Diffraktiivinen syvä epäelastinen sironta dipolimallissa

Diffraktiivinen syvä epäelastinen sironta dipolimallissa Kandidaatintutkielma Heikki Mäntysaari 6. elokuuta 010 JYVÄSKYLÄN YLIOPISTO FYSIIKAN LAITOS Ohjaaja: Tuomas Lappi

Toinen, korjattu painos, päivitetty 5. tammikuuta 011.

Tiivistelmä Tässä työssä esitellään tapa kuvata diffraktiivista syvää epäelastista leptoni protoni- ja leptoni ydinsirontaa dipolimallilla. Siinä sirontaa tarkastellaan koordinaatistossa, jossa leptoni siroaa kohtiona olevasta protonista tai ytimestä emittoimalla virtuaalisen fotonin, josta muodostuva kvarkki antikvarkkidipoli siroaa kohtiosta. Lopuksi kvarkki antikvarkkidipoli muodostaa sidotun tilan, esimerkiksi vektorimesonin tai reaalisen fotonin. Työssä keskitytään dipoli protoni- ja erityisesti dipoli ydinsirontaan. Ensin johdetaan yksinkertaisessa approksimaatiossa tunnetut tulokset dipoli protoni- ja dipoli ydinsirontojen vaikutusaloille. Tärkein huomio tästä laskusta on, että suurilla liikemäärän muutoksilla epäkoherentin dipoli ydinsironnan vaikutusala on massaluvulla kerrottu dipoli protonisironnan vaikutusala. Koherentti sironta taas aiheuttaa voimakkaan piikin etusuunnan sironnan vaikutusalaan. Tämän lisäksi tutkitaan, miten dipoli ydinvaikutusala muuttuu, jos otetaan huomioon sirontaa kuvaavan S-matriisin unitaarisuusvaatimus. Tällöin dipoli ydinvaikutusala johdetaan käyttämällä dipoli protonisironnalle unitaarisuusehdon toteuttavaa Glauberin Muellerin dipolivaikutusalaa. Tutkimuksen tuloksena on, että unitaarisuusvaatimuksen huomioiminen hieman pienentää tunnettuja dipoli ydinsironnan vaikutusaloja. Lisäksi huomataan, että suoraviivainen vaikutusalan kehittäminen sarjaksi ei toimi niin suurilla dipoleilla ja ytimillä, että siitä olisi hyötyä koko leptoni ydinsironnan kuvaamisessa. Tätä varten johdetaan kaikenkokoisilla dipoleilla pätevä tulos dipoli ydinsironnan vaikutusalalle, jota voidaan käyttää, kunhan sironta tapahtuu raskaasta ytimestä ja liikemäärän muutos on suuri.

Sisältö 1 Johdanto 1 1.1 Merkinnät............................... 1 1. Määritelmiä.............................. 1 1.3 Syvä epäelastinen sironta....................... 1.4 Diffraktiivinen syvä epäelastinen sironta.............. 3 1.5 Rakennefunktiot............................ 4 1.6 Valokartiokoordinaatisto....................... 6 1.7 S-matriisi ja optinen teoreema.................... 7 Dipolimalli 9.1 Diffraktiivinen syvä epäelastinen sironta dipolimallissa...... 9. Virtuaalisen fotonin sironta protonista............... 10.3 Kvarkki antikvarkkidipolin sironta ytimestä............ 16.4 Yksinkertainen malli dipoli ydinsironnalle............. 0.5 Koherentin dipoli ydinsironnan vaikutusala Glauberin Muellerin dipolivaikutusalasta.......................... 3 S-matriisin unitaarisuusvaatimuksen vaikutus dipoli ydinsironnan vaikutusalaan 4 3.1 Vaikutusalan arviointi S-matriisielementtien tulona........ 4 3. Vaikutusalan arviointi sarjakehitelmästä.............. 5 3.3 Vaikutusala kaikenkokoisilla dipoleilla................ 9 3.4 Vaikutusala suurilla ytimillä ja suurilla liikemäärän muutoksilla. 31 4 Johtopäätökset 35

1 Johdanto Tässä työssä tarkastellaan leptonin syvää epäelastista ja diffraktiivista sirontaa protonista ja atomiytimestä. Sirontatapahtumaa kuvaamaan esitellään dipolimalli, jossa tarkastelu palautuu kvarkki antikvarkkidipolin sirontaan protonista tai ytimestä. Ensimmäisessä luvussa esitellään työn kannalta tärkeää fysiikkaa. Toisessa luvussa esitetään, miten diffraktiivista syvää epäelastista sirontaa kuvataan dipolimallilla. Kolmannessa luvussa tutkitaan sirontaa kuvaavan S-matriisin unitaarisuusvaatimuksen vaikutusta dipoli ydinsirontaa. 1.1 Merkinnät Vektoreita merkitään ilman erillistä vektorimerkkiä: esimerkiksi hiukkasen neliliikemäärä voi olla p. Vektorimerkki merkitään kuitenkin näkyviin, jos on vaarana vektorin sekoittuminen paljaaseen lukuun. Merkintä on tällöin p. Operaattoreita merkitään isolla kirjaimella ilman operaattorimerkkiä. Yksikköjärjestelmänä käytetään yleisesti hiukkasfysiikassa käytössä olevaa luonnollista yksikköjärjestelmää [1]. Siinä asetetaan = c = k B = 1, jolloin hienorakennevakio α = e /4π). Lisäksi monesti tarvitaan yhteys pituuden ja energian dimensioiden välille: fm GeV = 5,07. 1. Määritelmiä Vincenzo Baronen ja Enrico Predazzin kirjassa High-Energy Particle Diffraction [] määritellään syvä epäelastinen sironta ja diffraktiivinen sironta seuraavasti. Syvällä epäelastisella sironnalla englanniksi deep inelastic scattering, DIS) tarkoitetaan prosessia, jossa leptoni siroaa hadronista tai ytimestä, joka sironnan seurauksena hajoaa muiksi hiukkasiksi. Tällaiseen sirontaan liittyy suuri siroavan leptonin liikemäärän muutos. Diffraktiiviselle syvälle epäelastiselle sironnalle englanniksi diffractive deep inelastic scattering, DDIS) esitetään seuraavat kaksi määritelmää: Suurilla energioilla reaktio, jossa siroavien hiukkasten välillä ei vaihdeta kvanttilukuja, on diffraktiivinen. Reaktio, jossa lopputilan hiukkasten välillä on suuri rapiditeettiero ja joka ei vaimene eksponentiaalisesti energian kasvaessa, on diffraktiivinen. Rapiditeetillä y tarkoitetaan suuretta, joka z-akselin suuntaan liikemäärällä p z ja energialla E liikkuvalle hiukkaselle on y = 1 ln E + p z E p z. 1.1) 1

Kuva 1. Syvä epäelastinen sironta. Epärelativistisella rajalla rapiditeetti palautuu hiukkasen nopeudeksi. On huomattava, että molemmat määritelmät toimivat vain asymptoottisesti, kun törmäysenergiat kasvavat suuriksi. Esimerkkejä diffraktiivisista sironnoista ovat elastinen sironta 1 + 1 + ja yksinkertainen diffraktio 1 + 1 + X. 1.3 Syvä epäelastinen sironta Tarkastellaan luvussa 1. määriteltyä syvää epäelastista sirontaprosessia, joka voidaan kirjoittaa muodossa ll) + NP ) l l ) + XP X ), 1.) missä l on törmäävä leptoni liikemäärä aluksi l ja sironnan jälkeen l ) ja N kohtio ydin tai hadroni, liikemäärä P ). Ytimen tai vastaavasti hadronin hajotessa muodostuu mahdollisesti lukuisia uusia hiukkasia. X kuvaa kaikkia näitä syntyviä hiukkasia kokonaisliikemäärällä P X. Prosessi on esitetty kuvassa 1. Tällaisen sirontaprosessin kinematiikan kuvaamiseksi määritellään kinemaattisia muuttujia. s = l+p ) on tavallinen Mandelstamin muuttuja, joka kuvaa prosessin kokonaisenergiaa. Tämä nähdään kirjoittamalla s massakeskipistekoordinaatistossa: s = E l + E N ), missä E l ja E N ovat leptonin ja ytimen kokonaisenergiat. Tämän lisäksi määritellään seuraavat muuttujat []: q Q l l ) 1.3) ν P q m N x Q P q = = W + Q m N m N 1.4) Q m N ν = Q Q + W m N 1.5) y P q P l = W + Q m N, 1.6) s m N

