Päätöspuut pitkän aikavälin investointilaskelmissa Optimointiopin seminaari, Jaakko Ollila. Parannusehdotus 4. Esimerkki : hystereesis investointipäätöksissä 1 -$ 0 Tavallinen päätöspuu Aika Laskut antavat yhden luvun olettaen, että päätös on tehtävä nyt tai ei koskaan. Investointiin sisältyvä riski mallinnetaan nettonykyarvomenetelmällä (CAPM) Sopeutuminen uuteen on informaatioon ongelmallista.. Parannusehdotus - 4. Esimerkki : hystereesis investointipäätöksissä Epävarmuusrakenteet yksinkertaistuvat, aikadynamiikka unohtuu, eikä riskin muuttumista projektin edistyessä huomioida oikein 3 4-104 FIM Yhden periodin investointipäätös Uusi projekti 180 FIM -0 FIM Olemassa oleva, markkinahinnoiteltu projekti 60 FIM NPV=-104+(90+30)/1.0=-4 0=(18+6)/(R) => R=0% Päätöspuu-/NPV-menetelmä kiteyttää projektin riskin diskonttokorkoon, joka on vakio. 1.8*0 FIM =36FIM 0.6*0 FIM =1FIM 5 Mitä jos investointipäätöstä voikin lykätä periodilla eteenpäin -104 FIM Uusi projekti Go Lykkää NPV=-4FIM No-Go NPV=0 NPV= Arvon muutos periodin aikana: Max[180-104*1.08, 0] FIM = 67.68 FIM Max[60-104*1.08, 0] FIM = 0 FIM Virheellinen päätöspuumetodiikka: NPV=(0.5*67.68+0.5*0)/1.0=8.0 FIM Traditionaaliset laskentamenetelmät eivät arvota oikein assetteja, eli johdannaisia, joiden arvo riippuu toisista asseteista. 6 1
Vaihtoehtoinen hinnoittelumenetelmä investointioptiolle: Replikoivan portfolion tuotto epävarmuuden lauetessa: Muodostetaan tuotoiltaan replikoiva portfolio olemassa olevista, hinnoitelluista asseteista: x*36fim - (R)*y = 67.68 FIM x*1fim - (R)*y = 0 FIM, missä x on vertailukelpoisen assetin määrä, y on riskitön assetti ja R on riskitön korko. Nyt x=.8 ja y=31.33 FIM.8*0FIM+ -31.33 FIM =5.07 FIM.8*36FIM- 1.08*31.33FIM =67.68 FIM.8*1FIM- 1.08*31.33FIM =0FIM Perusoletus pysyy muuttumattomana: on löydettävä riskiprofiililtaan vertailukelpoinen assetti, jolla on markkinahinta, ja joka on ostettavissa 7 Täydellisillä markkinoilla, ei-arbitraasiehdon vallitessa investointioption arvo on sama, = 5.07 FIM, kuin replikoivan portfolion arvo hetkellä nolla. 8 Koko odotusoption arvo on 5.07FIM-(-4FIM)=9.07FIM Huom. Yleisesti ottaen päätöspuumenetelmä aliarvioi pitkän aikavälin investointien arvon, koska se ei ota huomioon reaalioptioiden tuomaa arvonlisäystä. 9.07 = (0.5*67.68FIM+0.5*0FIM)/(r) <=> r = 16.4% Aina, kun investointipäätöksiin sisältyy reaalioptioita, riskin käsittely vaikeutuu ja tavallinen päätöspuumalli sisältää harhaa. 9 Yleistys jatkuva-aikaiseen tapaukseen Edellinen malli oli harvinaisen stilisoitu (yksi periodi, yksi epävarmuuden lähde, jolla vain kaksi mahdollista reaalisaatiota) Todellisuudessa mahdollisia päätöksentekopisteitä on useita. Myös epävarmuuksia on erilaisia (korkotaso, tekninen onnistuminen, taloudellinen onnistuminen,...), ja ne muuttuvat jatkuvasti Teoreettisesti käyttökelpoinen malli saadaan, kun mallinnetaan epävarmuudet jatkuvina, stokastisina prosesseina 10. Parannusehdotus - 4. Esimerkki : hystereesis investointipäätöksissä Epävarmuuden lähde geometrisena Brownin liikkenä (1) Hyödyllinen apuväline: Iton lemma Oletetaan, että epävarmuus muuttu ajassa seuraavan prosessin mukaisesti dx ( = a( dt + b( dz, missä dz kuvaa Wiener -prosessia. Oletetaan edelleen, että y(=. Tällöin: F F 1 F F dy( = ( a+ + b ) dt+ bdz x t x x 11 1
Epävarmuuden lähde geometrisena Brownin liikkenä () Oletetaan nyt, että assetin (esim. projekti) arvoa voidaan kuvata seuraavalla prosessilla: dx = α xdt + σ xdz Muodostetaan jälleen replikoiva portfolio ostamalla vertailukelpoista assettia ja riskitöntä assettia Nyt replikoiva portfolio tuottaa kutakin sijoitettua FIMiä kohden r + n( α + δ ) x δ nx dt + dz nx nx Epävarmuuden lähde geometrisena Brownin liikkenä (3) Oletetaan, että option arvoa kuvataan funktiolla. Iton lemman avulla arvon muutos voidaan kirjoittaa muotoon 1 Ft ( + αxfx ( + δ x Fxx( δ xfx ( d = dt+ dz. Jotta tuotot kummastakin assetista olisivat identtiset, vaaditaan δ nx δ xf x ( t ) = nx F ( t ) 13 14 Epävarmuuden lähde geometrisena Brownin liikkenä (4) Ei-arbitraasiehdon nojalla voidaan puolestaan vaatia 1 Ft ( + αxfx ( + δ x Fxx( r+ n( α+ δ ) x =. nx Kahdesta edellisestä yhtälöstä sijoittamalla saadaan alla oleva osittaisdifferentiaaliyhtälö option arvolle. Option ominaisuudet luodaan kiinnittämällä sopivat reunaehdot. 