Statistinen fysiikka, osa B (FYSA242) Tuomas Lappi tuomas.v.v.lappi@jyu.fi Huone: FL24. Ei kiinteitä vastaanottoaikoja. kl 26. Kvanttikaasu
Aaltofunktio ja hiukkasten vaihto Tunnettua kvanttimekaniikasta Bosonit Spin kokonaisluku:,,2,... Esim. fotoni, pioni, 4 He,... Monta identtistä bosonia: Aaltofunktio symmetrinen: Ψ(x,x 2 ) = Ψ(x 2,x ) Fermionit Spin puoliluku: /2,3/2,5/2,... Esim. e,p,n, 3 He,... Monta identtistä fermionia: Aaltofunktio antisymmetrinen: Ψ(x,x 2 ) = Ψ(x 2,x ) Bosonit yksihiukkastiloilla a,b: Fermionit yksihiukkastiloilla a,b: Ψ(x,x 2 ) Ψ(x,x 2 ) = 2 (ψ a(x )ψ b (x 2 ) + ψ a(x 2 )ψ b (x )) = 2 (ψ a(x )ψ b (x 2 ) ψ a(x 2 )ψ b (x )) Voi olla a = b = monta hiukkasta samalla tilalla Ei olla a = b = vain yksi hiukkanen samalla tilalla = Paulin kieltosääntö 2
Riippumattomat yksihiukkastilat: ei vuorovaikutuksia Oletetaan edelleen ideaalikaasu = ei vuorovaikutuksia Monihiukkastilat ovat yksihiukkastilojen tuloja Systeemin mikrotilan kuvaukseen riitävät Yksihiukkastilat r (tyypillisesti aaltotilat k, joiden luku tilatiheydellä) Tilalla olevien hiukkasten lukumäärä n r (Bosoneille,,2,... ; Fermioneille tai ) Tyypillisesti siis: = tilat s dkf (k) esim. kaasu: f (k) dk = V 2π 2 k 2 dk Esimerkiksi hiukkasten lukumäärä N = n r = tilat r dkf (k) n k 3
Suurkanoninen partitiofunktio Yksi tila jolla n hiukkasta = energia nε Yhden tilan tilasummat Z B = e β(ε µ)n = Z F = e β(ε µ) n= e β(ε µ)n = +e β(ε µ) Yhden tilan suuri potentiaali Ω G = k B T ln Z [ Ω B G = k B T ln e β(ε µ)] Ω F G = k B T ln [ + e β(ε µ)] n= Monelle tilalle r =, 2,... : Z = r Zr ja Ω G = r Ω G,r Ω B G = k B T [ ln e β(εr µ)] Ω F G = k B T β(εr ln [ + e µ)] r r ( ) ΩG Hiukkasten lukumäärä N = µ V,T N B = r e β[εr µ) N F = r β(εr + e µ) 4
Hiukkasten lukumäärä fluktuoi Huom: hiukkasten kokonaislukumäärä ei kiinteä N = r n r Jokainen n r saa fluktuoida erikseen kemiallisen potentiaalin mukaisesti Laskettiin Z = e β(e µn ) e β(er µnr ) n n r = = [{ ( }}{ δ N )] n r n n 2 r = N e βµn N ei osata laskea e s β(es µns) { (}}{ δ N ) n r e s βes r n n 2 = N e βµn ei osata laskea! {}}{ Z N (T,V ) 5
Harva kaasu: klassinen raja Fermi-Dirac [FD] n = exp {β(ε µ)} + Voi olla ε < µ tai ε > µ Bose-Einstein [BE] n MB BE n = Oltava ε > µ exp {β(ε µ)} FD (Jakaumat samalla µ, ei samalla N) β(ε µ) Harvalle kaasulle ε µ: molemmista Maxwell-Boltzmann [MB] n ε µ exp { β(ε µ)} (Miehitysluvut kasvavia µ:n funktioita: harva kaasu on siis pieni µ) Klassiselle ideaalikaasulle tiedettiin jo N = e βµ Z (T,V ) e βµ Pohdittavaa: mikä on suuren lämpötilan raja β? 6
Yhteenveto Käytännön laskuissa loppukurssissa tarvitsemme Ideaalisen bosoni- ja fermionikaasu Sallitut k-ominaistilat, laskenta f (k) dk = V 2π 2 gk 2 g = spindegeneraatio, elektronille 2 Dispersiorelaatio ε(k); esim. epärelativistinen kaasu ε(k) = 2 k 2 2m Fermi-Dirac ja Bose-Einstein-miehitysluvut n FD (k) = exp {β (ε k µ)} + n BE (k) = exp {β (ε k µ)} Kertovat kuinka monta hiukkasta tällä tilalla on. n FD (k) 7
