Ratkaisuista Nämä Todennäköisyys ja tilastot -kurssin kertaustehtävien ja -sarjojen ratkaisut perustuvat oppikirjan tietoihin ja menetelmiin. Kustakin tehtävästä on yleensä vain yksi ratkaisu, mikä ei kuitenkaan tarkoita sitä, että ratkaisu olisi ainoa tai edes paras mahdollinen. Valittu ratkaisutapa on toivottavasti kuitenkin mahdollisimman suoraviivainen ja ymmärrettävä. Ratkaisut ovat malliratkaisuja. Niissä ratkaisun eteneminen on esitetty niin tarkasti ja perustellen kuin hyvässä ratkaisussa pitää tehdä. Pelkkä vastaus ei koskaan riitä tehtävän ratkaisuksi. Hyvään ratkaisuun kuuluu ratkaisussa käytetyn menetelmän ja merkintöjen sanallinen selittäminen. Myös mahdolliset kuviot kuuluvat ratkaisuun. Tämän kurssin tehtävien ratkaisuissa käytetään usein erilaisia sääntöjä ja kaavoja. Tällöin pitää selittää, mitä kaavaa tai menetelmää käytetään ja miksi sitä voidaan käyttää. Ratkaisuissa pitää näkyä myös kaavoihin sijoitukset. Lausekkeiden arvot voidaan sitten laskea laskimella. Tätä ei erikseen tarvitse mainita muulloin kuin laskimen tilastotoimintoja käytettäessä. Ratkaisuun kuuluu myös vastauksen ilmoittaminen. Mieluimmin kannattaa kirjoittaa erillinen vastaus, vaikka oheisissa ratkaisuissa ei tilan säästämiseksi ole näin tehtykään. Ratkaisut on kuitenkin laadittu siten, että vastaus on ratkaisun lopussa. Todennäköisyydet voidaan ilmoittaa murtolukuina tai desimaalilukuina. Jos laskuissa käytetyt arvot ovat murtolukuja, saa myös vastauksen lasketuksi murtolukuna, kun käytetään laskimen murtolukutoimintoja. Murtolukuvastaukset saa tällöin myös supistetussa muodossa. Näissä ratkaisuissa vastaukset on annettu supistetussa murtolukumuodossa, jos mahdollista. Lisäksi on laskettu vastauksen likiarvo (yleensä) kahden numeron tarkkuudella. Jos laskussa käytetään välituloksia, niissä on kuitenkin käytettävä tarkempia likiarvoja (tai mieluiten tarkkoja arvoja) pyöristysvirheiden välttämiseksi. Jukka Kangasaho ja Werner Söderström Osakeyhtiö 00
Kertaustehtävien ratkaisut 5. Alkeistapaukset ovat pareja (n, k), missä n on nelitahokkaan silmäluku ja k kahdeksantahokkaan. Alkeistapauksia on 8 =. a) Suotuisia alkeistapauksia on. P(Silmälukujen summa ) = = = 0, 5 8 b) Suotuisia alkeistapauksia on. P(Nelitahokkaan silmäluku suurempi) = = 0, 9 8 5 5. Merkitään hiirten lukumäärää a. a) Kahden vuoden kuluttua hiiristä oli elossa % eli 0,a hiirtä. 0,a P(elää ainakin kaksivuotiaaksi) = = 0, a b) Hiiristä % elää ainakin kaksi vuotta ja % kolme vuotta. Siis kaksi- mutta ei kolmevuotiaaksi elää % % = 5 %. 0,5a P(elää kaksi- mutta ei kolmevuotiaaksi) = = 0, 5 a c) Yhden vuoden iän saavuttaneita hiiriä oli 0,a. Kahden vuoden kulutta elossa on 0,a hiirtä. P(elää vielä ainakin kaksi vuotta) = 0,a 0,a = 0, 0, 0, d) Yli viisivuotiaita hiiriä ei ole yhtään elossa, joten yksikään neljän vuoden iän saavuttanut hiiri ei elä enää kahta vuotta. P(elää vielä ainakin kaksi vuotta) = 0 5. Arvonta vastaa pisteen arpomista epäyhtälöiden x ja y määräämästä suorakulmiosta. Suorakulmion pinta-ala on =. Lukujen summa on positiivinen suoran x + y = 0 eli y = x yläpuolelle jäävässä kolmiossa. Kolmion pinta-ala on =. P ( x + y > 0) = = 0, y x
