Fourier-analyysia ryhmillä

Fourier-analyysia ryhmillä Pekka Salmi Kevät 2010

1 Topologian pikakurssi Avoimet, suljetut, kompaktit joukot Olkoon X ei-tyhjä joukko ja P(X) = { A; A X } joukon X osajoukkojen muodostama joukko. Kokoelma U P(X) on topologia X:llä jos (a), X U (b) {U α } α I U = α I U α U (c) U 1, U 2,..., U n U = U 1 U 2... U n U. Paria (X, U) kutsutaan topologiseksi avaruudeksi. Joukon U alkioita kutsutaan avaruuden (X, U) avoimiksi joukoiksi. Joukko F X on suljettu jos sen komplementti on avoin eli X \ F U. Esimerkki. (a) Olkoon X ei-tyhjä joukko ja U = P(X). Avaruutta (X, U) kutsutaan diskreetiksi avaruudeksi. Diskreetin avaruuden jokainen joukko on avoin. (b) X = R, U = {R:n avoimet joukot} (ks. Analyysi 1). (c) X = R n, U = {R n :n avoimet joukot} (ks. Analyysi 2). (d) Olkoon (X, d) metrinen avaruus (kuten R, R n ) ja U = { U X; x U ɛ > 0 : B(x, ɛ) U } missä B(x, ɛ) = { y X; d(x, y) < ɛ } (ks. Analyysi 3). Olkoon (X, U) topologinen avaruus. Joukko B U on topologian U kanta jos jokainen U U voidaan esittää muodossa U = α I U α missä U α B. Samalla topologialla on useita kantoja. Esimerkki. (a) Joukko B = { {x} } x X on diskreetin avaruuden X kanta. (b) Joukko B = { (a, b); a < b } on R:n kanta. (c) Joukko B = { B(x, ɛ); x X, ɛ > 0 } on metrisen avaruuden (X, d) kanta. Voidaan myös vaatia että ɛ > 0 on tässä rationaalinen. Topologinen avaruus (X, U) on Hausdorn avaruus jos kaikilla X:n pisteillä x y on olemassa sellaiset avoimet joukot U ja V että x U, y V ja U V =. Lähes kaikki järkevät topologiset avaruudet ovat Hausdorn avaruuksia. Topologisen avaruuden (X, U) osajoukko K X on kompakti jos K:n jokaisella avoimella peitteellä on äärellinen alipeite, toisin sanoen jos K 2

α I U α, U α U, niin on olemassa sellaiset α 1, α 2,..., α n I että K U α1 U α2... U αn. Jokainen kompaktin joukon suljettu osajoukko on myös kompakti. Hausdorn avaruuden kompaktit joukot ovat aina suljettuja. (a) Jokainen topologisen avaruuden äärellinen osajoukko on kom- Esimerkki. pakti. (b) HeineBorelin lause: Joukko K R n on kompakti jos ja vain jos K on suljettu ja rajoitettu (ks. Analyysi 1 ja 2). Olkoon (X, U) topologinen avaruus. Joukko N X on pisteen x X ympäristö jos on olemassa sellainen avoin joukko U U että x U N. Huomaa että N ei välttämättä ole avoin. Kokoelma N x P(X) on pisteen x X ympäristökanta jos jokainen N N x on pisteen x ympäristö ja kaikilla x:n ympäristöillä N on olemassa sellainen N N x että N N. Topologinen avaruus (X, U) on lokaalisti kompakti jos jokaisella pisteellä x X on olemassa ympäristökanta joka koostuu kompakteista joukoista. Esimerkki. (a) Diskreetti avaruus on lokaalisti kompakti: { {x} } on pisteen x ympäristökanta. (b) R on lokaalisti kompakti: { [a, b]; a < x < b } on pisteen x ympäristökanta. (c) Q ei ole lokaalisti kompakti. Kompaktin joukon suljetut osajoukot ovat kompakteja, joten jos Q on lokaalisti kompakti, niin löytyy sellaiset irrationaalipisteet s < t, että joukko A = { x Q; s < x < t } = [s, t] Q on kompakti. Valitaan rationaalipisteistä koostuvat jonot (s n ) ja (t n ) siten että s < s n < t n < t ja s n s ja t n t. Tällöin {(s n, t n )} n=1 on joukon A avoin peite jolla ei ole äärellistä alipeitettä. Verkot Joukko Λ on suunnattu relaation suhteen jos (a) λ λ kaikilla λ Λ (b) jos λ 1 λ 2 ja λ 2 λ 3, niin λ 1 λ 3 (c) kaikilla λ 1, λ 2 Λ on olemassa sellainen λ 3 Λ että λ 1 λ 3 ja λ 2 λ 3. 3

