Kompleksianalyysin luentomoniste; johdanto

Kompleksianalyysin luentomoniste; johdanto Tässä luentomonisteessa on esitetty kompleksianalyysin kursseilla käsiteltävät asiat yhtenä tekstinä Vaikka näitä kursseja on nimellisesti kaksi (eli ykkönen ja kakkonen), niin tämä esitys ei kyseistä jakoa tunnusta Toki kurssi jossakin vaiheessa vaihtuu nimeltään; tämä vaihe sijoittuu Cauchyn lauseiden jälkeen eli noin sivulle 150 Kurssi on laudatur-tasoinen, joten esitietoja vaaditaan Koska cum laude-kurssit ovat viime vuosina vaihtaneet nimeään tuon tuostakin, en yritäkään esittää luetteloa tarvittavista (entisistä) kursseista Sen sijaan nimeän kurssit tai kurssikokonaisuudet niiden tämänhetkisten otsikoiden mukaisesti jokainen voi niistä sitten löytää tuntemiaan tai ei-tuntemiaan asioita Jatkossa viittaan useita kertoja näillä kursseilla esitettyihin tuloksiin, joiden pitäisi siis olla tunnettuja ja tiedossa Käytän viittauksissa lyhenteitä, jotka selviävät seuraavasta luettelosta Tarvittavat kurssit ovat - Johdatus matemaattiseen analyysiin [JMA], - Sarjat ja approksimointi [SA], - Vektorifunktioiden analyysi [VFA], - Metriset avaruudet [MA] ja - Algebra [ALG] Näistä kolme ensimmäistä ovat ainakin joiltakin osin välttämättömiä Sen sijaan metristen avaruuksien ja algebran kursseihin vedotaan melko harvoin, joten ei kauheasti haittaa, vaikka näitä ei olisikaan suorittanut Mitään esitietoja kompleksiluvuista ei vaadita, sillä yhtenäisen esitys- ja merkintätavan saavuttamiseksi olen aloittanut aivan nollasta eli kompleksilukujen määritelmästä Useita lauseiden todistuksia olen sivuuttanut joko viittaamalla noihin mainittuihin kursseihin tai jättämällä todistukset harjoitustehtäviksi Osa näistä harjoitustehtävistä käydään läpi demoissa; osaa ei, mutta näiden kohdalta kannattaa ratkaista tehtävä omatoimisesti helppoja tai erittäin helppoja ne pääsääntöisesti ovat Monisteen lopussa on aakkosellinen hakemisto, joka auttaa löytämään esimerkiksi unohtuneita määritelmiä Moniste päivittyy pikku hiljaa kurssin edetessä i

Sisältö 1 Kompleksiluvut; algebralliset ja topologiset perusominaisuudet 1 2 Jonot ja sarjat 16 3 Potenssisarjat 24 4 Analyyttiset funktiot 34 5 Eksponenttifunktio, logaritmi, sini ja kosini 54 6 Tieintegraalit 69 7 Analyyttisen funktion potenssisarjaesitys 85 8 Analyyttisen funktion nollakohdat 108 9 Cauchyn lause 121 10 Suljetun tien kierrosluku 155 11 Cauchyn integraalikaava 161 12 Erikoispisteet 178 13 Rouchén ja Hurwitzin lauseet 223 14 Riemannin kuvauslause 244 ii

1 Kompleksiluvut; algebralliset ja topologiset perusominaisuudet Määritelmä 11 Kompleksilukujen joukko on taso R 2 = R R Tätä joukkoa merkitään jatkossa symbolilla C Kompleksilukujen joukossa määritellään yhteenlasku eli kuvaus + : C C C ja kertolasku eli kuvaus : C C C asettamalla kaikille z 1 = (x 1,y 1 ), z 2 = (x 2,y 2 ) C = R 2 z 1 +z 2 = (x 1 +x 2,y 1 +y 2 ) C ja z 1 z 2 = (x 1 x 2 y 1 y 2,x 1 y 2 +y 1 x 2 ) C Kompleksiluvun z = (x, y) C itseisarvo, jota merkitään jatkossa symbolilla z on vektorin (x,y) R 2 euklidinen normi, ts z = x 2 +y 2 Huomautus Kompleksilukujen yhteenlasku on tuttu R 2 :n vektoriyhteenlasku, ja sen geometria on varmaan kaikille selvä Kertolaskun geometria selviää parhaiten napakoordinaattiesitystä käyttäen Kuten tiedetään, jokaisella tason nollasta eroavalla vektorilla z = (x,y) R 2 = C on napakoordinaattiesitys z = r(cosϕ,sinϕ), missä r ja ϕ ovat reaalisia ja r > 0 Tässä esityksessä z määrää r:n yksikäsitteisesti, mutta napakulma ϕ määräytyy vain 2π:n kokonaista monikertaa vaille Itse asiassa tässä luku r on vektorin z normi eli itseisarvo eli r = z Jos valitaan napakulma ϕ niin, että 0 ϕ < 2π, niin myös ϕ on yksikäsitteinen Tässä tapauksessa merkitään ϕ = Arg(z), ja sanotaan, että ϕ on kompleksiluvun z argumentti Korostettakoon vielä sitä, että aina 0 Arg(z) < 2π Nollalle ei määritellä argumenttia, mutta kaikilla nollasta eroavilla z sellainen siis on olemassa ja se on yksikäsitteinen Napakoordinaattiesityksen geometria on tuttua, mutta esitetään vielä varmuuden vuoksi kuva, josta se on nähtävissä: z z Arg(z) Kuva 1 1

Napakoordinaattiesitystä (ja edellisiä merkintöjä) käyttäen jokainen z C \ {(0, 0)} voidaan siis esittää muodossa z = r(cosϕ,sinϕ) = z (cosarg(z),sinarg(z)) Napakoordinaattiesitys on hyödyllinen erityisesti kompleksisen tulon geometrian tulkinnassa, mikä käy ilmi seuraavasta lauseesta Lause 12 Olkoot z 1,z 2 C\{(0,0)} ja olkoot z i = z i (cosϕ i,sinϕ i ) näiden napakoordinaattiesitykset kun i = 1, 2 Tällöin z 1 z 2 = z 1 z 2 (cos(ϕ 1 +ϕ 2 ),sin(ϕ 1 +ϕ 2 )) Todistus Suoraan napakoordinaattiesitysten ja kompleksilukujen tulon määritelmän mukaan z 1 z 2 = ( z 1 cosϕ 1, z 1 sinϕ 1 ) ( z 2 cosϕ 2, z 2 sinϕ 2 ) = ( z 1 z 2 (cosϕ 1 cosϕ 2 sinϕ 1 sinϕ 2 ), z 1 z 2 (cosϕ 1 sinϕ 2 +sinϕ 1 cosϕ 2 )), mistä väite seuraakin reaalisten sinin ja kosinin yhteenlaskukaavojen avulla Kuvasta 2 näkyy lauseeseen 12 perustuva kompleksisen tulon geometrinen tulkinta: z 1 z 2 z z 1 z 2 1 ϕ 1 ϕ 2 z 2 z 1 z 2 ϕ 1 +ϕ 2 Kuva 2 Kuten tästä havaitaan, tulon itseisarvo on itseisarvojen tulo ja tulon napakulma on napakulmien summa Tämä ei kuitenkaan tarkoita, että tulon argumentti olisi välttämättä argumenttien summa, koska argumenttia rajaa ehto 0 Arg(z) < 2π, ja tässä voi käydä niin, että kahden argumentin summa ylittää tuon rajan 2π Joka tapauksessa tulkinta pätee napakulmille ja siten Arg(z 1 z 2 ) = Arg(z 1 )+Arg(z 2 )+k 2π, missä k = 0,1 2