5. Riittää tarkastella yhtä neliötä ja sitä ympäröivää sauma-aluetta, jonka leveys on puolet saumavälistä. Koko alueen pinta-ala on 0 mm = mm. Kolikko on kokonaan ruudussa, jos sen keskipisteen etäisyys on vähintään säteen päässä ruudun reunasta. Suotuisa alue on neliö, jonka sivunpituus on 00 mm,8 mm =, mm. Alueen pinta-ala on, mm 5 80 mm. 00 mm mm 580 P(Kolikko ruudussa) = 0, 5 55. Kaikkia suuntia kuvaa 0 :n sektori. Suotuisa sektori on α, missä 5 cos α = 0 α,. α P(Kohdataan tie) = 0, 0 0 km α 5 km 5
5. a) Jakauma: voitto 8 todennäköisyys 5 5 = 5 5 b) E(X) = p i x i = + 8 + ( ) = (euro) 5 5 5 c) Keskihajonta: D ( X ) = p ( x i i E( X )) = ( ) + (8 ) + ( ) = 5 5 5 D ( X ) =,8 (euroa) 5. Koko ruudukon pinta-ala on 9 9 = 8. Kunkin pistemäärän saamistodennäköisyys saadaan jakamalla vastaavan alueen pinta-ala 8:llä. Odotusarvo on p i x 8 5 i = 5 + + + + =,0. 8 8 8 8 8 8 58. Tuloperiaatteen mukaan erilaisia ruokalajiviisikoita on = 5 = 80, joista suotuisia on 5 = 50. 50 P(Eri ruoka) = 0,5 80 59. Valitaan alkeistapauksiksi mahdolliset heittosarjat. Erilaisia sarjoja on 5. Suotuisissa sarjoissa ensimmäinen heittotulos voi olla mikä tahansa ja sen jälkeen jokainen tulos on eri kuin edellinen. Suotuisia heittosarjoja on 5 5 5 5. 5 P(Ei peräkkäin samaa silmälukua) = 0, 8 5 Koska todennäköisyys on pienempi kuin, vetoa ei kannata lyödä.
0. a) Neljä ensimmäistä korttia voi olla eri maata, mutta tällöin viidennen on oltava samaa maata kuin joku edellinen. Siis joudutaan nostamaan enintään 5 korttia. b) Käytetään alkeistapauksina jonoja. 5 P( korttia) = = 0,5 5 5 5 5 9 P( korttia) = 0, 5 5 50 5 9 P( korttia) = 0,9 5 5 50 9 5 9 P(5 korttia) = 0,05 5 5 50 9 c) Odotusarvo 0,5 + 0, + 0,9 + 0,05 5, (korttia). Valitaan alkeistapauksiksi seitsemän numeron lottorivit. Rivien lukumäärä on 9. Syntymäpäivänumeroita on joten näistä muodostettuja rivejä on. 955 P(Kaikki syntymäpäivänumeroita) = = 0, 9 5809 (Alkeistapauksiksi voidaan valita myös seitsemän lottonumeron jonot, 0... 5 jolloin todennäköisyys on. 9 8... Voidaan myös käyttää yleistä kertolaskusääntöä, jolloin 0 5 todennäköisyys on....) 9 8. Valitaan alkeistapauksiksi kahden paikan joukot. Näitä on 8 = 8. Suotuisia alkeistapauksia on. Todennäköisyys on = = 0, 5. 8 X X X X... X X
. Kissoja on yhteensä 8. Valitaan alkeistapauksiksi kahden pennun joukot. Alkeistapausten lukumäärä on 8 = 8. a) Tyttökissapareja on 5 = 0. 5 P(molemmat tyttökissoja) = = 8 0 8 0, b) Pareja, joissa kissat ovat eri sukupuolta, on tuloperiaatteen mukaan 5 = 5. 5 P(eri sukupuolta) = 0,5 8. Valitaan alkeistapauksiksi viiden pallon joukot. Alkeistapausten lukumäärä on. 5 5 P( valkoista, mustaa) = 0, 5 5. Valitaan alkeistapauksiksi lottorivit. Rivejä on 8. Suotuisissa alkeistapauksissa on: - oikean lottorivin :sta numerosta: erilaista - numeroa muista numerosta: erilaista Tuloperiaatteen mukaan suotuisia alkeistapauksia on P(Neljä oikein) = 0,0005 8 8