Fermionikaasu nollalämpötilassa n r = exp {β(ε r µ)} + β θ(µ ε r ) n Tiedetään tilatiheys ja energia f (k) dk = 2 V 2π k 2 dk ε = 2 k 2 2 µ 2m Muuttujanvaihto m dk = ε dε k 2 = 2m V m 3/2 2 ε = f (k) dk = 2 2 2 ε dε 2π 2 3 Saadaan hiukkasten lukumäärä N = 2 V m 3/2 2 2π 2 3 µ dε ε = m3/2 2 2 3 3π 2 µ3/2 V Muista: aina lasketaan N(µ), käännetään µ(n), sijoitetaan f (µ), missä f on muu fysikaalinen suure. Tarvitaan siis kemiallinen potentiaali ( ) 2/3 µ(t = ) = 2 3π 2 N 2m V ε 8
Fermiliikemäärä, -energia, -lämpötila,... Oletetaan fermionisysteemi, jolle tunnetaan N,V Nollalämpötilassa laskettiin ( ) 2/3 µ(t = ) = 2 3π 2 N 2m V Määritellään kylmille systeeille hyödylliset fermisuureet: Fermienergia Fermiliikemäärä ( ) 2/3 ε F (N.V ) = 2 3π 2 N = µ(t = ) 2m V ( ) /3 p F (N.V ) = 3π 2 N = ε F (N.V ) = p2 F V 2m Ferminopeus Fermilämpötila v F (N.V ) = p F /m T F (N.V ) = ε F /k B 9
Fermipallo ja fermipinta Tulkinta kun T =, hiukkasia on niillä ja vain niillä tiloilla, joiden ε ε F p p F v v F Nämä tilat p-avaruudessa muodostavat fermipallon ε p < ε F jonka pinta on fermipinta ε p = ε F. Kylmä kuuma T T F T T F Käytännössä usein fysiikka lähellä fermipintaa. Kidehila: ei rotaatiosymmetriaa: Fermipallo ei enää ole pallo, esim: Kromin johdinelektronien fermipinta T.-S. Choy, J. Naset, J. Chen, S. Hershfield, and C. Stanton, Bulletin of The American Physical Society, 45():L36 42, 2. [URL]
Paine n r T = = θ(µ ε r ) Ω G,r = k B T ln [ + exp { β(ε r µ)}] T = (µ ε r )θ(µ ε r ) Käyttäen samaa tilatiheyttä kuin N:lle n µ ε PV = Ω G T = = r (µ ε r )θ(µ ε r ) = m3/2 2V 3 π 2 Toisin sanoen T = -fermikaasun tilanyhtälö on: = 2 N 5 V µ = 2 (3π 2) 2/3 2 5 2m P T = µ dε ε(µ ε) = m3/2 2V 3 π 2 4 5 µ5/2 = 2 5 Nµ ( ) 5/3 N V Kiinteällä N/V paine ei ole P T = ero klassiseen ideaalikaasuun! Paulin kieltosääntö toiminnassa: yritetään puristaa kaasua, tarvitaan energiaa... mihin?
Tähden stabiilius: paine ja gravitaatio P(r + dr) P(r) F G Mistä paine syntyy? Tarkastellaan pallokuorta [r,r + dr] Kuoren massa dm = 4πr 2 ρ(r) dr Kuoren sisällä oleva massa M(r): gravitaatiovoima df G = GM(r) dm/r 2 Tämän kompensoi paine-ero P(r) P(r + dr) = df G /4πr 2 = paine keskellä suurin, reunalla nolla Tavallinen tähti: kuuma, harva, klassinen plasma Valkoinen kääpiö: kylmä, tiheä R.R ( =Aurinko) Varauksen säilyminen: N e = N p, paine P (N/V ) 5/3 /m = P e P p Paineen aiheuttaa degeneroitunut (T T F ) elektronikaasu M.4M Chandrasekharin raja = elektronikaasun paine ei voita painovoimaa: supernovaräjähdys Neutronitähti: Vielä tiheämpi M M ja R km ( 5 R ) Paine: neutronikaasun degeneraatio + neutronien välinen ydinvoima Huom tässä kylmä T T F 2
