52302A PIIRITEORIA Laskuharjoitukset - syksy 204
Sisältö Kurssitietoa... 3 LTspice-vinkkejä... 7 Harjoitus... 9 LTspice-vinkkejä... 24 Harjoitus 2... 25 LTspice-vinkkejä... 35 Harjoitus 3... 37 Harjoitus 4... 47 Harjoitus 5... 6 LTspice-vinkkejä... 69 Harjoitus 6... 7 LTspice-vinkkejä (alkutilat)... 86 Harjoitus 7... 89 LTspice-vinkkejä... 97 Harjoitus 8... 0 LTspice-vinkkejä: Amplitudivaste ja Desibeliasteikko AC-analyysissä... Harjoitus 9... 3 Harjoitus 0 (ei tule tenttiin)... 2 2
Piiriteoria verkossa Kurssitietoa Kurssin materiaalipankkina toimii on Optima (TTK-ympäristö), josta löytyy mm. ilmoitustaulu, lisämateriaalia, aikataulut yms. Harjoitustöiden palautuskin tapahtuu Optiman kautta. Kun olet tutustunut tähän tiedotteeseen (s. 3-6), käy tekemässä Optimaan toteutettu alkutentti. Alkutenttiin ei tarvitse valmistautua, eikä se ole työläs. https://optima.oulu.fi Kurssin työtila löytyy Optima-ympäristöstä Oulun yliopisto, TTK. Jos Optiman kanssa tulee ongelmia, tukea saa sähköpostitse: lasses(at)ee.oulu.fi. Tutustu kurssin aikatauluun (välikokeet, harkkatyö) ja vertaile omaan kalenteriisi. Ilmoitelkaa opettajalle hyvissä ajoin, jos muut opinnot tai tärkeät opiskelijariennot ovat törmäyskurssilla. Kurssin Virallinen Piirisimulaattori Kurssin harjoitustyö tehdään ohjelmalla LTspice. Se on ilmainen ja täysverinen piirisimulaattori. Kurssin loputtua sinulla on käytössäsi työkalu, josta on hyötyä tulevaisuudessakin. LTspice-käyttöohjeita on koottu Optimaan, vinkkejä löytyy runsaasti myös tästä materiaalista. Ohjelman voi ladata omalle koneelle (Windows, Mac) osoitteesta: http://www.linear.com/designtools/software/#ltspice Ohjelman saa Linuxiinkin, jos Wine-emulaattori on asennettuna. Vaihtoehtoisesti simuloinnit voidaan tehdä PC-luokassa TS34 tai TS35. Ohjeet PC-luokan avaimen hankkimiseen löytyvät sivulta: http://www.otit.fi/live/kilta/avain.xml LTspice on ollut kurssikäytössä useampana vuonna, tässä eräs palaute (rästikurssi 200): "Vaikka kurssi oli raskas ja nopeatempoinen, lopussa saattoi olla hyvin mielin. Olen oppinut paljon uutta tällä kurssilla ja kurssin yksi keskeisimpiä työkaluja, LTspice IV osoitti käyttökelpoisuutensa moneen otteeseen." -Jussi Moilanen 3
Pakollinen harjoitustyö Harjoitustö on yksilösuoritus, kurssin jälkeen pitäisi olla tuntuma simulaattorin käyttöön. Yhteistyötä ei voida kieltää, mutta tehkää se siten, että kukin opiskelija tekee kaikki tehtävät ja siihen liittyvät aivoitukset täysin itsenäisesti. Älä tee työtä siten, että olette yhteisen koneen äärellä ja vastaukset ovat samat. Tätä on harrastettu ja siitä on jääty kiinni. Ja tästä seurannut kuulustelu oli aika epämiellyttävä kokemus kaikille osapuolille. Harjoitustyössä on kaksi osaa, joista ensimmainen liitty laskuharjoitusten -4 teemoihin ja toinen osa liittyy laskuharjoituksten 5-8 teemoihin. Harjoitustyöhön ei tarvitse ilmoittautua. Työ (jompikumpi osa tai molemmat) tehdään Optimassa parin päivän aikana. Osat ja 2 voi siis tehdä eri aikoina. Katso aikataulut Optimasta. Mahdollisuuksia harkkatyön tekemiseen tulee muutama syksyn aikana. Ja jopa keväälläkin, jos on kysyntää. Harjoitustyö tehdään tekstieditorilla ja se palautetaan Optima-työtilan palautsboksiin. Huomaa, että harjoitustyön hyväksyntä Optimassa ei välttämättä näy heti Oodissa. Opettajat kokoavat yleensä merkintöjä nipuksi, joka lähetetään sopivana hetkenä opintosuoritusrekisteriin. Jos merkinnällä on hoppu, siitä kannattaa sanoa opettajalle. (merkinnän saa kun molemmat osat ovat hyväksytty). Kun harjoitustyökysymys (osa ja osa 2) on julkaistu Optimassa, sinulla on 2 vuorokautta aikaa vastata. Tähän on siis syytä valmistautua etukäteen. Kuinka valmistaudun harjoitustyöhön? Ratkaisemalla laskutehtäviä LTspicellä. Laskuharjoitusmateriaalissa simulaattoriin istuvia esimerkkitehtäviä ovat merkittynä symboleilla LTS. Erillisiä LTspice-vinkkejä löytyy myös laskarimateriaalista, ks. sisällysluettelo. Harjoitustyöviikolla on varattuna PC-luokka TS35. Sinne voi tulla tekemään työtä opettajan opastamana. 4
Harjoitustyön osaamistavoitteet Osa : Osaat... simuloida resistiivistä verkkoa eri lähteillä (VS, CS, VCVS, VCCS) simuloida dc- ja siniherätteillä valita simulointiajan siniherätteellä mitata virtoja, jännitteitä ja tehoja. mitata vastuksen yli olevan jännitteen, missä kummassakkaan päässä ei ole maa Osa 2: Osaat... simuloida alkutilan arvon asettaa alkutilan (.ic ) tehdä AC-analyysin tulkita AC-analyysin tulosta Tukea itseopiskeluun Jos jäät jumiin jonkin tehtävän tai simulaattorin kanssa, voit esittää kysymyksiä foorumissa, joka löytyy Optimasta. Foorumi on suositeltavampi kun sähköposti, koska usein moni kurssilainen miettii juuri samaa ongelmaa. Foorumeita on seuravanlaisia: - Foorumi : Nimetön foorumi palautteelle ja kysymyksille (esim. laskutehtävään liittyviä kysymyksiä). - Harjoitustyö : Nimetön foorumi harjoitustyöhön liittyville kysymyksille - Harjoitustyö (k) : harjoitustyöfoorumi, jossa kuvaliitteet ovat mahdollisia. Ei ole nimetön. Välikokeet lopputentin korvaajana Syksyn aikana pidetään välikokeita. Jos ne menevät hyvin, saat niistä kurssin arvosanan, eikä lopputenttiin tarvitse mennä. Välikokeet eivät ole osaston järjestämiä, eikä niihin tarvitse ilmoittautua. Kokeiden paikasta, pisteytyksestä ja aikatauluista ilmoitetaan tarkemmin Optimassa. Todennäköisesti ovat luennon tai laskuharjoituksen paikalla. Välikokeissa ei sallita ylimääräistä aineistoa (lunttilappu yms.). Graafinen laskin on sallittu sillä poikkeuksella, että symboliseen laskentaan pystyviä laskimia ei sallita. 5
Lopputentti Lopputentissä saa olla graafinen laskin. Lopputentissä on 4 tehtävää, max. 2 pistettä yhteensä. Lopputentti - käytännön linjauksia: Graafiset laskimet ovat sallittuja sillä poikkeuksella, että symboliseen laskentaan pystyviä laskimia ei sallita. Tehtävien väliväiheet tulee dokumentoida. Lopputenttitehtävässä arvostelun painokerroin tulee aina olemaan ongelman ratkaisun hahmottamisessa. Eli valtaosa pisteistä tulee, kun olet osannut hahmottaa ongelman ratkaistavaan muotoon (esim. yhtälöryhmä). Täydet pisteet saa luonnollisesti, kun osaat johtaa oikean lopputuloksenkin Muutos lopputenttikäytännössä Aikaisemmin lopputentissä on ollut sallittuna laillinen itse tehty lunttilappu, mutta tästä käytännöstä ollaan nyt luopumassa. Alkaen syksystä 204, lunttilappua ei sallita enään Piiriteoria I lopputentissä. 6
