6. Symmetinen yhmä Ääellien n alkiota kootuvan joukon { 2...n} pemutaatioyhmää kututaan ymmetieki yhmäki S n.hajoitutehtävän5nojallaminkätahanan alkion joukon pemutaatioyhmä on iomofinen yhmän S n kana. Kaikkia näitä pemutaatioyhmiä voidaankin iki kutua yhmäki S n vataavalla tavalla kuin voidaan puhua abtakteita ykliitä yhmitä C n ja C.Symmetietyhmätovat yllättävän täkeitä yhmiä matematiikan ei aloilla eimekiki Galoi n teoiaa joka käittelee muun muaa polynomien algeballita atkeavuutta amoin ne tulevat vataan geometiaa takateltaea eimekiki äännölliten monikulmioiden ja monitahokkaiden ymmetiayhmiä. Tätä aamme hieman eimakua Eimekiä 6.6. Popoitio 6.. () Symmetien yhmän S n ketaluku on n!. (2) Jo n 3 niins n ei ole kommutatiivinen. Toditu. () Hajoitutehtävä. (2) Takatellaan enin tapau n =3.Olkoonσ S 3 σ() = 2 σ(2) = σ(3) = 3 ja olkoon τ S 3 τ() = τ(2) = 3 τ(3) = 2. Tällöinτ σ() = τ(2) = 3 ja σ τ() = σ() = 2 jotenσ τ τ σ. Edellä määitellyt pemutaatiot on helppo laajentaa n alkion pemutaatioiki määittelemällä kaikille n 4 pemutaatiot σ τ S n joille σ {23} = σ τ {23} = τ ja σ(k) =k = τ(k) kaikille 4 k n. Näillepemutaatioillepätee σ τ τ σ kuten tapaukea n =3. Pemutaatioilla opeointia voi havainnollitaa monilla ei tavoilla. Popoition 6. toditukea käyttämämme tapa antaa pemutaatio luettelemalla kaikkien alkioiden kuvautuminen ei ole kovin kätevää. Eimekiki euaavat kaaviot havainnollitavat Popoition 6. toditukea eiintyvien pemutaatioiden σ ja τ yhditettyjä kuvaukia τ σ ja σ τ: 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 Ykinketaitamita vaten otamme joillekin pemutaatioille käyttöön tiiviimmän mekinnän: Määitelmä 6.2. Olkoon {a a 2...a m } { 2...n} m alkion oajoukko m 2. Sykli (a a 2 a m ) on pemutaatio joka kuvaa alkion a i alkioki a i+ kaikilla i { 2...m } alkiona m alkioki a ja on identtinen kuvau oajoukon {a a 2...a m } komplementia. Syklin (a a 2 a m ) pituu on m. Joyklinpituu on m e on m-ykli. Jo yklin pituu on 2 niin itä kututaan vaihdoki eli tanpoitioki. Sanomme 2-ykliä(i i+)alkeivaihdoki eli alkeitanpoitioki. Syklien yhditettyä kuvauta mekitään ilman -mekkiä: Jo σ =(a a 2 a m ) ja τ =(b b 2 b k )niin σ τ =(a a 2 a m )(b b 2 b k ). Syklien yhditettyä kuvauta anotaan niiden tuloki. Syklit (a a 2 a m ) ja (b b 2 b k ) ovat eilliet jo {a a 2...a m } {b b 2...b k } =. 35
Popoitioa 6. ooitimme että yhmä S n ei ole kommutatiivinen kun n 3. Vaikka yhmä G ei oliikaan kommutatiivinen niin joillekin alkioille g h G pätee gh = hg. Tällöinanotaanettäg ja h kommutoivat. Lemma 6.3. Eilliet yklit kommutoivat. Toditu. Jo σ ja σ ovat eilliiä ne ovat kahden toiiaan leikkaamattoman oajoukon pemutaatioita joten väite pätee elväti. Jo f : X X on kuvau ja x X niinpiteenx ata (kuvaukella f) on O(x) = n N{f n (x)}. Lemma 6.4. Jokaien m-yklin ketaluku on m. Toditu. Olkoon σ =(a a 2 a m ).Piteena ata O(a )={a σ(a )=a 2 σ 2 (a )=a 3...σ m (a )=a m σ(a m )=a...} = {a σ(a )=a 2 σ 2 (a )=a 3...