Kvanttimekaniikka II A/S. Jani Tuorila Fysiikan laitos Oulun yliopisto

Kvanttimekaniikka II 763313A/S Jani Tuorila Fysiikan laitos Oulun yliopisto 17 huhtikuuta 015

Sisältö 1 Tilavektori 1 11 Hilbertin avaruus 3 111 Lineaarinen vektoriavaruus 3 11 Sisätulo 4 1 Hilbertin avaruuden lineaariset operaattorit 5 11 Matriisien muunnokset 7 1 Ominaisvektorit ja ominaisarvot 7 13 Hermiittiset muunnokset 9 13 Kahden tilan muodostama systeemi 11 131 Häirityn systeemin ominaistilat 1 13 Heikon ja vahvan häiriön rajat 1 133 Rabi-oskillaatiot 13 14 Yleistys ääretönulotteiseen Hilbertin avaruuteen 13 141 Numeroituva kanta 13 14 Ylinumeroituva kanta 13 143 Ominaisarvoyhtälöt ylinumeroituvassa kannassa 14 144 Jatkuva ja diskreetti spektri 15 15 Harmonisen värähtelijän käsittely algebrallisesti 15 151 Luomis- ja hävittämisoperaattorit 16 15 Normitetut ominaisvektorit 17 153 Operaattoreiden matriisiesitykset 17 154 Aaltofunktiot 18 Kulmaliikemäärä ja spin 19 1 Spin-kulmaliikemäärä 0 11 Spin- 1 1 1 Elektroni magneettikentässä Kulmaliikemäärien yhdistäminen 3 1 Clebsch-Gordan kertoimet 4 3 Ajasta riippumaton häiriöteoria 6 31 Degeneroitumaton häiriölasku 6 311 Ensimmäisen kertaluvun teoria 6 31 Toisen kertaluvun lasku 7 3 Degeneroitunut häiriölasku 7 31 Kaksinkertainen degeneraatio 7 3 Korkeamman kertaluvun degeneraatio 9 33 Vedyn hienorakenne 30 331 Suhteellisuusteoreettinen korjaus 30 33 Spin-rata -kytkentä 31 34 Zeeman-efekti 3 341 Heikon kentän Zeeman-efekti 3 34 Vahvan kentän Zeeman-efekti 3 35 Hyperhienorakenne 33 i

4 Variaatioperiaate 34 41 Heliumin perustila 35 411 Varjostus 36 4 Vetymolekyyli-ioni 36 5 Ajasta riippuvat potentiaalit 39 51 Adiabaattinen approksimaatio 39 5 Landau-Zener transitiot 41 53 Ajasta riippuva häiriöteoria 4 531 Harmooninen häiriö 43 54 Säteilyn emissio ja absorptio 43 541 Absorptio, stimuloitu emissio ja spontaani emissio 44 54 Epäkoherentit häiriöt 45 543 Spontaani emissio ja Einsteinin A ja B -kertoimet 46 544 Viritystilan elinikä 46 545 Valintasäännöt 47 6 Sironta 49 61 Klassinen sirontateoria 49 6 Kvanttisironta 50 63 Osa-aaltokehitelmä 51 64 Vaihe-siirrot 53 65 Sironnan yleinen formulointi 54 7 Jälkipuhe 57 71 EPR-paradoksi 57 7 Bellin epäyhtälö 58 73 Kloonaamattomuusteoreema 58 74 Schrödingerin kissa 58 75 Kvantti-Zeno -efekti 59 76 Quantum teleportation 60 ii

Aikatauluja (015) Luennot: Ti: 815-10, FY1103 Ke: 815-10, FY1103 Harjoitukset: Pe: 115-15, FY1103 Harjoitustehtäviä ratkaisemalla voit korottaa kurssin arvosanaasi, maksimissaan yhdellä arvosanapisteellä Tärkein hyöty harjoitusten tekemisestä on kuitenkin kurssin sisällön syvällisempi oppiminen Johdanto Tämä kurssi on suoraa jatkoa kurssille Kvanttimekaniikka I (jatkossa KMI) Tarkoituksena on jatkaa kvanttimekaanisen ajattelutavan omaksumista Kurssin aluksi paneudutaan tarkemmin aaltofunktioita yleisempään tilavektoriesitykseen, jonka avulla käydään läpi erityisesti kulmaliikemäärän muodollista teoriaa Seuraavaksi opiskellaan häiriöteoriaa, joka on tärkeä työkalu erityisesti tarkasteltaessa kvanttimekaanisen systeemin (heikkoja) vuorovaikutuksia ympäristön kanssa Lopuksi tutustutaan sirontateoriaan Kirjallisuutta: Griffiths: Introduction to Quantum Mechanics, (Pearson Prentice Hall, 005), kurssimoniste perustuu pääasiassa tähän kirjaan Saarela: Kvanttimekaniikka II (luentomoniste, 01), myös tämä on toiminut runkona kurssia laadittaessa Shankar: Principles of Quantum Mechanics, (1994), erittäin perusteellinen esitys tilavektoriesitykselle Dirac: Quantum Mechanics, (1958), klassikko Cohen-Tannoudji, Diu ja Laloë: Quantum Mechanics, (1977), aikaisemmin kurssilla käytetty mutta ehkä hieman raskas Powell & Crasemann: Quantum Mechanics (Addison- Wesley, 1965), aiemmin kurssilla käytetty Feynman: Lectures on Physics III (Addison-Wesley) 1 Tilavektori KMI-kurssilla postuloimme kvanttimekaniikan teorian seuraavasti 1 : 1 Fysikaalisen systeemin jokaista mahdollista tilaa kuvaa kompleksiarvoinen aaltofunktio Ψ(x, t) Suure Ψ(x, t) antaa todennäköisyystiheyden hiukkasen löytymiselle paikasta x ajan hetkellä t Jokaista klassisen fysiikan dynaamista suuretta Q(x, p) vastaa kvanttimekaniikassa (hermiittinen) operaattori, joka saadaan korvaamalla p i d/dx 3 Mitattaessa tilassa Ψ(x, t) olevan hiukkasen dynaamista suuretta Q(x, p) saadaan varmuudella tulokseksi jokin suuretta vastaavan hermiittisen operaattorin ˆQ ominaisarvoista Mittauksen jälkeen systeemi romahtaa mittaustulosta vastaavaan operaattorin ˆQ ominaistilaan 4 Aaltofunktion aikakehityksen määrää Schrödingerin yhtälö ĤΨ(x, t) = Ψ(x, t) m x + V (x)ψ(x, t) Ψ(x, t) = i (1) t Kohdat 1-3 määräävät miten systeemiä tulee kuvata annetulla ajanhetkellä, kohta 4 taas kertoo miten systeemi muuttuu ajassa Fysikaalisia tiloja ovat ne Schrödingerin yhtälön ratkaisut Ψ, jotka ovat normalisoituvia: Ψ dx < () Totesimme myös, että kaikkien tällaisten neliöllisesti integroituvien funktioiden joukko (L ) muodostaa vektoriavaruuden Yhdessä sisätulon ( ) f g = f(x) g(x)dx, missä f, g L, (3) kanssa L muodostaa sisätuloavaruuden, ns Hilbertin avaruuden 1 Palauta mieleen allaolevan tiivistelmän yksityiskohdat KMI -kurssin monisteesta 1