Verkko topologisessa avaruudessa X on kuvaus f : Λ X missä Λ on jokin suunnattu joukko. Yleensä kirjoitetaan (x λ ) λ Λ kun λ x λ on verkko. Olkoon (x λ ) λ Λ verkko avaruudessa X. Verkko (x λ ) suppenee pisteeseen x X (kirjoitetaan x λ x), jos kaikilla x:n ympäristöillä N on olemassa sellainen λ 0 Λ että x λ N kaikilla λ λ 0. Piste x on verkon (x λ ) kasautumispiste jos kaikilla x:n ymparistöillä N on olemassa sellainen λ 0 Λ että x λ0 N. Esimerkki. (a) Jonot, jonojen suppeneminen metrisissä avaruuksissa kuten R n :ssä. (b) Olkoon X topologinen avaruus. Olkoon x X ja olkoon N x jokin x:n ympäristö kanta. Osoitetaan että N x on suunnattu joukko sisältyvyysrelaation suhteen. Ensinnäkin N N kaikilla N N x ja jos N 1 N 2 ja N 2 N 3 niin N 1 N 3. Olkoot nyt N 1, N 2 N x. Tällöin N 1 N 2 on x:n ympäristö joten on olemassa sellainen N 3 N x että N 3 N 1 N 2. Toisin sanoen N 1 N 3 ja N 2 N 3. Muodostetaan verkko (x N ) N Nx valitsemalla (mielivaltaisesti) x N N kaikilla N N x. Osoitetaan että x N x. Jos N on x:n ympäristö, niin on olemassa sellainen N 0 N x että N 0 N. Tällöin kaikilla N N x joille pätee N 0 N, x N N N 0 N. Verkko (y α ) α A on verkon (x λ ) λ Λ osaverkko jos on olemassa sellainen kuvaus ϕ: A Λ että (a) ϕ(α) ϕ(β) jos α β A:ssa (b) kaikilla λ Λ on olemassa sellainen α A että λ ϕ(α) (c) y α = x ϕ(α). Yleensä kirjoitetaan (x λα ) α A osaverkon (y α ) α A sijaan. Esimerkki. Osajonot. Jos x on verkon (x λ ) kasautumispiste, niin on olemassa verkon (x λ ) osaverkko joka suppenee pisteeseen x. Joukko K X on kompakti jos ja vain jos jokaisella verkolla (x λ ) K on suppeneva osaverkko. 4

Jatkuvat funktiot Olkoon (X, U) ja (Y, V) topologisia avaruuksia. Funktio f : X Y on jatkuva pisteessä x X jos kaikilla f(x):n ympäristöillä V on olemassa sellainen x:n ympäristö U että U f 1 (V ) = { z X; f(z) V }. Funktio f on jatkuva jos se on jatkuva jokaisessa X:n pisteessä. Voidaan osoittaa että seuraavat väitteet ovat yhtäpitäviä f on jatkuva f 1 (V ) on avoin X:ssä aina kun V on avoin Y :ssä f 1 (F ) on suljettu X:ssä aina kun F on suljettu Y :ssä f(x λ ) f(x) aina kun (x λ ) on verkko X:ssä ja x λ x. Jos f : X Y on jatkuva funktio ja K X on kompakti, niin f(k) on kompakti. Jatkuvien funktioiden yhdistetty funktio on myös jatkuva. Jos f : X Y on jatkuva bijektio ja myös f 1 : Y X on jatkuva, niin sanotaan että f on homeomorsmi. Tällöin avaruudet X ja Y ovat homeomorset. Homeomorset avaruudet ovat topologisilta ominaisuuksiltaan identtiset; U X on avoin jos ja vain jos f(u) Y on avoin. Sulkeuma, tiheä joukko Olkoon X topologinen avaruus. Joukon A X sulkeuma A on pienin suljettu joukko joka sisältää A:n. Toisin sanoen A = { F X; F suljettu, A F }. Voidaan osoittaa että seuraavat väitteet ovat yhtäpitäviä x A N A kaikilla x:n ympäristöillä N on olemassa sellainen verkko (x λ ) A että x λ x. Joukko A on tiheä avaruudessa X jos A = X. Esimerkiksi Q on tiheä R:ssä. 5

Aliavaruus, tuloavaruus Olkoot (X, U) ja (Y, V) topologisia avaruuksia. Jos Z X, niin Z on topologinen avaruus aliavaruustopologian U Z = { U Z; U U } suhteen. Tulo X Y on topologinen avaruus tulotopologian, jonka kanta on { U V ; U U, V V }, suhteen. Verkko (x λ, y λ ) (x, y) avaruudessa X Y jos ja vain jos x λ x X:ssä ja y λ y Y :ssä. Koordinaattifunktiot f : X Y X, f(x, y) = x ja g : X Y Y, g(x, y) = y ovat selvästi jatkuvia. Esimerkki. (a) Z R on diskreetti: {n} (n 1/2, n + 1/2) = {n}. (b) Q R (ei ole diskreetti). (c) Avaruuden R 2 :n topologia saadaan R:n topologiasta tulotopologian avulla, koska joukot (a, b) (c, d) muodostavat R 2 :n kannan. Lisää kompakteista joukoista ja lokaalisti kompakteista avaruuksista Lause 1. Olkoon (X, U) topologinen avaruus. Jos K X on kompakti ja F X on suljettu, niin K F on kompakti. Todistus. Harjoitustehtävä. Lause 2. Olkoon X Hausdor avaruus. Jos K X on kompakti ja x X \ K, niin on olemassa sellaiset avoimet joukot U ja V, että K U, x V ja U V =. Todistus. Koska X on Hausdorn avaruus, kaikilla y K on olemassa sellaiset avoimet joukot U y ja V y että y U y, x V y ja U y V y =. Nyt K y K U y, joten K:n kompaktisuuden nojalla K U y1 U y2... U yn joillain y 1, y 2,..., y n. Joukot U = U y1 U y2... U yn ja V = V y1 V y2... V yn toteuttavat lauseen ehdot. Seuraus 3. Hausdorn avaruuden kompaktit joukot ovat suljettuja. 6

