521302A PIIRITEORIA 1 Laskuharjoitukset - syksy 2015

Transkriptio

1 52302A PIIRITEORIA Laskuharjoitukset - syksy 205 TkT Marko Neitola marko.neitola(at)oulu.fi TS223

2 Sisältö Kurssitietoa... 3 LTspice-vinkkejä... 7 Harjoitus... 9 LTspice-vinkkejä Harjoitus LTspice-vinkkejä Harjoitus Harjoitus Harjoitus LTspice-vinkkejä... 7 Harjoitus LTspice-vinkkejä (alkutilat) Harjoitus LTspice-vinkkejä Harjoitus LTspice-vinkkejä: Amplitudivaste ja Desibeliasteikko AC-analyysissä... 3 Harjoitus Harjoitus 0 (ei tule tenttiin)

3 Piiriteoria verkossa Kurssitietoa Kurssin materiaalipankkina toimii on Optima (TTK-ympäristö), josta löytyy mm. ilmoitustaulu, lisämateriaalia, aikataulut yms. Harjoitustöiden palautuskin tapahtuu Optiman kautta. Kun olet tutustunut tähän tiedotteeseen (s. 3-6), käy tekemässä Optimaan toteutettu alkutentti. Alkutenttiin ei tarvitse valmistautua, eikä se ole työläs. Kurssin työtila löytyy Optima-ympäristöstä Oulun yliopisto, TTK. Jos Optiman kanssa tulee ongelmia, tukea saa sähköpostitse: lasses(at)ee.oulu.fi. Tutustu kurssin aikatauluun (välikokeet, harkkatyö) ja vertaile omaan kalenteriisi. Ilmoitelkaa opettajalle hyvissä ajoin, jos muut opinnot tai tärkeät opiskelijariennot ovat törmäyskurssilla. Kurssin Virallinen Piirisimulaattori Kurssin harjoitustyö tehdään ohjelmalla LTspice. Se on ilmainen ja täysverinen piirisimulaattori. Kurssin loputtua sinulla on käytössäsi työkalu, josta on hyötyä tulevaisuudessakin. LTspice-käyttöohjeita on koottu Optimaan, vinkkejä löytyy runsaasti myös tästä materiaalista. Ohjelman voi ladata omalle koneelle (Windows, Mac) osoitteesta: Ohjelman saa Linuxiinkin, jos Wine-emulaattori on asennettuna. Vaihtoehtoisesti simuloinnit voidaan tehdä PC-luokassa TS34 tai TS35. PCluokassa järjestetaan joitain vapaaehtoisia harjoitustyön tekemiseen tarkoitettuja tilaisuuksia, joissa opettaja neuvoo. Tähän tilaisuuteen voit tuoda tarvittaessa oman läppärin. 3

4 Pakollinen harjoitustyö Harjoitustö on yksilösuoritus, kurssin jälkeen pitäisi olla tuntuma simulaattorin käyttöön. Yhteistyötä ei voida kieltää, mutta tehkää se siten, että kukin opiskelija tekee kaikki tehtävät ja siihen liittyvät aivoitukset täysin itsenäisesti. Älä tee työtä siten, että olette yhteisen koneen äärellä ja vastaukset ovat samat. Tätä on harrastettu ja siitä on jääty kiinni. Ja tästä seurannut kuulustelu oli aika epämiellyttävä kokemus kaikille osapuolille. Harjoitustyössä on kaksi osaa, joista ensimmainen liitty laskuharjoitusten -4 teemoihin ja toinen osa liittyy laskuharjoituksten 5-8 teemoihin. Harjoitustyöhön ei tarvitse ilmoittautua. Työ (jompikumpi osa tai molemmat) tehdään Optimassa parin päivän aikana. Osat ja 2 voi siis tehdä eri aikoina. Katso aikataulut Optimasta. Mahdollisuuksia harkkatyön tekemiseen tulee muutama syksyn aikana. Ja jopa keväälläkin, jos on kysyntää. Harjoitustyö tehdään tekstieditorilla ja se palautetaan Optima-työtilan palautsboksiin. Huomaa, että harjoitustyön hyväksyntä Optimassa ei välttämättä näy heti Oodissa. Opettajat kokoavat yleensä merkintöjä nipuksi, joka lähetetään sopivana hetkenä opintosuoritusrekisteriin. Jos merkinnällä on hoppu, siitä kannattaa sanoa opettajalle. Merkinnän saa kun molemmat osat ovat hyväksytty. Kun harjoitustyökysymys (osa ja osa 2) on julkaistu Optimassa, sinulla on 2 vuorokautta aikaa vastata. Tähän on siis syytä valmistautua etukäteen. Kuinka valmistaudun harjoitustyöhön? Ratkaisemalla laskutehtäviä LTspicellä. Laskuharjoitusmateriaalissa simulaattoriin istuvia esimerkkitehtäviä ovat merkittynä symboleilla LTS. Erillisiä LTspice-vinkkejä löytyy myös laskarimateriaalista, ks. sisällysluettelo. 4

5 Harjoitustyön osaamistavoitteet Osa : Osaat... simuloida resistiivistä verkkoa eri lähteillä (VS, CS, VCVS, VCCS) simuloida dc- ja siniherätteillä valita simulointiajan siniherätteellä mitata virtoja, jännitteitä ja tehoja. mitata vastuksen yli olevan jännitteen, missä kummassakkaan päässä ei ole maa Osa 2: Osaat... simuloida alkutilan arvon asettaa alkutilan (.ic ) tehdä AC-analyysin tulkita AC-analyysin tulosta Tukea itseopiskeluun Jos jäät jumiin jonkin tehtävän tai simulaattorin kanssa, voit esittää kysymyksiä foorumissa, joka löytyy Optimasta. Foorumi on suositeltavampi kun sähköposti, koska usein moni kurssilainen miettii juuri samaa ongelmaa. Foorumeita on seuravanlaisia: - Foorumi : Nimetön foorumi palautteelle ja kysymyksille (esim. laskutehtävään liittyviä kysymyksiä). - Harjoitustyö : Nimetön foorumi harjoitustyöhön liittyville kysymyksille - Harjoitustyö (k) : harjoitustyöfoorumi, jossa kuvaliitteet ovat mahdollisia. Ei ole nimetön. Välikokeet lopputentin korvaajana Syksyn aikana pidetään 2 kpl välikokeita. Jos ne menevät hyvin, saat niistä kurssin arvosanan, eikä lopputenttiin tarvitse mennä. Välikokeet eivät ole osaston järjestämiä, eikä niihin tarvitse ilmoittautua. Kokeiden paikasta, pisteytyksestä ja aikatauluista ilmoitetaan tarkemmin Optimassa. Todennäköisesti ovat luennon tai laskuharjoituksen paikalla. Välikokeissa ei sallita ylimääräistä aineistoa (lunttilappu yms.). Graafinen laskin on sallittu sillä poikkeuksella, että symboliseen laskentaan pystyviä laskimia ei sallita. 5

6 Lopputentti Lopputentissä saa olla graafinen laskin (ei aineistoa kuten lunttilappu). Lopputentissä on 4 tehtävää, max. 2 pistettä yhteensä. Lopputentti - käytännön linjauksia: Graafiset laskimet ovat sallittuja sillä poikkeuksella, että symboliseen laskentaan pystyviä laskimia ei sallita. Tehtävien väliväiheet tulee dokumentoida. Lopputenttitehtävässä arvostelun painokerroin tulee aina olemaan ongelman ratkaisun hahmottamisessa. Eli valtaosa pisteistä tulee, kun olet osannut hahmottaa ongelman ratkaistavaan muotoon (esim. yhtälöryhmä tehty oikein). Täydet pisteet saa luonnollisesti, kun osaat johtaa oikean lopputuloksenkin Käytännön vinkki kurssin suorittamiseen Piiriteoria I:llä on vaikean kurssin maine. Syy on siinä, että kurssin asiat eivät ole irrallisia: aiemmin opittua tullaan käyttämään myöhemmissä teemoissa. Ja myöhemmissä alan kursseissa. Harjoitus sisältää piiriteorian perustyökalut, jotka on syytä osata erittäin sujuvasti. Ekan harjoituksen asioihin kannattaa palata uudelleen, varsinkin jos ongelman hahmottaminen takkuaa. Monesti tenttivastauksista on havaittu, että ongelman helpointa ratkaisua ei pystytä näkemään. Esimerkiksi tehtävä ratkeaisi helposti resistiivisen virtajaon kaavalla (harj. ), mutta olikin muodostettu isohko silmukkavirtayhtälöryhmä (harj. 3). Väärin muistettu kaava on yleinen ongelma lopputentissä. Monesti kaavan voi näkömuistin asemesta johtaa tajuamalla pari simppleliä perusasiaa. Hyvänä esimerkkinä on em. virtajaon kaava. Viisas pääsee vähemmällä. 6

7 LTspice-vinkkejä Aloitetaan laskuesimerkin simuloimisella. Piirikaavion piirrossa olennaisimmat painikkeet ovat alla olevassa kuvassa. Johdin vastus kela component mm. jänniteja virtalähteet maa (aina pakollinen) kondensaattori Esimerkin.9 (sivu 23) LTspice-piirikaavio on tämän näköinen: johdin Jännitelähde (voltage) V vastus (resistance) R 5 nimi arvo (tässä ohmeja) simuloinnin kuvaus, tässä aikatason simu 0s... ms Kuva 7..tran e-3 R2 R3 3 7 maa Aseta komponentit ja johtimet LTspice-piirikaavioon. Kun painat simulaattorissa run-nappia (juokseva tikku-ukko) ensimmäistä kertaa, ohjelmaa pyytää määrittämään simuloinnin. Nyt se on aikatason simulointi: klikataan transient-välilehti 2, jossa muuta tietoa ei tarvitse antaa, kun simuloinnin kesto eli Stop Time. Kuvassa Stop Time näyttäisi olevan yksi millisekunti (e ). Kun simulointi (run) on tehty, voidaan määrätä, mitä suureita (jännite, virta, teho) halutaan tarkastella.. tarkempi ohje 2. transient analysis (transienttianalyysi) tarkoittaa aikatason analyysiä 7

8 Jännite Jos siirrät hiiren osoittimen vaikkapa vastuksen yllä olevan johtimen päälle, hiiren osoitin muuttuu punaiseksi mittapääksi (probe). Klikkaamalla johdinta ohjelma piirtää jännitteen maatasoon (nollan voltin referenssiin) nähden. Usein juuri tämä jännite kiinnostaa. Nyt kuitenkin esimerkissä.9 kiinnostaa pelkän 5Ω:n vastuksen yli oleva jännite. Kllikkaa hiiren oikealla napilla 5Ω:n vastuksen alapuolella olevaa solmupistettä ja valitse mark reference (merkkaa referenssiksi). Virta, teho Jos siirrät osoittimen vastuksen päälle probe muuttuu virtamittariksi. Klikkaamalla saat siis virran kuvaajan. Toisaalta, jos painat alt-nappia vastuksen päällä, kuvaajaksi tuleekin vastuksen kuluttama teho. Johtimen virran saat pitämällä alt-nappia pohjassa ennen hiiren klikkausta. Terminologiaa Tässä kurssissa tulosuureet ovat tavallisesti jännite- tai virtalähteitä. Tulosuuretta kutsutaan myös herätteeksi (stimulus). Tutkittava suure on lähtösuure, joka sekin on tavallisesti jännite- tai virtamuotoinen. Lähtösuuretta kutsutaan usein vasteeksi (response). Lyhenteitä Piirikaavion piirrossa ja simuloinneissa käytetään numeroarvoissa alla olevan taulukon mukaisia lyhenteitä. Ole tarkkana, mega ja milli menevät helposti sekaisin. Taulukko : Lyhenteitä lyhenne numerona LTSpicessa n (nano) 0-9 e-9 tai n µ (mikro) 0-6 e-6 tai u m (milli) 0-3 e-3 tai m k (kilo) 0 3 e3 tai k M (mega) 0 6 e6 tai meg Esimerkiksi luku 5, annetaan muodossa 5.62e-9. Yksikköä ei kirjoiteta luvun perään (kuten sekuntia, ohmia jne). Tärkeää: käytä pistettä pilkun asemesta esim. ei 5,62n vaan 5.62n 8

9 Harjoitus Ohmin laki, resistanssi ja konduktanssi Resistanssilla tarkoitetaan materiaalin ominaisuutta vastustaa varausten virtausta. Resistanssin R yksikkö on ohmi (Ω). Vastuksen piirisymbolit ovat kuvassa. R R Kuva Kuvassa 2a on esitetty vastus jonka läpi kulkee virta I ja sen yli oleva jännite on U. Jännite kuvaa varauksen potentiaalienergiaa ja sen yksikkö on voltti (V). Sähkövirralla I tarkoitetaan sähkoisen varausten virtausnopeutta. Virran yksikkö on ampeeri (A). Vastusten käyttäytyminen noudattaa Ohmin lakia: U R I () Jännitteen suuntanuoli piirretään siten, että sähkoinen potentiaali pienenee nuolen suunnassa. Kuvat 2a ja 2b ovat siis ekvivalentteja. Kansainvälisen sopimuksen mukaan (conventional current) virran positiivinen suunta on määritelty korkeammasta potentiaalista kohti matalampaa potentiaalia. Eli virta kulkee vastuksen positiivisemmasta päästä negatiivisempaan, joten kuvissa kuvat 2a ja 2b U R I. Toisinaan laskuissa tuntemattomien virtojen tai jännitteiden suunnan valinta on vapaa. Jos tulos on miinusmerkkinen, se johtuu väärästa suunnan arvaamisesta, eikä laskua tarvitse sen vuoksi laskea uudelleen. I R U R U I Jännite on suure, joka vaikuttaa kahden pisteen välillä! I I a) b) Kuva 2: conventional current Vastuksen tehon PUI etumerkki on plus. Miinusmerkkinen teho (erisuuntaiset U ja I) tarkoittaisi tehon tuottamista, johon vastus ei kykene. Vastuksen resistanssi 9