Yllä oleva kvanttimekaniikan postulointi on erityinen, mutta ei kaikkein yleisintä muotoa Esimerkiksi, KMI-kurssissa osoitettiin, että aaltofunktio voidaan aina kirjoittaa liikemääräoperaattorin ominaistilojen superpositiona: Ψ(x, t) = 1 π e ipx/ Φ(p, t)dp, (4) missä Φ(p, t) on liikemääräavaruuden aaltofunktio Funktio Φ(p, t) kuvastaa täydellisesti samaa fysikaalista tilaa kuin Ψ(x, t), ja siten voisimme kirjoittaa kvanttimekaniikan postulaatit paikkaavaruuden sijaan liikemääräavaruudessa Jatkossa tulemme huomaamaan, että aaltofunktiot Ψ ja Φ ovat yleisemmän tilavektorin Ψ(t) esityksiä (representations) paikka- ja liikemääräoperaattorin ominaiskannoissa Jotta tämä yhteys tulisi täysin selväksi, on meidän ensin tutustuttava lähemmin lineaaristen sisätuloavaruuksien (Hilbertin avaruuksien) ja niiden operaattorien matemaattiseen teoriaan Palautetaan kuitenkin ensin mieliin KMI:stä tuttu analogia tilavektorin ja kaksiulotteisen avaruuden vektorin välillä A y A y A x A Kuva 1: Vektori A ja sen esitys eri koordinaatistoissa Esimerkki: Tarkastellaan kaksiulotteisen avaruuden vektoria A = (A x, A y ) Vektorin koordinaattien A x ja A y arvot riippuvat koordinaatiston valinnasta (esim mihin origo kiinnitetään, mihin suuntaan x- akseli osoittaa jne) Vektori on kuitenkin olemassa, riippumatta koordinaatiston olemassaolosta Tämä sama pätee myös Hilbertin avaruuden vektoreille Fysikaaliset tilat ovat olemassa riippumatta koordinaatiston valinnasta Kohtaamamme aaltofunktiot y, x A y ' A A x ' x, ovat yleisemmän tilavektorin Ψ(t) (palataan tähän merkintään kohta) esityksiä valituissa koordinaatistoissa Esimerkiksi, funktio Ψ(x, t) kertoo tilan Ψ koordinaatit paikkaoperaattorin ominaisfunktioiden määräämässä kannassa: Ψ(x, t) = x Ψ(t) (5) Tätä kutsutaan paikkaesitykseksi tai Schrödingerin esitykseksi Vastaavasti liikemääräavaruuden aaltofunktio Φ(p, t) on tilan Ψ(t) koordinaatit liikemääräoperaattorin ominaisfunktioiden määräämässä kannassa: Φ(p, t) = p Ψ(t) (6) Diskreetin spektrin tapauksessa tila Ψ(t) energian ominaisfunktioiden kannassa on c n (t) = n Ψ(t) (7) Nämä kaikki kuvaavat samaa tilaa Ψ(t) eri koordinaatistoissa Dirac, joka ensimmäisenä kirjoitti kvanttimekaniikan moderniin abstraktiin muotoonsa, tulkitsi sisätulon α β kahden vektorin, bra ( α ) ja ket ( β ), välisenä operaationa Selkeästi jälkimmäinen on vektori Edellinen kuvaa ket-vektorin kompleksiluvuksi Se voidaan tulkita ns duaaliavaruuden vektoriksi, jotka ovat siis kuvauksia ket-vektoreilta kompleksiluvuille Diracin bracket-merkinnät ovat erittäin käytännollisiä kvanttimekaniikassa, koska ne mahdollistavat yksinkertaiset ja tehokkaat merkinnät Tilavektorien avulla kvanttimekaniikan postulaatit voidaan kirjoittaa muotoon: 1 Fysikaalisen systeemin jokaista mahdollista tilaa kuvaa Hilbertin avaruuden vektori Ψ(t) Jokaista klassisen fysiikan dynaamista suuretta Q(x, p) vastaa kvanttimekaniikassa (hermiittinen) operaattori, joka saadaan korvaamalla ˆQ(ˆx, ˆp) = Q(x ˆx, p ˆp) Nimitys tulee kulmasulkeista (eng bracket) joihin vektorit on kääritty

3 Mitattaessa tilassa Ψ(t) olevan hiukkasen dynaamista suuretta Q(x, p) saadaan varmuudella tulokseksi jokin suuretta vastaavan hermiittisen operaattorin ˆQ ominaisarvoista q todennäköisyydellä P (q) q Ψ(t) Mittauksen jälkeen systeemi romahtaa tilasta Ψ(t) tilaan q 4 Aaltofunktion aikakehityksen määrää Schrödingerin yhtälö Ĥ Ψ(t) = i Ψ(t), (8) t missä Ĥ(ˆx, ˆp) = H(x ˆx, p ˆp) on systeemin Hamiltonin operaattori Tarkastellaan seuraavassa yleisiä Hilbertin avaruuden ja sen operaattorien matemaattisia ominaisuuksia 11 Hilbertin avaruus Hilbertin avaruus muodostuu lineaarisesta vektoriavaruudesta, jossa on määritelty sisätulo 3 111 Lineaarinen vektoriavaruus Vektorit ovat matemaattisia suureita x, y,, jotka toteuttavat tavanomaiset lineaarisen vektoriavaruuden aksioomat 1 z = x + y x + y x + y = y + x 3 ( x + y ) + z = x + ( y + z ) 4 x + 0 = x 5 x + ( x ) = 0 6 a ( x + y ) = a x + a y a on kompleksiluku Lineaarinen riippuvuus: Vektorit x 1,, x N ovat lineaarisesti riippuvia, 3 Lisäksi täytyy olettaa, että Cauchyn jonot suppenevat (sisätuloavaruus on täydellinen) Täydellisyys tarkasteluja ei yleensä kvanttimekaniikassa tehdä vaan lähes poikkeuksetta voidaan olettaa, että tilavektorit kuuluvat Hilbertin avaruuteen mikäli on olemassa kompleksiluvut c 1,, c N, joista kaikki eivät ole nollia siten, että c 1 x 1 + c x + + c N x N = 0 Kantavektorijärjestelmä: Jos on olemassa N lineaarisesti riippumatonta vektoria 1,,, N siten, että jokainen N-ulotteisen avaruuden vektori x voidaan esittää muodossa x = N x i i (9) i=1 sanotaan, että vektorit i muodostavat kannan, joka virittää N-ulotteisen vektoriavaruuden R N Kompleksiluvut x i ovat vektorin x komponentteja eli koordinaatteja Tässä koordinaattiesityksessä vektorit usein esitetään pystyvektoreina (pylväsmatriisina) 4 : x 1 x x = x 3 x N Koordinaatit helpottavat usein laskutoimituksia; esimerkiksi kahden vektorin summa saadaan laskemalla yhteen vastinkomponentit: x + y = x 1 x x 3 x N + y 1 y y 3 y N x 1 + y 1 x + y = x 3 + y 3 x N + y N Komponenttien lukuarvot riippuvat luonnollisesti kannan valinnasta Tämän seurauksena saman kvanttimekaanisen ongelman vaikeusaste voi muuttuu kannan vaihdoksella Sen vuoksi käytännön ongelmien ratkaisemisessa onkin erinomaisen hyödyllistä oppia valitsemaan kanta oikein 5 4 Yhtäsuuruus tarkoittaa oikeammin siis: Voidaan esittää kannassa i kuten 5 Yksiselitteistä määritelmää oikealle kannalle ei voi antaa vaan se riippuu ongelman asettelusta ja yksityiskohdista 3

Rajoitetaan yksinkertaisuuden vuoksi seuraavassa tarkastelu äärelliseen kantaan, ja yleistetään käsittely ääretönulotteisiin vektoriavaruuksiin myöhemmin 11 Sisätulo Kaksiulotteisen reaaliavaruuden vektoreille A = A x î + A y ĵ ja B = B x î + B y ĵ sisätulo (pistetulo) määritellään seuraavasti: Pistetulolla on ominaisuudet A B = A x B x + A y B y (10) 1 A B = B A A (ab + bc) = aa B + ba C 3 A A 0 4 A A = 0 A = 0, missä a, b ovat reaalisia vakioita Yleistetään tämä sisätulon käsite abstraktiin (kompleksiseen) lineaariseen vektoriavaruuteen Sisätulo: Jokaiseen lineaarisen vektoriavaruuden vektoripariin x ja y liittyy kompleksiluku (x, y) x y siten, että 1 x y = y x x (a y + b z ) x ay + x bz a x y + b x z 3 x x 0 4 x x = 0 x = 0 Vektoriavaruus jossa on sisätulo on sisätuloavaruus (Hilbertin avaruus) Vektorin pituus: Koska x x 0 voidaan määritellä normi: x x x, (11) joka yleistää vektorin pituuden käsitteen Vektoria, jonka pituus x = 1 sanotaan yksikkövektoriksi tai normalisoiduksi Ortogonaalisuus: Vektorit x ja y ovat ortogonaalisia, mikäli niiden skalaaritulo on nolla x y = 0 Tämä yleistää kohtisuoruuden käsitteen Ortonormalisuus: Jos vektorit x ja y ovat sekä ortogonaalisia että normalisoituja, niin sanotaan että ne ovat ortonormaaleja On aina mahdollista (Gram-Schmidtin teoreema), ja lähes aina myös käytännöllistä, valita kantavektorit siten, että ne ovat keskenään ortonormaaleja: { 1, jos i = j i j = i j = δ 0, jos i j ij (1) Tällöin kantavektorijärjestelmää kutsutaan ortonormaaliksi Nämä ovat sisätulon määritelmästä seuraavia yleisiä ominaisuuksia Mutta: miten sisätulo lasketaan, jos voidaan olettaa, että kanta on valittu? Sisätulon aksioomista seuraa, että mielivaltaisessa kannassa x y = x i y j i j (13) i j Tarvitsee siis tietää vain kantavektorien sisätulot Gram-Schmidtin teoreeman nojalla voimme olettaa, että kantamme on ortonormaali Siten x y = i x i y i (14) Näemme, että kahden vektorin x ja y sisätulo x y saadaan laskemalla matriisitulo vektorin x hermiten transpoosin 6 ja vektorin y välillä: x y = Erityisesti, x 1 x x N x x = i y 1 y y N = (x 1x x N) x i x i = i y 1 y y N (15) x i (16) Lisäksi vektorin x komponentit ortonormaalissa kannassa saadaan laskemalla N j x = x i j i = c j x = i=1 N i x i (17) i=1 6 Hermiten transpoosi = transpoosi + kompleksikojugaatti, merkitään 4