Kylmän tähden massa-säde-suhde Suuruusluokka-arviota varten oletetaan tähdelle Tunnettu massa ja hiukkasten lukumäärä M N Tuntematon säde R = V R 3 Tiheys ρ = M/V sama kaikkialla tähdessä Gravitaatioenergia E G GM 2 /R Kaasun energia E g Nε F Epärelativistinen fermikaasu ε F 2 m ( ) 2/3 N = E g 2 V m N5/3 R 2 Minimoimalla E g + E G saadaan säde R M /3 Relativistinen: ε F (N/V ) /3 /( c)= E g N 4/3 R /( c) = ei ehtoa V :lle eli R:lle, sen sijaan vain yksi mahdollinen N tai M 3
Massa-sädesuhde.4 Radius (solar radii).35.3.25.2.5. Non-relativistic Fermi gas Relativistic Fermi gas Ultra-relativistic limit.5.25.5.75.25 MCh.5.75 2 Mass (solar masses) Lähde: Wikipedia Epärelativistinen kaasu; R M /3 Lähde: A&A 49, L5-L8 (24) Täysin relativistinen kaasu: kiinteä M Todellinen massa-säderelaatio interpoloi näiden välillä Iso R, pieni M: tiheys pieni, ε F m ec 2, v F c: epärelativistinen oikea Pieni R, iso M: tiheys suuri, ε F m ec 2, v F c: lähellä relativistista Täysin relativistinen tapaus antaa massan ylärajan; tämä on Chandrasekharin raja M.4M. 4
Pieni lämpötila n r = exp {β(ε r µ)} + Halutaan pienen T :n korjaukset T = -käytökseen T Tarvitaan ns. Sommerfeldin kehitelmää f (ε) µ dε exp {β(ε µ)} + dεf (ε) + π2 6 (k BT ) 2 df (ε) dε + O(T 4 ) µ n µ ε Kehitelmän johto: n(ε) = θ(µ ε) vain ε µ k B T Kehitetään f (ε) Taylorin sarjaksi ε = µ:n ympärillä ja integroidaan termeittäin. n θ(µ ε) ε T 5
Hiukkastiheys, energia N = V π 2 m 3/2 2 3 dεn FD (ε) ε = V π 2 m 3/2 2 3 = V π 2 m 3/2 2 3 2 3 µ3/2 ( 2 3 µ3/2 + π2 ( + π2 8 6 (k BT ) 2 T 2 TF 2 (Korjaustermissä korvattu µ(t ) µ() = k B T F, virhe korkeampaa kertalukua T :ssä) Kääntäen ( ) µ(t ) = ε F + π2 T 2 2/3 ) +... ε 8 TF 2 F ( π2 T 2 +... 2 TF 2 Samoin energia E = V π 2 m 3/2 2 3 ) 2 µ +... ) +... dεn FD (ε) εε = V m 3/2 ) 2 2 ( π 2 3 5 µ5/2 + 5π2 T 2 +... 4 TF 2 Tähän pitää vielä sijoittaa µ(t ), jotta saadaan (HT) E = 2 5 Nε F ( + # T ) 2 T = C V Nk B T F T 2 F 6
Sovellus: metallien johtavuuselektronit ε F ε aukko aukko Metalli Kiinteä aine: elektronien energiatilat ovat vöitä Seuraa jaksollisesta potentiaalista kiteessä Tarkemmin mat. fys. kurssilla Johde: ylin vyö osittain täytetty: johdinelektronit Malli: e-e-vuorovaikutukset merkityksettömiä = Johdinelektronit ideaalinen fermionikaasu Johdinelektronien tiheys = T F K = kylmä kaasu Johdinelektronien kylmä fermikaasu = johteiden C V (T ) γt ε F ε aukko Eriste Eriste: fermienergia aukossa Elektronin siirtäminen ylempään vyöhön vaatii liikaa energiaa = ei onnistu pienellä sähkökentällä, lämpötilalla tms. 7
Laboratoriotyö: terminen elektroninemissio vapaa ε F ε aukko eφ Irrotustyötyö: energiaero fermipinnalta vapaaksi Lämmitetään metallia: elektroneja pääsee vapaaksi: terminen elektroniemissio Lasketaan virta: tilatiheys = 2V d3 p (2π) 3 = 3 tilat 2 Vm3 (2π) 3 3 d3 v Irtoavat elektronit ε µ: hännässä n FD (ε) exp{β(µ ε)} v z Lasketaan virrantiheys elektroneista, joilla tarpeeksi suuri nopeus z-suuntaan: j = ( ) en e(r) v z θ mvz 2 /2 (µ + eφ) V tilat r 8
