Kertaustehtäviä Pakassa on jäljellä 50 korttia, joista 11 on herttoja Alkeistapauksia ovat silmälukuparit, joita on 36 kappaletta.

Transkriptio

1 0. Pakassa on jäljellä 50 korttia, joista on herttoja. P(kolmas kortti hertta) 50 0, Alkeistapauksia ovat silmälukuparit, joita on kappaletta. a) Kuvion perusteella pistesumma 4 saadaan tavalla. P(pistesumma 4) 0,08 2 b) Kuvion perusteella suotuisia alkeistapauksia on P(pistesumma korkeintaan 4) 0, 0. Alkeistapauksia ovat silmälukuparit (n, k), missä n on nelitahokkaan silmäluku ja k kahdeksantahokkaan silmäluku. Alkeistapauksia on kappaletta. a) Kuvion perusteella pistesumma saadaan 4 tavalla. P(pistesumma ) 4 0, b) Kuvion perusteella suotuisia alkeistapauksia on. 2 4 P(n suurempi) 2 0,85 0,9

2 04. Merkitään hiirten lukumäärää a. a) Kahden vuoden kuluttua hiiristä oli elossa % eli 0,a hiirtä. 0,a P(elää ainakin kaksivuotiaaksi) 0, a b) Hiiristä % elää ainakin kaksi vuotta ja % kolme vuotta. Siis kaksi- mutta ei kolmevuotiaaksi elää % % 5 %. 0,5a P(elää kaksi- mutta ei kolmevuotiaaksi) 0,5 a c) Yhden vuoden iän saavuttaneita hiiriä oli 0,2a. Kahden vuoden kulutta elossa on 0,a hiirtä. 0,a 0, P(elää vielä ainakin kaksi vuotta) 0,4 0,2a 0,2 d) Yli viisivuotiaita hiiriä ei ole yhtään elossa, joten yksikään neljän vuoden iän saavuttanut hiiri ei elä enää kahta vuotta. P(elää vielä) Suotuisat leikkauskohdat ovat vähintään 5 m:n päässä köyden jommastakummasta päästä eli enintään 2 m:n päästä keskikohdasta. 5 m 2 m 5 m Suotuisan alueen pituus on 4 m, koko alueen 4 m. P(A) 4 0, Kaikkia mahdollisia kaatumissuuntia vastaa 0 :n kulma. Suuntia, joihin kaatumalla pylväs osuu tielle, vastaa kuvan kulma 2. cos 0, , , 2,0 m α,0 m P(osuu tielle) 08, 0 0,0 2

3 0. a) P(sadepäivä) 0, b) P(sunnuntai) 0,4 c) P(poutainen sunnuntai) P(pouta) P(sunnuntai) ,095 d) P(sateinen arkipäivä) P(sataa) P(arki) 2 2 0, Koska arpoja on paljon, on voittoarvan saamismahdollisuus eri ostokerroilla muista riippumaton. a) P(voittoarpa) 0,; P( voittoarpaa) 0, 0,02 b) P(ei voittoarpa) 0,; P( voittamatonta arpaa) 0, 0,4 09. Tummasilmäisyys on muista riippumaton ominaisuus. Oppilaita, joilla ei ole tummat silmät, on 89 %. P(ei tummasilmäinen) 0,89 P(ei yhtään tummasilmäistä) P(0 ei-tummasilmäistä) 0,89 0 0,00 0. Heittojen tulokset ovat toisistaan riippumattomia. a) P(kuutonen toisella heitolla) P(. heitolla muu) P(2. heitolla ) 5 5 0,4 b) P(kuutonen neljännellä heitolla) P(:lla ensimmäisellä heitolla muu) P(4. heitolla ) 5 25 ( ) 29 0,09