Duaaliavaruus: Aikaisemmin totesimme, että jokainen Hilbertin avaruuden vektori voidaan esittää pystyvektorina, kun kanta on valittu Tämän voi kääntää myös toisinpäin: Jokaista pystyvektoria vastaa jokin yksikäsitteinen abstraktin Hilbertin avaruuden vektori Osoittautuu, että voimme tehdä tämän saman myös vaakavektoreille Jokaista vaakavektoria vastaa vektori abstraktissa Hilbertin avaruudessa, jota kutsumme tila-avaruutemme duaaliavaruudeksi Erityisesti, jokaista vektoria x vastaa duaaliavaruuden vektori x, joka saadaan laskemalla vektorin x pystyvektoriesityksen hermiten transpoosi Käyttämällä duaaliavaruuden käsitettä voidaan sisätulot ajatella duaaliavaruuden ja tila-avaruuden vektorien tuloina: bra ket {}}{{}}{ x y = x y (18) Johtuen sisätulon merkintätavasta (bracket), Dirac alkoi kutsua duaaliavaruuden vektoreita bra - vektoreiksi ja tila-avaruuden vektoreita ket - vektoreiksi Duaaliavaruuden käsitte on tärkeä sisätuloavaruuksien matemaattisessa teoriassa, mutta sen omaksuminen ei ole kvanttimekaniikan kannalta välttämätöntä Tärkeintä on muistaa miten sisätulot lasketaan, kun kanta on tiedossa (kaava (14)) 1 Hilbertin avaruuden lineaariset operaattorit Kvanttimekaniikan teoriassa mitattavia dynaamisia suureita vastaavat (hermiittiset) operaattorit Hilbertin avaruudessa operaattorilla ˆT tarkoitetaan kuvausta vektorilta x vektorille y : y = ˆT x ˆT x (19) Kvanttimekaniikassa esiintyvät operaattorit ovat lineaarisia: ˆT (a x + b y ) = a( ˆT x ) + b( ˆT y ) (0) Kun kanta { j } on valittu, oleellista on selvittää miten kantavektorit muuntuvat kuvauksessa: ˆT j = i T ij i (1) Tällöin ˆT x = j ( ) ( x j ˆT j = T ij x j ) i () Toisin sanoen, operaatio ˆT kuvaa vektorin, jonka komponentit ovat x i vektoriksi, jonka komponentit ovat x i = T ij x j (3) j Elementtejä T ij on kaikkiaan N kappaletta ja ne määrittelevät yksikäsitteisesti kuvauksen ˆT (ko kannassa), samaan tapaan kuin N kappaletta komponentteja x i määräävät vektorin x Jos kanta on ortonormaali, niin i j T ij = i ˆT j (4) Nämä kompleksiluvut on käytännöllistä kirjoittaa matriisimuotoon 7 : T 11 T 1 T 1N T 1 T T N ˆT = (5) T N1 T N T NN Ylläolevan johdosta kompleksilukuja T ij kutsutaan matriisielementeiksi Kun (ortonormaali) kanta on kiinnitetty, voidaan lineaariset operaatiot siis kirjoittaa matriisimuodossa: y 1 T 11 T 1 T 1N x 1 y = T 1 T T N x y N x N T N1 T N T NN (6) Lineearisten kuvausten teoria palautuu siten matriisilaskennaksi Erityisesti, jos ˆT ja Ŝ ovat lineaarisia kuvauksia, saadaan Û = Ŝ + ˆT, missä U ij = S ij + T ij Û = Ŝ ˆT, missä U ij = k S ikt kj 7 Jälleen kerran: yhtäsuuruus tarkoittaa että operaattorin esitys valitussa kannassa voidaan kirjoittaa muotoon 5

Toisin sanoen, kahden operaattorin summa voidaan esittää niitä vastaavien matriisien summana, ja tulo niitä vastaavien matriisien tulona Samaan tapaan kuin vektoreille, operaattorit voidaan nyt esittää kompaktisti käyttäen Diracin merkintöjä: Lause 1 Operaattori ˆT = N m,n=1 T mn m n (7) on matriisi, jonka matriisielementit ovat kompleksilukuja T mn Todistus Muodostetaan operaattorin T matriisielementti i ˆT j = N m,n=1 T mn i m }{{} δ im n j }{{} δ nj = T ij (8) Huomaa, että on syytä olla erityisen huolellinen ket- ja bra-vektorien järjestyksen kanssa; Kun ketvektoria x kerrotaan vasemmalta bra-vektorilla y saadaan kompleksiluku y x (sisätulo) Kun vektorien järjestys tulossa vaihdetaan, saadaan operaattori x y Diracin merkinnöillä vältetään suurten matriisien kirjoittaminen, joka tehostaa laskutoimitusten tekemistä Esimerkiksi: Lasketaan operaattorien ˆT ja Ŝ tulo ˆT Ŝ = T mn m n S kl k l m,n k,l = T mn S kl m l n k k,l,m,n = k,l,m T mk S kl m l }{{} δ nk Tuloksena on operaattori, jonka matriisielementit ovat ( ˆT Ŝ) ij = k T ik S kj täsmälleen samoin kuin matriisien kertolaskussa Projektio-operaattorit: Jos operaattorin ˆT määritelmässä summaus yli m:n tai n:n on rajoitettu siten, että m ja n eivät saa kaikkia arvoja 1:stä N:ään, saadaan projektiooperaattori Esimerkiksi Siten ˆT = ˆT x = C 1 i ˆT = C 1 { T1 = C T ij = 0 muulloin 0 C 0 0 x i i = C i =δ i {}}{ x i 1 i = Cx 1 (9) Yksikköoperaattori: Käytännössä tarvitaan usein yksikköoperaattorin koordinaattiesitystä 8 I = N m=1 j I i = m m m j m }{{} δ jm m i }{{} δ im = δ ij Matriisien kertolasku: Tavallisesta matriisilaskennasta tuttu sääntö on Ĉ = ˆT Ŝ, C N mn = T mk S kn (30) k=1 Käyttämällä edellä esitettyä yksikköoperaattoria saamme C mn = m Ĉ n = m ˆT Ŝ n = m ˆT IŜ n 8 Tarkista itse, että tämä todella on yksikköoperaattori! 6

= m ˆT N k k Ŝ n = k = k k=1 m ˆT k k Ŝ n A mk B kn Olemme näin pukeneet operaattorit tavallisen vektori- ja matriisilaskennan muotoon, joka parhaiten soveltuu kvanttimekaniikan esittämiseen 11 Matriisien muunnokset Olkoon T matriisi 9, jonka elementit ovat i T j = T ij Transponoitu matriisi (merkitään T T tai T ): T T ij = T ji eli i T T j = j T i (31) Kompleksikonjugaatti: (T ) ij = T ij eli i T j = i T j (3) Hermitén transpoosi (konjugaatti): T ij = (T T ) ij = T ji Käänteismatriisi T 1 : eli i T j = j T i T 1 T = T T 1 = I (33) Käänteismatriisi on olemassa jos ja vain jos matriisin determinantti on eri suuri kuin nolla, det T 0 Jos det T = 0, sanotaan että matriisi T on singulaarinen Matriisien perustyypit: Symmetrinen: T T = T eli i T T j = i T j Antisymmetrinen: T T = T 9 Tästä eteenpäin jätän hatun merkitsemättä operaattorin päältä, jos asiayhteydestä selviää että kyseessä on operaattori Hermiittinen: T = T eli i T j = j T i = i T j Reaalinen: T = T Unitaarinen: T = T 1 eli T T = T T = I Tulon konjugointi: (T S) = S T i (T S) j = j T S i = i S T j On syytä myös muistaa, että yleisesti ottaen matriisien tulo ei kommutoi (T S ST ) Kahden neliömatriisin tulon kommutointia voidaan luonnehtia kommutaattorilla: [T, S] = T S ST (34) Kommutaattoreilla on tärkeä osa kvanttimekaniikan teoriassa, niin kuin KMI-kurssista muistamme Matriisifunktiot: Olkoon T ei-singulaarinen matriisi ja f(x) funktio, jonka Taylorin sarja on f(x) = a 0 + a 1 x + a x + (35) Voimme määritellä matriisifunktion f(t ) = a 0 I + a 1 T + a T + (36) Esimerkki: e T = I + T + T! + Huomaa: Jos [T, S] 0, niin e T e S e T +S Jos sarjakehitelmiin otetaan mukaan vain termit neliöllisiä termejä myöten, niin e T e S = e T +S+ 1 [T,S] 1 Ominaisvektorit ja ominaisarvot Vektoreita λ, jotka säilyvät muuttumattomina lineaarisessa muunnoksessa T (skalaarilla kertomista lukuunottamatta) kutsutaan muunnoksen T ominaisvektoreiksi, ja vastaavia kompleksilukukertoimia kutsutaan muunnoksen ominaisarvoiksi 10 : T λ = λ λ (37) 10 Huomaa, että vaikka nollavektori toteuttaa ominaisarvoyhtälön kaikilla T ja λ, sitä ei kuitenkaan lasketa ominaisvektoriksi 7