10 on aina > 0. Laskukaavoissa on toisinaan käytännöllisenpää käyttää resistanssin käänteislukua G, jota nimitetään konduktanssiksi: G /R. Konduktanssi G kuvaa johtokykyä ja sen yksikkö on siemens (S). Yleisiä konduktanssin yksikköjä ovat myös mho sekä. Konduktanssin avulla Ohmin laki on muotoa IG U (2) Ω Johtimen solmupiste Johtimen resistanssi on nolla. Piirielementtien välillä on tyypillisesti johdinta. Johdin voi olla kahden tai useamman piirielementin välillä. Toisin sanoen: johdin on suora kytkys kahden tai useamman piirielementin välillä. Kuvasta 3 on tärkeää ymmärtää, että jos liitospisteiden välillä on pelkkä johdin, niiden välillä ei ole jännite-eroa ja ne muodostavat yhden solmupisteen SOLMUPISTE SOLMUPISTE Kuva 3. Sama solmupiste kolmella tavalla piirrettynä (nuolet ovat virran suuntia). Yksittäinen piirielementtien välinen johdin tai useamman johtimen haarautumispiste on nimeltään solmupiste (node). Piirisimulaattorissa (ja piirin analysoinnissa) solmulle kannattaa antaa jokin kuvaava nimi. Ratkaistava solmujännite on solmupisteen jännite maatasoon nähden. Maapiste (s. 3) on nk. nollan voltin referenssipiste, joka on pakko asettaa piirisimulaattorissa. Kirchhoffin virtalaki (Kirchhoff s current law, KCL) Kuvassa 3 on korostettuna jonkin piirin solmupiste. Nuolilla merkatuille virroille voi antaa nimet I, I 2,..., I 5, minkä jälkeen solmulle voidaan kirjoittaaa KCL:n mukainen yhtälö. Solmupisteeseen liittyvien haaravirtojen summa on aina nolla. Eli solmupisteeseen tulevien virtojen summa on sama kuin siitä lähtevien virtojen summa. I 0 I in I out (3) 0

11 Kirchhoffin jännitelaki (Kirchhoff s voltage law, KVL) Suljetun silmukan kehällä olevien haaraelementtien yli olevien, samaan kiertosuuntaan mitattujen jännitteiden summa on nolla. Toisin sanoen kiertosuunnan vastaiset jännitteiden summa U v on yhtä suuri kuin kierto suunnan myötäisten jännitteiden summa U m. U 0 U m U v Alla olevassa kuvassa kierretään silmukkaa myötäpäivään. Suuntanuolien avulla KVL saadaan vaivattomasti: V2 V4 V V3 tai V2 V4 - V - V3 0V tai -V2 - V4 V V3 0V (4) V V - V 3 - V 4 - Ainakin alkuvaiheessa kannattaa piirtää silmukoissa olevien piirielementtien yli olevat jännitteet suuntanuolilla. Tällä tavalla huomaat helpoiten, mitkä jännitteet ovat kiertosuuntaan nähden vastakkaisia tai myötäisiä. Jännitelähteen suunnan näet piirrossymbolista, vastuksen jännitenuoli on virran suunnan mukainen. Virta ei kulje ilman suljettua silmukkaa. Piiri on suljettu silmukka jossa on piirielementtejä, kuten edellisessä kuvassa. Jos tämän piirin johdin pätkäistään poikki, silmukkaa ei ole ja virtaa ei kulje piirielinten läpi.

12 Esim..: a) Kirjoita kuvalle 4a) Kirchhoffin virtalaki solmussa a. b) Kirjoita kuvan 4b) piirille Kirchhoffin jännitelaki piirin silmukalle. U I U 2 I R 2 R R 2 R R 3 U A a I I 2 V V2 a) b) Kuva 4 Oletamme että kuva 4a on osa jotain suurempaa kokonaisuutta, jolloin virrat ovat nollasta poikkeavia. Ratkaisu: a) U /R - U 2 /R 2 I - I 2 0 b) V - (R R 2 R 3 )I - V 2 0 Esim..2: Kuvaan 5a ja 5b on merkitty jonkun piirin virta- ja jänniteriippuvuuksia. a) Muodosta kuvalle 5a Kirchoffin virtalain mukaisesti virtayhtälöt solmupisteille a, b, c ja d b) Muodosta kuvalle 5b Kirchoffin jännitelain mukaiset jänniteyhtälöt molemmille silmukoille. a b c I I 2 a) I 3 U I 5 I 4 - b) U 2 - U U 5 - U 4 Ratkaisu: d a: I I 2 0 b: I 2 I 5 I 3 0 Kuva 5 silmukka silmukka 2 a) c: I 3 I 4 0 d: I I 5 I 4 0 b) : 2: U U 2 U 5 0 U 5 U 3 U 4 0 2

13 Maapiste (Ground) Maahan kytketyt pisteet ovat käytännössä yhdistetty johdolla toisiinsa (sama 0V jännite), joten oheisessa kuvassa olevat piirit ovat ekvivalenttejä. Maa (ground) on nollan voltin referenssipiste, eli jännite pistessä U A on U0V U. Pisteessä U B jännite on on U 2. U U I U A I U B - U R R 2 I U 2 - U R R 2 I U 2 Kuva 6 0V 0V U A ja U B ovat solmujännitteitä, eli jännitteitä tietystä solmupisteestä maatasoon. Esim..3: Esitä kuvan 6b piirin virta I jännitteiden U A ja U B avulla. Vastaus: I U R U A U B R Vastaus on linjassa Conventional Current -periaatteen kanssa: virran positiivinen suunta on määritelty korkeammasta potentiaalista kohti matalampaa potentiaalia. Kun valitsemme jännitteen U suunnan, virran I suuntanuoli menee kuten kuvassa 6 on merkitty. Todellisten suuntien väärin arvaamisella ei ole harmia, kunhan olet johdonmukainen: Jos U :n suunta vaihdetaan, virran I suunta vaihtuu myös. Tällöin vastaus olisikin I U U B U A R R ( U A U B ) R 3

14 Vastusten sarjaan- ja rinnankytkennät Sarjaankytkentä R R 2 R tot R R 2 G Rinnankytkentä G 2 G tot G G 2 Yksittäiset piirielementit ovat rinnankytkettyjä, jos niillä on kaksi yhteistä solmupistettä. Jännite kummankin elementin yli on siten sama. Yleisesti vastusten sarjaan- ja rinnankytkennälle pätee: R tot R i sarjaankytk. i (5) G tot G i rinnankytk. i (6) Muista, että resistanssi ja konduktanssi ovat toistensa käänteislukuja. Jos laskettavana on esim. usean vastuksen rinnankytkennän resistanssi, laske ensin konduktanssi. 4

15 Esim..4: Mikä on kuvan 7a) ja 7b) vastuskytkentöjen kokonaisresistanssi ja kokonaiskonduktanssi? a) b) 5Ω 60Ω 5Ω 60Ω Kuva 7 Ratkaisu: a) R tot 5Ω 60Ω 75Ω G tot -----S 75 b) 5 G -----S -----S -----S -----S R tot tot 2Ω 5

16 Toisinaan resistanssien rinnankytkentää merkitaan kahdella pystyviivalla: Rinnankytkennän resistanssi: R tot G tot G G R R 2 R R R R 2 HUOM! tätä kaavaa R R 2 voidaan soveltaa vain kahden vastuksen rinnankytkentään. Tällöin edellinen b-kohta voidaan laskea näin: b) 5Ω 60Ω R tot 5Ω 60Ω Ω 2Ω G 5Ω 60Ω 75 tot -----S 2 Esim..5: Ratkaise alla olevan rinnankytkennän kokonaisresistanssi. R R 2 R 3 Ω 0.5Ω 3Ω ratkaisu: R Ω G R 2 0,5Ω G 2 R 3 3Ω G 3 S --S 3 2S G tot G G 2 G 3 3 R tot -----Ω 0,3Ω S 3 Jos vastuksia on rinnan enemmän kun 2 kpl, on järkevämpää laskea ensin kokonaiskonduktanssi: R R 2 R G G 2 G 3 6

17 Resistiivinen jännitejako Kun tiedetään sarjaankytkettyjen vastusten yli oleva jännite (kuvassa U tot ), yksittäisen vastuksen yli oleva jännite lasketaan kaavalla (7): I U tot R R 2 I U 2? U n R n U R tot, (7) tot missä U n tarkoittaa vastuksen R n yli olevaa jännitettä Sama virta I kulkee: koko sarjaankytkennän läpi yksittäisen vastuksen läpi I U tot R R 2 U R 2 R 2 U 2 U tot R R 2 Jännite jakaantuu sarjaankytkennässä resistanssien suhteessa. Resistiivinen virtajako Kun tiedetään vastusten rinnankytkentään tulevan virran arvo (kuvassa I tot ), yksittäisen vastuksen läpi kulkema virta lasketaan kaavalla (8): U I tot I I 2 G G 2 I n G n I G tot, (8) tot missä I n tarkoittaa vastuksen G n läpi kulkevaa virtaa U on sama jännite yksittäisen vastuksen yli koko rinnankytkennän yli U I I tot I G G G 2 G I G G tot 2 Virta jakaantuu rinnankytkennässä konduktanssien suhteessa. 7

18 Esim..6: Laske kuvan 8 piirin jännite U ja I 2. U I tot R 2 I 2 R 3 R U R 2Ω R 2 6Ω R 3 6Ω U5V Kuva 8 Ratkaisu: R 2 ja R 3 ovat keskenään rinnankytkettyjä. Merkitään rinnankytkennän resistanssia symbolilla R 23 : R 2 R 3 36 R 23 R 2 R Ω 3Ω R 2 R 3 2 R ja R 23 ovat sarjaankytkettyjä, joten kokonaisresistanssi R tot on: R tot R R 23 2Ω 3Ω 5Ω U Kokonaisvirta: I tot V A R tot 5Ω G --S I 2 virtajaolla: I I G 2 G tot S A 0, 5A S R U jännitejaolla: 2Ω U U R R 23 2Ω Ω 5V 2V Vielä rinnankytkennästä - R tot R 234 R R 3 R 2 R 4 Kuvan piirissä on sarjaan- ja rinnankytkentöjä. Vastusta R 2 ei ole kytketty rinnan minkään yksittäisen vastuksen kanssa, vaan R 234 R 2 (R 3 R 4 ) Kokonaisresistanssiksi tulee: R tot R R 234 8

19 Riippumattomat ja ohjatut lähteet ja niiden symbolit Signaalilähteen arvo voi olla vakio tai ajan funktio. Signaalilähteet voivat olla myös riippumattomia tai ohjattuja: riippumattoman lähteen lähtösuure ei riipu piirin muiden solmujännitteiden tai haaravirtojen arvoista. Ohjattuja lähteitä ohjataan jonkin solmujännitteen tai haaravirran arvolla. Näissä harjoituksissa ohjattu lähde piirretään nelikulmiona. Riippumattomia lähteitä: Ohjatuttuja lähteitä: lähteen tyyppi (jännite tai virtalähde) todetaan ainoastaan piirrossymbolista. I I U U U 2i - x 2v x 2i - - x 2v x [A] [A] [V] [V] [V] [V] [V] [A] [A] Ohjatuissa lähteissä vakiotermin mahdollinen yksikkö jätetään tyypillisesti kirjoittamatta, mutta linja ohmin lakiin on aina voimassa: Jos jännite on 2i x, niin 2:n yksikkö on Ω, ja jos virta on 2v x, niin 2:n yksikkö on S. Esim..7: Kirjoita Kirchhoffin jännitelaki alla olevan kuvan silmukoille. a) b) 3sin(4t) V I I 2 3(U 2 -U 3 ) U 2 3 V I 2 5 I 2 U 3 Ratkaisu: a) 3 ( I 2) 3sin( 4t) ( I 5) 0 b) - 2 I 2 3( U 2 U 3 ) 5 I 2 0 9

20 Portti, terminaali Kuvan 9 valkoiset pallurat ovat terminaaleja (a ja b). Kuvan terminaalipari muodostaa portin, joka voi olla vaikkapa rajapinta joka kytketään johonkin suurempaan kokonaisuuteen. Kuormituksen analysoimiseksi lineaarisia yhden portin verkkoja voidaan pelkistää kuvan 0 kaltaisiksi häviöllisiksi lähteiksi. Tästä lisää harjoituksessa 4. I a Joku Piiri I V - b Kuva 9 Lähteenmuunnokset Jännitelähteen muuttaminen virtalähteeksi Jännitelähde, jolla on nollasta poikkeava sarjaresistanssi, voidaan muuttaa ekvivalenttiseksi virta-lähteeksi ja rinnakkaisresistanssiksi. Muunnoksessa sijaiskytkentä lasketaan alkuperäisestä seuraavalla tavalla: Virtalähteen muuttaminen jännitelähteeksi Virtalähde, jolla on nollasta poikkeava rinnakkaisresistanssi, voidaan muuttaa ekvivalenttiseksi jännitelähteeksi ja sarjaresistanssiksi. Muunnoksessa sijaiskytkentä lasketaan alkuperäisestä näin: I N U T R R N R T T U T R N I N R T R N R T I N R N U T - Kuva 0 Lähteenmuunnos lasketaan Ohmin lain avulla Kun piirrät U T :n yli jännitteen suuntanuolen, huomaat että virran I N suunta on ylös ja jännitteen U T alas. Eli teho (PUI) on miinusmerkkinen. Tämä tarkoittaa sitä, että lähde kykenee tuottamaan tehoa. 20