missä m N on kohtioytimen massa ja W = P + q ) Mandelstamin s-muuttuja fotoni ydinsironnalle. Määritelmissä esiintyy vain nelivektoreiden sisätuloja ja ytimen invariantti massa m N, joten näin määritellyt suureet ovat Lorentz-invariantteja. Ne eivät kuitenkaan ole riippumattomia, sillä voidaan kirjoittaa W = 1+x x Q +m N ja Q = s m N )xy. Näin määritelty q kuvaa sironnassa tapahtuvaa leptonin liikemäärän muutosta, ja liikemäärän säilymisen nojalla se on myös leptonin emittoiman virtuaalisen fotonin liikemäärä. ν kuvaa koko sirontaprosessissa siirtyvää energiaa, sillä kohtion lepokoordinaatistossa ν = E l E l, missä E l on leptonin energia lopussa. Yhtälöt 1.3) 1.6) saadaan johdettua sijoittamalla W ja Q oikeanpuoleisiin yhtälöihin ja huomaamalla, että P = m N. Muuttujaa x, joka on dimensioton luku väliltä [0,1], kutsutaan Bjorkenin muuttujaksi. γ p-sironnassa x kuvaa siroavan kvarkin tai gluonin liikemäärän osuutta protonin liikemäärästä. Tämä nähdään vaatimalla, että sironnassa syntyvät hiukkaset ovat massakuorellaan, jolloin jos kvarkin/gluonin liikemäärä oli alunperin zp, pätee suuren energian rajalla 0 = zp + q) = q + zp q, eli z = x. Monesti on kiinnostavaa tutkia prosesseja suurienergisen γ p -sironnan rajalla, jolloin W Q ja siten x 1. Kinemaattista aluetta, jossa x on kiinnitetty ja Q m N ja ν m N, kutsutaan syväksi epäelastiseksi alueeksi []. Tällöin sisään tulevan virtuaalisen fotonin invariantti massa ja siroavan leptonin energian muutos ovat huomattavasti suurempia kuin ytimen massa m N, joka voidaan approksimoida nollaksi. 1.4 Diffraktiivinen syvä epäelastinen sironta Tarkastellaan reaktiota, jossa leptoni siroaa protonista tai vastaavasti ytimestä) siten, että protoni säilyy ehjänä eikä hajoa hadroneiksi: ll) + pp ) l l ) + p P ) + XP X ). 1.7) Diffraktiivisessa syvässä epäelastisessa leptoni protoni- tai leptoni ydinsironnassa ei luvussa 1. esitetyn määritelmän nojalla vaihdeta kvanttilukuja leptonin ja kohtion välillä. Tästä syystä reaktio voidaan kuvata siten, että leptoni emittoi virtuaalisen fotonin γ, joka sitten vuorovaikuttaa protonin kanssa vaihtamalla sen kanssa niin kutsutun pomeronin ja muodostaa lopputilan hiukkaset X. Pomeroni on välittäjähiukkanen, jolla on tyhjiön kvanttiluvut []. Tämä on kuitenkin vain malli tilanteen kuvaamiseen; pomeroni ei ole hiukkasfysiikan standardimalliin kuuluva hiukkanen, eikä sitä voida havaita. Tilanne on esitetty kuvassa, jossa pomeronia kuvataan sahalaitaisella viivalla. 3

Kuva. Diffraktiivinen syvä epäelastinen sironta. Diffraktiivisen syvän epäelastisen sironnan kinematiikan kuvaamisessa käytetään edellä luvussa 1.3 määriteltyjä muuttujia. Tämän lisäksi määritellään [] t P P ) P, x F 1.8) x P P P ) q = M + Q t P q W + Q m N M + Q W + Q = 1 x F ja 1.9) Q β q P P ) = Q M + Q t Q M + Q. 1.10) Tässä m N on protonin massa, M X:n invariantti massa, W = P + q) γ p-prosessin Mandelstamin s-muuttuja ja x F P z /P z Feynmanin muuttuja. Approksimoinneissa on oletettu, että m N 0. Näin määritelty t on leptoni protonisironnan Mandelstamin t-muuttuja. x P ja β voidaan tulkita siten, että x P kuvaa sitä osuutta protonin liikemäärästä, jonka protoni luovuttaa pomeronille, ja β kuvaa siroavan partonin liikemäärän osuutta pomeronin liikemäärästä. Suoralla laskulla voidaan edelleen todeta suhde x:n, x P :in ja β:n välille: x = βx P. 1.5 Rakennefunktiot Protoni ei ole pistemäinen hiukkanen, vaan sillä on sisäistä alirakennetta, mikä on otettava huomioon tarkasteltaessa esimerkiksi leptoni protonisirontaa. Rakenteen vaikutusta ei kuitenkaan voida suoraan laskea QCD:stä, vaan se on mitattava sirontakokeista. Syvän epäelastisen elektroni protonisironnan vaikutusala voidaan parametrisoida rakennefunktioilla F 1 x,q ) ja F x,q ) kirjoittamalla kohtion lepokoordinaatis- 4

tossa [3] ] dσ de l dω = α 1 [cos θ/)f 4El x,q ) + sin θ/) Q F sin4 θ/) ν xm 1 x,q ), N 1.11) missä m N on protonin massa, α 137 1 hienorakennevakio ja E l ja E l ovat elektronin energiat alussa ja lopussa. Jos protoni olisi pistemäinen, tulisi vaikutusalan olla sama kuin elektroni myonisironnan vaikutusala kun M on myonin massa), jolloin rakennefunktiot olisivat F x,q ) = δ1 x) ja F 1 x) = 1 1 x). Kokeellinen havainto on, että rajalla Q M ja ν M, ja kun x on kiinteä, F 1 ja F eivät juuri riipu Q :sta. Tätä rajaa kutsutaan Bjorkenin skaalaukseksi tai skaalainvarianssiksi, koska tällöin rakennefunktiot eivät muutu, jos massoja, energioita ja liikemääriä skaalataan vakiolla. Yhtälöstä 1.5) nähdään, että x säilyy kiinteänä tällaisessa skaalauksessa. Tarkastellaan sitten virtuaalisen fotonin sirontaa protonista. Kun tämän prosessin vaikutusala jaetaan virtuaalisen fotonin polarisaation mukaan liikesuuntaiseen komponenttiin σ γ p L ja liikesuuntaa vastaan kohtisuoraan komponenttiin σ γ p T, voidaan johtaa tulokset [] σ γ p L σ γ p T = 4π α Q F xf 1 ) ja 1.1) = 4π α Q xf 1. 1.13) Nämä tulokset antavat syyn määritellä liikesuuntainen ja liikesuuntaa vastaan kohtisuora rakennefunktio F L = F xf 1 ja 1.14) F T = xf 1. 1.15) Näillä merkinnöillä γ p-sironnan kokonaisvaikutusala on verrannollinen rakennefunktioon F : σ γ p = σ γ p L + σγ p T = 4π α Q F x,q ). 1.16) Differentiaalinen vaikutusala voidaan kirjoittaa x:n ja Q :n avulla muodossa [4] d σ γ p dxdq = πα [ 1 + 1 y) )F Q 4 x,q ) y F L x,q ) ]. 1.17) x 5

Toisaalta partonimallissa on mahdollista laskea F ja F L kvarkki- ja gluonijakaumista. Ensimmäisessä approksimaatiossa, jossa jätetään huomioimatta protonissa olevista gluoneista aiheutuvat korkeamman kertaluvun korjaukset, saadaan rakennefunktiolle F F x) = e qxf q x). 1.18) q Tässä f q x) on kvarkkimaun q x:stä riippuva tiheys ja summaus tehdään valenssija merikvarkkien ja niiden antikvarkkien yli. Jos gluonien vaikutusta ei huomioida, on F L = 0. Kuitenkin huomioimalla niiden vaikutus seuraavan kertaluvun QCD-prosesseissa voidaan kirjoittaa [5] F L x,q ) = α sq ) 1 [ dz 8 π x z 3 3 F x,q ) + 40 9 zgz,q ) 1 x ) ], 1.19) z x missä zgz,q ) on dimensioton gluonitiheys ja α s vahvan vuorovaikutuksen voimakkuutta kuvaava kytkinvakio. 1.6 Valokartiokoordinaatisto Relativistisia sirontaprosesseja on monesti käytännöllistä tarkastella valokartiokoordinaatistossa, jossa nelivektori A µ = A 0,A 1,A,A 3 ) = A 0, A,A 3 ) kirjoitetaan muodossa A µ = A +,A, A ). Näin voidaan tehdä, kun määritellään [] A ± = 1 A 0 ± A 3 ). 1.0) Näissä koordinaateissa sisätulo on A B = A 0 B 0 A B = A + B + A B + A B, 1.1) josta saadaan edelleen normin neliö A = A 0 ) A = A + A A. 1.) Valokartiokoordinaatiston etu on siinä, että sitä käytettäessä on yksinkertaista kuvata relativistisella nopeudella z-akselin suuntaan kulkevaa hiukkasta: sen liikemäärän nelivektorilla on tällöin vain yksi nollasta poikkeava komponentti A + tai A. 6