Yllä olevaa yhtälöä kutsutaan lineaarisen kuvauksen T ominaisarvoyhtälöksi Muodollisesti ominaisarvoyhtälö voidaan kirjoittaa muotoon: (T λi) λ = 0 (38) Mielivaltaisessa kannassa i saadaan N (T ik λδ ik )λ k = 0, i = 1,, N (39) k=1 Toisin sanoen, kun kanta on valittu palautuu ominaisarvoyhtälön ratkaiseminen homogeenisen lineaarisen yhtälöryhmän ratkaisemiseksi Yhtälöryhmällä on ei-triviaali ratkaisu, kun sen kerroinmatriisin determinantti on nolla: det(t λi) = (T 11 λ) T 1 T 1N T 1 (T λ) T N = 0 T N1 T N (T NN λ) Tämän yhtälön ratkaisuna saadaan N kappaletta ominaisarvoja λ Matriisin kaikkien ominaisarvojen joukkoa sanotaan spektriksi Jos kahdella tai useammalla lineaarisesti riippumattomalla ominaisvektorilla on sama ominaisarvo, sanotaan että spektri on degeneroitunut Ominaisvektorit saadaan sijoittamalla ominaisarvot ominaisarvoyhtälöön ja laskemalla käsin Jos matriisin ominaisvektorit virittävät avaruuden, voidaan niitä käyttää kantana Ominaisvektoriensa virittämässä kannassa kuvaus T on diagonaalinen: T = λ 1 0 0 0 λ 0 0 0 λ N (40) Lisäksi (normalisoidut) ominaisvektorit ovat muotoa: 1 0 0 0 1 0 0, 0,, 1 (41) Matriisi, joka kannanvaihdoksella saadaan diagonaaliseen muotoon on diagonalisoituva Voidaan osoittaa että (vanhassa kannassa) diagonalisointi voidaan toteuttaa muunnosmatriisilla, jonka käänteismatriisin S 1 pystyrivit muodostuvat diagonalisoitavan matriisin ominaisvektoreista: i S 1 j = i λ j (4) Voidaan myös osoittaa, että jokainen normaali matriisi N ([N, N] = 0) on diagonalisoituva Kvanttimekaniikan kannalta tärkeää on se, että erityisesti hermiittiset ja unitaariset matriisit ovat tämän nojalla diagonalisoituvia Kannan muutos ja unitaarinen matriisi Niin vektorien kuin matriisien komponenttien arvot riippuvat valitusta kannasta Tarkastellaan seuraavassa miten nämä komponentit muuttuvat, kun vaihdamme kannasta toiseen Vanhat kantavektorit e i ovat, kuten kaikki muutkin vektorit, lineaarikombinaatioita uusista, f i : e j = N S ij f i, (j = 1,, N), (43) i=1 missä S ij ovat kompleksilukuja Kannanvaihto itsessään on siis lineaarinen kuvaus Mielivaltaisen vektorin x e = x e i e i 11 komponentit muuntuvat kuten N x f i = S ij x e i, (44) j=1 joka matriisimuodossa voidaan kirjoittaa x f = S x e Tarkastellaan sitten miten lineaarinen kuvaus T muuntuu kannanvaihdossa Vanhassa kannassa y e = T e x e (45) Uudessa kannassa yhtälö voidaan kirjoittaa muotoon 1 y f = S e y e = S e (T e x e }{{} ) = S e T e (S e ) 1 x f (S e ) 1 x f (46) 11 Yläindeksi kertoo, että vektori on esitetty kannassa e i 1 Huomaa, että S 1 on aina olemassa; jos ei olisi, niin { f i } ei olisi kanta 8

Siten, uudessa kannassa selvästi 13 T f = S e T e (S e ) 1 (47) Yleisesti ottaen, matriisit T 1 ja T ovat similaariset, jos T = ST 1 S 1 jollain (ei-singulaarisella) matriisilla S Erityisesti, lineaarisen kuvauksen esitykset eri kannoissa ovat similaariset Lause Ortonormaaleista kantavektoreista e 1, e,, e N voidaan matriisitransformaatiolla U siirtyä uusiin ortonormaaleihin kantavektoreihin f 1, f,, f N silloin ja vain silloin, kun muunnosmatriisi U on unitaarinen Silloin tapaus: Jos U on unitaarinen ja f i = U e i, niin silloin f i f j = δ ij Todistus: f i = f i = (U e i ) = e i U f i f j = e i U U e j = e i e j = δ ij mot Vain silloin tapaus: Jos kantavektorit ovat ortonormaaleja, niin silloin U on unitaarinen Todistus: f i f j = f i e k e k f j k e k f i = e k U e i = U ki f i e k = U ki e k f j = e k U e j = U kj f i f j = k U ki U kj = k = ( U U ) ij = δ ij (Ũ) ik U kj Koska työskentelemme aina ortonormaaleissa kannoissa, tarkastelemme pääsääntöisesti vain unitaarisia similariteettimuunnoksia Unitaarisilla muunnoksilla on viisi tärkeää ominaisuutta: 13 Yläindeksit tarkoittavat, että ko suureet on ajateltava matriiseina, ja merkitsevät missä kannassa ko suure tulee kirjoittaa 1: Sisätulon säilyminen: x f y f = x e U U y e = x e y e : Matriisin determinantin säilyminen: det T f = det(u e T e (U e ) 1 ) = det(u e ) det(t e ) det((u e ) 1 ) = det(t e ) 3: Ominaisarvoyhtälön T e λ e = λ λ e säilyminen: U e T e λ e = =T f = λ f {}}{{}}{ U e T e (U e ) 1 U e λ e = λ λ f 4: Ominaisarvot muotoa λ = e iφ, missä φ on reaalinen: U λ = λ λ Siten 5: Jäljen 14 säilyminen: λ U U λ = λ λ λ λ = 1 λ = e iφ Tr(T f ) = Tr(U e T e (U e ) 1 ) = Tr(T e ), missä on käytetty jäljen syklisyyttä Tr(T 1 T ) = Tr(T T 1 ) Vaikka matriisielementit muuntuvat muunnoksissa, voidaan annetusta matriisista laskea kaksi suuretta, determinantti ja jälki, jotka pysyvät muunnoksessa muuttumattomina 13 Hermiittiset muunnokset Hermiittiset muunnokset ovat tärkeitä kvanttimekaniikassa, joten tarkastellaan niitä lähemmin Aikaisemmin määrittelimme matriisin hermiten transpoosin sen transpoosin kompleksikonjugaattina: T = (T T ) Yleisemmin lineaariselle 14 Lineaarisen kuvauksen jälki (trace) määritellään kuten: Tr(T ) = i T ii 9

kuvaukselle hermiten konjugaatti määritellään seuraavasti: T α β ( T α ) β = α T β (48) Sanallisesti: hermiten transpoosi on sellainen kuvaus T, jolla vektorin T α sisätulo vektorin β kanssa antaa saman tuloksen kuin vektorien α ja T β sisätulo Hermiittiset muunnokset toteuttavat ehdon T = T Toisin sanoen, laskettaessa sisätuloa ei ole väliä kumpaan tulon vektoriin (hermiittisellä) muunnoksella operoidaan Listataan vielä lopuksi muutama hermiittisten kuvausten tärkeä ominaisuus: 1 Hermiittisen muunnoksen ominaisarvot ovat reaalisia todistus: Olkoon α kuvauksen T ominaisarvo: T α = α α Siten Toisaalta, koska T = T, niin α T α = α α α (49) α T α = T α α = α α α (50) Hermiittisen kuvauksen ominaisvektorit ovat ortogonaalisia todistus: Olkoon T α = α α ja T β = β β, missä α β Nyt Siten α β = 0 15 α T β = β α β = α α β (51) 3 Hermiittisen kuvauksen ominaisvektorit virittävät avaruuden todistus: Tämä todettiin jo aikaisemmin diagonalisoituvuuden käsitteen yhteydessä 4 Kaksi hermiittistä kuvausta voidaan diagonalisoida samalla unitaarisella muunnoksella jos ja vain jos kuvaukset kommutoivat 1 todistus: Oletamme ensin, että Ā = UAU on diagonaalinen, jolloin matriisielementit ovat 15 Tässä todistus tehtiin degeneroitumattomille tiloille, mutta tulos pätee yleisemmin myös degeneroituneille ominaisarvoille (todistus sivuutetaan) Ā ij = a i δ ij Lisäksi oletamme, että AB BA = 0 Osoitetaan sitten, että B = UBU 1 on diagonaalinen Olettamuksesta seuraa, että myös U(AB BA)U 1 = 0 eli UAU 1 UBU 1 UBU 1 UAU 1 = 0 Ā B BĀ = 0 Lasketaan matriisielementti ij ja käytetään hyväksi Ā:n diagonaalisuutta i Ā k k B j = i B k k Ā j k k λ i i B j = λ j i B j (λ i λ j ) i B j = 0 Jos degeneraatiota ei ole, niin λ i λ j, kun i j Kun i = j, niin silloin i B j = 0 (5) i B i = b i, (53) missä α i on vakio Matriisi B on siis diagonaalinen i B j = α i δ ij mot (54) Toiseksi oletamme, että B ja Ā ovat diagonaalisia Ā ij = a i δ ij B ij = b i δ ij Osoitetaan, että AB BA = 0 Lasketaan kommutaattorin matriisielementti j ( Ā B BĀ) i = (a j b j b j a j )δ ij = 0 10