. a) Valitaan alkeistapauksiksi kolmen sukan joukot. Alkeistapauksia on, suotuisia. P(Vain ehjiä) = = = = 0, 0 5 b) Tapahtuma ainakin yhdet rikkinäiset on a-kohdan tapahtuman vastatapahtuma. Siis P(ainakin yhdet rikkinäiset) = 0, = 0,8.. Tapahtuman A: ainakin kahdella sama kortti vastatapahtuma on B: kaikilla eri kortti. Erilaisia 5 kortin kymmenikköjä on 5 0, joista vastatapahtumalle suotuisia on 5 5.... Siis 5 5... P( B ) = 0,9 ja P(A) 0,9 0,0. 0 5 8. Todennäköisyys, että henkilö jää kiinni, on 00 ja 99 todennäköisyys, että ei jää, on. 00 Henkilö tekee vuodessa 0 matkaa. P(Jää kiinni) = P(Ei jää kiinni 0 matkalla) = 99 0 ( ) 0, 00 9. Jos ryhmässä on n suomalaista, niin todennäköisyys, että ainakin yksi kuuluu B-veriryhmään, on P(kukaan ei kuulu) = 0,8 n. Tulee olla 0,8 n > 0,9 eli 0,8 n < 0,. Lasketaan potenssin 0,8 n arvoja: n 0,8 n 5 0,9 0 0,55 0,0 0,089 Koska 0,8 n pienenee, kun n kasvaa, potenssin arvo on alle 0,, kun n on vähintään. 9
0. Todennäköisyys, että kolmen komponentin laite toimii, on 0, = 0,99. Todennäköisyys, että kahden komponentin laite toimii, on 0,l = 0,99. Todennäköisyys, että koko laite toimii, on P(Molemmat osat toimivat) = 0,99 0,99 0,98.. Todennäköisyys, että pajulintu tavataan, on 0,00 ja todennäköisyys, että ei tavata on 0,999. Todennäköisyys, että kanahaukka tavataan, on 0,5 ja todennäköisyys, että ei tavata on 0,85. a) P(ainakin yksi tavataan) = P(yhtään ei tavata) = P(ei yhtään kanahaukkaa) P(ei yhtään pajulintua) = 0,85 0 0,999 0 0,8 b) P(ainakin yksi kanahaukka ja ainakin yksi pajulintu) = P(ainakin yksi kanahaukka) P(ainakin yksi pajulintu) = ( P(ei yhtään kanahaukkaa)) ( P(ei yhtään pajulintua)) = ( 0,85 0 ) ( 0,999 0 ) 0,09. Yhteenlaskusäännön mukaan: P(Kuvia tai samaa maata) = P(molemmat kuvia) + P(molemmat samaa maata) P(molemmat saman maan kuvia) 5 = + 5 5 5 5 5 0, 5 5. P(. valo vihreä) = 0,0, P(. valo punainen) = 0,0 P(. valo vihreä) = 0,5, P(. valo punainen) = 0,55 P(. valo vihreä) = 0,0, P(. valo punainen) = 0,0 a) Tapahtuma Pysähtyy kerran muodostuu erillisistä tapahtumista. P(Liisa pysähtyy kerran) = P(. valo punainen,. valo vihreä,. valo vihreä) + P(. valo vihreä,. valo punainen,. valo vihreä) + P(. valo vihreä,. valo vihreä,. valo punainen) = 0,0 0,5 0,0 + 0,0 0,55 0,0 + 0,0 0,5 0,0 0, b) P(Pysähtyy ainakin kerran) = P(ei yhtään kertaa) = P(kaikki valot vihreitä) = 0,0 0,5 0,0 0,9 0
. Tapahtuma muodostuu erillisistä tapahtumista Puolisot A-ryhmää, Puolisot B-ryhmää, Puolisot O-ryhmää ja Puolisot AB-ryhmää. P(Samaa ryhmää) = P(Puolisot A-ryhmää) + P(Puolisot B-ryhmää) + P(Puolisot O-ryhmää) + P(Puolisot AB-ryhmää) = 0, 0, + 0, 0, + 0,08 0,08 + 0, 0, = 0, + 0, + 0,08 + 0, = 0,5 0, 5. P(samanväriset) = P(molemmat punaiset tai molemmat vihreät) = P(molemmat punaiset) + P(molemmat vihreät) 0 5 5 = + = + = 0, 5 9 9 9. P(ylihuomenna pouta) = P(huomenna pouta ja ylihuomenna pouta tai huomenna sataa ja ylihuomenna pouta) = P(huomenna pouta ja ylihuomenna pouta) + P(huomenna sataa ja ylihuomenna pouta) = 0,8 0,8 + 0, 0, = 0, pouta 0,8 pouta 0,8 sataa 0, 0, pouta