Kertolasku tuo joukkoon C = R 2 mukanaan myös uutta algebrallista struktuuria, kuten seuraava lause sanoo Lause 13 Joukko C varustettuna yhteen- ja kertolaskulla on kunta Erityisesti (0,0) on sen nolla-alkio ja (1,0) ykkösalkio Alkion z = z (cosϕ,sinϕ) C \ {(0, 0)} käänteisalkio (kertolaskun suhteen) on z 1 = z 1 (cos( ϕ),sin( ϕ)) = z 1 (cosϕ, sinϕ) Todistus Jätetään tämä harjoitustehtäväksi Kunnan määritelmä löytyy algebran kurssilta; z:n käänteisalkio kertolaskun suhteen on se yksikäsitteisesti määrätty kompleksiluku w, joka toteuttaa ehdon z w = (1,0) Lauseesta 13 nähdään, että käänteisluvun itseisarvo on itseisarvon käänteisluku ja napakulma napakulman vastaluku Geometrisesti z 1 sijaitsee näin: z ϕ ϕ z 1 Kuva 3 Kuvassa 3 on z > 1, jolloin z 1 = z 1 < 1; jos z < 1, niin tilanne on tietysti päinvastainen Lauseen 13 antama esitys käänteisluvulle on erittäin käyttökelpoinen erityisesti helpon geometrisen tulkintansa kautta Joskus tarvitaan käänteislukua myös sellaisessa muodossa, jossa napakoordinaatteja ei käytetä Jätetään harjoitustehtäväksi laskea, että pätee z 1 x y = ( x 2 +y 2, x 2 +y 2) kaikille z = (x,y) R2 \{(0,0)} Kuten kunnissa yleensä, C:ssä voidaan nyt lauseen 13 avustuksella määritellä (ks[alg]) vähennyslasku, jakolasku ja kokonaislukupotenssit Ei mennä näihin (toivottavasti tuttuihin) määritelmiin tässä sen enempää Näitä koskevat kaikissa kunnissa pätevät yhteiset laskusäännöt voi myös tarkistaa algebran kurssilta Jatkossa jätetään mukavuussyistä usein kertolaskun merkki kirjoittamatta, eli merkitään lyhyesti z 1 z 2 = z 1 z 2 kun z 1,z 2 C Jätetään myös turhia sulkumerkkejä pois sopimalla (kuten R:ssä), että kertolasku lasketaan ennen yhteenlaskua tästä ei sekaannusta aiheutune 3

Esimerkki 14 Jos napakoordinaattimuodossa z = z (cos ϕ, sin ϕ) (0, 0), niin positiivisille kokonaisluvuille n N pätee z n = z n (cos(nϕ),sin(nϕ)) ja z n = z n (cos(nϕ),sin( nϕ)) Näistä ensimmäinen väite todistetaan induktiolla käyttäen lausetta 12 ja positiivisen kokonaislukupotenssin määritelmää Sen jälkeen jälkimmäinen väite saadaan käyttäen lausetta 13 ja kaikissa kunnissa pätevää kaavaa a n = (a 1 ) n Jätetään yksityiskohdat harjoitustehtäväksi Huomautus 15 Reaalilukujen joukko varustettuna tavanomaisilla yhteen- ja kertolaskulla on tunnetusti kunta Määritellään kuvaus j : R C asettamalla j(a) = (a,0) C kaikille a R Helposti nähdään, että kuvaus j on kuntamonomorfismi eli se on injektio ja säilyttää yhteen- ja kertolaskun Jatkossa samastetaan joukko R ja sen kuvajoukko j(r) = R {0} R R = C Koska j on monomorfismi, niin j : R j(r) on isomorfismi, joten tällainen samastus on algebrallisesti järkevää Tämän samastuksen kautta voidaan R tulkita C:n alikunnaksi, jolloin reaaliluvut tulkitaan kompleksiluvuiksi: a = j(a) = (a,0) kaikille a R Koska tulkintakuvaus j on isomorfismi kuvalleen, niin on samantekevää lasketaanko reaaliluvut a, b ensin yhteen (tai kerrotaan) reaalilukuina ja tulkitaan summa kompleksiluvuksi j(a + b) vai tulkitaanko luvut a ja b ensin kompleksiluvuiksi j(a) ja j(b) ja lasketaan sitten nämä yhteen (tai kerrotaan) kompleksilukuina Tämän tulkinnan tai upotuksen kautta voidaan myös reaali- ja toisaalta kompleksiluku laskea yhteen tai kertoa keskenään Näin jatkossa tullaan sujuvasti menettelemäänkin On ehkä syytä kiinnittää huomiota siihen, mikä on lopputulema, kun reaaliluku ja kompleksiluku lasketaan yhteen tai kerrotaan keskenään tällä tavalla: a+z = (a,0)+(x,y) = (a+x,y) ja a z = (a,0) (x,y) = (ax,ay) kaikille a R ja z = (x,y) C Lauseen 13 nojalla kunnan C nolla- ja ykkösalkiot ovat (0,0) ja (1,0) Koska j(0) = (0,0) ja j(1) = (1,0), niin upotuksen R = j(r) C voidaan sanoa, että reaaliluvut 0 ja 1 ovat kunnan C nolla- ja ykkösalkiot 4

Kompleksilukua (0, 1) C sanotaan imaginaariyksiköksi ja sitä merkitään jatkossa symbolilla i, siis i = (0,1) C = R R Jos z = (x,y) C, niin suoraan määritelmien ja huomautuksen 15 tulkinnan nojalla z = (x,0)+(0,y) = (x,0)+(0,1) (y,0) = x+iy Jätetään harjoitustehtäväksi osoittaa, että jokainen kompleksiluku z C voidaan yksikäsitteisellä tavalla esittää tällaisessa muodossa z = x+iy, missä x,y R Tämän yksikäsitteisyyden nojalla z määrää yo reaaliluvut x ja y täysin, ja on järkevää antaa niille omat nimet Sovitaan, että x on z:n reaaliosa ja merkitään sitä symbolilla Re(z) Reaaliluku y puolestaan on z:n imaginaariosa, jota merkitään symbolilla Im(z) Siten luvulla z = (x, y) on yksikäsitteiset esitykset z = Re(z)+iIm(z) C ja z = (Re(z),Im(z)) R 2 Huomautus Suora lasku osoittaa, että i 2 = 1 joten tässä mielessä voidaan sanoa, että luku i C on se kuvitteellinen tai imaginaarinen 1:n neliöjuuri, joka R:stä puuttuu Vastaavasti pätee ( i) 2 = 1, joten myös i on 1:n neliöjuuri Toisaalta C:ssä ei muita 1:n neliöjuuria olekaan, ts jos z C siten, että z 2 = 1, niin z = i tai z = i Jätetään tämän väitteen todistaminen harjoitustehtäväksi algebran tuloksistahan todistus melko suoraan saadaan Koska i i = 1, niin i ( i) = 1 ja siten i:n käänteisluku on i eli i 1 = i Olkoon z = x + iy C, missä x, y R Määritellään z:n liittoluku (tai kompleksikonjugaatti) z asettamalla z = x iy C Huomaa, että määritelmä on järkevä, koska z:n esitys reaali- ja imaginaariosansa avulla on yksikäsitteinen, jolloin myös z tulee yksikäsitteisesti määriteltyä Lisäksi on syytä huomata, että jos z R C, niin z = z ja tämä pätee myös kääntäen: jos z = z, niin z R C 5

Lause 16 Kaikille z,w C pätee Lisäksi, jos z 0, niin pätee Todistus Harjoitustehtävä a) z +w = z +w, b) zw = z w, c) z = z, d) Re(z) = 1 (z +z), 2 e) Im(z) = 1 (z z), 2i f) z = z, g) zz = z 2 ja h) zw = z w j) z 1 = z z 2 k) z 1 = z 1 Huomautus Sivulla 3 on kaksi erilaista kaavaa kompleksiluvun käänteisluvulle Lauseesta 16 j) saadaan kolmas, monessa tapauksessa näppärämpi kaava, joka kirjoitetaan tähän vielä uudestaan: ja z 1 = z z 2 kaikille z = C\{0} Koska kompleksinen itseisarvo on euklidinen normi, niin se toteuttaa kaikki normilta vaadittavat ehdot; erityisesti joukkoon C syntyy metriikka d määrittelyllä d(z,w) = z w Erityisen tärkeää on, että kolmioepäyhtälö pätee: z +w z + w kaikille z,w C Normi tai metriikka antaa joukkoon C myös topologian, jonka jälkeen voidaan puhua avoimista ja suljetuista joukoista, (polku-)yhtenäisyydestä, jonojen suppenemisesta ja jatkuvuudesta Koska metriikka ja siten topologia on tuttu euklidinen R 2 :n topologia, kaikki [VFA]:n tulokset ovat käytettävissä Kirjataan heti näkyviin pari (tunnettua) tulosta, joilla on jatkossa käyttöä Lause 17 Kompleksilukujono (z n ) suppenee kohti pistettä z C jos ja vain jos reaalilukujonoille (Re(z n )) ja (Im(z n )) pätee limre(z n ) = Re(z) ja limim(z n ) = Im(z) 6