Lause 4. Olkoon X Hausdorn avaruus. Olkoon F kokoelma X:n suljettuja osajoukkoja joista yksi on kompakti. Jos K 1 K 2... K n aina kun K 1, K 2,..., K n F, niin F. Todistus. Asetetaan U = { K ; K F }. Tehdään vastaoletus: F =. Tällöin ( U = K = K) = X K F De Morganin lain ja vastaoletuksen nojalla. Täten U on avoin peite kompaktille joukolle K 0 F (oletuksen mukaan jokin F:n joukoista on kompakti), joten K 0 K 1 K 2... K n = (K 1 K 2... K n ) joillain K 1, K 2,..., K n F. Nyt K 0 K 1 K 2... K n =, mikä on ristiriidassa oletusten kanssa. Lause 5. Olkoon X Hausdorn avaruus jossa jokaisella pisteellä on kompakti ympäristö. Oletetaan että K X on kompakti, U X on avoin ja K U. Tällöin on olemassa sellainen avoin joukko V X että sen sulkeuma V on kompakti ja K V V U. Todistus. Oletuksesta seuraa Lauseen 1 avulla, että jokaisella pisteellä x K on olemassa sellainen avoin ympäristö V x että V x on kompakti. Koska K on kompakti, niin K V x1 V x2... V xn joillain x 1, x 2,... x n K. Asetetaan V = V x1 V x2... V xn, jolloin K F V V x1 V x2... V xn ja jälkimmäinen joukko on kompakti. Jos siis U = X, niin voidaan valita V = V ja lauseen ehdot toteutuvat. Jos taas U X, niin valitaan jokaisella y U sellainen avoin joukko W y että K W y ja y / W y (Lause 2). Nyt y U U W y V =. Koska joukot U W y V ovat kompakteja (sillä V on kompakti), niin Lauseen 4 nojalla löydetään sellaiset y 1, y 2,... y m että (1) U V W y1 W y2... W ym =. Asetetaan V = V W y1 W y2... W ym. 7

Selvästi V on avoin ja K V. Toisaalta, yhtälön (1) nojalla, V V W y1 W y2... W ym U, joten V on kompakti ja sisältyy joukkoon U. Seuraus 6. Jos X on Hausdorn avaruus jossa jokaisella pisteellä on kompakti ympäristö, niin X on lokaalisti kompakti. Todistus. Olkoon x X mielivaltainen, ja olkoon N kaikkien x:n kompaktien ympäristöjen joukko. Riittää siis osoittaa että N on pisteen x ympäristökanta. Olkoon N on mielivaltainen x:n ympäristö. Käyttämällä edellistä lausetta (kun K = {x} ja U on avoin joukko joka sisältää x:n ja sisältyy joukkoon N), löydetään sellainen avoin joukko V että x V V N ja V on kompakti. Nyt V N, joten N on x:n ympäristökanta. Hausdorn avaruuksien tapauksessa ei siis tarvitse osoittaa että jokaisella pisteellä on kompaktien joukkojen muodostama ympäristökanta, vaan riittää osoittaa että jokaisella pisteellä on kompakti ympäristö. 8

