TKK (c) Ilkka Mellin (4) Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia Johdatus todennäköisyyslaskentaan Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (4) Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia: Mitä opimme? / Tässä luvussa tarkastellaan kahta moniulotteista todennäköisyysjakaumaa: (i) on binomijakauman (ks. lukua Diskreettejä jakaumia) moniulotteinen yleistys. (ii) on normaalijakauman (ks. lukua Jatkuvia jakaumia) moniulotteinen yleistys. Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia: Mitä opimme? / Multinormaalijakaumalla on seuraavat ominaisuudet: (i) Multinormaalijakauman reunajakaumat ovat normaalisia. (ii) Multinormaalijakauman ehdolliset jakaumat ovat normaalisia. (iii) Multinormaalijakauman ehdolliset odotusarvot ovat lineaarisia. (iv) Multinormaalijakauman tapauksessa korreloimattomuudesta seuraa riippumattomuus, mikä ei ole yleisesti totta. Huomautus: Satunnaismuuttujien riippumattomuudesta seuraa aina niiden korreloimattomuus. ja sen useampiulotteinen yleistys multinormaalijakauma muodostavat teoreettisen perustan lineaaristen regressiomallien teorialle satunnaisten selittäjien tapauksessa. TKK (c) Ilkka Mellin (4) 3 TKK (c) Ilkka Mellin (4) 4 Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia: Esitiedot Esitiedot: ks. seuraavia lukuja: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia >> Jakaumien tunnusluvut Diskreettejä jakaumia Jatkuvia jakaumia Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat TKK (c) Ilkka Mellin (4) 5 TKK (c) Ilkka Mellin (4) 6
TKK (c) Ilkka Mellin (4) 7 n tausta /3 Avainsanat Binomijakauma Multinomi Multinomikerroin Ositus Pistetodennäköisyysfunktio Reunajakauma hteisjakauma on binomijakauman (ks. lukua Diskreettejä jakaumia) yleistys useamman toisensa poissulkevan tapahtuman tilanteeseen. A, A,, A k otosavaruuden S ositus. Tällöin: A i A j =, i j S = A A A k Olkoot tapahtumien A, A,, A k todennäköisyydet: Pr(A i ) = p i, i =,,, k p + p + + p k = TKK (c) Ilkka Mellin (4) 8 n tausta /3 n tausta 3/3 Määritellään satunnaismuuttujat i, i =,,, k: i = Tapahtuman A i esiintymisten lukumäärä n-kertaisessa toistokokeessa Tällöin i ~Bin( n, pi), i=,,, k p i = Pr(A i ), i =,,, k Lisäksi + + + = n k lla tarkoitetaan satunnaismuuttujien,,, k yhteisjakaumaa. Huomautus: Satunnaismuuttuja i eivät ole riippumattomia, koska niitä sitoo toisiinsa ehto + + + = n k toistokokeiden lukumäärä n on kiinteä luku. TKK (c) Ilkka Mellin (4) 9 TKK (c) Ilkka Mellin (4) ja sen pistetodennäköisyysfunktio Satunnaismuuttujat,,, k noudattavat (k )- ulotteista multinomijakaumaa, jos niiden yhteisjakauman pistetodennäköisyysfunktio on muotoa Pr( = n ja = n ja ja k = nk) n! n n nk = p p pk n! n! nk! p+ p + + pk = n+ n + + nk = n Merkintä: (,,, k ) Multinom(p, p,, p k ; n) n ominaisuuksia Jos k =, niin multinomijakauma yhtyy binomijakaumaan: Pr Multinom( = n ja = n n) = Pr Bin( = n) n yksiulotteiset reunajakaumat ovat binomijakaumia. Multinomitodennäköisyydet saadaan korottamalla multinomi (p + p + + p k ) potenssiin n: n n! n n n ( p+ p + + p ) k k = p p pk n! n! nk! summa lasketaan yli kaikkien lukujen n, n,, n k, joille pätee ehto n + n + + n k = n TKK (c) Ilkka Mellin (4) TKK (c) Ilkka Mellin (4)