4 . P(. valo vihreä) 0,0, P(. valo punainen) 0,0 P(2. valo vihreä) 0,40, P(2. valo punainen) 0,0 Tapahtuma pysähtyy kerran muodostuu erillisistä tapahtumista. P(Liisa pysähtyy kerran) P(. valo vihreä, 2. valo punainen) + P(. valo punainen, 2. valo vihreä) 0, 0, + 0, 0,4 0,4 2. Tuotteissa on yksi viallinen, jos toinen on viallinen ja toinen viaton. Viallisen todennäköisyys on 0,5, viattoman todennäköisyys on 0,85. Tapahtuma voidaan jakaa erillisiin tapahtumiin. P(yksi viallinen) 0,5 0,85 + 0,85 0,5 0,2. P(samaa sukupuolta) P(kaikki naisia) + P(kaikki miehiä) 0,2 + 0,28 0,4 4. P(piiri viallinen) P(piiri uudesta koneesta ja viallinen tai vanhasta koneesta ja viallinen) P(uudesta koneesta ja viallinen) + P(vanhasta koneesta ja viallinen) 0,5 0,05 + 0,25 0,8 0,08 5. Valitaan tuotteet peräkkäin. P(yksi on viallinen) P(viallinen, ehjä, ehjä) + P(ehjä, viallinen, ehjä) + P(ehjä, ehjä, viallinen) 0,5 0,85 0,85 + 0,85 0,5 0,85 + 0,85 0,85 0,5 0, 4

5 . Kolme voittoa tulee silloin, kun kolme arpaa voittaa ja yksi ei voita. Koko tapahtuma muodostuu neljästä erillisestä tapahtumasta, joissa kukin arpa vuorollaan on voittamaton. Jokaisen tällaisen tapahtuman todennäköisyys on 0, 0,. Siis: P(kolme voittoa) 4 0, 0, 0,4.. P(. valo vihreä) 0,0, P(. valo punainen) 0,0 P(2. valo vihreä) 0,40, P(2. valo punainen) 0,0 Tapahtuma pysähtyy korkeintaan kerran on tapahtuman pysähtyy molemmilla kerroilla vastatapahtuma. P(Liisa pysähtyy korkeintaan kerran) P(. valo punainen ja 2. valo punainen) 0, 0, 0,58 8. Tapahtuma ainakin yksi on tapahtuman ei yhtään vastatapahtuma. P(ainakin yksi kuulumaton) P(ei yhtään) 0,9 5 0,9 9. Tapahtuma ainakin kerran on tapahtuman ei kertaakaan vastatapahtuma. P(ainakin kerran nelosta suurempi) P(ei kertaakaan nelosta suurempi) P(joka kerta korkeintaan neljä) 4 ( ) 0,0 20. Vuosi 2000 oli karkausvuosi, joten P(syntynyt 29.2.) ja P(ei syntynyt 29.2.) 5. Tapahtuma ainakin yksi on tapahtuman ei yksikään vastatapahtuma. 28 P(ainakin yksi) P(ei yksikään) 5 ( ) 0,04 5

6 2. Merkitään ryhmän kokoa n. P(henkilö ei ole vasenkätinen) 0,5 0,85 P(ryhmässä ei ole yhtään vasenkätistä) 0,85 n. P(ryhmässä on ainakin yksi vasenkätinen) P(ei yhtään) P(ryhmässä on ainakin yksi vasenkätinen) 0,99, kun P(ryhmässä ei ole yhtään vasenkätistä) 0,0. 0,85 n 0,0 lg 0,0 n 28, lg 0,85 Siis ryhmän koon pitää olla vähintään a) P(tuote virheellinen) P(tuotteessa ainakin toinen virhe) P(ei kumpaakaan) 0,94 0,88 0, b) P(ainakin yksi neljästä virheellinen) P(kaikki neljä virheettömiä) (0,94 0,88) 4 0,5 2. Puheenjohtaja voidaan valita 5 tavalla, sihteeri 4:llä. Tuloperiaatteen mukaan mahdollisuuksia on Jokainen kykin voi olla kuudessa asennossa. Tuloperiaatteen mukaan tiloja on a) Erilaisia jonoja on!. b) 8! tavalla c) 50!, :lla tavalla 2. Kahdeksan piispan jonoja on 8! kappaletta. Jonoja, joissa arkkipiispa on ensimmäisenä ja Porvoon piispa viimeisenä, on! kappaletta. Todennäköisyys on! 0,08. 8! 5

7 2. Viidestätoista voidaan valita kolme Kokoonpanoja on tavalla. 28. a) Otteluita on yhtä monta kuin pareja eli b) Kukin pari pelaa keskenään kaksi ottelua. Otteluita on a) Erilaisia kissanpentupareja on Pareja, joissa molemmat ovat tyttökissoja, on P(tyttökissapari) 0 0, b) Kissat ovat samaa sukupuolta, jos ne ovat joko tyttöjä tai poikia. Poikakissapareja on 2. P(samaa sukupuolta) P(molemmat tyttöjä) + P(molemmat poikia) ,4 0. a) Valitaan alkeistapauksiksi neljän sukan joukot. Alkeistapauksia on 5 4. P(vain ehjiä) , , suotuisia (sukat ehjiä) on b) Tapahtuma ainakin yksi rikkinäinen on a-kohdan tapahtuman vastatapahtuma. Siis P(ainakin yksi rikkinäinen) 0,0 0,9.

