysähdyshetkiä, niin olisimme päätelleet seuraavaa x 2 = E x Y (τ) =r 2 de x τ = E x τ = r2 x 2. d Tämä yleistys ei luonnollisestikaan ole täysin itsetään selvyys, vaan martingaalien tärkeä ominaisuus, johon siis palaamme piakkoin. 4.6. Esimerkki. Jos f on konveksi funktio ja X on martingaali, niin f(x t ) on alimartingaali, jos E f(x t ) < jokaisella t T.Tästä näemme, että B(t), B(t) +, e B(t), jne. ovat alimartingaaleja, mutta ne eivät ole martingaaleja. Luettelemme seuraavassa muutamia diskreettien martingaalien perustuloksia ja todistamme niistä muutaman. Seuraavassa (F n ) on annettu filtraatio ja X n on adaptoitu sen suhteen. Käytämme niissä hyväksi esiversiota stokastisesta integraalista eli summaa n (H X) n := H k + X k 1 missä H on ennustettava prosessi eli H n F n 1 jokaisella n 1. k=1 4.7. Lemma. Jos X n on ylimartingaali (alimartingaali, martingaali) ja H n 0 on rajoitettu, niin H X on myös ylimartingaali (alimartingaali, martingaali). Todistus. Helppo harjoitustehtävä.

STOKASTISET DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 47 Tämän tuloksen avulla on helppo osoittaa, että pysäytetty prosessi X τ n := X(τ n) on alimartingaali, jos X on alimartingaali. Tämä seuraa siitä, että jos Y n = X(τ n), niin + Y k =[τ > k ] + X k. Siispä Y n = X 0 +(H X) n, kun H n =[τ n ]. Koska [ τ n ]=1 [ τ < n ], niin H on ennustettava ja rajoitettu. Lemman avulla voimme myös osoittaa ensimmäisen version optinaalisen pysäyttämisen lauseesta. Muiden versioiden todistukset perustuvat samaan ajatukseen, mutta niitä emme käy läpi. 4.8. Lemma. Jos N(ω) M(ω) < K < ovat pysähdyshetkiä ja X on alimartingaali, niin X N E (X M F N ) melkein varmasti. Jos X on martingaali on edellisessä yhtäsuuruus. Lisäksi adaptoitu ja integroituva prosessi X on martingaali jos ja vain jos E X N = E X M jokaisella rajoitetulla pysähdyshetkellä N ja M. Todistus. Oletetaan aluksi, että X on martingaali. Olkoon Y n := X(M n) X(N n) =X M (n) X N (n). Kun n K, niin Y n = X M X N. Toisaalta Y 0 = 0. Koska kahden martingaalin erotus on martingaali ja (X N n ) sekä (X M n ) ovat martingaaleja, niin Y on martingaali. Erityisesti siis 0=E Y 0 = E Y K = E X M E X N joten E X N = E X M. Eli olemme osoittaneet yhden osan väitteestä. Oletetaan nyt, että E X N = E X M jokaisella rajoitetulla pysähdyshetkellä N ja M ja että X on adaptoitu ja integroituva, mutta muuta oletusta prosessista X emme tee. Oletetaan, että N M < K ja olkoon A F N.Tällöin N A := N[ A ]+ K[ A C ] ja M A := M[ A ]+K[ A C ] ovat kaksi rajoitettua pysähdyshetkeä. (HT. Miksi?) Siispä oletuksen nojalla E X(N A )=EX(N)[ A ]+KE ( X(K)[ A C ] ) = E X(M A )=E X(M)[ A ]+KE ( X(K)[ A C ] ) joten jokaisella A F N on voimassa E ( X(N)[ A ] ) = E ( X(M)[ A ] ) = E ( E (X(M) F N )[A ] ) Siispä ehdollisen odotusarvon määritelmän nojalla X(N) =E (X(M) F N ). Jos N ja M ovat tavallisia ajanhetkiä, niin X on martingaali. Yhdistettynä alkuosaan olemme osoittaneet koko väitteen ja alkuosan, kun X on martingaali.