TKK (c) Ilkka Mellin (4) 3 Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia >> Avainsanat Ehdollinen jakauma Ehdollinen odotusarvo Ehdollinen varianssi Ellipsi Ellipsin eksentrisyys Ellipsin pääakselit Kovarianssimatriisi Normaalijakauma Ominaisarvot Ominaisvektorit Pääakselihajotelma Regressiofunktio Regressiosuora Reunajakauma Tasa-arvoellipsit Tiheysfunktio hteisjakauma TKK (c) Ilkka Mellin (4) 4 on normaalijakauman (ks. lukua Jatkuvia jakaumia) kaksiulotteinen yleistys. Huomautus: Normaalijakauman yleistystä p-ulotteiseen avaruuteen (p > ) kutsutaan multinormaalijakaumaksi. ja sen tiheysfunktio / Satunnaismuuttujat ja noudattavat kaksiulotteista normaalijakaumaa, jos niiden yhteisjakauman tiheysfunktio on muotoa f (, y) = ep Q(, y) π ( ) ρ ρ y y Qy (, ) ρ = + Merkintä: (, ) N (,,,, ρ ) TKK (c) Ilkka Mellin (4) 5 TKK (c) Ilkka Mellin (4) 6 ja sen tiheysfunktio / Kaksiulotteisen normaalijakauman N (,,,, ρ ) parametrien on toteuttava seuraavat ehdot: < < + > < < + > < ρ <+ n parametrit (, ) N (,,,, ρ ) Kaksiulotteisen normaalijakauman parametreina, jotka täysin määräävät jakauman, ovat satunnaismuuttujien ja odotusarvot ja varianssit sekä niiden korrelaatio: E( ) = Var( ) = E( ) = Var( ) = Cor(, ) = ρ Lisäksi Cov(, ) = = ρ TKK (c) Ilkka Mellin (4) 7 TKK (c) Ilkka Mellin (4) 8
TKK (c) Ilkka Mellin (4) 9 Tiheysfunktion ominaisuudet Tasa-arvoellipsien ominaisuudet /3 Kaksiulotteisen normaalijakauman tiheysfunktio muodostaa pinnan z = f (, y) kolmiulotteisessa avaruudessa. Pinnalla on maksimi satunnaismuuttujien ja odotusarvojen ja määräämässä jakauman todennäköisyysmassan painopisteessä (, ). Pinnan muodon määräävät tasa-arvoellipsit y y Qy (, ) ρ = + = c (vakio) Kaksiulotteisen normaalijakauman tiheysfunktion muodostaman pinnan muodon määräävillä tasaarvoellipseillä on seuraavat ominaisuudet: (i) Ellipsien keskipisteenä on jakauman todennäköisyysmassan painopiste (, ) (ii) Ellipsien eksentrisyys on sekä korrelaatiokertoimen ρ että standardipoikkeamien ja funktio. (iii) Ellipsi on sitä eksentrisempi mitä voimakkaammin satunnaismuuttujat ja ovat korreloituneita eli mitä suurempi on ρ TKK (c) Ilkka Mellin (4) Tasa-arvoellipsien ominaisuudet /3 Tasa-arvoellipsien ominaisuudet 3/3 (iv) Jos ρ = ellipsien pääakselit ovat koordinaattiakseleiden suuntaiset. (v) Jos ρ = ja lisäksi = niin ellipsit ovat ympyröitä. (vi) Jos ρ = ± niin ellipsit surkastuvat janoiksi. Tasa-arvoellipsien pääakselit ovat satunnaismuuttujien ja kovarianssimatriisin Σ = ominaisvektoreiden suuntaiset ja niiden pituudet suhtautuvat toisiinsa kuten matriisin Σ ominaisarvojen neliöjuuret. TKK (c) Ilkka Mellin (4) TKK (c) Ilkka Mellin (4) Jakauman määrittely Tiheysfunktion kuvaaja (, ) N (4, 3,,,.7) Jakauman parametrit ovat E( ) = = 4 Var( ) = = E( ) = = 3 Var( ) = = Cor(, ) = ρ =.7 Siten Cov(, ) = ρ =.7 =.9899 (, ) N (4, 3,,,.7) jolloin = 4 = = 3 = ρ =.7 Kuva oikealla esittää jakauman tiheysfunktiota f (, y).. - 4 6 8 8 6 4 y - TKK (c) Ilkka Mellin (4) 3 TKK (c) Ilkka Mellin (4) 4