1.7 S-matriisi ja optinen teoreema Optinen teoreema sitoo toisiinsa elastisen etusuunnan sironnan vaikutusalan ja prosessin kokonaisvaikutusalan. Tarkastellaan prosessia 1+ 3+ +n. Määritellään, kuten monissa oppikirjoissa ja esimerkiksi lähteessä [3], siirtymäoperaattori S siten, että se vie systeemin alkutilasta i lopputilaan f : f = S i. 1.3) Koska näin määritelty S sisältää myös tapauksen, jossa sirontaa ei tapahdu, on hyödyllistä määritellä T -operaattori siten, että S = 1 + it. 1.4) Koska neliliikemäärän tulee säilyä sirontatapahtumassa, voidaan se erottaa T :stä. Valitsemalla lisäksi standardinormitus voidaan määritellä sironta-amplitudi A siten, että [] f it i = iai f)π) 4 δ 4) p i p f ), 1.5) missä p i ja p f ovat alku- ja lopputilojen liikemäärät. π) 4 on deltafunktion normitus, joten jos deltafunktion osuus jätetään pois, voidaan sironnalle tilasta i tilaan j kirjoittaa matriisielementti T ij = Ai j). Näillä merkinnöillä differentiaalinen vaikutusala prosessille, jossa lopputilassa on n hiukkasta, on dσ n = Ai f n ) dπ n, 1.6) missä dπ n on n hiukkasen differentiaalinen faasiavaruuselementti, ) n d 3 p j n dπ n = π) 4 δ 4) p π) 3 1 + p p i. 1.7) E j j=1 Tässä on huomattava oppikirjoista poikkeava määrittely, sillä vuotekijä on nyt sisällytetty sironta-amplitudin lausekkeeseen. Oppikirjoissa määritellään tavanomaisesti esimerkiksi [1]) siten, että -sironnan sironta-amplitudi A on dimensioton, ja yhtälössä 1.6) on erillinen vuotekijä, joka massattomalla rajalla on s) 1, missä s on Mandelstamin s-muuttuja. Tässä esitettyä määritelmää käyttäen -sironnan sironta-amplitudin dimensio on GeV. Kokonaisvaikutusala saadaan laskettua summaamalla kaikkien mahdollisten lopputilan hiukkasten lukumäärien yli: i=3 dσ = n dσ n. 1.8) 7

Johdetaan seuraavaksi optinen teoreema. Todetaan ensin, että S on unitaarinen operaattori: olkoon P i k todennäköisyys sille, että systeemi siirtyy tilasta i tilaan k. Tällöin on oltava 1 = k P i k = k k S i = k i S k k S i = i S S i, 1.9) mistä sillä i on mielivaltainen tila. S:n unitaarisuuden nojalla S S = 1, 1.30) 1 it )1 + it ) = 1 T T = it T ). 1.31) Sulkemalla yhtälö tilojen f ja i väliin ja sijoittamalla täydellisyysrelaatio T T :n väliin saadaan i f T T i = n d 3 p j f T n n T i π) 3 E n j=1 j δ 4) p f p i )π) 4 Im A = n d 3 p j 1.3) δ 4) p π) 3 n p f )π) 4 π) 4 E n j j=1 A f n)δ 4) p n p i )Ai n), missä p n on tilan n liikemäärä. Liikemäärän säilymisen nojalla voidaan molemmilta puolilta jättää yhdet deltafunktiot pois. Tarkastellaan seuraavaksi tapausta, jossa alkutila on sama kuin lopputila, eli f = i. Huomaamalla yhtälössä 1.3) esiintyvä faasiavaruustekijä saadaan se muotoon Im Ai i) = dπ n Ai n), 1.33) n mistä σ kok = Im A el t = 0), 1.34) kun on merkitty Ai i) = A el t = 0). Optisen teoreeman mukaan siis kokonaisvaikutusala prosessille 1 + mitä tahansa liittyy suoraan elastisen etusuunnan sironnan sironta-amplitudiin. 8

Dipolimalli Dipolimallissa diffraktiivista syvää epäelastista elektroni protonisirontaa tai vastaavasti elektroni ydinsirontaa) pienillä Bjorkenin x-muuttujan arvoilla kuvataan siten, että tuleva elektroni emittoi virtuaalisen fotonin γ, joka fluktuoituu kvarkki antikvarkkidipoliksi q q. Syntynyt dipoli siroaa protonista elastisesti ja muodostaa lopuksi sidotun tilan, joka voi olla esimerkiksi reaalinen fotoni tai vektorimesoni..1 Diffraktiivinen syvä epäelastinen sironta dipolimallissa Tarkastellaan kuvassa 3 esitettyä virtuaalisen fotonin ja protonin diffraktiivista syvää epäelastista sirontaa protonin lepokoordinaatistossa. Vastaava tarkastelu on tehty esimerkiksi lähteissä [] ja [5]. Tarkastelu voidaan tehdä myös tapauksessa, jossa virtuaalinen fotoni siroaa protonin sijaan ytimestä. Tarkastellaan γ p-sirontaa pienellä Bjorkenin x:n arvolla. Valitaan koordinaatistoksi protonin lepokoordinaatisto, jossa virtuaalinen fotoni etenee positiivisen z-akselin suuntaan liikemäärällä p γ. Lorentzin kontraktion takia fotoni näkee protonin massa m p ) litistyneenä z-akselia vastaan kohtisuoralle tasolle. Koska x on pieni, voidaan olettaa protonin koostuvan vain gluoneista. Lisäksi aikadilataatiosta johtuen gluonikentän aikakehitys on hidastunut, joten sitä voidaan pitää muuttumattomana. Todetaan seuraavaksi, että kvarkki antikvarkkidipolin elinaika on huomattavasti vuorovaikutuksen kestoa suurempi, joten vuorovaikutus tapahtuu pääasiassa dipolin ja protonin välillä. Käyttämällä luvussa 1.3 määriteltyjä kinemaattisia muuttujia voidaan fotonin liikemääräksi kirjoittaa p γ = ν, 0, 0, ) ν + Q..1) Valokartiokoordinaatistossa tämä on ) p γ = q +, Q q,0,.) + sillä pienellä x pätee q + ν. Olkoon l muodostuvan kvarkin liikemäärä ja l vastaavasti antikvarkin liikemäärä, ja z l:n osuus fotonin liikemäärästä. Kun vielä merkitään kvarkin liikesuuntaan nähden kohtisuoraa liikemäärää l :llä ja vaaditaan lähes massattoman kvarkin olevan massakuorellaan voidaan kirjoittaa valokartiokoordinaatistossa ) l = zq + l, zq,l +, ja.3) ) l = 1 z)q + l, 1 z)q, l +..4) 9

Näistä saadaan laskettua kvarkki antikvarkkidipolin invariantin massan neliö M = l + l ) = l z1 z)..5) Epätarkkuusperiaatteen nojalla kvarkki antikvarkkidipolin elinaika on suuruusluokkaa 1/ E, missä E on virtuaalisen fotonin ja kvarkki antikvarkkidipolin välinen energiaero. Yhtälöistä.3) ja.4) saadaan dipolin energiaksi E dipoli = 1 [ l + + l ) + l + + l ) ] = 1 q + + l z1 z)q + )..6) Toisaalta fotonin energia on vastaavasti E γ = 1 ) q + Q..7) q + Virtuaalisen fotonin ja kvarkki antikvarkkidipolin energiaero on siten E = E dipoli E γ = 1 q + Q + M )..8) Voidaan olettaa, että Q ja M ovat samaa suuruusluokkaa, jolloin saadaan E = Q q + = m px..9) Kvarkki antikvarkkidipolin elinaika on siten suuruusluokkaa τ 1/m p x), joten pienellä x:n arvolla dipoli on hyvin pitkäikäinen suhteessa vuorovaikutuksen kestoon τ vv r p, missä r p on protonin säde [6]. Siten fotonin sisäiset kvanttifluktuaatiot kvarkki antikvarkkidipoleiksi ovat niin pitkäikäisiä, että vuorovaikutus tapahtuu dipolin ja protonin välillä.. Virtuaalisen fotonin sironta protonista Tarkastellaan diffraktiivista syvää epäelastista leptoni protonisirontaa tai vastaavasti leptoni ydinsirontaa) dipolimallissa. Koska sirontaprosessi on diffraktiivinen, siroaa syntyvä kvarkki antikvarkkidipoli protonista elastisesti, jolloin tähän aliprosessiin voidaan soveltaa optista teoreemaa. Olkoon kohtion liikemäärän liikesuuntaa vastaan kohtisuoran komponentin muutos prosessissa, jolloin dipoli protoni-sirontaprosessin Mandelstamin t-muuttuja on t =. Merkitään lisäksi, että virtuaalisen fotonin muodostamat kvarkit 10