LTspice-vinkkejä Aloitetaan laskuesimerkin simuloimisella. Piirikaavion piirrossa olennaisimmat painikkeet ovat alla olevassa kuvassa. Johdin vastus kela component mm. jänniteja virtalähteet maa (aina pakollinen) kondensaattori Esimerkin.9 (sivu 2) LTspice-piirikaavio on tämän näköinen: johdin Jännitelähde (voltage) V vastus (resistance) R 5 nimi arvo (tässä ohmeja) simuloinnin kuvaus, tässä aikatason simu 0s... ms Kuva 7..tran e-3 R2 R3 3 7 maa Aseta komponentit ja johtimet LTspice-piirikaavioon. Kun painat simulaattorissa run-nappia (juokseva tikku-ukko) ensimmäistä kertaa, ohjelmaa pyytää määrittämään simuloinnin. Nyt se on aikatason simulointi: klikataan transient-välilehti 2, jossa muuta tietoa ei tarvitse antaa, kun simuloinnin kesto eli Stop Time. Kuvassa Stop Time näyttäisi olevan yksi millisekunti (e-3 0-3 ). Kun simulointi (run) on tehty, voidaan määrätä, mitä suureita (jännite, virta, teho) halutaan tarkastella.. tarkempi ohje http://www.denverpels.org/downloads/denver_pels_2009059_knudtsen_ltspice_intro.pdf 2. transient analysis (transienttianalyysi) tarkoittaa aikatason analyysiä 7
Jännite Jos siirrät hiiren osoittimen vaikkapa vastuksen yllä olevan johtimen päälle, hiiren osoitin muuttuu punaiseksi mittapääksi (probe). Klikkaamalla johdinta ohjelma piirtää jännitteen maatasoon (nollan voltin referenssiin) nähden. Usein juuri tämä jännite kiinnostaa. Nyt kuitenkin esimerkissä.9 kiinnostaa pelkän 5Ω:n vastuksen yli oleva jännite. Kllikkaa hiiren oikealla napilla 5Ω:n vastuksen alapuolella olevaa solmupistettä ja valitse mark reference (merkkaa referenssiksi). Virta, teho Jos siirrät osoittimen vastuksen päälle probe muuttuu virtamittariksi. Klikkaamalla saat siis virran kuvaajan. Toisaalta, jos painat alt-nappia vastuksen päällä, kuvaajaksi tuleekin vastuksen kuluttama teho. Johtimen virran saat pitämällä alt-nappia pohjassa ennen hiiren klikkausta. Terminologiaa Tässä kurssissa tulosuureet ovat tavallisesti jännite- tai virtalähteitä. Tulosuuretta kutsutaan myös herätteeksi (stimulus). Tutkittava suure on lähtösuure, joka sekin on tavallisesti jännite- tai virtamuotoinen. Lähtösuuretta kutsutaan usein vasteeksi (response). Lyhenteitä Piirikaavion piirrossa ja simuloinneissa käytetään numeroarvoissa alla olevan taulukon mukaisia lyhenteitä. Ole tarkkana, mega ja milli menevät helposti sekaisin. Taulukko : Lyhenteitä lyhenne numerona LTSpicessa n (nano) 0-9 e-9 tai n µ (mikro) 0-6 e-6 tai u m (milli) 0-3 e-3 tai m k (kilo) 0 3 e3 tai k M (mega) 0 6 e6 tai meg Esimerkiksi luku 5,62 0-9 annetaan muodossa 5.62e-9. Yksikköä ei kirjoiteta luvun perään (kuten sekuntia, ohmia jne). Tärkeää: käytä pistettä pilkun asemesta esim. ei 5,62n vaan 5.62n 8
Harjoitus Ohmin laki, resistanssi ja konduktanssi Resistanssilla tarkoitetaan materiaalin ominaisuutta vastustaa varausten virtausta. Resistanssin R yksikkö on ohmi (Ω). Vastuksen piirisymbolit ovat kuvassa. R R Kuva Kuvassa 2a on esitetty vastus jonka läpi kulkee virta I ja sen yli oleva jännite on U. Jännite kuvaa varauksen potentiaalienergiaa ja sen yksikkö on voltti (V). Sähkövirralla I tarkoitetaan sähkoisen varausten virtausnopeutta. Virran yksikkö on ampeeri (A). Vastusten käyttäytyminen noudattaa Ohmin lakia: U R I () Jännitteen suuntanuoli piirretään siten, että sähkoinen potentiaali pienenee nuolen suunnassa. Kuvat 2a ja 2b ovat siis ekvivalentteja. Kansainvälisen sopimuksen mukaan virran positiivinen suunta on määritelty korkeammasta potentiaalista kohti matalampaa potentiaalia. Eli virta kulkee vastuksen positiivisemmasta päästä negatiivisempaan, joten kuvissa kuvat 2a ja 2b U R I. Kuvassa 2c jännitteen suuntanuoli on virran suunnan vastaisesti jolloin U -(R I). Toisinaan laskuissa tuntemattomien virtojen tai jännitteiden suunnan valinta on vapaa. Jos tulos on miinusmerkkinen, se johtuu väärästa suunnan arvaamisesta, eikä laskua tarvitse sen vuoksi laskea uudelleen. Vastuksen resistanssi on aina 0. I I I R U R U R U I I I Kuva 2 a) b) c) 9
Laskukaavoissa on toisinaan käytännöllisenpää käyttää resistanssin käänteislukua G, jota nimitetään konduktanssiksi: G /R. Konduktanssi G kuvaa johtokykyä ja sen yksikkö on siemens (S). Yleisiä konduktanssin yksikköjä ovat myös mho sekä. Konduktanssin avulla Ohmin laki on muotoa IG U (2) Ω Johtimen solmupiste Solmupiste on johtimen haarautumispiste. On tärkeää ymmärtää, että jos liitospisteiden välillä on pelkkä johdin, niiden välillä ei ole jännite-eroa ja ne muodostavat yhden solmupisteen. SOLMUPISTE SOLMUPISTE Kuva 3. Sama solmupiste kolmella tavalla piirrettynä (nuolet ovat virran suuntia). Kirchhoffin virtalaki (Kirchhoff s current law, KCL) Solmupisteeseen liittyvien haaravirtojen summa on aina nolla. Eli solmupisteeseen tulevien virtojen summa on sama kuin siitä lähtevien virtojen summa. I 0 I in I out (3) Kirchhoffin jännitelaki (Kirchhoff s voltage law, KVL) Suljetun silmukan kehällä olevien haaraelementtien yli olevien, samaan kiertosuuntaan mitattujen jännitteiden summa on nolla. Eli silmukassa samaan kiertosuuntaan mitattujen jännitteiden summa kiertosuunnan myötäisesti (m) on sama kuin kiertosuuntaa vastakkaisesti (v). U 0 U m Ainakin alkuvaiheessa kannattaa piirtää silmukoissa olevien piirielementtien yli olevat jännitteet suuntanuolilla. Tällä tavalla huomaat helpoiten, mitkä jännitteet ovat kiertosuuntaan nähden vastakkaisia tai myötäisiä. Jännitelähteen suunnan näet piirrossymbolista, vastuksen jännitenuoli on virran suunnan mukainen. U v (4) 0
Esim..: Kirjoita kuvalle 4 a) Kirchhoffin virtalaki solmussa a. b) Kirchhoffin jännitelaki kuvan b silmukalle. U I U 2 I R 2 R R 2 R R 3 U A a I I 2 V V2 Kuva 4 a) b) Ratkaisu: a) U /R - U 2 /R 2 I - I 2 0 b) V - (R R 2 R 3 )I - V 2 0 Esim..2: Kuvaan 5 on merkitty jonkun piirin virta- ja jänniteriippuvuuksia. a) Muodosta Kirchoffin virtalain mukaisesti virtayhtälöt solmupisteille a, b, c ja d b) Muodosta Kirchoffin jännitelain mukaiset jänniteyhtälöt oikeanpuoleisen piirin silmukoille. a b c I I 2 a) I 3 U I 5 I 4 - b) U 2 - U 3 - - U 5 - U 4 d Ratkaisu: a: I I 2 0 a) b: I 2 I 5 I 3 0 c: I 3 I 4 0 d: I I 5 I 4 0 Kuva 5 b) silmukka silmukka 2 : 2: U U 2 U 5 0 U 5 U 3 U 4 0