TKK (c) Ilkka Mellin (4) 5 Tasa-arvoellipsien yhtälöt (, ) N (4, 3,,,.7) Jakauman todennäköisyysmassan painopisteenä on piste (, ) = (4, 3) Jakauman tiheysfunktion muodostaman pinnan muodon määräävät tasa-arvoellipsit 4 y 3 4 y 3 Qy (, ) = +.7 = c (vakio) Ellipsien keskipisteenä on jakauman todennäköisyysmassan painopiste (, ) = (4, 3) Kovarianssimatriisi (, ) N (4, 3,,,.7) Tällöin satunnaismuuttujien ja kovarianssimatriisi on Σ = ρ = ρ.7 =.7.9899 =.9899 TKK (c) Ilkka Mellin (4) 6 Kovarianssimatriisin pääakselihajotelma /6 Σ = ULU kovarianssimatriisin Σ pääakselihajotelma, L on matriisin Σ ominaisarvojen muodostama diagonaalimatriisi ja U on vastaavien ominaisvektoreiden muodostama ortogonaalinen matriisi, ominaisvektorit ovat sarakkeina. Kovarianssimatriisin pääakselihajotelma /6 Olkoot λ λ matriisin Σ ominaisarvot ja u = (u, u ) u = (u, u ) niitä vastaavat ominaisvektorit. Tällöin λ u u L=, λ U= u u ja U ΣU = L U U = UU = I TKK (c) Ilkka Mellin (4) 7 TKK (c) Ilkka Mellin (4) 8 Kovarianssimatriisin pääakselihajotelma 3/6 λ kovarianssimatriisin Σ ominaisarvo. Tällöin λ toteuttaa yhtälön λ det( Σ λi) = det λ = λ ( + ) λ+ = Tämän. asteen yhtälön ratkaisut saadaan kaavasta + ± ( ) + 4 λ = Ratkaisuiksi saadaan λ =.69 λ =.399 Kovarianssimatriisin pääakselihajotelma 4/6 u = (u, u ) kovarianssimatriisin Σ ominaisarvoa λ vastaava ominaisvektori. Tällöin u toteuttaa matriisiyhtälön Σu= λu Koska vaadimme, että uu = u + u = niin vektori u = (u, u ) saadaan ratkaistuksi yhtälöryhmästä ( λ) u+ u = u+ ( λ) u = u + u = TKK (c) Ilkka Mellin (4) 9 TKK (c) Ilkka Mellin (4) 3
TKK (c) Ilkka Mellin (4) 3 Kovarianssimatriisin pääakselihajotelma 5/6 Ominaisarvoa λ =.69 vastaavaksi ominaisvektoriksi saadaan u = (u, u ) = (.857,.54) Ominaisarvoa λ =.399 vastaavaksi ominaisvektoriksi saadaan u = (u, u ) = (.54,.857) Kovarianssimatriisin pääakselihajotelma 6/6 Kovarianssimatriisin.7.9899 Σ = = =.9899.7 pääakselihajotelmaksi Σ = ULU saadaan siis λ.69 L = = λ.399 u u.857.54 U = = u u.54.857 L on matriisin Σ ominaisarvojen muodostama diagonaalimatriisi ja U on vastaavien ominaisvektoreiden muodostama ortogonaalinen matriisi, ominaisvektorit ovat sarakkeina. TKK (c) Ilkka Mellin (4) 3 Tasa-arvoellipsit ja niiden pääakselit /4 (, ) N (4, 3,,,.7) Jakauman tiheysfunktion muodostaman pinnan muodon määräävien tasa-arvoellipsien pääakselit leikkaavat jakauman todennäköisyysmassan painopisteessä (, ) = (4,3) Tasa-arvoellipsien pääakseleiden pituudet suhtautuvat toisiinsa kuten kovarianssimatriisin Σ ominaisarvojen λ =.69 λ =.399 neliöjuuret ja vastaavat ominaisvektorit määräävät pääakseleiden suunnat. TKK (c) Ilkka Mellin (4) 33 Tasa-arvoellipsit ja niiden pääakselit /4 Tasa-arvoellipsien pääakseleiden suuntaisten suorien yhtälöt ovat y = a+ b y = a + b u.54 b = = =.65 u.857 a = b = 3 b 4 =.539 ovat suurempaa ominaisarvoa.69 vastaavan, pitempään