21 Oikosulku (short circuit) ja avoin piiri (open circuit) Oheinen piiri on sama, kuin esimerkissä.6. U I tot R 2 I 2 R 3 R U R 2Ω R 2 6Ω R 3 6Ω U5V Jos R 3 :n paikalle asetetaan pelkkä johdin (kuva a), se oikosulkee R 2 :n. Johtimen resistanssi on nolla eli R 3 on 0Ω, ja siten konduktanssi G 3 on ääretön. Tästä johtuen kaikki virta kulkee johtimen (R 3 ) kautta. Nyt kun R 2 :n läpi ei kulje virtaa, sen yli oleva jännite on 0V. Kuvassa b R 3 on korvattu avoimella piirillä, joten R 3 :n läpi ei kulje virtaa. Avoimen piirin R 3 resistanssi on ääretön, eli konduktanssi G 3 on 0S. G G 2 2 I I 0A, jos G S I I I, jos G 0S 2 G 2 G tot 3 2 G 3 2 G tot tot 3 3 U I tot R 2 I 2 R 3 0Ω U I tot R 2 I 2 R 3 Ω R U R U Kuva a) b) Kuvassa a ja b I tot ja U eivät ole samoja, kun esimerkissä.6 laskettiin: U I tot , 5A R I U 0, 625A tot R R 2 a U U 5V R b U U, 25V R R 2 2

22 Lähteiden pilkkominen (ei ole ydinaines) Virtalähteitä ei todellisuudessa ole järkevää laittaa sarjaan eikä jännitelähteitä rinnan. Lähteen pilkkominen (tai pikemminkin monistaminen) on analysointikikka, joka helpottaa toisinaan piirin pelkistämisessä. Virtalähde (sarjaankytketyt ekvivalentit virtalähteet) I Haarassa kulkee edelleen virta I I I KCL:n mukaan i 0 ( I I 0 ) I I I I I i0 lähteenmuunnos seuraavaksi Jännitelähde (rinnankytketyt ekvivalentit jännitelähteet) U U U U Jännite kahden solmupisteen välissä on edelleen U Jännite pisteen U & U 0 sekä U 2 & U 0 välillä ei muutu miksikään: U U U U 2 U U U U 2 U U U 2 U 0 U 0 U 0 22

23 Esim..8: Laske kuvan 2 piirin kokonaisresistanssi R tot (helppo, laske kotona). Ω R tot Ω Ω Ω Vastaus: 4/3 Ω Ω Ω Kuva 2 HARJOITUKSESSA LASKETTAVAT TEHTÄVÄT: Kurssin alkupuolen (harj. -4) LTS -harjoitustehtävät ovat aika helppoja nopeita ratkaista LTSpice-simulaattorilla. Niinpä niiden ratkaisuja ei paljasteta tässä materiaalissa. Esim..9: LTS Laske kuvan 3 piiristä jännite U a ja virta I b. U a 5Ω 7.V 3Ω 7Ω I b Kuva 3 23

24 Esim..0: LTS Ratkaise kuvan 4 piiristä jännite U (kuvassa U U 2 - U 4 ). 5Ω 5Ω A U 7Ω U 2 3Ω U 4 Kuva 4 Esim..: Kuvan 5 piirissä jännitteen V 0 arvo on 6V. Kun kuormaresistanssi R L kytketään vastuksen R 2 rinnalle, jännite V 0 tippuu arvoon 4V. Laske resistanssi R L. (tenttikysymys.2.07) 40Ω 8V - R 2 V 0 R L - Vastaus: R L 80/3 Ω 26,7Ω Kuva 5 24

25 Tehoa joko kuluu tai sitä tuotetaan. Ohessa on varsin yksinkertainen esimerkki, jota voit kokeilla myös simulaattorissa. Teho on piirielementin yli olevan jännitteen ja sen läpi menevän virran tulo. Jos u(t)i(t) p(t) > 0, piirielementti kuluttaa tehoa, ja jos p(t)<0, piirielementti luovuttaa (tuottaa) tehoa. Tehoa voi mitata (ja todeta että kuluttaako piirielementti tehoa vai ei) myös LTspice-simuloinneissa, ks. sivu 8. Esim..2: LTS Kuvan 6 piirissä pariston jännite on v b 5V ja pariston 2 jännite on v b2 0V. Jännite vastuksen yli on v r -5V ja virta i r -0.25A. Laske teho pattereissa ja 2 sekä vastuksessa v r. Mitkä kyseisistä piirielementeistä kuluttavat tehoa ja mitkä tuottavat sitä? i i r v r - i2 v b - - v b2 Kuva 6 Vastaus: P pb,25w P pb2 2,5W P r,25w Paristo ja vastus kuluttavat tehoa. Paristo 2 tuottaa tehoa. 25

26 Solmupisteelle nimi LTspice-vinkkejä Solmujännitteiden tutkiminen saadaan selkeämmäksi antamalla solmuille (johtimille ja usean johtimen haarautumispisteille) joku kuvaava nimi. Hiiren osoitin johtimen kohdalle ja oikealla napilla: Label Net. Alla on eräs sähköturvallisuuteen liittyvä esimerkki: Ohjatut lähteet LTspicessä Nämä löytyvät LTspicen component-valikosta: Taulukko : jänniteohjattu jännitelähde (VCVS) jänniteohjattu virtalähde (VCCS) virtaohjattu jännitelähde (CCVS) virtaohjattu virtalähde (CCCS) LTspicessä e tai e2 g tai g2 h f Opiskelija Tero Marin teki keväällä 200 ohjatuista lähteistä pienen tutkielman. Tehtävässä simuloitiin vanhoja tenttitehtäviä, joissa oli ohjattu lähde. Teron työ löytyy Optiman Piiriteoria -työtilasta -> simulaattori\ltspice ja ohjatut lähteet. 26

27 Harjoitus 2 Solmupistemenetelmä (NA, nodal analysis) Solmupistemenetelmä lähtee KCL:stä: siinä lasketaan virtojen summa verkon jokaisessa solmupisteessä maapistettä lukuunottamatta. Virta esitetään solmujännitteen ja resistanssin (tai konduktanssin avulla) ja ratkaistavat tuntemattomat ovat ovat solmujännitteitä. NA etenee näin: Sovitaan yksi solmupiste maaksi (0 V) ja numeroidaan muut solmupisteet. Jokaiselle numeroidulle solmupisteelle kirjoitetaan vastaava KCL-yhtälö: Kustakin solmupisteestä vastusten kautta muihin solmupisteisiin poistuvat virrat merkitään positiivisina yhtälön vasemmalle puolelle. Virtalähteet kootaan yhtäsuuruusmerkin oikealle puolelle siten, että tulevat virrat merkitään positiivisina ja lähtevät negatiivisina. Näin oheiselle esimerkille voidaan johtaa yhtälöt: I 2 U U 2 I R R 2 R 3 maa (0V) ( Solmu U : U 0) ( U U 2 ) I I 2 R R 2 ( Solmu U 2 : U 2 U ) ( U ) I 2 R 2 R 3 Käyttämällä konduktansseja G i /R i, yhtälöt voidaan kirjoittaa muotoon: G ( U 0) G 2 ( U U 2 ) I I 2 G 2 ( U 2 U ) G 3 ( U 2 0) I 2 ( G G 2 )U G 2 U 2 I I 2 G 2 U ( G 2 G 3 )U 2 I 2 joka on jälkimmäisen muodon perusteella helppo kirjoittaa systemaattiseen matriisimuotoon G G 2 G 2 G 2 G 2 G 3 U U 2 I I 2 I 2 27

28 Esim. 2.: Kuvan piiristä: laske jännitteet U ja U2. (Kurssikirjasta: Drill Exercise 4.5) 5Ω 5A U 60Ω 5Ω 2Ω U2 5A - - Kuva Ratkaisu: Maa ja solmujännitteet U ja U2 on valmiina kuvassa. Huomaa, että 5:n ja 60:n ohmin vastuksilla on yhteiset solmupisteet. Numeroiduille solmupisteille kirjoitetaan virtayhtälöt Kirchoffin virtalain avulla: Vasemmalle puolelle vastusten kautta muihin solmupisteisiin poistuvat virrat positiivisina. Oikealle puolelle yhtälöä virtalähteet positiivisena, jos virran suunta on kohti solmupistettä (poispäin negatiivisena). Solmu U: Solmu U2: U Ω U ( U U 2 ) A 5Ω 5Ω ( U 2 U ) U A 5Ω 2Ω { S U --S 60 U 5A S U -----S 5 U 5A 0 2 Ratkaistaan tuntemattomat solmupistejännitteet esim. matriisilaskennan avulla: U U

29 Seuraavaksi ratkaistaan tuntemattomat solmupistejännitteet. Käytetään Cramerin sääntöä (ks. luentomoniste): U V U V Yhtälöryhmän ratkaiseminen matriisimuodossa Cramerin säännöllä on suositeltavaa varsinkin kolmen muuttujan yhtälöryhmän ratkaisemisessa. 29

30 Jänniteohjatut virtalähteet solmupiste-esityksessä Jänniteohjatut virtalähteet merkitään solmupiste-esityksessä lähteiden vektoriin samalla tavalla kuin riippumattomat virtalähteet. Ne voidaan siirtää osaksi G- matriisia, sillä ne ovat samaa muotoa: solmujännite kerrottuna jollakin vakiolla. 3U U U 2 I G G 2 G 3 4(U -U 2 ) Yhtälöryhmä muodostetaan edellisen esimerkin mukaan: konduktanssit ja solmujännitteet vasemmalle, virtalähteet oikealle: G G 2 G 2 G 2 G 2 G 3 U U 2 I 3 U 4 ( U U 2 ) 3 U Sitten siirretään solmujännitteitä sisältävät termit yhtäsuuruusmerkin vasemmalle puolelle (jolloin merkki vaihtuu) ja yhdistetään ko. solmujännitteen kertoimeen: G G 2 3 G 2 G 2 G 2 G 3 4 U U 2 I 0 30

31 Esim. 2.2: Laske jännitteet U ja U 2 kuvan 2 piirissä. I G G 2 G 3 4(U -U 2 ) U U 2 3U G 0,2 S G 2 0,4 S G 3 0, S I 5 A Kuva 2 Ratkaisu: Konduktanssit ja solmujännitteet vasemmalle, virtalähteet oikealle: G G 2 G 2 G 2 G 2 G 3 U U 2 I 4 U 4 U 2 3 U 4 U 4 U2 Siirretään solmujännitteitä sisältävät termit yhtäsuuruusmerkin vasemmalle puolelle (jolloin merkki vaihtuu) ja yhdistetään ko. solmujännitteen kertoimeen G G 2 4 G 2 4 G 2 G 2 G 3 4 U U 2 I 0 Sijoitetaan lukuarvot 3, 4 3, 6 0, 6 3, 5 U U Ratkaistaan Cramerin säännöllä tuntemattomat solmupistejännitteet: 3

32 U 5 3, 6 0 3, , 4 3, 6 0, 6 3, , 5, 80V 9, 74 U 2 3, 4 5 0, , 4 3, 6 0, 6 3, , 3V 9, 74 Tästä voidaan esim. laskea konduktanssin G 2 läpi kulkema virta I G2 : I G2 ( U U 2 ) G 2 0, 60V 4(U -U 2 ) U I G2 U 2 I G G 2 G 3 3U 32

33 Jännitelähteet solmupiste-esityksessä Jos piirissä on jännitelähde, solmupisteyhtälö voidaan ratkaista tekemällä lähteenmuunnos. Se ei kuitenkaan ole aina välttämätöntä, jos jännitelähde on solmupisteen ja maan (0V) välillä. Esim. 2.3: Kuvan 3 piirin solmujännitteiden ratkaisemiseen tarvitaan kaksi solmupisteyhtälöä. Valitaan yhteinen solmupiste maaksi (0 V) ja numeroidaan loput solmupisteet (U ja U 2 ). Jännite Ω:n vastuksen yli on virran i suunnan ollessa solmusta U poispäin U - 0V. Tällöin samaisen vastuksen läpi kulkeva virta i on (U - 0V) / Ω. Solmujen U ja U 2 yhtälöiksi saadaan siis: { { U 0 U U U U 2 U U ( U 0V) 0,2U 0,5( U U ) 0 2 0,5( U 2 U ) 0,U 2 2 Ratkaisemalla yhtälöryhmä saadaan: U 9.09V ja U 2 0.9V i Ω 2Ω U U 2 0V 5Ω 0Ω 2A Kuva 3 Entäpä jos Ω:n vastuksen tilalla on pelkkä johdin? Tällöin 0V:n jännitelähde pakottaa solmun U ja maan väliseksi jännitteeksi 0V. Eli U on 0V ja ratkaistavaksi jää ainoastaan jännite U 2 : 0,5( U 2 0) 0,U ,5 0 U ,5 0,,67 33

34 Tärkeä huomio jännitelähteistä solmupistemenetelmässä Kun kahden solmupisteen (joista kumpikaan ei ole maa) välisessä haarassa on pelkästään jännitelähde, on kyseessä solmupistemenetemän erikoistapaus, jossa käytetään ns. supersolmu -menetelmää (kurssikirjan kappale 4.4). Tätä menetelmää ei käsitellä harjoituksissa. Ohjatun lähteen tyyppi ja ohjaus Toinen tapa käsitellä jännitelähteitä solmupiste-esityksessä on muuntaa ne sopivan sarjaresistanssin kanssa häviöllisiksi virtalähteiksi. Muunnoksessa sijaiskytkentä lasketaan alkuperäisestä seuraavasti (ks. kuva 4a) U KU 2 > I U/R (K/R)U 2 Solmupistemenetelmässä voidaan käsitellä vain solmujännitteillä ohjattuja läh-teitä. Kuvan 4b) lähdettä ohjaa vastuksen R 2 läpi kulkeva virta I, ja tämä ohjaus on muutettava solmujänniteohjaukseksi, mikä käy toteamalla, että I U 2 /R 2. Samalla lähde on muutettu jännitelähteestä virtalähteeksi samalla tavoin kuin kuvassa 4a. a) R KU 2 U U 2 (K/R)U 2 R b) R KI (K/R)(U 2 /R 2 ) U U 2 I R2 R Kuva 4 34

35 HARJOITUKSESSA 2 LASKETTAVAT TEHTÄVÄT Esim. 2.4: LTS Laske kuvan 5 piiristä jännite U ja U 2. Älä tee lähteenmuunnosta. Huomaa, että jännite U x ei ole tuntematon vaan se on 75V. 800Ω 20Ω U 40Ω U x U 2 75V 50Ω 6A 200Ω Kuva 5 (Kurssikirjasta: PROBLEM 4.0) Vastaus: U 5V ja U 2 V. Esim. 2.5: LTS Laske kuvan 6 piiristä virta I 0. (tenttikysymys.2.07) 80V - 5Ω 5Ω 0Ω Ι U 0 U 2 70Ω 2Ω Kuva 6 Vastaus: I 0 (U -U 2 )/0Ω A 35