Todistus [VFA] Jos A C ja f : A C on kuvaus, niin määritellään kuvaukset Re(f) : A R ja Im(f) : A R asettamalla Re(f)(z) = Re(f(z)) ja Im(f)(z) = Im(f(z)) kaikille z A Sanotaan, että nämä ovat f:n komponenttikuvauksia Lause 18 Olkoon z A C ja f : A C kuvaus Tällöin f on jatkuva pisteessä z jos ja vain jos komponenttikuvaukset Re(f) : A R ja Im(f) : A R ovat jatkuvia pisteessä z Todistus [VFA] Lause 19 Olkoot A,B C, z A sekä f : A B ja g : B C kuvauksia Jos f on jatkuva pisteessä z ja g jatkuva pisteessä f(z), niin g f : A C on jatkuva pisteessä z Todistus [VFA] Koska C:ssä on määritelty yhteen- ja kertolasku, voidaan määritellä myös kahden kompleksiarvoisen kuvauksen f,g : A C summakuvaus f +g : A C ja tulokuvaus f g : A C asettamalla (f +g)(z) = f(z)+g(z) C ja (f g)(z) = f(z) g(z) C kaikille z A Koska kompleksinen yhteenlasku on sama kuin euklidinen yhteenlasku, niin saadaan heti Lause 110 Olkoon z A C ja olkoot f,g : A C kuvauksia Jos f ja g ovat jatkuvia pisteessä z niin myös summakuvaus f +g on jatkuva pisteessä z Todistus [VFA] Huomautus [VFA]:ssa todetaan myös, että jatkuville funktioille f, g : C C tulo f g on jatkuva Nyt täytyy kuitenkin huomata, että [VFA]:n tulo f g on piste- eli sisätulo, ja kompleksinen tulo (jota tässä monisteessa käytetään) on täysin eri asia Vastaava tulos pätee kuitenkin myös tälle kompleksiselle tulolle, mutta se vaatii eri todistuksen: Lause 111 Olkoon z A C ja olkoot f,g : A C kuvauksia Jos f ja g ovat jatkuvia pisteessä z niin myös tulokuvaus f g : A C on jatkuva pisteessä z Todistus Lauseen 18 nojalla riittää osoittaa, että tulokuvauksen komponenttikuvaukset ovat jatkuvia Todistetaan tämä komponentille Re(f g), komponentille Im(f g) todistus on analoginen Koska tulon määritelmän mukaan Re(f g) = Re(f)Re(g) Im(f)Im(g) ja [VFA]:n mukaan kahden jatkuvan reaalifunktion erotus on jatkuva, niin riittää 7

osoittaa, että kuvaukset Re(f) Re(g) ja Im(f) Im(g) ovat jatkuvia Projektiokuvaus p(w) = Re(w) on [VFA]:n mukaan jatkuva ja koska Re(f) = p f, niin Re(f) on jatkuva lauseen 19 (tai [VFA]:n) nojalla Samoin Re(g) on jatkuva, joten reaalinen tulo Re(f) Re(g) on jatkuva [VFA]:n nojalla Vastaavasti nähdään, että Im(f) Im(g) on jatkuva Huomautus Lauseiden 111 ja 110 nojalla nähdään helposti, että kaikki polynomikuvaukset z n k=0 a kz k, missä a 0,,a n C ovat vakioita, on jatkuva Jätetään yksityiskohdat harjoitustehtäväksi Summa- ja tulokuvauksen ohella voidaan ilmeisellä tavalla määritellä myös kuvausten erotus ja osamäärä Osamäärän f/g kohdalta tämä vaatii kuitenkin sen, että nimittäjä g ei pääse nollaksi Lause 112 Olkoon z A C ja olkoot f,g : A C kuvauksia siten, että g(w) 0 kaikille w A Jos f ja g ovat jatkuvia pisteessä z niin myös osamääräkuvaus f/g : A C on jatkuva pisteessä z Todistus Lauseen 111 nojalla riittää osoittaa, että 1/g on jatkuva pisteessä z Koska lauseen 16 j)-kohdan mukaan 1 g(w) = 1 g(w) 2g(w), niin lauseen 111 nojalla riittää osoittaa, että kuvaukset w 1 g(w) 2 ja w g(w) ovat jatkuvia pisteessä z Normikuvaus on aina jatkuva ([MA],[VFA]), jolloin kuvauksen w 1 g(w) 2 jatkuvuus seuraa lauseista 19 ja 18 sekä tätä lausetta 112 vastaavasta reaalisesta tuloksesta, ks [JMA] Kuvauksen w g(w) jatkuvuus seuraa myös lauseesta 19, sillä kompleksikonjugointi on selvästi jatkuva kuvaus lauseen 18 nojalla Jos A C ja (f i ) on jono kuvauksia f i : A C, niin ilmeisellä tavalla voidaan kaikille n N määritellä summafunktio n i=0 f i : A C Huomaa kuitenkin, että tässä puhutaan (vain) äärellisistä summista Lause 113 Jos A C ja (f i ) on jono jatkuvia kuvauksia f i : A C, niin kaikille n N summafunktio n i=0 f i : A C on jatkuva Todistus Tämä seuraa helpolla induktiolla lauseesta 110 Koska [VFA]:ssa käsitellään yhtenäisyyttä melko niukasti, niin esitetään tässä (alusta alkaen) yhtenäisyyteen liittyvät tällä kurssilla tarvittavat perustulokset Määritelmä 114 Sanotaan, että joukko A C on epäyhtenäinen, jos on olemassa avoimet, pistevieraat joukot X, Y C siten, että X A, Y A ja A X Y 8

Sanotaan edelleen, että A on yhtenäinen, jos se ei ole epäyhtenäinen Esimerkki Tyhjä joukko on triviaalisti yhtenäinen Samoin yhtenäisiä ovat kaikki yksiöt Kahden pisteen joukko {x,y}, missä x y, on epäyhtenäinen Jätetään nämä väitteet harjoitustehtäviksi Jokainen kiekko on yhtenäinen, mutta tätä on melko vaikea suoraan määritelmästä todistaa Todistus saadaan polkuyhtenäisyyden kautta esimerkissä 123 Muistetaan tässä myös [VFA]:n määritelmä polkuyhtenäisyydelle Ensinnäkin joukon A C polku on jatkuva kuvaus reaaliakselin suljetulta ja rajoitetulta väliltä [a,b] joukkoon A Polun jälki on sen kuvajoukko polku on siis kuvaus ja sen jälki on C:n osajoukko Sanotaan, että joukko A C on polkuyhtenäinen, jos kaikille z,w A on olemassa polku : [a,b] A siten, että (a) = z ja (b) = w Myöhemmin osoitetaan, että polkuyhtenäinen joukko on myös yhtenäinen Käänteinen suunta sen sijaan ei päde: on olemassa yhtenäisiä joukkoja, jotka eivät ole polkuyhtenäisiä Lemma 115 Olkoon I epätyhjä indeksijoukko ja {A j } j I perhe C:n yhtenäisiä osajoukkoja siten, että A j Tällöin joukko on yhtenäinen j I A j C j I Todistus Tehdään antiteesi: j I A j on epäyhtenäinen Tällöin määritelmän 114 mukaan on olemassa avoimet, pistevieraat joukot X, Y C siten, että X ( j I A j ), Y ( j I A j ) ja j IA j X Y (1) Oletuksen j I A j nojalla voidaan valita z j I A j Tällöin ehtoa (1) käyttäen z A j j X Y, (2) j I j IA joten joko z X tai z Y Merkintöjä tarvittaessa vaihtamalla voidaan olettaa, että z X (3) Osoitetaan, että A j X (4) j I 9

Väitettä (4) varten olkoon k I mielivaltainen ja w A k myös mielivaltainen, jolloin riittää osoittaa, että w X (5) Tätä varten tehdään toinen antiteesi 2: w X Koska ehdon (1) nojalla w A k j IA j X Y, niin antiteesi 2:n nojalla w Y Silloin w Y A k, joten Y A k (6) Toisaalta ehtojen (2) ja (3) nojalla z X ( j I A j) X A k, joten myös X A k (7) Lisäksi ehdon (1) nojalla A k j IA j X Y (8) Koska X ja Y ovat avoimia, pistevieraita joukkoja, niin ehdot (6), (7) ja (8) merkitsevät sitä, että A k on epäyhtenäinen Tämä on vastoin oletusta, joten antiteesi 2 on nurin ja väite (5) sekä erityisesti väite (4) on todistettu Koska X ja Y ovat pistevieraita, niin ehto (4) merkitsee sitä, että Y ( j IA j ) = Tämä on vastoin ehtoa (1) Syntynyt ristiriita osoittaa alkuperäisen antiteesin vääräksi, joten väite on todistettu Huomautus Lemmassa 115 oletettiin, että indeksijoukko I on epätyhjä Tätä oletusta käytetään todistuksen ehdon (2) kohdassa j I A j j I A j, joka ei päde, jos I = Jätetään mietittäväksi mitä tässä itse asiassa tapahtuu tyhjälle I eli minkälainen tarkkaan ottaen on joukko j A j Hankalampi kysymys on sitten se, että minkälainen on joukko j A j Ensimmäiseksi varmaan tulee mieleen, että j A j =, mutta se on väärä vastaus Joukko-opin kurssilla tähän tulee selvyyttä Määritelmä 116 Olkoon A G C Sanotaan, että A on G:n yhtenäisyyskomponentti, jos A on maksimaalinen yhtenäinen G:n osajoukko, ts A on yhtenäinen ja jos B on yhtenäinen siten, että A B G, niin B = A 10