pääakseliin liittyvän suoran kertoimet ja u.857 b = = =.654 u.54 a = b = 3 b 4 = 9.55 ovat pienempää ominaisarvoa.399 vastaavan, lyhyempään pääakseliin liittyvän suoran kertoimet. TKK (c) Ilkka Mellin (4) 34 Tasa-arvoellipsit ja niiden pääakselit 3/4 Tasa-arvoellipsit ja niiden pääakselit 4/4 (, ) N (4, 3,,,.7) jolloin = 4 = = 3 = ρ =.7 Kuva oikealla esittää jakauman tiheysfunktion kuvaajan tasaarvoellipsejä, jotka vastaavat (likimäärin) todennäköisyyksiä 68 %, 95 % ja 99.7 %. Esimerkiksi uloimman ellipsin sisään jää n. 99.7 % jakauman todennäköisyysmassasta. 8 6 4 - N (4, 3,,,.7) (, ) - 4 6 8 (, ) N (4, 3,,,.7) Kuva oikealla esittää jakauman tiheysfunktion kuvaajan tasaarvoellipsejä, jotka vastaavat (likimäärin) todennäköisyyksiä 68 %, 95 % ja 99.7 %. Kuvaan on lisäksi piirretty tasaarvoellipsien pääakselien suuntaiset suorat y =.539 +.65 y = 9.55.654 N (4, 3,,,.7) 8 6 4 - - 4 6 8 TKK (c) Ilkka Mellin (4) 35 TKK (c) Ilkka Mellin (4) 36
TKK (c) Ilkka Mellin (4) 37 Reunajakaumat Voidaan osoittaa, että kaksiulotteisen normaalijakauman reunajakaumat ovat normaalisia: N(, ) N(, ) ja niiden tiheysfunktiot ovat f ( ) = ep π y f ( y) = ep π Reunajakaumat.5.4.3.. N(4, ) - 4 6 8 (, ) N (4, 3,,,.7) Kuvat yllä esittävät satunnaismuuttujien ja reunajakaumia: N(4, ) N(3, ).5.4.3.. N(3, ) - 4 6 8 TKK (c) Ilkka Mellin (4) 38 Korreloimattomuus vs riippumattomuus Kaksiulotteisen normaalijakauman tapauksessa satunnaismuuttujien ja korreloimattomuus on yhtäpitävää niiden riippumattomuuden kanssa. Huomautuksia: Satunnaismuuttujien riippumattomuudesta seuraa aina niiden korreloimattomuus. Satunnaismuuttujien korreloimattomuudesta ei yleisesti seuraa niiden riippumattomuus. Korreloimattomuus vs riippumattomuus: Perustelu /3 Oletetaan, että satunnaismuuttujat ja noudattavat kaksiulotteista normaalijakaumaa: (, ) N (,,,, ρ ) Jos satunnaismuuttujat ja ovat riippumattomia, niin ne ovat myös korreloimattomia, koska satunnaismuuttujien riippumattomuudesta seuraa aina niiden korreloimattomuus; ks. lukua Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Oletetaan nyt, että satunnaismuuttujat ja korreloimattomia eli ρ = TKK (c) Ilkka Mellin (4) 39 TKK (c) Ilkka Mellin (4) 4 Korreloimattomuus vs riippumattomuus: Perustelu /3 Kaksiulotteisen normaalijakauman tiheysfunktio on f (, y) = ep Q(, y) π ( ) ρ ρ y y Qy (, ) = ρ + Jos ρ =, niin y f (, y) = ep π + y = ep ep π π = f ( ) f ( y) TKK (c) Ilkka Mellin (4) 4 Korreloimattomuus vs riippumattomuus: Perustelu 3/3 Jos siis ρ =, niin f ( y, ) = f ( f ) ( y) f () ja f (y) ovat satunnaismuuttujien ja reunajakaumien tiheysfunktiot. Koska oletuksesta ρ = seuraa, että kaksiulotteisen normaalijakauman tiheysfunktio voidaan esittää reunajakaumiensa tiheysfunktioiden tulona, niin satunnaismuuttujat ja ovat tällöin rippumattomia; ks. lukua Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. TKK (c) Ilkka Mellin (4) 4