Koska kaikki matriisielementit ovat nollia, niin 0 = Ā B BĀ = UAU 1 UBU 1 UBU 1 UAU 1 = U(AB BA)U 1 AB BA = 0 mot Degeneroituneessa tapauksessa kun degeneraatio on f-kertainen, on mahdollista löytää f kpl keskenään ortogonaalista vektoria a l, jotka kuuluvat samaan A:n ominaisarvoon a Ominaisvektorit eivät ole yksikäsitteisesti määriteltyjä Ominaisvektorijoukkoon a l, l = 1,,, f voidaan soveltaa mielivaltainen unitaarinen muunnos a l = U a l ja uudet vektorit ovat yhtä hyviä ortonormaalisia ominaisvektoreita Yksikäsitteisyyteen päästää usein käyttämällä hyväksi A:n kanssa kommutoivan matriisin B ja matriisin A yhteisiä ominaisvektoreita Mikäli tämäkään ei riitä yksikäsitteisyyteen, on käytettävä kolmannen kommutoivan matriisin C ominaisvektoreita jne A a = a a BA a = ab a = AB a A Ba = a Ba, joten myös Ba = ā on A:n ominaisarvoon a liittyvä ominaisvektori Sivuutetaan tässä tämän todistus 13 Kahden tilan muodostama systeemi Tarkastellaan yllä esiteltyä kvanttimekaniikan muodollista esitystä mahdollisimman yksinkertaisessa tapauksessa: systeemissä, joka muodostuu kahdesta stationaarisesta tilasta Joissain tapauksissa systeemin voi katsoa muodostuvan kahdesta melkein degeneroituneesta tilasta sekä muista, energiassa kaukana olevista, tiloista Näin tapahtuu esimerkiksi H + -ionin sidoksessa, jossa elektroni voi olla sidottu kummalle tahansa protoneista On syytä kuitenkin korostaa, että yksinkertaisuudestaan huolimatta kaksitilamalli on äärimmäisen käytännöllinen esimerkiksi spin- 1 hiukkasten, ydinmagneettisen resonanssin (NMR), spektriviivojen, ja yleisemminkin aineen ja säteilyn vuorovaikutuksen ymmärtämisessä Eräs moderni kaksitilasysteemin sovelluskohde on kvanttilaskenta, jossa digitaalisten tietokoneiden rakennuspalikat, bitit, on korvattu kvanttibiteillä eli kubiteilla 16 ; kvanttimekaanisilla kaksitasosysteemeillä, jotka digitaalisten tilojen 0 ja 1 sijaan voivat olla missä tahansa kantatilojen 0 ja 1 lineaarisessa (kompleksisessa) superpositiossa Voidaan osoittaa, että kubiteista rakennetut kvanttitietokoneet mahdollistavat tietyt, klassisilla tietokoneilla vaikeat, laskennalliset ongelmat (esim suurten kokonaislukujen tekijöihin jako, tietokantahaku, jne) Tarkastellaan siis kahdesta Hamiltonin operaattorin H 0 ominaistilasta, 0 ja 1, muodostuvaa systeemiä: H 0 0 = E 0 0, (55) H 0 1 = E 1 1 (56) Ominaistilojen muodostamassa kannassa Hamiltonin operaattori voidaan kirjoittaa muotoon H 0 = E 0 0 0 + E 1 1 1 (57) = E ( ) 1 E 0 1 0 ω 0 0 1 σ z, (58) missä olemme ottaneet käyttöön atomifysiikassa tunnetun merkinnän transitioenergialle: ω 0 = E 1 E 0 17 Toisella rivillä on siirretty energian nollataso kohtaan (E 0 +E 1 )/, ts mitataan energiat E 0 ja E 1 suhteessa keskiarvoon Paulin spin-matriisit määritellään kuten σ x = ( 0 1 1 0 ) ( 0 i, σ y = i 0 ) ( 1 0, σ z = 0 1 (59) Yleisesti voidaan osoittaa, että mikä tahansa hermiittinen -matriisi voidaan esittää Paulin spinmatriisien ja yksikkömatriisin lineaarikombinaationa (harjoitus) 16 qubit = quantum bit 17 Atomifysiikassa spektrit mitataan yleensä kulmataajuusyksiköissä Sen vuoksi tapana on kirjoittaa myös energiat skaalattuna vakiolla ) 11

Vuorovaikutukset ympäröivän maailman (esim sähkö/magneettikenttä) aiheuttavat muutoksia systeemin Hamiltoniin Yleisyyden kärsimättä voidaan olettaa, että tällaiset häiriöt ovat muotoa 18 ( ) 0 g H 1 = = Re(g)σ g 0 x + Im(g)σ y (60) Häiriön seurauksena tilat 0 ja 1 eivät enää ole systeemin Hamiltonin operaattorin H = H 0 + H 1 ominaistiloja 131 Häirityn systeemin ominaistilat Häirityn systeemin ominaisarvot saadaan ratkaisemalla karakteristinen yhtälö: det(h ω I) = (ω 0 ω)/ g g (ω 0 + ω)/ = 0 (61) Siten energian uudet ominaisarvot ovat E ± = ω ± = ± ω0 + 4 g (6) Laskutoimitusten helpottamiseksi voidaan Hamiltonin operaattori kirjoittaa nyt muotoon H = ω0 + 4 g ( ) cos θσ z +sin θ(cos φσ x +sin φσ y, (63) missä ω 0 cos θ = (64) ω 0 + 4 g sin θ = Ominaistiloja g ω 0 + 4 g, 0 θ π (65) g = g e iφ, 0 φ π (66) ± = α ± 0 + β ± 1 ratkaistaessa voidaan ominaisarvoyhtälön H ± = ω ± ± lisäksi vaatia, että tilat ovat ortonormaaleja: + + = = α ± + β ± = 1, + = 0 (67) 18 Häiriön mahdollinen diagonaaliosa voidaan sisällyttää ω 0 :aan Kirjoittamalla Hamiltonin operaattori kulmien θ ja φ avulla, kuten yllä, saadaan ortonormaaleiksi ominaistiloiksi: = cos θ 0 sin θ e iφ 1 (68) + = sin θ eiφ 0 + cos θ 1 (69) Nähdään siis että tilat 0 ja 1 eivät ole häirityn systeemin ominaistiloja Oletetaan jatkossa, yleisyyden kärsimättä, että g = g jolloin φ = 0 13 Heikon ja vahvan häiriön rajat Oletetaan ensin, että häiriö on pieni verrattuna transition suuruuteen, eli ollaan pienen kytkennän rajalla missä g ω 0 Tällöin ja ω ± = ± ω 0 + 4g ±(ω 0 + g + ) (70) ω 0 0 g ω 0 1 (71) + g ω 0 0 + 1, (7) sillä cos θ 1 θ g/ω 0 Toisin sanoen poikkeamat häiriöttömistä ominaistiloista ovat pieniä kun g 0 Lisäksi häiriö pienentää perustilan energiaa ja kasvattaa viritystilan energiaa Siten kytketyn systeemin perustila on aina enemmän sidottu kuin kytkemättömän Vastaavasti, jos oletetaan suuri kytkentä, g ω 0, saadaan ja ω ± = ± ω0 + 4g ±(g + ω 0 4g + ) (73) 1 ) (( 0 1 (74) + 1 ) ( 0 + 1, (75) sillä cos θ 0 θ π/ 1