8 . x (m) 2. Typpiarvo 2 (suurin frekvenssi) Keskiarvo , Käyttämällä luokkakeskuksia 20, 2,5, 5 ja 45 arvoina ja prosentteja (tai promilleja) frekvensseinä, laskimella saadaan x 0,5 (vuotta). 4. a) Arvosanat suuruusjärjestyksessä:,,,,, 8, 9 Arvoja on pariton määrä, joten mediaani on keskimmäinen luku. b) Poissaolot suuruusjärjestyksessä: 0,, 2, 4, 4, Arvoja on parillinen määrä, joten mediaani on keskimmäisten lukujen 2 ja 4 keskiarvo. 5. a) Havaintoja on yhteensä 248. Keskimmäiset arvot ovat 24. ja 25. arvo. Molemmat ovat luokassa kerran kuukaudessa. b) Neljäsosa on 2 havaintoa. Koska kahdessa tiheimmässä luokassa on havaintoa, tiheimmin käyvä neljännes kuuluu näihin luokkiin. He siis käyvät vähintään kerran viikossa. 8

9 . Histogrammin pylväät ovat suorakulmioita. Pylväiden pinta-alat (ruutuina) ovat 2 4 8, 9 ja 4 4. Histogrammin koko pinta-ala on Koko pinta-ala edustaa kaikkia opiskelijoita. a) Rajan 0 vuotta alapuolella on histogrammista ruutua. Osuus on 2 0,52 52 %. Rajan 5 v. yläpuolella on ruutua. Osuus on 2 %. b) Histogrammin pylväiden pinta-alat edustavat jakauman frekvenssejä. Suhteelliset frekvenssit saadaan jakamalla pylväiden pinta-alat koko histogrammin pinta-alalla 2. Ikäjakauman frekvenssitaulukko: ikä (v.) pinta-ala f % c) Suhteellisten frekvenssien kertymät: ikä/v alle % Kertymäkuvaaja: Kertymäkuvaajan perusteella mediaani-ikä on noin 29 vuotta. % frekvenssi ikä 50 0 v 9

10 . Keskiarvo on x 88 m. Keskihajonta on s ( xi x ) n (89 88) + (90 88) + (82 88) + (89 88) + (8 88) + (92 88) ( ) + + ( 2) + 4 2,2 (m). (Voidaan myös käyttää laskimen tilastotoimintoja.) 8. Keskiarvo on x (makeista) Keskihajonta: fi ( xi x ) s n 4 (42 44) + (4 44) (4 44) 40 0,2 (makeista) (Voidaan myös käyttää laskimen tilastotoimintoja.) 9. Vertailu onnistuu vertaamalla normitettuja arvoja z Kai: z , Anneli: z , Annelin sato oli suhteellisesti parempi. x x. s 0

11 40. Olkoon X satunnaisesti valitun auton nopeus (km/h). a) P(X > 20) 0,9, joten 9 % autoilijoista ajoi yli 20 km/h. b) P(X < 00) 0,050, joten 5,0 % autoilijoista ajoi alle 00 km/h. Todennäköisyydet saadaan suoraan symbolisella laskimella. Taulukon avulla: a) Rajaa 20 vastaava normitettu arvo on z 20 0,89,,9 joten P(X > 20) P(X 20) (0,89) 0,8 0,9. b) Rajaa 00 vastaava normitettu arvo on z,5. Symmetrian nojalla: P(X < 00) (z) ( z) (,5) 0,9505 0,05 4. Olkoon X satunnaisesti valitun -vuotiaan pojan pituus (cm). a) P(X x) 0,90, kun x 84,. Siis pisimmät 0 % ovat yli 84, cm pitkiä. b) Välin ylärajan x alapuolella on 95 % pojista. P(X x) 0,95, kun x 8, cm. Ylärajan poikkeama keskiarvosta on 8, 5,, (cm). Symmetrian vuoksi alaraja on 5,,,9 (cm). Rajat saadaan suoraan symbolisen laskimen normaalijakauman käänteistoiminnolla. Rajat taulukon avulla: a) Taulukon mukaan (z) 0,90, kun z,28. Jos x on kysytty pituusraja, niin normitettu arvo x x s x 5,,28, josta saadaan x 84,., b) Taulukon mukaan (z) 0,95, kun z,5. Vastaava yläraja on x 8, cm. Alaraja voidaan laskea kuten yllä.