Maapiste (Ground) Maahan kytketyt pisteet ovat käytännössä yhdistetty johdolla toisiinsa (sama 0V jännite), joten oheisessa kuvassa olevat piirit ovat ekvivalenttejä. Maa (ground) on nollan voltin referenssipiste, eli jännite pistessä U A on U0V U. Pisteessä U B jännite on on U 2. U U I U A I U B - U R R 2 I U 2 - U R R 2 I U 2 0V 0V U A ja U B ovat solmujännitteitä, eli jännitteitä tietystä solmupisteestä maatasoon. Esim..3: Esitä oikeanpuoleisen piirin virta I jännitteiden U A ja U B avulla. Vastaus: I U ------ R U A U --------------------- B R Huom! Esimerkissä.3 olennaisinta on se, miten virran I suuntanuoli on piirretty. Jos virtanuoli olisikin piirretty kuten kuvassa 6, vastaus olisi ollut: U U I --------- B U A --------------------- R R U U A I U B - R U R 2 U 2 Kuva 6 0V 0V 2
Vastusten sarjaan- ja rinnankytkennät Sarjaankytkentä R R 2 R tot R R 2 G Rinnankytkentä G 2 G tot G G 2 Rinnankytkennän resistanssi: R tot --------- ------------------- G tot G G 2 -------------------- ------ ------ R R 2 R R 2 -------------------- R R 2 HUOM! tätä kaavaa R R 2 voidaan soveltaa vain kahden vastuksen rinnankytkentään. Yksittäiset piirielementit ovat rinnankytkettyjä, jos niillä on kaksi yhteistä solmupistettä. Jännite kummankin elementin yli on siten sama. Yleisesti vastusten sarjaan- ja rinnankytkennälle pätee: R tot R i sarjaankytk. i (5) G tot G i rinnankytk. i (6) Muista, että resistanssi ja konduktanssi ovat toistensa käänteislukuja. Jos laskettavana on esim. usean vastuksen rinnankytkennän resistanssi, laske ensin konduktanssi. 3
Esim..4: Mikä on kuvan 7a) ja 7b) vastuskytkentöjen kokonaisresistanssi ja kokonaiskonduktanssi? a) b) 5Ω 60Ω 5Ω 60Ω Kuva 7 Ratkaisu: a) R tot 5Ω 60Ω 75Ω G tot -----S 75 b) 5Ω 60Ω R tot 5Ω 60Ω 900 --------------------------- --------Ω 2Ω G 5Ω 60Ω 75 tot -----S 2 Esim..5: Ratkaise alla olevan rinnankytkennän kokonaisresistanssi. R R 2 R 3 Ω 0.5Ω 3Ω ratkaisu: R Ω G R 2 0,5Ω G 2 R 3 3Ω G 3 S --S 3 2S G tot G G 2 G 3 3 R tot -----Ω 0,3Ω 0 0 -----S 3 4
Resistiivinen jännitejako Kun tiedetään sarjaankytkettyjen vastusten yli oleva jännite (kuvassa U tot ), yksittäisen vastuksen yli oleva jännite lasketaan kaavalla (7): I U tot R R 2 I U 2? U n R n --------- U R tot, (7) tot missä U n tarkoittaa vastuksen R n yli olevaa jännitettä Virta I kulkee: koko sarjaankytkennän läpi yksittäisen vastuksen läpi I U tot -------------------- R R 2 U 2 ---------- R 2 R 2 U 2 U tot -------------------- R R 2 Jännite jakaantuu sarjaankytkennässä resistanssien suhteessa. Resistiivinen virtajako Kun tiedetään vastusten rinnankytkentään tulevan virran arvo (kuvassa I tot ), yksittäisen vastuksen läpi kulkema virta lasketaan kaavalla (8): U I tot I I 2 G G 2 I n G n --------- I G tot, (8) tot missä I n tarkoittaa vastuksen G n läpi kulkevaa virtaa U on jännite yksittäisen vastuksen yli koko rinnankytkennän yli U I I tot ------ -------------------- I G G G 2 G --------------------I G G tot 2 Virta jakaantuu rinnankytkennässä konduktanssien suhteessa. 5
Esim..6: Laske kuvan 8 piirin jännite U ja I 2. U I tot R 2 I 2 R 3 R U R 2Ω R 2 6Ω R 3 6Ω U5V Kuva 8 Ratkaisu: R 2 ja R 3 ovat keskenään rinnankytkettyjä. Merkitään rinnankytkennän resistanssia symbolilla R 23 : R 2 R 3 36 R 23 R 2 R 3 ------------------- -----Ω 3Ω R 2 R 3 2 R ja R 23 ovat sarjaankytkettyjä, joten kokonaisresistanssi R tot on: R tot R R 23 2Ω 3Ω 5Ω U Kokonaisvirta: I tot --------- 5V ------- A R tot 5Ω G --S I 2 virtajaolla: I 2 ------------------- 2 6 I G 2 G tot ------------------- 3 --S A 0, 5A 6 6 --S R U jännitejaolla: 2Ω U --------------------- U R R 23 2Ω --------------------- 3Ω 5V 2V Vielä rinnankytkennästä - R tot R 234 R R 3 R 2 R 4 Kuvan piirissä on sarjaan- ja rinnankytkentöjä. Vastusta R 2 ei ole kytketty rinnan minkään yksittäisen vastuksen kanssa, vaan R 234 R 2 (R 3 R 4 ) Kokonaisresistanssiksi tulee: R tot R R 234 6
Riippumattomat ja ohjatut lähteet ja niiden symbolit Signaalilähteen arvo voi olla vakio tai ajan funktio. Signaalilähteet voivat olla myös riippumattomia tai ohjattuja: riippumattoman lähteen lähtösuure ei riipu piirin muiden solmujännitteiden tai haaravirtojen arvoista. Ohjattuja lähteitä ohjataan jonkin solmujännitteen tai haaravirran arvolla. Näissä harjoituksissa ohjattu lähde piirretään nelikulmiona. Riippumattomia lähteitä: Ohjatuttuja lähteitä: lähteen tyyppi (jännite tai virtalähde) todetaan ainoastaan piirrossymbolista. I I U U U 2i - x 2v x 2i - - x 2v x [A] [A] [V] [V] [V] [V] [V] [A] [A] Ohjatuissa lähteissä vakiotermin (tässä 2) mahdollinen yksikkö jätetään tyypillisesti pois: Jos jännite on 2i x, niin 2:n edestä on pudotettu Ω pois, ja jos virta on 2v x, niin 2:n edestä on jatetty S pois. Esim..7: Kirjoita Kirchhoffin jännitelaki alla olevan kuvan silmukoille. a) b) 3sin(4t) V I I 2 3(U 2 -U 3 ) U 2 3 V 2 5 - I 2 5 I 2 U 3 Ratkaisu: a) 3 ( I 2) 3sin( 4t) ( I 5) 0 b) - 2 I 2 3( U 2 U 3 ) 5 I 2 0 7
Lähteenmuunnokset Jännitelähteen muuttaminen virtalähteeksi Jännitelähde, jolla on nollasta poikkeava sarjaresistanssi, voidaan muuttaa ekvivalenttiseksi virta-lähteeksi ja rinnakkaisresistanssiksi. Muunnoksessa sijaiskytkentä laske-taan alkuperäisestä seuraavasti: Virtalähteen muuttaminen jännitelähteeksi Virtalähde, jolla on nollasta poikkeava rinnakkaisresistanssi, voidaan muuttaa ekvivalenttiseksi jännitelähteeksi ja sarjaresistanssiksi. Muunnoksessa sijaiskytkentä lasketaan alkuperäisestä seuraavasti. I N U T ------- R R N R T T U T R N I N R T R N R T I N R N U T - Perustelu lähdemuunoksille: U T - R T Jännitteen U ja virran I pitäisi olla sama kummassakin piirissä I I N I I N - I U I N RN U U U T R T I R T R N U R N ( I N I) jos I 0 U T 0 R N I N I N U T ------- R N U ------ T R T jos I 0 U T R T I R N I N R N I I N U T ------- R N U ------ T R T I 0 tarkoittaa tapausta, jossa lähde ja vastus on vain osana jotain piiriä. 8
