LUKU 6. Mitalliset funktiot

LUKU 6 Mitalliset funktiot Määritelmistä 3. ja 3.0 seuraa, että jokainen Lebesgue-integroituva funktio on porrasfunktiojonon raja-arvo melkein kaikkialla. Kuitenkin moni tuttu funktio ei ole Lebesgue-integroituva. Esimerkiksi vakiofunktio R R, x, tai trigonometriset funktiot x sin x ja x cos x eivät ole Lebesgue-integroituva koko reaaliakselilla (eivät sen paremmin Riemann-integroituviakaan). Laajennetaan tarkasteltavien funktioiden joukkoa seuraavasti: Määritelmä 6.. Olkoon f : R R annettu funktio. Sanotaan, että funktio f on Lebesgue-mitallinen (tai yksinkertaisesti mitallinen), jos on olemassa porrasfunktiojono (s n ) n= siten, että lim s n (x) = f(x) m.k. x R. Huomautus 6.2. a) Suoraan määritelmien 3. ja 3.0 (tai lauseen 3.9) nojalla jokainen Lebesgue-integroituva funktio on mitallinen. b) Esimerkin 3.6 todistusta vain hieman muuttamalla saadaan: jos f : R [0, ) on melkein kaikkialla jatkuva, niin f on mitallinen. Tällainen funktio voidaan itse asiassa esittää kasvavan porrasfunktiojonon m.k. rajafunktiona. Tästä seuraa jakoa f = f + f apuna käyttäen, että jos f : R R on melkein kaikkialla jatkuva, niin f on mitallinen. c) Mitenkään selvää ei ole, että ei-mitallisia funktioita on olemassa. On kuitenkin osoitettavissa, että on olemassa joukkoja E R siten, että joukon E karakteristinen funktio χ E ei ole mitallinen. Esimerkki tällaisesta joukosta konstruoidaan Mitta- ja integraaliteorian kurssilla [9, lause 2.8]. Seuraavien kolmen lauseen todistus on suoraviivainen ja jätetään lukijalle harjoitustehtäväksi: Lause 6.3. Olkoot f, g : R R mitallisia funktioita ja α R. Tällöin myös seuraavat funktiot ovat mitallisia: a) αf; b) f + g c) max(f, g); d) min(f, g); e) f ; f) f + ; g) f. Lause 6.4. Olkoot D R d avoin, F : D R jatkuva funktio, d Z + ja f,..., f d mitallisia funktioita. Oletetaan, että (f (x),..., f d (x)) D m.k. x R. Viimeksi muutettu 27.9.2007. 28

6. MITALLISET FUNKTIOT 29 Tällöin funktio x F (f (x),..., f d (x)) on mitallinen. Seuraus 6.5. Olkoot f, g : R R mitallisia funktioita ja p R, p > 0. Tällöin funktiot fg ja f p ovat mitallisia. Jos g(x) 0 m.k. x R, niin f/g on mitallinen. Lemma 6.6. Olkoon ( f n : R R ) jono integroituvia funktioita, joka suppenee n= melkein kaikkialla kohti funktiota f : R R. Oletetaan, että on olemassa g L siten, että f g melkein kaikkialla. Tällöin f L. Todistus. Asetetaan F n = max(min(f n, g), g). Tällöin jonon (F n ) n= jokainen funktio on integroituva ja F n g melkein kaikkialla. Koska F n (x) = f n (x), kun f n (x) g(x), on lim F n (x) = f(x) melkein kaikkialla. Dominoidun konvergenssin lauseen 4.7 nojalla rajafunktio f on integroituva. Lause 6.7. Olkoot f : R R mitallinen ja g L siten, että f g melkein kaikkialla. Tällöin f L. Todistus. Määritelmän nojalla on olemassa porrasfunktiojono (s n ) n= siten, että lim s n (x) = f(x) melkein kaikkialla. Koska jokainen funktio s n on integroituva, voidaan lausetta 6.6 soveltaa rajafunktioon f. Lause 6.8. Olkoon ( f n : R R ) jono mitallisia funktioita. Oletetaan, että n= jono (f n ) n= suppenee melkein kaikkialla kohti funktiota f : R R. Tällöin f on mitallinen. Todistus. Olkoon g : R R, g(x) = /( + x 2 ). Tällöin g L. Asetetaan f n (x) f(x) F n (x) = g(x) ja F (x) = g(x) + f n (x) + f(x). Edellisten lauseiden nojalla jokainen F n on mitallinen. Toisaalta, F n (x) < g(x) kaikille x R, joten lauseen 6.7 nojalla jokainen F n L. Oletuksen nojalla F n (x) F (x) melkein kaikkialla. Lauseen 6.6 nojalla F L. Kuten helposti nähdään, on F (x) f(x) = g(x) F (x). Koska F (x) < g(x) kaikille x R, on f edellisten lauseiden nojalla mitallinen. Lause 6.9. Olkoon ( f n : R R ) jono mitallisia funktioita. n= Tällöin seuraavat funktiot ovat mitallisia: inf f n, n sup f n, n olettaen, että ne ovat äärellisarvoisia. Todistus. Jätetään harjoitustehtäväksi. lim inf f n, lim sup f n