Kuva 3. Fotoni fluktuoituu kvarkki antikvarkkidipoliksi, joka siroaa protonista diffraktiivisesti. ovat etäisyydellä r toisistaan ja saavat osuudet z ja 1 z fotonin liikemäärästä. Tilanne on esitetty kuvassa 3. Sirontaprosessin todennäköisyyteen vaikuttaa nyt todennäköisyysamplitudi, jolla virtuaalinen fotoni muodostaa kvarkki-antikvarkkidipolin, olkoon se Ψr,z,Q), ja dipoli protonisironnan sironta-amplitudi A x,r, ). Merkitään lisäksi todennäköisyysamplitudia lopputilan V fluktuoitumiselle kvarkki antikvarkkidipoliksi funktiolla Ψ V r,z,q). V voi olla esimerkiksi reaalinen fotoni tai vektorimesoni. Tässä x on Bjorkenin x-muuttuja ja Q virtuaalisen fotonin virtualiteetti. Näillä merkinnöillä prosessin γ p V p sironta-amplitudi on A γ p x,q, ) = f 1 d r 0 dz 4π Ψ V r,z,q)a x,r, )Ψr,z,Q),.10) missä on summattu yli mahdollisten kvarkkimakujen f. Tekijä 4π on konventio, joka on tässä valittu samoin kuin lähteessä [6]. Jos lopputila on virtuaalinen fotoni samalla virtualiteetilla Q, sisätulo Ψ Ψ = Ψ T + Ψ L saadaan laskettua QED:stä: [7] Ψ T z,r,q) = 6α π f f Ψ L z,r,q) = 6α π f f e f e f [ [z + 1 z) ]ɛ K 1ɛr) + m fk 0ɛr) ] ja.11) [ 4Q z 1 z) K 0ɛr) ],.1) kun ɛ = z1 z)q +m f. K 0 ja K 1 ovat muokattuja toisen lajin Besselin funktioita. Vastaavalla tavalla voitaisiin kirjoittaa aaltofunktioiden sisätulo tapauksessa, jossa lopputila on vektorimesoni. Vektorimesonin aaltofunktiota ei kuitenkaan voida 11

laskea suoraan QED:stä, joten sille on kehitetty erilaisia melko monimutkaisia malleja, joita on esitetty esimerkiksi lähteessä [7]. Yhdestä mallista laskettu sisätulo on esitetty kuvassa 4. Vaikutusalaa varten olisi laskettava yhtälön.10) neliö, jolloin on laskettava useita sisäkkäisiä integraaleja. Käsittelyn yksinkertaistamiseksi tässä työssä tarkastellaan tarkemmin vain dipoli protoni- ja vastaavasti dipoli ydinsirontaa. Voidaan kuitenkin todeta, että tyypillisesti r 1/Q, joten hyvänä approksimaationa voidaan tarkastella vakiokokoista dipolia. Käyttämällä luvussa 1.7 esitettyä määritelmää sironta-amplitudille voidaan elastiselle kvarkki antikvarkkidipolin sironnalle kirjoittaa dσ el dt = 1 16π A x,r, )..13) Liikemäärän muutoksen konjugaattimuuttuja Fourier-muunnoksen suhteen on törmäysparametri b, jonka klassinen analogia on dipolin ja protonin välinen etäisyys. Sironta-amplitudi liikemääräavaruudessa saadaan siten Fourier-muuntamalla törmäysparametriavaruuden sironta-amplitudi. Voidaan siis kirjoittaa A x,r, ) = d be ib A x,r,b) = i d be ib [1 Sx,r,b)],.14) missä viimeisen yhtäsuuruusmerkin kohdalla käytettiin tietoa S = 1 + it ja yhtälöä 1.5), jonka nojalla sironta-amplitudi voidaan korvata matriisielementillä T. Optisen teoreeman 1.34) nojalla voidaan nyt kirjoittaa dipoli protonisironnan kokonaisvaikutusala σ tot = Im A x,r, = 0) = d b[1 Re Sx,r,b)]..15) Tästä muodosta seuraa, että dσ tot d b = [1 Re Sx,r,b)]..16) Tämä vaikutusala liittyy myös suoraan edellä luvussa 1.5 esitettyyn rakennefunktioon F. Yhtälöä.10) ja optista teoreemaa käyttäen voidaan nimittäin kirjoittaa F x,q ) = Q 4π α σγ p = = Q 4π α f Q 4π α Im Aγ p x,q, = 0) d r 1 0 dz 4π Ψ V r,z,q)ψr,z,q)σ tot..17) 1

Dipoli protonivaikutusalasta σ tot voidaan siten laskea protonin rakennefunktio F. Vastaavasti voidaan laskea F L kirjoittamalla vaikutusala liikesuuntaan polarisoituneelle virtuaaliselle fotonille. Ainoa muutos yhtälöön.17) on tällöin korvaus Ψ Ψ L. Olettamalla, että S-matriisi on reaalinen kuten on tehty esimerkiksi lähteissä [6] ja [8]), voidaan yhtälö.16) sijoittaa yhtälöön.14). Tällöin elastisen dipoli protonisironnan vaikutusalaksi σ = σ el saadaan dσ = 1 dt 16π d dσtot ib be d b..18) Edelleen γ p V p -sironnan sironta-amplitudi saa muodon dz A γ p V p ) = d r d bψ V Ψe ib [1 Sx,r,b)] 4π dz = d r d bψ dσtot ib V Ψe 4π d b..19) Dipoli protonisironnalle voidaan pienillä dipoleilla johtaa häiriöteoreettisesta QCD:stä alimmassa kertaluvussa [6] dσ tot d b = π 3 r α s µ )xgx,µ )T p b)..0) Tässä α s µ ) on QCD:n kytkinvakio ja xgx,µ ) dimensioton gluonitiheys. µ on skaalatekijä, jolle yleinen parametrisointi on µ = 4/r + µ 0. Kokeellisesti on mitattu µ 0 = 0,8 GeV [8]. Lisäksi QCD:n kytkinvakio halutulla skaalalla saadaan yhtälöstä [1] α s µ 1π ) =.1) 33 n f ) logµ /Λ QCD ), missä n f on niiden kvarkkimakujen lukumäärä, joille µ > m q, ja kokeellisesti määritetty parametri Λ QCD = 0, GeV. Gluonitiheys voidaan dipolimallin avulla määrittää kokeellisesti sovittamalla havaittuihin vaikutusalan arvoihin gluonitiheysfunktio. Tässä työssä gluonitiheyden arvot erikokoisille dipoleille on otettu Kowalskin ja Teaneyn artikkelista Impact parameter dipole saturation model [8] ja niitä on tarkasteltu, kun x = 10 4. Funktio T p b) kuvaa protonin gluonikentän muotoa z-akselia vastaan kohtisuoralla tasolla; paikasta riippuvan gluonitiheyden ρ g b,z) avulla voidaan määritellä [8] T p b) = dzρ g b,z),.) 13

kun lisäksi pätee normitus d bt p b) = d b dzρ g b,z) = 1..3) Fourier-muuntamalla yhtälö.0) -avaruuteen saadaan d dσtot ib be d b = κ d be ib T p b),.4) kun määritellään dimensioltaan GeV oleva parametri κ = π 3 r α s µ )xgx,µ )..5) Kokeellisten havaintojen nojalla prosessille γ p V p, missä V on vektorimesoni, pätee dσ γ p V /dt e k t [6]. Siten T p b):n Fourier-muunnoksen on oltava gaussinen -avaruudessa. Koska gaussisen funktion Fourier-muunnos on gaussinen, voidaan päätellä T p b):n olevan muotoa T p b) = 1 e b B G,.6) πb G joka toteuttaa normitusehdon.3). Kokeellisten havaintojen mukaan B G on likimain vakio, ja B G = 4 GeV [6]. Sijoittamalla T p b):n lauseke yhtälöön.0) ja tämä edelleen yhtälöön.18) voidaan kirjoittaa dσ = κ dt 16π d be ib 1 e b B G = κ G e B..7) πb G 16π Koska S-matriisi on unitaarinen, eivät sen alkiot voi olla ykköstä suurempia [9]. Siten vaikutusalan lauseke.0) ei voi toimia suurilla r:n arvoilla. Ongelma voidaan poistaa eksponentioimalla vaikutusala: dσ tot d b = [ 1 exp π 3 r α s µ )xgx,µ )T p b) )],.8) joka pienillä r:n arvoilla palautuu yhtälöksi.0). Tulos tunnetaan Glauberin Muellerin dipolivaikutusalana [8], Kowalskin Teaneyn dipolivaikutusalana tai IP Sat -mallina [10] lähteestä riippuen. Vaikka yhtälö.0) ei voi toimia suurilla dipoleilla, on se silti monesti käyttökelpoinen kuvaamaan diffraktiivista syvää epäelastista sirontaa. Yhtälössä.10) 14

