1 AALTOLIIKKEIDEN YHDISTÄMINEN Kun aalto osuu väliaineen rajapintaan, se heijastuu siitä takaisin joko osittain tai kokonaan. Esimerkiksi äänen osuessa talon seinään se palaa takaisin kaikuna. Missä määrin ja miten takaisinheijastuminen tapahtuu riippuu rajapinnan ominaisuuksista. Väliaineen reunaa kohti etenevä aalto ja jo aikaisemmin väliaineen reunasta takaisin heijastunut aalto voivat esiintyä yhtä aikaa samassa tilassa. Tästä seuraa ilmiöitä, joita sanotaan interferenssiksi. Se miten kaksi (tai useampi) samanaikaista aaltoa poikkeuttaa väliaineen osasia määräytyy ns. superpositioperiaatteesta. Kun systeemissä on kaksi rajapintaa, kuten esimerkiksi molemmista päistään kiinnitetyssä kitaran kielessä, syntyy toistuvia heijastuksia ja osoittautuu, että systeemissä voi edetä vain tietyn taajuiset aallot. Näitä erityisiä taajuuksia ja niihin liittyviä aaltojen muotoja sanotaan systeemin normaalivärähdysmuodoiksi. Nyt tutkimme edellämainittuja ilmiöitä mekaanisten aaltojen tapauksessa. Interferenssi-ilmiöt ovat tärkeitä myös ei-mekaanisilla aalloilla ja valon tapaukseen palaamme tarkemmin myöhemmin..1 HEIJASTUMINEN JA LÄPÄISY Tutkitaan aallon heijastumista kahden väliaineen rajapinnasta käyttäen esimerkkinä köydessä etenevää poikittaista aaltoa. Tarkastellaan kahta erilaista tapausta. Kuvassa vasemmalla köyden pää on kiinnitetty, eikä se pääse liikkumaan aallon osuessa siihen. Kuvassa oikealla köyden pää on vapaa ja se pääsee liikkumaan aallon vaikutuksesta ylös-alas-suunnassa. Se ehto miten köysi on kiinnitetty on ns. rajapintaehto (rajaehto, reunaehto, boundary condition). Köyden rajapintaan (seinään, köyden päähän) saapuva pulssi heijastuu (kimpoaa takaisin). Jos pää on kiinnitetty, pulssi palaa takaisin ylösalaisin kääntyneenä. Tämä johtuu seinän köyteen kohdistamasta reaktiovoimasta, joka on yhtä suuri, mutta vastakkaissuuntainen kuin saapuvan pulssin seinään kohdistama voima. Pulssin ylösalaisin kääntyminen vastaa vaiheen siirtymistä 18 (puhutaan :n vaihe-siirrosta). Jos köyden pää on vapaa liikkumaan, siihen ei kohdistu ulkoisia voimia ja heijastunut pulssi ei käänny. Vaihesiirtoa ei siis tapahdu. Kun aalto kohtaa absoluuttisen jäykän seinän, kaikki aallon energia heijastuu takaisin. Yleensä rajapinnat eivät kuitenkaan ole absoluuttisen jäykkiä ja osa aallon energiasta pääsee rajapinnan toiselle puolelle. Osa aallosta siis läpäisee rajapinnan. Viereisessä kuvassa kaksi erivahvuista köyttä on liitetty toisiinsa. Köysien liitoskohta edustaa nyt rajapintaa, jota kohti pulssi saapuu kuvassa (a). Rajapinnassa osa pulssista heijastuu takaisin ja osa menee läpi. Mitä raskaampi jälkimmäinen köysi on sitä vähemmän menee läpi ja
3 äärettömän raskaan köyden tapauksessa tilanne vastaa jo edellisen esimerkin seinää. Periodisen aallon tapauksessa läpäisseen aallon - taajuus (tai f ) ei muutu (helppo ymmärtää) - nopeus v muuttuu, koska muuttuu - aallonpituus muuttuu yhtälön v / mukaisesti. Kuvassa (yllä) aalto saapuu "kevyemmästä" väliaineesta "raskaampaan", jolloin heijastuneessa aallossa havaitaan :n vaihesiirto (vrt. köysi kiinnitetty seinään). Jos aalto saapuu raskaammasta väliaineesta kevyempään, vaihesiirtoa ei havaita. Läpimennyt aalto ei koskaan koe vaihesiirtoa. Esimerkki: Köydessä etenee siniaalto y( x, t) Asin( kx t). Aaltoon aiheutetaan (tavalla tai toisella) yht äkkinen 18 asteen vaihesiirto. Osoita, että aalto