36 Esim. 2.6: Laske kuvan 7 piirin jännitteet U ja U 2 sekä 5Ω:n vastuksessa kuluva teho. (ei lähteenmuunnoksia) kuvasta saadaan: I φ (U - U 2 ) / 5Ω 2Ω 5Ω U U 2 2Ω 20V 20Ω I φ 0Ω - 8i φ Kuva 7 (kurssikirjasta: EXAMPLE 4.3) Vastaus:U 6V ja U 2 0V P 5Ω 5Ω * I φ 2 7.2W 36

37 Parametrisointi LTspice-vinkkejä Alla olevassa kuvassa jännitejakoesimerkki. Vastuksen R2 resistanssi on parametrisoitu. Parametrisointi asetetaan antamalla arvoksi jokin kirjaisymboli hakasulkujen sisään. Parametrisointi ei ole pakollinen temppu tässä kurssissa, mutta sillä voidaan helpottaa piirin analysointia. Tässä esimerkissä yksinkertaisin parametrisointi on asettaa parametrille R numeerinen arvo, esim. 4 ohm. Se tapahtuu klikkaamalla symbolirivilta äärioikealla olevaa toimintoa SPICE directive. Tämän jälkeen kirjoitetaan komento.param R4 Kuvassa tämä komento on poistettu käytöstä: sen eteen on lisätty *. Kuvan voimassa oleva SPICE direktiivi on.step param R Tämä tarkoittaa että simuloidaan R:n arvolla -4Ω 0.5Ω:n askeleella. Eli vastaavassa käyrästössä näkyisi useampi vaste eri R2:n arvolla. Parametrisoinnilla voidaan siis etsiä ratkaisuja kokeilemalla. Ua *.param R 4.step param R R Ub V 5 R2 {R}.tran e-3 37

38 Toinen esimerkki parametrisoinnista:.step param K 9 4 Ua R Ub V 5 {K*} R2 {K*4}.tran e-3 Nyt parametrisoituna on kerroin K, joka saa arvot, 5 ja 9 (yhdestä yhdeksään askeleella 4). Solmujännitteen Ub arvo ei taida muuttua, mutta muuttuuko silmukan virta? 38

39 Harjoitus 3 Silmukkavirtamenetelmä (MA, Mesh Analysis) Silmukkavirta-analyysi pohjaa KVL:n käyttöön: yhtälöissä esitetään jännitehäviöitä ja -nousuja verkon suljettujen silmukoiden ympäri. Verkosta etsitään riippumattomat (ei-sisäkkäiset) silmukat ja tarkastellaan jännitemuutoksia, kun kierretään silmukan ympäri. Silmukan jännitteet esitetään virran ja resistanssin avulla. Ratkaistavia tuntemattomia ovat nimenomaan silmukkavirrat. Systemaattisuuden vuoksi sovitaan, että kaikki silmukkavirrat kiertävät samaan suuntaan (myötäpäivään). MA etenee näin: Tunnistetaan ei-sisäkkäiset silmukat ja numeroidaan silmukoiden virrat Kierrettävän silmukan resistansseissa tapahtuvat jännitemuutokset kirjoitetaan yhtälön vasemmalle puolelle. Koska silmukkavirtojen suunnat ovat aina myötäpäivään, silmukoiden välisissä haaroissa virrat ovat silmukkavirtojen erotuksia. Jokaisessa silmukassa kerätään jännitelähteet yhtäsuuruusmerkin oikealle puolelle. Jos silmukkavirran suunta on jännitelähteen plus-navasta poispäin, lähde merkitään positiivisena, muutoin negatiivisina. R I I 2 R 2 I -I 2 U - I R 3 I 2 - U 2 I I 2 -I I 2 Silmukka : I R ( I I 2 )R 3 U Silmukka 2: ( I 2 I )R 3 I 2 R 2 U 2 Kootaan jälleen yhtä muuttujaa (silmukkavirtaa) vastaavat termit yhteen, jolloin Silmukka : ( R R 3 )I R 3 I 2 U Silmukka 2: R 3 I ( R 2 R 3 )I 2 U 2 josta saadaan suoraan matriisimuodoksi R R 3 R 3 R 3 R 2 R 3 I I 2 U U 2 39

40 Esim. 3.: Laske kuvan piirissä virrat I ja I 2 silmukkavirtamenetelmällä. Ω Ω 8 V 2 Ω - I I 2-7 V Kuva Ratkaisu: Muodostetaan matriisiyhtälöt : I ( Ω 2Ω ) I 2 2Ω 8V I 2Ω I 2 ( Ω 2Ω) Matriisi: RIU 7V I I 2 87 Virtojen ratkaisu Cramerin säännöllä: I [ ( 7 2) ] 24 4 [ 3 3 ( 2 2) ] A I [ ( 3 7 ) ( 2 8) ] A [ 3 3 ( 2 2) ] Tästä voidaan ratkaista edelleen esim. 2Ω:n vastuksen yli oleva jännite: U 2Ω 2Ω( I -I 2 ) 6V 40

41 Virtaohjatut jännitelähteet silmukkavirtamenetelmässä Silmukkavirtamenetelmässä lähteen on yleensä oltava jännitelähtöinen, ja ohjattu lähde voidaan siirtää kerroinmatriisiin vain jos se voidaan esittää silmukkavirtojen avulla. Niinpä lähteille voidaan silmukkavirtamenetelmää käytettäessä tehdä seuraavat operaatiot: Muunnetaan lähde niin, että se on jännitelähtöinen Muunnetaan ohjatun lähteen ohjaus siten, että se voidaan lausua jonkin silmukkavirran avulla. 2I R R 2 U R I I 3 2 U 2 Kootaan jälleen yhtä muuttujaa (silmukkavirtaa) vastaavat termit yhteen, jolloin Silmukka : ( R R 3 )I R 3 I 2 U Silmukka 2: R 3 I ( R 2 R 3 )I 2 2I U 2 josta saadaan suoraan matriisimuodoksi R R 3 R 3 R 3 2 R 2 R 3 I I 2 U U 2 4

42 Virtalähteet silmukkavirta-esityksessä Jos piirissä on virtalähde, silmukkayhtälö voidaan ratkaista tekemällä lähteenmuunnos. Se ei kuitenkaan ole aina välttämätöntä, jos lähde ei ole kahden silmukan välisessä haarassa (ks. seuraavan sivun alussa oleva huomautus). Esim. 3.2: Ratkaise kuvan 2 piiristä virta i x. (kurssikirjasta: DRILL EXERCISE 4.8) Ylimmässä silmukassa kiertää siis 4A:n silmukkavirta. Tällöin i x on virtojen I ja 4A erotus ja se voidaan kirjoittaa suoraan i 2 :n silmukkavirtayhtälöön. 4 A 4Ω 3Ω i x 2Ω 6Ω 5Ω 28V - I I2-30i x Kuva 2 2ΩI 6ΩI 2 4Ω 4A 28V 6ΩI 4ΩI 2 3Ω 4A 30( I 4A) 0V I I I 9A i x I 4A 5A 42

43 Tärkeä huomio virtalähteistä silmukkavirtamenetelmässä Kun kahden silmukan välisessä haarassa on pelkästään virtalähde, on kyseessä silmukkavirtamenetemän erikoistapaus, jossa käyttetään ns. supersilmukka - menetelmää (kurssikirjan kappale 4.7). Tätä menetelmää ei käsitellä harjoituksissa. Ohjatun lähteen tyyppi ja ohjaus Virtalähteitä voidaan silmukkavirtamenetelmässä käsitellä myös lähteenmuunnoksella. Silmukkavirtamenetelmässä lähde on muunnetaan jännitelähtöiseksi, ja ohjattu lähde voidaan siirtää kerroinmatriisiin vain jos se voidaan esittää silmukkavirtojen avulla. Kuvan 3b) lähdettä ohjaa vastuksen R 2 yli oleva jännite U 2, ja tämä ohjaus on muutettava silmukkavirtaohjaukseksi, mikä käy toteamalla, että U 2 R 2 (I -I 2 ). Samalla lähde on muutettu virtalähteestä jännitelähteeksi samalla tavoin kuin kuvassa 3a). a) KI R RKI R I I 2 I I 2 b) KU 2 U 2 R U 2 RKR 2 (I -I 2 ) R R 2 I I 2 I R 2 I 2 Kuva 3 43

44 Esim. 3.3: Laske kuvan 4 piirin virta i 0 silmukkavirtamenetelmällä. 2Ω Ω i 0 3Ω 6sin t - 3i 0 2Ω 4Ω Kuva 4 Muunnetaan virtalähteet jännitelähteiksi. Tavoitteena on muodostaa virtalähteen ja vastuksen rinnankytkentöjä, jotka voidaan muuttaa vastaaviksi jännitelähteiksi. Käytetään silmukkavirtamenetelmää sekä muunnetaan virtalähde 3i o kahdeksi jännitelähteeksi. 2Ω 2Ω Ω i 0 Ω 6sin t I 3Ω - 2Ω 3Ω 3i 0 2Ω 3i 0 i 0 6sin t - 3i 0 4 6i 0 I 2 4 Kirjoitetaan matriisit URI I 3i o 6sint I 2 6i o 6sint 44

45 Koska silmukkavirtamenetelmässä voidaan käsitellä vain silmukkavirroilla ohjattuja lähteitä, täytyy aluksi etsiä i o :n lauseke I :n ja I 2 :n funktiona: i 0 I I 2 Sijoitetaan silmukkavirtoja sisältävät termit yhtälön vasemmalle puolelle: I 6sint I 2 6sint I 6sint 0 6sint sint 45 I sint 9 6sint sint ( 54 sint ) sint 45 i o ( 90 36) sint sint 5 Tehtävän voi ratkaista myös: Esimerkin 3.2 mukaan ilman piirin muokkausta TAI Solmupistemenetelmällä muuntamalla jännitelähde 6sint vastaavaksi virtalähteeksi. Tällöin tosin joudutaan ratkaisemaan 3x3-matriisiyhtälö. 45

46 HARJOITUKSESSA 3 LASKETTAVAT TEHTÄVÄT Esim. 3.4: LTS Laske 5 piiristä virta I.(tenttikysymys ) 2A 5Ω 0Ω Ι 5Ω Vastaus: I A 70Ω 2Ω Kuva 5 Esim. 3.5: Laske kuvan 6 piirissä 8Ω:n vastuksessa kuluva teho 7Ω 6Ω I 2 4Ω 8Ω 7Ω 20Ω - I I3 80V 24 I 2 - Kuva 6 (Kurssikirjasta: PROBLEM 4.35) Vastaus: I 3.5A, joten p 8Ω 8Ω* W Cramerin sääntöä varten: 3-rivisen determinantin laskukaava a b c d e f g h i a e f h i b d f c d e g i g h 46

47 Lähteiden vaikutuksesta Kuva 7a: resistanssilla R ei ole vaikutusta silmukkavirtaan I s. Kuva 7b: resistanssilla R ei ole vaikutusta solmujännitteeseen U k. Piirin a) tapauksessa resistanssin R 2 yli olevan jännitteen määrää ainoastaan virtojen I ja I s erotus. Virtalähteen virta ei muutu, vaikka sen yli on mikä jännite hyvänsä, joten sen voi muiden signaalien kannalta mieltää avoimeksi piiriksi. Sarjakomponentti R vaikuttaa toki virtalähteen yli muodostuvaan jännitteeseen sekä piirin tuloresistanssiin, mutta ei piiriin syötettävän virran määrään. Piirin b) tapauksessa U k on pakotettu potentiaaliin U (eli U k U). Tällöin virta I s on (U k -U k2 ) / R 2. Eli R :n poistaminen ei vaikuta jännitteeseen U k. Jännitelähteen jännite on vakio virtatasosta riippumatta, joten muiden kuin oman signaalinsa kannalta sen voi ajatella oikosuluksi (jännitevaihtelu on nolla). Jännitelähde siis oikosulkee rinnallaan olevan komponentin, jolloin sen merkitys muulle kuin lähteen itsensä näkemälle impedanssille (resistanssille) katoaa. a) R I U k R 3 I I R 2 I s b) U k R 2 U k2 U - R I s R 3 Kuva 7 47

48 Hyvä apuväline yhtälöryhmiin: Octave Tätä voit kokeilla vaikka heti, Octaven Online-versio lötyy osoitteesta: Alla ratkaistaan vektori x yhtälöstä Axy. Matriisi A annetaan Octavessa alla olevan esimerkin mukaisesti. Puolipistellä erotetaan matriisin rivit. Parametri y ja ratkaistava x ovat transpoosivektoreita, esim y [ 0 0 ] T. Annetut parametrit ja lopputulos (x) ilmestyvät ruudulle tässä muodossa: A y x Octaven voi asentaa myös omalle koneelle (ilmainen). Tästä on hyvä aloittaa: 48

49 Superpositiomenetelmä Harjoitus 4 Kun lineaarisessa verkossa on useita riippumattomia lähteitä, niiden yhteisvaikutus saadaan laskemalla yhden lähteen vaikutus kerrallaan ja summaamalla lopuksi kaikkien lähteiden vaikutukset yhteen. Ohjatut lähteet jätetään verkkoon, mutta riippumattomat lähteet merkitään vuorotellen nolliksi. Jännitelähde korvataan siis oikosululla (U0) ja virtalähde avoimella piirillä (I0). Lasketaan yksitellen riippumattomien lähteiden aiheuttama vaste laskettavassa suureessa (virta tai jännite). Lopuksi summataan kaikkien lähteiden vaikutukset yhteen. U I Jännitelähteen nollaaminen Virtalähteen nollaaminen Esim. 4.: Laske kuvan jännite U 2 superpositiomenetelmällä. U a R R 2 U 2 R 3 U b Ratkaistaan solmupisteessä U 2 oleva jännite laskemalla kummankin jännitelähteen vaikutus erikseen ja summaamalla lopuksi jännitteet yhteen. Kuva R R 2 U 2a U a R 3 R 2 R 3 U 2a Ua R 2 R 3 R R R 2 U 2b R 3 U b R R 3 U 2b Ub R R 3 R 2 U 2 U 2a U 2b 49