σ m (a )=a m } kootuu m piteetä ja ama pätee kaikille muillekin piteille a 2...a m.siikuvauket σ k k {2 3...m } eivätoleidenttiiäkuvaukiajaσ m = id. Väiteeuaa tätä. Eimekki 6.5. () Kaikki Popoition 6. toditukea eintyvät kuvauket ovat yklejä: σ =(2) τ =(23) τ σ =(23)(2)=(32)ja σ τ =(23)(2)=(23). Loput pemutaatioyhmän S 3 alkiot ovat vaihto (3) ja identtinen kuvau. (2) Kaikki yklin identtietä kuvauketa poikkeavat potenit eivät välttämättä ole yklejä. Eimekiki (234)(234) = (3)(24). Eimekki 6.6. Olkoon P n on äännöllinen n-kulmio euklidiea taoa jonka koodinaatit on valittu iten että monikulmion P n kekipite on 0. Monikulmion P n ymmetiayhmä kootuu otogonaalikuvaukita k O(2) joillepäteek(p n )= P n.tämäyhmäondiediyhmä D n jaenviittävätkietokulman2π/n vean kekipiteen ympäi ja heijatu valitun ymmetia-akelin uhteen. B A C Kuvauken k D n ajoittuma monikulmion P n käkien joukkoon V n määää ymmetien yhmän S n alkion. Rajoittumakuvau k k Vn on homomofimi yhmätä D n yhmään S n.seoniteaiaainjektiivinenkokaidenttinenkuvauonainoa taon lineaaikuvau joka kiinnittää kaki lineaaieti iippumatontavektoia.sii 36
D n on iomofinen yhmän S n jonkin aliyhmän kana. Rajoittumakuvau ei ole iomofimi kun n 4 kokadiediyhmääd n on 2n alkiota ja ymmetieä yhmää S n on n! alkiota. Takatelemme kahta eikoitapauta taaivuita kolmiota ja neliötä. Olkoon P 3 taaivuinen kolmio jonka käjet ovat A B ja C. KolmiollaP 3 on kuui ymmetiaa: identtinen kuvau id kieto vatapäivään kulman 2π/3 vean 2 jokaonkieto kulman 4π/3 vean amaan uuntaan ja peilauket kunkin käjen kautta kulkevien kulmanpuolittajauoien uhteen. Jo kolmio P 3 ajatellaan kolmiulotteiea avauudea R 3 kakipuoliena levynä joka iältyy taoon R 2 {0} niinkuvauketid ja 2 kuvaavat kolmion yläpuolen yläpuoleki ja muut kuvaavat yläpuolen alapuoleki. Jo on peilau käjen A kautta kulkevan ja vatakkaita ivua vataan kohtiuoan uoan uhteen on melko helppo nähdä että muut peilauket ovat ja. B (A) 2 (C) A (C) 2 (B) C (B) 2 (A) (C) (A) 2 (B) (A) (B) 2 (C) (B) (C) 2 (A) Ryhmä D 3 on iomofinen pemutaatioyhmän S 3 kana: Kun ajoitetaan ymmetiakuvauket kolmion P 3 käkiin on 3-ykli (ABC) 2 on 3-ykli (ABC) 2 = (ACB) on vaihto (BC) on vaihto (AB) ja on vaihto (AC). Diediyhmä D 4 on iomofinen yhmän (234) (4)(23) <S 4 kana. Neliön P 4 = {x R 2 : x x 2 } ymmetiat ovat lineaaikuvaukia ja ne voidaan eittää eaaliten 2 2-otogonaalimatiiien avulla: ( ) ( ) 0 0 D 4 = =. 0 0 Jokaiella diediyhmällä on vataavanlainen eity yhmän O(2) < GL 2 (R) aliyhmänä. 37
B A 2 C D Yleitämme Eimekiä 6.6 tehdyn havainnon ja ooitamme että kaikki yhmät voi halutea ajatella pemutaatioyhmien aliyhminä ääettömät yhmät tietenkin ääettömien joukkojen pemutaatioyhmien. Tätä vaten määitellään yhmän G bijektio vaen iito l g : G G alkiolla g G aettamalla l g (x) =gx kaikilla x G. Lemma 6.7. Vaen iito on bijektio. Toditu. Olkoon g G. Kuvaul g : G G on ujektio koka l g (g z)=z kaikilla z G ja upituäännön nojalla e on injektio: Jo l g (x) =l g (y) niingx = gy joten