MAA6 - HARJOITUSTEN RATKAISUJA
|
|
- Vilho Hiltunen
- 7 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 MAA - HARJOITUSTEN RATKAISUJA TEHTÄVÄ arvosana frekvenssi fx summa a) tyyppiarvo Mo 8, koska sitä on eniten. b) Kurssilla oli oppilasta, joten Md on. ja 7. arvosanan keskiarvo. Niitä jotka saivat enintään arvosanan, on ja kun seiskoja on viisi, niin nämä sanotut arvosanat kuuluvat tähän luokkaan, joten Md 7. c) Yllä olevan taulukon kolmas sarake on kohdassaan arvosanan ja sen saaneiden oppilaiden lukumäärän tulo. x.78.7 f 7 arvosana TEHTÄVÄ luokka -0 < x < -0-0 < x < -0-0 < x < < x < < x < -0 frekv luokka 0 < x < 0 0 < x < 0 0 < x < 0 0 < x < 0 0 < x < 0 frekv luokka 0 < x < 0 0 < x < < x < < x < 90 frekv ()
2 f Puttonen pelasi mittauspöytäkirjan mukaan päivänä. Lasketaan yhteen voitot ja tappiot, ja saadaan summaksi 89. Keskimääräinen tappio pelipäivää kohden 89 on siten / d. d Jakaumalla on kaksi tyyppiarvoa, jotka luokkakeskuksin voidaan ilmoittaa, jotta Puttonen hävisi keskimäärin euroa tai voitti vitosen. Nämä saa tietenkin ilmoittaa myös täsmällisin luokkarajoin. TEHTÄVÄ Taulukkoon laskettu suhteelliset frekvenssi prosentteina P T Yhteensä p [P] p(t) p(kaikki) laudatur ,8 0,709 0,07 magna ,978 0,909 0,9 cum laude ,89 0,79 0,007 lubenter ,9 0,97 0,7 appro ,09 0,09 0,008 hylätty ,089 0,0980 0,0880 summa ()
3 POJAt 0, 0, 0, 0, 0, 0,0 0 L M C B A I TYTÖT 0, 0, 0, 0, 0, 0,0 0 L M C B A I KIRJOITTAJAT YHDESSÄ 0, 0, 0, 0, 0,0 0 L M C B A I ()
4 TEHTÄVÄ x - ( x x) arvosana frekvenssi keskiarvo f ( x x ) -,78 7,90,7077 -,78,9 7,79-0,78 0,, ,8 0,079 0,9 8 7,8,,997 9,8,0 0,8099 0,8 0,78 0,78 summa 8,87 σ TEHTÄVÄ Koulutus-palkka 000 kuukausipalkka koulutustaso Regressiosuoralle saadaan Excel-ohjelman avulla yhtälö palkka. 0. x koulutustaso y. 0. x Korrelaatiokertoimelle ohjelma antaa arvoksi noin Regressiosuora on sellainen, joka liittyy kuvaajan pisteisiin mahdollisimman hyvin. Poikkeamien neliöiden summa on mahdollisimman pieni. ()
5 Tämän (kuvitellun) esimerkin mukaan korrelaatio on melko voimakas. Kannattaa siis hankkia koulutusammatti, mikäli pitää itselleen tärkeänä nostaa kovaa palkkaa. TEHTÄVÄ x TEHTÄVÄ 7 kk MWh Σ Kuvassa kuukausittain summautuva kulutus. Sähköä kului kaikkiaan 9. MWh 900 kwh ja tästä kertyy kulutetulle energialle hintaa kaikkiaan 900 kwh kwh Vuotuonen sähkölasku on siten Kuukaudessa sähköön meni keskimäärin noin 7. Sähkönkulutus, summakäyrä Kulutus [MWh] aika [kk] ()
6 Kulutetun energian 9. MWh puolikas on 9.7 MWh. Kun tästä pystyakselin pisteestä ammutaan summakäyrälle ja siihen sattuvasta pisteestä kuvan mukaan suoraan vaaka-akselille, näyttäisi vuotuisesta energiasta puolet käytetyn jo ennen maaliskuun loppua. TEHTÄVÄ 8 a) P() / b) P( silmäluku > ) / c) P(pariton) / ½ d) P (silmäluku < ) / ½ e) P(silmäluku ei eikä ) / / TEHTÄVÄ 9 Pelataan korttia: a) P( ) / ¼ b) P(0) / / c) P( 0) / d) P( < kortin silmäluku < 0) 0/ / TEHTÄVÄ 0 Tikka osuu tavalliseen tikkatauluun. Vaikka erilaiset pisteitä antavat tulosmahdollisuudet muodostavat joukon E {,,,,,,7,8,9,0}, niin esimerkiksi tapahtumat P{saadaan } ja P{saadaan } eivät ole symmetrisiä, siis yhtä mahdollisia. Sitä paitsi tikkataulussa taitaa olla reunassa aluetta, josta ei saa ollenkaan pisteitä, joten P{saadaan } ei ole /0. TEHTÄVÄ a) P(voi syödä) 8/0 /. b) P(piimää) 0, koska kaapissa ei kuvauksen mukaan piimäpurkkia ole c) P(pilaantunutta jogurttia) /0 / d) P(joko pilaantunutta tai syömiskelpoista) 0/0. Kyseessä nyt ns. varma tapaus TEHTÄVÄ Vuonna 978 syntynyt henkilö valitaan umpimähkään, esim. väestörekisteritiedostosta. Ainut varma tieto on siis se, että hän on syntynyt vuonna 978 ja on muutoin tyttö. Mahdollisia syntymäpäiviä on, koska 978 ei ole karkausvuosi. ()
7 Tässä tehtävässä on hyötyä, jos osaa vanhan lorun; syys- huhti- kesä marraskuuss on päivää kolme kymmentä. Kahdeksan kolmatta helmikuussa vaan muissa yksi neljättä. a) P(**78 0N) / b) P(9**78 0N) / c) P(**78 0N) 7/ TEHTÄVÄ Kun kolminumeroisen luvun numerot arvotaan -kanttisella nopalla, niin todennäköisyyksiä laskettaessa turvaudutaan tuloperiaatteeseen: a) P() b) P() c) P(parillinen) d) P(jokainen numero < ) ( ). 8 ( a) / d) /8) TEHTÄVÄ Nyt kulmien astelukuja hyödynnetään. On siis :lla merkityn sektorin keskuskulma on 0 0, ja nelosella merkityn 7 0. Millä todennäköisyydellä onnenpyörä pysähtyy a) P() 90/0 / b) P( tai tai ) (0 0 90)/0 / c) P(ei nelonen) (0 7)/0 9/ d) P(kulman asteluku) x/0 /, josta o o x TEHTÄVÄ Kukin ottelu voi päättyä kolmella eri tavalla. Rivejä on siten 9. TEHTÄVÄ a) Ensimmäinen nro voidaan valita tavalla, toinen kolmella, kolmas kahdella. Tuloperiaate antaa, jotta mahdollisuuksia on kaikkiaan. 7()
8 b) Kukin numero voidaan valita nyt neljällä eri tavalla. Siten mahdollisuuksia on kaikkiaan TEHTÄVÄ 7 Luokassa on oppilasta, joista on tyttöjä. Pojista 7 ja tytöistä on yli 8- vuotiasta. a) P(alle 8 vuotias tyttö) 8 b) P(poika) 7 7 c) P(8 täyttänyt) TEHTÄVÄ 8 a) P(molemmat tyttöjä) b) P(molemmat alle 8-vuotiaita poikia) TEHTÄVÄ 9 Kun rekisterilaattaa tehtäessä tunnuksessa on kolme kirjainta (käytettävissä kirjainta) ja kolminumeroisesta luvusta, jonka ensimmäinen numero ei saa olla nolla, niin erilaisia laattoja voi tuloperiaatteen nojalla olla TEHTÄVÄ 0 Suomen kielen aakkosissa on 9 kirjainta. Vokaaleja ovat a, e, i, o, u, y, ä, ö, å eli 9 kappaletta a) P(vokaali) 9/ b) P(vokaali, vokaali, vokaali) c) P(konsonantti, konsonantti, konsonantti) / Myös konsonanttien todennäköisyys on laskettu periaatteella, ettei sama kirjain saa esiintyä useampaa kertaa. Mikäli saisi, olisi P (0/9) 0. 8()