12 Tehtäväsarjoja Tehtäväsarjoja Sarja A. P(eri siviilisääty) P(toinen suhteessa, toinen ei) P(mies suhteessa, nainen ei) + P(mies ei suhteessa, nainen on) 0,0 0,92 + 0,9 0,0 0, 2. a) moodi (piste) (esiintyy useimmin) b) Arvot suuruusjärjestyksessä:,,, 2, 5, 5, mediaani 2 (pistettä) (keskimmäinen arvo) c) Keskiarvo on x (pistettä). d) Keskihajonta: s fi ( xi x ) n ( ) + (2 ) + 2 (5 ) + ( ) 0 2,0 (pistettä) (Kohdissa c ja d voidaan myös käyttää laskimen tilastotoimintoja.). a) 2:sta voidaan valita 2 5,08 0 tavalla. b) :stä voidaan valita 42 tavalla. c) Erilaisia järjestyksiä on! 20.

13 Tehtäväsarjoja 4. Olkoon satunnaismuuttuja X lampun kestoaika. Lamppu palaa vielä 8.., jos se kestää ainakin vuorokautta eli tuntia. Todennäköisyys P(X 20) 0,0 saadaan suoraan symbolisella laskimella. Taulukon avulla: Rajaa 20 vastaava normitettu arvo on P(X 20) P(X 20) (,4) 0,92 0, , a) Todennäköisyys, että siemen itää, on 0,, ja todennäköisyys, että siemen ei idä, on 0,4. Voidaan olettaa, että siemenet itävät toisistaan riippumatta. Siis: P( siementä ei idä) 0,4 0,4 0,4 0,4 0,04 Tapahtuma ainakin yksi itää on tapahtuman ei yhtään idä vastatapahtuma. Siis: P(ainakin yksi itää) P(ei yhtään idä) 0,04 0,9 0,94 b) P(jokaisessa viidessä ruukussa ainakin yksi siemen itää) (P(yhdessä ruukussa ainakin yksi itää)) 5 0,9 5 0,2. a) P(tuote kelpaa myyntiin) P(tuotteessa korkeintaan yksi vika) P(ei yhtään vikaa) + P(värivika ja ei pintavikaa ja ei kokovikaa) + P(ei värivikaa ja pintavika ja ei kokovikaa) + P(ei värivikaa ja ei pintavikaa ja kokovika) 0,95 0,9 0,98 + 0,05 0,9 0,98 + 0,95 0,0 0,98 + 0,95 0,9 0,02 0,999 0,99 b) a-kohdan nojalla noin 99, % tuotteista on myyntiin kelpaavia. Siis tuotteesta kelpaa 0,

14 Tehtäväsarjoja Sarja B. P(sama silmien väri) P(molemmilla ruskeat tai siniset tai harmaat tai vihreät silmät) 0,52 0,52 + 0, 0, + 0,2 0,2 + 0,05 0,05 0,84 0,8 2. Kullakin kierroksella otteluita on yhtä paljon kuin joukkuepareja eli 2 2. Siis otteluita on Olkoon x kellonajasta 2.00 kulunut aika minuutteina. Frekvenssitaulukko: x (min) luokkakeskus f Keskiarvo saadaan laskimen tilastotoiminnolla tai suoraan laskemalla käyttäen luokkakeskuksia luokkien edustajina. x ,8 (min) 8 Siis keskimääräinen kotiintuloaika on noin h min klo 2.00:n jälkeen eli klo Ainakin yhdeksän pistettä tulee, jos saa ensimmäisellä laukauksella 4 pistettä ja toisella 5 tai ensimmäisellä 5 ja toisella 4 tai 5. P(ainakin 9 pistettä) P(ensimmäisellä 4 ja toisella 5) + P(ensimmäisellä 5 ja toisella 4) + P(ensimmäisellä 5 ja toisella 5) ,2