*6.. RENÉ BAIRE 30 2 2 0 - -0.5 0.5 - - -2-2 - 0 2-2 Kuva. Vasemmassa kuvassa on yhtälön (x 3 + 2y)y + 3x(xy 2) = 0 ratkaisujen tasa-arvokäyriä x 3 y 3x 2 + y 2 = c. Kuvan keskellä olevat, alhaalta- ja ylhäältäpäin toisiaan lähestyvien käyrien pitäisi todellisuudessa muodostaa oikean kuvan mukainen risti. Oikeassa kuvassa on arvoa c = 0 vastaavien funktioiden y ± (x) = 2 x3 ± 4 x6 + 3x 2 kuvaajat. Funktion y + (vast. y ) kuvaaja on kokonaisuudessaan x-akselin yläpuolella (vast. alapuolella). *6.. René Baire Differentiaali- ja integraalilaskennan historian alkuaikoina, 600-luvulta 800-luvun alkuvuosina, funktiokäsitettä ei varsinaisesti tunnettu; mielenkiinto kohdistui käyriin. Niiden jatkuvuus samoinkuin käyrän tangentti ja käyrän rajoittaman alueen pinta-ala ymmärrettiin lähinnä intuitiivisesti (ks. Sir Isaac Newtonin Treatise of the Quadrature of Curves ja [38, luvut IV ja V]). Funktiota saatettiin pitää epäjatkuvana jopa sillä perusteella, että sen määrittelytapa oli epäjatkuva (nykykielellä: määritelty paloittain). Tämä tietysti aiheutti sekaannusta, koska monissa ongelmissa oikea ratkaisu saattoi edellyttää ratkaisun määrittelyä paloittain. Katsotaan tästä esimerkkinä differentiaaliyhtälöä Tämä yhtälö on eksakti, potentiaalina (x 3 + 2y)y + 3x(xy 2) = 0. F (x, y) = x 3 y + y 2 3x 2. Differentiaaliyhtälön ratkaisukäyrät ovat siis yhtälön F (x, y) = c, c R, määräämät tasokäyrät. Käyttämällä toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa suoraviivaisesti, saataisiin ratkaisuiksi y = y ± (x) = 2 x3 ± 4 x6 + 3x 2 + c. Näistä mielenkiintoisin on origon kautta kulkeva käyrä, jota vastaa arvo c = 0. Kun c = 0, ei kumpikaan funktioista y ja y + ole derivoituva pisteessä x = 0. Kuitenkin, jos ratkaisujen haarat liimataan eri tavalla kuin miten toisen asteen ratkaisukaavan avulla olisi luonnollista tehdä, saadaan jatkuvasti derivoituvat funktiot y, y 2 : R R, jotka toteuttavat alkuperäisen differentiaaliyhtälön kaikille x R. Tämän tarkistaminen jätetään harjoitustehtävksi (oheinen kuva saattaa auttaa).

*6.. RENÉ BAIRE 3 Ensimmäinen raja-arvon käsitteeseen perustuva määritelmä funktion jatkuvuudelle on peräisin Augustin Cauchylta (Cours d analyse, 82). Samoihin aikoihin Joseph Fourier esitti lämmönjohtumista koskevissa tutkimuksissaan (La théorie analytique de la chaleur, 822), että jokainen funktio f voidaan esittää Fourier n sarjana f(x) = a 0 2 + ( ak cos kx + b k sin kx ). k= Tässä luvut a k, k N, ja b k, k Z +, ovat funktion f Fourier n kertoimet, ja niille voidaan johtaa esitys a k = π π π f(x) cos(kx) dx, b k = π π π f(x) sin(kx) dx. Nykyisin tiedetään, että jokainen funktio f voidaan esittää... ei pidä paikkaansa. Kuitenkin varsin monimutkaiset epäjatkuvat funktiot pystyttiin esittämään Fourier n sarjana, ja Bernhard Riemann pyrki osoittamaan Fourier n väitteen todeksi (Habilitationsschrift, 854). Tässä yhteydessä Riemann tarvitsi täsmällisemmin määritellyn integraalin, joka tätä nykyä tunnetaan Riemannin integraalina (oleellisesti Riemannin summien avulla määriteltynä). Eräs yleinen havainto Fourier n sarjojen ja muiden funktiojonojen rajafunktioiden ominaisuuksista oli, että rajafunktio on yleensä mutkikkaammin käyttäytyvä kuin jonon funktiot. René Baire tutki väitöskirjassaan (Sur les fonctions de variables réelles, 899) funktijonojen rajafunktioiden olemusta. Asetetaan H 0 = C([0, ]) = välin [0, ] jatkuvat funktiot, (= nollannen luokan funktiot). Sanotaan, että funktio f : [0, ] R on Bairen ensimmäisen luokan funktio, merkitään f H, jos f ei ole jatkuva (eli f H 0 ), mutta on olemassa jono (f n ) n= H 0 siten, että f(x) = lim f n (x) kaikille x [0, ]. Yleisesti sanotaan, että funktio f : [0, ] R on Bairen m. luokan funktio, merkitään f H m, jos f H k kaikille k {0,..., m }, mutta f on pisteittäinen rajafunktio Bairen (m ). luokan funktiojonosta. On helppo nähdä, että Dirichlet n funktiolle (eli joukon [0, ] Q karakteristiselle funktiolle) f D on voimassa f D H H 2. Itsestään selvää sen sijaan ei ole, että f D H, joten f D H 2. Baire onnistui osoittamaan tämän; ks. [27, XV.3]. Koska jokainen jatkuva funktio on mitallinen ja mitallisten funktioiden jonon rajafunktio on mitallinen, ovat kaikki joukon H funktiot mitallisia. Induktiolla on helppo näyttää, että yleisesti jokaisen joukon H m, m N, funktiot ovat mitallisia. Tavallisten järjestyslukujen (eli ordinaalilukujen ensimmäinen, toinen,... ) lisäksi on määriteltävissä ns. äärettömät ordinaalit α; ks. [27, Kap. XIV] tai [3,??]. Bairen luokkien kokoelmaa voidaan jatkaa myös äärettömille ordinaaleille. Esimerkiksi, jos funktio f ei kuulu mihinkään luokkaan H m, m N, mutta on olemassa jono (f n ) n= siten, että f on tämän jonon pisteittäinen rajafunktio ja jokainen funktio f n kuuluu johonkin luokkaan H mn, sanotaan, että f H ω. Bairen luokista on hyvä huomata, että jokaiseen järjestysluvultaan korkeampaan luokkaan eivät kuulu järjestysluvultaan alempien luokkien funktiot. Näin Bairen luokat pyrkivät tuomaan yhä epäjatkuvampia funktioita käyttöön. Itsestään selvää ei ole, että tällainen