50 Esim. 4.2: Laske kuvan 2 jännite U 2. 2Ω U 2 Ω 5V 3Ω A Kuva 2 5V 2Ω U 2 3Ω Ω A Ratkaistaan solmupisteessä U 2 oleva jännite laskemalla kummankin lähteen vaikutus erikseen ja summaamalla lopuksi jännitteet yhteen. 2Ω U 2a Ω 5V 3Ω U 2a 3Ω V 3V 2Ω 3Ω 2Ω U 2b Ω 3Ω A U 2b ( 2Ω 3Ω)A,2V U 2 U 2a U 2b 4,2V 50

51 Nortonin ja Theveninin ekvivalenteista yleisesti Kuvassa harmaan alueen sisällä on jokin piiri, johon on lisätty terminaalit (a,b). Nämä terminaalit muodostavat yhden portin. Tälle piirille lasketaan joko Nortonin tai Thevenin ekvivalenttipiiri. Huomaa, että verkkoa vastaavat ekvivalenttipiirit koostuvat lähteestä ja sarja- tai rinnakkaisvastuksesta. Tuttu konsepti: Nortonin ekvivalen voi muuntaa Theveninin vastaavaksi lähteenmuunnoksella (ks. harjoitus ). Ja tietysti toisin päin. a Joku verkko b R T I N R N U T - Nortonin ekvivalentti Theveninin ekvivalentti Jos esim. kysytään piirin Nortonin ekvivalenttia ja Theveninin ekvivalentti on mielestäsi helpompi laskea, niin laskepa ensin Thevenin ekvivalaenttipiiri. Sitten lähteenmuunnos. 5

52 Theveninin ekvivalentti Jännitelähteestä ja sarjavastuksesta muodostuvan Theveninin ekvivalentti voidaan laskea kahdella tavalla: TAPA (piirissä ei ole ohjattuja lähteitä) Kuvassa lasketaan piirin tyhjäkäyntijännite ja lähtöresistanssi. Tyhjäkäyntijännite lasketaan ratkaisemalla lähtöjännite U T, kun lähtövirta i o 0. Lähtöimpedanssi ratkaistaan siten, että kaikki riippumattomat lähteet merkitään nollaksi (jännitelähteet oikosuljetaan ja virtalähteet katkaistaan) ja lasketaan piirin lähtöresistanssi. R Theveninin ekvivalentti: R T U a R 2 I b U T Lasketaan tyhjäkäyntijännite U T esim. superposiotiomenetelmällä: Lähtöresistanssi R T : R io0 R U a R 2 I b U T R 2 R T R 2 R U T U a R R Ib R 2 R R R 2 R R 2 T R R R R 2 Kuva 3 52

53 Esim. 4.3: Muodosta Theveninin ekvivalenttipiiri kuvan 4 piirille. 20Ω 4Ω Theveninin ekvivalentti: R T 5V 5Ω 3A U T Kuva 4 Lähdemuunnetaan jännitelähde virtalähteeksi sekä muutetaan resistanssit konduktansseiksi: /4S 5/20A /20S /5S 3A Yhdistämällä saadaan: I 5/20A 3A 65/20A ja G /20S /5S /4S. /4S I 65/20A G/4S Ja muuntamalla jännitelähteeksi: 4Ω 4Ω Theveninin ekvivalentti: 8Ω 3V 3V 53

54 TAPA2 (piirissä ON ohjattuja lähteitä) Jos verkossa on ohjattuja lähteitä, edellinen menettely voi olla hankala. Sama asia voidaan tehdä yhdellä analyysillä ajamalla verkkoa testivirralla i o ja ratkaisemalla lähtöjännite u o. Ratkaistava lähtöjännite esitetään muodossa u o A - Bi o, josta saadaan suoraan tyhjäkäyntijännite (U T A) ja lähtöresistanssi (R T B) R Theveninin ekvivalentti: R T U a i x R 2 U T i x 0.5U a R U i a x R 2 u o i o Ratkaistaan u o esim. Kirchoffin virtalain mukaisesti (u o on ratkaistava solmujännite): u o U a u o ,5U R R a i 0 2 u o u o U a U u R R 2 R o a ,5U R R 2 R a i 0 0, R Ua i 0 0, R Ua i 0 u o R R 2 R R R R 2 R R 2 0, Ua i R R R 2 u o U a 0, R R 2 R i R 2 R R R U 2 R R T R T i o 2 54

55 Esim. 4.4: Muodosta Theveninin ekvivalenttipiiri kuvan 5 piirille. 3ix 24V 2Ω i x - 4A 8Ω Kuva 5 3ix 24V - 2Ω u 0 i x 4A 8Ω i 0 u 0 24 u i 2 8 x 4 i 0 u 0 kuvasta nähdään: i x u u 0 3u i 2 0 u 0 8 i 0 U T R T i o Saadaan Theveninin ekvivalenttipiiriksi: Ω 8V - 55

56 Nortonin ekvivalentti Virtalähteestä ja rinnakkaiskonduktanssista muodostuvan Nortonin ekvivalentin komponenttiarvot voidaan laskea kahdella tavalla. TAPA (piirissä ei ole ohjattuja lähteitä) Lasketaan piirin oikosulkuvirta ja lähtökonduktanssi. Oikosulkuvirta lasketaan ratkaisemalla lähtövirta I N, kun lähtöjännite u o 0. Lähtökonduktanssi ratkaistaan siten, että kaikki riippumattomat lähteet merkitään nollaksi (jännitelähteet oikosuljetaan ja virtalähteet katkaistaan ja lasketaan piirin lähtökonduktanssi. R Nortonin ekvivalentti: U a R 2 I b I N GN Lasketaan oikosulkuvirta I N Lähtökonduktanssi G N : muuntamalla ensin jännitelähde virtalähteeksi : I N U a R R R 2 I b u o 0 R R 2 G N I N U a I R b G N R R 2 56

57 Esim. 4.5: Muodosta Nortonin ekvivalenttipiiri kuvan 6 piirille. Ω Nortonin ekvivalentti: 3V - 2Ω A I N GN Kuva 6 Oikosuljetaan piirin lähtö ja lasketaan oikosulkuvirta. Ω 3V - 2Ω A I N 3V I N A 4A Ω Ω 2Ω G N , 5S 2Ω Ω Nortonin ekvivalentti: 4A,5S 57

58 TAPA2 (piirissä ON ohjattuja lähteitä) Jos verkossa on ohjattuja lähteitä, edellinen menettely voi olla hankala. Sama asia voidaan tehdä yhdellä analyysillä ajamalla verkkoa testijännitteellä u o ja ratkaisemalla lähtövirta i o. Kun lähtövirta esitetään muodossa i o A - Bu o, siitä saadaan suoraan oikosulkuvirta (I N A) ja lähtökonduktanssi (G N B) I a R Nortonin ekvivalentti: U a U U I N GN R 2 U a R R I a Silmukkavirtamenetelmällä: i o I a ( R R 2 ) i o R 2 U a R I a R 2 i o R 2 R 2 I a u o R I a u o Silmukkamatriisi: 2R R 2 R 2 I a R R 2 R 2 i o U a u o Ratkaistaan Cramerin säännöllä i o : 2R R 2 U a i o R R 2 u o 2R R 2 R 2 ( 2R R 2 )( u o ) ( R R 2 )U a ( 2R R 2 )R 2 ( R R 2 )( R 2 ) R R 2 R 2 i o ( R R 2 )U a ( 2R R 2 ) u R 2 R R 2 R o I N G N u o I N G N 58

59 Esim. 4.6: Ratkaise kuvan 7 piirille Nortonin ekvivalentti: i 2Ω 2Ω Nortonin ekvivalentti: 2V Ω 2i I N G N Kuva 7 i 2Ω 2Ω i o 2V Ω 2i u o i i 0 2 u 0 i u 0 5u u ELI: I N 0.5A G N 5/2 S 59

60 Yhteenvetona Nortonin ja Theveninin ekvivalenteista ja pähkinä purtavaksi Jos piirissä ei ole ohjattuja lähteitä, ratkaisu on helppo. Joskus jopa piirin pelkistämisellä päästään haluttuun tulokseen. Lähteenmuunnoksella pääsee ekvivalenttipiiristä toiseen. Jos ohjattuja lähteitä on, portista näkyvän resistanssin laskenta hankaloituu. Tämä siksi, koska ohjattuja lähteitä ei voi nollata: ne vaikuttavat kokonaisresistanssiin. Testilähteen käyttäminen on yleispätevä metodi, jolla päästään suht helposti lopulliseen ratkaisuun. Muistakaa, että testilähteen arvo on aina symbolinen ja sitä ei lasketa. Esimerkkinä viereisen sivun u 0. Olisiko muuta keinoa? Jos ratkaiset piirille sekä tyhjäkäyntijännitteen U T että oikosulkuvirran I N, saat ekvivalenttipiirin resistanssin jakamalla U T /I N. Tämä metodi toimii jos U T ja I N ovat nollasta poikkeavia. Piirisimulaattorilla voi siis saada ekvivalenttipiirin kätevästi. Edellisestä mainittakoon, että U T ja I N voivat olla nollia, mikä tarkoittaa sitä, että ohjattu lähde absorboituu kokonaan resistanssiksi. Tästä esimerkkinä alla oleva piiri. Testivirralla voi todeta laskemalla, että ekvivalenttipiiri koostuu vain 2.5Ω vastuksesta (ja U T on nolla). LTspice antaisi vain tuloset U T 0Vja I N 0A. Jos U T (ja samalla I N ) on nolla, oikean resistanssin saa LTspicessä siten, että astetetaan porttiin A virta ja simuloidaan tulos u 0. Resistanssi u 0 /Aon kuvan tapauksessa 2.5Ω. Kokeile! LTS 8Ω 5Ω u 5Ω u o EKVIVA- LENTTI: -u 80Ω i φ 2.5Ω 60

61 HARJOITUKSESSA 4 LASKETTAVAT TEHTÄVÄT Esim. 4.7: LTS Laske kuvan 8 piiristä jännite U sekä 0Ω:n vastuksessa kuluva teho käyttäen superpositiomenetelmää. (KURSSIKIRJA: DRILL EXERCISE. 4.27) 4 A 5Ω U 2Ω 0V - 0Ω 2Ω Kuva 8 Vastaus U V ja P 0Ω W Esim. 4.8: Laske kuvan 9 piirin virta I 4 laskemalla ensin katkoviivan sisällä olevalle osalle Nortonin ekvivalentti. 5V 3Ω 4Ω 2Ω - 6V - 2V - Ι 4 0Ω Kuva 9 Vastaus:.27A 6

62 Esim. 4.9: Ratkaise kuvan 0 piirille (portista a,b näkyvä) Theveninin ekvivalentti. (tenttitehtävä ) 60Ω 6Ω 20Ω a 40i φ 80Ω i φ b Kuva 0 Vastaus: U T 0V ja R T 8,75Ω 62

63 Harjoitus 5 REAKTIIVISET PIIRIELIMET, OSA. Kela ja kondensaattori ovat passiivisia elementtejä, aivan kuten vastuksetkin. Passiivisuudella tarkoitetaan kykenemättömyyttä tuottaa energiaa. Vastuksesta poiketen kondensaattori ja kela voivat kuitenkin varastoida energiaa, joko sähkö- tai magneettikenttään. Kapasitanssi [C] F As/V s/ω Kondensaattori on komponentti, joka varastoi sähköenergiaa johdelevyjen väliseen sähkökenttään. Kondensaattorin virta poikkeaa nollasta vain, jos levyjen välinen jännite muuttuu (du/dt 0). Kapasitanssin virta-jännite -yhtälöt ilman kondensaattorin alkujännitettä sekä alkujännitteen kanssa ovat alla olevassa kuvassa. u(t) - Kuva i(t) C u(t) - Kuva 2 i(t) C u(t 0 ) u( t) i( t) C du ( t) dt t --- i( τ) dτ C () (2) u( t) t --- i( τ) dτ C Alkujännite u(t 0 ) on nollasta poikkeava jännitteen tila integroinnin alkuhetkellä t 0. Eli lyhyemmin jännitteen alkutila. Sähkökenttään varastoitunut energia on: w( t) --C u( t) 2 (4) 2 Kondensaattorin jännite ei voi muuttua äkillisesti (askelmaisesti), koska tämä vaatisi äärettömän virran (tosin kondensaattorin virta voi muuttua äkillisesti). Jos kondensaattorin jännite on vakio, virta on nolla. t 0 u( t o ) (3) 63

64 Esim. 5.: Kapasitanssi on 0.5µF ja sen yli oleva jännite on: { 0, t 0 4 u(t) [V] 3 u( t) 4t, 0 < t 2 4 e t, t > t [s] Laske kondensaattorin virta. Ratkaisu: Käytetään kaavaa () jokaiselle osalle erikseen, jolloin: i( t) { 0, 5µF 0 0A, t 0 0, 5µF 4 2µA, 0 < t 0, 5µF ( 4 e t ) 2 e t µa, t > i(t) [µa] t [s] 64

65 Induktanssi [L] H Vs/A s Ω Kela (käämi) on komponentti, joka varastoi sähköenergiaa kelaa ympäröivään magneettikenttään. Mitä suurempi virta induktanssin läpi kulkee, sitä suurempi on magneettikentän voimakkuus. Kelan yli indusoituu jännite vain, jos virta muuttuu (di/dt 0). Induktanssin virta-jänniteriippuvuutta kuvaa seuraavat yhtälöt ilman alkuvirtaa ja alkuvirran kanssa ovat alla olevassa kuvassa. u(t) - Kuva 3 i(t) L u(t) - Kuva 4 i(t) L i(t 0 ) i( t) u( t) L di ( t) dt t -- u( τ) dτ L (5) (6) i( t) t -- u( τ) dτ L i( t 0 ) t 0 (7) Alkuvirta i(t 0 ) on nollasta poikkeava virran tila integroinnin alkuhetkellä t 0. Eli lyhyemmin virran alkutila. Induktanssiin varastoitunut energia on: w( t) --L 2 i( t) 2 (8) Kelan virta ei voi muuttua äkillisesti (askelmaisesti), koska tämä vaatisi äärettömän jännitteen (tosin kelan jännite voi muuttua äkillisesti). Jos kelan virta on vakio, jännite on nolla. 65