Richardson-Dusman-yhtälö: termisen elektroniemission virrantiheys j = V tilat r ( ) en e(r)v zθ 2 mv z 2 µ eφ = e 2m3 (2π) 3 3 eβµ 2(µ+eφ)/m dv zv ze βmv2 z /2 = 2 n dv xe βmv2 x /2 = ( d 3 ve βmv2 /2 θ v z ) 2(µ + eφ)/m 2(µ+eφ)/m 2πkB T m dv 2 z e βmv2 z /2 = k BT m e β(µ+eφ) = Richardson-Dusman: j = em 2π 2 3 (k BT ) 2 e eφ/(k B T ) µ µ + eφ ε Labratyössä määritetään eφ. Jakauman hännässä e eφ/k B T elektronia, joilla ε > µ + eφ 9
Fysikaalinen tilanne, Stefan-Boltzmann Kokeellisesti Stefan-Boltzmann 879 Energiatiheys u(t ) = at 4 Intensiteetti I(T ) = σt 4 Lämmitetään laatikko T Tarkkaillaan aukosta Seinät absorboivat ja emittoivat lämpösäteliyä (fotoneja) = Kaasu TDTP:ssä laatikon kanssa: Nykyaikaisin notaatioin a = π 2 5 3 c k 4 3 B σ = ac/4 Historiallisesti: pitääkö käsitellä s.m. aaltoina, vai hiukkasina? Fotoneja syntyy ja tuhoutuu jatkuvasti: lukumäärä ei säily = ei voida määritellä kemiallista potentiaalia, fotoneille µ =. 2
Kvanttimekaaninen fotonikaasu Bosoneja, µ = : Fotonilla 2 spintilaa Lukumäärätiheys n BE (ε) = exp{βε} ε = ω f (k) dk = 2 V 2π 2 k 2 ω = ck = f (ω) dε = V π 2 c 3 ω2 dω dn(ω) = n BE (ω)f (ω) dω = Energiatiheys u dω = ω dn(ω)/v eli V ω 2 π 2 c 3 exp{β ω} dω u(t,ω) dω = ω 3 dω π 2 c 3 exp{β ω} Planckin säteilylaki (9) 2
Mustan kappaleen spektri u(t,ω) dω = u(ω) ω 3 dω π 2 c 3 exp{β ω} Lämpötila määrää tyypillisen aallonpituuden (värin) d u(t,ω) = dω = ω max 2.882k B T ω max ω max ω max ω Wienin siirtymälaki Sovelluksia Kuuman kappaleen lämpösäteily Aurinko: T 6K (näkyvä valo) Kosminen taustasäteily 3K (mikroaaltoja) Mustan aukon Hawking-säteily 22
Fotonikaasun termodynamiikka: Stefan-Boltzmann Energiatiheys u = dε = π 2 c 3 ω 3 dω π 2 c 3 exp{β ω} ω 3 dω exp{β ω} = Fotonien lukumäärätiheys N V = π 2 c 3 π 2 c 3 dn = V ω 2 dω π 2 c 3 exp{β ω} ( ) 4 kb T x 3 dx e x = (k BT ) 4 π2 6ζ(4) = 3 c 3 π2 5 3 c k BT 4 4 = Stefan-Boltzmann 3 ω 2 dω exp{β ω} = (k BT 3 ) π 2 3 c 3 x 2 dx e x = 2ζ(2) kb 3 π 2 3 c T 3 3 Energiassa kulmaintegraali π dθ sin θ = 2 Intensiteetissä (z-suunta) tämän tilalla c π/2 dθ sin θ cos θ = c/2 = Intensiteetti on I = cu/4. θ ϕ 23
Fotonikaasun termodynamiikka: paine ja entropia Tilatiheys Paine P = Ω G V = k BT π 2 c 3 Entropiatiheys S V = V = k BT V = tilat V π 2 c 3 ω2 dω ln [ exp{ β ω}] tilat ω 2 dω ln [ exp{ β ω}] = (k BT ) 4 ( ) ΩG T V,µ = P T k B T 2 d dβ tilat π 2 c 3 3 = (k BT ) 4 π 2 c 3 3 3 dxx 2 ln [ e x] x 3 dx e x = 3 u ln [ exp{ β ω}] = = P + u T 24
Planck: klassiset rajat u(t,ω) dω = ω 3 dω π 2 c 3 exp{β ω} ω k B T /, Planckin vakio katoaa: u(t,ω) dω Oskillaattorien lukumäärä [{}} ]{ π 2 c 3 ω2 dω Energian ekvipartitio {}}{ [k B T ] Rayleigh-Jeans-laki Klassisten sähkömag. aaltojen klassinen termodynamiikka! Ei voida integroida ω = asti: ns. ultraviolettikatastrofi ω k B T /, ε = ω u(t,ε) dε = π 2 c 3 3 ε3 exp{ βε} dε Klassisten hiukkasten Maxwell-Boltzmann kaasu! Planckin vakio jää, niin kuin klassisessa ideaalikaasussakin Kvanttimekaniikassa hiukkaset aallot Planck: rajatapauksina sekä klassiset aallot että klassiset hiukkaset 25