Q = 0 GeV Q = 3 GeV Q = 5 GeV Q = 3 GeV Q = 5 GeV r dz Ψ Ψ)T 0,01 r dz Ψ Ψ)T 0,01 0,00 0,1 1 10 r / GeV 1 a) Liikesuuntaa vastaan kohtisuorasti polarisoitunut γ 0,00 0,1 1 10 r / GeV 1 b) Liikesuuntaisesti polarisoitunut γ Kuva 4. Virtuaalisen fotonin ja J/Ψ-vektorimesonin aaltofunktioiden sisätulo eri Q :n arvoilla. esiintyvä fotonin ja lopputilan aaltofunktioiden sisätulo nimittäin saa aikaan sen, että suuret dipolit eivät juuri vaikuta kokonaisvaikutusalaan. Tämä nähdään helposti tapauksessa, jossa lopputila on fotoni. Tällöin yhtälöiden.11) ja.1) mukaisesti suurien r:n arvojen vaikutus sironta-amplitudiin.10) pienenee kuten K 0,1r), eli eksponentiaalisesti. Kowalskin, Motykan ja Wattin artikkelissa Exclusive diffractive processes at HERA within the dipole picture [7] on laskettu aaltofunktioiden sisätulot myös tapauksille, joissa lopputilassa on vektorimesoni. Näistä nähdään, että todennäköisyysamplitudi on melko voimakkaasti piikittynyt suuruusluokkaa 0,1 fm olevien dipolien kohdalle. Kuvassa 4 on esitetty yhtälössä.10) esiintyvä suure πr dz 4π Ψ Ψ) T,L muutamalla eri Q :n arvolla, kun lopputilan vektorimesoni on J/Ψ. Vektorimesonin aaltofunktiona on käytetty yhtä kyseisessä artikkelissa esitettyä mallia, jota kutsutaan gaussiseksi valokartiomalliksi Gaus-LC). Kuvassa 4b ei ole tapausta Q = 0 GeV, sillä tällöin kyseessä on reaalinen fotoni, joka ei voi olla polarisoitunut liikesuuntaisesti. Yksi seuraus Glauberin Muellerin dipolivaikutusalan käyttämisestä on dipoli protonisirontaan ilmestyvät diffraktiominimit suurilla r:n arvoilla [8]. Tämä johtuu siitä, että suurilla dipoleilla b-avaruuden sironta-amplitudi.8) on likimain 15

dσ/dt / µb/gev 10 4 10 3 10 10 1 10 0 10-1 10-10 -3 G-M, r =0,4 GeV 1 r =0,4 GeV 1 G-M, r =1,0 GeV 1 r =1,0 GeV 1 G-M, r =3,0 GeV 1 r =3,0 GeV 1 10-4 0,0 0,5 1,0 1,5,0,5 3,0 t / GeV Kuva 5. Dipoli-protonisironnan vaikutusala Glauberin Muellerin dipolivaikutusalasta.8) ja yksinkertaisesta mallista.7). laatikko, jonka Fourier-muunnos on Besselin funktio J 1. Lisäksi sen käyttäminen selvästi pienentää dipoli protonisironnan vaikutusalaa. Kuvassa 5 on esitetty dipoli protonisironnan vaikutusala erikokoisille dipoleille käyttämällä Glauberin Muellerin dipolivaikutusalaa GM) yhtälöstä.8) ja yksinkertaisesta mallista saatua tulosta.7)..3 Kvarkki antikvarkkidipolin sironta ytimestä Ytimen rakennetta voidaan tutkia mittaamalla kvarkki antikvarkkidipolin sirontaa ytimestä. Tässä yhteydessä sironnat voidaan jakaa kahteen luokkaan. Koherentissa sironnassa ydin säilyy muuttumattomana yleensä perustilassa), kun taas epäkoherentissa sironnassa lopputilassa ydin on siirtynyt johonkin viritystilaansa tai hajonnut pienemmiksi, värineutraaleiksi ytimiksi. Erona dipoli protonisirontaan on nyt se, että vaikutusala on keskiarvoistettava nukleonien paikkojen yli. Lisäksi epäkoherentin sironnan tapauksessa on summattava kaikkien mahdollisten ytimen viritystilojen yli. Tarkastellaan ensin yleisesti koherenttia tapausta. Olkoon Ψb 1,z 1,...,b A,z A ) ytimen aaltofunktio, jolloin todennäköisyys löytää nukleonit sijainneista b i,z i ) on Ψ Ψ, kun b i on nukleonin i paikka z-akselia vastaan kohtisuoralla tasolla. Oletetaan, että nukleonien paikat ovat toisistaan riippumattomia, jolloin voidaan 16

arvioida, että Ψ b 1,z 1,...,b A,z A )Ψb 1,z 1,...,b A,z A ) = A ρb i,z i ),.9) i=1 missä ρb i,z i ) on ytimen nukleonitiheys. Näillä merkinnöillä dipoli ydinsironnan sironta-amplitudi b-avaruudessa voidaan keskiarvoistaa nukleonien paikkojen yli kirjoittamalla dσ A ) dσ A d b = d b 1 dz 1 Ψ b 1,z 1,...,b A,z A )Ψb 1,z 1,...,b A,z A ) d b b 1,z 1,...,b A,z A ) ) dσ A = d b 1... d b A T A b 1 ) T A b A ), d b missä b 1,...,b A ).30) ) dσ A q q on nukleonien paikoista riippuva amplitudi, ja d b b 1,...,b A ) T A b i ) = dz i ρb i,z i )..31) Lisäksi pätevät normitusehdot d bt A b) = d bdzρb,z) = 1. Fourier- Keskiarvoistamisen jälkeen saadaan laskettua sironta-amplitudi A A 0 A 0 muuntamalla keskiarvoistettu b-avaruuden sironta-amplitudi.30): ia A 0 A 0 = d be ib dσa d b..3) Vaikutusala koherentille sirontaprosessille on siten dσ A = 1 ) dσ A dt 16π d b 1 d b A d be ib T A b 1 ) T A b A ) d b b 1,...,b A )..33) Epäkoherentissa tapauksessa vaikutusala saadaan summaamalla kaikkien mahdollisten lopputilojen sironta-amplitudien A A 0 A n neliöiden yli. Sironta-amplitudi tilaan A n voidaan, samoin kuin koherentissa tapauksessa, kirjoittaa muotoon ) dσ ia A A 0 A n = d bd b 1 d b A e ib Ψ A n Ψ A0,.34) d b b 1,...,b A ) 17

kun Ψ A0 = Ψ A0 b 1,...,b A ) on ytimen aaltofunktio alkutilassa ja vastaavasti Ψ An = Ψ Ai b 1,...,b A ) lopputilassa. z-suuntainen riippuvuus on integroitu ja sisällytetty näin määriteltyjen aaltofunktioiden lausekkeisiin. Käyttämällä amplitudia.34) voidaan laskea epäkoherentin sironnan vaikutusala. Tämä tapahtuu laskemalla ensin kvasielastisen prosessin, eli prosessin, jossa lopputila A n voi olla sama kuin alkutila A 0 tai jokin ytimen viritystila, vaikutusala. Tällaisen prosessin vaikutusala on siten koherentin ja epäkoherentin prosessin vaikutusalojen summa. Käyttämällä täydellisyysrelaatiota voidaan kvasielastiselle prosessille kirjoittaa n dσ A 0 A n dt = 1 16π = 1 16π n A A 0 A n d b 1 d b A d bψ A0 b 1,...,b A )Ψ A n b 1,..., b A ) n ) dσ A e ib d b b 1,...,b A ) = 1 d b 1 d b A d b 1 d b 16π AΨ A0 b 1,...,b A )Ψ A 0 b 1,...,b A) ) dσ A Ψ A n b 1,...,b A )Ψ An b 1,...,b A) d be ib n d b }{{} = 1 16π Q i δb i b i ) d b 1 d b A Ψ A0 Ψ A 0 d be ib dσ A d b ) b 1,...,b A ) b 1,...,b A )..35) Epäkoherentin sironnan vaikutusala saadaan vähentämällä kvasielastisen sironnan vaikutusalasta koherentin sironnan vaikutusala. Edellä esiintyvät funktiot T A b) ja ρb,z) riippuvat käytettävästä ytimen mallista. Yksinkertainen malli ytimestä saadaan, kun oletetaan ytimen nukleonijakauman noudattavan Woods Saxon-jakaumaa [6], jossa nukleonitiheydelle pätee ρ WS r) = N exp r R A δ ) + 1..36) Tässä N on lukumäärän ykköseksi normittava normitusvakio, ja kokeellisesti määritettävät parametrit ovat δ = 0,54 fm ja R A = 1,1 fma 1/3 0,86 fma 1/3, 18