. Kyseessä on toistokoe, jossa n =, p = P(Oikein) =. Käytetään binomitodennäköisyyden kaavaa n k n k P(Tapahtuma sattuu k kertaa) = p p k ( ). 0 a) P(0 oikein) = 0 0,00 b) P(ainakin 0 oikein) = P(0,, tai oikein) = 0 0,005 0 + + + 0 8. P(vähintään kaksi) = (P(ei yhtään tai yksi) = (P(ei yhtään) + P(yksi)) = ( 0, 0 = (0, 0 0, + 0, 0, + 0, 0, ) 0, ) 9. Ryhmässä on yhtä monta miestä ja naista, kun molempia on 5. Tilanne voidaan tulkita toistokokeeksi. 0 P(Yhtä monta) = P(5 naista) = 0,5 5 0,9 5 5 0,5 80. Tyttöjä ja poikia on vähintään, kun poikia on, tai. Tulkitaan tilanne toistokokeeksi, jossa p = 0,5 ja n =. P(Ainakin ) = P( poikaa) + P( poikaa) + P( poikaa) = 0,5 0,88 + 0,5 0,88 + 0,5 0,88 0,00 + 0,9 + 0,58 0,8
8. a) Keskiarvo: x f i x = 0, + 0,8 + 0,9 + 0 + 0,0 5 =,5 = i Keskihajonta: s = f ( x x) i i = 0, (,5) + 0,8 (,5) + 0,9 (,5) + 0,0 (5,5) = 0,95 s = 0,95 0,9 (Voidaan myös laskea laskimen tilastotoiminnoilla käyttämällä prosenttilukuja frekvensseinä.) b) Sopiva havainnollistus on janadiagrammi. Voidaan myös piirtää pylväsdiagrammi, jonka muodostuu tasaleveistä erillisistä pylväistä. 8. Merkitään pistemäärien summaa ensimmäisessä kokeessa a. Toisen kokeen pistemäärien summa oli a + + = a +. a Ensimmäisen kokeen keskiarvo oli. 0 a Toisen kokeen keskiarvo oli + a = + = a + 0,. 0 0 0 0 Keskiarvo nousi 0,:lla. 8. a) Todelliset luokkarajat ovat 5, 5, 0, 0 ja 50. Käytetään luokkakeskuksia eli todellisten rajojen keskiarvoja 0,,5, 5 ja 5 luokkien edustajina. Keskiarvo on = f i x i x = 0,99 0 + 0,,5 + 0,5 5 + 0,05 5 0,0 vuotta. b) Histogrammin pylväiden pinta-alat kuvaavat suhteellisia frekvenssejä. Siis pylvään suhteellinen korkeus on vastaavan luokan frekvenssi jaettuna pylvään leveydellä. Luokan 5 frekvenssi on 9,9 ja leveys on 0, 9,9 joten pylvään korkeus on = 9,9. 0, Luokan 5 9 pylvään korkeus on =,. 5 5, Luokan 0 9 pylvään korkeus on =,5. 0,5 Luokan 0 9 pylvään korkeus on = 0,5. 0, % 9,9 % 5, %,5 % Pylväiden reunat ovat todellisten luokkarajojen 5, 5, 0, 0 ja 50 kohdalla. ikä 5 5 0 0 50 v
8. Histogrammin pylväät ovat suorakulmioita. Pylväiden pinta-alat (ruutuina) ovat = 8, = 9 ja =. Histogrammin koko pinta-ala on 8 + 9 + =. Koko pinta-ala edustaa kaikkia opiskelijoita. a) Rajan 0 vuotta alapuolella on histogrammista ruutua. P(Alle 0) = 0,5 Rajan 5 v yläpuolella on ruutua. P(Vähintään 5 v) = = 0, b) Histogrammin pylväiden pinta-alat edustavat jakauman frekvenssejä. Suhteelliset frekvenssit saadaan jakamalla pylväiden pinta-alat koko histogrammin pinta-alalla. Ikäjakauman frekvenssitaulukko: ikä (v) ala f % 5 8 8 5 9 9 0 0 9 c) Suhteellisten frekvenssien Kertymäkuvaaja: kertymät: ikä/v alle % 00 % 5 0 5 8 0 8 50 % 0 00 Kertymäkuvaajan perusteella 0 % mediaani-ikä on noin 9 vuotta. 0 0 0 0 50 0 ikä/v
9,, 85. a) P(X 9,) = Φ( ) Φ(0,) 0,8, 0,0, b) P(X 0,0) = P(X 0,0) = Φ( ), Φ(,5) = ( Φ(,5)) = Φ(,5) 0,9 c) P(0 X 0) Φ(0,) Φ(,5) = Φ(0,) ( Φ(,5)) 0, x µ x, 8. Rajaa x vastaava normitettu arvo on z = =. σ, a) P(X x) = 0,8, kun Φ(z) = 0,8. Taulukon mukaan z,08, joten x,, =,08 x, =,,08, x =, +,08,,. b) Φ(z) = 0,, kun Φ( z) = Φ(z) = 0,89. Taulukon mukaan z,, joten z,. Siis x,,,,5. 8. a) Olkoon satunnaismuuttuja X satunnaisesti valitun pojan pituus. Tällöin 5,0, P(X < 5,0) = Φ( ) Φ(0,) 0,0, Siis pituus on alle 5,0 cm 0 %:lla pojista. 80,0, b) P(X 80,0) = P(X 80,0) = P(Z ), = Φ(0,9) 0,85 = 0,85 Pituus on yli 80,0 cm %:lla pojista. 88. Olkoon satunnaismuuttuja X satunnaisesti valitun munan paino. Tällöin todennäköisyys, että muna kuuluu L-luokkaan on P( X ) = P(X ) P(X ) 8, 8, = Φ( ) Φ( ) Φ(0,5) Φ( 0,5) 9,8 9,8 = Φ(0,5) ( Φ(0,5)) 0,95 ( 0,985) = 0,9. Siis L-luokkaan kuuluu 9 % munista. 5