Oikosulku (short circuit) ja avoin piiri (open circuit) Oheinen piiri on sama, kuin esimerkissä.6. U I tot R 2 I 2 R 3 R U R 2Ω R 2 6Ω R 3 6Ω U5V Jos R 3 :n paikalle asetetaan pelkkä johdin (kuva 9a), se oikosulkee R 2 :n. Johtimen resistanssi on nolla eli R 3 on 0Ω, ja siten konduktanssi G 3 on ääretön. Tästä johtuen kaikki virta kulkee johtimen (R 3 ) kautta. Nyt kun R 2 :n läpi ei kulje virtaa, sen yli oleva jännite on 0V. Kuvassa 9b R 3 on korvattu avoimella piirillä, joten R 3 :n läpi ei kulje virtaa. Avoimen piirin R 3 resistanssi on ääretön, eli konduktanssi G 3 on 0S. G G 2 2 I -------------------- I 0A, jos G S I -------------------- I I, jos G 0S 2 G 2 G tot 3 2 G 3 2 G tot tot 3 3 U I tot R 2 I 2 R 3 0Ω U I tot R 2 I 2 R 3 Ω R U R U Kuva 9 a) b) Kuvassa 9a ja 9b I tot ja U eivät ole samoja, kun esimerkissä.6 laskettiin: U I tot ------ 2, 5A R I ------------------- U 0, 625A tot R R 2 9a U U 5V R 9b U ------------------- U, 25V R R 2 9
Lähteiden pilkkominen (ei ole ydinaines) Lähteen pilkkominen (tai pikemminkin monistaminen) on keino, jota käytetään toisinaan piirikaavion yksinkertaistamisessa. Tämä ei ole aiheena niin oleellinen, kun muut tässä laskuharjoituksessa esitetyt asiat. Menetelmä on kuitenkin yksinkertainen ja saattaa joissakin tapauksissa helpottaa ratkaisua (ks. esimerkki sivulla 42). Virtalähde (sarjaankytketyt ekvivalentit virtalähteet) I Haarassa kulkee edelleen virta I I I KCL:n mukaan i 0 ( I I 0 ) I I I I I i0 Jännitelähde (rinnankytketyt ekvivalentit jännitelähteet) U U U U Jännite kahden solmupisteen välissä on edelleen U Jännite pisteen U & U 0 sekä U 2 & U 0 välillä ei muutu miksikään: U U U U 2 U U U U 2 U U U 2 U 0 U 0 U 0 20
Esim..8: Laske kuvan 0 piirin kokonaisresistanssi R tot (helppo, laske kotona). Ω R tot Ω Ω Ω Vastaus: 4/3 Ω Ω Ω Kuva 0 HARJOITUKSESSA LASKETTAVAT TEHTÄVÄT: Kurssin alkupuolen (harj. -4) LTS -harjoitustehtävät ovat aika helppoja nopeita ratkaista LTSpice-simulaattorilla. Niinpä niiden ratkaisuja ei paljasteta tässä materiaalissa. Lisää laskutehtäviä löydät sivun 28 jälkeen (vanhoja osakokeita). Esim..9: LTS Laske kuvan piiristä jännite U a ja virta I b. U a 5Ω 7.V 3Ω 7Ω I b Kuva 2
Esim..0: LTS Ratkaise kuvan 2 piiristä jännite U (kuvassa U U 2 - U 4 ). 5Ω 5Ω A U 7Ω U 2 3Ω U 4 Kuva 2 Esim..: Kuvan 3 piirissä jännitteen V 0 arvo on 6V. Kun kuormaresistanssi R L kytketään vastuksen R 2 rinnalle, jännite V 0 tippuu arvoon 4V. Laske resistanssi R L. (tenttikysymys.2.07) 40Ω 8V - R 2 V 0 R L - Vastaus: R L 80/3 Ω 26,7Ω Kuva 3 22
Tehoa joko kuluu tai sitä tuotetaan. Ohessa on varsin yksinkertainen esimerkki, jota voit kokeilla myös simulaattorissa. Teho on piirielementin yli olevan jännitteen ja sen läpi menevän virran tulo. Jos u(t)i(t) p(t) > 0, piirielementti kuluttaa tehoa, ja jos p(t)<0, piirielementti luovuttaa (tuottaa) tehoa. Tehoa voi mitata (ja todeta että kuluttaako piirielementti tehoa vai ei) myös LTspice-simuloinneissa, ks. sivu 8. Esim..2: LTS Kuvan 4 piirissä pariston jännite on v b 5V ja pariston 2 jännite on v b2 0V. Jännite vastuksen yli on v r -5V ja virta i r -0.25A. Laske teho pattereissa ja 2 sekä vastuksessa v r. Mitkä kyseisistä piirielementeistä kuluttavat tehoa ja mitkä tuottavat sitä? i i r v r - i2 v b - - v b2 Kuva 4 Vastaus: P pb,25w P pb2 2,5W P r,25w Paristo ja vastus kuluttavat tehoa. Paristo 2 tuottaa tehoa. 23
Solmupisteelle nimi LTspice-vinkkejä Solmujännitteiden tutkiminen saadaan selkeämmäksi antamalla johtimille ja niiden solmupisteille joku kuvaava nimi. Osoitin johtimen kohdalle ja hiiren oikealla napilla: Label Net. Alla on eräs sähköturvallisuuteen liittyvä esimerkki: Ohjatut lähteet LTspicessä Nämä löytyvät LTspicen component-valikosta: Taulukko : jänniteohjattu jännitelähde (VCVS) jänniteohjattu virtalähde (VCCS) virtaohjattu jännitelähde (CCVS) virtaohjattu virtalähde (CCCS) LTspicessä e tai e2 g tai g2 h f Opiskelija Tero Marin teki keväällä 200 ohjatuista lähteistä pienen tutkielman. Tehtävässä simuloitiin vanhoja tenttitehtäviä, joissa oli ohjattu lähde. Teron työ löytyy Optiman Piiriteoria -työtilasta -> simulaattori\ltspice ja ohjatut lähteet. 24
Harjoitus 2 Solmupistemenetelmä (NA, nodal analysis) Solmupistemenetelmä lähtee KCL:stä: siinä lasketaan virtojen summa verkon jokaisessa solmupisteessä maapistettä lukuunottamatta. Virta esitetään solmujännitteen ja resistanssin (tai konduktanssin avulla) ja ratkaistavat tuntemattomat ovat ovat solmujännitteitä. NA etenee näin: Sovitaan yksi solmupiste maaksi (0 V) ja numeroidaan muut solmupisteet. Jokaiselle numeroidulle solmupisteelle kirjoitetaan vastaava KCL-yhtälö: Kustakin solmupisteestä vastusten kautta muihin solmupisteisiin poistuvat virrat merkitään positiivisina yhtälön vasemmalle puolelle. Virtalähteet kootaan yhtäsuuruusmerkin oikealle puolelle siten, että tulevat virrat merkitään positiivisina ja lähtevät negatiivisina. Näin oheiselle esimerkille voidaan johtaa yhtälöt: I 2 U U 2 I R R 2 R 3 maa (0V) ( Solmu U : U 0) ( U ------------------- U 2 ) ----------------------- I I 2 R R 2 ( Solmu U 2 : U 2 U ) ( U ----------------------- 2 0) ------------------- I 2 R 2 R 3 Käyttämällä konduktansseja G i /R i, yhtälöt voidaan kirjoittaa muotoon: G ( U 0) G 2 ( U U 2 ) I I 2 G 2 ( U 2 U ) G 3 ( U 2 0) I 2 ( G G 2 )U G 2 U 2 I I 2 G 2 U ( G 2 G 3 )U 2 I 2 joka on jälkimmäisen muodon perusteella helppo kirjoittaa systemaattiseen matriisimuotoon G G 2 G 2 G 2 G 2 G 3 U U 2 I I 2 I 2 25
Esim. 2.: Kuvan piiristä: laske jännitteet U ja U2. (Kurssikirjasta: Drill Exercise 4.5) 5Ω 5A U 60Ω 5Ω 2Ω U2 5A - - Kuva Ratkaisu: Maa ja solmujännitteet U ja U2 on valmiina kuvassa. Huomaa, että 5:n ja 60:n ohmin vastuksilla on yhteiset solmupisteet. Numeroiduille solmupisteille kirjoitetaan virtayhtälöt Kirchoffin virtalain avulla: Vasemmalle puolelle vastusten kautta muihin solmupisteisiin poistuvat virrat positiivisina. Oikealle puolelle yhtälöä virtalähteet positiivisena, jos virran suunta on kohti solmupistettä (poispäin negatiivisena). Solmu U: Solmu U2: U ---------- 60Ω U ( U ---------- U 2 ) ----------------------- 5A 5Ω 5Ω ( U 2 U ) U ----------------------- 2 ------- 5A 5Ω 2Ω { 7 -----S U --S 60 U 5A 5 2 7 --S U -----S 5 U 5A 0 2 Ratkaistaan tuntemattomat solmupistejännitteet esim. matriisilaskennan avulla: 7 ----- 60 -- 5 -- 5 ----- 7 0 U U 2 5 5 26
Seuraavaksi ratkaistaan tuntemattomat solmupistejännitteet. Käytetään Cramerin sääntöä (ks. luentomoniste): U 5 -- 5 7 5 ----- 05 95 -------- 0 ----- ------------------------ -------------------- 0 -------- 0 600 -------- 60V 9 7 ----- -------- ----- 95 -------- 0 -- 600 25 600 60 5 -- 5 7 ----- 0 U 2 7 ----- 5 60 -- 5 85 95 5 ----- 3 ----- ------------------------ ------------------- 60 -------- 60 600 -------- 0V 95 95 60 7 -------- -------- ----- -- 600 600 60 5 -- 5 ----- 7 0 Yhtälöryhmän ratkaiseminen matriisimuodossa Cramerin säännöllä on suositeltavaa varsinkin kolmen muuttujan yhtälöryhmän ratkaisemisessa. 27