ATr) / fm,5,0 1,5 1,0 T p - protoni T WS - C 1 T G - C 1 T WS - Ca 40 T G - Ca 40 T WS - Au 197 T G - Au 197 0,5 0,0 0,0 1,0,0 3,0 4,0 5,0 6,0 7,0 8,0 9,0 r / fm Kuva 6. Ytimen poikittaissuuntainen tiheys erikokoisille ytimille Woods Saxonjakaumasta ja gaussisesta approksimaatiosta. kun A on ytimen massaluku. Poikittaissuuntainen tiheys saadaan integroimalla tiheys z-akselin yli: T WS b) = dzρ WS b + z )..37) Nyt edellä johdettuihin yhtälöihin voidaan sijoittaa T A b) = T WS b). Käytännössä vaikutusala voidaan tällöin laskea vain numeerisesti, sillä T WS :ää ei voi esittää suljetussa muodossa. Numeeristen laskujen helpottamiseksi tässä työssä myöhemmin laskettavat vaikutusalat on laskettu käyttämällä poikittaissuuntaiselle tiheydelle ykköseen normitettua gaussista approksimaatiota. Oletusta T A :n gaussisuudesta ei kuitenkaan käytetä teoreettisissa tarkasteluissa. Kuvassa 6 on esitetty T W S ja sen gaussinen approksimaatio T G erikokoisille ytimille, ja niitä on verrattu protonin poikittaissuuntaiseen tiheysfunktioon T p. Tarkastellaan seuraavaksi erilaisia malleja dipoli ydinprosessin sironta-amplitudille ja tutkitaan, minkälaisia vaikutusaloja saadaan elastiselle ja epäelastiselle prosessille. 19

.4 Yksinkertainen malli dipoli ydinsironnalle Tarkastellaan yksinkertaistettua mallia dipoli ydinsironnasta ja oletetaan, että dipoli protonisironnan sironta-amplitudi on niin pieni, että dipoli siroaa enintään yhdestä nukleonista kerrallaan. Tällöin vaikutusala voidaan yleistää suoraan yhtälöstä.0) olettamalla, että ydin koostuu A:sta nukleonista, jotka sijaitsevat z-akselia vastaan kohtisuoralla tasolla pisteissä b i. Näillä oletuksilla voidaan kirjoittaa ) dσ A A e b b i) /B p) = κ,.38) d b πb p b 1,...,b A ) missä κ on määritelty yhtälössä.5) ja se sisältää yhtälöstä.0) kaiken muun paitsi T p b)-riippuvuuden. Voidaan olettaa, että B p on sama kuin luvussa. esiintynyt vakio B G. Koherentin sironnan vaikutusala.33) saadaan nyt laskettua Fourier-muuntamalla vaikutusala -avaruuteen ja keskiarvoistamalla se nukleonien paikkojen yli. Yhtälön.38) Fourier-muunnos on d be ib dσ A d b ) i=1 = κ b 1,...,b A ) i e ib i e Bp,.39) missä integrointi onnistui tekemällä muuttujanvaihto b = b b i. Sironta-amplitudi saadaan nyt keskiarvoistamalla tämä: ia A0 A 0 = κe Bp d b i T A b i )e ib i..40) i Sironta-amplitudia käyttämällä voidaan suoraan kirjoittaa koherentin dipoli ydinsironnan vaikutusala dσ A 0 A 0 dt = 1 16π A A 0 A 0 = κ 16π e Bp A d bt A b)e ib..41) Edellä oletettiin, että protonit ja neutronit käyttäytyvät samoin, eli T A b) = T A b i ) kaikilla nukleoneilla i. Tästä nähdään, että koherentin sironnan vaikutusala on verrannollinen ytimen poikittaissuuntaisen tiheysfunktion T A Fourier-muunnoksen neliöön. Vertaamalla vaikutusalaa dipoli protonisironnan vaikutusalaan yhtälöstä.7) nähdään samankaltainen muoto. Erona on nyt riippuvuus T A :n Fourier-muunnoksesta ja kerroin A. 0

Erityisesti yhtälöstä.41) nähdään, että etusuunnan sironnalle = 0) saadaan vaikutusalaan suuri piikki, ja tämän jälkeen vaikutusala pienenee hyvin nopeasti integrandin muuttuessa oskilloivaksi. Vaikutusalasta saadaan myös arviot koherentin sironnan diffraktiominimeille. Kuvasta 6 nähdään, että suurilla ytimillä T A b) voidaan approksimoida laatikoksi, jonka leveys on ytimen säde R A. Tällaisen funktion Fourier-muunnos on Besselin funktio J 1 R A ), jonka nollakohdat ovat R A = 3,8; 7,0; 10,;.... Tarkastellaan seuraavaksi epäkoherenttia ja kvasielastista prosessia. Käytetään edelleen dipoli ydinsironnalle keskiarvoistamatonta amplitudia.38) ja sijoitetaan se yhtälöön.35). Tällöin saadaan n dσ A 0 A n dt = κ 16π e Bp = κ 16π e Bp A i=1 A j=1 [ A + AA 1) d b 1 d b A Ψ A 0 Ψ A0 e ib i b j ) ] d b 1 d b T ) A b 1,b )e ib 1 b ),.4) kun on määritelty kahden nukleonin jakaumafunktio T ) A b 1,b ) d b 3 d b A Ψ A0 Ψ A 0..43) Tässä ensimmäinen termi seuraa summattavista termeistä, joissa i = j. Toinen termi saadaan olettamalla, että T ) A b 1,b ) = T ) A b i,b j ) kaikilla i ja j. Tämä tulos on johdettu myös Caldwellin ja Kowalskin artikkelissa The J/Ψ Way to Nuclear Structure [6]. Epäkoherentin sironnan vaikutusala saadaan vähentämällä kvasielastisen sironnan vaikutusalasta.4) koherentin sironnan vaikutusala.41). Jätetään kaksihiukkaskorrelaatiot huomioimatta eli oletetaan, että T ) A b i,b j ) T A b i )T A b j ) = 0, jolloin erotus on n 0 dσ A 0 A n dt = κ A 16π e Bp ) d be ib T A b)..44) Suurilla integrandi oskilloi voimakkaasti ja integraali voidaan jättää huomiotta. Tällöin epäkoherentin sironnan vaikutusalaksi jää n 0 dσ A 0 A n dt = A κ 16π e Bp,.45) 1

joka on täsmälleen A kertaa dipoli protonisironnan vaikutusala.7). Yhtälöistä.45) ja.41) nähdään, että koherentti vaikutusala hallitsee vain pienillä :n arvoilla aiheuttaen piikin vaikutusalaan. Epäkoherentti prosessi hallitsee kun on suuri, eikä ytimen rakenne tällöin vaikuta vaikutusalaan millään tavalla..5 Koherentin dipoli ydinsironnan vaikutusala Glauberin Muellerin dipolivaikutusalasta Johdetaan koherentille dipoli ydinsironnalle unitaarisuusehdon toteuttava eksponentioitu vaikutusala, kuten on tehty esimerkiksi lähteessä [8]. Yleistetään ensin dipoli protonisirontaa kuvaava Glauberin Muellerin dipolivaikutusala.8) ytimelle: dσ A d b ) b 1,...,b A ) = [ 1 exp 1 κ i T p b b i ) )]..46) Koherenttia vaikutusalaa tarkasteltaessa voidaan suoraan keskiarvoistaa tämä alkutilojen yli yhtälön.33) mukaisesti, jolloin saadaan dσ A d b = = = = ) dσ A d b 1 d b A T A b 1 ) T A b A ) d b b 1,...,b A ) [ )] d b 1 d b A T A b 1 ) T A b A ) 1 exp κ T p b b i ) i A d b i T A b i ) ) [ A 1 exp κ ) ] T pb b i ) [ i=1 1 i d b i T A b i ) exp i=1 κ ) ] T pb b i ) = A i=1 [ 1 d b i T A b i ) 1 exp κ T pb b i ))) ]..47) Tätä yhtälöä päästään approksimoimaan tekemällä muuttujanvaihto b i = b b i. Nyt nimittäin T A b) kuvaa nukleonitiheyttä ytimessä eikä juuri muutu protonin koon suuruusluokkaa olevilla etäisyyksillä. Toisaalta protonin muotoa kuvaava T p b) 0, kun b 1 fm. Siten voidaan arvioida, että T A b b ) = T A b) siinä alueessa, jossa integroitava funktio eroaa nollasta. Tekemällä tämä sileysoletus

