9 (a) Esitä seisovan aallon aaltofunktio. (b) Paikallista ne köyden pisteet, jotka eivät liiku ollenkaan. (c) Paikallista ne köyden pisteet, jotka liikkuvat eniten ja laske vastaavat maksimipoikkeamat, -nopeudet ja -kiihtyvyydet. Ratkaisu: Alkuperäisen aallon ominaisuudet: -3 A = 1.5 1 m, -1-1 w = p f = p 1s = 754s -1 p p f w 4ps -1 k = = = = = 8.98m l v v 84.m/s l v 84.m/s = = =.7m 1 f 1s - (a) Seisova aalto (.3.4) y( x, t) = (Asin kx)coswt -3-1 -1 = (3. 1 m)sin(8.98m x)cos(754s t) On vielä varmistettava, että tällä on solmu kohdassa x = : -3-1 y(, t) = (3. 1 m)sin() cos(754s t) =, ts. solmu on!! (b) Köysi ei liiku solmukohdissa (.3.5) x= m l =,.35m,.7m, 1.5m,... (c) Köysi liikkuu eniten kupukohdissa (.3.6) æ 1 öl x= ç m+ =.175m,.55m,.875m,... è ø Kupukohdissa sin( kx ) =± 1, joten y( t) =± Acoswt v y( t) = dy / dt =mawsinwt ay( t) = dvy/ dt =maw coswt Näiden maksimiarvot saadaan, kun cosw t =± 1ja sinw t =± 1:
3 3. 1 m max 3 - y = A= (pieni) v y ay = Aw =.6m/s (suuri) max = Aw = 171m/s (valtava, vrt. g) max Lisäpohdintaa: Miten seisovan aallon yhtälö (.3.4) pitäisi kirjoittaa, jos köyden pää olisi kiinnitetty pisteeseen ( x= x, y= )? Vastaus: y( x, t) = [Asin k( x- x)]cosw t..4 NORMAALIMUODOT Edellisessä tarkastelussa vain toinen köyden päistä oli kiinnitetty ja köysi oletettiin (periaatteessa) äärettömän pitkäksi. Tässä tapauksessa systeemiin sinänsä ei rajoittanut syntyvän seisovan aallon aallonpituutta. Olipa tulevan aallon aallonpituus mikä tahansa aina syntyy seisova aalto. Tarkastellaan nyt miten tilanne muuttuu, kun köyden molemmat päät on kiinnitetty. Molemmista päistä kiinnitettyjä köysiä esiintyy paljon musiikki instrumenteissa, esimerkiksi kitarassa. Kun kitaran kieli saatetaan värähtelemään aalto etenee edestakaisin heijastuen kiinnitetyistä päistä. Nytkin muodostuu seisova aalto eri suuntiin etenevien aaltojen superpositiona. Molemmista päistään kiinnitettyyn köyteen syntyvällä seisovalla aallolla täytyy olla solmupiste köyden molemmissa päissä. Toisaalta, edellisessä kappaleessa totesimme, että seisovan aallon solmupisteet ovat l /:n päässä toisistaan. Tästä seuraa, että köyden pituuden L täytyy olla l /, tai ( l / ), tai 3( l / ), jne.... Saamme siis ehdon L= n l, ( n = 1,, 3, K). (.4.1)
31 Tämä tarkoittaa sitä, että jos köyden molemmat päät on kiinnitetty, köysi voi värähdellä vain ehdon (.4.1) mukaisilla aallonpituuksilla. Aallonpituudet ovat L l n =, ( n = 1,, 3, K). (.4.) n Neljä ensimmäistä tämän yhtälön mukaista ns. normaalivärähdysmuotoa on esitetty kuvassa alla. Aallonpituuksia l n vastaavat taajuudet saadaan puolestaan yhtälöstä v v fn = = n ( n = 1,, 3, K). (.4.3) l L n