Jänniteohjatut virtalähteet solmupiste-esityksessä Jänniteohjatut virtalähteet merkitään solmupiste-esityksessä lähteiden vektoriin samalla tavalla kuin riippumattomat virtalähteet. Ne voidaan siirtää osaksi G- matriisia, sillä ne ovat samaa muotoa: solmujännite kerrottuna jollakin vakiolla. 3U U U 2 I G G 2 G 3 4(U -U 2 ) Yhtälöryhmä muodostetaan edellisen esimerkin mukaan: konduktanssit ja solmujännitteet vasemmalle, virtalähteet oikealle: G G 2 G 2 G 2 G 2 G 3 U U 2 I 3 U 4 ( U U 2 ) 3 U Sitten siirretään solmujännitteitä sisältävät termit yhtäsuuruusmerkin vasemmalle puolelle (jolloin merkki vaihtuu) ja yhdistetään ko. solmujännitteen kertoimeen: G G 2 3 G 2 G 2 G 2 G 3 4 U U 2 I 0 28
Esim. 2.2: Laske jännitteet U ja U 2 kuvan 2 piirissä. I G G 2 G 3 4(U -U 2 ) U U 2 3U G 0,2 S G 2 0,4 S G 3 0, S I 5 A Kuva 2 Ratkaisu: Konduktanssit ja solmujännitteet vasemmalle, virtalähteet oikealle: G G 2 G 2 G 2 G 2 G 3 U U 2 I 4 U 4 U 2 3 U 4 U 4 U2 Siirretään solmujännitteitä sisältävät termit yhtäsuuruusmerkin vasemmalle puolelle (jolloin merkki vaihtuu) ja yhdistetään ko. solmujännitteen kertoimeen G G 2 4 G 2 4 G 2 G 2 G 3 4 U U 2 I 0 Sijoitetaan lukuarvot 3, 4 3, 6 0, 6 3, 5 U U 2 5 0 Ratkaistaan Cramerin säännöllä tuntemattomat solmupistejännitteet: 29
U 5 3, 6 0 3, 5 ----------------------------------------------- 3, 4 3, 6 0, 6 3, 5 7 -----------, 5, 80V 9, 74 U 2 3, 4 5 0, 6 0 ----------------------------------------------- 3, 4 3, 6 0, 6 3, 5 ----------- 3 0, 3V 9, 74 Tästä voidaan esim. laskea konduktanssin G 2 läpi kulkema virta I G2 : I G2 ( U U 2 ) G 2 0, 60V 4(U -U 2 ) U I G2 U 2 I G G 2 G 3 3U 30
Jännitelähteet solmupiste-esityksessä Jos piirissä on jännitelähde, solmupisteyhtälö voidaan ratkaista tekemällä lähteenmuunnos. Se ei kuitenkaan ole aina välttämätöntä, jos jännitelähde on solmupisteen ja maan (0V) välillä. Esim. 2.3: Kuvan 3 piirin solmujännitteiden ratkaisemiseen tarvitaan kaksi solmupisteyhtälöä. Valitaan yhteinen solmupiste maaksi (0 V) ja numeroidaan loput solmupisteet (U ja U 2 ). Jännite Ω:n vastuksen yli on virran i suunnan ollessa solmusta U poispäin U - 0V. Tällöin samaisen vastuksen läpi kulkeva virta i on (U - 0V) / Ω. Solmujen U ja U 2 yhtälöiksi saadaan siis: { { U 0 U ------------------- U ------- U 2 --------------------- 0 5 2 U 2 U ------------------- U 2 ------ 2 2 0 ( U 0V) 0,2U 0,5( U U ) 0 2 0,5( U 2 U ) 0,U 2 2 Ratkaisemalla yhtälöryhmä saadaan: U 9.09V ja U 2 0.9V i Ω 2Ω U U 2 0V 5Ω 0Ω 2A Kuva 3 Entäpä jos Ω:n vastuksen tilalla on pelkkä johdin? Tällöin 0V:n jännitelähde pakottaa solmun U ja maan väliseksi jännitteeksi 0V. Eli U on 0V ja ratkaistavaksi jää ainoastaan jännite U 2 : 0,5( U 2 0) 0,U 2 2 2 0,5 0 U 2 -------------------------- 0,5 0,,67 3
Tärkeä huomio jännitelähteistä solmupistemenetelmässä Kun kahden solmupisteen (joista kumpikaan ei ole maa) välisessä haarassa on pelkästään jännitelähde, on kyseessä solmupistemenetemän erikoistapaus, jossa käytetään ns. supersolmu -menetelmää (kurssikirjan kappale 4.4). Tätä menetelmää ei käsitellä harjoituksissa. Ohjatun lähteen tyyppi ja ohjaus Toinen tapa käsitellä jännitelähteitä solmupiste-esityksessä on muuntaa ne sopivan sarjaresistanssin kanssa häviöllisiksi virtalähteiksi. Muunnoksessa sijaiskytkentä lasketaan alkuperäisestä seuraavasti (ks. kuva 4a) U KU 2 > I U/R (K/R)U 2 Solmupistemenetelmässä voidaan käsitellä vain solmujännitteillä ohjattuja läh-teitä. Kuvan 4b) lähdettä ohjaa vastuksen R 2 läpi kulkeva virta I, ja tämä ohjaus on muutettava solmujänniteohjaukseksi, mikä käy toteamalla, että I U 2 /R 2. Samalla lähde on muutettu jännitelähteestä virtalähteeksi samalla tavoin kuin kuvassa 4a) a) R KU 2 U U 2 (K/R)U 2 R b) R KI (K/R)(U 2 /R 2 ) U U 2 I R2 R Kuva 4 32
HARJOITUKSESSA 2 LASKETTAVAT TEHTÄVÄT Esim. 2.4: LTS Laske kuvan 5 piiristä jännite U ja U 2. Älä tee lähteenmuunnosta. Huomaa, että jännite U x ei ole tuntematon vaan se on 75V. 800Ω 20Ω U 40Ω U x U 2 75V 50Ω 6A 200Ω Kuva 5 (Kurssikirjasta: PROBLEM 4.0) Vastaus: U 5V ja U 2 V. Esim. 2.5: LTS Laske kuvan 6 piiristä virta I 0. (tenttikysymys.2.07) 80V - 5Ω 5Ω 0Ω Ι U 0 U 2 70Ω 2Ω Kuva 6 Vastaus: I 0 (U -U 2 )/0Ω A 33
Esim. 2.6: Laske kuvan 7 piirin jännitteet U ja U 2 sekä 5Ω:n vastuksessa kuluva teho. (ei lähteenmuunnoksia) kuvasta saadaan: I φ (U - U 2 ) / 5Ω 2Ω 5Ω U U 2 2Ω 20V 20Ω I φ 0Ω - 8i φ Kuva 7 (kurssikirjasta: EXAMPLE 4.3) Vastaus:U 6V ja U 2 0V P 5Ω 5Ω * I φ 2 7.2W 34
Parametrisointi LTspice-vinkkejä Alla olevassa kuvassa jännitejakoesimerkki. Vastuksen R2 resistanssi on parametrisoitu. Parametrisointi asetetaan antamalla arvoksi jokin kirjaisymboli hakasulkujen sisään. Parametrisointi ei ole pakollinen temppu tässä kurssissa, mutta sillä voidaan helpottaa piirin analysointia. Tässä esimerkissä yksinkertaisin parametrisointi on asettaa parametrille R numeerinen arvo, esim. 4 ohm. Se tapahtuu klikkaamalla symbolirivilta äärioikealla olevaa toimintoa SPICE directive. Tämän jälkeen kirjoitetaan komento.param R4 Kuvassa tämä komento on poistettu käytöstä: sen eteen on lisätty *. Kuvan voimassa oleva SPICE direktiivi on.step param R 4 0.5 Tämä tarkoittaa että simuloidaan R:n arvolla -4Ω 0.5Ω:n askeleella. Eli vastaavassa käyrästössä näkyisi useampi vaste eri R2:n arvolla. Parametrisoinnilla voidaan siis etsiä ratkaisuja kokeilemalla. Ua *.param R 4.step param R 4 0.5 R Ub V 5 R2 {R}.tran e-3 35
Toinen esimerkki parametrisoinnista:.step param K 9 4 Ua R Ub V 5 {K*} R2 {K*4}.tran e-3 Nyt parametrisoituna on kerroin K, joka saa arvot, 5 ja 9 (yhdestä yhdeksään askeleella 4). Solmujännitteen Ub arvo ei taida muuttua, mutta muuttuuko silmukan virta? 36
