ELEC-C7230 Tietoliikenteen siirtomenetelmät Luento 4: Digitaaliset modulaatiokonstellaatiot, symbolijonolähetteet Olav Tirkkonen, Jari Lietzen Aalto, Tietoliikenne- ja tietoverkkotekniikan laitos A! Modulaatioiden luokittelu Pulssi vs. kantoaaltomodulaatio Liittyy korkeataajuisen signaalin modulointiin Lineaarinen vs. epälineaarinen Liittyy kantataajuussignaaliin Analoginen vs. digitaalinen Liittyy tiedon esitysmuotoon 2 (25)
A! Pulssi- vs kantoaaltomodulaatio Kantoaaltomodulaatiossa matalataajuinen kantataajuussignaali moduloi korkeataajuista kantoaaltoa esim. amplitudi-modulaatio Pulssimodulaatiossa informaatio pakataan korkeataajuisen pulssin läsnäoloon/-olemattomuuteen tai pulssin muotoon (amplitudi tai ajoitus) esim. impulssiradio jotkut ISDN & Ethernet johtokoodit 3 (25) A! Lineaarinen vs.epälineaarinen modulaatio Lineaarinen: kantafunktionta kertova symboli riippuu vain lähetettävästä informaatiosta, ei edellisistä symboleista signaali on superpositio (summa) riippumattomien symbolien lähetteistä Epälineaarinen: lähetettävä symboli riippuu lähetettävästä informaatiosta, sekä edellisistä symboleista 4 (25)
A! Analoginen vs. digitaalinen modulaatio Esimerkki 2D signaaliavaruudessa Edellytetään, että aaltomuodon normi on yksi, s 2 1 + s2 2 =1 Analoginen: jatkuvat arvot, mielivaltaiset s 1,s 2 sallittu. Digitaalinen: diskreetit arvot, esim. vain arvot s j {±1/ 2} Tässä esimerkissä ympyrällä olevan :n analogisen aaltomuodon sijaan on vain 4 mahdollista digitaalista aaltomuotoa. 5 (25) A! Digitaaliset modulatiokonstellaatiot: Signaaliavaruuden symbolit a a [7.9] 6 (25)
A! Mitä modulaatio on? Modulaatiomenetelmän täydellinen määrittelly sisältää 1. Miten matalataajuinen signaali moduloi korkeataajuista signaalia 2. Tiedon kantafunktoista φ n (t) Kuinka signaalit käytävät (kantataajuus)kaistaa Valitut kantafunktiot määrittelevät signaaliavaruuden kannan. 3. Symbolikuvaus: kuinka informaatio kuvataan signaaliavaruuden koordinaateille s n Digitaalinen tiedonsiirto: äärellinen joukko aaltomuotoja äärellinen määrä M kompleksilukuja s m C signaaliavaruudessa M-arvoinen (M-ary) modulaatio Lineaarinen modulaatio: informaatiota kuvataan riippumattomasti kullekin s m Konstellaatio (eli aakkosto) C M = {s m } M m=1 Informaatiobitit kuvataan näille kompleksiluvuille: log 2 M bittiä määrittelee yhden M :stä konstellaatiopisteestä ja aaltomuodosta log 2 M bits symbol index m {1, 2,...,M} s m C M C 7 (25) A! Symbolikonstellaatio Signaaliavaruudessa informaatio kuvataan kompleksiluvuille s n jotka kertovat ortogonaalisia aaltomuotoja s n :n reaali- ja imaginaariosat I- & Q-haarat Kompleksisen kertoimen s n sallittujen arvojen joukkoa kutsutaan modulaatioaakkostoksi tai konstellaatioksi Voidaan piirtää 2D signaaliavaruudessa konstellaatiodiagrammaksi Konstellaatiosta riippuen moduloidaan pelkästään amplitudia pelkästään vaihetta amplitudia ja vaihetta yhdessä 8 (25)
A! Kompleksiarvoiset konstellaatiot 9 (25) A! Pulse Amplitude Modulation Informaatio kuvattu signaalin amplitudille (ja binääriselle vaiheelle). Pulse Amplitude Modulation (PAM) Signaalilla on vain In-phase -komponentti (I-haara) tehoton, jos kantoaaltosignaali, ja enemmän kuin yksi bitti 2-PAM: 1 bitti, 4-PAM: 2 bittiä, 8-PAM: 3 bittiä, 10 (25)