9 TEHTÄVÄ a) Valinnassa on järjestys tärkeä, joten erilaisten toimikuntien lukumäärä - alkioisen joukon permutaatioiden lukumäärä:! n(toimikunnat) 000 ( )! 8! (8 )! 7 b) P(kaikki poikia) ! (7 )! 8 c) P(kaikki tyttöjä) ! (7 )! 7 d) P(JM puheenjohtaja tyttöä) TEHTÄVÄ Kolme numeroarvoltaan erilaista pelikorttia voi olla! erilaisessa järjestyksessä, mutta vain yksi näistä on suuruusjärjestys pienimmästä suurimpaan. P(suuruusjärjestys) TEHTÄVÄ Seitsemänhenkisen joukkueen lähtöjärjestyksiä on kaikkiaan 7! a) Kun asetetaan ehto, jonka mukaan kolme poikaa juoksee kolme ensimmäistä osuutta, mahdollisuuksia on! ja vastaavasti tytöt voivat juosta viimeiset neljä vuoroa! erilaisessa järjestyksessä. Poikien järjestysten lukumäärä on riippumaton tyttöjen juoksujärjestyksestä, joten tuloperiaatetta voi soveltaa:!! P(PPPTTTT) 7! b) P(TPTPTPT) 7!. 9()
10 TEHTÄVÄ a) n(järjestys)! b) sama vastaus c) n! 0 TEHTÄVÄ Auton neljä pyörännapaa voidaan asettaa järjestykseen esimerkiksi kiertämällä autoa myötäpäivään. a) Auton neljällä renkaalla on! erilaista järjestystä ja vain yksi näistä on oikea, jos tahdotaan että jokainen rengas on entisellä paikallaan; P (entiset paikat). b) Kun tarkastellaan autosta kuljettajan puolta, siellä on ollut kaksi rengasta. Jos halutaan renkaiden pyörimissuunnan säilyvän, on kuljettajan puolelle tuotava kuljettajan puolella edellisvuonnakin olleet renkaat, mutta nyt saa eturengas olla takana tai entisellä paikallaan. Kun tämä valinta tehdään, niin jäljellä olevien apumiehen puoleisten renkaiden pyörimissuunta on automaattisesti oikea n(vt) n(ve) n(oe) n(ot) P(pyörimissuunta säilyy) TEHTÄVÄ! a) 0 0!!! d )!! TEHTÄVÄ 7!! b ) c ) 0!!!!! ja e ).!0!! d ) 0!! n n n! n! n(n )!!(n )!!(n )! (n )! n(n ) n n n n n n n(n )(n )! (n )! TEHTÄVÄ 8 Erikan poimiessa kyniä sanotulla tavalla on taustana neljän alkion valinta yhdeksän alkion joukosta, käytetään siis kombinaatioita. 0()
11 a) P(SSSS) ja b) P(SSPP) 9 TEHTÄVÄ 9 Tässä asetelmassa on kyse siitä, että valitaan alkion joukosta neljän hengen osajoukkoja. Kombinatoriikkaa jälleen. Olkoon maihin pääsevien suomalaisten lukumäärä k. Ei-suomalaisia valittaessa heitä poimitaan ulkomaalaisen joukosta. a) b) c) 80 P (k 0) P (k ) P (k ) ja d) P(k ) e ) P(k ) f) P(k i) i 0 ainakin laskimen mukaan. TEHTÄVÄ 0 Hyllyllä on kaikkiaan 0 hattua, ja pomojen hävittyä eteisestä hyllyllä on enää kuusi hattua. Nyt on 0 alkion joukosta poimittu neljä. a) Kun kullakin pomolla tulee olla oma hattunsa, on siepattujen hattujen järjestyskin oltava oikea. Tässä ollaan nyt permutaatioiden alueella. Poimitaan siis 0 alkion joukosta neljän alkion järjestettyjä osajoukkoja, joista hattujen sattuessa oikeille omistajille vain yksi permutaatio on oikea. ()
12 P(omat hatut) 0!!! (0 )! b) Kun onnistuneen paon jälkeen istutaan autossa, ja katsellaan hattuja, niin todetaan, että hatut löytävät oikeat omistajat, ehkä tehdään pari vaihtoa. Tässä tilanteessa yksi 0-alkoisen joukon -kombinaatio on vievä suotuisaan tulokseen. P(omat hatut, kun ehkä vaihdettu) 0 0 c) Kun onnistuneen paon jälkeen istutaan autossa, ja katsellaan hattuja, niin todetaan, että kukaan pomo ei löydä omaansa. Jokainen on siepannut henkivartijahatun: P(henkivartijahatut) 0 0 TEHTÄVÄ Pokeriyhdistelmän poiminta, otetaan -alkioisesta joukosta alkion osajoukko. a) Tämä yhdistelmä, neljä korttia samaa maata ja viides muuta maata on avopokerin ns. neljän väri, joka voittaa yhden parin ja neljän sarjan. Suotuisat kortit määrätään useassa vaiheessa: Mikä maa, neljä mahdollisuutta mitkä neljä korttia tätä maata, mahdollisuuksia lopuksi viides kortti, valittuun maahan kuulumaton, 9 mahdollisuutta 9 0 P(neljän väri) b) P(neliluku), eli kysytään, mistä silmäluvusta kaikki neljä 9890 korttia ( mahdollisuutta) ja sen jälkeen viides kortti on mahdollista valita 8 kortin joukosta. TEHTÄVÄ Poimitaan kahdeksan alkion joukosta kolmen alkion osajoukkoja. Olkoon pilaantumattomien, syömiskelpoisten jogurttien lukumäärä k. ()
13 0 a) P (k ) 8 8 b) P (k ) P(k 0 tai) P(k 0) P(k ) 0, sillä se vaihtoehto, ettei Helena ei syö yhtään pilaantumatonta, on mahdoton. Hänhän syö 8 8 kolme jogurttia joka tapauksessa, ja pilaantuneita on vain kaksi. 0 c) P (k ) P(k tai ) P(k ) P(k ) TEHTÄVÄ Poimitaan kuuden alkion joukosta alkion osajoukkoja. Olkoon niiden kirjojen lukumäärä, joita Erja ei ole aiemmin lukenut k. a) P(k ) b) On lukenut korkeintaan toisen toteutuu siis silloin, kun on lukenut vain toisen taikka ei kumpaakaan, missä jälkimmäisen vaihtoehdon todennäköisyys laskettiin jo tehtävän ensimmäisessä osassa. Tällöin siis ei-lukemisen kohteeksi joutuneiden kirjojen luku on tai. c) P(k tai k ) 8 TEHTÄVÄ Tässä tehtävässä valitaan yhdeksän alkion joukosta kahden alkion osajoukkoja. ()
14 a) P( ) b) P(samanväriset) P( ) P(O O) c) P(eriväriset) P(samanväriset) TEHTÄVÄ a) P(, ) 0, sillä taskussa ei ole kahta euroa. b) P(SKr,SKr) c) P(saman valtakunnan rahoja) P(SKr,SKr) P(NKr,NKr) d) P(eri valtakunnan rahoja) P(saman valtak) TEHTÄVÄ a) P(ykkönen esiintyy) P(ei esiinny) b) P( ja esiintyvät) TEHTÄVÄ ()