kääntyy ylösalaisin. Ratkaisu: Vaihesiirto tarkoittaa: y( x, t) Asin( kxt ). Tässä eli 18 ja koska sin( ) sincos cossin saadaan y( x, t) Asin( kxt)cos( ) Acos( kx t)sin( ), mistä y( x, t) Asin( kx t) eli kääntynyt ylösalaisin alkuperäiseen verrattuna. Kuva piirretty ajanhetkellä t : 4. SUPERPOSITIOPERIAATE Jos useampia aaltoliikkeitä vaikuttaa samanaikaisesti määrättyyn väliaineen pisteeseen, niin pisteen poikkeama tasapainoasemasta saadaan laskemalla yhteen eri aaltoliikkeiden erikseen aiheuttamat poikkeamat. Resultanttiaalto on siis yksittäisten aaltojen summa ja jos esimerkiksi y1( xt,) ja y( xt,) edustavat kahden osa-aallon aaltofunktioita, niin kokonaisaaltofunktio on y (,) xt y(,) xt y(,) xt. (..1) tot 1 Matemaattisesti summautuvuusominaisuus on seurausta aaltoyhtälön (1..3) y 1 y x v t lineaarisuudesta. Lineaarisuus tässä tarkoittaa juuri sitä, että jos y1( xt,) ja y( xt,) ovat aaltoyhtälön ratkaisuja, niin myös niiden summa on ratkaisu. Tämä on helposti osoitettavissa sillä y1 1 y1 ja x v t ja laskemalla nämä yhteen saadaan y x 1 v y t y y 1 y 1 y x x v t v t josta 1 ( y 1 y) ( y 1 y). x v t Myös summa siis toteuttaa aaltoyhtälön. 1 1
5 Yksi superpositioperiaatteen seurauksista on se, että kahden aallon kohdatessa ne jatkavat kohtaamisen jälkeen matkaansa täysin muuttumattomina aivan kuin mitään ei olisi tapahtunut. Tässä tarkastelimme aaltojen ns. lineaarista superpositiota. Se on voimassa silloin, kun amplitudi on niin pieni, että väliaineen palauttava voima noudattaa Hooken lakia, ts. on lineaarinen poikkeaman funktio. Jos amplitudi kasvaa suureksi, väliaine menettää elastisuutensa ja superpositioperiaate ei enää ole voimassa. Tästä sinänsä seuraa hyvin mielenkiintoisia ilmiöitä. Esimerkiksi voimakkaan laser-valon vuorovaikuttaessa materian kanssa havaitaan erinäisiä epälineaarisia ilmiöitä. Tällainen ns. epälineaarinen optiikka on yksi modernin optiikan tärkeimmistä tutkimusalueista. Esimerkki: Laske kahden aallon y1( x, t) 1.sin( kxt) y( x, t).9sin( kxt1.rad) superpositio eli resultantti(summa-)aalto. Ratkaisu: Lasketaan summa y y1 y 1.sin( ).9sin( 1.), missä kx t sisältää paikka- ja aikariippuvuuden. Tunnetusti sin( ) sincos cossin, joten y 1.sin( ).9sin( )cos(1.).9cos( )sin(1.) sin( )[1..9cos(1.)] cos( ).9sin(1.) asin( ) bcos( ), missä a ja b ovat vakioita. Kun merkitään a Acos( ) ja b Asin( ) voidaan käyttää uudelleen edellä mainittua trigonometristä identiteettiä ja kirjoittaa y Asin( ), missä A a b ja arctan( b/ a). Tässä a 1..9cos(1.) 1.486 ja b.9sin(1.).7573, joten A 1.668 ja.4713. Vastaukseksi kirjoitamme: 6 y1.7sin( kx t.47rad).3 SEISOVA AALTOLIIKE Seisova aalto syntyy superpositioperiaatteen seurauksena silloin, kun annettu aalto esiintyy yhtä aikaa sekä eteenpäin menevänä että takaisin palaavana samassa tilassa samanaikaisesti. Tavallisesti tällainen tilanne havaitaan silloin, kun aalto jossakin etenemisensä pisteessä kokee heijastumisen. Tarkastellaan siis kahta vastakkaisiin suuntiin etenevää harmonista aaltoa, joilla on sama amplitudi, taajuus ja aallonpituus: Resultanttiaalloksi tulee 1 y1( x, t) Asin( kx t), (.3.1) y( x, t) Asin( kx t). (.3.) yxt (,) y(,) xt y(,) xt A[sin( kx t) sin( kx t)]. (.3.3) Kun tässä kirjoitetaan ja sovelletaan identiteettiä saadaan kx t ja kx t sin sin sin ( )cos ( ), 1 1 y( x, t) (Asin kx)cost, (.3.4) joka on seisova aalto. Aalto on esitetty kuvassa alla.