66 Esim. 5.2: Induktanssi on 00mH ja sen yli oleva jännite on: u( t) { 0 0, t 0 4t, 0 < t 4 e t, t > 4 u(t) [V] t [s] Laske kelan virta. Ratkaisu: Käytetään kaavoja (6) ja (7): t 0 00mH alkutila i(0) 0 i( t) t 00mH τ d τ t2 00mH t 2, 0 < t 2 seuraava integrointi alkaa hetkellä t 0 s alkutila i() 20 t 00mH e τ dτ 20 40e t 60, t > 60 i(t) [A] t [s] 66

67 Kapasitanssien rinnan- ja sarjaankytkennät C C2 C3 C C2 C3 C tot C C 2 C C tot C C 2 C 3 Kapasitansseja yhdistetään kuten konduktansseja Induktanssien rinnan- ja sarjaankytkennät L L2 L3 L L2 L L tot L L 2 L L L L L 3 tot 2 3 Induktansseja yhdistetään kuten resistansseja. Sinimuotoiset jännittet ja virrat Kondensaattorin ja kelan virta- ja jänniteyhtälöissä olevat derivaatat ja integraalit aiheuttavat sen, että virralla ja jännitteellä on eri vaihe (mutta sama taajuus). Derivointi kääntää vaihetta 90 o ja integrointi -90 o. d d ---- sin( ωt) ---- cos( ωt 90 ) ω cos( ωt) dt dt (9) ---- d cos( ωt) ω cos( ωt 90 ) dt sin( ωt) ωt cos( 90 ) --- cos( ωt 80 ) D --- cos( ωt) D ω ω ωt cos( ) --- sin( ωt) D --- cos( ωt 90 ) D ω ω missä D on integrointivakio., (0) 67

68 DC-tilanteen arviointi Seuraavassa laskuharjoituksessa perehdytään erilaisten ensimmäisen asteluvun RC ja RL-piirien aikavasteiden laskemiseen. Askelmuotoinen heräte muodostetaan kytkimen avulla, eli dc-lähde joko on tai ei ole kytkettynä piiriin, kun t < 0. Hetkellä t0 kytkin käännetään toiseen asentoonsa, josta lasketaan esim. kondensaattorin yli oleva jännite (u C (t), kuva 5), kun t 0. K R K R E - 2 C u C (t) E - 2 C u C (t) t < 0 u C (t) t 0 Kuva 5 0 t Kuten huomaat, askelmainen heräte aiheuttaa vasteen u C (t), joka seuraa herätteen muotoa hitaasti. Seuraavassa laskuharjoituksessa verkkojen aikavaste analysoidaan ratkaisemalla verkon virta-jännite -riippuvuuksia kuvaavat differentiaaliyhtälöt. DC-tilanteiden arvioinnilla voidaan arvioida asymptoottista lopputilaa askelmaisen herätteen tapauksessa. Kuvassa 5, kun t<0, RC-piirin heräte on 0V (dc). Tällöin vastekin on 0V. Kun t > 0, vaste seuraa askelmaista herätettä, kunnes u C (t) asettuu johonkin arvoon tietyn aikavakion määräämässä ajassa. Kun t >> 0 vaste on täysin asettunut ja kyseessä on toinen dc-tilanne (Esim. 5.3). Kun piiri on dc-tilanteessa, jännitteet ja virrat eivät enää muutu, di dt 0 ja du dt 0. Tällöin kondensaattorin virta ja induktanssin yli oleva jännite menevät nollaksi. Verkon dc-tilanne: - korvataan kapasitanssit avoimella piirillä (i C 0), - korvataan induktanssit oikosululla (u L 0) ja - lasketaan verkon dc-jännitteet ja/tai dc-virrat 68

69 HARJOITUKSESSA 5 LASKETTAVAT TEHTÄVÄT Esim. 5.3: Kuvan 5 piirissä kytkin K on ollut kauan asennossa (oikeanpuoleinen kytkentä). Mikä on kondensaattorin yli oleva jännite? (dc-tilanne) Vastaus: E Esim. 5.4: Kuvan 6 piirissä kytkin K on ollut kauan suljettuna (dc-tilanne). a) Laske jännite U b) Mikä on jännite U, kun kondensaattorin paikalla olisikin mh:n kela? R S E K C R U C 200µF R 500Ω E 2V R S 50Ω Kuva 6 Vastaus: a) 0,9V b) 0V. Tasavirralla kela vastaa oikosulkua. Esim. 5.5: Kuvan 7 piirissä kytkin K on ollut kauan suljettuna. Mikä on jännite kelan yli? Mikä on virta R:n läpi? Mikä on virta kelan läpi? R K U R L i u Kuva 7 Vastaus: Jännite kelan yli on nolla. Virta R:n läpi on nolla. Virta kelan läpi on I L U/R 69

70 Esim. 5.6: µf:n suuruisen kondensaattorin yli oleva jännite u C (t) on kondensaattorin läpi kulkeva virta. 2 2e 00t V. Laske Vastaus: 200e 00t µa Esim. 5.7: Laske kuvan 8 sarjaankytkennän kokonaiskapasitanssi 0,µF 0,2µF Kuva 8 Vastaus: 66,7nF. Esim. 5.8: Kuvan 9 piirissä jännitteet ja virrat ovat sinimuotoisia. Laske jännite u(t).,5cos(50t) A 50mH u(t) - 00mH Kuva 9 Vastaus: -2,5sin(50t) V eli 2.5cos(50t 90 o ) V. 70

71 Kursori LTspice-vinkkejä Herätteet ja/tai vasteet eivät aina ole dc-muotoisia. Jos näin on, ja haluat nähdä esim. jännitteen tietyllä ajanhetkellä, käytä kursoria. Kursori on sivuttaissuunnassa liikuteltava pystysuuntainen jana, josta vaaka- ja pystyakselin tiedot näet näppärästi numeromuotoisena. Klikkaa kuvion otsikkoa, niin saat kursorin esille. Otsikon klikkaus oikealla hiiren napilla tuo kursorivalikon, jossa voit tuoda kuvaan vaikkapa kaksi kursoria. Ajattelemisen aihetta seuraavan laskarin tiimoilta Kuten mainittua, vaste askelmaiseen herätteeseen seuraa herätteen muotoa aikavakio asettaman hitauden mukaan (asettumis-aika eli alkutransientti). Seuraavan sivun kuvassa on simuloitu sivun 68 piiriä (Rmeg ja Cn) pulssimuotoisella herätteellä. Jännitemuotoinen heräte on askelmainen ja vaihtelee 0V ja V välillä. Viereisen sivun kuvassa on heräte E sekä kondensaattorin yli oleva jännite ja läpi kulkeva virta. Virran kuvaajassa näkyy myös asettuminen, mutta heräteen muutoskohdan (V 0V) hetkellä virta muuttuu äkillisesti. Jännite ei sitä vastoin muutu äkillisesti. Mikä mahtaa olla selitys? Vastaus löytyy kondensaattorin virran ja jännitteen kaavoista. Kun virtaa (IC) integroidaan (summataan kumuloituvasti ajan funktiona), päädytään jännitteen kuvaajan muotoon jossa ei voi näkyä askelmaisia (äkillisiä) muutoksia (jännite /C kertaa virran integraali). Vastaavasti, kun kun jännitettä (V(out)) derivoidaan, äkilliset virran muutokset tapahtuvat juurikin kohdassa, jossa jännitteen nousu muuttuu laskuksi ja toisinpäin (virta C kertaa jännitteen derivaatta). Miksi tämä on tärkeää? Virran tai jännitteen alkutila on virran tai jännitteen arvo hetkellä, jossa muutos on juuri tapahtunut. Eli i(0 ) tai u(0 ). Alkutila on dc-tilanteen tarkkailua ja sitä tarvitaan aikavasteiden laskennassa. Kondensaattorin jännitteen ja kelan virran tapauksessa tämä arvo on sama kun hetkeä ennen herätteen muutosta. Vastaavasti kondensaattorin virran ja kelan jännitteen tapauksessa i C (0 - ) i C (0 ) ja u L (0 - ) u L (0 ). Tämä johtuu derivoinnista. 7

72 E (volttia) heräte 0 t (sekuntia) vaste (jännite) vaste (virta) 72

73 Harjoitus 6 REAKTIIVISET PIIRIELIMET, OSA 2. Resistiivisillä verkoilla (harjoitukset -4) ei ole muistia: jännite- tai virtalähteen arvon muuttaminen vaikuttaa välittömästi solmujännitteiden ja haaravirtojen arvoihin. Reaktiivisilla piirielimillä eli kapasitansseilla ja induktansseilla on kyky varastoida energiaa. Reaktiivisten piirielinten vaikutus näkyy siten, että äkillinen herätteen muutos aiheuttaa solmujännitteissä ja haaravirroissa vasteen, joka seuraa herätteen muotoa erilaisilla reaktiivisten ja resistiivisten komponenttien aiheuttamilla aikavakioilla. Verkkojen aikavaste analysoidaan ratkaisemalla verkon virta-jännite -riippuvuuksia kuvaavat differentiaaliyhtälöt.. Kertausta viime laskuharjoituksesta: u(t) i(t) C - - i( t) C du ( t) dt t u( t) --- i( τ) dτ C t u( t) --- i( τ) dτ C t 0 u( t o ) Kondensaattorin jännite ei voi muuttua äkillisesti (aaltomuoto f ) Kondensaattorin virta voi muuttua äkillisesti (aaltomuoto f 2 ) u(t) i(t) C u(t 0 ) u(t) - i(t) L i( t) i( t) u( t) L di ( t) dt t -- u( τ) dτ L t -- u( τ) dτ L i( t 0 ) Kelan virta ei voi muuttua äkillisesti (aaltomuoto f ) Kelan jännite voi muuttua äkillisesti (aaltomuoto f 2 ) u(t) - i(t) L t 0 i(t 0 ) f (0 - )a 2 f (t) f 2 (0 )a 2 f 2 (t) f (0 )a 2 a f 2 (0 )a a a 2 aika aika Kuva. Esimerkkejä RC-ja RL-piiriten askelvasteiden muodoista. a 2 73

74 Differentiaaliyhtälöiden (aikavasteen) ratkaisutapoja Laskuesimerkeissä sähköisiä piirejä kuvaavat differentiaaliyhtälöt ovat lineaarisia ja tavallisia, vain ajan suhteen derivoituja differentiaaliyhtälöitä. Tällaisten differentiaaliyhtälöiden ratkaisemiseksi on useita vakiintuneita menetelmiä (ks. myös luentomoniste). Seuraavaksi esitellään kaksi ratkaisutapaa, joita käytetään esimerkkitehtävissä. Ensimmäinen toimii erityyppisille herätteille ja jälkimmäinen on räätälöity askelmuotoisille herätteille. DC-tilanteen arvioiminen (edellinen laskari) on tärkeää, koska mahdollinen alkutila vaikuttaa yleensä ratkaisuun. Alkutilan ja asymptoottisen lopputilan arviointi helpottaa ratkaisun hahmottamista. Menetelmä : vakion varioiminen Piirin aikavastetta kuvaava differentiaaliyhtälö muodostetaan seuraavasti: Kirjoitetaan Kirchoffin jännite- tai virtayhtälö(t) analysoitavalle verkolle Järjestetään yhtälö siten, että vasemmalle puolelle jää ratkaistava funktio y(t) ja sen derivaattoja ja oikealle puolelle heräte h(t), joka on joko vakio tai ajan funktio y (t) Ay(t) h(t) () Ratkaistava jännite tai virta on siis funktio y(t). Ratkaistaan homogeeninen yhtälö eli ns. vapaa vaste tai luonnollinen vaste. Merkitään heräte h(t) nollaksi ja etsitään homogeenisen yhtälön y h (t) ratkaisu. Yhden aikavakion piireille se on aina eksponentiaalinen, ja aikavakion arvo on /A: y h (t) K e -At (2) Vakio K ratkaistaan myöhemmin. Etsitään herätettä vastaava erikoisratkaisu eli ns. pakotettu vaste. Erityisratkaisu y p (t) on tässä laskuharjoituksessa aina vakio (dc-lähde). Eli sijoitetaan ratkaistavan muuttujan paikalle vakio, esim. B, ja ratkaistaan B yhtälöstä (). Mikäli h(t) on nolla, y p (t)0. Differentiaaliyhtälön ratkaisu on vapaan ja pakotetun vasteen summa. y(t) y h (t) y p (t) (3) josta alkuehtoja käyttäen ratkaistaan vakio K. 74

75 Menetelmä 2: ratkaisuyrite Tämän menetelmän käyttö rajoittuu ainoastaan askelmuotoisille herätteille ja yhden aikavakion piireille (mikä sopii tähän kurssiin oikein hyvin). Kun tiedetään askelvasteen yleinen muoto, se sijoitetaan alkuperäiseen yhtälöön ja ratkaistaan tuntemattomat parametrit. Ensimmäisen asteen RL- ja RC-piireille tämä yleinen muoto voi olla joko y( t) K e At tai y( t) B K e At Jos differentiaaliyhtälössä () on heräte h(t) on nolla, ratkaisu on muotoa (4). Jos nollasta poikkeava, muotoa (5). Esimerkit 6. ja 6.3 on ratkaistu tällä menetelmällä. Aikavasteen yleinen ratkaisu (kun heräte on askelmuotoinen) Ratkaisuyrite-menetelmä perustuu tähän. Ensimmäisen asteen RL- ja RC-piireille yleinen ratkaisu askelvasteelle on: (4) (5) [ t t 0 ] aikavakio y( t) lopputila [ alkutila lopputila] e (6) missä t 0 on kytkimen sulkemis- tai aukaisuhetki (sama t 0 kun sivun 73 kaavoissa). Se on yleensä nolla. Alku- ja loppuatilat ovat dc-tilanteen arviointeja, kun kytkin on ollut ensin kauan kumpaisessakin asennossa. Luonnollisen vasteen asettuminen yhden aikavakion piireissä y(t) { Aikavakio on muotoa RC [s] tai L [s] R 5RC t Askelvaste asettuu silmämääraisesti ajassa 5 kertaa aikavakio. Tämä on kätevä muistisääntö, jos askelvasteen kuvaajaa on tarkoitus luonnostella. 75

