Ostat osakkeen hintaan ja myyt sen vuoden myöhemmin hintaan X 1. Kokonaistuotto on tällöin R = X 1, tuottoprosentti r = X 1 ja pätee R = 1 + r. Lyhyeksimyymisellä tarkoitetaan, että voit myydä osakkeen vaikka et omista sellaista. Tämä tapahtuu lainaamalla osake joltain sellaiselta, joka omistaa kyseisen osakkeen. Tämän jälkeen myyt osakkeen jollekin hintaan ja ostat vastaavan osakkeen myöhemmin takaisin hintaan X 1 ja palautat osakkeen henkilölle, jolta alunperin lainasit osakkeen. Mikäli X 1 < teet voittoa X 1. Mikäli X 1 > teet tappiota X 1. Tappio voi käytännössä kasvaa rajattomasti. Joitakin odotusarvon ja varianssin ominaisuuksia, kun x ja y satunnaismuuttujia sekä a ja b vakioita. E[ax + by] = ae[x] + be[y] σ 2 x = V ar[x] = E[(x E[x]) 2 ] = E[x 2 ] 2E[x]E[x] + E[x] 2 = E[x 2 ] E[x] 2 σ xy = Cov[x, y] = E[(x E[x])(y E[y])] = E[(y E[y])(x E[x])] = Cov[y, x] = σ yx V ar[ax + by] = a 2 V ar[x] + b 2 V ar[y] + 2abCov[x, y] ρ = σ xy σ x σ y (korrelaatiokerroin) Investointikohteita n kpl. Muodostetaan näistä portfolio siten, että kohteen i suhteellinen osuus portfoliossa on w i kaikille i = 1,..., n. On pädettävä w i = 1. Portfolion kokonaistuotolle R ja tuottoprosentille r pätee R = w i R i ja r = w i r i, missä R i on kohteen i kokonaistuotto ja r i kohteen i tuottoprosentti. Markowitz ja minimivarianssi-portfoliot. Halutaan minimoida portfolion tuottoprosentin varianssia V ar[r] = V ar[ w i r i ] = w i w j σ ij, missä σ ii = σ i. i,j=1 Kohdefunktio: 1 2 min w i w j σ ij, missä kerroin 1 2 i,j=1 vain yksinkertaistaa tehtävän ratkaisemista. Rajoitusehdot: w i = 1 ja n w i r i = r eli normeerataan painot ja kiinnitetään portfolion tuotto johonkin mielivaltaiseen arvoon.
Tehtävä ratkaistaan esim. Lagrangen kertoimien avulla. Muodostetaan ensin Lagrangen funktio L = 1 2 min w i w j σ ij λ( w i r i r) µ( w i 1). Tämän jälkeen otetaan osittaisderivaatat kaikkien i,j=1 w i :den suhteen ja asetetaan nollaksi. Ottamalla osittaisderivaatat λ:n ja µ:n suhteen ja asettamalla nolliksi saadaan rajoitusehdot. Toisin sanoen saadaan n + 2 yhtälöä, missä on n + 2 tuntematonta (w i : t, λ, µ). Ratkaisuna saadaan painot w i, joka minimoi portfolion tuoton varianssin ehdolla, että tuoton odotusarvo on r. Lagrangen kertoimista tarkemmin kurssilla optimointioppi.