Lemma 117 Joukko G C on yhtenäinen jos ja vain jos G:llä on täsmälleen yksi yhtenäisyyskomponentti Lisäksi tässä tilanteessa kyseinen (ainoa) yhtenäisyyskomponentti on G Todistus Olkoon ensin G yhtenäinen Tällöin G on selvästi G:n yhtenäisyyskomponentti, joten riittää osoittaa, että muita ei ole Jos A G on G:n yhtenäisyyskomponentti, niin suoraan määritelmän 116 ja G:n yhtenäisyyden nojalla A = G Olkoon sitten A G:n ainoa yhtenäisyyskomponentti Tällöin A on yhtenäinen, joten riittää osoittaa, että A = G Tehdään antiteesi: A G Koska A G, niin tällöin on olemassa z G\A Määritellään G:n osajoukkoperhe B sopimalla, että B = {B G B on yhtenäinen ja z B} Heti huomataan, että B, koska {z} B Merkitään C = B, B B jolloin z C ja ilmeisesti myös z B BB Silloin lemman 115 nojalla C on yhtenäinen C on myös G:n yhtenäisyyskomponentti Tämä seuraa siitä, että jos D on yhtenäinen ja C D G, niin z D ja siten D B, jolloin D B B B = C, ja tästä edelleen D = C Siten määritelmän 116 ehdot ovat voimassa C:lle, joten todellakin C on G:n yhtenäisyyskomponentti Koska A on oletuksen mukaan ainut tällainen, on oltava A = C Koska z C, niin z A, mikä on vastoin z:n valintaa Tämä ristiriita osoittaa antiteesin vääräksi ja väitteen oikeaksi Lemma 118 Olkoon z G C Tällöin on olemassa yksikäsitteinen G:n yhtenäisyyskomponentti C siten, että z C Todistus Määritellään kuten lemman 117 todistuksessa G:n osajoukkoperhe B sopimalla, että B = {B G B on yhtenäinen ja z B}, ja merkitään edelleen C = B BB Täsmälleen samoin kuin 117:n todistuksessa nähdään, että z C ja että C on G:n yhtenäisyyskomponentti Pitää vielä osoittaa C:n yksikäsitteisyys Olkoon siis A toinen G:n yhtenäisyyskomponentti siten, että z A Tällöin A on yhtenäinen, joten A B Siten A B BB = C G Koska myös C on yhtenäinen ja A on yhtenäisyyskomponentti, niin määritelmän 116 mukaan on oltava A = C Huomautus Lemman 118 yksikäsitteisyyspuoli merkitsee sitä, että eri yhtenäisyyskomponentit eivät leikkaa toisiaan: joko ne ovat täysin samoja tai sitten pistevieraita 11

Lause 119 Olkoon G C polkuyhtenäinen Tällöin G on myös yhtenäinen Todistus Tehdään antiteesi: G on epäyhtenäinen Tällöin määritelmän 114 mukaan on olemassa avoimet, pistevieraat X, Y C siten, että X G, Y G ja G X Y (1) Ehtojen (1) nojalla voidaan valita x X G ja y Y G Koska G on polkuyhtenäinen, on olemassa väli [a,b] R ja polku : [a,b] G siten, että (a) = x ja (b) = y Merkitään A = 1 (X) [a,b] ja B = 1 (Y) [a,b], jolloin (muun muassa) ehtojen (1) nojalla a A, b B, A B = ja A B = [a,b] (2) Reaalilukujen täydellisyyden (ks [JMA]) nojalla voidaan määritellä c = supa [a,b] Ehtojen (2) nojalla nojalla on vain kaksi (toisensa poissulkevaa) mahdollisuutta: joko c A tai (3) c B (4) Tarkastellaan ensin tapausta (4) Tässä vaihtoehdossa B:n määritelmän nojalla (c) Y, jolloin ehdon a A nojalla on oltava c > a Koska on jatkuva ja Y on avoin, on olemassa 0 < δ < c a siten, että Ehto (5) merkitsee B:n määritelmän mukaan sitä, että (]c δ,c]) Y (5) ]c δ,c] B Tämä on mahdotonta supremumin ominaisuuksien perusteella, koska määritelmänsä mukaan c = supa ja ehdon (2) nojalla A B = Siten vaihtoehto (4) johtaa ristiriitaan, joten riittää tarkastella tapausta (3) Tässä tapauksessa (c) X ja c < b Koska on jatkuva ja X on avoin, on olemassa 0 < δ < b c siten, että Ehto (6) merkitsee A:n määritelmän mukaan sitä, että mikä on mahdotonta, koska c = supa ([c,c+δ[) X (6) c+δ/2 A, Näin on nähty, että molemmissa mahdollisissa tapauksissa joudutaan ristiriitaan, joten antiteesi on väärä ja väite siten todistettu 12

Määritelmä 120 Olkoot a,b C Pisteitä a ja b yhdistävä jana on kuvaus J(a,b) : [0,1] C, J(a,b)(t) = a+t(b a) Jos a 0,a 1,,a n C, niin merkitään [a 0,a 1,,a n ] = n J(a i 1,a i )([0,1]) C i=1 ja sanotaan, että joukko [a 0,a 1,,a n ] on pisteitä a 0 ja a n yhdistävä murtoviiva Huomautus Murtoviiva on siis joukko, toisin kuin jana, joka on kuvaus Sen sijaan janan kuvajoukkoj(a,b)([0,1]) on murtoviiva[a,b] On selvää, että jana on myös polku: sen komponenttikuvaukset ovat ensimmäisen asteen polynomeina jatkuvia On myös selvää, että joukko J(a, b)([0, 1]) ei riipu janan suunnasta (vaikka itse kuvaus riippuukin) eli pätee J(a, b)([0, 1]) = J(b, a)([0, 1]) Tämä johtaa siihen, että murtoviivat [a 0,a 1,,a n ] ja [a n,a n 1,,a 0 ] ovat samoja joukkoja Määritelmä 121 Sanotaan, että joukko A C on murtoviivayhtenäinen, jos kaikille a,b A on olemassa pisteitä a ja b joukossa A yhdistävä murtoviiva [a,a 1,,a n 1,b] A Lause 122 Murtoviivayhtenäinen joukko on polkuyhtenäinen Todistus Harjoitustehtävä Varmaan induktiotodistus on tässä sopivin Huomaa, että kaikki polkuyhtenäiset joukot eivät suinkaan ole murtoviivayhtenäisiä Esimerkki 123 Kaikki kiekot ja koko taso C ovat murtoviivayhtenäisiä: kahta tällaisen joukon pistettä a, b yhdistävän janakuvauksen J(a, b) kuvajoukko on määritelmässä 121 tarvittava murtoviiva (kiekkojen osalta ks [VFA]:n konveksisuustulokset) Tällöin lauseen 122 nojalla kaikki kiekot ja C ovat polkuyhtenäisiä ja edelleen lauseen 119 nojalla yhtenäisiä Lemma 124 Olkoon G C avoin Tällöin jokainen G:n yhtenäisyyskomponentti on avoin Todistus Olkoon C jokin G:n yhtenäisyyskomponentti ja z C G Pitää nähdä, että on olemassa r > 0 siten, että B(z,r) C Lemmojen 117 ja 118 todistuksissa nähtiin, että C on muotoa C = B BB, missä B = {B G B on yhtenäinen ja z B} Koska G on avoin, on olemassa r > 0 siten, että B(z,r) G Kiekko B(z,r) on esimerkin 123 mukaan yhtenäinen Koska z B(z,r), niin perheen B määritelmän mukaan B(z,r) B Tällöin B(z,r) B BB = C, ja väite seuraa 13