76 Esim. 6.: Kondensaattorin lataaminen. Kytkin K on kauan asennossa 2 ja kondensaattori on varaukseton. Kytkin siirretään asentoon hetkellä t 0. Laske u c (t), kun t 0. Huom. tämä on helppo tehtävä, jonka ratkaisu on helposti luonnosteltavissa. Nyt keskitytään differentiaaliyhtälön kirjoittamiseen ja sen ratkaisemiseen. R K E - t0 2 C u c (0) 0 KVL: u C u C u E R Ri E u ( t) RC du C ( t) E C dt Kirchhoffin lain (metodin) valinta on vapaa KCL: i R i C 0 u C E C du C R dt u C C du C R dt E --- R u RC C ( t) du C ( t) dt E RC (7) Eli yhtälö on sama riippumatta siitä, kumman Kirchhoffin lain valitsit. Yhtälö on muotoa: dy( t) A y( t) h( t), dt eli yhtälöstä näkee jo aikavakionkin (RC). Mutta jatketaan silti oppikirjamaisesti. Merkitään oikea puoli nollaksi, jolloin homogeeninen yhtälö on u RC C ( t) du C u C du C ( t) dt dt RC (8) 76

77 Seuraavaksi integroidaan puolittain kaava (8) käyttäen tätä sääntöä f, ( x) d f( x) x missä D on integrointivakio. ln[ f( x) ] D, (9) ln( u C ) t D RC e (...) u C t RC Ke (0) Huomaa, että K e D (K on vakio). Koska heräte on vakio, kokeillaan u C (t):n erityisratkaisuksi vakiota B: Sijoitetaan kaavaan (7) u C (t) B: Diff. yhtälö u c ( t) B C R Luonnollinen vaste t RC Ke E ---, joten B E R Pakotettu vaste E Ratkaistaan lopuksi K alkutilan avulla ( t0 ): RC u C ( 0) Ke E K E 0 K E Eli: u c ( t) E( e t ( RC) ) u c (t) E 5RC t 77

78 Esim. 6.2: Luonnostele kuvan 2 kytkennässä kondensaattorin (C 200µF) yli olevan jännitteen kuvaaja kytkimen K ollessa ensin kiinni ja sen jälkeen avattuna. R 500Ω, E 2V, R S 50Ω. K E R S C R Kuva 2 Kytkin suljettuna. K R S E C R Kytkimen ollessa suljettuna pitkään saadaan jännitejaosta: U C U R R R E 500Ω 50Ω Ω 2V 0,9V R S Avataan kytkin: KCL: K C i C i C ( t) i R R i R ( t) d C ( uc ( t) ) dt u C ( t) R d u uc ( t) C ( t) dt RC d( u C ( t) ) u C ( t) dt RC Kytkimen kautta kulkeva virta katkeaa ja kondensaattoriin varautunut energia alkaa purkautua vastuksen kautta. () Ratkaistaan u C ( t) integroimalla puolittain. f, ( x) d f( x) x ln[ f( x) ] D ln[ u C ( t) ] t D (2) RC Pakotettua vastetta ei tarvitse laskea, koska kaavan () oikea puoli on nolla. Kaavan (2) ratkaisu on laskettu edellisessä esimerkissä (0). 78

79 u C t RC Ke (0) K saadaan alkuehdoista: u C (0 ) 0.9 V ja sijoittamalla t0 kaavaan (0) u C (0) 0,9V Ke 0 K t RC u C ( t) 0,9 e V t 500Ω 200µF t ,s 0,9 e 0,9 e V, kun t 0 Kuvaaja (luonnostele itse): u C (t) [V] ,2 0,2 0,4 0,6 t [s] 79

80 Esim. 6.3: Ratkaistaan edellisestä tehtävästä myös i C (t): i(t) t , u c ( t) 0,9Ve A t i C ( t) t u c ( t) , ,028e 500Ω Tai näin: i C ( t) C du C ( t) t t µF dt 0, 0, 9 0, 0, e 0,028e Huomautuksia Kelan virta i L (t) ja kondensaattorin jännite u C (t) eivät voi muuttua äkillisesti, koska niiden lausekkeissa on integraali. Niinpä alku- ja lopputilan tarkkailu sopii parhaiten suureisiin i L (t) ja u C (t). Näitä on helppo luonnostella. Jos kysytäänkin suureita u L (t) tai i C (t), on toisinaan helpompaa ratkaista ensin i L (t) tai u C (t). Esim: olet ratkaissut kelan virran i L (t). Kelan jännite on induktanssi L kertaa i L (t):n aikaderivaatta. Derivaatan laskenta ei ole hankalaa, kunhan muistat sisäfunktion derivaatan. Seuraavan sivun b-kohta valaisee asiaa. 80

81 HARJOITUKSESSA 6 LASKETTAVAT TEHTÄVÄT Esim. 6.4: Kuvan 3 piirissä kytkin K on ollut kauan suljettuna (tätä dc-tilannetta analysoitiin edellisessä laskuharjoituksessa). a) Kytkin avataan hetkellä t 0. Kirjoita vastaava Kirchoffin jännitelain mukainen yhtälö. b) Ratkaise i(t) ja u(t), kun t 0. R K U t0 R L i u Kuva 3 a) Σu 0 L di ( t) Ri( t) dt b) i( t) R --- t U L e R u( t) L d R --- t ---- U L e dt R R --- t RU L e R 8

82 Esim. 6.5: Kuvan 4 piirissä kytkin SW on ollut kauan kiinni eli johtavana. Jännitelähde on vakio: u40v. Hetkellä t0, kytkin aukaistaan ei-johtavaksi. Ratkaise virta i L (t), kun t 0. (tentti ) SW R R 2 R 0 Ω u - u L L R 2 30 Ω L 2 mh i L Kuva 4 Esim. 6.6: LTS Vapaaehtoinen simulointityö (on joskus ollut pakollinen). Kuvan 5 piirille tehdään seuraavat simulaatiot: a) aikavaste (transienttianalyysi) pulssimuotoiselle herätteelle, b) aikavaste sinimuotoiselle herätteelle MΩ u in (Heräte) - nf u out (Vaste) Kuva 5 a) Esitä sen askelvaste (tulosignaali uin muuttuu 0V:stä V:ksi ajanhetkellä t 0), kun t > 0 (vertaa esim. 6.). uout(t) 82

83 RC-aikavakio ja nurkkataajuus RC s ω 0 /(RC) rad/s Määritellään simuloitavalle piirille pulssimuotoinen heräte: uin (V) pulssin leveys V 0V nousuaika laskuaika AIKA (sekuntia) periodi Pulssin nousu- ja laskuaika ovat 0.RC, pulssin leveys 7RC, pulssin periodi 4.2RC, simuloinnin kesto 4.2RC ja aika-askel on 0.0 RC. Määritellään LTspicessä uin: 83

84 Simuloi kuvan 5 piirin aikavaste pulssimuotoiselle herätteelle uin. Mittaa nousevalta osuudelta aika, jolloin uout on 630mV ja 900mV. 630mV: t 900mV: t 84

85 6.7b) Nyt määritellään simulaattorissa samalle (kuvan 5) piirille sinimuotoinen transienttiheräte (aikatason heräte) siten, että signaalin amplitudi on V, dc-offset on 0V, kulmataajuus ω on 0/(RC) ja analyysin kesto 30 jaksoa. uin (V) amplitude { dc offset (tässä 0V) T /f (yhden jakso kesto) aika Simulaattori käyttää taajuuksia f ω/2π eikä kulmataajuuksia, joten taajuudet on aina muutettava hertzeiksi! Aikavakio RC kulmataajuus 0/(RC) taajuus simuloinnin kesto s rad/s Hz s Heräte uin on sinimuotoinen (taajuus 0/(RC), amplitudi, dc-offset 0) ja nyt simuloidaan 30 jakson mittainen aika. Simuloi ja kirjaa taulukkoon ensimmäiselle tyhjälle riville: I) Lähtöjännitteen uout amplitudi, kun alkutransientti on tasaantunut, II) alkutransientin silmämäärainen kestoaika ja III) tulo- ja lähtöjännitteen välinen vaihe-ero asteina. Vaihe-ero määritellään seuravalla tavalla: tulon ja lähdön välinen viive jaettuna jaksomitalla kertaa 360 o.. Alkutransientti on luonnollisen vasteen vaikutus. Kesto riippuu aikavakiosta. 85

86 Taulukon kaksi alinta riviä: Toista simulointi myös taajuuksille /(RC) sekä 0./(RC) ja kirjaa tulokset taulukkoon. Huomaa, että, kun taajuutta pienennetään kymmenesosaan, pitää simuloinnin lopetusaikaa kasvattaa kymmenkertaiseksi (saadaan 30 jaksoa näkyville joka tehtävässä). Taulukko : ω (rad/s) f (Hz) I) II) III) etumerkki on miinus! 0/RC /RC 0./RC Tämän tehtävän vasteet ovat alla olevien kuvien mukaisia. pulse response 0.25 sinusoid response, ω 0/(RC) amplitude amplitude time (s) x time (s) x sinusoid response, ω /(RC) sinusoid response, ω 0./(RC) amplitude amplitude time (s) time (s) 86

87 Alkutilat LTspicessä LTspice-vinkkejä (alkutilat) Alkutilan huomioimisesta otetaan valaisevana esimerkkinä tenttitehtävä , tehtävä 4: Tenttikysymys: Kuvan 2 piirissä kytkin K on ollut kauan kiinni (johtavana). Heräte on dc-muotoinen: u in V. Kytkin aukaistaan hetkellä t0. Eli kytkin ei ole johtavana, kun t 0. Ratkaise kondensaattorin yli oleva jännite, kun t 0. R R s 500Ω Kuva 2 R s u in - K R 2 C R 5kΩ R 2 5kΩ C 0µF Alkutila ratkaistaan laskemalla tai simuloimalla. Alkutilan saat simulaattorista Edit simulation command valikosta, ks. kuva alla. Simulaattorissa kytkimen paikalla on nyt johdinta (kytkin kiinni). Valitaan välilehti DC op point ja paina OK. 87

88 Eli dc-alkutilan tutkailu (kytkimen ollessa kiinni) tehdään Spice-simulaattorissa dc-toimintapisteen (DC operating point) avulla. OK-napin jälkeen klikkaa jotain tyhjää osaa piirikaaviosta: Simulointikomento.op asetetaan kuten spice-direktiivi sivun 37 ohjeissa. DC-toimintapisteen simulaatio antaa numeromuotoisena dcjännitteet ja virrat. Tässä tapauksessa uc(0) V Kun t 0, kytkin on auki ja mallinnettava piiri on tämän näköinen: n R 5e3 C R2 5e3 0e-6.tran 0.5.ic V(n) Yllä oleva kuva on siis simuloitava piiri. Kapasitanssi on 0µF ja siihen liittyvä alkutila (Initial Condition IC) on annettu spice-direktiivillä.ic.... Jännitteen alkutila annetaan tässä nodeen n. Kelan virta annettaisiin suoraan induktanssiin. Alla vielä komennon syntaksi LTspicen helpeistä (paina F LTspice IV LTspice Dot Commands) Syntax:.ic [V(<n>)<voltage>] [I(<inductor>)<current>] Example:.ic V(in)2 V(out)5 V(vc).8 I(L)300m Huom: LTspicestä löytyy simulointimalli kytkimelle. Tätä ei tarvitse käyttää: piirrä skema tilanteelle t > 0 ja ota huomioon alkutila. 88

89 Harjoitus 7 SINIMUOTOISTEN SIGNAALIEN ESITTÄMINEN OSOITIN- LASKENNALLA Jatkuvilla sinimuotoisilla signaaleilla tarkoitetaan sinimuotoisia jännitteitä ja virtoja, jotka ovat kokonaan pakotettua vastetta, eli luonnollinen vaste oletetaan täysin asettuneeksi. Terminologia herätteelle ja vasteelle on CW-heräte (continuous wave) ja steady-state -vaste. Jälkimmäisellä tarkoitetaan tässä asettuneen tilan jaksollista vastetta. Nyt sinimuotoisia signaaleja (jännitteitä ja virtoja) kuvataan tietyllä kulmataajuudella origon ympärillä pyörivillä vektoreilla, eli kompleksiosoittimilla. Syy tähän on laskutoimitusten helppoudessa: ei tarvitse muistaa useita kymmeniä trigonometrisisten funktioiden laskukaavoja. Eritoten kompleksiosoittimen integrointi ja derivointi helpottuu ja niiden avulla voidaan johtaa immittanssit jatkuville sinimuotoisille signaaleille. Immittansseilla tarkoitetaan impedanssia ja admittanssia, joita kohdellaan kuten resistanssia ja konduktanssia aiemmin. Seurauksena kaikki aiemmin resistiivisille verkoille kehitetyt menetelmät voidaan nyt ottaa käyttöön myös reaktiivisille komponenteille, kunhan signaalit ovat jatkuvia ja sinimuotoisia. Alkupään laskuharjoituksissa esitetyt perusasiat, kuten sarjaankytkentä, rinankytkentä, jännitejako, virtajako, solmupiste- ja silmukkavirtamenetelmä jne. pätevät sellaisenaan steady-state vasteiden laskentaan. Kompleksiarvoinen eksponenttifunktio F määritetään Eulerin kaavalla F e σjφ e σ (cosφ j sinφ) A(cosφ j sinφ) x jy, missä j (-), josta j 2 - Imag y A φ x Real x on reaaliosa y on imaginaariosa A on vektorin pituus φ on vaihekulma 89