89. Olkoon satunnaismuuttuja X koulumatkan kesto. On määritettävä aika x niin, että P(X x) = 0,05 eli P(X x) = 0,95. Rajaa x vastaava normitettu arvo on z = x. 5 Taulukon mukaan P(X x) = Φ(z) = 0,95, kun z,. Siis: x =, 5 x = 5, x 0 (minuuttia) 5 90. Olkoon säädetty massa µ (kg) ja olkoon satunnaismuuttuja X pussin paino. Todennäköisyyden P(X 0) tulee olla 0,95. 0 µ Rajaa 0 kg vastaava normitettu arvo on z =. 0,5 P(X 0) = 0,95, kun Φ( z) = 0,95. Taulukosta saadaan: z =,, joten z =,. Siis: 0,95 0 µ z z =, 0,5 µ = 0 +, 0,5 0,89 (kg) 9. Olkoon keskihajonta σ (mm) ja olkoon satunnaismuuttuja X linssin paksuus. Todennäköisyys, että linssin paksuus ylittää hylkäämisrajan, on P(X,00) = P(X,00) = P(Z Todennäköisyys on enintään 0,0, kun Φ(,00, 000 0,00 ) = Φ( ). σ σ 0,00 0,00 ) 0,0 eli kun Φ( ) 0,99. σ σ Taulukon mukaan Φ(z) = 0,99, kun z,. Siis: 0,00 σ 0,0 σ, σ > 0,σ 0,0, 0,008 Siis keskihajonta on enintään 0,008 mm.
Todennäköisyys ja tilastot Tehtävien ratkaisut Tehtäväsarjat Sarja A. Ensimmäisen ystävyksen vaunulle on vaihtoehtoa, samoin toisen jne. Tuloperiaatteen mukaan erilaisia sijoitteluja on =. Tapahtumalle kaikki eri vaunuissa suotuisia sijoitteluja on 5, joten 5 P(kaikki eri vaunuissa) = 0, 5.. Tapahtuman ainakin yksi pari vastatapahtuma on ei yhtään paria. 5 Todennäköisyys, että yhdellä heittokerralla ei saada paria, on. P(neljällä heitolla ainakin yksi pari) = P(ei yhtään paria) = 5 0,5 Todennäköisyys on suurempi kuin, joten vedonlyönti kannattaa.. Valitaan alkeistapauksiksi seitsemän lottonumeron joukot. 9 lottonumerosta 0 on parittomia. Siis: 0 50 P(kaikki parittomia) = = 0, 0050 9 5809. Olkoon satunnaismuuttuja X niitin halkaisija. Rajoja,9 ja, vastaavat normitetut arvot ovat,9,8 0, Siis: 0,8,,8 ja,. 0, P(X,9) Φ( 0,8) = Φ(0,8) 0,99 = 0,0 P(X,) P(X,) = Φ(,) 0,8980 0,00 Siis niiteistä poistetaan 0, %, joten jäljelle jää 9,9 %. Yli, mm niittejä on 0,0 %. Merkitään niittien määrää a. Tällöin poistamisen jälkeen niittejä on jäljellä 0,99a ja 0,00a niittiä on halkaisijaltaan yli, mm. Osuus prosentteina: 0,00a = 0,99a 0,00 0,99 0, = %
Todennäköisyys ja tilastot Tehtävien ratkaisut Tehtäväsarjat 5. Olkoon satunnaismuuttuja X Karin voitto yhdellä kierroksella. X:n mahdolliset arvot ovat,,,... ja. Arvon todennäköisyys on P(Saatu kortti eri maata kuin arvattu) =. Muiden arvojen todennäköisyys on P(X = k) = P(Saatu kortti samaa maata kuin arvattu ja arvo k) = =. 5 Voiton odotusarvo: E( X ) = P( X = k) k = ( ) + + +... + 5 5 = + ( + +... + ) = + 9 = 0,5 5 5 Pelata kannattaa, koska yhden kierroksen voiton odotusarvo on positiivinen. 5. Nauhoitusten alkamiskohdat x ja y ovat väliltä [0, 0] arvottuja satunnaisia lukuja. Nauhoitukset tulevat kokonaan nauhalle, kun 0 x 50 ja 0 y 50. Nauhoitukset eivät mene päällekkäin, jos y < x 0 tai y > x + 0. y Ehdot rajaavat neliöstä 0 x 0, 0 y 0 alueen, joka muodostuu kahdesta kolmiosta. Alueen pinta-ala on 0 0 0 = 00. Kysytty todennäköisyys on 00 0,. 00 0 x 8
