4. Ryhmät Tässä luvussa tarkastelemme laskutoimituksella varustettuja joukkoja, joiden laskutoimitukselta oletamme muutamia yksinkertaisia ominaisuuksia: Määritelmä 4.1. Laskutoimituksella varustettu joukko (G, ) on ryhmä, jos laskutoimitus on assosiatiivinen, laskutoimituksella on neutraalialkio, ja jokaisella g 2 (G, ) on käänteisalkio. Ryhmä on keskeinen algebran rakenne, joka esiintyy monilla matematiikan aloilla esimerkiksi lineaarialgebrassa, geometriassa ja lukuteoriassa. Tällä kurssilla käsittelemme esimerkkejä eri aloilta yleisen teorian tarkastelun lisäksi. Laskutoimituksella varustettuja joukkoja voidaan ryhmitellä ominaisuuksiensa mukaan erilaisiksi algebrallisiksi rakenteiksi, joista ryhmä on yksi esimerkki.laskutoimituksella varustettu joukko on puoliryhmä, joslaskutoimitusonassosiatiivinen monoidi, josseonpuoliryhmäjasilläonneutraalialkio Ryhmä on siis monoidi, jonka jokaisella alkiolla on käänteisalkio. Esimerkki 4.2. (a) Aikaisemmista esimerkeistämme ryhmiä ovat ainakin kokonaislukujen (additiivinen) ryhmä (Z, +), rationaalilukujen (additiivinen) ryhmä (Q, +), reaalilukujen (additiivinen) ryhmä (R, +), kompleksilukujen (additiivinen) ryhmä (C, +), rationaalilukujen multiplikatiivinen ryhmä Q, reaalilukujen multiplikatiivinen ryhmä R, kompleksilukujen multiplikatiivinen ryhmä C ja positiivisten reaalilukujen multiplikatiivinen ryhmä (R +, ). Se, että yllä olevan luettelon kokonais-, rationaali- ja reaaliluvuista koostuvat laskutoimituksella varustetut joukot ovat ryhmiä, seuraa näiden lukualueiden tunnetuista ominaisuuksista. Kompleksiluvuille tämä seuraa Propositiosta 2.3. (b) Laskutoimituksella varustettu joukko (Z/qZ, +) on ryhmä: Kokonaislukujen yhteenlaskun määräämä tekijälaskutoimitus on assosiatiivinen Proposition 3.9 mukaan. Alkio [0] on neutraalialkio Proposition 3.8 mukaan. Alkion [k] 2 Z/qZ käänteisalkio on [ k]: [k]+[ k] =[k k] =[0]=[ k]+[k]. Ryhmä (Z/qZ, +) on q alkion äärellinen syklinen ryhmä. (c) Olkoon n 2 N, n 2 ja olkoot M n (R), M n (Q), M n (C) ja M n (Z) sellaisten n n- matriisien joukot joiden kertoimet ovat reaalilukuja, rationaalilukuja, kompleksilukuja ja kokonaislukuja. Jos nämä joukot varustetaan matriisien kertolaskulla, ne eivät muodosta ryhmiä: Jokainen näistä matriisien joukoista sisältää muun muassa nollamatriisin, jolla ei ole käänteismatriisia. Olkoon seuraavassa K jokin lukualueista Q, R tai C. Jos A, B 2 M n (K) ja det A 6= 06= detb, niindeterminantinlaskusäännöstädet AB =deta det B seuraa, että det AB 6= 0.Siispäjoukko{A 2 M n (K) :deta 6= 0} on laskutoimituksella varustetun joukon (M n (K)), ) vakaa osajoukko ja matriisien kertolasku indusoi laskutoimituksen tähän joukkoon. Matriisien kertolasku on assosiatiivinen, sen neutraalialkio on identtinen matriisi I n =diag(1,...,1), jonkadeterminanttion1. LisäksijokaisellamatriisillaA, jolle 22