15 8 a) P(ainakin ässä) P(ei yhtään ässää) b) b) P(ainakin ruutu) P(ei yhtään ruutua) TEHTÄVÄ 8 a) P(kaikki parittomia) b) P(ainakin parillinen) P(ei yhtään parillista) c) P(ainakin kuutonen) P(ei yhtään kuutosta) TEHTÄVÄ 9 7 ( ) 9 Merkitään A Antti osuu ja A Antti ampuu ohi. Minnalle vastaavasti. a) P(A ja M) b) P(A ja M) c) P(A ja M) TEHTÄVÄ 0 Käytetään edellistehtävän vastaavia merkintöjä; kullekin viljalajille sen ensimmäistä kirjainta. a) P(R ja O ja V ja K) b) P(R ja O ja V ja K) c) P(itää vähintään siementä) P(itää siementä) P(kaikki itävät) P (R ja O ja V ja K) P (R ja O ja V ja K) P (R ja O ja V ja K) ()
16 P (R ja O ja V ja K) P (R ja O ja V ja K) TEHTÄVÄ a) Olkoon kuutosten lukumäärä k. P(k ) 0. 0 b) Parillisten määrä m. P(m ) 0.. TEHTÄVÄ Olkoon Jämsän kautta ajavien rekkojen lukumäärä k. P(k ) TEHTÄVÄ Kouluviikolla on viisi työpäivää. Ruokailu toistuu siis viisi kertaa, n. Tässä esimerkissä P(etuilu huomataan) p 0., jolloin q 0.8. Tapahtuma joutuu jonon viimeiseksi korkeintaan kerran toteutuu, kun joutuu hännille kerran taikka ei kertaakaan. Olkoon k hännille joutumisien lukumäärä viikon aikana. 0 0 P(k < ) P(k 0) P(k ) TEHTÄVÄ Merkitään oikein veikattujen otteluiden lukumäärä k. Tässä n a) P(k 0) b) P (k ) P(k 0) P(k ) ()
17 7() TEHTÄVÄ ) P(k ) P(k ) P(k ) ( 0) P(k ) P(k ) P(k k P(k) likiarvoin Suurin todennäköisyys viiden laukauksen sarjassa on tapahtumalla, missä jokainen luoti käypi maaliin ) P(k ) P(k 0) P(k ) P(k ) P(k ) P(k ) P(k
18 TEHTÄVÄ 7 Todennäköisyys sille, että umpimähkään valittu käpykyläläinen äänesti, on b) Kun poimitaan umpimähkään kolme käpykyläläistä, kaikki kolme olivat 7 äänestäneet todennäköisyydellä ( ) a) Oli jättänyt äänestämättä korkeintaan on ilmaistavissa myös niin, että vähintään kaksi (valituista kolmesta) oli äänestänyt: P(äänesti ) P(äänesti ) TEHTÄVÄ 7 P(0.8xyx.) 0 0 P(0.yyabc ) Lieneekö kysymys hiukan huonosti muotoiltu? desimaaliesityksen ensimmäinen numero on tietenkin aina 0 (erittäin pieni todennäköisyys olla ykkönen), ja vasta toinen numero voi olla nollasta eroava. sanalla desimaaliesitys tarkoitetaan kuitenkin sitä numerosarjaa, joka alkaa desimaalipisteen jälkeen. TEHTÄVÄ 8 TEHTÄVÄ 9 Jänne on säteen suuruinen, jos keskuskulma on tasan 0 0. Kun ensimmäinen piste on kiinnitetty, niin toi sen on oltava siitä korkeintaan sillä etäisyydellä, jolla syntyy enintään 0 asteen kulma, kun sanotut pisteet yhdistetään ympyrän keskipisteeseen. Toinen piste voi siis mennä 0 astetta ensimmäisestä kumpaan tahansa kertosuuntaan 0 P 0 Äänestäneitä oli tehtävän 8 mukaan kaikkiaan 7. Taulukossa olevien äänimäärien summa täsmää. Jos valitaan yksi käpykyläläinen umpimähkään, niin 8()
19 77 P(äänesti kokoomusta) 7 7 P(äänesti SDP) 7 P(äänesti krist. keskusta) a) Kertolaskusäännön avulla saadaan Minkähän takia tämä saattaa olla väärin? Miksikähän tulos 0.09 on suurella todennäköisyydellä lähempänä oikeaa? 7 77 b) P(kukaan ei äänestänyt kokoomusta) TEHTÄVÄ 0 α 8 Kun otetaan tarkasteluun kuvan mukainen rajatapaus, missä pylväs juuri ja juuri ulottuu kiskolle, niin saadaan 0 cos α, josta α Pylväällä on täten mahdollisia kaatumissuuntia kaikkiaan sen verran, mitä täydessä kulmassa on asteita eli 0. Näistä kiskolle osumisen kannalta niin sanottuja suotuisia 0 astelukuja on P(osuu kiskoon) TEHTÄVÄ Olkoon lottorivissä oikein veikattuja x 9()
20 P(x P(x 7 0) ) 9 7 jne. Taulukoidaan k 0 P( x k) P( x 7) Näiden likiarvojen summa on TEHTÄVÄ Tässä on kyseessä binomitodennäköisyys. Viallisia säätimiä voi olla 0,, tai. 0. P x 0()
21 0 P(x 0) P(x ) P(x ) P(x ) TEHTÄVÄ Olkoon Helenan syömien pilaantuneiden jogurttien lukumäärä x, mikä tässä voi saada arvot 0,,, tai. P(x 0) P(x ) 0 0 P(x ) 0 0 P(x ) ()
22 P x 0 Ex TEHTÄVÄ Mahdolliset sikaparimassat ovat (77, 8), (77, 9), (77, 98), (8, 9), (8, 98) tai (9, 98). Satunnaismuuttuja x voi siten saada arvot 8, 9 tai 98 kg. Alkeistapauksia on nyt ainoastaan kuusi kappaletta. P (x 8) P(x 9) P(x 98) P / / x Ex ()
23 Dx 00 8 (8 9) (9 9) (98 9) Vastaus: odotusarvo on 9 kg ja keskihajonta on kg. TEHTÄVÄ Kutsuttuja miehiä eli satunnaismuuttuja x voi saada arvot 0,,, tai. P(x 0) 9 P(x ) P(x ) P(x ) 0 P(x ) Ex Dx (0 0 ) 9 0 ( 0 ) 9 0 ( 0 ) 9 0 ( 0 ) 9 ( 0 ) 9 0 0(9 0) 0(8 0) 0(7 0) (9 0) ()
24 TEHTÄVÄ a) Binomijakauman odotusarvo Ex np ja hajonta Dx npq Tapahtuma arvaa oikein toteutuu todennäköisyydellä 0. ja vastaus menee väärin todennäköisyydellä 0.7. Ex 0 0. ja Dx b) P (x > ) P(x ) P(x ) P(x ) P(x ) P(x ) P(x ) P(x 0) TEHTÄVÄ x < F(x) 0, sillä P(silmäluku < ) 0 x < F(x) x < F(x) x < F(x) x < F(x) x < F(x) x F(x) P ½ 0 x ()
25 TEHTÄVÄ 8 Olkoon ruutujen lukumäärä x. 9 P( x 0) 9 P( x ) P( x ) 9890 jne x 0 P( x ) ΣP Likiarvojen summa Todennäköisyysjakauma janadiagrammina. Pari viimeistä janaa on käytetyssä mittakaavassa sangen lyhyitä ruutujen lukumäärä 0 Kertymäfunktion arvot saadaan yllä olevasta taulukosta alimmalta riviltä. Otetaan kuitenkin huomioon, että F(x) 0, kun x < 0. ()
26 F(x) TEHTÄVÄ 9 Neljän pennun joukossa voi olla naaraita 0,,,, tai kappaletta. Tämä on binomitodennäköisyyttä. P(x 0) P(x ) P(x ) P(x ) P(x ) P pennut 0 Kertymäfunktiolle: x < 0 F(x) 0, sillä P(naaraiden määrä < 0) 0 0 x < F(x) x < F(x) x < F(x) x < F(x) x F(x) ()
27 F(x) 0. 0 x TEHTÄVÄ 0 On annettu f(x) kx, kun 0 x 0, muulloin a) Origosta alkava, pisteeseen (, k) päättyvä suoran pätkä, jana, rajoittaa yhdessä x- akselin ja suoran x kanssa kolmion, jonka alan tulee olla yksi. Jos k > 0, jana on nouseva ja täyttää tiheysfunktion merkkikriteerin. Rajoittuvan kolmion kateetit ovat ja k. A ½ k k 8 b) 0. Tiheysfunktion kuvaaja yhtyy x-akseliin, kun x < 0 taikka kun x >. c) Kertymäfunktio F(x) 0, kun x < 0 ja F(x), kun x >. Entä väli 0? x x x F(x) 8 Siis 0, kun x 0 F(x) x, kun 0 < x, kun x > 7()