Harjoitus 3 Silmukkavirtamenetelmä (MA, Mesh Analysis) Silmukkavirta-analyysi pohjaa KVL:n käyttöön: yhtälöissä esitetään jännitehäviöitä ja -nousuja verkon suljettujen silmukoiden ympäri. Verkosta etsitään riippumattomat (ei-sisäkkäiset) silmukat ja tarkastellaan jännitemuutoksia, kun kierretään silmukan ympäri. Silmukan jännitteet esitetään virran ja resistanssin avulla. Ratkaistavia tuntemattomia ovat nimenomaan silmukkavirrat. Systemaattisuuden vuoksi sovitaan, että kaikki silmukkavirrat kiertävät samaan suuntaan (myötäpäivään). MA etenee näin: Tunnistetaan ei-sisäkkäiset silmukat ja numeroidaan silmukoiden virrat Kierrettävän silmukan resistansseissa tapahtuvat jännitemuutokset kirjoitetaan yhtälön vasemmalle puolelle. Koska silmukkavirtojen suunnat ovat aina myötäpäivään, silmukoiden välisissä haaroissa virrat ovat silmukkavirtojen erotuksia. Jokaisessa silmukassa kerätään jännitelähteet yhtäsuuruusmerkin oikealle puolelle. Jos silmukkavirran suunta on jännitelähteen plus-navasta poispäin, lähde merkitään positiivisena, muutoin negatiivisina. R I I 2 R 2 I -I 2 U - I R 3 I 2 - U 2 I I 2 -I I 2 Silmukka : I R ( I I 2 )R 3 U Silmukka 2: ( I 2 I )R 3 I 2 R 2 U 2 Kootaan jälleen yhtä muuttujaa (silmukkavirtaa) vastaavat termit yhteen, jolloin Silmukka : ( R R 3 )I R 3 I 2 U Silmukka 2: R 3 I ( R 2 R 3 )I 2 U 2 josta saadaan suoraan matriisimuodoksi R R 3 R 3 R 3 R 2 R 3 I I 2 U U 2 37
Esim. 3.: Laske kuvan piirissä virrat I ja I 2 silmukkavirtamenetelmällä. Ω Ω 8 V 2 Ω - I I 2-7 V Kuva Ratkaisu: Muodostetaan matriisiyhtälöt : I ( Ω 2Ω ) I 2 2Ω 8V I 2Ω I 2 ( Ω 2Ω) Matriisi: RIU 7V 3 2 2 3 I I 2 87 Virtojen ratkaisu Cramerin säännöllä: I 8 2 7 3 --------------------- [ ------------------------------------------- 8 3 ( 7 2) ] 24 4 [ 3 3 ( 2 2) ] ----------------- 9 4 2A 3 2 2 3 I 2 3 8 2 7 --------------------- [ -------------------------------------------------- ( 3 7 ) ( 2 8) ] 5 ----- A [ 3 3 ( 2 2) ] 5 3 2 2 3 Tästä voidaan ratkaista edelleen esim. 2Ω:n vastuksen yli oleva jännite: U 2Ω 2Ω( I -I 2 ) 6V 38
Virtaohjatut jännitelähteet silmukkavirtamenetelmässä Silmukkavirtamenetelmässä lähteen on yleensä oltava jännitelähtöinen, ja ohjattu lähde voidaan siirtää kerroinmatriisiin vain jos se voidaan esittää silmukkavirtojen avulla. Niinpä lähteille voidaan silmukkavirtamenetelmää käytettäessä tehdä seuraavat operaatiot: Muunnetaan lähde niin, että se on jännitelähtöinen Muunnetaan ohjatun lähteen ohjaus siten, että se voidaan lausua jonkin silmukkavirran avulla. 2I R R 2 U R I I 3 2 U 2 Kootaan jälleen yhtä muuttujaa (silmukkavirtaa) vastaavat termit yhteen, jolloin Silmukka : ( R R 3 )I R 3 I 2 U Silmukka 2: R 3 I ( R 2 R 3 )I 2 2I U 2 josta saadaan suoraan matriisimuodoksi R R 3 R 3 R 3 2 R 2 R 3 I I 2 U U 2 39
Virtalähteet silmukkavirta-esityksessä Jos piirissä on virtalähde, silmukkayhtälö voidaan ratkaista tekemällä lähteenmuunnos. Se ei kuitenkaan ole aina välttämätöntä, jos lähde ei ole kahden silmukan välisessä haarassa (ks. seuraavan sivun alussa oleva huomautus). Esim. 3.2: Ratkaise kuvan 2 piiristä virta i x. (kurssikirjasta: DRILL EXERCISE 4.8) Ylimmässä silmukassa kiertää siis 4A:n silmukkavirta. Tällöin i x on virtojen I ja 4A erotus ja se voidaan kirjoittaa suoraan i 2 :n silmukkavirtayhtälöön. 4 A 4Ω 3Ω i x 2Ω 6Ω 5Ω 28V - I I2-30i x Kuva 2 2ΩI 6ΩI 2 4Ω 4A 28V 6ΩI 4ΩI 2 3Ω 4A 30( I 4A) 0V 2 6 6 30 4 I I 2 28 6 0 2 20 I 9A i x I 4A 5A 40
Tärkeä huomio virtalähteistä silmukkavirtamenetelmässä Kun kahden silmukan välisessä haarassa on pelkästään virtalähde, on kyseessä silmukkavirtamenetemän erikoistapaus, jossa käyttetään ns. supersilmukka - menetelmää (kurssikirjan kappale 4.7). Tätä menetelmää ei käsitellä harjoituksissa. Ohjatun lähteen tyyppi ja ohjaus Virtalähteitä voidaan silmukkavirtamenetelmässä käsitellä myös lähteenmuunnoksella. Silmukkavirtamenetelmässä lähde on muunnetaan jännitelähtöiseksi, ja ohjattu lähde voidaan siirtää kerroinmatriisiin vain jos se voidaan esittää silmukkavirtojen avulla. Kuvan 3b) lähdettä ohjaa vastuksen R 2 yli oleva jännite U 2, ja tämä ohjaus on muutettava silmukkavirtaohjaukseksi, mikä käy toteamalla, että U 2 R 2 (I -I 2 ). Samalla lähde on muutettu virtalähteestä jännitelähteeksi samalla tavoin kuin kuvassa 3a). a) KI R RKI R I I 2 I I 2 b) KU 2 U 2 R U 2 RKR 2 (I -I 2 ) R R 2 I I 2 I R 2 I 2 Kuva 3 4
Esim. 3.3: Laske kuvan 4 piirin virta i 0 silmukkavirtamenetelmällä. 2Ω Ω i 0 3Ω 6sin t - 3i 0 2Ω 4Ω Kuva 4 Muunnetaan virtalähteet jännitelähteiksi. Tavoitteena on muodostaa virtalähteen ja vastuksen rinnankytkentöjä, jotka voidaan muuttaa vastaaviksi jännitelähteiksi. Käytetään silmukkavirtamenetelmää sekä muunnetaan virtalähde 3i o kahdeksi jännitelähteeksi. 2Ω 2Ω Ω i 0 Ω 6sin t I 3Ω - 2Ω 3Ω 3i 0 2Ω 3i 0 i 0 6sin t - 3i 0 4 6i 0 I 2 4 Kirjoitetaan matriisit URI 6 3 3 9 I 3i o 6sint I 2 6i o 6sint 42
Koska silmukkavirtamenetelmässä voidaan käsitellä vain silmukkavirroilla ohjattuja lähteitä, täytyy aluksi etsiä i o :n lauseke I :n ja I 2 :n funktiona: i 0 I I 2 Sijoitetaan silmukkavirtoja sisältävät termit yhtälön vasemmalle puolelle: 3 0 9 5 I 6sint I 2 6sint I 6sint 0 6sint 5 -------------------------------- 3 0 9 5 --------------- 90sint 45 I 2 3 6 sint 9 6sint ------------------------------- 8sint ( 54 sint ) ------------------------------------------------- 45 3 0 9 5 36 ----- sint 45 i o ( 90 36) ---------------------- sint 45 6 -- sint 5 Tehtävän voi ratkaista myös: Esimerkin 3.2 mukaan ilman piirin muokkausta TAI Solmupistemenetelmällä muuntamalla jännitelähde 6sint vastaavaksi virtalähteeksi. Tällöin tosin joudutaan ratkaisemaan 3x3-matriisiyhtälö. 43
HARJOITUKSESSA 3 LASKETTAVAT TEHTÄVÄT Esim. 3.4: LTS Laske 5 piiristä virta I.(tenttikysymys 3.5.2008) 2A 5Ω 0Ω Ι 5Ω Vastaus: I A 70Ω 2Ω Kuva 5 Esim. 3.5: Laske kuvan 6 piirissä 8Ω:n vastuksessa kuluva teho 7Ω 6Ω I 2 4Ω 8Ω 7Ω 20Ω - I I3 80V 24 I 2 - Kuva 6 (Kurssikirjasta: PROBLEM 4.35) Vastaus: I 3.5A, joten p 8Ω 8Ω*3.5 2 98W Cramerin sääntöä varten: 3-rivisen determinantin laskukaava a b c d e f g h i a e f h i b d f c d e g i g h 44
Lähteiden vaikutuksesta Kuva 7a: resistanssilla R ei ole vaikutusta silmukkavirtaan I s. Kuva 7b: resistanssilla R ei ole vaikutusta solmujännitteeseen U k. Piirin a) tapauksessa resistanssin R 2 yli olevan jännitteen määrää ainoastaan virtojen I ja I s erotus. Virtalähteen virta ei muutu, vaikka sen yli on mikä jännite hyvänsä, joten sen voi muiden signaalien kannalta mieltää avoimeksi piiriksi. Sarjakomponentti R vaikuttaa toki virtalähteen yli muodostuvaan jännitteeseen sekä piirin tuloresistanssiin, mutta ei piiriin syötettävän virran määrään. Piirin b) tapauksessa U k on pakotettu potentiaaliin U (eli U k U). Tällöin virta I s on (U k -U k2 ) / R 2. Eli R :n poistaminen ei vaikuta jännitteeseen U k. Jännitelähteen jännite on vakio virtatasosta riippumatta, joten muiden kuin oman signaalinsa kannalta sen voi ajatella oikosuluksi (jännitevaihtelu on nolla). Jännitelähde siis oikosulkee rinnallaan olevan komponentin, jolloin sen merkitys muulle kuin lähteen itsensä näkemälle impedanssille (resistanssille) katoaa. a) R I U k R 3 I I R 2 I s b) U k R 2 U k2 U - R I s R 3 Kuva 7 45