pätee det A 6= 0on käänteismatriisi, jonka determinantti on 1/ det A 6= 0.Tarkastelemamme matriisit muodostavat K-kertoimisen yleisen lineaarisen ryhmän GL n (K) ={A 2 M n (K) : det A 6= 0}, jonka laskutoimitus on matriisien kertolasku. Vastaavasti saadaan K-kertoiminen erityinen lineaarinen ryhmä SL n (K) ={A 2 M n (K) :deta =1}, jonka laskutoimitus on matriisien kertolasku. (c) On helppo nähdä, että matriisien kertolaskulla varustettu joukko {A 2 M n (Z) : det A 6= 0} GL n (Q) ei ole ryhmä: Olkoon diag(a 1,a 2,...,a n ) n n-matriisi, jonka diagonaalikertoimet ovat d kk = a k kaikilla k 2{1, 2,...,n} ja kaikki muut kertoimet ovat nollia. Matriisin diag(2, 2) determinantti on 4 6= 0, joten diagonaalimatriisilla diag(2, 2) on käänteismatriisi diag(1/2, 1/2) 2 GL 2 (Q). Käänteismatriisi on yksikäsitteinen, joten matriisilla diag(2, 2) ei ole käänteismatriisia kertolaskulla varustetussa joukossa {A 2 M n (Z) :deta 6= 0}. Cramerin säännön (kofaktorimatriisin) avulla voidaan sen sijaan osoittaa, että on ryhmä (Harjoitustehtävä 41). SL n (Z) ={A 2 M n (Z) :deta =1} Jatkossa ryhmän laskutoimitus jätetään usein mainitsematta ja puhutaan vain ryhmästä G. Tällöin laskutoimitus on kuitenkin kiinnitetty ja usein konkreettisessa tilanteessa se on ennalta tiedossa. Esimerkiksi merkinnät C ja GL n (R) sisältävät tiedon käytettävästä laskutoimituksesta. Puhuttaessa abstraktisti vain ryhmästä G merkitään laskutoimitusta usein kuten kertolaskua ja neutraalialkiolle käytetään merkintää e tai joskus myös merkintää 1. Jostarkastellaanuseampiaryhmiäsamalla kertaa voidaan niiden neutraalialkioille käyttää ryhmille käytettävien merkintöjen kanssa yhteensopivaa merkintää esimerkiksi niin, että ryhmän G 0 neutraalialkiota merkitään e 0.Joskustehdääntoisenlaisiakinvalintoja. Propositio 4.3. Ryhmällä G on seuraavat ominaisuudet: (1) Neutraalialkio e on yksikäsitteinen. (2) Jokaisen alkion käänteisalkio on yksikäsitteinen. (3) Jos āa = e, niinā on alkion a käänteisalkio. (4) (ab) 1 = b 1 a 1 kaikilla a, b 2 G. Todistus. (1), (2), (3): Lause 1.12. (4): Koska pätee (b 1 a 1 )(ab) =b 1 (a 1 a)b = b 1 b = e, niin väite seuraa kohdasta (3). Propositio 4.3(3) helpottaa siis käänteisalkion testaamista ryhmässä: riittää tarkastaa, että alkio on vasen tai oikea käänteisalkio. Supistussäännöt ovat voimassa laskutoimituksella varustetussa joukossa (A, ),jos kaikilla a, b, c 2 A pätee (1) Jos a b = a c, niinb = c. (2) Jos a b = c b, niina = c. Supistussäännöt ovat voimassa monissa laskutoimituksella varustetuissa joukoissa kuten esimerkiksi luonnollisten lukujen additiivisessa monoidissa (N, +), luonnollisten lukujen multiplikatiivisessa monoidissa (N {0}, ) ja kaikissa ryhmissä. Huomaa, että supistussääntö ei päde puoliryhmässä (N, ) koska 0a =0kaikille a 2 N. 23