133 Rabi-oskillaatiot Korostaaksemme häiriön aiheuttamaa muutosta Hamiltonin ominaistiloihin, tarkastellaan ajan hetkellä t = 0 tilassa 141 Numeroituva kanta Oletetaan ensin, että kanta on numeroituva eli { i i N} Tällöin aikaisemmin esitetyt tulokset yleistyvät suoraviivaisesti Erityisesti: ψ(0) = 0 = cos θ + sin θ + olevan kaksitilasysteemin aikakehitystä Häiriöttömässä tapauksessa (g = 0) 0 on Hamiltonin operaattorin ominaistila, eli stationaarinen tila, ja siten ψ(t) = e iω0t/ 0 Kun kytkentä g > 0, on alkutila kahden stationaarisen tilan ja + superpositio, ja siten aikakehitys on muotoa ψ(t) = e iω t/ cos θ + e iω+t/ sin θ + (76) Tästä johtuen todennäköisyysamplitudi löytää systeemi tilasta 1 ei ole enää nolla: Siten todennäköisyys P 1 (t) että systeemi löytyy tilasta 1 on P 1 (t) = 1 ψ(t) (77) = 1 [ ( )] ω+ ω sin θ 1 cos t (78) = g ( (ω 0 /) + g sin (ω 0 /) + g t ) (79) Tätä kutsutaan Rabin kaavaksi, ja sen kuvaamia populaation oskillaatioita Rabin oskillaatioksi 14 Yleistys ääretönulotteiseen Hilbertin avaruuteen Tarkastellaan tilannetta missä Hilbertin avaruuden ulottuvuuksien lukumäärä N Kantatiloja voi nyt olla joko numeroituva (esim energian ominaistilat äärettömässä potentiaalikuopassa tai harmoonisen värähtelijän potentiaalissa) ylinumeroituva (esim paikkaoperaattorin ominaistilat ja äärellisten potentiaalien sirontatilat) määrä Tarkastellaan näitä kahta tapausta erikseen i j = δ ij (80) Î = i i (81) ψ = ˆT = φ ψ = i=1 i ψ i ψ i i (8) i=1 i=1 T ij i j (83) i,j=1 φ i ψ i (84) i=1 1 ψ(t) = e iω t/ cos θ 1 + e iω+t/ sin θ Näin ollen äärettömässä, numeroituvassa kannassa tilat voidaan esittää äärettömänä pystyvektori- 1 + = 1 ( sin θ e iω t/ + e ) iω+t/ na ja lineaariset kuvaukset (operaattorit) - matriiseina Lisäksi kvanttimekaniikassa postuloidaan, että äärettömän spektrin omaavan hermiittisen operaattorin ominaistilat muodostavat täydellisen kannan 19 14 Ylinumeroituva kanta Tarkastellaan sitten tilannetta, jossa kantatilat muodostavat ylinumeroituvan joukon Tällaisia ovat esimerkiksi paikkaoperaattorin ominaistilat: ˆx x = x x, (85) missä x R Numeroituvan tapauksen tapaan postuloidaan, että nämä muodostavat kannan KMIkurssista muistetaan, että sisätulo täytyy nyt määritellä Diracin delta-funktion avulla: x x = δ(x x ) (86) Ylinumeroituvuudesta seuraa myös, että summaukset on muutettava integroinneiksi: Î = x x dx (87) 19 Postulointi tarvitaan, koska yleisessä tapauksessa tätä ei voida todistaa, kts KMI 13

ψ = ˆT = φ ψ = x ψ x dx ψ(x) x dx(88) x ˆT x x x dxdx (89) T (x, x ) x x dxdx (90) φ (x)ψ(x)dx (91) Nähdään, että ylinumeroituvassa kannassa tilavektorien komponentit korvataan jatkuvilla funktioila ψ(x) ja lineaariset kuvaukset integraalimuunnoksen ytimillä (kernel) T (x, x ) Todennäköisyystiheys sille, että kappale löytyy paikasta x saadaan edelleen laskemalla ψ(x) (9) On syytä korostaa, että yllä oleva ei ole pelkästään paikkaoperaattorin ominaiskannalle rajoitettu vaan voidaan yleistää mille tahansa jatkuvan spektrin omaavan hermiittisen operaattorin ominaiskannalle Osoitetaan seuraavassa, että paikkaoperaattorin ominaiskannassa esitettynä Hamiltonin operaattorin ominaisarvoyhtälö palautuu Schrödingerin yhtälöksi 143 Ominaisarvoyhtälöt ylinumeroituvassa kannassa Ylinumeroituvassa kannassa mielivaltaiseen hermiittiseen operaattoriin liittyvä ominaisarvoyhtälö on integraaliyhtälö Esimerkki: Liikemäärä operaattorin ominaisarvoyhtälö ˆp p = p p (93) voidaan kirjoittaa paikkaoperaattorin ominaiskannassa muodossa x ˆp p = = i x ˆp x x p dx (94) [ ] d dx δ(x x ) x p dx (95) = i d x p = p x p, (96) dx missä on käytetty osittaisintegrointia ja postulaattia 0 x ˆp x = i d dx δ(x x ) (97) Funktio ψ p (x) x p on liikemäärän ominaistilan esitys paikkaoperaattorin ominaiskannassa Kun valitaan normalisaatio kuten KMI-kurssissa, p p = δ(p p ), saadaan ψ p (x) = 1 π e ipx/ (98) Nähdään myös, että yleisen tilavektorin komponentit liikemääräoperaattorin ominaiskannassa saaadaan Fourier-muunnoksella: p ψ = 1 π e ipx/ ψ(x)dx (99) Lisäksi voidaan osoittaa suoraviivaisella laskulla, että [ˆx, ˆp] = i Esimerkki: Hamiltonin operaattorin ominaisarvoyhtälö H ψ = E ψ (100) voidaan kirjoittaa käyttämällä esitystä paikkaoperaattorin ominaiskannassa kuten: x H ψ = E x ψ = Eψ(x) dx x H x x ψ = dx H(x, x ) ψ(x ) Saamme integraaliyhtälön dx H(x, x ) ψ(x ) = Eψ(x) Tämä on Schrödingerin yhtälön yleisin muoto, jossa on ns ei-lokaalinen eli kahdesta koordinaatista riippuva Hamiltonin operaattori H(x, x ) Esimerkiksi atomien Hartree-Fock yhtälöt 1 ovat tätä yleistettyä muotoa 0 Vertaa KMI-kurssi 1 Yleisesti käytetty approksimaatio monen kappaleen Schrödingerin yhtälölle, kts esim Kondensoidun materian fysiikka 14

Lokaalisesta eli yhdestä koordinaatista riipuvasta tapauksesta esimerkkinä on hiukkanen potentiaalikentässä, V (x, x ) = V (x)δ(x x ) Hamiltonin operaattori on silloin muotoa H(x, x ) = [ m d ] dx + V (x ) δ(x x ) (101) ja kaksinkertaisen osittaisintegroinnin jälkeen Schrödingerin yhtälö saa tutun muotonsa dx H(x, x ) ψ(x ) = [ m d dx + V (x) ] ψ(x) = Eψ(x) 144 Jatkuva ja diskreetti spektri Yleisimmässä tapauksessa hermiittisellä operaattorilla on sekä jatkuva että diskreetti osa Esimerkkejä tällaisista operaattoreista ovat äärellisen potentiaalikuopan ja Coulombin vuorovaikutuksen Hamiltonin operaattorit Muodollisesti teoria on samanlainen kuin diskreettien ominaisarvojen tapauksessa, paitsi jatkuvan spektrin osan aaltofunktiot on normitettava δ- funktioon Seuraavassa käytämme indeksiä n viittaamaan diskreettiin osaan ja indeksiä t viittaamaan jatkuvaan osaan normitus: A n = α n n A t = α t t n n = δ nn t t = δ(t t ) n t = 0 Aaltofunktiot ovat jälleen projektioita paikkaavaruuteen φ n (x) = x n φ t (x) = x t Yksikköoperaattori tulee sisältämään sekä jatkuvan että diskreetin osan I = n n + dt t t (10) n Tästä saamme closure-ominaisuuden δ(x x ) = x n n x + dt x t t x n = φ n (x) φ n(x ) + dt φ t (x) φ t (x ) n Tässäkin tapauksessa Hilbert-avaruuden mielivaltainen vektori ψ voidaan kehittää ominaisvektoreiden mukaan ψ = C n n + C(t) t dt eli n x ψ ψ(x) = C n φ n (x) + C(t) φ t (x) dt n Kehitelmän kertoimille saadaan lausekkeet C n = n ψ = n x x ψ dx = φ (x) ψ(x) dx n C(t) = t ψ = φ (x) ψ(x) dx t 15 Harmonisen värähtelijän käsittely algebrallisesti Sovelletaan edellä esiteltyä tilavektorin käsitettä KMI -kurssista tuttuun harmoonisen värähtelijän ongelmaan Pyrimme määräämään yksiulotteisen värähtelijän Hamiltonin operaattorin Ĥ = 1 [ ] ˆp + (mωˆx) (103) m ominaisarvot E ja ja niitä vastaavat ominaistilat ψ Tilavektorit toteutettavat ominaisarvoyhtälön Ĥ ψ = E ψ (104) 15