Huomautus Käänteinen tulos lauseelle 119 ei päde, esimerkkinä joukko {(x,y) R 2 x > 0 ja y = sin 1 x } {(x,y) R2 x = 0 ja 1 y 1}, joka on yhtenäinen, mutta ei ole polkuyhtenäinen Jätetään näiden seikkojen tarkka todistus harjoitustehtäväksi Lause 119 kääntyy kuitenkin avoimelle joukolle itse asiassa seuraavassa todistetaan vähän enemmänkin: Lause 125 Olkoon A C avoin ja yhtenäinen Tällöin A on myös murtoviivayhtenäinen Todistus Voidaan olettaa, että A Silloin voidaan kiinnittää (jokin) piste a A ja määritellä joukko B A asettamalla B = {z A on olemassa murtoviiva [a 0,,a n ] A siten, että a 0 = a ja a n = z} Riittää osoittaa, että B = A (1) Tämä johtuu siitä, että jos z,w A ja väite (1) pätee, niin myös z,w B, joten on olemassa murtoviivat [a 0,,a n ] A siten, että a 0 = a ja a n = z sekä [b 0,,b m ] A siten, että b 0 = a ja b m = w Tällöin määritelmän 120 jälkeisen huomautuksen nojalla [a n,a n 1,,a 1,a,b 1,,b m ] A on pisteitä z ja w joukossa A yhdistävä murtoviiva, ja väite seuraa Riittää siis todellakin todistaa väite (1) Huomataan ensin, että B, koska ainakin a B, sillä [a,a] on pisteitä a ja a joukossa A yhdistävä murtoviiva Seuraavaksi todistetaan, että B on avoin (2) Olkoon tätä varten z B A mielivaltainen Koska A on oletuksen mukaan avoin, niin on olemassa r > 0 siten, että Väite (2) seuraa, jos osoitetaan, että B(x,r) A (3) B(z,r) B (4) Olkoon tätä varten w B(z,r) mielivaltainen Tällöin triviaalisti [z,w] B(z,r) ja siten ehdon (3) nojalla [z,w] A (5) 14

Koska z B, niin joukon B määritelmän mukaan on olemassa murtoviiva Ehtojen (5) ja (6) nojalla [a,a 1,,a n 1,z] A (6) [a,a 1,,a n 1,z,w] A, joten [a,a 1,,a n 1,z,w] on pisteitä a ja w joukossa A yhdistävä murtoviiva Silloin B:n määritelmän mukaan w B Väite (4) seuraa tästä, joten myös väite (2) on todistettu Sitten osoitetaan, että myös A\B on avoin (7) Olkoon tätä varten z A\B A mielivaltainen Koska A on oletuksen mukaan avoin, niin on olemassa r > 0 siten, että ehto (3) pätee Väite (7) seuraa, jos osoitetaan, että B(z,r) A\B (8) Tehdään antiteesi: väite (8) ei päde Tällöin ehdon (3) nojalla on olemassa Koska ehdon (9) nojalla b B(z,r), niin triviaalisti b B(z,r) B (9) [b,z] B(z,r) (10) Toisaalta ehdon (9) nojalla myös b B, joten joukon B määritelmän mukaan on olemassa murtoviiva [a,a 1,,a n 1,b] A (11) Ehtojen (11), (10) ja (3) nojalla murtoviivalle [a,a 1,,a n 1,b,z] pätee [a,a 1,,a n 1,b,z] A, jotentämäonpisteitäajaz joukossaayhdistävämurtoviiva,jasilloinjoukonb määritelmän mukaan z B Tämä on kuitenkin vastoin pisteen z A\B valintaa Syntynyt ristiriita osoittaa tehdyn antiteesin vääräksi, joten väite (8) pätee Näin on nähty, että joukot B ja A \ B ovat avoimia Ne ovat triviaalisti pistevieraita, ja koska B A, niin A = B (A\B) ja lisäksi B A Joukon A oletetun yhtenäisyyden nojalla tämä on mahdollista vain, mikäli (A\B) A = eli A\B = (12) Koska B A, niin väite (1) seuraa ehdosta (12) 15

2 Jonot ja sarjat Kompleksisilla jonoilla ja sarjoilla on paljon yhteistä reaalisten jonojen ja sarjojen kanssa Koska kuitenkin tilanne on tasossa vähän monimutkaisempi, tehdään määritelmät ja todistukset huolellisesti nimenomaan kompleksisessa tapauksessa Kuten havaitaan, monet asiat ovat lähes identtisiä reaalisten vastaavien kanssa Toisaalta on huomattava, että [VFA]:ssa ei käsitellä (esimerkiksi) vektoriarvoisia Cauchy-jonoja lainkaan Lause 21 Kompleksilukujono (z n ) suppenee jos ja vain jos reaaliset jonot (Re(z n )) ja (Im(z n )) suppenevat Lisäksi limz n = a jos ja vain jos limre(z n ) = Re(a) ja limim(z n ) = Im(a) Todistus Harjoitustehtävä, ks [VFA] Lause 22 Jos kompleksilukujonoille (z n ) ja (w n ) pätee limz n = a ja limw n = b, niin lim(z n +w n ) = a+b ja lim(z n w n ) = ab Todistus Harjoitustehtävä Tässä kannattaa käyttää lausetta 21 ja lausetta 22 vastaavaa reaalista tulosta, ks [JMA] Lause 23 Olkoon G C, z G ja f,g : G C kuvauksia, joilla on (kompleksinen) raja-arvo pisteessä z Tällöin pätee lim(f(z)+g(z)) = lim f(z)+lim g(z) ja lim(f(z) g(z)) = lim f(z) lim g(z) w z w z w z w z w z w z Todistus Harjoitustehtävä Tässä kannattaa käyttää lausetta 22 ja vastaavia [VFA]:n tuloksia vrt lauseiden 110 ja 111 todistuksiin Määritelmä 24 Sanotaan, että kompleksilukujono (z n ) on Cauchy-jono, jos kaikille ǫ > 0 on olemassa n ǫ N siten, että z n z m < ǫ kaikille n,m n ǫ Lause 25 Kompleksilukujono (z n ) on Cauchy-jono, jos ja vain jos jonot (Re(z n )) ja (Im(z n )) ovat reaalisia Cauchy-jonoja Todistus Toiseen suuntaan väite seuraa siitä, että suoraan määritelmän nojalla Re(z n ) Re(z m ) z n z m ja Im(z n ) Im(z m ) z n z m ; toiseen suuntaan taas siitä, että kolmioepäyhtälön nojalla z n z m Re(z n ) Re(z m ) + Im(z n ) Im(z m ) Jätetään yksityiskohdat harjoitustehtäväksi Lause 26 Suppeneva kompleksilukujono on Cauchy-jono Todistusidea Lausetta 17 käyttäen tämä voidaan palauttaa reaaliseen tilanteeseen Sitten voidaan käyttää vastaavaa reaalista tulosta, ks [JMA] Tämän jälkeen palaudutaan kompleksiseen tilanteeseen lausetta 25 käyttäen Jätetään tässäkin yksityiskohdat harjoitustehtäväksi 16

Lause 27 C on täydellinen eli jokainen kompleksinen Cauchy-jono suppenee Todistusidea Tämä menee samaan tapaan kuin lauseen 26 todistus nyt vain käytetään (samoja) lauseita eri järjestyksessä ja eri suuntaan Jätetään taas detaljit lukijan harteille Seuraavaksi siirrytään puhumaan kompleksista sarjoista Annetaan ensin alkeismääritelmä (joka on täysin samannäköinen reaalisen vastaavan kanssa) Määritelmä 28 Olkoon (a n ) n N kompleksilukujono Sanotaan, että sarja i=0 a i suppenee, jos on olemassa z C siten, että lim n i=0 n a i = z Tällöin sanotaan, että z on kyseisen sarjan summa ja merkitään z = i=0 a i Luvut n S n = a i, n N i=0 ovat sarjan osasummia Sanotaan edelleen, että sarja i=0 a i hajaantuu, jos se ei suppene ja että se suppenee itseisesti, jos sarja i=0 a i suppenee Huomautus 29 Lauseiden 26 ja 27 nojalla sarja i=0 a i suppenee jos ja vain jos sen osasummien muodostama jono (S n ) on Cauchy-jono Lause 210 Olkoon i=0 a i suppeneva kompleksilukusarja Tällöin pätee lim a n = 0 n Todistus Harjoitustehtävä Tämän voi joko palauttaa reaaliseen tilanteeseen (jossa väite tunnetusti pätee, ks [SA]) tai soveltaa huomautusta 29 Huomautus 211 Kompleksinen kolmioepäyhtälö yleistyy helposti myös äärellisille summille Jos n N ja a i C kaikille i = 0,,n, niin pätee n a i i=0 n a i Jätetään tämänkin tarkka todistus harjoitustehtäväksi Induktiollahan se tietysti menee Lause 212 Itseisesti suppeneva kompleksilukusarja suppenee Todistus Olkoon (a n ) n N kompleksilukujono siten, että sarja i=0 a i suppenee Pitää osoittaa, että myös sarja i=0 a i suppenee i=0 17