Propositio 4.4. Supistussäännöt pätevät ryhmässä. Todistus. Harjoitustehtävä 42. Propositio 4.5. Olkoon A assosiatiivisella laskutoimituksella varustettu joukko, jossa on neutraalialkio. Tällöin A on ryhmä, jos ja vain jos yhtälöillä ax = b ja ya = b on ratkaisu joukossa A kaikilla a, b 2 A. Todistus. Harjoitustehtävä 43. Seuraava tulos antaa keinon muodostaa uusia ryhmiä tunnetuista ryhmistä tulolaskutoimituksen avulla. Propositio 4.6. Olkoot G 1 ja G 2 ryhmiä. Niiden tulo G 1 G 2 on ryhmä. Todistus. Laskutoimituksen assosiatiivisuus on selvää. Jos e 1 ja e 2 ovat ryhmien G 1 ja G 2 neutraalialkiot, niin (e 1,e 2 ) on neutraalialkio joukossa G 1 G 2.Alkion (g 1,g 2 ) 2 G 1 G 2 käänteisalkio on (g1 1,g2 1 ). Esimerkki 4.7. Laskutoimituksella varustetut joukot (R n, +) ja (Z n, +) ovat ryhmiä. Olkoon X epätyhjä joukko ja olkoon Perm(X) ={f : X! X : f on bijektio}. Laskutoimituksella varustettu joukko Perm(X) on joukon X permutaatioryhmä. Permutaatioryhmä on todellakin ryhmä Esimerkkien 1.6(d) ja 1.11(a) nojalla. Ryhmän Perm(X) alkioita voidaan kutsua joukon X permutaatioiksi. Näinontapana tehdä erityisesti, jos joukko X on äärellinen. Matematiikan eri aloilla joukkoihin voidaan liittää erilaisia lisärakenteita kuten vektoriavaruusrakenne, sisätulo, metriikka ja ryhmä. Tällaisten joukkojen permutaatioryhmien osajoukot, jotka säilyttävät valitun rakenteen tai ovat sen kanssa yhteensopivia, varustettuna indusoidulla laskutoimituksella (joka siis on kuvausten yhdistäminen) ovat usein ryhmiä. Esimerkki 4.8. Olkoon X = R n. Kuvaus L: R n! R n on lineaarikuvaus, jos kaikilla x, y 2 R n ja a 2 R pätee L(x + y) = L(x)+ L(y) ja L(ax) =al(x). Vektoriavaruuden R n lineaaristen bijektioiden joukko on permutaatioryhmän vakaa osajoukko, sillä lineaarialgebrassa osoitetaan, että kahden lineaarikuvauksen yhdistetty kuvaus on lineaarikuvaus. Nämä lineaariset bijektiot muodostavat ryhmän GL(R n ),jossakuvaustenyhdistäminenonlaskutoimituksena:laskutoimituksenassosiatiivisuutta ei tarvitse tarkastaa, koska se on permutaatioryhmän Perm(R n ) laskutoimituksen indusoima. Identtinen kuvaus on lineaarikuvaus, ja kurssilla Lineaarinen algebra ja geometria 1 osoitetaan, että lineaarisen bijektion käänteiskuvaus on lineaarinen bijektio. Määritelmä 4.9. Ryhmä G on kommutatiivinen eli Abelin ryhmä, jossenlaskutoimitus on kommutatiivinen. Ryhmä G on äärellinen, jos joukko G on äärellinen. Esimerkki 4.10. (a) Ryhmät Z, Z/qZ, Z n ovat kommutatiivisia. Erityinen lineaarinen ryhmä SL n (R) ei ole kommutatiivinen, tämä osoitettiin harjoitustehtävässä 6 tapaukselle n =2. 24
(b) Ryhmät Z/qZ ja Z/qZ Z/rZ, ovatäärellisiäryhmiäkaikilleq, r 2 N. (c) Kuvaukset id,f,g,h: R {0}!R {0}, jotkamääritelläänasettamallaf(x) = x, g(x) =1/x, jah(x) = 1/x, muodostavatäärellisenryhmänk laskutoimituksena kuvausten yhdistäminen. On helppo nähdä, että K on permutaatioryhmän Perm(R {0}) vakaa osajoukko, joten kuvausten yhdistäminen indusoi laskutoimituksen joukkoon K. JoukonK alkioille f,g,h pätee f f = g g = h h =id, joten kaikilla on käänteisalkio, ja K on siis ryhmä, Kleinin neliryhmä. Lisäksipätee: f g = g f = h, g