TKK (c) Ilkka Mellin (4) 43 Ehdolliset jakaumat / Ehdolliset jakaumat / Kaksiulotteisen normaalijakauman ehdolliset jakaumat ovat normaalisia: ( = y )~ N (, ) = E( = y) = ( y ) = Var( = y) = ( ρ ) Kaksiulotteisen normaalijakauman ehdolliset jakaumat ovat normaalisia: ( = )~ N (, ) = E( = ) = ( ) = Var( = ) = ( ρ ) TKK (c) Ilkka Mellin (4) 44 Ehdolliset jakaumat: Perustelu /4 Esitetään perustelu kaksiulotteisen normaalijakauman ehdollisten jakaumien normaalisuudelle tarkastelemalla satunnaismuuttujan ehdollista jakaumaa satunnaismuuttujan suhteen (ehdolla = ). f ( y, ) f y ( ) = satunnaismuuttujien ja yhteisjakauman tiheysfunktio = satunnaismuuttujan ehdollisen jakauman tiheysfunktio satunnaismuuttujan suhteen = satunnaismuuttujan reunajakauman tiheysfunktio f ( ) Ehdollisen jakauman tiheysfunktion määritelmän mukaan f ( y, ) f ( y ) = f ( ) Ehdolliset jakaumat: Perustelu /4 Kaksiulotteisen normaalijakauman tiheysfunktio f ( y, ): f (, y) = ep Q(, y) π ( ) ρ ρ y y Qy (, ) = + ρ Satunnaismuuttujan reunajakauman tiheysfunktio f ( ) : f ( ) = ep π TKK (c) Ilkka Mellin (4) 45 TKK (c) Ilkka Mellin (4) 46 Ehdolliset jakaumat: Perustelu 3/4 Nähdään (melko) helposti, että f (, y) f ( y ) = f ( ) = ep Qy ( ) π ( ) ( ) ρ ρ Qy ( ) = y y ρ ( ) Ehdolliset jakaumat: Perustelu 4/4 Siten satunnaismuuttujan ehdollinen jakauma satunnaismuuttujan suhteen (ehdolla = ) on normaalinen: ( = )~ N(, ) = E( = ) = ( ) = Var( = ) = ( ρ ) TKK (c) Ilkka Mellin (4) 47 TKK (c) Ilkka Mellin (4) 48
TKK (c) Ilkka Mellin (4) 49 Ehdolliset odotusarvot Regressiosuorat Satunnaismuuttujan ehdollinen odotusarvo eli regressiofunktio satunnaismuuttujan suhteen E( = y) = ( y ) on lineaarinen satunnaismuuttujan arvojen y suhteen. Satunnaismuuttujan ehdollinen odotusarvo eli regressiofunktio satunnaismuuttujan suhteen E( = ) = ( ) on lineaarinen satunnaismuuttujan arvojen suhteen. Kaksiulotteisen multinormaalijakauman regressiokäyrät ovat suoria, joiden yhtälöt voidaan kirjoittaa satunnaismuuttujan saamien arvojen funktioina seuraaviin muotoihin: (i) y:n regressiosuora :n suhteen: y = ( ) (ii) :n regressiosuora y:n suhteen: y = + ( ) ρ TKK (c) Ilkka Mellin (4) 5 Regressiosuorien ominaisuudet /5 Regressiosuorien ominaisuudet /5 y = ( ) y:n regressiosuora :n suhteen ja y = + ( ) ρ :n regressiosuora y:n suhteen. Regressiosuorilla on seuraavat ominaisuudet: (i) Molemmat regressiosuorat kulkevat jakauman todennäköisyysmassan painopisteen (, ) kautta. (ii) Molempien regressiosuorien kulmakertoimilla ja satunnaismuuttujien ja korrelaatiokertoimella ρ on aina sama merkki: Suorat ovat nousevia, jos ρ >. Suorat ovat laskevia, jos ρ <. (iii) y:n regressiosuora :n suhteen on aina loivempi kuin :n regressiosuora y:n suhteen, koska ρ TKK (c) Ilkka Mellin (4) 5 TKK (c) Ilkka Mellin (4) 5 Regressiosuorien ominaisuudet 3/5 Regressiosuorien ominaisuudet 4/5 (iv) (v) y:n regressiosuora :n suhteen on sitä jyrkempi mitä voimakkaammin satunnaismuuttujat ja ovat korreloituneita eli mitä suurempi on ρ :n regressiosuora y:n suhteen on sitä loivempi mitä voimakkaammin satunnaismuuttujat ja ovat korreloituneita eli mitä suurempi on ρ (vi) Molemmat regressiosuorat ovat sitä jyrkempiä mitä suurempi on satunnaismuuttujan varianssi (vii) Molemmat regressiosuorat ovat sitä jyrkempiä mitä pienempi on satunnaismuuttujan varianssi (viii) Regressiosuorat yhtyvät täsmälleen silloin, kun ρ = ± TKK (c) Ilkka Mellin (4) 53 TKK (c) Ilkka Mellin (4) 54