A! Phase-shift Keying Phase-shift Keying (PSK): moduloidaan vain vaihetta. PSK on I-Q modulaatio, käytetään kantoaallon I- ja Q-haaraa PSK-symboleilla on sekä reaali- että imaginaariosat PSK ei muuta amplitudia tehoton, jos enemmän kuin 2 bittiä miellyttävät spektrinkäyttöominaisuudet Binary PSK (BPSK): 1 bitti, Quadriphase PSK (QPSK): 2 bittiä, 8-PSK: 3 bittiä, 16-PSK: 4 bittiä BPSK = 2-PAM 11 (25) A! Kvadratuuriamplitudimodulaatio Moduloidaan sekä I- että Q-haaran amplitudia I-Q modulaatio moduloi reaalisen signaalin amplitudia sekä vaihetta tehokas modulaatio Quadrature Amplitude Modulation (QAM) 4-QAM: 2 bittä, 16-QAM: 4 bittiä, 64-QAM: 6 bittiä 4-QAM = QPSK Monet konstellaatiot mahdollisia, jotkut näitä parempia, mutta vaikeasti toteutettavissa. 12 (25)
A! PAM vs. PSK vs. QAM Verrataan modulaatioden suorituskykyä bittivirheen suhteen. Keskimääräinen lähetysteho annettu. Jos enemmän kuin yksi bitti per symboli: PSK ja QAM aina parempia kuin PAM Jos enemmän kuin kaksi bittiä per symboli: QAM aina parempi kuin PSK Syy: minimietäisyys kahden ulottuvuuden käyttäminen aina parempi kuin yhden. 13 (25) A! Konstellaatiot yhteenveto Olemme kuvanneet bittejä signaaliavaruuden konstellaatioille. Kompleksiarvoiset konstellaatiopisteet edustavat kompleksiarvoisia aaltomuotoja ekvivalentissa kantataajuusesityksessä. Digitaalista modulaatiota voidaan tehdä amplitudissa (PAM) vaiheessa (PSK) sekä amplitudissa että vaiheessa (QAM) Meillä saattaa olla vielä jotakin ymmärrettävää pulssinmuokkauksessa & yksittäisten symboleiden T :n mittaisten jaksojen jatkamisessa useamman symbolin lähetteiksi 14 (25)
A! Symbolijonolähetteet 15 (25) A! Äärellinen vs. ääretön ajanjakso Äärellinen ajanjakso T =[ T/2,T/2]. Kantafunktioiden joukkoja: Trigonometrinen kanta Eksponentiaalinen Fourier-kanta TDM/CDM kannat Valitaan N kantafunktiota kantataajuussignaalilla N kompleksiarvoista ulottuvuutta jaksossa T. Fourier-analyysin kannalta funktio ajassa T vastaa T -jaksollista funktiota. Mitkä ovat vastaavat rakenteet äärettömässä ajassa (, )? 16 (25)
A! Jatko alueelta T äärettömyyteen (, ) Otetaan signaali g T (t) äärellisessä ajassa T Jatketaan se reaaliakselin (, ) signaaliksi, joka häviää T :n ulkopuolella: Jatkettu signaali on s(t) =ft rect (t)s T (t) missä jaksollinen signaali s T kerrotaan kanttiaaltoikkunalla ft rect Tulkinta: T on symbolijakso. 17 (25) A! Kanttipulssi Kanttipulssin muotoinen ikkunafunktio: ft rect (t) = 1 2 T (sign (T 2 t) + sign ( T 2 + t)) = 1 (H (t + T 2) H (t T 2)) = T missä H(t) = { 1 if t 0 0 if t<0 { 0 if t >T/2 if t T/2 1 T on askelfunktio Diracin delta-funktion integraali. Kanttiaalto luo terävät symbolirajat Askelfunktioiden Fourier analyysi Äärettömän nopeat muutokset signaalissa levittävät taajuuden äärettömyyteen. 18 (25)
A! Symbolijonokanta Jaetaan IR jonoksi symbolijaksoja: IR = m= [mt T/2,mT + T/2) Otetaan jokaiselle symbolijaksolle ikkunafunktio ft rect (t mt ) täydellinen ortonormaalinen kanta {φ k (t)} k=1 Esimerkiksi trigonometrinen, tai CDM/FDM kanta Saadaan ortonormaali kanta {ϕ m,k (t)} m Z,k Z+ IR:n äärellisenergisille signaaleille. Kantafunktiot ovat ϕ m,k (t) =ft rect (t mt )φ k (t) jokainen indeksipari (m, k) antaa yhden kantafunktion, esim. k:s eskponentiaalien Fourier-aalto ikkunoituna aikaväliin [mt T/2,mT + T/2) Rajoittamalla k =1,...N antaa äärellisulotteisen signaaliavaruuden