2 Topologiset ryhmät Topologinen ryhmä on Hausdorn avaruus G joka on myös ryhmä, jonka tulo-operaatio (x, y) xy : G G G ja käänteiskuvaus x x 1 : G G ovat jatkuvia. Lokaalisti kompakti ryhmä on topologinen ryhmä, jonka topologia on lokaalisti kompakti; lokaalisti kompakti abelin ryhmä on lokaalisti kompakti ryhmä, jonka operaatio on kommutatiivinen ( xy = yx). Esimerkki. (a) Jokainen ryhmä on (lokaalisti kompakti) topologinen ryhmä, jos se varustetaan diskreetillä topologialla. Ryhmän (Z, +) (R, +) luonnollinen aliavaruustopologia on diskreetti topologia. (b) (R, +), ja yleisemmin (R n, +), on lokaalisti kompakti Abelin ryhmä. (c) (R \ {0}, ), ja yleisemmin (C \ {0}, ), on lokaalisti kompakti Abelin ryhmä. (d) T = { z C; z = 1 } on kompakti Abelin ryhmä kertolaskun suhteen. (e) (Q, +) on topologinen ryhmä, joka ei ole lokaalisti kompakti. (f) Matriisiryhmät: Olkoon M(n, R) reaalikertoimisten, n n-matriisien muodostama joukko. Samaistamalla M(n, R) avaruuden R n2 kanssa, M(n, R) on lokaalisti kompakti avaruus. Kääntyvien matriisien muodostama joukko GL(n, R) = { A M(n, R); det A 0 } on ryhmä matriisitulon suhteen. Itse asiassa GL(n, R) on lokaalisti kompakti ryhmä, joka ei ole Abelin ryhmä (kun n 2). Kaikki GL(n, R):n suljetut aliryhmät kuten ja SL(n, R) = { A M(n, R); det A = 1 }, O(n, R) = { A M(n, R); A T A = I } SO(n, R) = O(n, R) SL(n, R) ovat myös lokaalisti kompakteja ryhmiä, samoin kuin kompleksikertoimiset matriisiryhmät GL(n, C), SL(n, C), ja SU(n, C). U(n, C) = { A M(n, R); A A = I } 9

(g) p-adiset luvut: Olkoon p kiinnitetty alkuluku. Jokaisella r Q on yksikäsitteinen esitys muodossa r = p m q missä m Z ja q Q on supistettua muotoa ja q:n osoittaja ja nimittäjä ovat jaottomia p:llä. Asettamalla tällöin r p = p m ja lisäksi 0 p = 0 saadaan niin kutsuttu p-adinen normi Q:lle. Kuten normeilla yleensäkin, d p (r 1, r 2 ) = r 1 r 2 p antaa metriikan. Täydentämällä metrinen avaruus (Q, d p ) saadaan täydellinen metrinen avaruus (Q p, d p ). (Täydentämisessä avaruuteen lisätään pisteitä jotta Cauchyn jonot saadaan suppenemaan. Esimerkiksi reaaliluvut voidaan määritellä rationaaliluvuista täydennysoperaation avulla; p-adinen täydennys on täysin vastaava operaatio.) Avaruuden Q p alkioita kutsutaan p-adisiksi luvuiksi. Kerto- ja yhteenlaskuoperaatiot voidaan jatkaa täydennykseen jolloin (Q p, +) ja (Q p \ {0}, ) ovat lokaalisti kompakteja Abelin ryhmiä (jotka eivät ole Lien ryhmiä). Olkoon G topologinen ryhmä. Merkitään e = ykkösalkio xa = { xy; y A } Ax = { yx; y A } A 1 = { x 1 ; x A } AB = { xy; x A, y B } missä x G, A, B G. Lisäksi merkitään A 2 = AA, A 3 = AAA,... (Huomaa että A 2 { x 2 ; x A }.) Sanotaan että A on symmetrinen jos A = A 1. Lause 7. Olkoon G topologinen ryhmä. (a) Jos U G on avoin, niin myös joukot xu, Ux, AU, UA ja U 1 ovat avoimia kaikilla x G ja A G. (b) Jos N on ykkösalkion e ympäristökanta ja x G, niin { xn; N N } on pisteen x ympäristökanta (vastaavasti { Nx; N N }). (c) Jos U on ykkösalkion e ympäristö, niin on olemassa sellainen e:n symmetrinen ympäristö että V 2 U. (d) Jos H on G:n avoin aliryhmä, niin H on myös suljettu. (e) Jos K 1 ja K 2 ovat G:n kompakteja osajoukkoja, niin myös K 1 K 2 on kompakti. 10

Jos G on topologinen ryhmä ja H on G:n aliryhmä, niin myös H on topologinen ryhmä aliavaruustopologian suhteen. Jos G on lokaalisti kompakti ryhmä, niin sen suljetut aliryhmät ovat myös lokaalisti kompakteja (Q R ei ole suljettu eikä lokaalisti kompakti). Lause 8. Olkoon H topologisen ryhmän G suljettu, normaali aliryhmä. Tällöin G/H on topologinen ryhmä (topologia määritellään kohta). Jos G on lokaalisti kompakti, niin myös G/H on. Tekijäryhmän topologia koostuu joukoista q(u) missä q : G G/H, x xh on tekijäkuvaus ja U käy läpi G:n avoimet joukot. Olkoot G ja H topologisia ryhmiä. Jos on olemassa kuvaus ϕ: G H joka on sekä isomorsmi että homeomorsmi, niin sanotaan että G ja H ovat topologisina ryhminä isomorset ja kirjoitetaan G = H. Esimerkki. (a) T = R/Z. Kuvaus ϕ: R/Z T, ϕ(x + Z) = e 2πix on vaadittu isomorsmi. (b) T = SO(2, R). Kuvaus ϕ: T SO(2, R), ( ) cos θ sin θ ϕ(e iθ ) = sin θ cos θ on vaadittu isomorsmi. 11