Todennäköisyys ja tilastot Tehtävien ratkaisut Tehtäväsarjat Sarja B. P(saman väriset) = P(molemmat ruskea-, sini-, vihreä tai harmaasilmäisiä) = 0,5 0,5 + 0, 0, + 0, 0, + 0,05 0,05 = 0,8 0,8. Olkoon X kuutosten lukumäärä, kun heitetään kuutta noppaa, ja Y kuutosten lukumäärä, kun heitetään noppaa. Tulkitaan tilanne toistokokeeksi. P(X ) = P(X = 0) = 5 0,5 P(Y ) = (P(Y = 0) + P(Y = )) = ( 5 + 5 ) 0,9. Todennäköisempää on, että kuudella nopalla tulee ainakin yksi kuutonen.. Alkeistapaukset ovat lukupareja (, ), (, ) jne. Alkeistapausten lukumäärä on = 9. a) Koska ( a + b) = a + ab + b, yhtälö ( a + b) = a + b toteutuu, kun ab = 0 eli kun a = 0 tai b = 0. Suotuisat alkeistapaukset ovat (0, ), (0, ), (0, ), (0, 0),..., (, 0), (, 0). Suotuisia alkeistapauksia on, joten P (( a + b) = a + b ) = 0,. 9 b) Koska ( a b) = a ab + b toteutuu, kun a ab + b = a b ab = 0 b( b a) = 0 b b = 0 tai b = a. Suotuisia alkeistapauksia on, joten P (( a b) = a b ) = 0,. 9, yhtälö ( a b) = a b 9
Todennäköisyys ja tilastot Tehtävien ratkaisut Tehtäväsarjat. Nolla menee oikeana perille, jos se menee molemmissa vaiheissa oikein tai muuttuu ensimmäisessä vaiheessa ykköseksi ja toisessa vaiheessa ykkösestä nollaksi. Siis: P(0 menee oikeana perille) = 0,9 0,9 + 0,0 0.0 = 0,88 Vastaavasti: P( menee oikeana perille) = 0,9 0,9 + 0,0 0,0 = 0,9. Viestissä 00000 on 5 nollaa ja ykköstä. P(00000 menee oikein) = P(nollat oikein ja ykköset oikein) = 0,88 5 0,9 0, 5. Valitaan alkeistapauksiksi 0 numeron joukosta valitut seitsemän numeron osajoukot. Alkeistapausten lukumäärä on 0. Suotuisia ovat alkeistapaukset, joissa on - numeroa 0 oikean numeron joukosta: 0 tai mahdollisuutta - numeroa 0 oikean ja numero 50 väärän joukosta: 0 tai 50 mahdollisuutta - 5 numeroa 0 oikean ja numeroa 50 väärän joukosta: 0 50 5 mahdollisuutta. Suotuisten alkeistapausten lukumäärä on 0 + 0 50 + 0 5 50. 0 + 0 50 + 0 50 5 P(5 oikein) = 0,05 0 0
Todennäköisyys ja tilastot Tehtävien ratkaisut Tehtäväsarjat. Olkoon satunnaismuuttuja X pelattavien otteluiden lukumäärä. Mahdolliset arvot ovat, 5, ja. Neljä ottelua tarvitaan, jos jompikumpi joukkue voittaa neljä ensimmäistä ottelua, joten P(X = ) = 0,5 + 0,5 0,9. Viisi ottelua tarvitaan, jos jompikumpi joukkue voittaa neljästä ensimmäisestä ottelusta kolme ottelua ja viidennen ottelun, joten P(X = 5) = ( 0,5 0,5 ) 0,5 + ( 0,5 0,5 ) 0,5 0,89. Kuusi ottelua tarvitaan, jos jompikumpi joukkue voittaa viidestä ensimmäisestä ottelusta kolme ja kuudennen ottelun, joten P(X = ) = 5 ( 0,5 0,5 ) 0,5 + 5 ( 0,5 0,5 ) 0,5 0,8. Seitsemän ottelua tarvitaan, jos kuudessa ensimmäisessä ottelussa voitot menevät tasan, joten P(X = ) = Odotusarvo: 0,5 0,5 0,5 E( X ) = p i x i 0,9 + 0,89 5 + 0,8 + 0,5 5,