h = h g = f ja h f = f h = g, joten K on kommutatiivinen. Äärellisiä (pieniä) ryhmiä voi myös tarkastella laskutaulujen avulla: Muodostetaan ryhmän alkioilla indeksoitu taulukko, jossa paikalla (g, h) on alkio gh. Ryhmän laskutaulussa (tai kertotaulussa, kuten sitä usein kutsutaan) jokaisella rivillä ja jokaisessa sarakkeessa esiintyvät kaikki ryhmän alkiot (Harjoitustehtävä 49). Esimerkki 4.11. Neljän alkion ryhmien Z/4Z, Z/2Z Z/2Z ja K laskutaulut ovat + 0 1 2 3 0 0 1 2 3 1 1 2 3 0 2 2 3 0 1 3 3 0 1 2, + (0,0) (0,1) (1,0) (1,1) (0,0) (0,0) (0,1) (1,0) (1,1) (0,1) (0,1) (0,0) (1,1) (1,0) (1,0) (1,0) (1,1) (0,0) (0,1) (1,1) (1,1) (1,0) (0,1) (0,0) ja id f g h id id f g h f f id h g g g h id f h h g f id Näissä laskutauluissa käytetään kongruenssiluokan [k] merkintänä edustajaa k 2 Z. Laskutauluja vertaamalla huomaamme, että ryhmät Z/2Z Z/2Z ja K ovat isomorfisia: Kuvaus : Z/2Z Z/2Z! K, ([0], [0]) = id, ([0], [1]]) = f, ([1], [0]) = g, ([1], [1]) = h, on isomorfismi. Kuvaus on selvästi bijektio, ja homomorfisuuden voi tarkastaa tutkimalla kaikki tapaukset, esimerkiksi ([1], [0]) + ([0], [1]) = ([1], [1]) = h = g f = ([0], [1]) ([1], [0]) Ryhmä K on siis ryhmäteorian kannalta sama ryhmä kuin (Z/2Z Z/2Z, +). Jos G ja G 0 ovat ryhmiä, niin homomorfismia : G! G 0 kutsutaan joskus ryhmähomomorfismiksi. Huomaa,ettäisomorfismin,elibijektiivisenhomomorfismin, käänteiskuvaus on myös isomorfismi. Jos G ja G 0 ovat isomorfisia ryhmiä, voidaan käyttää merkintää G = G 0. Propositio 4.12. Ryhmähomomorfismi : G! G 0 kuvaa ryhmän G neutraalialkion ryhmän G 0 neutraalialkioksi, ja jokaiselle g 2 G pätee (g 1 )= (g) 1. Todistus. Neutraalialkiota koskeva väite todistetaan harjoitustehtävässä 44. Todistetaan käänteisalkiota koskeva väite: Olkoon e ryhmän G neutraalialkio. Olkoon g 2 G. Tällöin (g 1 ) (g) = (g 1 g)= (e). Ensimmäisen väitteen mukaan tämä on ryhmän G neutraalialkio. Väite seuraa Proposition 4.3 kohdasta (3). Proposition 1.16(3) mukaan surjektiivinen homomorfismi kuvaa neutraalialkion neutraalialkioksi. Proposition 4.12 mukaan ryhmähomomorfismin tapauksessa siis ei tarvita surjektiivisuutta. 25
Esimerkki 4.13. (a) Esimerkissä 1.15(a) osoitettiin, että exp: (R, +)! (R +, ) on ryhmäisomorfismi. (b) Proposition 2.4 nojalla kompleksikonjugointi on ryhmäisomorfismi : (C, +)! (C, +) ja : C! C.Kompleksilukujenmodulionsurjektiivinenryhmähomomorfismi : C! R +. (c) Vektoriavaruuden R n lineaaristen bijektioiden ryhmä GL(R n ) on isomorfinen yleisen lineaarisen ryhmän GL n (R) kanssa: Olkoon K = {v 1,v 2,...,v n } vektoriavaruuden R n kanta, ja olkoon (Lv i ) K 2 R n vektorin Lv i koordinaattivektori sarakevektorina kannassa K. Lineaarialgebrassaonosoitettu,ettäkuvausMat: GL(R n )! GL n (R), Mat(L) = (Lv 1 ) K, (Lv 2 ) K,...,(Lv n ) K, on isomorfismi: kaikille lineaarisille bijektioille L 1,L 2 : R n! R n pätee Mat(L 2 L 1 )=Mat(L 2 )Mat(L 1 ). Harjoitustehtäviä. Tehtävä 