7 Suluissa oleva osa (Asin kx ) edustaa aallon ajasta riippumatonta amplitudia, joka riippuu vain paikasta x. Se kertoo, että kaikilla ajanhetkillä köysi muodostaa sinikäyrän, mutta toisin kuin etenevässä aallossa, sinikäyrä pysyy nyt paikoillaan. Se kylläkin värähtelee, hengittää, tekijän cos t mukaisesti. Kaikki köyden osaset värähtelevät harmonisesti samalla taajuudella. A A Solmut (N = node) Seisovan aallon amplitudi on nolla, kun sinkx, ts. kun kx x m, missä m, 1,, eli siis paikoissa x m. (.3.5) Näissä paikoissa poikkeama y on nolla kaikilla ajanhetkillä. Paikkoja sanotaan seisovan aallon solmupisteiksi (nodes, N) tai solmukohdiksi. Solmupisteiden välimatka on /. Solmupisteissä osa-aallot kumoavat aina toisensa. Kuvut (Antinode) Seisovan aallon amplitudilla on maksimi, kun sin( kx) 1, ts. kun kx x m, missä m, 1,, eli paikoissa 1 x m. (.3.6) 8 Näissä paikoissa, solmukohtien puolessa välissä /:n välein, osaaallot vahvistavat toisiaan ja synnyttävät ns. kuvut. Kupu maksimissa Seisovan aallon värähdellessä ajan funktiona sen poikkeama tasapainosta on maksimissaan, kun ajasta riippuva osa cos t saa maksimiarvonsa, ts. cos t 1. Näin käy, kun t t t m, missä nyt m,1,, T eli ajanhetkillä T t m. (.3.7) Köysi suorana Seisova aalto on kaikkialla nolla, kun cost, ts. kun siis kun 1 t m, missä m,1,, 1 T t m. (.3.8) Näillä ajanhetkillä köysi on täysin suora. Toisin kuin etenevät aallot, seisovat aallot eivät kuljeta energiaa. Tämä on helppo todeta esimerkiksi laskemalla aallon keskimääräinen teho lähtien hetkellisen teho lausekkeesta (1.5.3) ja käyttäen aaltofunktiona seisovaa aaltoa (.3.4). Esimerkki: Positiivisen x-akselin suuntaisen köyden toinen pää on kiinnitetty origoon ( x, y ). Köydessä etenee negatiivisen x- akselin suuntaan siniaalto nopeudella 84. m/s, amplitudilla 1.5 mm ja taajuudella 1 Hz. Tämä aalto heijastuu kiinnityspisteestä x. Heijastuneen ja tulevan aallon superpositiona syntyy seisova aalto.