upituäännön nojalla x = y. Popoitio 6.8. Ryhmä G on iomofinen yhmän Pem(G) jonkin aliyhmän kana. Toditu. Lemman 6.7 nojalla voidaan määitellä kuvau ρ: G Pem(G) ρ(g) = l g.kuvauρ on homomofimi illä kaikille x G pätee ρ(gh)(x) =l gh (x) =(gh)x = g(hx) =l g l h (x) =ρ(g) ρ(h)(x). Supituäännötä euaa myö että ρ on injektio joten ρ: G ρ(g) < Pem(G) on iomofimi. Popoitio 6.9. Olkoon G ääellinen yhmä jonka ketaluku on n. Symmetiellä yhmällä S n on aliyhmä joka on iomofinen yhmän G kana. Toditu. Ryhmät S n ja Pem(G) ovat iomofiia joten voimme käitellä yhmää Pem(G) ja väite euaa Popoitiota 6.8 Takatelemme euaavaki ymmetien yhmän S n akennetta. Popoitio 6.0. Jokainen ykli on vaihtojen tulo. Toditu. Induktiolla on helppo ooittaa että (a a 2 a m )=(a a m )(a a m )...(a a 2 ). Todituken idea iältyy euaavaan kaavioon: 2 2 3 4 2 3 4 2 3 4 38 3 4
Ykityikohdat hajoitutehtävää 74. Popoitio 6.. Jokainen vaihto on alkeivaihtojen paiton tulo. Toditu. Koka hajoitutehtävää 73 ooitetaan että (km) =(k)(m)(k) kaikilla k m { 2...n} k m iittääooittaaettä(k) on alkeivaihtojen paiton tulo kaikilla k {2 3...n}. Vaihto(2) on alkeellinen. Oletetaan että ( k ) on alkeivaihtojen paiton tulo. Koka (k) =(k )(k k)( k ) väite euaa. Popoitio 6.2. Jokainen identtietä kuvauketa poikkeava pemutaatio voidaan eittää eilliten yklien tulona. Toditu. Jo pemutaatio τ kiinnittää piteet a a 2...a k { 2...n} iittää toditaa väite pemutaation τ ajoittumalle joukkoon { 2...n} {a a 2...a k }. Riittää ii takatella pemutaatioita jotka eivät kiinnitä yhtään pitettä. Selväti väite pätee kun n =2.OletetaanettäepäteekaikillaS k kunk n. Olkoon τ S n.joτ on ykli ei ole mitään toditettavaa joten voimme olettaa että τ ei ole ykli. Piteen ata on O() = {τ()τ 2 ()...τ k ()...}. Koka {...n} on ääellinen joukko niin täytyy olla τ q () = τ () joillain luonnolliilla luvuilla q <.Valitaan minimaaliet luvut q ja. Koka τ on bijektio täytyy olla q =0 τ () =. Tätänähdäänettä τ O() =(τ() τ 2 () τ ()). Induktio-oletuketa euaa että pemutaation τ ajoittuma pienempään joukkoon { 2...n} O() on yklien tulo joten väite on toditettu. Popoitioita 6.0 6. ja 6.2 aadaan Laue 6.3. (Alkei)vaihdot viittävät ymmetien yhmän S n. Jokaieen pemutaatioon liittyvä täkeä invaiantti on pemutaation mekki: Määitelmä 6.4. Pemutaatio σ S n on paillinen joeontulopaillieta määätä vaihtoja ja paiton joeontulopaittomatamääätävaihtoja.pemu- taation σ mekki on { jo σ on paiton ɛ(σ) = jo σ on paillinen. Seuaavaa tulokea ooitetaan muun muaa että pemutaation mekki on hyvin määitelty kuvau. Apuna käytetään antiymmetiiä kuvaukia: Olkoon X epätyhjä joukko ja olkoon (V+) additiivinen yhmä. Kuvau f : X n V on antiymmetinen jokaikillealkeivaihdoilleτ S n pätee f(x τ() x τ(2)...x τ(n) )= f(x). Popoitio 6.5. Olkoon f : X n V antiymmetinen kuvau. Tällöin jo σ on alkeivaihdon tulo. f(x σ() x σ(2)...x σ(n) )=( ) f(x) Toditu. Väite pätee elväti kun =.Oletetaanettäepäteekunσ on alkeivaihdon tulo. Olkoon σ = τ ω pemutaatio joka on alkeivaihdon tulo iten että ω on alkeivaihdon tulo ja τ on alkeivaihto. Nyt oveltamalla 39