TKK (c) Ilkka Mellin (4) 55 Regressiosuorien ominaisuudet 5/5 Regressiosuorat / (i) Jos ρ =, niin regressiosuorat ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan ja y:n regressiosuora :n suhteen on y = ja :n regressiosuora y:n suhteen on = jolloin y:n saamat arvot eivät riipu :n saamista arvoista ja :n saamat arvot eivät riipu y:n saamista arvoista. (, ) N (4, 3,,,.7) y:n regressiosuora muuttujan suhteen on y = ( ) = 3 +.7 ( 4) =.+.495 :n regressiosuora muuttujan y suhteen on y = + ( ) ρ = 3 + ( 4) =.46 +..7 TKK (c) Ilkka Mellin (4) 56 Regressiosuorat / Regressiosuorat ja standardointi (, ) N (4, 3,,,.7) Kuva oikealla esittää jakauman tiheysfunktion kuvaajan tasaarvoellipsejä, jotka vastaavat (likimäärin) todennäköisyyksiä 68 %, 95 % ja 99.7 %. Kuvan suorista loivempi y =.+.495 on y:n regressiosuora :n suhteen ja suorista jyrkempi y =.46 +. on :n regressiosuora y:n suhteen. N (4, 3,,,.7) 8 6 4 - - 4 6 8 Regressiosuorat voidaan kirjoittaa standardoitujen muuttujien y y = = funktioina seuraaviin muotoihin: y = ρ y:n regressiosuora :n suhteen y = :n regressiosuora y:n suhteen ρ Standardoitujen muuttujien välisten regressiosuorien kulmakertoimet ovat siis toistensa käänteislukuja. TKK (c) Ilkka Mellin (4) 57 TKK (c) Ilkka Mellin (4) 58 Ehdolliset varianssit / Ehdolliset varianssit / Satunnaismuuttujan ehdollinen varianssi satunnaismuuttujan suhteen on korkeintaan yhtä suuri kuin satunnaismuuttujan varianssi: = ( ρ ) Jos siis ρ, niin satunnaismuuttujan ehdollinen jakauma satunnaismuuttujan suhteen vaihtelee :n regressiosuoran ympärillä vähemmän kuin satunnaismuuttuja oman painopisteensä ympärillä. Lisäksi pätee, että = ρ =± = ρ = Satunnaismuuttujan ehdollinen varianssi satunnaismuuttujan suhteen on korkeintaan yhtä suuri kuin satunnaismuuttujan varianssi: = ( ρ) Jos siis ρ, niin satunnaismuuttujan ehdollinen jakauma satunnaismuuttujan suhteen vaihtelee y:n regressiosuoran ympärillä vähemmän kuin satunnaismuuttuja oman painopisteensä ympärillä. Lisäksi pätee, että = ρ =± = ρ = TKK (c) Ilkka Mellin (4) 59 TKK (c) Ilkka Mellin (4) 6
TKK (c) Ilkka Mellin (4) 6 Ehdolliset varianssit: Kommentti Satunnaismuuttujan ehdollisen varianssin kaavasta = ( ρ) ja satunnaismuuttujan ehdollisen varianssin kaavasta = ( ρ) nähdään välittömästi, että kumpikaan ehdollisista variansseista ei riipu ehtomuuttujan arvoista. Siten kaksiulotteisen normaalijakauman kummankaan ehdollisen jakauman todennäköisyysmassan vaihtelu vastaavan regressiosuoran ympärillä ei riipu ehtomuuttujan arvoista. Ehdolliset varianssit (, ) ~ N (4, 3,,,.7) Satunnaismuuttujan ehdollinen varianssi satunnaismuuttujan suhteen on = ( ρ) = (.7 ) =.5 = Satunnaismuuttujan ehdollinen varianssi satunnaismuuttujan suhteen on = ( ρ ) = (.7 ) =. = TKK (c) Ilkka Mellin (4) 6