9 (a) Esitä seisovan aallon aaltofunktio. (b) Paikallista ne köyden pisteet, jotka eivät liiku ollenkaan. (c) Paikallista ne köyden pisteet, jotka liikkuvat eniten ja laske vastaavat maksimipoikkeamat, -nopeudet ja -kiihtyvyydet. Ratkaisu: Alkuperäisen aallon ominaisuudet: 3 A 1.5 1 m, 1 1 ( f ) 1s 754s 1 f 4s k 8.98m v v v 84.m/s v v 84.m/s.7m 1 f 1s (a) Seisova aalto (.3.4) y( x, t) (Asin kx)cost 3 1 1 (3. 1 m)sin(8.98m x)cos(754s t) On vielä varmistettava, että tällä on solmu kohdassa x : 3 1 y(, t) (3.1 m)sin()cos(754s t), ts. solmu on!! (b) Köysi ei liiku solmukohdissa (.3.5) x m,.35m,.7m, 1.5m,... (c) Köysi liikkuu eniten kupukohdissa (.3.6) 1 xm.175m,.55m,.875m,... Kupukohdissa sin( kx) 1, joten y( t) Acos t v y( t) dy / dt Asint ay( t) dv y/ dt A cost Näiden maksimiarvot saadaan, kun cos t 1 ja sin t 1: 1 y A (pieni) 3 3. 1 m max v A.6m/s (suuri) y ay max A 171m/s (valtava, vrt. g) max 3 Lisäpohdintaa: Miten seisovan aallon yhtälö (.3.4) pitäisi kirjoittaa, jos köyden pää olisi kiinnitetty pisteeseen ( x x, y )? Vastaus: y( x, t) [Asin k( x x)]cos t..4 NORMAALIMUODOT Edellisessä tarkastelussa vain toinen köyden päistä oli kiinnitetty ja köysi oletettiin (periaatteessa) äärettömän pitkäksi. Tässä tapauksessa systeemiin sinänsä ei rajoittanut syntyvän seisovan aallon aallonpituutta. Olipa tulevan aallon aallonpituus mikä tahansa aina syntyy seisova aalto. Tarkastellaan nyt miten tilanne muuttuu, kun köyden molemmat päät on kiinnitetty. Molemmista päistä kiinnitettyjä köysiä esiintyy paljon musiikki instrumenteissa, esimerkiksi kitarassa. Kun kitaran kieli saatetaan värähtelemään aalto etenee edestakaisin heijastuen kiinnitetyistä päistä. Nytkin muodostuu seisova aalto eri suuntiin etenevien aaltojen superpositiona. Molemmista päistään kiinnitettyyn köyteen syntyvällä seisovalla aallolla täytyy olla solmupiste köyden molemmissa päissä. Toisaalta, edellisessä kappaleessa totesimme, että seisovan aallon solmupisteet ovat /:n päässä toisistaan. Tästä seuraa, että köyden pituuden L täytyy olla /, tai ( / ), tai 3( / ), jne.... Saamme siis ehdon L n, ( n 1,, 3, ). (.4.1)
31 Tämä tarkoittaa sitä, että jos köyden molemmat päät on kiinnitetty, köysi voi värähdellä vain ehdon (.4.1) mukaisilla aallonpituuksilla. Aallonpituudet ovat L n, ( n 1,, 3, ). (.4.) n Neljä ensimmäistä tämän yhtälön mukaista ns. normaalivärähdysmuotoa on esitetty kuvassa alla. Aallonpituuksia n vastaavat taajuudet saadaan puolestaan yhtälöstä v v n fn n ( n 1,, 3, ). (.4.3) L n 3 Matalin taajuus 1 ( f 1 ) vastaa suurinta aallonpituutta ja se saadaan, kun n 1. Tätä taajuutta sanotaan perustaajuudeksi (fundamental frequency). Kaikki muut taajuudet ovat perustaajuuden monikertoja 1, 3 1, 4 1,... ja niitä sanotaan harmonisiksi (harmonics) tai musiikkipiireissä yliääniksi (overtones). Perustaajuus 1 on ensimmäinen harmoninen, taajuus 1 on toinen harmoninen tai ensimmäinen yliääni, 3 3 1 on kolmas harmoninen tai toinen yliääni, jne. Jos köysi on kiinnitetty pisteissä x ja x L, niin sen n : nnen seisovan aallon aaltofunktioksi tulee (katso.3.4) y ( x, t) A sin( k x)cos( t), (.4.4) n sw n n missä A sw on seisovan aallon amplitudi ( A), k n / n ja. n n Värähtelevän systeemin normaalimuoto (normal mode) on sellainen liike, missä systeemin kaikki hiukkaset värähtelevät harmonisesti samalla taajuudella siten, että kaikki hiukkaset ohittavat tasapainoasemansa samanaikaisesti ja toisaalta ovat poikkeamansa maksimissa samanaikaisesti. Molemmista päistä kiinnitetty köysi värähtelee siis normaalimuotoisesti ja esimerkiksi edellisen sivun kuva esittää normaalimuotoja arvoilla n 1,, 3 ja 4. Köydessä (esim. kitaran kielessä) eri normaalimuodot värähtelevät tavallisesti yhtäaikaa. Värähtely voi siis olla hyvinkin monimutkaista. Eri normaalimuotojen virittyminen värähtelemään riippuu alkuehdoista, ts. siitä miten kieli alun perin saatetaan värähtelemään.