3 Matalin taajuus f 1 vastaa suurinta aallonpituutta ja se saadaan, kun n = 1. Tätä taajuutta sanotaan perustaajuudeksi (fundamental frequency). Kaikki muut taajuudet ovat perustaajuuden monikertoja f 1, 3 f 1, 4 f 1,... ja niitä sanotaan harmonisiksi (harmonics) tai musiikkipiireissä yliääniksi (overtones). Perustaajuus f 1 on ensimmäinen harmoninen, taajuus f = f1 on toinen harmoninen tai ensimmäinen yliääni, f3 = 3 f1 on kolmas harmoninen tai toinen yliääni, jne. Jos köysi on kiinnitetty pisteissä x = ja x= L, niin sen n: nnen seisovan aallon aaltofunktioksi tulee (katso.3.4) y ( x, t) = A sin( k x)cos( w t), (.4.4) n sw n n missä A sw on seisovan aallon amplitudi ( = A), k n = p / ln ja w = p f. n n Värähtelevän systeemin normaalimuoto (normal mode) on sellainen liike, missä systeemin kaikki hiukkaset värähtelevät harmonisesti samalla taajuudella siten, että kaikki hiukkaset ohittavat tasapainoasemansa samanaikaisesti ja toisaalta ovat poikkeamansa maksimissa samanaikaisesti. Molemmista päistä kiinnitetty köysi värähtelee siis normaalimuotoisesti ja esimerkiksi edellisen sivun kuva esittää normaalimuotoja arvoilla n = 1,, 3 ja 4. Köydessä (esim. kitaran kielessä) eri normaalimuodot värähtelevät tavallisesti yhtäaikaa. Värähtely voi siis olla hyvinkin monimutkaista. Eri normaalimuotojen virittyminen värähtelemään riippuu alkuehdoista, ts. siitä miten kieli alun perin saatetaan värähtelemään.
33 Toisaalta mikä tahansa köyden liikemuoto voidaan esittää normaalimuotojen lineaarikombinaationa. Monimutkaisen värähtelyn purkamista eri normaalimuodoiksi sanotaan Fourieranalyysiksi. Edellisen sivun kuvassa (alakuvassa) L : n pituista kitaran kieltä näpäytetään etäisyydeltä L /4 vasemmasta reunasta. Kieleen syntyvä monimutkainen värähtely voidaan esittää sinimuotoisten normaalimuotojen kombinaationa (yläkuva). Esimerkki: Erään jättiläissellon kielen pituus on 5. m, lineaarinen massatiheys 4. g/m ja perustaajuus. Hz (alin ihmisen kuulema taajuus). Laske a) aallon nopeus kielessä ja kielen jännitys, b) toisen harmonisen taajuus ja aallonpituus ja c) kielen synnyttämän ääniaallon taajuus ja aallonpituus, kun kieli värähtelee perustaajuudellaan ja toisella harmonisellaan. Oleta äänen nopeudeksi ilmassa 344 m/s. Ratkaisu: Värähtelevästä kielestä on annettu seuraavat tiedot: L = 5.m, -3 m = 4. 1 kg/m ja f 1 =. Hz. a) Kielen pituus on 5. m, joten yhtälön (.4.) l n = L/ n mukaan perustaajuutta ( n = 1) vastaava aallonpituus on 1. m. Nyt aallon nopeus kielessä saadaan laskemalla v= lf= 1.m.Hz = m/s 1 1 ja jännitys yhtälöstä (1.4.1) ratkaisemalla -3kg æ mö F = mv = 4. 1 ç = 16N m è s ø b) Toisen harmonisen ( n = ) taajuus on yhtälön (.4.3) mukaan f = v m/s 4.Hz f L = 1.m = = 1
34 ja aallonpituus yhtälön (.4.) mukaan l = L / = 5.m. c) Kieli hakkaa ilmaa sillä taajuudella, jolla se värähtelee, joten taajuus ilmassa on sama kuin kielessä. Perusvärähdys f 1 =. Hz Aallonpituus ilmassa l = v 344m/s 17.m f =.Hz = Toinen harmoninen f = 4. Hz Aallonpituus ilmassa l = v 344m/s 8.6m f = 4.Hz =.5 FOURIER-SARJOISTA Kappaleessa 1.1 totesimme, että mikä tahansa jaksollinen aalto (myös ei-harmoniset) voidaan esittää harmonisten sini- ja kosiniaaltojen lineaarikombinaationa. Jaksollisen aallon purkamista sen harmonisiin komponentteihin sanotaan Fourier-analyysiksi. Fourier-sarja: Olkoon y( x-v t) mikä tahansa rajoitettu jaksollinen aalto, jonka aallonpituus on l. Voidaan osoittaa (ei johdeta tässä), että sarja A ì é p ù é p ùü + å íamcos m ( x- t) + Bmsin m ( x- t) ý m= 1î ê ë l v ú û ê ë l v ú ûþ (.5.1)