40. Osoita, että joukon X potenssijoukko P(X) varustettuna laskutoimituksella 4 (symmetrinen erotus), joka määritellään asettamalla kaikille A, B 2 P(X) A 4 B =(A B) [ (B A), on ryhmä. Tehtävä 41. Osoita, että SL n (Z) varustettuna matriisien kertolaskulla on ryhmä. Tehtävä 42. Olkoon G ryhmä. Osoita, että kaikilla a, b, c 2 G pätee supistussääntö: (1) Jos ab = ac, niinb = c. (2) Jos ab = cb, niina = c. Tehtävä 43. Olkoon A assosiatiivisella laskutoimituksella varustettu joukko, jossa on neutraalialkio. Osoita, että A on ryhmä, jos ja vain jos yhtälöillä ax = b ja ya = b on ratkaisu joukossa A kaikilla a, b 2 A. Tehtävä 44. Olkoot G ja G 0 ryhmiä. Olkoon h : G! G 0 homomorfismi. Osoita, että h kuvaa ryhmän G neutraalialkion ryhmän G 0 neutraalialkioksi. Tehtävä 45. Anna esimerkki homomorfismista :(G, )! (E,~) siten, että (G, ) on ryhmä ja ryhmän G neutraalialkio ei kuvaudu neutraalialkioksi. Tehtävä 46. Olkoon T :SL 2 (Z)! SL 2 (Z), T (B) = t B,kuvaus,jokaliittäämatriisiin B sen transpoosin. Olkoon inv: SL 2 (Z)! SL 2 (Z) kuvaus inv(b) =B 1. Mitkä kuvauksista T, inv, T inv ja inv T ovat ryhmän SL 2 (Z) automorfismeja? Tehtävä 47. Olkoon G ryhmä, ja olkoon Aut G sen automorfismien joukko. Osoita, että Aut G on ryhmä, kun laskutoimituksena on kuvausten yhdistäminen. Tehtävä 48. Kuvaus f : R! R on kasvava, joskaikillex, y 2 R pätee f(x) f(y), kunx y. Kuvaus f : R! R on vähenevä, joskaikillex, y 2 R pätee f(x) apple f(y), kunx y. Kuvaus on monotoninen, josseonkasvavataivähenevä. Kasvavien, vähenevien ja monotonisten bijektioiden joukot ovat permutaatioryhmän Perm(R) osajoukkoja. Indusoiko kuvausten yhdistäminen laskutoimituksen näihin joukkoihin? Muodostavatko kasvavat bijektiot ryhmän? Entä vähenevät bijektiot? Entä monotoniset bijektiot? 44 Vihje: Supistussääntö. 26
Tehtävä 49. Osoita, että kaikki äärellisen ryhmän alkiot esiintyvät sen laskutaulun jokaisella rivillä ja sarakkeella täsmälleen kerran. Tehtävä 50. Varustetaan joukko A = {a, b, c, d, e} laskutoimituksella, jonkalaskutaulu on e a b c d e e a b c d a a c e d b b b d c a e c c e d b a d d b a e c Pätevätkö supistussäännöt laskutoimituksella varustetussa joukossa (A, )? Onko (A, ) ryhmä? Tehtävä 51. Olkoot X ja Y epätyhjiä joukkoja, ja olkoon f : X! Y bijektio. Osoita, että permutaatioryhmät Perm(X) ja Perm(Y ) ovat isomorfisia. Tehtävä 52. Olkoon 80 < H 3 = @ 1 x z 1 9 = 0 1 ya : x, y, z 2 R : 0 0 1 ;. Osoita, että H 3 varustettuna matriisien kertolaskulla on ryhmä. Tehtävä 53. Osoita, että tehtävässä 52 määritelty ryhmä H 3 ei ole isomorfinen ryhmän (R 3, +) kanssa. Tehtävä 54. Määritellään reaalilukujen joukossa R laskutoimitus asettamalla x y = 3p x 3 + y 3. Osoita, että (R, ) on ryhmä, joka on isomorfinen ryhmän (R, +) kanssa. Tehtävä 55. Olkoon G ryhmä. Olkoon R ryhmän G relaatio, joka määritellään säännöllä arb () a = gbg 1 jollakin g 2 G. Onko R ekvivalenssirelaatio? 52 Vihje: Propositio 1.16(1) 27