ja huomaamalla yhtälössä.47) esiintyvä dipoli protonisironnan kokonaisvaikutusala σ tot voidaan kirjoittaa dσ A d b = [ 1 1 I) A]..48) I saadaan laskettua käyttämällä edellä esitettyä T A b):n sileysoletusta: [ I = d b T A b b ) 1 exp κ )] T pb ).49) 1 T Ab)σ tot..50) Keskiarvoistetuksi vaikutusalaksi koherentille dipoli ydinsironnalle saadaan siten [ dσ A d b = 1 1 T ) ] A Ab) σ tot..51) Ottamalla tästä yhtälöstä raja-arvo A ja huomaamalla näin muodostuva eksponenttifunktio saadaan koherentin sironnan vaikutusala muotoon dσ A [ d b = 1 exp AT Ab) σ tot )]..5) Tämä muoto vastaa yhtälöä.8) jos oletetaan, että gluonit ovat jakautuneet tasaisesti ytimen sisälle. Tätä muotoa kutsutaan pehmeän ytimen approksimaatioksi, sillä siinä jätetään huomioimatta ytimen koostuminen erillisistä nukleoneista [8]. Epäkoherentin vaikutusalan laskeminen tällä tavalla ei kuitenkaan onnistu näin helposti. Tällöin nimittäin on ensin laskettava yhtälön.46) Fourier-muunnoksen neliö ja vasta sitten keskiarvoistettava se nukleonien paikkojen yli. Epäkoherentin sironnan vaikutusala voidaan kuitenkin laskea Glauberin Muellerin dipolivaikutusalasta sopivien approksimaatioiden avulla. Tätä käsitellään seuraavassa luvussa. 3

3 S-matriisin unitaarisuusvaatimuksen vaikutus dipoli ydinsironnan vaikutusalaan Edellä luvussa.4 johdettiin dipoli ydinsironnan vaikutusala käyttämällä dipoli protonisironnalle eksponentioimatonta vaikutusalan lauseketta.0). Tätä mallia käyttämällä huomattiin, että suurilla liikemäärän muutoksilla epäkoherentin sironnan vaikutusala.45) ytimestä, jossa on A nukleonia, on vain A kertaa vastaava vaikutusala sironnalle protonista. Tutkimuksessani oli tarkoituksena selvittää, miten dipoli ydinvaikutusala muuttuu, jos se lasketaan käyttämällä dipoli protonisironnalle unitaarisuusehdon toteuttavaa Glauberin Muellerin dipolivaikutusalaa.8). Lisäksi tulee samalla sallittua tapaus, jossa dipoli siroaa samanaikaisesti useammasta kuin yhdestä nukleonista. Luvussa. todettiin, että eksponentioidun vaikutusalan käyttäminen pienensi hieman dipoli protonisironnan vaikutusalaa ja sai aikaan diffraktiominimit. Tästä syystä on luonnollista odottaa, että eksponentioidun vaikutusalan käyttäminen pienentää myös dipoli ydinsironnan vaikutusalaa ja mahdollisesti muutenkin muuttaa sen käyttäytymistä. 3.1 Vaikutusalan arviointi S-matriisielementtien tulona Johdetaan arvio dipoli ydinsironnan sironta-amplitudille lähteämällä dipoli protonisirontaa kuvaavasta yhtälöstä.8) dσ tot [ d b = 1 exp 1 )] κt pb). 3.1) Toisaalta yhtälön.16) nojalla dσ tot d b = [1 Re Sx,r,b)]. 3.) Oletetaan, kuten luvussa., että S-matriisi on reaalinen. Tällöin voidaan kirjoittaa lauseke dipoli protonisironnan S-matriisielementille, joka kuvaa todennäköisyyttä sille, että sirontaa ei tapahdu: S p = 1 [ 1 exp 1 κt pb) )]. 3.3) Tämä voidaan nyt helposti yleistää ytimelle tulona: todennäköisyys sille, että sirontaa ei tapahdu lainkaan on yksittäisten nukleonien S-matriisielementtien tulo. Voimme siten kirjoittaa dipoli ydinsironnalle S-matriisielementin S A b) = A S p b b i ). 3.4) i=1 4

Sijoitamalla tähän yhtälöön S p :n lauseke 3.3) saadaan suoraan edellä luvussa.5 käytetty yhtälö.46). Edetään nyt kuitenkin tekemällä approksimaatio 1 exp κt ) pb) = 1 exp κ ) e b /B p) 4πB p e b /B p) 1 e κ/4πbp)), mikä on hyvä arvio kaikenkokoisilla dipoleilla. Tällä tavalla saatua yhtälöä on nyt helpompi käsitellä, sillä Fourier-muunnettava funktio on muotoa e b eikä e e b. Käyttämällä tätä approksimaatiota saadaan dipoli ydinsironnan sirontaamplitudiksi dσ A d b ) b 1,...,b A ) = 1 S A ) = [ 1 A i=1 1 e b b i) /B p) 1 e κ/4πbp)))]. 3.5) Tämä voitaisiin periaatteessa edelleen sijoittaa yhtälöön.35), jolloin saataisiin dipoli ydinsironnan kokonaisvaikutusala. Tämä lähestymistapa on kuitenkin laskennallisesti liian vaikea, joten seuraavaksi kehitetään keinoja laskea vaikutusala yhtälöstä 3.5) sopivin approksimoinnein. 3. Vaikutusalan arviointi sarjakehitelmästä Suoraviivaisin tapa lähteä tutkimaan edellä johdettua amplitudia 3.5) on kehittää se sarjaksi pienillä dipoleilla ja sijoittaa sarjakehitelmä yhtälöön.35). Tällöin saadaan koherentin ja epäkoherentin dipoli ydinsironnan vaikutusalojen summa. Merkitään C = 1 e κ/4πbp). Tällöin C on dimensioton parametri, joka on pienillä dipoleilla pieni ja verrannollinen dipolin koon neliöön r, ja saturoituu suurilla dipoleilla ykköseksi. Kehitetään yhtälö 3.5) sarjaksi pienillä C joka vastaa pienten dipolien rajaa): 1 dσ A d b ) = b 1,...,b A ) A i=1 Ce b bi)/bp) 1 C i j e b b i) +b b j ) )/B p). 3.6) Sijoitetaan tämä yhtälöön.35). Nyt on siis laskettava yhtälön 3.6) Fouriermuunnoksen neliö ja keskiarvoistettava se nukleonien paikkojen yli. Fourier- 5

muunnoksen neliöksi saadaan ) 1 dσ A 4 d be ib d b b 1,...,b A ) π B C 3 e 3/4Bp + c.c. + oc 4 ), = πb p C) e Bp A A i=1 i=1 A j=1 e ib i b j ) A e ib i e i/ b j+b k ) e b j b k ) /4B p) j k 3.7) missä c.c. tarkoittaa edeltävän termin kompleksikonjugaattia. Kokonaisvaikutusala saadaan nyt keskiarvoistamalla lauseke alkutilojen yli yhtälön.35) mukaisesti. Ensimmäinen termi on samaa muotoa kuin luvussa.4, joten sen keskiarvoistaminen alkutilojen yli antaa n dσ A 0 A n 0 dt = 4πB pc) 16π e A Bp + AA 1) d bt A b)e ib ), 3.8) joka palautuu pienillä dipoleilla yhtälöksi.4). Sarjakehitelmä antaa siis odotetusti kertalukuun C saman tuloksen kuin luvussa.4 tehty eksponentioimatonta dipoli protonivaikutusalaa käyttävä lasku. Korjaustermi saadaan laskettua jakamalla summaus erikseen termeihin, joissa i j k yhteensä AA 1)A ) kappaletta), i = j k ja j k = i molempia AA 1) kappaletta). Kaksi viimeistä antavat saman tuloksen, koska ne saadaan toisista indeksimuuttujan uudelleennimeämisellä. Lisäksi huomataan, että yhtälön 3.7) toinen termi ja sen kompleksikonjugaatti ovat samat. Keskiarvoistamalla alkutilojen yli saadaan vaikutusalan korjaustermiksi n dσ A 0 A n 1 dt = 1 16π 4πB pc) 3 AA 1)e Bp + A e Bp /4 [ d be ib T A b) d bt A b) d be ib T A b) ]. 3.9) Vaikutusala voidaan tätä yhtälöä käyttäen laskea numeerisesti. Kuvassa 7a on esitetty vaikutusala pienillä dipoleilla, kun r = 0,4 GeV, ja kuvassa 7b vastaavasti hieman suuremmilla dipoleilla, kun r = 1,0 GeV. Vaikutusala on laskettu kertalukuihin C ja C 3, ja sitä on verrattu yhtälöstä.7) laskettuun dipoli protonisironnan vaikutusalaan. Kuvista nähdään, että sarjakehitelmän korjaustermi, josta seuraa myös suurilla liikemäärän muutoksilla epäkoherentin sironnan vaikutusalaan riippuvuus ytimen 6