90 Kompleksiluvut voidaan esittää joko reaali- ja imaginaariosasta koostuvassa suorakulmaisessa muodossa F x jy, () tai osoitinmuodossa: F A e jφ A φ, (2) missä A on vektorin pituus (itseisarvo, amplitudi), φ vektorin suuntaa (alkuvaihe eli vaihe kun t0) ja Jatkuvia sinimuotoisia signaaleja voidaan kuvata myös aikamuodossa: f(t) A cos(ωt φ), (3) missä ω on kulmataajuus. Osoitinlaskennassa vektorin kulmataajuus jätetään pois, koska KAIKKIEN signaalien taajuus on ω. Eli pyörimisvauhdista huolimatta vektorien väliset vaihe-erot pysyvät samana. Kaavan (2) vaihe φ on alkuvaihe (kun t0). Osoitinlaskennassa ratkaisumetodit ovat tuttuja. Lisähankaluutena on kompleksinen laskenta, missä joutuu varsin usein muuntamaan kompleksinen vektori suorakulmaisista muodosta osoitinmuotoon: { A F x 2 y 2 φ arctan( y x) tai osoitinmuodosta suorakulmaiseen muotoon: x Acos( φ) { y Asin( φ), (4). (5) Seuraavalla sivulla havainnollistetaan, kuinka kerto- ja jakolasku sekä potenssiinkorottamiset on tehokkainta laskea osoitinmuodossa, kun taas kompleksilukujen yhteen- ja vähennyslasku on tehokkainta tehdä suorakulmaisessa muodossa. Alla on kaksi tapaa laskea vektorin käänteisluku. Jälkimmäisessa lavennetaan vektorin F kompleksikonjugaatilla F *, jossa imaginaariosan (ja φ:n) etumerkki vaihtuu alkuperäisestä F:stä. (ks. esim 7.d) -- F j e j x jy x jy A φ Ae jφ ---e j( 0 φ) jφ --e A Ā Ā -- φ -- F x jy x jy x jy x jy ( x jy) ( x jy) x 2 jxy jxy y x 2 y 2 F * F 2 90

91 Kompleksisen vektorin... suorakulmainen muoto ja osoitinmuoto 2 2 y z x jy x y arc tan ---- x A φ 2 2 y 2 z x jy x y 2 arc tan ---- x 2 A φ 2 2 Summaus z z 2 x x 2 j( y y 2 ) Erotus z z 2 x x 2 j( y y 2 ) Kertolaskut z z 2 A φ A 2 φ 2 A A 2 ( φ φ 2 ) jakolaskut z z 2 A φ A 2 φ 2 A ( φ A φ 2 ) 2 potenssiin korottaminen n z ( A φ ) n n A ( n φ ) Esim. 7.: Piirrä osoittimet A 3 j4, B 0e j60 ja C 5 30 kompleksitasoon ja laske sitten a) A B b) B - C c) A / B d)a A * e) A A f) A * A / (A B - B C - A C B 2 ) g) B /6 Im 9 4 A B A 3 j4 B 0e j60 0( cos60 jsin60 ) 3 0 0,5 j j5 3 2 C e j30 5[ cos( 30 ) jsin( 30 )] C Re j0,5 2 2,5 3 j2,5 9

92 a) b) c) A B ( 3 j4) ( 5 j5 3) 8 j( 4 5 3) 8 2 ( 4 5 3) arc tan ,98 57,7 B C ( 5 j5 3) ( 2,5 3 j2,5) ( 5 2,5 3) j( 5 3 2,5) 0,6699 j,6,8 86,56 A --- B j4 5 53, ,5 6,87 0,496 j0,0598 0e j60 d) AA ( 3 j4) ( 3 j4) 5 53,3 5 53,3 25 ( 53,3 53,3 ) ( A 2 ) Vektori kertaa vektorin kompleksikonjugaatti vektorin pituuden neliö e) AA 5 53,3 5 53, ,26 7,0 j24,0 f) A A ( AB BC AC B 2 ) A A AB C( B A) B 2 A A ( A B) ( B C) A A B( A B) C( A B) ,98 57,7,8 86,56 0,49 ( 0 57,7 86,56 ) 0,49 44,26 g) B / 6 0e j60 / e j ( ) / ,

93 Immittanssit Kuten muistat, kondensaattorin virta on kapasitanssi kertaa jännitteen derivaatta. Oletetaan, että jännite on osoitinmuodossa. U A e j( ωt φ) V. Tällöin kondensaattorin virran osoitin on: I C ---- d ( A e j( ωt φ) ) dt C jω A e j( ωt φ) jωc U Kuten muistetaan, resistanssi on U/I ja konduktanssi on I/U. Jatkuville sinimuotoisille signaaleille nämä suhdeluvut saadaan edellisestä lausekkeesta kapasitanssille: U/I /(jωc) ja I/U jωc. Kutsumme näitä impedanssiksi ja admittanssiksi. Vastaavat suhdeluvut kelalle ovat jωl ja /(jωl). Nämäkin voi johtaa samaan tyyliin, kun lähdetään liikkeelle induktanssin jänniteyhtälöstä ja osoitinmuotoisesta virrasta I A e j( ωt φ) A. Kokeile johtaa. Koostettuna taulukossa on esitetty impedanssit ja admittanssit (eli immittanssit) jatkuville sinimuotoisille signaaleille. Huomaa, että vastuksen immittanssit ovat tutut resistanssi ja konduktanssi. Taulukko : Piirielinten immittanssit sinimuotoiselle signaalille impedanssi Z [ohm] admittanssi Y [mho] L jωl / (jωl) -j / (ωl) C / (jωc) -j / (ωc) jωc R R / R G Admittanssi on impedanssin käänteisluku: Z / Y. Ohmin lain yleistys reaktiivisille komponenteille: U ZI ja IYU. Induktanssin ja kapasitanssin impedanssin suuruus riippuu taajuudesta ω. Niinpä numeerisia laskuja varten on aina tunnettava signaalin taajuus. Induktanssi ja kapasitanssi kääntävät virran ja jännitteen keskinäistä vaihetta. 93

94 Esim. 7.2: Laske kuvan piirin kokonaisimpedanssi Z, kun L0.5H, C2F ja G2S. Kulmataajuus ω on rad/s. Z L Kuva G C Ratkaisu: Z jωl j -- G jωc j 2 -- j -- 2 Ω Vertaa Harj. : rinnan- ja sarjaankytkentä Esim. 7.3: a) Laske kuvan 2a piiristä kondensaattorin läpi kulkema virta, kun i(t) 2cos(5000t - 90 o ) A. b) Laske kuvan 2b piiristä vastuksen yli oleva jännite, kun u(t) 0.5cos(200t 90 o ) V. a) b),5ω i(t) 20kΩ 0nF u(t) - 3mH Kuva 2 Ratkaisut: a) i(t) 2cos(5000t - 90 o ) A, josta ω 5000 rad/s I C Y R G j Y C jωc I j Y o I C o o j o 2 45 o j Y R Y C o Virta jakaantuu admittanssien suhteessa (vrt. Harj. ) 94

95 b) b).5ω u(t) - 3mH U R u(t) 0.5cos(200t 90 o ) V, josta ω 200rad/s Z R R, 5 Z L jωl 0, 6j R U o, 5 0 o, R, 5 0, 6j Z L U 0, 5 90 o 0, o , 655 2, 8 o 0, 46 68, 2 o Jännite jakaantuu impedanssien suhteessa (vrt. Harj. ). Esim. 7.4: Määritä kuvan 3 kelan virta sekä osoitin- että aikamuodossa, kun u in (t) 0 2 cos(200t)v. 200Ω u in (t) - 20µF 0.5mF 0.H Kuva 3 Tehtävän vaikea osuus on osoitinlasketa. Ratkaisutavan miettiminen kumpuaa tutuista resistiivisille verkoille tehdyistä analyyseistä. Jos tiedämme rinnankytkentään tulevan virran, voimme laskea kelan läpi kulkevan virran. Silmukassa kiertävän kokonaisvirran laskemiseen tarvitaan kokonais-impedanssin laskentaa. u in (t) I in 200Ω 0.5mF - 20µF I L C L 0.H I L Ratkaisutapa: Y L I in Y L Y C Z in C 2 Z 95

96 u( t) 0 2cos200t V U in V kulmataajuus ω 200 rad s Lasketaan komponenttien impedanssit: Z C jωc j200 0, Ω j33, 333Ω 33, Ω Z C jωc 2 j Ω j250 Ω Ω Z L jωl j200 0, Ω j20 Ω Ω Z Z Z C C Z L Z L Z C Z L jωl jωc jωl jωc jωl j20 j20 ω 2 LC , 0,5 0 3 Ω j50 Ω Ω 0,4 2 Lasketaan kokonaisimpedanssi (sarjaankytkentä): Z in R Z Z C2 200 Ω j50 Ω j250 Ω 200 Ω j200 Ω 200( j) Ω Ω 3 Lasketaan kokonaisvirta osoitinmuodossa: I in U in V ma 0, A Ω Z in 4 Kelan virta virtajaon kaavalla: I L Y L Z L I in Y L Y C I in Z L Z C Z L Z C I in Z C 33, j20 j33, 333 0, ,25 45 A 5 Kelan virta aikamuodossa: i L ( t) 0,25 π 200t -- π cos A

97 HARJOITUKSESSA 7 LASKETTAVAT TEHTÄVÄT Esim. 7.5: Laske kuvan 4 piiristä impedanssi Z R jx, kun U I 5 30 A. U L 40V V ja (Kelan jännite on 90 edellä virtaa (U L jωli), tästä voidaan päätellä U L :n vaihekulma) I Z U - U L Vastaus: R 0 Ω X j9,32 Ω Kuva 4 Esim. 7.6: LTS Laske jännite U L kuvan 5 piiristä. E 0 o V, ω 2 rad/s, R Ω, R 2 Ω, L 0.5 H, C 0.25 F. R R 2 E - C L U L Kuva 5 Vastaus: 2 U L V 0, V 8 Simulointivinkkejä tähän tehtävään ks- s

98 LTspice-vinkkejä Vaihe-ero siniherätteellä (aikatason simulaatio) Jos katselet yhtä aikaa herätettä ja vastetta, huomaat että niillä on sama taajuus ja sitä kautta sama jaksonmitta. Ne eivät kuitenkaan välttämättä ole samassa vaiheessa. Jos vaste on vaikkapa /4 jaksonmittaa jäljessä herätettä, vaihe-ero on -360/4 astetta eli -90 o. Viive saadaan kursoreiden avulla (klikkaa kuvaajan otsikkoa oikealla napilla). Vaihe-ero on käyrien välinen viive per jaksonmitta kertaa 360 o. Kun olet simuloinut ja haluat tietää kahden käyrän välisen viiveen, sen voi määrittää: a) Huipusta-huippuun viiveenä, tai b) viivenä nollan-ylitys kohdasta. Jälkimmäinen metodi (b) on tarkempi, koska simulaattorin aika-askel on rajallinen; nollan ympäristössä simulaattori piirtää suoran viivan laskettujen pisteiden välille. Vaihe-ero AC-analyysillä (paljon helpompi) Vaihe-eron katsominen aikatason simulaatiosta on ihan valaisevaa, muttei järin kätevää. Taajuustason simulaatiossa heräte on sinimuotoinen taajuuspyyhkäisy tietyn taajuusalueen yli. AC-analyysissä kyse on osoitinlaskennasta, eli tuloksia (itseisarvo, vaihe) katsellaan taajuuden funktiona. AC-analyysi ei mallinna alkutransienttia (luonnollista vastetta).. Kurssikirjassa in phase tarkoittaa samassa vaiheessa 98

99 Otetaan esimerkkinä tehtävä 7.6. LTSpice-simulaattorissa jännitelähde on riippumaton lähde. Klikkaa hiiren oikealla napilla jännitelähdettä advanced. Aukeaa tämän näköinen ikkuna: Oikealla puolella laitetaan kohtaan small signal AC analysis amplitudiksi ja vaiheeksi 0, koska E 0 o V. Kyseessä on taajuuspyyhkäisy siniherätteellä, jonka itseisarvo ja vaihe annettiin juuri. Tässä oli vasta heräte. Seuraavaksi pitäisi määrätä simulointitavaksi AC analysis: 99

100 Number of points per decade tarkoittaa laskettavien itseisarvojen ja vaiheiden lukumäärä per dekadi. Dekadi on taajuusalue, jossa taajuus kasvaa kymmenkertaiseksi (logaritminen taajuusasteikko). Jos haluat, että kiinnostava pistetaajuus löytyy tismalleen taajuudella fsig ([Hz]), valitse parametrit esimerkiksi näin: Type of Sweep: Decade, Start Frequency: fsig/00, Stop Frequency: fsig 00. Itseisarvo- ja vaihekuvaajat esimerkille 7.6: 00

101 Huomaa, että LTspicessä taajuudet ovat Hertzeinä, kun taas laskuissa käytetään kulmataajuuksia. Harkkatyössä bumerangi tulee usein unohtamalla, että f ω/(2π). Kursorin saat klikkaamalla kuvaajan otsikkoa. Kursori siirretään oikealle taajuuslukemalle (Hz) jolloin näet oikeat vastaukset (itseisarvo ja vaihe). Huomaa, että itseisarvo on desibeleinä, ja se muutetaan lineaariasteikolle: 6, 55dB 0, 47, koska 0 6, , 47 Toisinpäin: 20log 0 (0,47) -6,55dB Toinen tapa simuloida, jos vain numeromuotoinen ratkaisu tietyllä taajuudella kiinnostaa Yllä oleva simulointikäsky antaa numeerisen listan komponenttien läpi kulkevista virroista ja johtimien (solmujen) jännitteistä. Eli saadaan virtojen ja jännitteiden itseisarvot (mag) ja vaiheet (phase). Huomaa, että taajuus annetaan simulaattorissa hertzeinä, tässä se on 2/(2π) Hz. 0