Hyvä apuväline yhtälöryhmiin: Octave Tätä voit kokeilla vaikka heti, Octaven Online-versio lötyy osoitteesta: http://lavica.fesb.hr/octave/octave-on-line_en.php Alla ratkaistaan vektori x yhtälöstä Axy. Matriisi A annetaan Octavessa rivi kerrallaan, puolipiste on rivinvaihto. Parametri y ja ratkaistava x ovat transpoosivektoreita, esim y [ 0 0 ] T. Annetut parametrit ja lopputulos (x) ilmestyvät ruudulle tässä muodossa: A y x 0 0 4 5 6 8 2 3 0 0.0000 2.0000-0.6667 Octaven voi asentaa myös omalle koneelle (ilmainen). Tästä on hyvä aloittaa: https://wiki.oulu.fi/display/stsoftia/octave 46
Superpositiomenetelmä Harjoitus 4 Kun lineaarisessa verkossa on useita riippumattomia lähteitä, niiden yhteisvaikutus saadaan laskemalla yhden lähteen vaikutus kerrallaan ja summaamalla lopuksi kaikkien lähteiden vaikutukset yhteen. Ohjatut lähteet jätetään verkkoon, mutta riippumattomat lähteet merkitään vuorotellen nolliksi. Jännitelähde korvataan siis oikosululla (U0) ja virtalähde avoimella piirillä (I0). Lasketaan yksitellen riippumattomien lähteiden aiheuttama vaste laskettavassa suureessa (virta tai jännite). Lopuksi summataan kaikkien lähteiden vaikutukset yhteen. U I Jännitelähteen nollaaminen Virtalähteen nollaaminen Esim. 4.: Laske kuvan jännite U 2 superpositiomenetelmällä. U a R R 2 U 2 R 3 U b Ratkaistaan solmupisteessä U 2 oleva jännite laskemalla kummankin jännitelähteen vaikutus erikseen ja summaamalla lopuksi jännitteet yhteen. Kuva R R 2 U 2a U a R 3 R 2 R 3 U 2a ----------------------------- Ua R 2 R 3 R R R 2 U 2b R 3 U b R R 3 U 2b ----------------------------- Ub R R 3 R 2 U 2 U 2a U 2b 47
Esim. 4.2: Laske kuvan 2 jännite U 2. 2Ω U 2 Ω 5V 3Ω A Kuva 2 5V 2Ω U 2 3Ω Ω A Ratkaistaan solmupisteessä U 2 oleva jännite laskemalla kummankin lähteen vaikutus erikseen ja summaamalla lopuksi jännitteet yhteen. 2Ω U 2a Ω 5V 3Ω U 2a 3Ω --------------------- 5V 3V 2Ω 3Ω 2Ω U 2b Ω 3Ω A U 2b ( 2Ω 3Ω)A,2V U 2 U 2a U 2b 4,2V 48
Nortonin ja Theveninin ekvivalenteista yleisesti Kuvassa harmaan alueen sisällä on jokin piiri, johon on lisätty terminaalit (a,b). Nämä terminaalit muodostavat yhden portin. Tälle piirille lasketaan joko Nortonin tai Thevenin ekvivalenttipiiri. Huomaa, että verkkoa vastaavat ekvivalenttipiirit koostuvat lähteestä ja sarja- tai rinnakkaisvastuksesta. Tuttu konsepti: Nortonin ekvivalen voi muuntaa Theveninin vastaavaksi lähteenmuunnoksella (ks. harjoitus ). Ja tietysti toisin päin. a Joku verkko b R T I N R N U T - Nortonin ekvivalentti Theveninin ekvivalentti Jos esim. kysytään piirin Nortonin ekvivalenttia ja Theveninin ekvivalentti on mielestäsi helpompi laskea, niin laskepa ensin Thevenin ekvivalaenttipiiri. Sitten lähteenmuunnos. 49
Theveninin ekvivalentti Jännitelähteestä ja sarjavastuksesta muodostuvan Theveninin ekvivalentti voidaan laskea kahdella tavalla: TAPA (piirissä ei ole ohjattuja lähteitä) Kuvassa lasketaan piirin tyhjäkäyntijännite ja lähtöresistanssi. Tyhjäkäyntijännite lasketaan ratkaisemalla lähtöjännite U T, kun lähtövirta i o 0. Lähtöimpedanssi ratkaistaan siten, että kaikki riippumattomat lähteet merkitään nollaksi (jännitelähteet oikosuljetaan ja virtalähteet katkaistaan) ja lasketaan piirin lähtöresistanssi. R Theveninin ekvivalentti: R T U a R 2 I b U T Lasketaan tyhjäkäyntijännite U T esim. superposiotiomenetelmällä: Lähtöresistanssi R T : R io0 R U a R 2 I b U T R 2 R T R 2 R U T U a ------------------- R 2 ------------------- R Ib R 2 R R R 2 R R 2 T R R 2 ------------------- R R 2 Kuva 3 50
Esim. 4.3: Muodosta Theveninin ekvivalenttipiiri kuvan 4 piirille. 20Ω 4Ω Theveninin ekvivalentti: R T 5V 5Ω 3A U T Kuva 4 Lähdemuunnetaan jännitelähde virtalähteeksi sekä muutetaan resistanssit konduktansseiksi: /4S 5/20A /20S /5S 3A Yhdistämällä saadaan: I 5/20A 3A 65/20A ja G /20S /5S /4S. /4S I 65/20A G/4S Ja muuntamalla jännitelähteeksi: 4Ω 4Ω Theveninin ekvivalentti: 8Ω 3V 3V 5
TAPA2 (piirissä ON ohjattuja lähteitä) Jos verkossa on ohjattuja lähteitä, edellinen menettely voi olla hankala. Sama asia voidaan tehdä yhdellä analyysillä ajamalla verkkoa testivirralla i o ja ratkaisemalla lähtöjännite u o. Ratkaistava lähtöjännite esitetään muodossa u o A - Bi o, josta saadaan suoraan tyhjäkäyntijännite (U T A) ja lähtöresistanssi (R T B) R Theveninin ekvivalentti: R T U a i x R 2 U T i x 0.5U a R U i a x R 2 u o i o Ratkaistaan u o esim. Kirchoffin virtalain mukaisesti (u o on ratkaistava solmujännite): u o U a u o ------------------ ------ 0,5U R R a i 0 2 u o u o U a U ------ ------ ------ u ------ R R 2 R o ------ a ------ 0,5U R R 2 R a i 0 0,5 ------ R Ua i 0 0,5 ------ R Ua i 0 u -------------------------------------------- o -------------------------------------------- ------ ------ R R 2 R R -------------------- 2 R R 2 R R 2 0,5 ------ Ua i R 0 ------------------------------------------------------------------ R R 2 u o U a 0,5 ------ R R 2 R -------------------- i R 2 R R R 0 -------------------- U 2 R R T R T i o 2 52
Esim. 4.4: Muodosta Theveninin ekvivalenttipiiri kuvan 5 piirille. 3ix 24V 2Ω i x - 4A 8Ω Kuva 5 3ix 24V - 2Ω u 0 i x 4A 8Ω i 0 u 0 24 u ----------------- 0 ----- 3i 2 8 x 4 i 0 u 0 kuvasta nähdään: i x ----- 8 u ----- 0 2 u 0 3u ----- 0 -------- 8 8 24 ----- 4 i 2 0 u 0 8 i 0 U T R T i o Saadaan Theveninin ekvivalenttipiiriksi: Ω 8V - 53
Nortonin ekvivalentti Virtalähteestä ja rinnakkaiskonduktanssista muodostuvan Nortonin ekvivalentin komponenttiarvot voidaan laskea kahdella tavalla. TAPA (piirissä ei ole ohjattuja lähteitä) Lasketaan piirin oikosulkuvirta ja lähtökonduktanssi. Oikosulkuvirta lasketaan ratkaisemalla lähtövirta I N, kun lähtöjännite u o 0. Lähtökonduktanssi ratkaistaan siten, että kaikki riippumattomat lähteet merkitään nollaksi (jännitelähteet oikosuljetaan ja virtalähteet katkaistaan ja lasketaan piirin lähtökonduktanssi. R Nortonin ekvivalentti: U a R 2 I b I N GN Lasketaan oikosulkuvirta I N Lähtökonduktanssi G N : muuntamalla ensin jännitelähde virtalähteeksi : I N U a R R R 2 I b u o 0 R R 2 G N I N U a --------- I R b G N ----- ----- R R 2 54