28 F(x) x (½) d) P(x < ½) F(½) P( < x < ) F() F() 8 TEHTÄVÄ On annettu f(x) c, kun 0 x < 0 0, muualla a) Tämä funktio on tiheysfunktio, jos ensiksikin c > 0 ja toisekseen toteutuu ehto c 0 c. 0 f(x) tiheysfunktio 0.0 b) Kertymäfunktio F(x) 0 x 0, kun x 0 x, kun 0 < x < 0. 0, kun x ()
29 c) P(x <.) F(.) 0. P(x >.8) P(x <.8) -F(.8) P(. < x <7.7) F(7.7) F(.) TEHTÄVÄ x, kun x 0 On suoraan annettu satunnaismuuttujan kertymäfunktio F(x) x 0, kun x < 0 a) P(x < ) F () 7 b) P( < x < ) F () F() 7 c) P(x > ½) P(x < ½) F(½). TEHTÄVÄ On annettu eräs funktio f(x) kx k,kun x < 0,muualla f() k k k f() k k 0 Funktion f kuvaaja välillä on jana, jonka päätepiste on y-akselilla. Alkupisteen täytyy olla > 0, joten kertoimen k on oltava negatiivinen ja jana on siten laskevan suoran osa. Tiheysfunktio rajoittaa x-akselin ja suoran x kanssa kolmion, jonka kateetit ovat ja k. On siis oltava ½ ( k) k ½. x 9()
30 Jotta saisi kertymäfunktion selville välillä, tulisi pystyä laskemaan sen puolisuunnikkaan pinta-ala, jota rajoittavat suorat x, x x, x-akseli ja funktion x f(x) kx k ½( x) kuvaaja. Puolisuunnikkaan korkeus on x ja sen kannat, yhdensuuntaiset sivut pituudeltaan f() ja ½( x). x Välillä on kertymäfunktion lauseke F(x) x (x ) (x ) x x x x x. Tämä saattaa olla oikein laskettu, koska F() 0 ja F(), kuten pitää ollakin. P(x < ) F() P(. < x <.) F(.) F(.) TEHTÄVÄ a) P(x <.0) Φ() 0.8 b) P(x > 0.) P(x < 0.) Φ(0.) c) P(.0 < x <.) Φ(.) Φ() TEHTÄVÄ a) P(x < x) 0.8 Φ(0.8), josta x 0.8 b) P( x < x < x) 0.90 Φ(x) Φ( x) 0.90 Φ(x) ( Φ(x)) 0.90 Φ(x) 0.90 Φ(x) 0.9, josta x. TEHTÄVÄ a) P(x < 0.) P(x > 0.) P(x < 0.) Φ(0.) b) P( < x < ) Φ() Φ( ) Φ() Φ() Φ() c) P( 0.0 < x < 0.) Φ(0.) Φ( 0.0) Φ(0.) Φ(0.0) ) 0()
31 TEHTÄVÄ 7 a) P(x < x) 0.97 Φ(x), josta x.97 b) P(x < x) Φ(x), josta x.0 c) P(x > x) P(x < x) 0.79 P(x < x) 0.0 Φ(x) Φ( x) 0.0 Φ( x) 0.79 x 0.0 x 0.0. TEHTÄVÄ 8 a) P(0. < x < x) 0. Φ(x) Φ(0.) Φ(x) Φ(x) 0.880, josta x.8. b) P( x < x < x) 0.0 Φ(x) Φ( x) Φ(x) 0.0 Φ(x) 0.7, josta x 0.7. TEHTÄVÄ 9 a) P(x < ) P( z ) Φ(0.0) b) P(x > 0) P( z > ) P(z 0.0 Φ(0.0) c) P(0 < x < ) P( z < ) Φ(0) Φ( 0.) 0. Φ(0.) d) P(0.0 < x <.0) P( z < ) Φ(0.) Φ( 0.) Φ (0.) TEHTÄVÄ 70 Jakaumassa N(00,) 0 00 a) P(x > 0) P(x < 0) P( z ) Φ() b) P(x < 80) P( z ) Φ(.) Φ(.) c) P(90 < x < 0) P( z ) Φ(0.7) Φ( 0.7) Φ(0.7) ( ; muista desimaalia) ()
32 TEHTÄVÄ 7 P(z z) 0. P(z > z) 0. P(z < z) 0.7 Φ( z), josta x z 0.8 z x 9.9 Jos pyrkijät on arvosteltu kokonaisin pistein, hyväksymisraja 0 takaa sen, että hyväksyttyjä on vähemmän kuin 7 %. TEHTÄVÄ 7 0 a) P(v > 0) P(v < 0) P( z ) Φ( 0.) Φ(0.) 0.9, joten noin 9 % ajoi liika kovaa. 7 b) P(v > 7) P(v < 7) P( z ) Φ(0.7) Noin % ylitti 7 km/h. 8 c) P(v > 8) P(v < 8) P( z ) Φ(.8) Vielä lähes % ylitti 8 km/h. TEHTÄVÄ 7 P(z > z) 0.9 P(z z) 0.9 Φ( z) z.7 z.7 a 00.7 a 00.7 a 98.7 Suunnilleen 9 %:ssa pusseista on ainakin 98 g jauhoa. TEHTÄVÄ 7 P(z > z) 0.80 P(z z) 0.80 Φ( z) z 0.8 z µ 0.8 µ µ 0. Jos gramman tarkkuuksiin mennään, parasta asettaa 0 grammaa keskikohdaksi. TEHTÄVÄ 7 Kun n 0 ja p 0. niin odotusarvo µ np 7.. Jakauman keskihajonta on P (z > ) P(z ) Φ( ) Φ( 0) ()
Juuri 10 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty
Juuri 0 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 9..08 Kertaus K. a) Alapaineiden pienin arvo on ja suurin arvo 74, joten vaihteluväli on [, 74]. b) Alapaineiden keskiarvo on 6676870774
LisätiedotTODENNÄKÖISYYS JA TILASTOT MAA6 KERTAUS
TODENNÄKÖISYYS JA TILASTOT MAA6 KERTAUS Klassinen todennäköisyys P suotuisten alkeistapausten lkm kaikkien alkeistapausten lkm P( mahdoton tapahtuma ) = 0 P( varma tapahtuma ) = 1 0 P(A) 1 Todennäköisyys
LisätiedotMAA6 HARJOITUSTEHTÄVIÄ
MAA6 HARJOITUSTEHTÄVIÄ 1. Erään lukioluokan erään englannin kurssin arvosanat jakaantuvat seuraavasti: x 4 5 6 7 8 9 10 f 3 6 6 5 7 4 1 Määritä kurssiarvosanojen a) tyyppiarvo b) mediaani ja c) aritmeettinen
LisätiedotTodennäköisyys ja tilastot Tehtävien ratkaisut Kertaustehtävät. Kertaustehtävien ratkaisut
Ratkaisuista Nämä Todennäköisyys ja tilastot -kurssin kertaustehtävien ja -sarjojen ratkaisut perustuvat oppikirjan tietoihin ja menetelmiin. Kustakin tehtävästä on yleensä vain yksi ratkaisu, mikä ei
Lisätiedot14 Jatkuva jakauma. Käsitellään kuitenkin ennen täsmällisiä määritelmiä johdatteleva
4 Jatkuva jakauma Edellä määriteltiin diskreetiksi satunnaismuuttujaksi sellainen, joka voi saada vain (hyppäyksittäin) erillisiä arvoja. Jatkuva satunnaismuuttuja voi saada mitä hyvänsä arvoja yleensä
Lisätiedot30A02000 Tilastotieteen perusteet
30A02000 Tilastotieteen perusteet Kertaus 1. välikokeeseen Lauri Viitasaari Tieto- ja palvelujohtamisen laitos Kauppatieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy 2019 Periodi I-II Sisältö Välikokeesta Joukko-oppi
Lisätiedotc) A = pariton, B = ainakin 4. Nyt = silmäluku on5 Koska esim. P( P(A) P(B) =, eivät tapahtumat A ja B ole riippumattomia.
Tehtävien ratkaisuja 4. Palloja yhteensä 60 kpl. a) P(molemmat vihreitä) = P((1. pallo vihreä) ja (. pallo vihreä)) = P(1. pallo vihreä) P(. pallo vihreä 1. pallo vihreä) = 0.05 (yleinen kertolaskusääntö)
Lisätiedotb) Jos Ville kaataisikin karkit samaan pussiin ja valitsisi sieltä sattumanvaraisen karkin, niin millä todennäköisyydellä hän saisi merkkarin?
MAA1-harjoituskoe RATKAISUT 1. Villellä on kaksi karkkipussia. Ensimmäisessä pussissa on 3 salmiakkiufoa, 2 merkkaria ja 5 liitulakua. Toisessa pussissa on 5 merkkaria, 3 liitulakua ja 4 hedelmäkarkkia.