3 Funktioista Olkoon X lokaalisti kompakti topologinen avaruus. Merkitään rajoitettujen funktioiden f : X C muodostamaa joukkoa F(X):llä, ja asetetaan f = sup f(x) x X (f F(X)). Tällöin F(X) on Banach-avaruus yllä olevan normin ja pisteittäisten operaatioiden suhteen: (f + g)(x) = f(x) + g(x) f, g F(X) (cf)(x) = cf(x) x X, c C. Funktion f : X C kantaja on joukko supp f = { x X; f(x) 0 } (siis X \ supp f on suurin avoin joukko jossa f 0). Merkitään C c (X) = { f : X C; f jatkuva, supp f kompakti } ja C + c (X) = { f C c (X); f 0, f 0 }. Huomaa että C c (X) F(X) on lineaarinen aliavaruus (supp(f + g) (supp f) (supp g)). Olkoon G lokaalisti kompakti ryhmä. Määritellään kaikilla f : G C L x f(y) = f(xy) ja R x f(y) = f(yx) (x, y G). Sanotaan että funktio f F(G) on vasemmalta tasaisesti jatkuva jos x L x f : G F(G) on jatkuva kuvaus (toisin sanoen jos kaikilla x G ja kaikilla ɛ > 0 on olemassa sellainen x:n ympäristö N että L x f L y f < ɛ aina kun y N). Oikealta tasaisesti jatkuvuus määritellään vastaavasti (x R x f). Funktio on tasaisesti jatkuva jos se on sekä vasemmalta että oikealta tasaisesti jatkuva. Lause 9. Jokainen f C c (G) on tasaisesti jatkuva. 12

4 Haarin mitta Olkoon X lokaalisti kompakti topologinen avaruus. Positiivinen Borelin mitta X:llä on mitta µ: Σ [0, ] missä Σ on σ-algebra, joka sisältää X:n avoimet joukot. Avointen joukkojen virittämän σ-algebran alkioita kutsutaan Borelin joukoiksi. Olkoon µ sellainen positiivinen Borelin mitta X:llä että µ(k) < kaikilla kompakteilla joukoilla K X. Tällöin jokainen f C c (X) on integroituva koska f(x) dµ(x) f 1 supp f (x) dµ(x) = f µ(supp f) <. Täten X X I µ : f X f(x) dµ(x): C c (X) C on lineaarinen kuvaus, joka on positiivinen siinä mielessä että I µ (f) 0 aina kun f 0. Käänteinen tulos on Rieszin esityslause. Tulosta varten tarvitaan (hieman epästandardi) määritelmä: positiivinen Borelin mitta µ avaruudella X on säännöllinen jos (a) µ(k) < kaikilla kompakteilla K X (b) µ(e) = inf{ µ(u); E U, U avoin } aina kun E X on Borelin joukko (c) µ(e) = sup{ µ(k); K E, K kompakti } aina kun E X on Borelin joukko jolle µ(e) < tai E X on avoin. Kutsutaan jatkossa positiivisia säännöllisiä Borelin mittoja Radonin mitoiksi. Lause 10 (Riesz). Olkoon X lokaalisti kompakti avaruus. Jos I : C c (X) C on positiivinen lineaarikuvaus, niin on olemassa yksikäsitteinen Radonin mitta µ avaruudella X jolle pätee I(f) = f(x) dµ(x) (f C c (X)). X Olkoon G nyt lokaalisti kompakti ryhmä. Vasen Haarin mitta G:llä on ei-triviaali (eli λ(g) > 0) Radonin mitta λ jolle pätee λ(xe) = λ(e) (x G, E G Borelin joukko. (Jos G on Abelin ryhmä puhutaan vain Haarin mitasta.) 13

Lause 11. Olkoon λ Radonin mitta G:llä. Tällöin λ on vasen Haarin mitta jos ja vain jos f(yx) dλ(x) = f(x) dλ(x) kaikilla f C + c (G) ja y G. G Lause 12. Jokaisella lokaalisti kompaktilla ryhmällä G on vasen Haarin mitta λ. Lause 13. Olkoon λ vasen Haarin mitta G:llä. Tällöin λ(u) > 0 aina kun U G on ei-tyhjä avoin joukko ja f dλ > 0 aina kun f C + c (G). Lause 14. Jos λ ja µ ovat vasempia Haarin mittoja G:llä, niin on olemassa sellainen vakio c > 0 että λ(e) = cµ(e) kaikilla Borelin joukoilla E G. G (a) (R n, +):n Haarin mitta on Lebesguen mitta (ks. Analyy- Esimerkki. si 3). (b) (R \ {0}, ):n Haarin mitta on 1 x dx. (c) Diskreetin ryhmän G (erityisesti Z) Haarin mitta on lukumäärämitta: λ({x}) = 1. Erityisesti G f(x) dλ(x) = x G f(x). (d) T:n Haarin mitta on 1-ulotteinen Lebesguen mitta: T f(z) dλ(z) = 1 2π f(e iθ ) dθ. 2π 0 (e) ax + b -ryhmä koostuu kuvauksista x ax + b: R R missä a > 0 ja b R. Siis topologisena avaruutena ax + b -ryhmä on { (a, b); a > 0, b R } R 2. Ryhmäoperaatio on kuvausten yhdistäminen. Koska (c, d)(a, b)x = (c, d)(ax + b) = cax + cb + d = (ca, cb + d)x niin (c, d)(a, b) = (ca, cb + d). ax + b -ryhmä on lokaalisti kompakti ryhmä, joka ei ole kommutatiivinen. Sen vasen Haarin mitta on 1 a 2 da db. 14