Muistetaan KMI-kurssista, että operaattorit ˆp ja ˆx toteuttavat kommutaatiorelaation [ˆx, ˆp] = i (105) 151 Luomis- ja hävittämisoperaattorit Yritetään jakaa harmoonisen värähtelijän Hamiltoni tekijöihinsä: H = [ ] 1 p + (mωx) m = 1 m ( ip + mωx)(ip + mωx) iω [x, p] Ottamalla käyttöön merkinnät a = a = 1 mω (ip + mωx) (106) 1 mω ( ip + mωx), (107) voidaan harmoonisen värähtelijän Hamiltonin operaattori kirjoittaa kompaktiin muotoon ( H = ω a a + 1 ) (108) Voidaan osoittaa (harjoitus), että uudet operaattorit a ja a toteuttavat seuraavat ominaisuudet: 1 [a, a ] = 1 H = ω (a a + aa ) 3 [a, a a] = a 4 [a, a a] = a Osoitetaan seuraavassa, että juuri määriteltyjä operaattoreita voidaan käyttää yleisemminkin harmoonisen värähtelijän kuvaamiseen 3 Jätetään hatut operaattorien päältä jatkossa kirjoittamatta 3 Itse asiassa, ne mahdollistavat esimerkiksi värähtelijän ominaisarvo-ongelman ratkaisun ilman KMI-kurssista tuttua Frobeniuksen menetelmää Lause 3 Olkoon ψ harmoonisen värähtelijän Hamiltonin operaattorin ominaisenergiaa E vastaava ominaistila (H ψ = E ψ ) Tällöin a ψ on ominaisarvoon E + ω liittyvä ominaistila Todistus: H ( a ψ ) = ω ( a a + 1 ) a ψ (109) = ωa ( aa + 1 ) ψ (110) = a (H + ω) ψ (111) = (E + ω)a ψ (11) Toisin sanoen operaattorilla a saadaan ominaisvektorista ψ ominaisvektori a ψ, joka kuuluu ominaisarvoon E + ω Samalla tavalla saadaan operaattorilla a ominaisvektori a ψ, joka kuuluu ominaisarvoon E ω Tämän vuoksi operaattoria a kutsutaan nosto-operaattoriksi ja operaattoria a laskuoperaattoriksi Käyttämällä nosto- tai laskuoperaattoreita perätysten voidaan siis luoda kaikki harmoonisen värähtelijän ominaistilat; kunhan yksi on tiedossa! Käyttämällä laskuoperaattoria useamman kerran perätysten saavutaan jossain vaiheessa tilanteeseen, jossa energia E < 0 Koska harmooniselle värähtelijälle V min = 0, tämä ei ole sallittua 4 On siis oltava olemassa matalimman energian tila ψ 0, jolle a ψ 0 = 0 (113) Jos kerrotaan yhtälö puolittain a :llä 0 = a a ψ 0 ( H = ω 1 ) ψ 0 ( E0 = ω 1 ) ψ 0 = 0 E 0 = ω Täten olemme saaneet alimman omainaistilan 4 Kts KMI H ψ 0 = ω ψ 0 (114) 16

Muut ominaistilat saadaan laskettua lauseen 3 perusteella H(a ) n ψ 0 = E n (a ) n ψ 0 ( E n = ω n + 1 ) n = 0, 1,, Olemme näin laskeneet värähtelijän ominaistilat puhtaasti algebrallisesti Yhteys KMI-kurssissa saatuihin Hermitén polynomeihin tarkastellaan myöhemmin 15 Normitetut ominaisvektorit Ominaisvektorit ψ n n muodostavat ortonormaalin kannan 5 n n = δ n,n, (115) jossa Hamiltonin operaattori H esitys on diagonaalinen matriisi Tilat voidaan numeroida kvanttiluvun n = 0, 1, avulla Lauseen 3 perusteella ominaisvektoreille pätee { a n = c n n + 1, (116) a n = d n n 1 missä kertoimet c n ja d n ovat toistaiseksi tuntemattomia normituskertomia Toisin sanoen, a n a n = n aa n = n + 1 (117) = c n c n = n + 1 (118) an an = n a a n = n (119) = d n d n = n (10) Täten kaikki normitetut ominaisvektorit voidaan laskea rekursiivisesti lähtien alimmasta ominaisvektorista 0 n = 1 n! (a ) n 0 153 Operaattoreiden matriisiesitykset Koska olemme käyttäneet kantavektoreina Hamiltonin operaattorin ominaisvektoreita n ψ n, on 5 Koska ne ovat hermiittisen operaattorin ominaistiloja operaattorin H matriisi diagonaalinen tässä esityksessä ja diagonaalilla ovat ominaisarvot, 1 0 0 0 3 0 0 0 H = ω 5 0 0 0 Toinen diagonaalinen operaattori on lukumääräoperaattori N a a, jonka ominaisarvo ilmoittaa, kuinka monta oskillaatiokvanttia energian ominaistilassa n on Edellä osoitettiin, että a a = H 1/, joten se on diagonaalinen energian ominaistilojen muodostamassa kannassa, N n = a a n = ( H ω 1 Matriisiesitys on siten diagonaalinen ) n = n n n a a n = nδ n n (11) ja diagonaalilla on oskillaatiokvanttien lukumäärä Operaattoreiden a ja a matriisielementeille saadaan normituskertoimia käyttäen lausekkeet n a n = n δ n n 1 n = 0, 1,, n a n = n + 1 δ n n+1 0 1 0 0 0 0 0 a = 0 0 0 3 0 0 0 0 1 0 0 0 a = 0 0 0 0 0 3 0 Paikka- ja liikemääräoperaattoreiden matriisit saadaan edellisistä lineaarikombinaationa, x = mω (a + a ) mω p = i (a a), 17

joten 0 1 0 0 1 0 0 x = 0 0 3 mω 0 0 3 0 0 1 0 0 mω 1 0 0 p = i 0 0 3 0 0 3 0 154 Aaltofunktiot Alimman tilan aaltofunktio saadaan esittämällä yhtälö a ψ 0 = 0 paikkaoperaattorin ominaiskannassa: x a ψ 0 = dx x a x x ψ 0 = 0 (1) ja käyttämällä operaattorin a esitystä x a x = δ(x x 1 ) ( d mω dx + mωx) Yhtälöstä (1) saadaan differentiaaliyhtälö, d dx ψ 0(x) = mω xψ 0(x), jonka normitettu ratkaisu on x ψ 0 = ψ 0 (x) = ( ) 1/4 mω e mω x (13) π Tämä saatiin KMI-kurssissa käyttämällä Frobeniuksen menetelmää Schrödingerin yhtälöön Operoimalla perustilaan nosto-operaattorilla, voidaan osoittaa yhtenevyys myös eri menetelmillä laskettujen viritystilojen suhteen Siten myös KMI-kurssissa lasketut tilojen perusominaisuudet ovat voimassa 18

Kulmaliikemäärä ja spin Kulmaliikemäärän muodollinen teoria perustuu infinitesimaalisiin kolmiulotteisen avaruuden kiertoihin, jotka kvanttimekaniikassa esitetään yleensä ryhmäteorian avulla Tässä kurssissa keskitymme pelkästään kulmaliikemäärän esitykseen Hilbertavaruudessa, ja jätämme ryhmiin perustuvan esitysteorian Kvantimekaniikan jatkokurssiin Tarkoituksena on esittää kulmaliikemäärän yleinen teoria, joka sisältää sekä rataettä spin-kulmaliikemäärät Tämän vuoksi merkitään seuraavassa kulmaliikemäärää symboolilla J 6 KMIkurssissa osoitettiin ratakulmaliikemäärälle L = r p kommutaatiorelaatiot: [L x, L y ] = i L z ; [L y, L z ] = i L x ; [L z, L x ] = i L y (14) Kommutaatiorelaatioista seurasi erityisesti myös se, että ratakulmaliikemäärän komponenteilla ei ole yhtäaikaisia ominaistiloja, esim σ L x σ L y 4 L z (15) Määritellään yleinen kulmaliikemääräoperaattori sellaisena kolmiulotteisen avaruuden vektorioperaattorina J = (Ĵx, Ĵy, Ĵz), joka toteuttaa ns kulmaliikemäärän kommutaatioehdot: [J x, J y ] = i J z ; [J y, J z ] = i J x ; [J z, J x ] = i J y (16) Erityisesti nähdään siis, että ratakulmaliikemääräoperaattori L toteuttaa nämä ehdot 7 Suoraviivaisella laskulla saadaan, että [J, J x ] = [J, J y ] = [J, J z ] = 0 (17) Siten voidaan löytää operaattorien J ja (esim) L z yhteiset ominaistilat f 8 : J f = λ f ; J z f = m f (18) 6 Tavallisesti ratakulmaliikemäärä on L ja spin on S 7 On syytä korostaa, että tässä vaiheessa emme tiedä operaattorista J mitään muuta kuin sen että sen komponentit noudattavat esitettyjä kommutaatiosääntöjä 8 Mitataan kulmaliikemäärä -yksiköissä Ratkaistaan seuraavassa nämä tilat algebrallisesti 9 Vastaavaan tapaan kuin harmooniselle värähtelijälle, määritellään kulmaliikemäärän (J z ) nostolaskemisoperaattorit Saadaan, että J ± = J x ± ij y (19) [J z, J ± ] = ± J ± ; [J, J ± ] = 0 (130) Voidaan suoraviivaisesti osoittaa, että jos f on operaattorien J ja J z yhteinen ominaistila, niin J (J ± f ) = J ± (J f ) = λ (J ± f ) (131) Toisin sanoen tila J ± f on operaattorin J samaan ominaisarvoon λ liittyvä ominaistila Vastaavasti J z (J ± f ) = J ± (J z ± ) f = (m±1)(j ± f ) (13) Toisin sanoen, J + nostaa kulmaliikemäärän J z ominaisarvoa määrän, ja vastaavasti J laskee sitä määrän Siten jokaista operaattorin J ominaisarvoa λ kohti saadaan joukko -välein olevia operaattorin J z ominaisarvoja Koska 0 0 J {}}{ {}}{ = J x + J y + J z 0, (133) niin täytyy olla λ m (134) Klassisesti tämä on seurausta siitä, että kulmaliikemäärän komponentit eivät voi olla sen pituutta suurempia Yllä olevan perusteella operaattorin J z ominaisarvoilla m on oltava maksimiarvo (merk j), jolle pätee: J z f = j f ; J f = λ f ; J + f = 0 (135) Koska (osoita!) niin J = J ± J + J z J z, (136) J f = (J J + +J z + J z ) f = j(j +1) f (137) 9 Tämä tehtiin ratakulmaliikemäärälle KMI-kurssissa käyttäen Frobeniuksen menetelmää 19