Lisätiedot9 Yhteenlaskusääntö ja komplementtitapahtuma
9 Yhteenlaskusääntö ja komplementtitapahtuma Kahta joukkoa sanotaan erillisiksi, jos niillä ei ole yhtään yhteistä alkiota. Jos pysytellään edelleen korttipakassa, niin voidaan ilman muuta sanoa, että
LisätiedotJatkuvat satunnaismuuttujat
Jatkuvat satunnaismuuttujat Satunnaismuuttuja on jatkuva jos se voi ainakin periaatteessa saada kaikkia mahdollisia reaalilukuarvoja ainakin tietyltä väliltä. Täytyy ymmärtää, että tällä ei ole mitään
LisätiedotKertaustesti Perheessä on neljä lasta, joista valitaan arpomalla kaksi tiskaajaa. Millä todennäköisyydellä nuorin joutuu tiskaamaan?
Kertaustesti 1 Nimi: 1. a) Noppaa heitetään kerran. Millä todennäköisyydellä saadaan silmäluku 2? b) Noppaa heitetään kaksi kertaa peräkkäin. Millä todennäköisyydellä molemmilla heitoilla saadaan silmäluku
Lisätiedot10 Todennäköisyyslaskenta ja tilastot
0 Todennäköisyyslaskenta ja tilastot 0. Todennäköisyys ja kombinatoriikka LUVUN 0. YDINTEHTÄVÄT 00. a) Ensimmäisen nopan heitossa on kuusi alkeistapausta, joista tapahtumalle suotuisia on yksi. Kysytty
LisätiedotKertaustehtäviä Pakassa on jäljellä 50 korttia, joista 11 on herttoja Alkeistapauksia ovat silmälukuparit, joita on 36 kappaletta.
0. Pakassa on jäljellä 50 korttia, joista on herttoja. P(kolmas kortti hertta) 50 0,22 02. Alkeistapauksia ovat silmälukuparit, joita on kappaletta. a) Kuvion perusteella pistesumma 4 saadaan tavalla.
Lisätiedot(b) Tarkista integroimalla, että kyseessä on todella tiheysfunktio.
Todennäköisyyslaskenta I, kesä 7 Harjoitus 4 Ratkaisuehdotuksia. Satunnaismuuttujalla X on ns. kaksipuolinen eksponenttijakauma eli Laplacen jakauma: sen tiheysfunktio on fx = e x. a Piirrä tiheysfunktio.
LisätiedotA-osio: Ilman laskinta, MAOL:in taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan tunti aikaa.
MAA6 koe 26.9.2016 Jussi Tyni Muista merkitä vastauspaperiin oma nimesi ja tee etusivulle pisteytysruudukko. Kaikkiin tehtävien ratkaisuihin välivaiheet näkyviin! A-osio: Ilman laskinta, MAOL:in taulukkokirja
Lisätiedot2. Jatkoa HT 4.5:teen ja edelliseen tehtavään: Määrää X:n kertymäfunktio F (x) ja laske sen avulla todennäköisyydet
Tilastotieteen jatkokurssi Sosiaalitieteiden laitos Harjoitus 5 (viikko 9) Ratkaisuehdotuksia (Laura Tuohilampi). Jatkoa HT 4.5:teen. Määrää E(X) ja D (X). E(X) = 5X p i x i =0.8 0+0.39 +0.4 +0.4 3+0.04
Lisätiedotikä (vuosia) on jo muuttanut 7 % 46 % 87 % 96 % 98 % 100 %
Testaa taitosi 1 1. Noppaa heitetään kahdesti. Merkitse kaikki alkeistapaukset koordinaatistoon. a) Millä todennäköisyydellä ainakin toinen silmäluvuista on 3? b) Mikä on a-kohdan tapahtuman vastatapahtuma?
LisätiedotTilaston esittäminen frekvenssitaulukossa ja graafisesti. Keskiluvut luokittelemattomalle ja luokitellulle aineistolle: moodi, mediaani, keskiarvo.
Kertaus Tilaston esittäminen frekvenssitaulukossa ja graafisesti. Luokiteltu aineisto. Keskiluvut luokittelemattomalle ja luokitellulle aineistolle: moodi, mediaani, keskiarvo. Hajontaluvut luokittelemattomalle
LisätiedotKäytetään satunnaismuuttujaa samoin kuin tilastotieteen puolella:
8.1 Satunnaismuuttuja Käytetään satunnaismuuttujaa samoin kuin tilastotieteen puolella: Esim. Nopanheitossa (d6) satunnaismuuttuja X kertoo silmäluvun arvon. a) listaa kaikki satunnaismuuttujan arvot b)
LisätiedotMATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ
MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 6.3.08 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden, sisältöjen ja pisteitysten luonnehdinta ei sido ylioppilastutkintolautakunnan arvostelua. Lopullisessa
LisätiedotTodennäköisyyslaskenta I, kesä 2017 Helsingin yliopisto/avoin Yliopisto Harjoitus 1, ratkaisuehdotukset
Todennäköisyyslaskenta I, kesä 207 Helsingin yliopisto/avoin Yliopisto Harjoitus, ratkaisuehdotukset. Kokeet ja Ω:n hahmottaminen. Mitä tarkoittaa todennäköisyys on? Olkoon satunnaiskokeena yhden nopan
LisätiedotKertausosa. 1. a) Muodostetaan taulukon perusteella frekvenssijakaumat. b) Moodi on se muuttujan arvo, jonka frekvenssi on suurin. Mo = 5.
Kertausosa 1. a) Muodostetaan taulukon perusteella frekvenssijakaumat. Äänimäärä f f % 0 1 1 0,0169... 59 4 4 0,0677... 59 3 7 7 0,1186... 59 4 15 15 0,54... 59 5 18 18 0,3050... 59 6 1 1 0,033... 59 7
LisätiedotMat Sovellettu todennäköisyyslasku A
TKK / Systeemianalyysin laboratorio Nordlund Mat-.090 Sovellettu todennäköisyyslasku A Harjoitus 7 (vko 44/003) (Aihe: odotusarvon ja varianssin ominaisuuksia, satunnaismuuttujien lineaarikombinaatioita,
Lisätiedothttps://www10.uta.fi/opas/opintojakso.htm?rid=11585&i dx=2&uilang=fi&lang=fi&lvv=2015
12.1.2016/1 MTTTP5, luento 12.1.2016 1 Kokonaisuudet, joihin opintojakso kuuluu https://www10.uta.fi/opas/opintojakso.htm?rid=11585&i dx=2&uilang=fi&lang=fi&lvv=2015 2 Osaamistavoitteet Opiskelija osaa
LisätiedotTuloperiaate. Oletetaan, että eräs valintaprosessi voidaan jakaa peräkkäisiin vaiheisiin, joita on k kappaletta
Tuloperiaate Oletetaan, että eräs valintaprosessi voidaan jakaa peräkkäisiin vaiheisiin, joita on k kappaletta ja 1. vaiheessa valinta voidaan tehdä n 1 tavalla,. vaiheessa valinta voidaan tehdä n tavalla,
LisätiedotHuippu 5 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty
KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K. Ensimmäiselle paidalle on 5 vaihtoehtoa, toiselle 4, kolmannelle 3 ja niin edelleen. Axel voi pitää paitoja 5! = 0:ssä eri järjestyksessä. Vastaus: 0:ssä eri järjestyksessä K.
Lisätiedot4.1. Olkoon X mielivaltainen positiivinen satunnaismuuttuja, jonka odotusarvo on
Mat-2.090 Sovellettu todennäköisyyslasku A / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat: Otanta Poisson- Jakaumien tunnusluvut Diskreetit jakaumat Binomijakauma, Diskreetti tasainen jakauma, Geometrinen jakauma, Hypergeometrinen
Lisätiedot4 Todennäköisyysjakauma
Juuri 0 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 8..08 Todennäköisyysjakauma. a) Pistevaihtoehdot ovat,, ja 0. Heittoyritys tuottaa k pistettä silloin, kun kyseessä on k pisteen heitto
LisätiedotLisätehtäviä ratkaisuineen luentomonisteen lukuihin 2-4 liittyen
MTTTP5, kevät 2016 4.2.2016/RL Lisätehtäviä ratkaisuineen luentomonisteen lukuihin 2-4 liittyen 1. Laitosneuvostoon valitaan 2 professoria, 4 muuta henkilökuntaan kuuluvaa jäsentä sekä 4 opiskelijaa. Laitosneuvostoon
Lisätiedot8.2. Permutaatiot. Esim. 1 Kirjaimet K, L ja M asetetaan jonoon. Kuinka monta erilaista järjes-tettyä jonoa näin saadaan?