1. (L6.1) Oletetaan, että voidaksesi myydä osaketta lyhyeksi joudut tallettamaan osakkeen hinnan verran rahaa vakuudeksi. Osakkeen hinta on vuoden kuluttua X 1. Realisoidessasi sijoituksesi saat voittoa X 1 sekä tallettamasi vakuuden takaisin. Jos R on osakkeen kokonaistuotto, mikä on tällöin kokonaistuotto lyhyeksi myynnistä? Ratkaisu: Ajatellaan tehtävä kaksiperiodisena. Kokonaistuotto = periodin 1 kassavirta ( 1) periodin 0 kassavirta. Periodilla 0 maksetaan vakuusmaksu sekä myydään osake hintaan. Muodostuu kassavirta + = 0. Periodilla 1 saadaan maksettu vakuusmaksu takaisin sekä ostetaan osake takaisin hintaan X 1. Muodostuu kassavirta + X 1. Tällä tavoin laskettuna alkuinvestointi on kuitenkin nolla, joten lyhyeksimyynnin kokonaistuotto ei ole määritelty. Ajatellaa vakuusmaksi alkuinvestoinniksi, joka saadaan takaisin periodilla 1. Nyt periodin 0 kassavirta on ja periodin 1 kassavirta + + ( X 1 ) = 2 X 1. Osakkeen kokonaistuotto R = X 1. Kokonaistuotto lyhyeksimyynnistä on 2 X 1 = 2 X 1 = 2 R. Toisin sanoen, jos R > 1 niin lyhyeksimyynnistä saa osakkeen ostoon verrattuna huonomman tuoton. 2. (L6.3) Taulukossa 1 on esitetty instrumentit A ja B, joiden välinen korrelaatio ρ on 0.1. a) Määritä A:sta ja B:stä koostuva minimivarianssiportfolio. b) Mikä on minimivarianssiportfolion keskihajonta? c) Mikä on minimivarianssiportfolion odotettu tuotto? Taulukko 1: Instrumentit A ja B. Instrumentti r σ A 10,0% 15% B 18,0% 30% Ratkaisu: Lähtötiedoista saadaan tuottojen odotusarvot r A = 0.10 ja r B = 0.18 sekä σ A = 0.15 ja σ B = 0.30.
Korrelaation ρ = 0.10 ja keskihajontojen välillä pätee yhteys: ρ = σ AB σ A σ B σ AB = ρσ A σ B. Muodostetaan portfolio siten, että instrumentin A suhteellinen osuus on w ja instrumentin B suhteellinen osuus 1 w. Tällöin portfolion tuottoa kuvaa satunnaismuuttuja r = wr A + (1 w)r B, jonka odotusarvoksi r ja varianssiksi σ 2 saadaan r = w r A + (1 w) r B σ 2 = w 2 σ 2 A + (1 w) 2 σ 2 B + 2w(1 w)σ AB = w 2 σ 2 A + (1 w) 2 σ 2 B + 2w(1 w)ρσ A σ B a) Tehtävänä on ratkaista min w σ2. Etsitään varianssin derivaatan nollakohta w:n suhteen. dσ 2 dw = 2w(σ2 1 + σ 2 2 2ρσ 1 σ 2 ) 2σ 2 2 + 2ρσ 1 σ 2 = 0 w = σ 2 2 ρσ 1σ 2 σ 2 1 + σ2 2 2ρσ 1σ 2 Sijoittamalla lukuarvot saadaan w = 0.826. Kuvassa 1 on esitetty varianssi-tuotto käyrä. Kuva 1: Tehtävän 2 varianssi-tuotto käyrä. b) Sijoitetaan lukuarvot: r = w r A + (1 w) r B = 11.39% c) Sijoitetaan lukuarvot: σ 2 = w 2 σa 2 + (1 w) 2 σb 2 + 2w(1 w)ρσ A σ B = 0.0194 σ = 13.92%