5 Konvoluutio Olkoon G lokaalisti kompakti ryhmä. Tästä lähtien oletetaan, että G:n vasen Haarin mitta on kiinnitetty ja se jätetään integraaleissa merkitsemättä: esimerkiksi kirjoitetaan f(x) dx. Tarvittaessa vasenta Haarin mittaa merkitään λ:lla. Mitallisten funktioiden f, g : G C konvoluutio määritellään kaavalla f g(x) = f(y)g(y 1 x) dy (x G), G jos integraali suppenee (absoluuttisesti). Jos f g(x) on määritelty, niin f g(x) = f(xy)g(y 1 ) dy (x G), G koska vasen Haarin mitta on invariantti vasemman translaation suhteen. Olkoot f ja g nyt mitallisia, rajoitettuja, kompaktikantajaisia funktioita (supp f ja supp g kompakteja); esimerkiksi f, g C c (G). Nyt kuvaus on mitallinen ja y f(y)g(y 1 x) f(y)g(y 1 x) = 0 jos y / supp f. Täten f g(x) on määritelty kaikilla x G. Jos x / (supp f)(supp g), niin y 1 x / supp g aina kun y supp f ja täten f g(x) = 0. Siis supp(f g) (supp f)(supp g). Itseasiassa f g C c (G) (osoitetaan myöhemmin). Esimerkki. Olkoot G = R ja f = g = 1 [0,1]. Nyt f g(x) = = = 1 [0,1] (y)1 [0,1] ( y + x) dy 1 [0,1] (y)1 [x 1,x] (y) dy 1 [0,1] [x 1,x] (y) dy 0 x 0 x 0 x 1 = 2 x 1 x 2 0 x 2. 15

Konvoluutio on määritelty yleisemminkin, minkä toteamiseen käytetään Fubinin lausetta. Lause 15 (Fubini). Olkoon µ ja ν Radonin mittoja lokaalisti kompakteilla avaruuksilla X ja Y. Asetetaan kaikilla Borelin joukoilla A X ja B Y µ ν(a B) = µ(a)ν(b). Nyt µ ν voidaan jatkaa yksikäsitteisesti Radonin mitaksi avaruudelle X Y siten, että (a) jos f : X Y C on µ ν-integroituva, niin f(x, y) d(µ ν)(x, y) = f(x, y) dµ(x) dν(y) X Y Y X (2) = f(x, y) dν(y) dµ(x) (b) jos f : X Y C on mitallinen, { (x, y); f(x, y) 0 } on σ-äärellinen 1 ja joko f(x, y) dµ(x) dν(y) < tai Y X X Y X f(x, y) dν(y) dµ(x) <, niin f on µ ν-integroituva ja (2) pätee. Olkoon G lokaalisti kompakti ryhmä. Asetetaan kaikilla 1 p < L p (G) = { f : G C mitallinen ja f(x) p dx < } missä funktiot jotka eroavat vain 0-mitallisessa joukossa samaistetaan. Yhtälö ( ) 1/p f p = f(x) p dx G määrää normin, jonka suhteen L p (G) on Banach-avaruus. Käyttämällä vasemman Haarin mitan invarianttisuutta (vasemman translaation suhteen), nähdään helposti että L x f p = f p kaikilla x G. Lemma 16. Jos f L 1 (G) niin supp f on σ-kompakti (eli supp f = n=1 K n missä jokainen K n on kompakti ). 1 Joukko A on σ-äärellinen mitan µ suhteen jos A = n=1 A n missä µ(a n ) <. 16 Y G