Merkitään kaikille n N S n = n i=0 a i C Huomautuksen 29 nojalla riittää osoittaa, että (S n ) on Cauchy-jono Olkoon ǫ > 0 mielivaltainen Riittää osoittaa, että on olemassa q N siten, että S n S m < ǫ kun n > m q (1) Koska reaalinen sarja i=0 a i oletuksen mukaan suppenee, niin on olemassa w R siten, että w = i=0 a i Tällöin on olemassa q N siten, että n w a i < ǫ kun n q (2) 2 i=0 Riittää osoittaa, että ehdon (2) luku q on kelvollinen myös ehdossa (1) Olkoon siis n > m q Tällöin saadaan n m S n S m = a i a i = i=0 i=0 i=0 i=0 i=0 n i=m+1 a i i) n i=m+1 ( n m n ) ( ) m a i a i = a i w + w a i n w m a i + w a i i=0 i=0 iii) < ǫ 2 + ǫ 2 = ǫ, i=0 a i = joten ehto (1) toimii, ja väite on todistettu Tässä epäyhtälö i) saadaan huomautuksesta 210, epäyhtälö ii) reaalisesta kolmioepäyhtälöstä ja epäyhtälö iii) ehdosta (2) Huomautus Suppenevan kompleksilukusarjan ei tarvitse supeta itseisesti; tästähän on reaalisiakin esimerkkejä, vaikkapa vuorotteleva harmoninen sarja Tasaisen suppenemisen käsite on tällä kurssilla keskeinen Sehän on (tai ainakin pitäisi olla) tuttu reaalisesta tilanteesta, mutta asian tärkeyden vuoksi kirjataan täsmällinen kompleksinen määritelmä (jossa ei paljon eroa reaaliseen määritelmään ole) Määritelmä esitetään yleensä funktiojonoille, mutta tällä kurssilla aluksi sovellukset ovat poikkeuksetta funktiosarjoissa, joten muotoillaan määritelmäkin suoraan niille Määritelmä 213 Olkoon A C ja (f n ) n N jono kuvauksia f n : A C Jos kaikille z A kompleksilukusarja i=0 f i(z) suppenee, niin sanotaan, että sarja i=0 f i suppenee pisteittäin joukossa A Koska raja-arvo i=0 f i(z) on yksikäsitteinen jokaiselle z A, niin pisteittäin suppenevan sarjan summafunktio g(z) := f i (z) kaikille z A i=0 18 ii)

on hyvin määritelty kuvaus g : A C Jos kaikille z A reaalilukusarja i=0 f i(z) suppenee, niin sanotaan, että sarja i=0 f i suppenee itseisesti joukossa A Sanotaan, että sarja i=0 f i suppenee tasaisesti joukossa A kohti (jotain) funktiota g : A C, jos kaikille ǫ > 0 on olemassa N N siten, että kun n N niin kaikille z A pätee n f i (z) g(z) < ǫ i=0 Huomautus On selvää, että sarjan i=0 f i tasainen suppeneminen joukossa A kohti jotain funktiota g implikoi pisteittäisen suppenemisen, ts sen, että jokaiselle z A sarja i=0 f i suppenee ja tämän sarjan summa on g Käänteinen implikaatio ei sen sijaan päde, sarja voi supeta pisteittäin, mutta ei tasaisesti tästähän löytyy reaalisiakin esimerkkejä Itseisesti suppeneva funktiosarja suppenee myös pisteittäin lauseen 212 mukaan mutta ei kääntäen Itseisesti suppeneva funktiosarja ei välttämättä suppene tasaisesti eikä tasaisesti suppeneva funktiosarja suppene välttämättä itseisesti Jätetään harjoitustehtäväksi miettiä esimerkit näihin kahteen viimeiseen havaintoon Seuraavat kaksi lausetta ovat yleistyksiä vastaavista reaalisista tuloksista Todistukset ovat hyvin samankaltaisia kuin [SA]:ssa erona on tietysti se, että näissä käytetään kompleksista itseisarvoa reaalisen sijasta Lause 214 Olkoon A C ja (f n ) n N jono jatkuvia kuvauksia f n : A C sekä g : A C kuvaus siten, että sarja i=0 f i suppenee tasaisesti joukossa A kohti funktiota g Tällöin myös g on jatkuva Todistus Olkoot z 0 A ja ǫ > 0 mielivaltaisia Tasaisen suppenemisen nojalla on olemassa n N siten, että n f i (z) g(z) < ǫ kaikille z A (1) 3 i=0 Lauseen 113 ja kuvausten f i jatkuvuuden perusteella myös kuvaus n i=0 f i : A C on jatkuva pisteessä z 0 Siten on olemassa r > 0 siten, että n n f i (z) f i (z 0 ) < ǫ kaikille z B(z 0,r) A (2) 3 i=0 i=0 Tällöin kaikille z B(z 0,r) A pätee g(z) g(z 0 ) i) n n g(z) f i (z) + f i (z) i=0 ǫ 3 + ǫ 3 + ǫ 3 = ǫ, i=0 n n f i (z 0 ) + i=0 i=0 f i (z 0 ) g(z 0 ) ii) < 19

joten g : A C on jatkuva pisteessä z 0 Tässä epäyhtälö i) seuraa kolmioepäyhtälöstä sekä epäyhtälö ii) ehdoista (1) ja (2) Huomautus Jos jatkuvien funktioiden muodostama sarja suppenee (vain) pisteittäin, niin summafunktion ei tarvitse olla jatkuva Esimerkki? Lause 215 (Weierstrassin M-testi) Olkoon A C ja (f n ) n N jono kuvauksia f n : A C Oletetaan, että kaikille n N on olemassa M n R siten, että f n (z) M n kaikille z A ja että reaalilukusarja i=0 suppenee Tällöin sarja i=0 f i suppenee itseisesti ja tasaisesti joukossa A Todistus Itseinen suppeneminen seuraa suoraan reaalisesta majoranttiperiaatteesta, ks [SA] Tasaista suppenemista varten merkitään kaikille n N ja z A S n (z) = M i n f i (z) i=0 Osoitetaan, että kiinteälle z A jono (S n (z)) n N on Cauchy-jono Tätä varten olkoon ǫ > 0 mielivaltainen Koska sarja i=0 M i suppenee, sen osasummien jono ( n i=0 M i) n N on lauseen 25 mukaan Cauchy-jono, joten on olemassa N N siten, että kaikille k,n N, k > n N, pätee k i=n+1 M i = k M i i=0 n M i < ǫ 2 (1) i=0 Tällöin näille k,n ja kaikille z A pätee myös S k (z) S n (z) = k i=n+1 f i (z) ii) k k f i (z) i=0 i=n+1 n f i (z) = i=0 M i iii) < ǫ 2 < ǫ, k i=n+1 f i (z) i) (2) missä epäyhtälö i) seuraa huomautuksesta 211, ii) oletuksesta ja iii) ehdosta (1) Ehto (2) osoittaa, että (S n (z)) n N on Cauchy-jono jokaiselle z A Tällöin lauseen 27 nojalla jono (S n (z)) n N suppenee jokaiselle kiinteälle z A 20

eli funktiosarja i=0 f i suppenee pisteittäin joukossa A Olkoon g : A C tämän sarjan summafunktio eli g(z) = lim n S n(z) = f i (z) kaikille z A i=0 Pitää osoittaa, että sarja suppenee tasaisesti kohti funktiota g joukossa A Sitä varten olkoon taas ǫ > 0 mielivaltainen Valitaan luku N N kuten edellä, jolloin erityisesti ehdot (1) ja (2) pätevät ehto (2) siis kaikille z A Kun k > n N, niin kaikille z A pätee ehdon (2) nojalla ja siten kaikille n N ja kaikille z A pätee g(z) n i=0 S k (z) S n (z) < ǫ 2, (3) f i (z) = lim S k(z) S n (z) = i) lim S k(z) S n (z) ii) ǫ k k 2 < ǫ, joten suppeneminen on määritelmän 212 mukaisesti tasaista joukossa A Yllä yhtälö i) seuraa itseisarvokuvauksen jatkuvuudesta sekä epäyhtälö ii) seuraa ehdosta (3) ja reaalisesta tuloksesta (ks [JMA]): jos a k < b kaikille k ja a = lima k, niin a b Määritelmä 216 Olkoot i=0 a i ja i=0 b i kompleksilukusarjoja Sanotaan, että näiden sarjojen Cauchyn tulo on sarja i=0 c i, missä kaikille n N c n = n a k b n k k=0 Huomautus Huomaa, että määritelmä 216 on symmetrinen (tai kommutatiivinen), ts sarja i=0 c i on sama riippumatta siitä missä järjestyksessa alkuperäiset sarjat ovat Indeksinvaihdolla nähdään näet helposti, että n k=0 a kb n k = n k=0 b ka n k kaikille n Cauchyn tulosarjan määritelmässä ei oteta mitään kantaa sarjojen mahdolliseen suppenemiseen, vaan määritelmä voidaan esittää formaalisti kaikille sarjoille Suppenemiskysymyksen ratkaisee seuraava lause, vrt [SA] Lause 217 (Mertensin lause) Olkoot i=0 a i ja i=0 b i suppeneviakompleksilukusarjoja; olkoon A = a i ja B = b i i=0 Oletetaan lisäksi, että ainakin toinen näistä sarjoista suppenee itseisesti Tällöin myös niiden Cauchyn tulo i=0 c i suppenee ja pätee c i = AB i=0 21 i=0