Kvanttistatistiikat Kylma fermionikaasu Fermionikaasu: la mpo tilakorjaukset Musta kappale Bose-Einstein-kondensaatti Bosonit matalilla la mpo tiloilla supranestevideo He muuttuu 2K:ssa suprajuoksevaksi I I Faasitransitio, esim. la mpo kapasiteetti divergoi Kylma faasi supraneste: virtaa ilman vastusta. 4 He vahvasti vuorovaikuttava neste: Ideaalinen Bose-kaasu vain kvalitatiivinen kuvaus Muita suprailmio ita : I Myo s 3 He suprajuoksevaa! I Suprajohtavuus: johdinelektronien Cooperin parit era a nlainen supraneste Ideaalikaasun Bose-Einstein-kondensaatti Nobel 2 Cornell, Ketterle, Wieman url Achievement of Bose-Einstein condensation in dilute gases of alkali atoms... 35 3 25 p / bar 4 2 5 5.. 2. 3. T/K 4. 5. 6. Faasidiagramma La hde: Wikipedia La mpo kapasiteetti La hde: Wikipedia 26
Kylmän bosonikaasun tiheys Lähdetään laskemaan tiheyttä (µ <, muuten summa Z n= eβµn ei konvergoi) N V = m 3/2 2 2π 2 3 ε dε exp {β(ε µ)}, N kasvaa, kun µ kasvaa N pienenee, kun β kasvaa, eli kun T = Jotta N vakio, on kasvatettava µ:ta kun T (Muistetaan myös fermioneille ( µ/ T ) N < ) Mitä tapahtuu, kun µ =? N max V = m 3/2 2 ε dε 2π 2 3 exp {βε} = (k B Tm) 3/2 2 2π 2 3 x dε e x Tarvitaan taas ζ-funktiota x dε e x = n= e nx x dx = π 2 Tunnistetaan terminen de Broglie-aallonpituus N max V = (k B Tm) 3/2 (2π) 3/2 3 n 3/2 = n= ζ(3/2) = ζ(3/2) λ 3 D (T ) π 2 ζ(3/2) 27
Kriittinen lämpötila Saatiin suurin mahdollinen tiheys N V N(µ = ) V (k B Tm) 3/2 = (2π) 3/2 3 ζ(3/2) = ζ(3/2) 3/2 T λ 3 D (T ) Fysikaalinen tilanne: kiinteä N/V, jäähdytetään. Nyt kuitenkin näennäisesti ( ) 2/3 2 T T c = 2π ζ(3/2) k B m ( ) 2/3 N V Mitä tapahtuu kun T T c? Tarkasteltava erikseen perustila ε =, joka ei mukana integraalissa. Perustilalla ε = on makroskooppinen määrä N hiukkasia = kondensaatti. Eli kun T T c, on N = N ζ(3/2) λ 3 D N ( ) 3/2 T N = T c 28
Tavalliset hiukkaset ja kondensaatti ( ) 2/3 2 T c = 2π ζ(3/2) k B m ( ) 2/3 N V Kun lämpötila T < T c, kaasussa kaksi komponenttia [ ( ) ] 3/2 T N = N T c ( ) 3/2 T N ε> = N T c Kondensaatti, N hiukkasta Tavallinen kaasu, loput N N ε> T Vrt. Nobel 962: Landaun 2-nestemalli suprajuoksevalle 4 He:lle. T c 29
Energia ja lämpökapasiteetti Kondensaatissa ei energiaa, entropiaa. Muualla E(µ = ) = V m 3/2 2π 2 3 = V m 3/2 2π 2 εε dε e βε = 3 (k B T ) 5/2 3 V m 3/2 2π 2 π 3 (k B T ) 5/2 4 ζ(5/2) = Vk BT λ 3 D Lämpökapasiteetti T < T c:llä on (E T 5/2 = T E = (5/2)E/T ) x 3/2 dx e x 3 2 ζ(5/2) C V = 5 Vk B 2 λ 3 D 3 2 5 ζ(5/2) ζ(5/2) = 4 ζ(3/2) k BN ε> = C V (3/2)Nk B kun T tiedetään (T > T c poikkeama tästä on ylöspäin, voidaan laskea) C V, kun T : Bosonikaasulle hituja kondensaattiin ilman energiaa.,93 {}}{ ( 5 ζ(5/2) T 4 ζ(3/2) k BN C V /(k B N) 3/2 T c ) 3/2 T T c 3