8.2. Permutaatiot Esim. 1 irjaimet, ja asetetaan jonoon. uinka monta erilaista järjes-tettyä jonoa näin saadaan? Voidaan kuvitella vaikka niin, että hyllyllä on vierekkäin kolme laatikkoa (tai raiteilla
Lisätiedot1. a) Aineistot -osiosta löytyy kuntasektorin kuukausipalkat ammateittain vuonna 2016 (tehtava1a.ods).
Matematiikan koe, Maa0 Todennäköisyys ja tilastot RATKAISUT Sievin lukio Maanantai 6.4.208 VASTAA YHTEENSÄ VIITEEN TEHTÄVÄÄN SITEN, ETTÄ OLET VASTANNUT TEHTÄVIIN JA 2. AINEISTOT-OSION TAULUKKOTIETOJA JA
LisätiedotMuista merkitä vastauspaperiin oma nimesi ja tee etusivulle pisteytysruudukko. Kaikkiin tehtävien ratkaisuihin välivaiheet näkyviin!
MAA6 Kurssikoe 1.11.14 Jussi Tyni ja Juha Käkilehto Muista merkitä vastauspaperiin oma nimesi ja tee etusivulle pisteytysruudukko. Kaikkiin tehtävien ratkaisuihin välivaiheet näkyviin! A-OSIO: Laske kaikki
LisätiedotTeema 7: Todennäköisyyksien laskentaa
Teema 7: Todennäköisyyksien laskentaa Teemassa 6 tutustuttiin todennäköisyyden ja satunnaisuuden käsitteisiin sekä todennäköisyyslaskennan perusteisiin. Seuraavaksi tätä aihepiiriä syvennetään perehtymällä
Lisätiedot, c) x = 0 tai x = 2. = x 3. 9 = 2 3, = eli kun x = 5 tai x = 1. Näistä
Pitkä matematiikka 8.9.0, ratkaisut:. a) ( x + x ) = ( + x + x ) 6x + 6x = + 6x + 6x x = x =. b) Jos x > 0, on x = + x x = + x. Tällä ei ole ratkaisua. Jos x 0, on x = + x x = + x x =. c) x = x ( x) =
LisätiedotDiskreetin satunnaismuuttujan odotusarvo, keskihajonta ja varianssi
TOD.NÄK JA TILASTOT, MAA0 Diskreetin satunnaismuuttujan odotusarvo, keskihajonta ja varianssi Kuten tilastojakaumia voitiin esittää tunnuslukujen (keskiarvo, moodi, mediaani, jne.) avulla, niin vastaavasti
Lisätiedot1. a) b) Nollakohdat: 20 = c) a b a b = + ( a b)( a + b) Derivaatan kuvaajan numero. 1 f x x x g x x x x. 3. a)
Pitkä matematiikka YO-koe 9..04. a) b) 7( x ) + = x ( x ) x(5 8 x) > 0 7x + = x x + 8x + 5x > 0 7x = 0 Nollakohdat: 0 8x + 5x = 0 x = 7 x(8x 5) = 0 5 5 x = 0 tai x = Vastaus: 0 < x < 8 8 c) a+ b) a b)
LisätiedotPRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011
PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9..0 Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään.. Sievennä a) 9 x x 6x + 9, b) 5 9 009 a a, c) log 7 + lne 7. Muovailuvahasta tehty säännöllinen tetraedri muovataan
LisätiedotMAT Todennäköisyyslaskenta Tentti / Kimmo Vattulainen
MAT-25 Todennäköisyyslaskenta Tentti 12.4.216 / Kimmo Vattulainen Funktiolaskin sallittu. Palauta kaavakokoelma 1. a) Pelaajat A ja B heittävät noppaa vuorotellen ja pelin voittaa se, joka saa ensimmäiseksi
LisätiedotMATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ
MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ.0.08 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden, sisältöjen ja pisteitysten luonnehdinta ei sido ylioppilastutkintolautakunnan arvostelua. Lopullisessa
LisätiedotTodennäköisyyslaskenta - tehtävät
Todennäköisyyslaskenta - tehtävät Todennäköisyyslaskentaa käsitellään Pitkän matematiikan kertauskirjan sivuilla 253 276. Klassinen todennäköisyys Kombinatoriikka Binomitodennäköisyys Satunnaismuuttuja,
LisätiedotJuuri 10 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty
Juuri 0 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 9..08 Kertaus K. a) Alapaineiden pienin arvo on ja suurin arvo 74, joten vaihteluväli on [, 74]. b) Alapaineiden keskiarvo on 6676870774
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 21. syyskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 21. syyskuuta 2007 1 / 19 1 Satunnaismuuttujien riippumattomuus 2 Jakauman tunnusluvut Odotusarvo Odotusarvon ominaisuuksia
LisätiedotKenguru Student (lukion 2. ja 3. vuosi) sivu 1 / 6
Kenguru Student (lukion 2. ja 3. vuosi) sivu 1 / 6 NIMI LUOKKA/RYHMÄ Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto.
LisätiedotMat Sovellettu todennäköisyyslasku A
TKK / Systeemianalyysin laboratorio Nordlund Mat-.9 Sovellettu todennäköisyyslasku A Harjoitus 3 (vko 4/3) (Aihe: tasainen todennäköisyysmalli, pistetodennäköisyysfunktio, tiheysfunktio, kertymäfunktio,
LisätiedotA-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-6. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei.
PITKÄ MATEMATIIKKA PRELIMINÄÄRIKOE 7..07 NIMI: A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei.. Valitse oikea vaihtoehto ja
LisätiedotMAT Todennäköisyyslaskenta Tentti / Kimmo Vattulainen
MAT-200 Todennäköisyyslaskenta Tentti 29.04.20 / Kimmo Vattulainen Funktiolaskin sallittu.. a) Pelaajat A ja B heittävät noppaa vuorotellen ja pelin voittaa se, joka saa ensimmäiseksi kuutosen. A aloittaa
Lisätiedotc) 22a 21b x + a 2 3a x 1 = a,
Tehtäviä on kahdella sivulla; kuusi ensimmäistä tehtävää on monivalintatehtäviä, joissa on 0 4 oikeata vastausta. 1. Lukion A ja lukion B oppilasmäärien suhde oli a/b vuoden 2017 lopussa. Vuoden 2017 aikana
Lisätiedot&idx=2&uilang=fi&lang=fi&lvv=2015
20.10.2015/1 MTTTP5, luento 20.10.2015 1 Kokonaisuudet, joihin opintojakso kuuluu https://www10.uta.fi/opas/opintojakso.htm?rid=11585 &idx=2&uilang=fi&lang=fi&lvv=2015 2 Osaamistavoitteet Opiskelija osaa
LisätiedotMiten voidaan arvioida virheellisten komponenttien osuutta tuotannossa? Miten voidaan arvioida valmistajan kynttilöiden keskimääräistä palamisaikaa?
21.3.2019/1 MTTTP1, luento 21.3.2019 7 TILASTOLLISEN PÄÄTTELYN PERUSTEITA Miten voidaan arvioida virheellisten komponenttien osuutta tuotannossa? Miten voidaan arvioida valmistajan kynttilöiden keskimääräistä
LisätiedotTOD.NÄK JA TILASTOT, MAA10 Kombinaatio, k-kombinaatio
1..018 TOD.NÄK JA TILASTOT, MAA10 Kombinaatio, k-kombinaatio Esimerkki 1: Sinulla on 5 erilaista palloa. Kuinka monta erilaista kahden pallon paria voit muodostaa, kun valintajärjestykseen a) kiinnitetään
Lisätiedot****************************************************************** ****************************************************************** 7 Esim.