Todistus Koska Cauchyn tulon määritelmä on symmetrinen, niin merkintöjä tarvittaessa vaihtamalla voidaan olettaa, että sarja i=0 a i suppenee itseisesti Merkitään kaikille n N A n = n a i, B n = i=0 n b i, C n = i=0 sekä lisäksi kaikille k,n N Pitää siis osoittaa, että f n (k) = n c i, D n = B B n ja E n = i=0 Näillä merkinnöillä kaikille p N pätee C p = p c n = p n ( a k b n k ) = i) k=0 { a k b n k kun k n 0 kun k > n n a i D n i i=0 lim C n = AB (1) n p p ( k=0 f n (k)) ii) = p p ( k=0 f n (k)) iii) = p p ( k=0 n=k p k=0 a k b n k ) iv) = a k (B D p k ) vi) = p p a k ( k=0 n=k p a k B k=0 b n k ) v) = p k=0 p k=0 p k a k ( b i ) = i=0 p a k B p k = k=0 a k D p k vii) = A p B E p (2) Tässä yhtälöt i) ja iii) seuraavat suoraan lukujen f n (k) määritelmästä ja yhtälön ii) summeerausjärjestyksen vaihto on helppo todistaa (harjteht) oikeaksi, samoin kuin yhtälöissä iv), v), vi) ja vii) tehtävät operaatiot Koska A on sarjan i=0 a i summa, niin lim p A p = A, jolloin lauseen 22 nojalla lim A pb = AB (3) p Ehdon (2) nojalla kaikille p N pätee joten ehdon (3) mukaan C p +E p = A p B, lim (C p +E p ) = AB p Tällöin väite (1) seuraa lauseesta 22, jos osoitetaan, että lim E p = 0 (4) p 22

Koska B on sarjan i=0 b i summa, niin lim n B n = B ja tällöin lim D n = 0 (5) n Erityisesti ehdon (5) nojalla joukko { D n n N} R on rajoitettu, ks [JMA] Olkoon M > 0 siten, että Merkitään D n < M kaikille n N (6) K = a i i=0 Huomaa, että nimenomaan tässä käytetään oletusta sarja i=0 a i suppenee itseisesti Huomaa myös, että K R ja K 0 Väitteen (4) todistamiseksi olkoon ǫ > 0 annettu Pitää osoittaa, että on olemassa N N siten, että ǫ Koska siis K R ja K 0, niin 2K+1 R ja ǫ on olemassa N 1 N siten, että D n < E p < ǫ kaikille p > N (7) ǫ 2K +1 2K+1 > 0, joten ehdon (5) nojalla kaikille n N 1 (8) Käytetään nyt uudelleen oletusta sarjan i=0 a i suppenemisesta Huomautuksen 29 nojalla tämän sarjan osasummien jono on Cauchy-jono Siten on olemassa N 2 N siten, että p a i = m+1 p m a i i=0 i=0 Valitaan nyt N 3 = max{n 1,N 2 } ja edelleen a i < ǫ 2M kun p > m N 2 (9) N = 2N 3 +1 ja osoitetaan, että tämä on ehdossa (7) toimiva valinta Olkoon siis p > N Tällöin E p = N 3 k=0 p a k D p k i) k=0 ǫ a k 2K +1 +M ǫ 2K +1 K + ǫ 2 < ǫ, p k=0 p k=n 3+1 a k D p k ii) = a k iv) N 3 k=0 ǫ 2K +1 a k D p k + k=0 p k=n 3+1 a k +M ǫ 2M v) = a k D p k iii) 23

joten ehto (7) toimii ja väite (4) samoin kuin koko lause on todistettu Tässä - epäyhtälö i) saadaan huomautuksesta 211, - yhtälö ii) seuraa siitä, että N:n valinnan nojalla p > N N 3 +1, - epäyhtälö iii) seuraa toisaalta ehdosta (6) ja toisaalta ehdosta (8), sillä kun k N 3, niin p k > N N 3 = N 3 +1 N 1, - epäyhtälö iv) seuraa toisaalta siitä, että positiivitermisen, suppenevan sarjan k=0 a k osasummien jono on kasvava ja toisaalta ehdosta (9), sillä p > N > N 3 N 2, ja - yhtälö v) tulee suoraan luvun K määritelmästä Huomautus Mertensin lauseessa on välttämätöntä olettaa, että ainakin toinen annetuista sarjoista suppenee itseisesti, sillä kahden ei-itseisesti suppenevan sarjan Cauchyn tulo ei välttämättä suppene; jätetään esimerkin keksiminen harjoitustehtäväksi 3 Potenssisarjat Reaalisia potenssisarjoja on käsitelty[sa]:ssa Nyt yleistetään näitä reaalisia tuloksia kompleksiluvuille Potenssisarja on funktiosarja, ja esitetään määritelmä nimenomaan tätä kautta, jolloin suppenemiskysymykset palautuvat määritelmään 213 Määritelmä 31 Olkoon (f n ) n N jono kuvauksia f n : C C Sanotaan, että sarja f n(z) on potenssisarja, jos on olemassa a C ja kompleksilukujono (a n ) n N siten, että kaikille n N f n (z) = a n (z a) n Huomautus Tässä sovitaan, että w 0 = 1 kaikille w C, myös kun w = 0, jolloin f 0 (z) a 0 Esimerkki Geometrinen sarja z n (1) on potenssisarja Tässä a = 0 ja a n = 1 kaikille n N Tarkastellaan sarjan (1) suppenemista eri z:n arvoilla Kun z < 1, niin sarja (1) suppenee itseisesti (ks [SA]), joten se suppenee lauseen 212 nojalla Kun z > 1, niin z n > 1 kaikille n N Tällöin lauseen 16 h) nojalla z n > 1 kaikille n, joten ei voi olla z n 0 Silloin lauseen 210 perusteella sarja (1) ei voi supeta eli se hajaantuu 24

Siten sarja(1) suppenee pisteittäin avoimessa yksikkökiekossa B(0, 1) ja hajaantuu suljetun yksikkökiekon B(0, 1) ulkopuolella Jätetään harjoitustehtäväksi miettiä, mitä tapahtuu yksikkökiekon reunalla eli yksikköympyrällä S(0, 1) Jätetään myös harjoitustehtäväksi miettiä onko suppeneminen tasaista avoimessa yksikkökiekossa Geometrinen sarja (1) on prototyyppi potenssisarjan suppenemistarkastelulle: näille käy aina niin, että löytyy jokin kiekko (tai koko taso) jonka sisäpuolella sarja suppenee pisteittäin ja ulkopuolella hajaantuu; kiekon reunalla sarja voi supeta tai hajaantua Tämä käy täsmällisemmin ilmi kohta seuraavista lauseista Määritellään (tai palautetaan mieleen) ensin käsite lim sup : Määritelmä 32 Olkoon (a n ) n N jono positiivisia reaalilukuja Merkitään kaikille n N { lim n sup{a i i n} jos jono (a n ) on rajoitettu limsupa n = muuten Huomaa, että lim sup määritellään vain positiivisille reaaliluvuille On helppo nähdä, että rajoitetulle jonolle lim sup on positiivinen reaaliluku, mahdollisesti nolla Kun jono (a n ) ei ole rajoitettu, niin limsupa n ei ole reaaliluku, eikä oikein mitään muutakaan Mukavuussyistä tässä tapauksessa 32:ssa otetaan käyttöön merkintä limsup a n =, joka siis oikeastaan tarkoittaa vain sitä, että joukko {a i i N} ei ole rajoitettu Seuraavassa lauseessa tulee lisää tällaisia mukavuusmerkintöjä Sovitaan näet jatkossa, että reaalilukujen järjestys koskee myös objektia niin, että kaikille r R pätee r < ja r Merkitään lisäksi 1 0 = ja 1 = 0 Näillä merkinnöillä voidaan muotoilla seuraava lause: Lause 33 Olkoon a n(z a) n kompleksinen potenssisarja ja Tällöin kaikille z C pätee: a) Jos z a < R, niin sarja b) jos z a > R, niin sarja c) jos 0 r < R, niin sarja kiekossa B(a, r) 1 R = [0, [ { } limsup a n 1 n a n (z a) n suppenee, jopa itseisesti, ja a n (z a) n hajaantuu Lisäksi a n (z a) n suppenee tasaisesti 25