35 suppenee kohti funktiota y( x-v t) kaikissa pisteissä, joissa funktio on jatkuva. Epäjatkuvuuskohdissa sarja suppenee kohti funktion toispuoleisten raja-arvojen keskiarvoa. Sarjassa harmonisten termien amplitudit A m ja periodin ( x x + l) ulottuvista integraaleista B m saadaan yli A x + l = y( x) dx l ò, (.5.) x x + l æ p ö Am = y( x)cos m x dx l ò ç è L ø, (.5.3) x x + l æ p ö Bm = y( x)sin m x dx l ò ç è L ø. (.5.4) x Näissä yx ( ) = yxt (, = ). Jos siis funktio yx ( ) tunnetaan, amplitudit A, A m ja B m voidaan laskea ja Fourier-analyysi on suoritettu. Esimerkki: Tee Fourier-analyysi suorakaideaallolle ì M ï, kun - l/ < x <-l/ 4 ï yx (,) = í1, kun - l/ 4 x + l/ 4 ï, kun + l/ 4 < x<+ l/ ï ïî M
36 Analyysi: Kannattaa valitan x =- l /, jolloin integroimisväliksi tulee - l/ l/, ts. se sijoittuu symmetrisesti origon suhteen. Edelleen, koska yx ( ) on parillinen funktio ja sini-funktio on pariton, integraali (.5.4) on aina nolla. Riittää, kun laskemme integraalit (.5.) ja (.5.3). Siis ensin l/ l/4 l A = y( x) dx dx 1 l ò = l ò = = l -l/ -l/4 ja sitten l/ l/4 æ p ö æ p ö Am = y( x)cosç m x dx = cosç m x dx l è l ø l è l ø ò ò. -l/ Tässä hyödynnettiin tulon y cos... parillisuutta. Edelleen tulee 4 1 l l/4 æ p ö æ p ö Am = sin ç m x = sin ç m l m p è l ø mp è ø. Ensimmäisille A = 1, A1 Am -kertoimille saadaan: = 1 1 p, A =, A 3 =- 1 3 p, A =, A 4 5 = 1 5 p,... Jaksollinen suorakaideaalto voidan siis esittää harmonisten kosiniaaltojen summana (.5.1) 1 æ p ö é ù y( x, t) = + åç sin m cos m ( x- t) m= 1 mp ê v è ø ë p û ú 1 é æp ö 1 æ p ö = + cos ( x t) cos 3 ( x t) p ê ç -v - ç -v ë è l ø 3 è l ø 1 æ p ö 1 æ p ö ù + cosç 5 ( x-vt) - cosç 7 ( x- vt) + L 5 l 7 l ú è ø è ø û
37 3 ÄÄNI Yksi ihmisen kannalta tärkeimmistä luonnossa esiintyvistä aaltoilmiöistä muodostuu ilmassa etenevistä pitkittäisistä aalloista eli ääniaalloista (sound waves). Tarkastelemme nyt ääntä lähinnä ilmassa, mutta yleisesti ottaen ääni voi edetä myös muissa kaasuissa, nesteissä ja myös kiinteissä aineissa. Tässä kappaleessa tarkastelemme ensin yleisesti pitkittäisten aaltojen ominaisuuksia ja tämän jälkeen keskitymme ääniaaltoihin ja erilaisiin kuulemiseen liittyviin ilmiöihin. 3.1 PITKITTÄISEN AALLON NOPEUS JA ENERGIA Kuten poikittaisen aallon tapauksessa myös pitkittäisen aallon nopeus riippuu väliaineen fysikaalisista ominaisuuksista. Tarkastellaan nyt pitkittäisen aallon nopeutta sylinterissä olevassa nesteessä (tai kaasussa). Johto on täysin analoginen kappaleessa 1.4 esitetyn johdon kanssa. Nesteen tiheys olkoon r ja sylinterin poikkipinta-ala A. Tasapainotilanteessa neste on levossa ja vakiopaineessa p. Hetkellä t = mäntään kohdistetaan voima ( D p) A ja mäntä lähtee liikkeelle vakionopeudella v y. Syntyy pulssi, joka etenee kuvassa oikealle nopeudella v.