Esim. 4.5: Muodosta Nortonin ekvivalenttipiiri kuvan 6 piirille. Ω Nortonin ekvivalentti: 3V - 2Ω A I N GN Kuva 6 Oikosuljetaan piirin lähtö ja lasketaan oikosulkuvirta. Ω 3V - 2Ω A I N 3V I N ------- A 4A Ω Ω 2Ω G ------- N -------, 5S 2Ω Ω Nortonin ekvivalentti: 4A,5S 55
TAPA2 (piirissä ON ohjattuja lähteitä) Jos verkossa on ohjattuja lähteitä, edellinen menettely voi olla hankala. Sama asia voidaan tehdä yhdellä analyysillä ajamalla verkkoa testijännitteellä u o ja ratkaisemalla lähtövirta i o. Kun lähtövirta esitetään muodossa i o A - Bu o, siitä saadaan suoraan oikosulkuvirta (I N A) ja lähtökonduktanssi (G N B) I a R Nortonin ekvivalentti: U a U U I N GN R 2 U a R R I a Silmukkavirtamenetelmällä: i o I a ( R R 2 ) i o R 2 U a R I a R 2 i o R 2 R 2 I a u o R I a u o Silmukkamatriisi: 2R R 2 R 2 I a R R 2 R 2 i o U a u o Ratkaistaan Cramerin säännöllä i o : 2R R 2 U a i o R R 2 u o 2R R 2 R 2 ( 2R R 2 )( u o ) ( R R 2 )U -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- a ( 2R R 2 )R 2 ( R R 2 )( R 2 ) R R 2 R 2 i o ( R R 2 )U a ( 2R -------------------------------------- R 2 ) ---------------------------- u R 2 R R 2 R o I N G N u o I N G N 56
Esim. 4.6: Ratkaise kuvan 7 piirille Nortonin ekvivalentti: i 2Ω 2Ω Nortonin ekvivalentti: 2V Ω 2i I N G N Kuva 7 i 2Ω 2Ω i o 2V Ω 2i u o 5 3 3 i i 0 2 u 0 i 0 5 2 3 u 0 5u --------------------- 0 6 --------------------- 2 5 3 3 5 -- -----u 2 2 0 ELI: I N 0.5A G N 5/2 S 57
Yhteenvetona Nortonin ja Theveninin ekvivalenteista ja pähkinä purtavaksi Jos piirissä ei ole ohjattuja lähteitä, ratkaisu on helppo. Joskus jopa piirin pelkistämisellä päästään haluttuun tulokseen. Lähteenmuunnoksella pääsee ekvivalenttipiiristä toiseen. Jos ohjattuja lähteitä on, portista näkyvän resistanssin laskenta hankaloituu. Tämä siksi, koska ohjattuja lähteitä ei voi nollata ja ne vaikuttavat kokonaisresistanssiin. Testilähteen käyttäminen on yleispätevä metodi, jolla päästään suht helposti lopulliseen ratkaisuun. Muistakaa, että testilähteen arvo on aina symbolinen ja sitä ei lasketa. Esimerkkinä viereisen sivun kuvasta u 0. Olisiko muuta keinoa? Jos ratkaiset piirille sekä tyhjäkäyntijännitteen U T että oikosulkuvirran I N, saat ekvivalenttipiirin resistanssin jakamalla U T /I N. Tämä metodi toimii jos U T ja I N ovat nollasta poikkeavia. Piirisimulaattorilla voi siis saada ekvivalenttipiirin kätevästi. Edellisestä mainittakoon, että U T ja I N voivat olla nollia, mikä tarkoittaa sitä, että ohjattu lähde absorboituu kokonaan resistanssiksi. Tästä esimerkkinä alla oleva piiri. Testivirralla voi todeta laskemalla, että ekvivalenttipiiri koostuu vain 2.5Ω vastuksesta (ja U T on nolla). LTspice antaisi vain tuloset U T 0Vja I N 0A. Jos U T (ja samalla I N ) on nolla, oikean resistanssin saa LTspicessä siten, että astetetaan porttiin A virta ja simuloidaan tulos u 0. Resistanssi u 0 /Aon kuvan tapauksessa 2.5Ω. Kokeile! LTS 8Ω 5Ω u 5Ω u o EKVIVA- LENTTI: -u 80Ω i φ 2.5Ω 58
HARJOITUKSESSA 4 LASKETTAVAT TEHTÄVÄT Esim. 4.7: LTS Laske kuvan 8 piiristä jännite U sekä 0Ω:n vastuksessa kuluva teho käyttäen superpositiomenetelmää. (KURSSIKIRJA: DRILL EXERCISE. 4.27) 4 A 5Ω U 2Ω 0V - 0Ω 2Ω Kuva 8 Vastaus U V ja P 0Ω W Esim. 4.8: Laske kuvan 9 piirin virta I 4 laskemalla ensin katkoviivan sisällä olevalle osalle Nortonin ekvivalentti. 5V 3Ω 4Ω 2Ω - 6V - 2V - Ι 4 0Ω Kuva 9 Vastaus:.27A 59
Esim. 4.9: Ratkaise kuvan 0 piirille (portista a,b näkyvä) Theveninin ekvivalentti. (tenttitehtävä.08.2007) 60Ω 6Ω 20Ω a 40i φ 80Ω i φ b Kuva 0 Vastaus: U T 0V ja R T 8,75Ω 60
Harjoitus 5 REAKTIIVISET PIIRIELIMET, OSA. Kela ja kondensaattori ovat passiivisia elementtejä, aivan kuten vastuksetkin. Passiivisuudella tarkoitetaan kykenemättömyyttä tuottaa energiaa. Vastuksesta poiketen kondensaattori ja kela voivat kuitenkin varastoida energiaa, joko sähkö- tai magneettikenttään. Kapasitanssi [C] F As/V s/ω Kondensaattori on komponentti, joka varastoi sähköenergiaa johdelevyjen väliseen sähkökenttään. Kondensaattorin virta poikkeaa nollasta vain, jos levyjen välinen jännite muuttuu (du/dt 0). Kapasitanssin virta-jännite -yhtälöt ilman kondensaattorin alkujännitettä sekä alkujännitteen kanssa ovat alla olevassa kuvassa. u(t) - Kuva i(t) C u(t) - Kuva 2 i(t) C u(t 0 ) u( t) i( t) C du ------------ ( t) dt t --- i( τ) dτ C () (2) u( t) t --- i( τ) dτ C Alkujännite u(t 0 ) on nollasta poikkeava jännitteen tila integroinnin alkuhetkellä t 0. Eli lyhyemmin jännitteen alkutila. Sähkökenttään varastoitunut energia on: w( t) --C u( t) 2 (4) 2 Kondensaattorin jännite ei voi muuttua äkillisesti (askelmaisesti), koska tämä vaatisi äärettömän virran (tosin kondensaattorin virta voi muuttua äkillisesti). Jos kondensaattorin jännite on vakio, virta on nolla. t 0 u( t o ) (3) 6
Esim. 5.: Kapasitanssi on 0.5µF ja sen yli oleva jännite on: { 0, t 0 4 u(t) [V] 3 u( t) 4t, 0 < t 2 4 e t, t > 0 0 5 0 t [s] Laske kondensaattorin virta. Ratkaisu: Käytetään kaavaa () jokaiselle osalle erikseen, jolloin: i( t) { 0, 5µF 0 0A, t 0 0, 5µF 4 2µA, 0 < t 0, 5µF ( 4 e t ) 2 e t µa, t > i(t) [µa] 2 0-2 0 5 0 t [s] 62
Induktanssi [L] H Vs/A s Ω Kela (käämi) on komponentti, joka varastoi sähköenergiaa kelaa ympäröivään magneettikenttään. Mitä suurempi virta induktanssin läpi kulkee, sitä suurempi on magneettikentän voimakkuus. Kelan yli indusoituu jännite vain, jos virta muuttuu (di/dt 0). Induktanssin virta-jänniteriippuvuutta kuvaa seuraavat yhtälöt ilman alkuvirtaa ja alkuvirran kanssa ovat alla olevassa kuvassa. u(t) - Kuva 3 i(t) L u(t) - Kuva 4 i(t) L i(t 0 ) i( t) u( t) L di ----------- ( t) dt t -- u( τ) dτ L (5) (6) i( t) t -- u( τ) dτ L i( t 0 ) t 0 (7) Alkuvirta i(t 0 ) on nollasta poikkeava virran tila integroinnin alkuhetkellä t 0. Eli lyhyemmin virran alkutila. Induktanssiin varastoitunut energia on: w( t) --L 2 i( t) 2 (8) Kelan virta ei voi muuttua äkillisesti (askelmaisesti), koska tämä vaatisi äärettömän jännitteen (tosin kelan jännite voi muuttua äkillisesti). Jos kelan virta on vakio, jännite on nolla. 63