8.3. Kombiaatiot MÄÄRITELMÄ 6 Merkitä k, joka luetaa yli k:, tarkoittaa lause- ketta k = k! ( k)! 6 3 2 1 6 Esim. 1 3 3! = = = = 3! ( 3)! 3 2 1 3 2 1 3 2 1 Laskimesta löydät äppäime, jolla kertomia voi
LisätiedotDiplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2018 Insinöörivalinnan matematiikan koe, , Ratkaisut (Sarja A)
Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2018 Insinöörivalinnan matematiikan koe, 2952018, Ratkaisut (Sarja A) 1 Anna kaikissa kohdissa vastaukset tarkkoina arvoina Kohdassa d), anna kulmat
Lisätiedot6. laskuharjoitusten vastaukset (viikot 10 11)
6. laskuharjoitusten vastaukset (viikot 10 11) 1. a) Sivun 102 hypergeometrisen jakauman määritelmästä saadaan µ µ 13 39 13! 13 12 11 10 9 µ 0! 8! 1! 2 2! 2 1 0 49 48! 47!! 14440 120 31187200 120 1287
Lisätiedot2. laskuharjoituskierros, vko 5, ratkaisut
2. laskuharjoituskierros, vko, ratkaisut Aiheet: Klassinen todennäköisyys, kombinatoriikka, kokonaistodennäköisyys ja Bayesin kaava D1. Eräässä maassa autojen rekisterikilpien tunnukset ovat muotoa XXXXNN,
Lisätiedot2 exp( 2u), kun u > 0 f U (u) = v = 3 + u 3v + uv = u. f V (v) dv = f U (u) du du f V (v) = f U (u) dv = f U (h(v)) h (v) = f U 1 v (1 v) 2
HY, MTO / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIa, syksy 208 Harjoitus 4 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I. Satunnaismuuttuja U Exp(2) ja V = U/(3 + U). Laske f V käyttämällä muuttujanvaihtotekniikkaa.
LisätiedotIntegrointi ja sovellukset
Integrointi ja sovellukset Tehtävät:. Muodosta ja laske yläsumma funktiolle fx) x 5 välillä [, 4], kun väli on jaettu neljään yhtä suureen osaan.. Määritä integraalin x + ) dx likiarvo laskemalla alasumma,
Lisätiedotriippumattomia ja noudattavat samaa jakaumaa.
12.11.2015/1 MTTTP5, luento 12.11.2015 Luku 4 Satunnaisotos, otossuure ja otosjakauma 4.1. Satunnaisotos X 1, X 2,, X n on satunnaisotos, jos X i :t ovat riippumattomia ja noudattavat samaa jakaumaa. Sanonta
LisätiedotD ( ) E( ) E( ) 2.917
Mat-2.091 Sovellettu todennäköisyyslasku 4. harjoitukset/ratkaisut Aiheet: Diskreetit jakaumat Avainsanat: Binomijakauma, Diskreetti tasainen jakauma, Geometrinen jakauma, Hypergeometrinen jakauma, Kertymäfunktio,
Lisätiedot811120P Diskreetit rakenteet
811120P Diskreetit rakenteet 2018-2019 7. Kombinatoriikka 7.1 Johdanto Kombinatoriikka tutkii seuraavan kaltaisia kysymyksiä: Kuinka monella tavalla jokin toiminto voidaan suorittaa? Kuinka monta tietynlaista
LisätiedotMAT Todennäköisyyslaskenta Tentti / Kimmo Vattulainen
MAT-5 Todennäköisyyslaskenta Tentti.. / Kimmo Vattulainen Vastaa jokainen tehtävä eri paperille. Funktiolaskin sallittu.. a) P A). ja P A B).6. Mitä on P A B), kun A ja B ovat riippumattomia b) Satunnaismuuttujan
Lisätiedot/1. MTTTP5, luento Normaalijakauma (jatkuu) Binomijakaumaa voidaan approksimoida normaalijakaumalla
17.11.2016/1 MTTTP5, luento 17.11.2016 3.5.5 Normaalijakauma (jatkuu) Binomijakaumaa voidaan approksimoida normaalijakaumalla likimain Jos X ~ Bin(n, p), niin X ~ N(np, np(1 p)), kun n suuri. 17.11.2016/2
LisätiedotIlkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa : Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio TKK (c) Ilkka Mellin (7) 1 Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio
Lisätiedota b c d
1. 11. 011!"$#&%(')'+*(#-,.*/103/465$*784 /(9:*;9."$ *;5> *@9 a b c d 1. + +. 3. 4. 5. 6. + + + + + + + + + + P1. 5 140 8 47 = 5 140 ( 3 ) 47 = 5 140 3 47 = 5 140 141 = (5 ) 140 = 10 140, jossa on
LisätiedotKaikki kurssin laskuharjoitukset pidetään Exactumin salissa C123. Malliratkaisut tulevat nettiin kurssisivulle.
Kombinatoriikka, kesä 2010 Harjoitus 1 Ratkaisuehdotuksia (RT (5 sivua Kaikki kurssin laskuharjoitukset pidetään Exactumin salissa C123. Malliratkaisut tulevat nettiin kurssisivulle. 1. Osoita, että vuoden
LisätiedotHelsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 10.6.2013 klo 10-13 Ratkaisut ja pisteytysohjeet
Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe.6. klo - Ratkaisut ja pisteytysohjeet. Ratkaise seuraavat epäyhtälöt ja yhtälö: a) x+ x +9, b) log (x) 7,
Lisätiedot0. 10. 017 a b c d 1. + +. + +. + + 4. + + + 5. + 6. + P1. Lehtipuiden lukumäärä olkoon aluksi n, jolloin havupuiden määrä on 1,4n. Hakkuiden jälkeen lehtipuiden määrä putoaa lukuun n 0,1n = 0,88n ja havupuiden
Lisätiedot3.7 Todennäköisyysjakaumia
MAB5: Todennäköisyyden lähtökohdat 4 Luvussa 3 Tunnusluvut perehdyimme jo jakauman käsitteeseen yleensä ja normaalijakaumaan vähän tarkemmin. Lähdetään nyt tutustumaan binomijakaumaan ja otetaan sen jälkeen
Lisätiedot10, 9, 5, 6, 7, 4, 7, 9, 8, 7, 6, 7, 8, 6
MAA6.1 Loppukoe 23.11.2012 Jussi Tyni Valitse kuusi tehtävää Muista merkitä vastauspaperiin oma nimesi ja tee etusivulle pisteytysruudukko. Kaikkiin tehtävien ratkaisuihin välivaiheet näkyviin! 1. Matikan
LisätiedotJohdatus todennäköisyyslaskentaan Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio TKK (c) Ilkka Mellin (5) 1 Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio Momenttiemäfunktio Diskreettien jakaumien momenttiemäfunktioita
LisätiedotHelsingin seitsemäsluokkalaisten matematiikkakilpailu Ratkaisuita
Helsingin seitsemäsluokkalaisten matematiikkakilpailu 22..204 Ratkaisuita. Laske 23 45. a) 4000 b) 4525 c) 4535 d) 5525 e) 5535 Ratkaisu. Lasketaan allekkain: 45 23 35 90 45 5535 2. Yhden maalipurkin sisällöllä
LisätiedotVastaus: 10. Kertausharjoituksia. 1. Lukujonot lim = lim n + = = n n. Vastaus: suppenee raja-arvona Vastaus:
. Koska F( ) on jokin funktion f ( ) integraalifunktio, niin a+ a f() t dt F( a+ t) F( a) ( a+ ) b( a b) Vastaus: Kertausharjoituksia. Lukujonot 87. + n + lim lim n n n n Vastaus: suppenee raja-arvona
LisätiedotHY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Tilastollinen päättely II, kevät 2017 Harjoitus 1 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Tilastollinen päättely II, kevät 2017 Harjoitus 1 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Tehtävä 1 on klassikko. 1. Tässä tehtävässä tapahtumat A ja B eivät välttämättä
LisätiedotLäpäisyehto: Kokeesta saatava 5. Uusintakoe: Arvosana määräytyy yksin uusintakokeen perusteella.
MAA7 Trigonometriset funktiot Arvosanan perusteet: koe 70 %, harjoitustehtävä 10 %, tuntitestit 20 %, lisäksi oppimisen ja työskentelyn havainnointi opettajan harkinnan mukaan (ks. OPS 6.2). Muu arviointi:
LisätiedotMat Sovellettu todennäköisyyslasku A
Mat-2.090 Sovellettu todennäköisyyslasku A / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat: Klassinen todennäköisyys ja kombinatoriikka Todennäköisyyden aksioomat Kokonaistodennäköisyys ja Bayesin kaava Bayesin kaava,
Lisätiedot5. laskuharjoituskierros, vko 8, ratkaisut
Mat-.09 Sovellettu todennäköisyyslasku, kevät -05 5. laskuharjoituskierros, vko 8, ratkaisut D. Eräässä maata kiertävällä radalla olevassa satelliitissa on ilmaisin, jonka elinikä X yksikkönä vuosi noudattaa
Lisätiedotx 4 e 2x dx Γ(r) = x r 1 e x dx (1)
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Todennäköisyyslaskenta IIA, syksy 217 217 Harjoitus 6 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I 1. Laske numeeriset arvot seuraaville integraaleille: x 4 e 2x dx ja 1
LisätiedotRatkaisut Summa on nolla, sillä luvut muodostavat vastalukuparit: ( 10) + 10 = 0, ( 9) + 9 = 0,...