1 δ x F xx ( + ( r δ ) xf ( + F ( r = 0 x 15 t Epävarmuuden lähde geometrisena Brownin liikkenä (5) Edellä johdettu on itse asiassa Black-Scholes -kaava finanssioption arvolle Samaan tulokseen päädytään stokastisen dynaamisen ohjelmoinnin kautta Vain harvat todellisuuden probleemat ratkeavat analyyttisesti Käytännön ongelmana on vaadittu korkeamman matematiikan taito Useat epävarmuuslähteet ja erimuotoiset prosessit voivat muuttaa tuloksia ratkaisevasti Oleellista on paikallistaa tärkein epävarmuus ja muodostaa ymmärrettävä malli. 16. Parannusehdotus 3. Esimerkki 1: 1: alkuperäislääkkeen tuotekehitys 4. Esimerkki : hystereesis investointipäätöksissä 17 Selkeästi jaksottuneet investointipäätökset Erittäin pitkä kokonaisaika Suuret kustannukset Alkuperäislääkkeen tuotekehitys Phase III Discovery& 0.01% Phase I Preclinical 0 5 10 70% 47% Phase IIII Breakthrough Above Average Average Below Average 18 60% Market Launch 60% Dog AIKA/ VUOTTA 3
Reaalioptiomallin mukaan aiempaa enemmän tuotekehitysprojekteja aloitetaan, mutta vastaavasti aiempaa enemmän niitä myös lopetetaan Alkuperäislääkkeen tuotekehitys Päätöksentekijöillä on joustavuutta ohjata projektia optimaaliseen suuntaan kussakin päätöksentekopisteessä. Pitkä aikahorisontti tuo paljon uutta, projektin päätöksenteon kannalta merkityksellistä tietoa. Kasvuoptiot ja pysäytysoptio lisäävät investoinnin arvoa etenkin alkuvaiheen päätöksenteossa. Mittavien kumulatiivisten kustannusten vuoksi, väärien projektien valinta voi aiheuttaa suuret tappiot. 19. Parannusehdotus 4. Esimerkki : : hystereesis investointipäätöksissä 0 Hystereesis investointipäätöksissä Hystereesis investointipäätöksissä AIKA Arvioitu projektin rahallinen arvo Nettonykyarvo Lykkäysoption arvo Pysäytysoption arvo Investointioptioiden tiedostaminen aiheuttaa inertian kohti status quoa. GO STOP 1 Ilmiö on yleinen sekä taloudellisissa että eitaloudellisissa investointipäätöksissä. Hyvä esimerkki on lääketeollisuus, jossa tuotekehitysprojekteista tulee helposti tavarajunia. Äärimmäisissä tapauksissa epävarmuuden volatiliteetti voi vaikuttaa päätöksiin enemmän kuin epävarmuuden absoluuttinen taso. (esim. yleinen korkotaso) Mitä suurempi epävarmuus ja mitä suuremmat uponneet kustannukset, sitä suurempi on investointioptioiden arvo ja sitä voimakkaampi on taipumus pysyä status quossa.. Parannusehdotus 4. Esimerkki : hystereesis investointipäätöksissä 3 Päätöspuun soveltamista vaikeuttavia tekijöitä Investoinnin ajoitus ja aikahorisontti Suuri epävarmuus investoinnin arvossa Uponneiden kustannusten suuruus Joustavuus päätöksenteossa Pitkä aikahorisontti, jatkuva epävarmuusrakenne sekä jaksottaiset päätökset luovat investointipäätökseen tekijötä, joiden arvoa ei voida kuvata oikein tavanomaisella päätöspuulla. 4 4
Pohdintaa Optiohinnoittelumalli on markkinalähtöinen: olemassa olevia markkinahinnat määrittäävät uuden assetin arvon Ongelmana on kuitenkin löytää parametreille oikeat arvot Tosielämän päätöksenteossa rahallinen arvo ei ole ainoa päätöksentekokriteeri Suhde Dempster-Schafer ajatteluun Kotitehtävä 1. Muodosta investointioption arvo diskreetin parannusehdotuksen lukuarvoilla käyttäen riskineutraalia menetelmää. (Vihje: kuvittele itsesi maailmaan, jossa kaikki sijoituspäätökset ovat riskittömiä. Tällöin diskonttokoron muodostaa pelkkä rahan aika-arvo, eli riskitön korko R=8%. Koko sijoituksen riski sisällytetään tulevaisuuden kassavirtoihin riskineutraalien todennäköisyyksien avulla, jotka muuttavat epävarmat tuotot varmoiksi riskittömässä maailmassa. Riskineutraalit todennäköisyydet saat laskettua markkinahinnoitellusta projektista kalvolla 5. Kysessä ovat siis ne todennäköisyydet, joilla mikä tahansa markkinahinnoiteltu investointi on täysin riskitön.) Tässäkin mallinnusmetodiikassa on omat heikkoutensa. 5 6 5