Todennäköisyys ja tilastot Tehtävien ratkaisut Tehtäväsarjat Sarja C. Todennäköisyys, että meteoriitti osuu Suomen kohdalle, on 0, pinta-alojen suhde. 50 P(ainakin yksi 0:sta törmää) = P(yksikään ei törmää) = 0, 50 0 0,089. Merkitään puuttuvaa frekvenssiä f. Tunnettujen frekvenssien summa on. Keskiarvo on fi xi 5 0 + 9 + f + 0 + 0 + 5 x = = n + f 59 + f =. + f Siis: 59 + f + f 59 + f 59 + f 0,5 f f =,5 ( + f ) =,5( + f ) = 9 +,5 f = 0 = 0 Keskihajonta, saadaan laskimen tilastotoiminnolla.. Kaikkia mahdollisia kaatumissuuntia vastaa 0 :n kulma. Puun tyven etäisyys talon nurkista on,0 + 8,0 m 0, m < m, joten puu osuu taloon aina, kun se kaatuu talon suuntaan. Siis suuntia, joihin kaatumalla puu osuu taloon, vastaa kuvan kulma α. 8 tan α = =,85... α 8,8 α 9, 9, P(Osuu tielle) 0, 0 0, m α 8,0 m,0 m,0 m
Todennäköisyys ja tilastot Tehtävien ratkaisut Tehtäväsarjat. Olkoon satunnaismuuttuja X mittausvirhe. Mittaus poikkeaa oikeasta arvosta yli 5,0 g, kun X < 5,0 tai X > 5,0. Rajoja vastaavat normitetut arvot: 5,0 ( 0,8) 5,0 ( 0,8) z =,, z =,,, P(Poikkeama yli 5,0 g) = P(X < 5,0) + P(X > 5,0) Φ(,) + Φ(,) 0,0 5. Tiina joutuu ostamaan yli kymmenen arpaa, jos kymmenellä ensimmäisellä ei tule yhtään voittoa tai tulee yksi voitto. Valitaan alkeistapauksiksi 0 arvan joukot, jolloin 5 0 P(0 voittoa) = 0, 09 0 0 Siis: 5 5 ja P( voitto) = 9 0,0 0 0 P(Yli kymmenen arpaa) = P(0 voittoa) + P( voitto) 0,09 + 0,0 0,5. a) Olkoon p todennäköisyys, että A tapahtuu yksittäisessä kokeessa. Tällöin: P( kertaa) = 5 p ( p) = 0p ( p) P(kerran) = 5 p( p) = 5p( p). Siis: 0 p ( p) = 5p( p) : 5p( p) 0 p p p = ( + p = 0 p) = p + p p = + tai p = (Ratkaisukaavalla.) Koska todennäköisyys on aina positiivinen, on p = + 0,. b) Positiivisen luvun neliö on enintään, kun luku on enintään. Todennäköisyys, että väliltä [, ] arvotun luvun neliö on enintään, on välin [, ] pituuden suhde välin [, ] pituuteen, eli. Todennäköisyys on yhtä suuri kuin a-kohdan todennäköisyys, joten a-kohdan perusteella väite pätee.
Todennäköisyys ja tilastot Tehtävien ratkaisut Tehtäväsarjat Sarja D. Ensimmäisen lapsen syntymäkuukaudelle on vaihtoehtoa, toisen lapsen jne. Tuloperiaatteen mukaan erilaisia yhdistelmiä on. Suotuisia yhdistelmiä on 0 9 8. 0 9 8 P(syntyneet eri kuukausina) = 0,. Voiton mahdolliset arvot ovat 500, 00 ja 0 000. Vastaavat todennäköisyydet: P(A-laatua) = P(Ei kumpaakaan virhettä) = 0,9 0,9 = 0,855 P(B-laatua) = P(Jompikumpi virhe) = 0,08 0,9 + 0,9 0,0 = 0,88 P(C-laatua) = P(Molemmat virheet) = 0,08 0,0 = 0,005 Voiton odotusarvo: 0,855 500 + 0,88 00 + 0,005 ( 0 000) 8 (euroa). Jokaisella on kaksi isoisää. P(henkilön kumpikaan isoisä ei ole Veikko) = 0,9 = 0,9 P(henkilön jompikumpi isoisä on Veikko) = P(ei kumpikaan) = 0,9 = 0,08 P(vähintään kahden isoisä on Veikko) = P(ei yhdenkään tai yhden) = (P(ei yhdenkään) + P(yhden)) = (0,9 5 + 5 0,08 0,9 ) 0,59. Olkoon p todennäköisyys, että satunnaisesti valittu tuote on viallinen. Todennäköisyys, että tuote ei ole viallinen, on p. Todennäköisyys, että tuotteesta ainakin yksi on viallinen, on ( p), joten ( p) = 0,5 ( p) = 0,5 p = 0, 5 (Negatiivinen juuri ei kelpaa.) p = 0, 5 0,. Siis % tuotteista on viallisia.