38 Tilanne ajanhetkellä t on esitetty kuvassa (b). Pisteen P vasemmalla puolella nesteen nopeus on v y ja oikealla puolella vielä nolla. Mäntä on liikkunut matkan v ja piste P matkan v t. y t Sovelletaan nytkin impulssiteoreemaa. Liikkuvaan nesteosaan vaikuttava voima on ( D p) A ja sen aiheuttama liikemäärän muutos, ajassa t, on ( rvta) v y -, missä ( rv ta) on nesteosan massa. Tulee siis ( D p) At= ( rvta) v y. Kirjoitetaan seuraavaksi liikkuvaan nesteosaan kohdistuva lisäpaine D p nesteen tilavuusmodulin B (bulk modulus tai modulus of compression eli puristuvuuskerroin) avulla. Aineen tilavuusmoduli B (Pa = N/m ) kertoo miten paljon paine muuttuu ( D p ), kun suhteellista tilavuutta muutetaan ( D V / V ). Se määritellään yhtälöllä ædv ö D p=-bç è V ø. Alkuperäinen tilavuus Av t on pienentynyt määrällä -( Avyt) vy D p=- B = B At v v. Tulee v y B At = ( rvta) vy, v ja kun tästä ratkaistaan v, saadaan Av y t, joten B v =. (3.1.1) r Pitkittäisen aallon nopeus nesteessä (kaasussa) riippuu siis nesteen tilavuusmodulista B ja tiheydestä r.
39 Pitkittäisen aallon nopeus kiinteässä aineessa saadaan myös yhtälöstä (3.1.1), kunhan nesteen tilavuusmoduli korvataan kiinteän aineen kimmomodulilla Y (Young s modulus): Y v =. (3.1.) r Kannattaa huomata nopeuskaavojen (1.4.1), (3.1.1) ja (3.1.) samankaltaisuus. Kaikkien kaavojen osoittajassa esiintyy väliaineen kimmoisuutta kuvaava ominaisuus, joka kertoo palauttavan voiman suuruudesta. Nimittäjissä kaikilla on väliaineen hitautta kuvaava ominaisuus. Vastaavaa analogiaa voidaan käyttää myös pitkittäisen aallon energiansiirtonopeuteen. Kappaleessa 1.5 johdimme köydessä etenevän poikittaisen aallon keskimääräiselle teholle lausekkeen 1 Pav = mfw A, missä F on köyden jännitysvoima (edustaa kimmoisuutta) ja m massa pituusyksikköä kohti (edustaa hitautta). Vastaava suure pitkittäisille aalloille nesteissä tai kaasuissa on keskimääräinen teho pinta-alayksikköä kohti eli intensiteetti I, joka saadaan korvaamalla m r ja F B: 1 I B A josta kiinteille aineille korvaamalla B = r w, (3.1.3) Y: 1 I = ryw A. (3.1.4) Esimerkki: Laivan kaikuluotain käyttää vedessä eteneviä ääniaaltoja. Laske äänen nopeus ja aallonpituus 6 Hz:n taajuiselle äänelle vedessä. Veden ( C) tilavuusmoduli on B =.18 1 9 3 Pa ja tiheys r = 1. 1 kg/m 3.