Ratkaisut 1 1. Summa on nolla, sillä luvut muodostavat vastalukuparit: ( 10) + 10 = 0, ( 9) + 9 = 0,.... Nolla, koska kerrotaan nollalla. 3. 16 15 50 = ( 8) 15 50 = (8 15) ( 50) = 1000 500 = 500 000. 4.
LisätiedotMATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ
MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 4.9.09 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alustavat hyvän vastauksen piirteet on suuntaa-antava kuvaus kokeen tehtäviin odotetuista vastauksista ja tarkoitettu ensisijaisesti
Lisätiedot4. laskuharjoituskierros, vko 7, ratkaisut
4. laskuharjoituskierros, vko 7, ratkaisut D1. Kone valmistaa kuulalaakerin kuulia, joiden halkaisija vaihtelee satunnaisesti. Halkaisijan on oltava tiettyjen rajojen sisällä, jotta kuula olisi käyttökelpoinen.
Lisätiedot1. Kuinka monella tavalla joukon kaikki alkiot voidaan järjestää jonoksi? Tähän antaa vastauksen: tuloperiaate ja permutaatio
TOD.NÄK JA TILASTOT, MAA10 Kombinatoriikka Todennäköisyyksiä (-laskuja) varten tarvitaan tieto tapahtumille suotuisien alkeistapausten lukumäärästä eli tapahtumaa vastaavan osajoukon alkioiden lukumäärästä.
LisätiedotLuento KERTAUSTA Kaksiulotteinen jakauma Pisteparvi, Toyota Avensis -farmariautoja
1 Luento 23.9.2014 KERTAUSTA Kaksiulotteinen jakauma Pisteparvi, Toyota Avensis -farmariautoja 2 Ristiintaulukko Esim. Toyota Avensis farmariautoja, nelikenttä (2x2-taulukko) 3 Esim. 5.2.6. Markkinointisuunnitelma
LisätiedotTehtäväsarja I Tehtävät 1-5 perustuvat monisteen kappaleisiin ja tehtävä 6 kappaleeseen 2.8.
HY, MTO / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIa, syksy 8 Harjoitus Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Tehtävät -5 perustuvat monisteen kappaleisiin..7 ja tehtävä 6 kappaleeseen.8..
LisätiedotHY, MTO / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIa, syksy 2018 Harjoitus 3 Ratkaisuehdotuksia.
HY, MTO / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIa, syksy 8 Harjoitus Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I. Mitkä seuraavista funktioista F, F, F ja F 4 ovat kertymäfunktioita? Mitkä
LisätiedotMS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A050 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi B Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto
LisätiedotDerivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.)
Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.) Tehtävät: 1. Tutki derivaatan avulla funktion f kulkua. a) f(x) = x 4x b) f(x) = x + 6x + 11 c) f(x) = x4 4 x3 + 4 d) f(x) = x 3 6x + 1x + 3. Määritä rationaalifunktion
LisätiedotMATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA
EB-TUTKINTO 2008 MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA PÄIVÄMÄÄRÄ: 5. kesäkuuta 2008 (aamupäivä) KOKEEN KESTO: 4 tuntia (240 minuuttia) SALLITUT APUVÄLINEET: Europpa-koulun antama taulukkovihkonen Funktiolaskin,
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 13. syyskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 13. syyskuuta 2007 1 / 21 1 Klassinen todennäköisyys 2 Kombinatoriikkaa Kombinatoriikan perusongelmat Permutaatiot
Lisätiedot4 Yleinen potenssifunktio ja polynomifunktio
4 Yleinen potenssifunktio ja polynomifunktio ENNAKKOTEHTÄVÄT 1. a) Tutkitaan yhtälöiden ratkaisuja piirtämällä funktioiden f(x) = x, f(x) = x 3, f(x) = x 4 ja f(x) = x 5 kuvaajat. Näin nähdään, monessako
LisätiedotTodennäköisyyden ominaisuuksia
Todennäköisyyden ominaisuuksia 0 P(A) 1 (1) P(S) = 1 (2) A B = P(A B) = P(A) + P(B) (3) P(A) = 1 P(A) (4) P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) (5) Tapahtuman todennäköisyys S = {e 1,..., e N }. N A = A. Kun alkeistapaukset
LisätiedotDiplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2017 Insinöörivalinnan matematiikan koe , Ratkaisut (Sarja A)
Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 017 Insinöörivalinnan matematiikan koe 30..017, Ratkaisut (Sarja A) 1. a) Lukujen 9, 0, 3 ja x keskiarvo on. Määritä x. (1 p.) b) Mitkä reaaliluvut
LisätiedotKenguru 2013 Student sivu 1 / 7 (lukion 2. ja 3. vuosi)
Kenguru 2013 Student sivu 1 / 7 NIMI RYHMÄ Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto. Väärästä vastauksesta
LisätiedotEstimointi populaation tuntemattoman parametrin arviointia otossuureen avulla Otossuure satunnaisotoksen avulla määritelty funktio
17.11.2015/1 MTTTP5, luento 17.11.2015 Luku 5 Parametrien estimointi 5.1 Piste-estimointi Estimointi populaation tuntemattoman parametrin arviointia otossuureen avulla Otossuure satunnaisotoksen avulla
Lisätiedot5/11 6/11 Vaihe 1. 6/10 4/10 6/10 4/10 Vaihe 2. 5/11 6/11 4/11 7/11 6/11 5/11 5/11 6/11 Vaihe 3
Mat-.9 Sovellettu todennäköisyyslasku A / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat: Verkot todennäköisyyslaskennassa Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Jakaumien tunnusluvut Kertymäfunktio, Momentit, Odotusarvo,
LisätiedotMatematiikan taito 9, RATKAISUT. , jolloin. . Vast. ]0,2] arvot.
7 Sovelluksia 90 a) Koska sin saa kaikki välillä [,] olevat arvot, niin funktion f ( ) = sin pienin arvo on = ja suurin arvo on ( ) = b) Koska sin saa kaikki välillä [0,] olevat arvot, niin funktion f
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 30. lokakuuta 2007 Antti Rasila () TodB 30. lokakuuta 2007 1 / 23 1 Otos ja otosjakaumat (jatkoa) Frekvenssi ja suhteellinen frekvenssi Frekvenssien odotusarvo
Lisätiedot7 TODENNÄKÖISYYSLASKENTAA
7 TODENNÄKÖISYYSLASKENTAA ALOITA PERUSTEISTA 277A. a) 8! = 40 320 Vastaus: 40 320 5 b) 5005 6 Vastaus: 5005 7 c) 7 Vastaus: 278A. Tuloperiaatteen mukaan asukokonaisuuksia on 4 2 2 = 6. Vastaus: 6 asukokonaisuutta
LisätiedotKaikkiin tehtäviin laskuja, kuvia tai muita perusteluja näkyviin.
Peruskoulun matematiikkakilpailu Loppukilpailu perjantaina 1.2.2013 OSA 1 Ratkaisuaika 30 min Pistemäärä 20 Tässä osassa ei käytetä laskinta. Kaikkiin tehtäviin laskuja, kuvia tai muita perusteluja näkyviin.
LisätiedotPreliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 2016 Sivu 1 / 4
Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 06 Sivu / Laske yhteensä enintään 0 tehtävää. Kaikki tehtävät arvostellaan asteikolla 0-6 pistettä. Osiossa A EI SAA käyttää laskinta. Osiossa A
LisätiedotYlioppilastutkintolautakunta S t u d e n t e x a m e n s n ä m n d e n
Ylioilastutkintolautakunta S t u d e n t e x a m e n s n ä m n d e n MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 904 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten iiteiden, sisältöjen ja isteitysten luonnehdinta
Lisätiedot