antiymmetiyyden määitelmää alkeivaihdolla τ ja piteellä (x σ() x σ(2)...x σ(n) ) aadaan f(x σ() x σ(2)...x σ(n) )=f(x τ(ω() x τ(ω(2))...x τ(ω(n)) ) Popoition 6. avulla aadaan välittömäti = f(x ω() x ω(2)...x ω(n) )=( ) f(x). Seuau 6.6. Jo f on antiymmetinen niin kaikille vaihdoille τ S n pätee f(x τ() x τ(2)...x τ(n) )= f(x). Popoitio 6.7. Pemutaation mekki on hyvin määitelty. Toditu. Kuvau f : Z n Z f(x) = i<j n (x i x j ) on antiymmetinen (Hajoitutehtävä 76). Liäki kun muuttujan x komponentit ovat ei kokonailukuja f(x) 0. Jopemutaatioσ voidaan eittää vaihdon tulona ja toiaalta vaihdon tulona aadaan Popoition 6.5 nojalla ( ) =( ) joten mod 2. Laue 6.8. Mekki ɛ: S n { } on ainoa homomofimi pemutaatioyhmätä S n multiplikatiivieen yhmään { } jokaaavaihdoillaavon. Toditu. Hajoitutehtävää 77 ooitetaan että ɛ on homomofimi. Määitelmän mukaan ɛ(τ) = kaikille vaihdoille joten mekki on halutunlainen homomofimi. Toiaalta Laueen 6.3 nojalla alkeivaihdot viittävät koko pemutaatioyhmän joten Popoition 5.4 nojalla homomofimin ɛ avot kiinnittyvät kaikille pemutaatioille. Sii ɛ on ainoa homomofimi jolla on haluttu ominaiuu. Pemutaatioiden mekkihomomofimin ɛ: S n { } ydin on altenoiva yhmä A n jokakootuupailliitapemutaatioita. Eimekki 6.9. (a) A 3 = (23) <S 3 A 3 = C3. (b) A 4 = (23) (24) (34) (234) (2)(34) (3)(24) (4)(23) <S 4. (c) Pemutaatiot eiintyvät lineaaialgebaa deteminanttien yhteydeä: Neliömatiiin A =(a ij ) n i= deteminantti on det A = σ S n ɛ(σ)a σ() a σ(2)2 a σ(n)n. Jo neliömatiiien vektoiavauu M n amatetaan avauudeki (R n ) n eittämällä matiii A M n aakkeidena tai ivienä avulla muodoa w A = ( ) v v n =. w n niin deteminantti on antiymmetinen kuvau det: (R n ) n R: w σ() w det(v σ() v σ(2) v σ(n) )=det σ(2). = ɛ(σ)deta. w σ(n) 40
Hajoitutehtäviä. Tehtävä 69. Ooita että pemutaatioyhmän S n ketaluku on n!. Tehtävä 70. Kijoita pemutaatio (23)(24) yklinä. Tehtävä 7. Kijoita kaavioita 2 3 4 5 6 7 2 3 4 5 6 7 2 3 4 5 6 7 2 3 4 5 6 7 vataavat pemutaatiot eilliten yklien tuloina. Tehtävä 72. Kijoita pemutaatio (234)(235) eilliten yklien tulona. Tehtävä 73. Ooita että (km) =(k)(m)(k). Tehtävä 74. Täydennä Popoition 6.0 toditu induktiotoditukeki. Tehtävä 75. Ooita että S 3 = (2) (23) Tehtävä 76. Ooita että kuvau f : Z n Z f(x) = (x i x j ) on antiymmetinen. i<j n Tehtävä 77. Ooita että pemutaation mekki ɛ: S n { } on homomofimi. Olkoon euaavia tehtäviä { ( ) ( ) ( ) 0 0 0 B = 0 0 ( ) 0 ( ) 0 ( ) } 0. Tehtävä 78. Ooita ettäjoukko B vautettuna matiiien ketolakulla on yhmän GL 2 (Q) aliyhmä. Onko B yhmän SL 2 (Z) aliyhmä? Tehtävä 79. Onko yhmä B kommutatiivinen? Onko e yklinen? Luettele kaikki yhmän B aliyhmät. Tehtävä 80. Ooita että yhmä B on iomofinen pemutaatioyhmän S 3 kana. 80 Vihje: Homomofimi φ: S 3 B määäytyy ( avoita ) φ((2)) ja φ((23)). Koka(2)(2) = 0 (23)(23) = id täytyyollaφ((2)) 2 = φ((23)) 2 =. 0 4