48 STOKASTISET DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT Jos X on alimartingaali, niin väiteen todistus on samanlainen, paitsi emme voi vedota siihen että kahden alimartingaalin erotus olisi alimartingaali. Toisaalta + Y n =[N n < M ] + X n =: H n+1 + X n ja prosessi H n =[n M ] [ n N ] on ennustettava, joten Y n on alimartingaali. Loppu meneekin samalla tavoin. Seuraava tulos on kertoo, kuinka hyvin osakemarkkinoilla strategia: osta halvalla, myy kalliilla toimii, jos markkinoita (tai hyödykkeen hintaa) kuvaa alimartingaali. Sitä varten määrittelemme jonon pysähdyshetkiä sekä niiden avulla kaksi storkastista prosessia. N 0 := 0, h > 0 N 2k 1 := inf{ n > N 2k 2 : X m a } N 2k := inf{ n > N 2k 1 : X m a + h } H m := [ N 2k 1 m 1 <N 2k jollakin k ] U n := sup{ k : N 2k n } 4.9. Lemma (Ylitysepäyhtälö). Jos (X m ) on alimartingaali, niin he U n E (X n a) + E (X 0 a) + Todistus. Koska Y n = (X n a) + on alimartingaali, joka ylittää välin [0,h] samalla kun X n ylittää välin [a, a + h], joten voimme olettaa, että a = 0 ja X n 0. Tällöin hu n (H X) n, sillä jos N 2K n < N 2K 1, niin hu n = hk ja edelleen (H X) n = m [ N 2k 1 m 1 <N 2k,m n ](X m X m 1 ) =(X(N 2 ) X(N 1 )) + +(X(N 2K ) X(N 2K 1 )) Kh. Siispä hu n (H X) n ainakin, jos N 2K n < N 2K 1. Jos taas N 2K+1 n< N 2K+2, niin hu n = hk, mutta (H X) n Kh + X(n) X(N 2K+1 ) Kh määritelmän nojalla, sillä a = 0 ja X n 0. Jos K m =1 H m, niin X n X 0 =(H X) n +(K X) n, joten E X n E X 0 he U n + E ( K X) n E ( K X) 0 = he U n edellisen lemman avulla. Tämän tuloksen avulla voimme osoittaa helposti tärkeän martingaalien suppenemistuloksen 4.10. Lause (Martingaalikonvergenssilause). Jos (X n ) on alimartingaali ja sup E X + n <, n

STOKASTISET DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 49 niin X n X melkein varmasti ja rajasatunnaismuuttuja X on integroituva. Todistus. Olkoon a ja h > 0 vapaasti valittuja rationaalilukuja. Nyt E U n ( a + E X n )/h joten jos U = lim U n, niin E U < eli U< melkein varmasti. Siispä Jos siis tarkastelemme tapahtumaa {lim inf X n < a < a + h<lim sup X n } niin havaitsemme, että tämä on nollatapahtuma, koska tämä on mahdollista vain, kun U =. Voimme siten päätellä, että {lim inf X n < a < a + h<lim sup X n } a,h Q on nollatapahtuma, joten lim sup X n lim inf X n melkein varmasti. Fatoun lemman nojalla E X + lim inf E X + n < joten ainakin X<. Koska E X n = E X n + E X n E X n + E X 0, joten Fatoun lemma osoittaa edelleen, että E X <. Tämän seurauksena saamme seuraavan yleisen tuloksen martingaalien suppenemisominaisuuksista. 4.11. Lause. Jos (X t ) on càdlàg martingaali, T = R + niin seuraavat ehdot ovat yhtäpitäviä. i) X t suppenee avaruudessa L 1, kun t ii) löytyy sellainen X L 1, että X t = E (X F t ) iii) perhe { X t : t T } on tasaisesti integroituva Jos mikä tahansa ehdoista toteutuu, niin X = lim t X t melkein varmasti. Lisäksi jos sup E X t p <, t T niin ylläolevat ehdot täyttyvät ja lisäksi X t X myös avaruudessa L p. Tässä lauseessa esiintynyt tasasisesti integroituvan perheen käsite on seuraava. 4.12. Määritelmä. Joukko satunnaismuuttjia { X t : t T } on tasaisesti integroituva, jos lim sup E ( X t [ X t M ] ) =0 M t T