Siten λ = j(j + 1), (138) eli operaattorin J ominaisarvo on lausuttu operaattorin J z suurimman ominaisarvon avulla Vastaavaan tapaan voidaan osoittaa, että samaan operaattorin J ominaisarvoon λ kuuluvilla operaattorin J z ominaisarvoilla on minimi, m = j Operaattorien J ja J z yhteiset ominaistilat voidaan siis erotella kahdella indeksillä (jm): J jm = j(j+1) jm ; J z jm = m jm, (139) missä 30 j = 0, 1, 1, 3, ; m = j, j + 1,, j 1, j (140) Annetulla luvun j arvolla on siis j + 1 mahdollista luvun m arvoa On syytä myös huomata, että liikemäärän z-komponentin arvo j < j(j + 1), eli kulmaliikemäärä ei voi koskaan osoittaa täysin koordinaattiakselin suuntaan! 31 Lisäksi voidaan osoittaa (harjoitus), että J ± jm = j(j + 1) m(m ± 1) j(m ± 1) = (j m)(j ± m + 1) j(m ± 1) Ratakulmaliikemäärä KMI-kurssissa määrittelimme ratakulmaliikemäärän (pallokoordinaatistossa) seuraavasti 3 : ( L = i ˆθ 1 sin θ φ ˆφ ) (141) θ Lisäksi osoitimme, että tällä määrittelyllä ratakulmaliikemäärä toteuttaa yllä esitellyt kulmaliikemäärän yleiset kommutaatiosäännöt Erityisesti operaattorien L ja L z yhteiset ominaistilat lm voidaan kirjoittaa paikkaesityksessä kuten: r lm Y m l (θ, φ), (14) 30 Huomaa, että j = j + N missä N on kokonaisluku, joten j = N/ 31 Tämä on seurausta kommutaatiorelaatioista ja erityisesti niistä seuraavista epätarkkuusrelaatioista 3 Tarkalleen ottaen olemme kirjoittaneet ratakulmaliikemääräoperaattorin esityksen paikkaoperaattorin ominaiskannassa missä Y m l ja ovat palloharmoonisia funktioita, L Yl m (θ, φ) = l(l + 1) Yl m (θ, φ); (143) L z Yl m (θ, φ) = m Yl m (θ, φ) (144) l = 0, 1,, ; m = l, l + 1,, l 1, l (145) On syytä huomata, että ratakulmaliikemäärä hyväksyy vain kokonaislukuarvoisia kvanttiluvun l arvoja Puolikaslukuiset ratkaisut ovat kuitenkin fysikaalisia ja tulevat merkityksellisiksi spin-kulmaliikemäärän teoriassa 1 Spin-kulmaliikemäärä Ratakulmaliikemäärä ei riitä selittämään atomien spektriviivojen hienorakennetta magneettikentässä: Magneettikenttä purkaa ratakulmaliikemäärän z-komponenttiin liittyvän degeneraation (Zeeman-efekti, tarkastellaan myöhemmin) Spektrissä on parillinen määrä viivoja vaikka kvanttilukuja m on (l + 1) kappaletta Sternin-Gerlachin kokeessa (myöhemmin) magneettikenttä jakaa neutraalien (hopea) atomien suihkun kahteen yhtä suureen osaan, jotka poikkeavat suihkun alkuperäisestä etenemissuunnasta saman verran mutta vastakkaisiin suuntiin Poikkeama vastaa magneettista momenttia, joka on Bohrin magnetonin µ 0 suuruinen Klassisesti poikkeamaa ei tulisi havaita Uhlenbeck ja Goudsmit esittivät ns spin-hypoteesin: Elektronilla on sisäinen kulmaliikemäärä s = Tästä seuraa magneettinen momentti µ s = e mc = µ 0 Kuten KMI-kurssissa keskusteltiin, spin-kulmaliikemäärä voidaan samaistaa jossain määrin klassiseen pyörähdyskulmaliikemäärään On kuitenkin syytä muistaa, että klassinen pyörähdyskulmaliikemäärä voidaan aina kirjoittaa systeemin 0

osien ratakulmaliikemäärien avulla, kun taas esim elektronin spiniä ei 33 Koetulosten selittäminen vaatii siis sisäisen kulmaliikemäärän S olemassaolon Jotta S olisi kulmaliikemäärä, sen komponenttien täytyy toteuttaa yleiset kulmaliikemäärän kommutointiehdot: [S x, S y ] = i S z ; [S y, S z ] = i S x ; [S z, S y ] = i S y (146) Tästä seuraa, että operaattorien S ja S z yhteiset ominaistilat sm toteuttavat yhtälöt S sm = s(s+1) sm ; S z sm = m sm, (147) sekä S ± sm = s(s + 1) m(m ± 1) s(m±1), (148) missä S ± = S x ± is y Ominaistilat eivät nyt ole palloharmoonisia funktioita Itse asiassa, on syytä korostaa, että spinillä ei ole klassista vastinetta eikä sitä voi esittää paikkaoperaattorin ominaiskannassa (koska se on hiukkasen sisäinen ominaisuus) Lisäksi ei ole syytä rajoittaa kvanttiluvun s arvoja kokonaislukuihin: s = 0, 1, 1, 3, ; m = s, s + 1,, s 1, s (149) Osoittautuu, että elektronien lisäksi kaikilla alkeishiukkasilla on oma, muuttumaton spinin arvonsa; π-mesonien spin on 0; elektronien 1 ; fotonien 1; -hiukkasten 3 ; gravitonien jne Erityisesti spin vaikuttaa ratkaisevasti alkeishiukkasten tilastolliseen käyttäytymiseen (kts KMI): bosonit (spin kokonaisluku) noudattavat Bose-Einstein -statistiikkaa ja fermionit (spin puolikasluku) Fermi-Dirac -statistiikkaa Toisin kuin ratakulmaliikemäärä, spin ei muutu vaikka hiukkasta häiritään Tämä tekee spinin matemaattisesta käsittelystä helppoa verrattuna ratakulmaliikemäärään 11 Spin- 1 Tavallinen aine rakentuu hiukkasista, joiden spin s = 1 (elektronit, protonit, neutronit) Sen vuoksi 33 Koska elektroni on alkeishiukkanen tarkastelemme tässä spin- 1 hiukkasia yleisellä tasolla Käsittely yleistyy suoraviivaisesti korkeamman spinin omaaville hiukkasille Kun s = 1, on operaattoreilla S ja S z vain kaksi (yhteistä) ominaistilaa Merkitään niitä seuraavasti: = 1 1 ; = 1 1, (150) missä tilaa sanotaan spin-ylös ja tilaa spinalas tilaksi Nämä ovat (kahden) hermiittisen operaatorin ominaistilat, ja siten määräävät kannan - ulotteiselle Hilbertin avaruudelle Erityisesti, Myöskin, = ( 1 0 ) ; = ( 0 1 ) (151) S z = ; S z =, (15) joten voimme kirjoittaa Vastaavasti S z = σ z (153) S + = ; S = ; S + = S = 0, (154) ja siten S + = ( 0 1 0 0 ) ( 0 0 ; S = 1 0 Vastaavaan tapaan voidaan osoittaa, että ) (155) S x = σ x; S y = σ y (156) Näin ollen spin-kulmaliikemäärä voidaan kirjoittaa muotoon S = (σ x, σ y, σ z ) (157) Spin- 1 hiukkasen yleinen spin-tila voidaan kirjoittaa muotoon χ = a + b, (158) jota usein kutsutaan spinoriksi Siten, jos mitataan spinin z-komponentti, saadaan tuloksena / todennäköisyydellä a ja / todennäköisyydellä b Mutta mitä jos mitataankin S x? 1