33 Toisaalta mikä tahansa köyden liikemuoto voidaan esittää normaalimuotojen lineaarikombinaationa. Monimutkaisen värähtelyn purkamista eri normaalimuodoiksi sanotaan Fourieranalyysiksi. Edellisen sivun kuvassa (alakuvassa) L : n pituista kitaran kieltä näpäytetään etäisyydeltä L /4 vasemmasta reunasta. Kieleen syntyvä monimutkainen värähtely voidaan esittää sinimuotoisten normaalimuotojen kombinaationa (yläkuva). Esimerkki: Erään jättiläissellon kielen pituus on 5. m, lineaarinen massatiheys 4. g/m ja perustaajuus. Hz (alin ihmisen kuulema taajuus). Laske a) aallon nopeus kielessä ja kielen jännitys, b) toisen harmonisen taajuus ja aallonpituus ja c) kielen synnyttämän ääniaallon taajuus ja aallonpituus, kun kieli värähtelee perustaajuudellaan ja toisella harmonisellaan. Oleta äänen nopeudeksi ilmassa 344 m/s. Ratkaisu: Värähtelevästä kielestä on annettu seuraavat tiedot: L 5.m, 3 4.1 kg/m ja f 1. Hz. a) Kielen pituus on 5. m, joten yhtälön (.4.) n L/ n mukaan perustaajuutta ( n 1) vastaava aallonpituus on 1. m. Nyt aallon nopeus kielessä saadaan laskemalla vf1.m.hz m/s 1 1 ja jännitys yhtälöstä (1.4.1) ratkaisemalla 3kg m F v 4. 1 16N m s b) Toisen harmonisen ( n ) taajuus on yhtälön (.4.3) mukaan f v m/s 4.Hz f L 1.m 1 ja aallonpituus yhtälön (.4.) mukaan 34 L/ 5.m. c) Kieli hakkaa ilmaa sillä taajuudella, jolla se värähtelee, joten taajuus ilmassa on sama kuin kielessä. Perusvärähdys f 1. Hz Aallonpituus ilmassa v 344m/s 17.m f.hz Toinen harmoninen f 4. Hz Aallonpituus ilmassa v 344m/s 8.6m f 4.Hz.5 FOURIER-SARJOISTA Kappaleessa 1.1 totesimme, että mikä tahansa jaksollinen aalto (myös ei-harmoniset) voidaan esittää harmonisten sini- ja kosiniaaltojen lineaarikombinaationa. Jaksollisen aallon purkamista sen harmonisiin komponentteihin sanotaan Fourier-analyysiksi. Fourier-sarja: Olkoon y( xv t) mikä tahansa rajoitettu jaksollinen aalto, jonka aallonpituus on. Voidaan osoittaa (ei johdeta tässä), että sarja A Amcos m ( x t) Bmsin m ( x t) m1 v v (.5.1)
35 suppenee kohti funktiota y( xv t) kaikissa pisteissä, joissa funktio on jatkuva. Epäjatkuvuuskohdissa sarja suppenee kohti funktion toispuoleisten raja-arvojen keskiarvoa. Sarjassa harmonisten termien amplitudit A m ja periodin ( x x ) ulottuvista integraaleista x x B m saadaan yli A y( x) dx, (.5.) x Am y( x)cos m x dx L, (.5.3) x x Bm y( x)sin m x dx L. (.5.4) x Näissä yx ( ) yxt (, ). Jos siis funktio yx ( ) tunnetaan, amplitudit A, A m ja B m voidaan laskea ja Fourier-analyysi on suoritettu. Esimerkki: Tee Fourier-analyysi suorakaideaallolle, kun / x / 4 yx (,) 1, kun / 4 x/ 4, kun + / 4 x/ 36 Analyysi: Kannattaa valitan x /, jolloin integroimisväliksi tulee / /, ts. se sijoittuu symmetrisesti origon suhteen. Edelleen, koska yx ( ) on parillinen funktio ja sini-funktio on pariton, integraali (.5.4) on aina nolla. Riittää, kun laskemme integraalit (.5.) ja (.5.3). Siis ensin / /4 A y( x) dx dx 1 / /4 ja sitten / /4 Am y( x)cosm x dx cosm x dx. / Tässä hyödynnettiin tulon y cos... parillisuutta. Edelleen tulee 4 1 /4 Am sin m x sin m m m. Ensimmäisille Am -kertoimille saadaan: A 1, A1 1 1, 1 A, A 3 3, 1 A, A 4 5 5,... Jaksollinen suorakaideaalto voidan siis esittää harmonisten kosiniaaltojen summana (.5.1) 1 y( x, t) sin m cos m x t m1 m v 1 1 cos ( x t) cos 3 ( x t) v v 3 1 1 cos5 ( xvt) cos7 ( xvt) 5 7