3. (L6.5) Kalle Virtasen ystävä Mikko suunnittelee investoivansa miljoona euroa rokkikonserttiin, joka pidetään vuoden päästä. Jos konserttipäivänä ei sada, konsertti tuottaa 3 miljoonaa euroa. Jos sataa, Mikko menettää koko investointinsa. On 50% mahdollisuus, että konserttipäivänä sataa. Kalle ehdottaa, että Mikon tulisi ottaa sadevakuutus. Sadevakuutuksen hinta määräytyy vakuutuksen korvaaman summan mukaan. Vakuutuksen ottaminen maksaa 50 senttiä jokaiselta eurolta, jonka se korvaa. Korvaus maksetaan vain, jos sataa; jos ei sada, vakuutus ei korvaa mitään. Mikon täytyy siis päättää, kuinka suurelle korvaussummalle u hän haluaa ottaa vakuutuksen (vakuutuksen hinta on siis 0.5u). Vakuutusyhtiö myöntää Mikolle korvaussummaltaan korkeintaan 3 miljoonan euron suuruisen sadevakuutuksen. a) Mikä on odotettu tuottoprosentti Mikon investoinnille, jos hän ostaa sadevakuutuksen, jonka korvaussumma on u? b) Kuinka suuri vakuutus minimoi tuoton varianssin? Mikä on minimivarianssi? Mikä on minimivarianssia vastaava odotettu tuotto? Ratkaisu: Alkuinvestointi: 1 000 000 + 0.5u Todennäköisyydellä 50% sataa, jolloin tuotto on 0 + u Todennäköisyydellä 50% ei sada, jolloin tuotto on 3 000 000 + 0 a) Kokonaistuotto R = tuotto/alkuinvestointi ja tämän odotusarvo on u R = 0.50 1 000 000 + 0.5u + 0.50 3 000 000 1 000 000 + 0.5u = 0.50u + 1 500 000 1 000 000 + 0.5u Odotettu tuottoprosentti r = R 1 = 500 000 1 000 000+0.5u b) Kun u = 3 000 000 saadaan sama tuotto huolimatta siitä sataako vai ei. Tällöin siis varianssi on 0 eli 3 000 000 pienin mahdollinen. Kokonaistuotoksi saadaan tällöin 1 000 000+1 500 000 = 1.2 eli odotettu tuottoprosentti on 20%.
4. (L6.6) Voit investoida yhteen tai useampaan n:stä kappaleesta korreloimattomia sijoituskohteita. Odotettu tuottoprosentti r on sama kaikille kohteille, mutta varianssit vaihtelevat. Sijoituskohteen i tuoton varianssi on σi 2 (i = 1, 2,..., n). a) Kuvaa tilanne r σ-kaaviolla. Määritä kaaviosta tehokas joukko. ( ) 1 b) Määritä minimivarianssiportfolio. Anna vastaus muodossa, jossa esiintyy σ 2 1 = σ 2. i a) Nyt kaikilla kohteilla on sama tuottoprosentti, joten tehokas joukko käsittää ne pisteet, joilla on pienin keskihajonta. Kuvassa 2 tämä tarkoittaa vasemmanpuoleisinta pistettä. b) Nyt kohteet ovat korreloimattomia joten minimivarianssiportfolio löydetään ratkaisemalla Kuva 2: Tehtävän 4 varianssi-tuotto käyrä. kun min w σ2 = wi 2 σi 2, w i = 1. Muodostetaan Lagrangen funktio ja sen osittaisderivaatat w i :den suhteen L = wi 2 σi 2 λ( w i 1) L = 2w i σi 2 λ = 0 w i = w i Sijoittamalla w i :t rajoitusehtoon w i = 1 saadaan λ 2σ 2 i = 1 1 σ 2 i voidaan edelleen sijoittaa painokertoimien w i yhtälöön huomioimalla, että σ 2 = w i = σ2 σ 2 i mikä on siis haluttua muotoa. λ 2σ 2 i i = 1,..., n. = 2 λ λ = 2( ( 1 σ 2 i 1 σ 2 ) 1. Tämä i ) 1 ja saadaan