15 Tehtäväsarjoja 5. Olkoon X umpimähkään valitun tytön pituus. P(tyttö korkeintaan 5 cm) P(X 5) 0,9522 0,95 Kertolaskusäännön mukaan P(kaikki kolme alle 5 cm) P(kaikki kolme korkeintaan 5 cm) 0,9522 0,8 Tapahtuma ainakin yksi yli 5 cm on on tapahtuman kaikki korkeintaan 5 cm vastatapahtuma. P(ainakin yksi yli 5 cm) 0,8 0,4 Todennäköisyys P(X 5) saadaan suoraan symbolisella laskimella. Taulukon avulla: Rajaa 5 (cm) vastaava normitettu arvo on z x x 5 5 0,. s Siis P(X 5) (,) 0, Tapahtuma ainakin yksi on tapahtuman ei yhtään vastatapahtuma. P(yhtään ei tavata) P(yhtään kanahaukkaa ei tavata) P(yhtään pajulintua ei tavata) 0,85 0 0, ,4 P(ainakin yksi tavataan) P(yhtään ei tavata) 0,4 0,8 4

16 Tehtäväsarjoja Sarja C. Todennäköisyys, että meteoriitti osuu ilmakehään Suomen yläpuolella, on , ,000 Todennäköisyys, että meteoriitti ei osu, on 0,000 0,999. P(ainakin yksi törmää) P(yksikään ei törmää) 0, , Valitaan alkeistapauksiksi lottorivit eli seitsemän lottonumeron joukot. Näitä on Lottonumeroista 20 on parittomia. Rivejä, joissa on vain parittomia numeroita, on P(kaikki parittomia) 520 0,

17 Tehtäväsarjoja. Merkitään puuttuvaa frekvenssiä f. Tunnettujen frekvenssien summa on 4. Keskiarvo on fi xi f x n 4+ f f. 4+ f Siis: f 4+ f,5 (4 + f ) f,5(4 + f ) f 9+,5 f 0,5 f 0 2 f 20 Keskihajonta, saadaan laskimen tilastotoiminnolla tai keskihajonnan kaavalla. 4. P(ylihuomenna pouta) P(huomenna pouta ja ylihuomenna pouta tai huomenna sataa ja ylihuomenna pouta) P(huomenna pouta ja ylihuomenna pouta) + P(huomenna sataa ja ylihuomenna pouta) 0,8 0,8 + 0,2 0, 0, pouta pouta 0,8 0,8 0,2 0, sataa pouta

18 Tehtäväsarjoja 5. Jääjä ratkeaa, jos viidellä kolikonheitolla tulee yksi klaava ja neljä kruunaa tai yksi kruuna ja neljä klaavaa. Vaihtoehdot ovat toisensa poissulkevat ja niiden todennäköisyydet ovat yhtä suuret. Merkitään L klaava ja R kruuna. P(yksi L ja neljä R) P(LRRRR) + P(RLRRR) P(RRRRL) 5 0,5 5. Vastaavasti P(yksi R ja neljä L) 5 0,5 5. P(jää) P(yksi L ja neljä R) + P(neljä L ja yksi R) 5 0, ,5 5 0,25 0,. a) P(ainakin yksi Sari tai ainakin yksi Jari) P(ei yhtään Saria ja ei yhtään Jaria) P(ei yhtään Saria) P(ei yhtään Jaria) 0,9 20 0, ,8 b) P(ainakin yksi Sari ja ainakin yksi Jari) P(ainakin yksi Sari) P(ainakin yksi Jari) ( P(ei yhtään Saria)) ( P(ei yhtään Jaria)) ( 0,9 20 ) ( 0,94 20 ) 0,40 c) Todennäköisyys, että satunnaisesti valittu ikäluokan pari on Sari Jari-pari, on 0,04 0,0 0,0024, ja todennäköisyys, että pari ei ole Sari Jari-pari, on 0,0024 0,99. P(ainakin yksi Sari Jari-pari) P(ei yhtään Sari Jari-paria) 0, ,04