Todistus. Olkoon V kompakti, symmetrinen e:n ympäristö. Tällöin H = n=1 V n on G:n avoin, σ-kompakti aliryhmä (H on aliryhmä sillä V n V m = V n+m ja (V n ) 1 = V n ; H on σ-kompakti sillä jokainen V n on kompakti; H on avoin sillä xv H jokaisella x H). Olkoot A = { x G; f(x) 0 } ja A n = { x G; f(x) > 1/n } kaikilla n = 1, 2,... Nyt λ(a n ) < sillä f dλ λ(an )/n. Koska λ on Radonin mitta, niin on olemassa avoin U, jolle A n U ja λ(u) <. Kirjoitetaan G = t T th missä t 1H t 2 H = kaikilla t 1 t 2. Nyt U th on avoin, joten λ(u th) > 0 aina kun U th (Lause 13). Tästä seuraa että U th vain numeroituvalla määrällä indeksejä, koska λ(u) < ja joukot U th erillisiä. 2 Täten A n t T n th, missä T n on numeroituva. Siis A n=1 t T n th =: B, missä B on σ- kompakti sillä yhdiste on numeroituva. Myös supp f = A B koska B on suljettu. Lause 17. Olkoot f, g, h L 1 (G) ja c C. Tällöin (a) f g(x) on määritelty melkein kaikilla x G ja f g L 1 (G) (b) f (g h) = (f g) h (c) f (g + h) = (f g) + (f h), (f + g) h = (f h) + (g h) (d) (cf) g = c(f g) = f (cg) (e) f g 1 f 1 g 1. Täten L 1 (G) on niin sanottu Banach-algebra. Lause 18. Olkoon f L p (G). Kuvaukset ovat jatkuvia. x L x f : G L p (G) x R x f : G L p (G) Lause 19. Olkoot f L 1 (G) ja g : G C mitallinen ja rajoitettu. Tällöin f g : G C on vasemmalta tasaisesti jatkuva. Banach-algebra L 1 (G) on ykkösellinen 3 täsmälleen silloin kun G on diskreetti (L 1 (G):n ykkösalkio on tällöin { 1, x = e δ e (x) = 0, x e 2 Olkoon α I ɛ α summa aidosti positiivisia reaalilukuja ɛ α. Asetetaan I n = { α I; ɛ α > 1/n }, jolloin I n < tai α I ɛ α =. Jos siis α I ɛ α <, niin I = n=1 I n on numeroituva. 3 Algebra A on ykkösellinen jos on olemassa sellainen alkio 1 A että a1 = a ja 1a = a. 17

missä e on G:n ykkösalkio). Banach-algebralla L 1 (G) on kuitenkin aina niin sanottu rajoitettu ykkösen approksimaatio: seuraavan lauseen verkko (ϕ U ) U U. Lause 20. Kaikilla f L 1 (G) ja ɛ > 0 on olemassa sellainen symmetrinen kompakti ykkösalkion e ympäristö U että f f ϕ U 1 < ɛ f ϕ U f 1 < ɛ missä ϕ U = 1 U λ(u). Jos U on tällaisten ympäristöjen muodostama e:n ympäristökanta ja (ϕ U ) U U on vastaava verkko L 1 (G):ssä, niin f ϕ U f ja ϕ U f f avaruudessa L 1 (G). 18

6 Duaaliryhmä Olkoon G lokaalisti kompakti Abelin ryhmä (jatkossa käytetään lyhennettä LKA-ryhmä). Karakteeri on homomorsmi γ : G T. Merkitään jatkuvien karakteerien joukkoa Ĝ:llä. Siis Ĝ = { γ : G T; γ jatkuva, γ(xy) = γ(x)γ(y) x, y G }. Joukko Ĝ muodostaa Abelin ryhmän pisteittäisen operaation suhten: (γη)(x) = γ(x)η(x) (γ, η Ĝ, x G). Ykkösalkio on vakiofunktio 1(x) = 1, ja alkion γ Ĝ käänteisalkio on γ 1 (x) = γ(x) 1 = γ(x) (γ Ĝ, x G) (missä yläviiva tarkoittaa kompleksikonjugointia). Esimerkki. (a) Kaikki R:n jatkuvat karakteerit ovat muotoa γ s (x) = e isx (x R) missä s R. Lisäksi pätee ryhmäisomora R = R. (b) Kaikki T:n jatkuvat karakteerit ovat muotoa γ n (z) = z n (z T) missä n Z. Lisäksi pätee ryhmäisomora T = Z. (c) Kaikki Z:n jatkuvat karakteerit ovat muotoa γ z (n) = z n (n Z) missä z T. Lisäksi pätee ryhmäisomora Ẑ = T. Olkoon G LKA-ryhmä. Kaikilla K G kompakti ja U C avoin, asetetaan L(K, U) = { γ Ĝ; γ(k) U }. Äärelliset leikkaukset n L(K k, U k ) k=1 muodostavat Ĝ:n topologian kannan (n.k. kompaktiavoin-topologia). Joukot N(K, ɛ) := L(K, B(1, ɛ)) = { γ Ĝ; γ(x) 1 ɛ x K } 19