5. (L6.8) Välityspalkkioiden ym. takia on usein epäkäytännöllistä käyttää kaikkia tietyn portfolion (kohdeportfolio) instrumentteja kyseisen portfolion jäljittämiseen. Vaihtoehtona on muodostaa n instrumentin portfolio (jäljittävä portfolio), joka seuraa kohdeportfoliota mahdollisimman hyvin siinä mielessä, että se minimoi portfolioiden tuottojen erotuksen varianssin. Oletetaan, että kohdeportfolion tuottoprosentti on r M, joka on satunnaismuuttuja. Oletetaan lisäksi, että instrumenttien tuottoprosentit ovat r 1, r 2,..., r n, jotka ovat niin ikään satunnaismuuttujia. Jäljittävän portfolion tuottoprosentti r = α 1 r 1 + α 2 r 2 +... α n r n, halutaan määrittää minimoimalla V ar[r r M ]. a) Muodosta yhtälöjoukko α i :den määrittämiseksi. α i = 1 Vaikka jäljittävä portfolio minimoi portfolioiden tuottojen erotuksen varianssin, niin sen odotettu tuotto voi olla paljonkin alhaisempi kuin kohdeportfolion. Niinpä looginen lähestymistapa on minimoida tuottojen erotuksen varianssi siten, että kohdeportfolion odotettu tuotto saavutetaan. Kun tuottoprosentin odotusarvoa vaihdellaan, saadaan portfolioperhe, joka on uudella tavalla tehokas - jäljittämistehokas. b) Muodosta yhtälöjoukko, joka määrittää jäljittämistehokkaat α i :t. Ratkaisu: a) r = α 1 r 1 + α 2 r 2 +... α n r n, α i = 1 Määritetään erotuksen r r M odotusarvo: r r M = α 1 r 1 + α 2 r 2 +... α n r n r M sekä varianssi E[r r M ] = α 1 r 1 + α 2 r 2 + + α n r n r M V ar[r r M ] = E[(r r M E[r r M ]) 2 ] Käytetään varianssin määritelmää V ar[ax + by] = a 2 V ar[x] + b 2 V ar[y] + 2abCov[x, y] ja saadaan V ar[r r M ] = (1) 2 V ar[r] + ( 1) 2 V ar[r M ] + 2(1)( 1)Cov[r, r M ] = α i α j Cov[r i, r j ] + V ar[r M ] 2 α i Cov[r i, r M ], missä Cov[r i, r i ] = V ar[r i ]. j=1
Tehtävänä on minimoida erotuksen varianssi eli min α V ar[r r M ] Lagrangen funktio L = α i α j Cov[r i, r j ] + V ar[r M ] 2 = j=1 αi 2 V ar[r i ] + j=1,j i α i Cov[r i, r M ] λ( α i 1) α i α j Cov[r i, r j ] + V ar[r M ] 2 Osittaisderivoidaan L painojen α i suhteen ja asetetaan derivaatat nolliksi L α i = 2α i V ar[r i ] + 2 j=1,j i α j Cov[r i, r j ] 2Cov[r i, r M ] λ = 0 α i = Cov[r i, r M ] n j=1j i α jcov[r i, r j ] 2Cov[r i, r M ] + λ 2 V ar[r i ] α i Cov[r i, r M ] λ( α i 1) Tässä siis n kpl yhtälöitä joiden lisäksi vielä painokertoimet normeeraava rajoitusehto n α i = 1. b) Nyt rajoitusehtona on lisäksi α i r i = r M, jonka yleisempi muoto on Nyt Lagrangen funktioksi saadaan L = λ( α i 1) µ( α i r i r M ) αi 2 V ar[r i ]+ j=1,j i α i r i = m, kun m on joku luku. α i α j Cov[r i, r j ]+V ar[r M ] 2 Osittaisderivoidaan α i :n suhteen ja asetetaan nollaksi L = 2α i V ar[r i ] + 2 α j Cov[r i, r j ] 2Cov[r i, r M ] λ µ r i = 0 i = 1,..., n α i j=1,j i Näiden ehtojen lisäksi tarvitaan vielä rajoitusehdot α i Cov[r i, r M ] α i = 1 ja α i r i = r M