jokaisella symbolijaksolla T. 19 (25) A! Symbolijonokanta II Funktiot ϕ m,k (t) ovat triviaalisti ortonormaalisia: Tarkastellaan kahta funktiota ϕ m,k (t) and ϕ m,k (t) jos m m, sisätulo häviää jaksot, joissa funktiot nollasta poikkeavia, eivät mene päällekäin jos m = m, sisätulo häviää, jos k k on käytetty äärellisen jakson T kahta ortonormaalia funktiota. jos m = m ja k = k, sisätulo on yksi. Mielivaltainen äärellisenerginen IR:n funktio g(t) voidaan kehittää tässä kannassa koska g:llä on äärellinen energia, sen rajoittuma mihin tahansa symbolijaksoon [mt T/2,mT + T/2) on äärellisenerginen, ja voidaan esittää tuon jakson kannassa. 20 (25)
A! Esimerkki: kaksi jaksoa { 5(t 1) Kehitä funktio f(t) = 2 (t 1) 4 if 1 t 3 0 otherwise T =2mittaisten jaksojen kantafunktioissa Kaksi jaksoa: [ 1, 1) ja [1, 3), Fourier-kanta kummallakin jaksolla. 21 (25) A! Lineaarinen kantataajuuslähete Otetaan N kantafunktiota kussakin symbolijaksossa Tehdään symbolijonoista signaali N g(t) = s m,k ϕ m,k (t) = ft rect (t mt ) m Z m Z N s m,k φ k (t) k=1 k=1 Digitaalinen informaatio kuvataan M-arvoisiin symboleihiin s m,k C. Lähetettävät bitit ryhmitellään ensin N log 2 M bitiksi. Ryhmät lähetetään sarjassa, yksi ryhmä symbolijaksossa. Symbolijaksossa lähetetään N log 2 M bittiä rinnan N:llä aaltomuodolla kukin aaltomuoto moduloidaan lineaarisesti C-arvoisella symbolila, valitaan log 2 M:llä bitillä konstellaatiopiste. 22 (25)
A! Lähete stokastisena prosessina b Symbolijaksossa m lähetetään signaaliavaruusvektori s(m) C N diskreettiaikainen stokastinen prosessi {s(m)} Kantataajuusmodulaatio jatkuva-aikainen stokastinen prosessi g(t) Prosessi on stationaarinen ja ergodinen: Odotusarvo: E G,α {g(t + α)} = T 0 E G{g(t + α)}dα = vakio Autokorrelaatio: R g (τ) =E G,α {g(t+α)g (t+α+τ)} = lim T E Huom: g on näytefunktio prosessista. { 1 T T /2 T /2 Tehospektritiheys: autokorrelaation Fourier-muunnos S g (f) = R g (τ)e 2πjfτ dτ odotusarvo yli satunnaisuuden otettiin jo autokorrelaatiofunktiossa b [9.1, 9.2, 9.3] g(t )g (t + τ)dt } 23 (25) A! Lineaarisen modulaation autokorrelaatio c Satunnaisprosessi g(t) = N m Z k=1 s m,kϕ m,k (t) Lineaarisella modulaatiolla symbolit ovat riippumattomat, E { } s k,m s k,m = Es δ k,k δ m,m. Oletetaan, että symbolin odotusarvo häviää: E {s k,m } =0; Konstellaation massakeskipiste (MK) on siis origossa Suorituskyky riippuu konstellaatiopisteiden erotuksista, ei MK:sta Valitsemalla MK nollaksi minimoidaan energia, muuttamatta suorituskykyä Autokorrelaatiofunktio on (katso luennon lisämateriaali) R g (τ) = E S T N ϕ 0,k (t) ϕ 0,k(t + τ)dt. k=1 Summa yhden symboli-intervallin aaltomuotojen autokorrelaatiofunktioista Prosessin satunnaisuus oli signaliavaruuden symboleissa s m,k Odotusarvo autokorrelaatiossa otettiin näiden yli. c vrt. [Example 9.6; Example 9.7] 24 (25)
A! Lineaarisen modulaation tehospektritiheys Tehospektritiheys (PSD) saadaan suoraan: S g (f) = E s T G 0,k (f) 2 missä G 0,k (f) on funktion ϕ 0,k = f T (t)φ k (t) Fourier-muunnos Jos käytetään vain yhtä kantafunktiota symbolijaksossa (N =1), S g (f) = E s T F T(f) 2 missä F T (f) on ikkunafunktion f T (t) Fourier-muunnos Lineaarisella modulaatiolla symbolit ovat riippumattomat. PSD palautui aaltomuodon F-muunnoksen itseisarvon neliöksi PSD riipuu konstellaatiosta vain E S :n kautta! k 25 (25)