rakenteesta, pienentää dipoli ydinsironnan vaikutusalaa. Pienillä dipoleilla korjaustermi on odotetusti pieni, ja se kasvaa melko suureksi jo 1 GeV dipoleille. Suurilla t :n arvoilla massaluvulla kerrottu dipoli protonisironnan vaikutusala ei ole aivan sama kuin kertalukuun C laskettu dipoli ydinsironnan vaikutusala, sillä dipoli protonisironnan vaikutusalaa.7) laskettaessa ei käytetty eksponentioitua sironta-amplitudia.8). Arvioidaan korjaustermin suuruutta suurilla liikemäärän muutoksilla, jolloin Foriermuunnokset voidaan arvioida nolliksi. Tällöin alimmassa kertaluvussa vaikutusala on verrannollinen termiin ABpC e Bp, ja edelleen B p on verrannollinen protonin pinta-alaan rp. Toisaalta kertaluvun C 3 korjaustermi on verrannollinen termiin A C 3 Bpe 3 Bp R A. Riippuvuus ytimen säteestä R A seuraa siitä, että d b RA ja T A b) R 4 A, mikä edelleen seuraa T A:n normitusehdosta. Tällöin suoralla laskulla nähdään suhde 3.9) 3.8) AB pc RA AR pc A /3 R p CA 1/3, 3.10) mistä nähdään, että korjaustermi on pieni vain, jos CA 1/3 on pieni. Korjauksen suuruutta voidaan arvioida myös numeerisesti. Kuvassa 7a esitetyssä tapauksessa, jossa r = 0,4 GeV 1 ja A = 197, jälkimmäisen termin vaikutukseksi voidaan arvioida A 4πB p C d bt A b) 5% suurilla t :n arvoilla. Suuremmilla dipoleilla korjaus on odotetusti huomattavasti suurempi, eikä sarjakehitelmä tähän kertalukuun anna vielä kovinkaan tarkkaa tulosta. Vastaava lasku voidaan tehdä koherentille sironnalle. Tällöin lasketaan ensin Fourier-muunnos, keskiarvoistetaan se nukleonien paikkojen yli ja vasta sitten neliöidään, kuten on esitetty yhtälössä.33). Tulos on dσ A 0 A 0 1 dt = 1 16π 4πB pc) 3 AA 1)e 3 A 4 Bp d be ib T A b), d be ib T A b) 3.11) joka suurilla ytimillä on sama kuin kvasielastisen tapauksen korjauksen 3.9) toinen termi. Siten epäkoherentin sironnan korjaustermiksi voidaan suurilla ytimillä kirjoittaa n 0 dσ A 0 A n 1 dt = 1 16π 4πB pc) 3 AA 1)e Bp d bt A b). 3.1) Yhtälöstä 3.10) nähdään, että korjaustermi on pieni vain pienillä C:n arvoilla eli pienillä dipoleilla) ja pienillä ytimillä. Vaatimus on melko rajoittava, sillä jos 7

10 4 Dipoli-ydin kertalukuun C Dipoli-ydin kertalukuun C 3 A dipoli-protoni dσ/dt / µb/gev 10 3 0,00 0,05 0,10 0,15 0,0 0,5 0,30 t / GeV a) C = 0,09, mikä vastaa tapausta r = 0,4 GeV 1 ja xgx,µ ) = 13. Dipoli-ydin kertalukuun C Dipoli-ydin kertalukuun C 3 A dipoli-protoni dσ/dt / µb/gev 10 5 100,00 4 0,05 0,10 0,15 0,0 0,5 0,30 t / GeV b) C = 0,18, mikä vastaa tapausta r = 1 GeV 1 ja xgx,µ ) = 11. Kuva 7. Koherentin ja epäkoherentin dipoli ydinvaikutusalan summa kullalle A = 197) kertalukuun C yhtälöstä 3.8) ja C 3 huomioimalla korjaustermi 3.9) ja vastaava dipoli protonivaikutusala yhtälöstä.7). 8

esimerkiksi tarkastellaan kultaydintä, jolle A = 197, tapauksessa r 0,5 GeV 1 on CA 1/3 0,3. Kuitenkin olisi kiinnostavaa tutkia dipoli ydinsirontaa suurten ytimien rajalla, jolloin jouduttaisiin sarjakehitelmää käytettäessä rajoittumaan todella pieniin dipoleihin. Tämä estäisi diffraktiivisen syvän epäelastisen elektroni ydinsironnan tutkimisen kokonaisuutena, sillä tällöin tulisi integroida kaikkien dipolikokojen yli. Luvussa. esitetystä kuvasta 4 kuitenkin nähdään, että jos lopputilassa on esimerkiksi vektorimesoni J/Ψ, on tarkastelussa huomioitava jopa yli 1 GeV 1 dipolit. Seuraavissa luvuissa kehitetäänkin tapa laskea vaikutusala suurilla ytimillä ilman, että joudutaan tekemään oletusta dipolin koon pienuudesta. 3.3 Vaikutusala kaikenkokoisilla dipoleilla Johdetaan koherentin ja epäkoherentin dipoli ydinsironnan vaikutusalojen summa käyttämällä aiemmin luvussa 3.1 johdettua sironta-amplitudia 3.5). Nyt ei kuitenkaan tehdä oletusta C:n arvojen pienuudesta, jolloin saatava tulos pätee kaikenkokoisilla dipoleilla. On kuitenkin syytä huomata, että yhtälöä 3.5) johdettaessa tehtiin jo approksimaatio, joka pätee parhaiten pienillä C:n arvoilla. Tästä approksimaatiosta ei kuitenkaan aiheudu merkittävää virhettä edes tapauksessa C = 1. Kirjoitetaan aluksi yhtälö 3.5) muotoon dσ A d b ) b 1,...,b A ) = [ 1 A i=1 1 Ce b b i) /B p)) ]. 3.13) Koherentin ja epäkoheretin dipoli ydinsironnan vaikutusalojen summan laskemiseksi yhtälö 3.13) voidaan edelleen sijoittaa yhtälöön.35), jolloin integroitavaksi tulee lauseke n dσ A 0 A n dt = 4 A ) d b i T A b i ) d bd b e ib b ) 16π i=1 [ A ] [ A 1 1 Ce b b j) /B p)) 1 j=1 k=1 1 Ce b b k ) /B p)) ]. 3.14) 9

Tämä voidaan kirjoittaa muotoon n dσ A 0 A n dt + = 1 4π [ A d bd b e ib b ) ) 1 Ce b b j) /B p) A l=1 i=1 A k=1 d b i T A b i ) A j=1 d b j T A b j ) ) d b k T A b k ) 1 Ce b b k ) /B p) d b l T A b l ) 1 Ce b b l) /B p) Ce b b l ) /B p) +C e b b l) b b l ) )/B p)) ]. 3.15) b i -integraalit on nyt mahdollista laskea käyttämällä oletusta tiheysfunktion T A b) sileydestä kuten luvussa.5. Integraaleja tehtäessä kirjoitetaan viimeisessä termissä b b l ) +b b l ) = b l 1 b+b )) + 1 b b ) ja tehdään muuttujanvaihto b l = b l 1 b+b ). Lisäksi muihin integroitaviin termeihin tehdään muuttujanvaihto b i = b i b ja b i = b i b. Tulos on n dσ A 0 A n dt = 1 4π d bd b e ib b ) [ 1 πb p CT A b )) A + 1 1 πb p CT A b)) A ) ) ] A + πb p C e b b ) /4B 1 p) T A b + b ) 1 πb p CT A b) πb p CT A b ) 3.16) Todetaan seuraavaksi, että laskettu vaikutusala toimii oikein pienten dipolien rajalla. Tuloksen pitäisi olla samankaltainen kuin luvussa.4 saatu yhtälö.4), joka saatiin myös luvussa 3. kehittämällä yhtälö 3.13) sarjaksi kertalukuun C. Pienillä dipoleilla κ 1 ja siten myös C 1, joten voidaan käyttää pienillä x toimivaa approksimaatiota 1 x) A 1 Ax + 1 AA 1)x. Tällöin yhtälö 30