*6.. RENÉ BAIRE 32 Kuva 2. Weierstrassin funktio tapauksessa a = 3, b = /2. olisi koko ajan mahdollista, t.s. että jokainen Bairen luokka H m olisi epätyhjä. Näin kuitenkin on. Pätee vieläpä, että äärettömiäkin ordinaaleja α vastaavat Bairen luokat H α ovat epätyhjiä; ks. [27, XV.2]. Bairen luokkien sijasta matematiikan opetukseen ovat jääneet Bairen kategoriat. Tarkastellaan tätä hieman välin [0, ] jatkuvien funktioiden C([0, ]) tapauksessa. Funktioille f C([0, ]) määritellään sup-normi f := sup{ f(x) x [0, ]}. Kurssilta Analyysi 3 [8] muistettakoon, että funktiojonon suppeneminen sup-normin mielessä tarkoittaa tasaista suppenemista. Sanotaan, että joukko E C([0, ]) on ei-missään tiheä (tai harva), jos joukolla E ei ole sisäpisteitä. Joukko E C([0, ]) on ensimmäisen kategorian joukko, jos on olemassa ei-missään tiheät joukot E n, n Z +, siten, että E = n Z + E n. Joukko E C([0, ]) on toisen kategorian joukko, jos se ei ole ensimmäisen kategorian joukko. Bairen kategorioita koskevan tuloksen seuraus on: Täydellisen normiavaruuden (jollainen esimerkiksi C([0, ]) varustettuna sup-normilla on) ensimmäisen kategorian joukon komplementti on tiheä. Heuristisesti tämä voidaan tulkita niin, että esimerkiksi avaruudessa C([0, ]) ensimmäisen kategorian joukot ovat pieniä. Tilannetta kannattaa verrata joukko-oppiin, missä mahtavuusmielessä numeroituvat joukot ovat pieniä, tai mittateoriaan, missä nollamittaiset joukot ovat pieniä (vaikka voivatkin olla ylinumeroituvia). Harva matematiikan opiskelija tapaa opinnoissaan jatkuvaa funktiota, jolla ei ole derivaattaa missään pisteessä. Syy on yksinkertainen: funktio, jolla tällainen ominaisuus on, on vaikea todistaa ei-missään derivoituvaksi. Ensimmäinen esimerkki tällaisesta funktiosta on peräisin Weierstrassilta vuodelta 872. Kirjassa [3, 7.7] alkuperäinen Weierstrassin funktio f(t) = k=0 bk cos(a k πt) osoitetaan ei-missään derivoituvaksi ehdoilla 0 < b <, a N on pariton ja ab > + 3π/2. Bairen kategorioiden avulla voidaan täsmentää melko vahvan tuntuinen väite: melkein kaikki jatkuvat funktiot f : [0, ] R ovat sellaisia, että niillä ei ole äärellistä derivaattaa missään pisteessä. Nimittäin, jos E on sellaisten jatkuvien funktioiden f : [0, ] R joukko, että funktiolla f on äärellinen derivaatta edes yhdessä pisteessä, niin joukko E on ensimmäistä kategoriaa; ks. [40, IV.].