Ratkaisu: 4 9.18 1 N/m Nm 3 3 1. 1 kg/m kg B v = = = 1476.48 = 148m/s r l = v = 1476.48 m/s = 5.6354 m = 5.64m f 6 1/s Esimerkki: Matalahkon puheäänen taajuus on noin 1 Hz ja intensiteetti noin 3 1-6 W/m. Laske äänen nopeus ja amplitudi, 5 kun ilman tilavuusmoduli on 1.4 1 Pa ja tiheys 1. kg/m 3. Ratkaisu: Nopeus: B v = = = = r 5 1.4 1 N/m m m 343.996 344 3 1. kg/m s s Amplitudi yhtälöstä (3.1.3): I A = rb( p f) -6 Tässä: I = 3 1 W/m r = 1. kg/m 3 5 B = 1.4 1 N/m f = 1 1/s joilla -9 A = 191.8794 1 m =.19mm!! (aika pieni) Yksikkötarkastelu: W/m Ws /m Js/m Nms = = = = m = m kg N 1 kg kg kg 3 4 m m s ms ms
41 3. ÄÄNEN NOPEUS IDEAALIKAASUSSA 1/ Yhtälö (3.1.1) v = ( B / r) pätee pitkittäisille aalloille kaasuissa. Tarkastellaan nyt miten yhtälöä voidaan kehittää ideaalikaasuissa. Tilavuusmodulin B tarkka (infinitesimaalinen) määritelmä on dp B=- V, dv joten nyt on selvitettävä miten ideaalikaasun paine riippuu tilavuudesta. Oletetaan, että äänen eteneminen ideaalikaasussa on adiabaattinen prosessi, ts. lämmön vaihtoa puristumisten ja laajentumisten aikana ei ehdi tapahtua. Näissä olosuhteissa paineen p ja tilavuuden V välillä vallitsee yhteys (tarkemmin termofysiikan kurssilla) pv g = vakio, (3..1) missä g = Cp / CV on ominaislämpökapasiteettien (vakiopaineessa ja vakiotilavuudessa) laaduton suhde. Derivoimaalla V:n suhteen dp V g pv g -1 + g =, dv josta g -1 dp g pv g p =- =-. g dv V V Tilavuusmodulille saamme B = g p ja äänen nopeudeksi tulee Edelleen ideaalikaasun tilanyhtälöstä m pv = nrt = RT M saamme tiheydelle r = m pm V = RT, g p v =. (3..) r
jonka avulla päädytään yhtälöön 4 g RT v =, (3..3) M missä R on yleinen kaasuvakio, M moolimassa ja T lämpötila. Esimerkki: Laske äänen nopeus ilmassa ( C), kun ilman moolimassa on 8.8 g/mol ja g = 1.4. Ratkaisu: g RT v = M missä g = 1.4 R = 8.315 J mol -1 K -1 T = 93 K ( C) -3 M = 8.8 1 kg/mol J tulee v = 344.138 = 344 m/s kg 3.3 ÄÄNIAALLOT Luonnon äänet leviävät äänilähteestä kaikkiin suuntiin moninaisilla amplitudella. Yksinkertaiset ääniaallot ovat kuitenkin sinimuotoisia (harmonisia) aaltoja, joilla on yksikäsitteinen taajuus, amplitudi ja aallonpituus. Ihminen havaitsee ääntä taajuusalueella Hz Hz. Aluetta sanotaan kuuloalueeksi (audible range). Kuuloalueen yläpuolinen taajuusalue on ultraäänialue (ultrasonic) ja alapuolinen infraäänialue (infrasonic). Tarkastellaan ideaalista positiivisen x-akselin suuntaan etenevää ääniaaltoa ja kirjoitetaan sen aaltofunktio muodossa
43 y( x, t) = Asin( kx- w t). (3.3.1) Tässä on muistettava, että ääni on pitkittäistä aaltoliikettä ja poikkeamat tapahtuvat aallon etenemissuunnassa. Kaavassa (3.3.1) poikkeama-akseli y on siis samansuuntainen x-akselin kanssa. Amplitudi A on ilmaosasten poikkeama-amplitudi. Ääniaaltoja voidaan kuvata myös paineen vaihteluina ilmanpaineen p a molemmin puolin. Ihminen kuulee nimenomaan paineen vaihtelut, joten on hyödyllistä esittää (3.3.1) niiden avulla. Kuvatkoon pxt (,) äänen paineen vaihtelua pa : n ympäristössä, ts. kokonaispaine on pa + pxt (,). Sitä, miten paineen vaihtelu pxt (,) ja hiukkasten poikkeamat yxt (,) riippuvat toisistaan, selvitellään viereisen kuvan avulla. Kuvitteellinen ilmassa oleva sylinteri on x-akselin suuntainen ja sen poikkipinta-ala on S. Tasapainotilassa sylinterin pituus on D x. Kohdalle tuleva ääniaalto siirtää sylinterin vasemman pään paikasta x paikkaan y 1 ja oikean pään paikasta x+d x paikkaan y. Sylinterin tilavuus V = SD x muuttuu määrän V D V= Sy ( - y1) = [ yx ( +Dxt,)- yxt (,)], Dx josta D V [ yx ( +Dxt,)- yxt (,)] =. V Dx Muutokset ovat pieniä ja rajalla, kun D x, saamme dv yx ( +Dxt,)- yxt (,) yxt (,) = lim =. (3.3.) V D x D x x