muodostavat ykkösalkion 1 Ĝ ympäristökannan. Vastaavasti joukot γn(k, ɛ) = { η Ĝ; η(x) γ(x) ɛ x K } muodostavat pisteen γ Ĝ ympäristökannan. Lause 21. Ĝ on LKA-ryhmä. Esimerkki. (a) R:n kompaktiavoin-topologia on R:n Euklidinen topologia. Täten R = R topologisina ryhminä. (b) T = Z (c) Ẑ = T Lause 22. Jos G on kompakti, niin Ĝ on diskreetti. Jos G on diskreetti, niin Ĝ on kompakti. Olkoon G LKA-ryhmä. Kaikilla x G, x(γ) = γ(x) (γ Ĝ) määrittelee Ĝ:n jatkuvan karakteerin. Siis x Ĝ. Itseasiassa kaikki Ĝ:n alkiot ovat tätä muotoa: Lause 23 (Pontryagin). Kuvaus x x: G Ĝ on isomorsmi topologisten ryhmien G ja Ĝ välillä. Siis G = Ĝ. Esimerkki. (a) R = R = R (b) T = Ẑ = T (c) Ẑ = T = Z 20

7 Fourier-muunnos Olkoon G LKA-ryhmä. Funktion f L 1 (G) Fourier-muunnos on funktio f : Ĝ C, f(γ) = f(x)γ(x) dx. Esimerkki. (a) R: Kun f L 1 (R), f : R C, f(s) = G f(x)γ s (x) dx = Tämä yhtyy klassiseen Fourier-muunnokseen. Esimerkiksi, jos f = 1 [0,1], niin f(s) = 1 (b) T = R/Z: Kun f L 1 (T), f : Z C, 0 e isx dx = 1 e is. is f(n) = 1 2π f(e iϕ )e inϕ dϕ. 2π 0 (c) Z: Kun f L 1 (Z) = l 1 (Z), f : T C, f(e iϕ ) = n= f(n)e inϕ. f(x)e isx dx. Sanotaan että f : G C häviää äärettömyydestä jos kaikilla ɛ > 0 on olemassa sellainen kompakti K G että Olkoon f(x) < ɛ kaikilla x G \ K. C 0 (G) = {f : G C jatkuva ja häviää äärettömyydessä}. Voidaan osoittaa että C 0 (G) on C c (G):n sulkeuma avaruudessa (F(G), ). C 0 (G) on Banach-algebra (C*-algebra) pisteittäisen tulon suhteen: (fg)(x) = f(x)g(x) (x G, f, g C 0 (G)). 21

Lause 24. Olkoot f, g L 1 (G) ja α C. (a) f C 0 (Ĝ) ja f f 1 (b) (αf + g) = α f + ĝ (c) (f g) = fĝ (d) f = f missä f(x) = f(x 1 ) melkein kaikilla x G (e) (ηf) (γ) = f(η 1 γ) kaikilla η, γ Ĝ (f) (L x f) (γ) = γ(x) f(γ) kaikilla x G, γ Ĝ Lause 25 (Kääntei-Fourier-muunnos). Jos f L 1 (G) ja f 1 L (Ĝ), niin (3) f(x) = f(x 1 ) = f(γ)γ(x) dγ melkein kaikilla x G. Jos f on lisäksi jatkuva, niin (3) pätee kaikilla x G. bg Huomautus. (a) Kaavassa (3) käytetään Pontryaginin dualiteettilausetta: f(x 1 ) = f(γ) x 1 (γ) dγ f(γ)γ(x) dγ bg bg kun x 1 samaistetaan karakteerin x 1 Ĝ kanssa. (b) Jotta kaava (3) pätee, Ĝ:n Haarin mitta täytyy olla normalisoitu G:n Haarin mitan kanssa sopivaksi. Esimerkki. (a) R: Jos f L 1 (R), niin Jos myös f L 1 (R), niin f(s) = f(x)e isx dx. f(s) = 1 2π f(s)e ixs ds, missä vakio 1 2π on vaadittava Haarin mitan normitus. 22

(b) Z: Jos a = (a n ) n Z l 1 (Z) = L 1 (Z), niin â(e iϕ ) = a n e inϕ C(T) L 1 (T) n= ja a n = 1 2π â(e iϕ )e inϕ dϕ. 2π 0 (c) T: Jos f L 1 (T), niin f(n) = 1 2π f(e iϕ )e inϕ dϕ. 2π 0 Jos ( f(n)) n Z l 1 (Z) (eli f L 1 (Z)), niin f(z) = n= f(n)z n. Funktio f on siis esitettävissä Fourier-sarjana. Lause 26. Fourier-muunnos F : f f : L 1 (G) C 0 (G) on injektiivinen ja F ( L 1 (G) ) on tiheä C 0 (G):ssä. Esimerkki. Funktion (n N) Fourier-muunnos on f n (x) = 2 sin x sin nx πx 2 x + n + 1, n 1 x n + 1 2, n + 1 x n 1 g n (x) = x + n + 1, n 1 x n + 1 0, muulloin. Avoimen kuvauksen lause implikoi että F : L 1 (R) C 0 (R) ei ole surjektio sillä f n = g n = 2 vaikka f n 1 kun n. Esimerkki. Funktion f s (x) = e sx2 Fourier-muunnos on π f s (u) = e sx2 e iux dx = /4s s e u2. 23