Todistus a) Olkoon z a < R Lauseen 212 nojalla riittää osoittaa, että sarja a n(z a) n suppenee Huomautuksen 29 nojalla riittää osoittaa, että sen osasummien jono on Cauchy-jono Olkoon siis ǫ > 0 mielivaltainen Riittää löytää N N siten, että p q a n (z a) n a n (z a) n kun p > q > N (1) Valitaan r R siten, että z a < r < R (2) Ylläsovittuja merkintöjä noudattaen tämä on mahdollista ja järkevää myös siinä tapauksessa että R = Huomaa, että tapaus R = 0 ei voi nyt oletuksen z a < R perusteella esiintyä Merkitään kaikille n N symbolilla B n joukkoa B n = { a m 1 m m n} Joukot B n ovat rajoitettuja (miksi?) ja pätee lim supb i) n = limsup a n 1 ii) n = 1 iii) < 1 n R r, (3) missä yhtälö i) tulee suoraan määritelmästä 32, yhtälö ii) R:n määritelmästä (myös tapauksessa R = ) ja epäyhtälö iii) ehdosta (2) Ehdon (3) nojalla on olemassa N 1 N siten, että supb N1 < 1/r, jolloin kaikille m N 1 pätee a m 1 1 m < r eli a m < 1 rm (4) Ehdon (2) nojalla saadaan ehto z a r < 1, jolloin reaalinen geometrinen sarja (ks [SA]) ( z a ) n r suppenee, joten sen osasummien jono on Cauchy-jono Siten on olemassa N 2 N siten, että kun p > q N 2, niin p ( ) n z a = p ( ) n z a q ( ) n z a < ǫ (5) n=q+1 r r r Valitaan nyt N = max{n 1,N 2 } 26

ja osoitetaan, että tämä valinta toimii ehdossa (1), jolloin väite a) on todistettu Olkoon siis p > q > N Tällöin p q a n (z a) n a n (z a) n i) p = a n (z a) n ii) = n=q+1 p a n z a n iii) p 1 p ( ) n z a iv) r n z a n = < ǫ, r n=q+1 n=q+1 n=q+1 joten väite (1) pätee Tässä - yhtälössä i) on käytetty ehdon p > q lisäksi sitä, että tässä summattavat ovat positiivisia reaalilukuja, jolloin myös summat ovat positiivisia reaalilukuja, eikä ylimääräisiä itseisarvomerkkejä tarvita, - yhtälössä ii) on käytetty lausetta 16 h), - epäyhtälö iii) seuraa ehdosta (4) ja siitä, että q > N N 1 sekä - epäyhtälö iv) seuraa ehdosta (5) ja siitä, että p > q > N N 2 Näin väite a) on todistettu b) Olkoon z a > R Tällöin välttämättä R R (eli ei voi olla R = ; tosin nyt voi olla R = 0), ja voidaan valita r R siten, että R < r < z a (6) Tässä tapauksessa limsup a n 1 n i) = 1 R ii) > 1 r, (7) missä yhtälö i) saadaan R:n määritelmästä (myös tapauksessa R = 0) ja epäyhtälö ii) ehdosta (6) Ehdon (7) ja lim sup:n määritelmän nojalla äärettömän monelle m N pätee a m 1 m > 1 r eli a m > 1 r m Silloin äärettömän monelle m N pätee a m (z a) m = a m z a m > Ehdon (6) nojalla saadaan kaikille m 1 ehto z a m r m > 1 z a m r m (8) Yhdistämällä tämä ehtoon (8) nähdään, että äärettömän monelle m N pätee a m (z a) m > 1 27

Tämä merkitsee sitä, että jono (a n (z a) n ) n N ei voi supeta kohti nollaa ja tällöin lauseen 210 nojalla sarja a n(z a) n hajaantuu Näin myös väite b) on todistettu c) Olkoon 0 r < R Pitää osoittaa, että sarja a n(z a) n suppenee tasaisesti kiekossa B(a, r) Sovelletaan Weierstrassin M-testiä (lause 215) Sitä varten pitää löytää reaalilukujono (M n ) n N siten, että M n suppenee ja (9) a n (z a) n M n kaikille n ja kaikille z B(a,r) (10) Valitaan ensin s R siten, että r < s < R, mikä on mahdollista myös tapauksessa R = Koska s < R, niin aivan analogisesti ehdon (4) kanssa voidaan osoittaa, että on olemassa N N siten, että kaikille m N pätee a m 1 1 m < s eli a m < 1 sm (11) Tällöin kaikille z B(a,r) ja kaikille m N pätee a m (z a) m = a m z a m i) < z a m s m ii) ( r ) m, (12) s missä epäyhtälö i) seuraa ehdosta (11) ja epäyhtälö ii) siitä, että z a r Määritellään nyt Weierstrassin testissä tarvittavat luvut M n asettamalla { a n r n kun n < N M n = ( r ) n s kun n N Tällöin vaatimus (10) toteutuu ehdon (12) nojalla ja myös vaatimus (9) toteutuu, sillä sarjan M n loppuosa (eli kun n N) on geometrinen sarja, jonka suhdeluku on r s < 1, ja alkuosan termit eivät vaikuta suppenemiseen Näin myös väite c) on todistettu Määritelmä 34 Olkoon a n(z a) n kompleksinen potenssisarja Sanotaan, että 1 R = [0, [ { } limsup a n 1 n on sarjan a n(z a) n suppenemissäde 28

Huomautus Tehtyjen määritelmien ja merkintäsopimuksien mukaan jokaisella potenssisarjalla on yksikäsitteisesti määrätty suppenemissäde, joka voi siis olla myös 0 tai Huomautus Jos potenssisarjan a n(z a) n suppenemissäteelle R pätee R ]0, [, niin lauseen 33 mukaan sarja suppenee itseisesti avoimessa kiekossa B(a, R) ja suppeneminen on tasaista kaikissa suljetuissa kiekoissa B(a, r) B(a,R) Sarja ei suppene joukossa C\B(a,R), mutta kiekon B(a,R) reunalla eli joukossa {z z a = r} sarja voi supeta (itseisesti tai ei) tai hajaantua; tästä lause 33 ei sano mitään Jos R = 0, niin sarja suppenee vain pisteessä z = a ja jos R =, niin sarja suppenee itseisesti koko C:ssä ja suppeneminen on tasaista kaikissa C:n rajoitetuissa osajoukoissa; nämäkin faktat seuraavat lauseesta 33 Esimerkki Tämän luvun alussa todettiin, että geometrinen sarja zn suppenee kiekossa B(0, 1) ja hajaantuu joukossa C\ B(0, 1), joten ilmeisesti tämän potenssisarjan suppenemissäde on 1 Näin todella on myös määritelmän 34 mielessä, sillä nyt a n = 1 kaikille n N ja siten 1 R = limsup a n 1 n = 1 lim n sup{ a m 1 m m n} = 1 lim n sup{1} = 1 Tämä sarja ei suppene missään suppenemiskiekon reunapisteessä z, z = 1 (Harjteht) Esimerkki Jos a n = 1 n, kun n 1, niin potenssisarjan a nz n suppenemissäde on myös 1 Suppenemiskiekon B(0, 1) reunalla sarja suppenee lukuunottamatta pistettä z = 1 Suppeneminen missään reunapisteessä ei ole kuitenkaan itseistä (Harjteht) Esimerkki Jos a n = 1 n 2, kun n 1, niin potenssisarjan a nz n suppenemissäde on edelleen 1 Suppenemiskiekon B(0, 1) reunalla sarja suppenee jokaisessa pisteessä, jopa itseisesti (Harjteht) Huomautus Konkreettisissa esimerkeissä potenssisarjan suppenemissäteen laskeminen suoraan määritelmästä 34 voi olla hankalaa Seuraava lause (vrt [SA]) on usein käyttökelpoisempi Sitä varten sovitaan taas mukavuusmerkinnästä, joka tosin on käytössä jo [JMA]:ssa: Olkoon (x n ) n N jono reaalilukuja Merkitään lim n x n =, jos kaikille M R on olemassa N N siten, että kaikille n N pätee x n M Huomaa, että tämä koskee vain reaalilukuja; vastaavaa käsitettä kompleksilukujonoille ei ainakaan tässä vaiheessa määritellä Lause 35 Olkoon R [0, [ { } kompleksisen potenssisarjan 29