Todennäköisyys ja tilastot Tehtävien ratkaisut Tehtäväsarjat 5. Tapahtuma pallojen joukossa jokaista väriä jakautuu toisensa poissulkeviin tapahtumiin: A: valkoista, punainen, musta tai B: valkoinen, punaista, musta tai C: valkoinen, punainen, mustaa. Valitaan alkeistapauksiksi pallon joukon pallon osajoukot. P(saadaan jokaista väriä) = P(A tai B tai C) = 5 + 0, + 0,8 + 0, 0,55 5 + 5. Tulos on vähintään, kun tikan etäisyys keskipisteestä on enintään 8. Kaapon heitoille on P(D 8) = P( 8 X 8) = 0,5. Normaalisti jakautuneen satunnaismuuttujan X odotusarvo on 0. Merkitään keskihajontaa σ. Tällöin: P( 8 X 8) = P( σ 8 Z σ 8 ) = Φ( σ 8 ) Φ( σ 8 ) = Φ( σ 8 ) ( Φ( σ 8 )) = Φ( σ 8 ) Siis Φ( σ 8 ) = 0,5, joten Φ( σ 8 ) = 0,85. Taulukon mukaan Φ(z) = 0,85, kun z,5. Siis: 8 =,5 σ 8 =,5σ σ = 8,5,95 σ Tulos on 0 tai 9, kun tikan etäisyys keskipisteestä on enintään. P(0 tai 9) = P(D ) = P( X ) = P( σ Z σ ) = Φ( ) Φ( σ, 95 0,5 0, ) Φ(0,5) 5
Todennäköisyys ja tilastot Tehtävien ratkaisut Tehtäväsarjat Sarja E. P(Siemen itää) = P(Siemen on ensimmäistä laatua ja itää) + P(Siemen on toista laatua ja itää) = 0, 0,9 + 0,8 0, = 0,. 0 % 5:stä on, joten ryhmään voi tulla tai naista. Arvonta voidaan tulkita toistokokeeksi. P( tai naista) = P( naista) + P( naista) = 5 0,5 0,9 9 + 5 0,5 0,9 8 0, + 0,99 0,. Tapahtuman ainakin yksi yhteinen jäsen vastatapahtuma on ei yhteisiä jäseniä eli tapahtuma B: jälkimmäisessä ryhmässä ei ole yhtään ensimmäiseen valittua. Valitaan alkeistapauksiksi kuuden hengen osajoukot; näitä on Tapahtumalle B suotuisia ryhmiä on 0. = Siis: 59 P(B) = = 0, 0 595 P(ainakin yksi yhteinen jäsen) = P(B) 0, 0.. Olkoon satunnaismuuttuja X yhden lampun kestoaika. Lamppua ei tarvitse vaihtaa, jos se kestää yli 80 5 = 900 tuntia. 900 000 Rajaa 900 vastaava normitettu arvo on = 0,5. 00 P(X > 900) = P(X 900) = Φ( 0,5) = ( Φ(0,5)) = Φ(0,5) 0,95 P(Yhtään neljästä lampusta ei tarvitse vaihtaa) 0,95 0,
Todennäköisyys ja tilastot Tehtävien ratkaisut Tehtäväsarjat 5. Tapahtuman ainakin kaksi naimisissa vastatapahtuma on tapahtuma B: korkeintaan yksi naimisissa eli ei yhtään tai yksi naimisissa. P(B) = P(ei yhtään naimisissa) + P(yksi naimisissa) = P(ei yksikään mies eikä nainen naimisissa) + P( mies ja 0 naista naimisissa) + P(0 miestä ja nainen naimisissa) = 0,98 8 0,88 5 + 8 ( 0,05 0,98 ) 0,88 5 + 0,98 8 5 ( 0,9 0,88 ) 0, P(ainakin kaksi naimisissa) = P(B) 0,. Satunnaismuuttujan X = suurin silmäluku mahdolliset arvot ovat,,,, 5 ja. Vastaavat todennäköisyydet: P(X = ) = P(Joka heitolla ) = = = Jos k, niin jokainen silmäluku on enintään k silloin, kun suurin silmäluku on k tai kaikki silmäluvut ovat pienempiä kuin k, eli: P(jokainen silmäluku k) = P(suurin silmäluku = k) + P(jokainen k ), joten P(suurin silmäluku = k) = P(jokainen silmäluku k) P(jokainen k ) Siis: P(X = ) = P(jokainen ) P(jokainen ) = P(X = ) = P(jokainen ) P(jokainen ) = = 9 = P(X = ) = P(jokainen ) P(jokainen ) = = P(X = 5) = P(jokainen 5) P(jokainen ) = 5 = P(X = ) = P(jokainen ) P(jokainen 5) = 5 9 = Odotusarvo: E( X ) = pi x,9 = + + 9 + + 5 + 9