50 STOKASTISET DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 4.13. Huomautus. Jos X on martingaali, niin lim E ( X t [ X t M ] ) =0 M jokaisella t T. Jos merkitsemme väitteet formaalisti, niin jokainen martingaali toteuttaa ehdon ε > 0, t T, N >0, M > N : E ( X t [ X t M ] ) ε. Jos martingaali toteuttaa ehdon iii) edellisessä lauseessa, eli se on tasaisesti integroituva, niin se toteuttaa ehdon ε > 0, N >0, t T, M > N : E ( X t [ X t M ] ) ε. missä olemassaolokvanttori ja universaalikvanttori ovat vaihtaneet paikkaa. Tämä viittaa jonkinlaiseen kompaktisuuteen ja todellakin, tasainen integroituvuus on yhtäpitävää heikon (pre)kompaktisuuden kanssa avaruudessa L 1. Lauseen lopussa ollut oletus siitä, että jos martingaali on rajoitettu L p :ssä, niin väite seuraa myös tällöin vastaa funktionaalianalyysistä tutun tiedon mukaan heikkoa kompaktisuutta avaruudessa L p. Koska Banachin avaruuksissa heikko kompaktisuus takaa suppenevan osajonon löytymisen, niin martingaaleille heikosti suppenevan osajonon olemassaolo jo takaa sekä vahvan (normin mielessä) suppenevuuden että melkein varman suppenemisen. Tarvitsemme vielä Joseph Leo Doobin martingaaliepäyhtälöitä sekä optionaalisia pysähtymisen lauseita. 4.14. Lause (Doobin maksimaali-l p -epäyhtälöt). Jos (X m ) on alimartingaali ja X m = sup j m X j, niin Edelleen, kun p>1, niin λp ( X λ ) E X + n. E (X n) p ( ) p p E (X n + ) p. p 1 Nämä tulokset yleistyvät mukavasti myös jatkuvaan tilanteeseen. 4.15. Lause (Doobin maksimaali-l p -epäyhtälöt (osa II)). Jos (X t ) on càdlàg positiivinen alimartingaali ja T R on väli ja X t = sup s t X s, niin Edelleen, kun p>1, niin λp ( X t λ ) E X t. E (X t ) p ( ) p p E X p t. p 1

STOKASTISET DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 51 4.16. Lause (Optionaalisen pysäyttämisen lause). Jos (X n N ) on tasaisesti integroituva alimartingaali, niin tällöin jokaisella pysähdyshetkellä M N on voimassa E X M E X N Myös tämä tulos yleistyy jatkuvaan aikaan, mutta muotoilemme sen vain martingaaleille. Yhdistämme siihen myös martingaalikonvergenssituloksen. 4.17. Lause (Optionaalisen pysäyttämisen lause (Osa II)). Jos X on càdlàg martingaali ja τ 1 τ 2 < ovat kaksi pysähdyshetkeä, niin X τ1 = E (X τ2 F τ1 ) melkein varmasti. Jos X on tasaisesti integroituva, niin myös perhe { X τ : τ on pysähdyshetki } on tasaisesti integroituva ja jos τ<, niin X τ = E (X F τ ) 4.2. Lokaalit martingaalit. Kohta tulemme määrittelemään lokaalin martingaalin. Lokalisointi viittaa aina jonkinlaisen katkaisemisen tai osiin pilkkomisen periaatteeseen. Optionaalisen pysäyttämisen lauseen nojalla voimme osoittaa, että pysäytetty martingaali on martingaali. Tarkoitamme tällä seuraavaa. Määrittelemme X τ (t) := X(t τ) kun τ on pysähdyshetki. Kun tarkastelemme tätä prosessia, niin huomaamme, että hetken τ jälkeen prosessi pysähtyy tilaan X(τ). Osoitamme, että tämä pysäyttäminen ei tuhonnut martingaaliominaisuutta. 4.18. Lemma. Kun X on càdlàg martingaali filtraation (F t ) suhteen, niin pysäytetty prosessi Y := X τ on càdlàg martingaali filtraation (F t ) suhteen jokaisella pysähdyshetkellä τ. Tämän tuloksen voisi osoittaa suoraan käyttämällä optionaalisen pysäyttämisen lauseen (HT), mutta sen voi osoittaa käyttämällä seuraavaa lemmaa apuna. 4.19. Lemma. Adaptoitu càdlàg-prosessi X on martingaali filtraation (F t ) suhteen jos ja vain jos jokaisella rajoitetulla pysähdyshetkellä τ satunnaismuuttuja X τ on integroituva ja lisäksi E X τ = E X 0.

52 STOKASTISET DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT Tämän lemman todistus on toiseen suuntaan suora seuraus optinaalisen pysäyttämisen lauseesta ja toinen suunta on samanlainen kuin vastaavan diskreettiaikaisen tuloksen osoitus. Lemman 4.18 todistus. Olkoon η jokin rajoitettu pysähdyshetki. Tällöin Y (η) = X(η τ), joten tiedämme, että E Y (η) < ja E Y (η) =E X(η τ) =E X(0) = E Y (0). Koska pysäyttäminen säilyttää càdlàg-ominaisuuden, niin Y on martingaali.