Algebra 1, harjoitus 9, 11.-12.11.2014. 1. Olkoon G ryhmä ja H G normaali aliryhmä. Tiedetään, että tällöin xhx 1 H kaikilla x G. Osoita, että itse asiassa xhx 1 = H kaikilla x G. Ratkaisu: Yritetään osoittaa, että H xhx 1 kaikilla x G. Olkoon x G ja h H. Tällöin hx Hx = xh (H normaali), joten on olemassa sellainen k H, että hx = xk. Täten h = xkx 1 xhx 1. 2. Todista: a) Jos G on ryhmä, niin G/{e} = G ja G/G = {e}. b) Z nm /<n> = Z n kaikilla n, m Z. Ratkaisu: a) Käytetään molemmissa tapauksissa isomorfialausetta. Tarkastellaan kuvauksia id : G G, x x ja f e : G G, x e. Nämä ovat selvästi homomorfismeja. Lisäksi Ker id = {e}, Im id = G ja Ker f e = G, joten isomorfialauseen perusteella b) Tarkastellaan kuvausta Im f e = {e}, G/{e} = G/Ker id = Im id = G ja G/G = G/Ker f e = Im fe = {e}. f : Z nm Z n, x nm x n
Tämä on mielekäs kuvaus, sillä jos x nm = y nm, niin nm x y, jolloin erityisesti n x y eli x n = y n. Lisäksi se on homomorfismi, sillä kaikilla x, y Z pätee f(x nm + y nm ) = f(x + y nm ) = x + y n = x n + y n = f(x nm ) + f(y nm ). Lisäksi ja selvästi Ker f = {x nm x n = 0 n } = {x nm x = kn jollakin k Z} = {x nm x nm = k n nm jollakin k Z} = n. Im f = Z n. Näin ollen isomorfialauseen perusteella Z nm / n = Z nm /Ker f = Im f = Z n. 3. Tarkastellaan tekijäryhmää R 3 /H, missä H = {(x, y, z) R 3 x = z ja y = 0}. Osoita, että R 3 /H = R 2 käyttämällä apuna sopivaa homomorfismia R 3 R 2. Ratkaisu: Tarkastellaan kuvausta f : R 3 R 2, (x, y, z) (x + z, y). Tämä on homomorfismi, sillä jos (x 1, y 1, z 1 ), (x 2, y 2, z 2 ) R 3, niin f((x 1, y 1, z 1 ) + (x 2, y 2, z 2 ) = f(x 1 + x 2, y 1 + y 2, z 1 + z 2 ) = ((x 1 + x 2 ) + (z 1 + z 2 ), y) = ((x 1 + z 1 ) + (x 2 + z 2 ), y) = (x 1 + z 1, y) + (x 2 + z 2, y) = f(x 1, y 1, z 1 ) + f(x 2, y 2, z 2 ). Huomataan, että Ker f = {(x, y, z) R 3 (x + z, y) = (0, 0)} = H
ja Im f = R 2, sillä jos (x, y) on mielivaltainen maalijoukon piste, niin esimerkiksi f(x, y, 0) = (x, y). Täten isomorfialauseen nojalla R 3 /H = R 3 /Ker f = Im f = R 2. 4. Tarkastellaan kääntyvien 2 2-reaalimatriisien ryhmää (GL 2 (R), ). Merkitään SL 2 (R) = {A GL 2 (R) det A = 1}. Osoita, että kuvaus f : GL 2 (R) R, missä [ ] a b A = ad bc = det A c d on ryhmähomomorfismi. Tässä R = R\{0} on reaalilukujen kertolaskuryhmä. Ratkaisu: Tiedetään, että kuvaus f on mielekäs, sillä kääntyvien matriisien determinantti on aina erisuuri kuin 0. Olkoot A, B GL 2 (R). Merkitään [ ] a b A = c d [ a b ja B = ] c d, mistä nähdään, että Nyt [ aa AB = + bc ab + bd ] ca + dc cb + dd. f(ab) = (aa + bc )(cb + dd ) (ab + bd )(ca + dc ) = aa cb + aa dd + bc cb + bc dd ab ca ab dc bd ca bd dc = aa dd + bc cb ab dc bd ca = ad(a d b c ) + bc(b c a d ) = (ad bc)(a d b c ) = f(a)f(b). 5. Jatkoa edelliseen tehtävään. a) Osoita, että SL 2 (R) on ryhmän GL 2 (R) normaali aliryhmä.
b) Osoita isomorfialauseen avulla, että Ratkaisu: GL 2 (R)/SL 2 (R) = R. a) Tarkastellaan tehtävän 5 homomorfismia f. Nythän Ker f = {A GL 2 (R) det A = 1} = SL 2 (R), joten f on homomorfismin ytimenä normaali (lause 7.1). b) Jos x R on mielivaltainen luku, niin ainakin se on matriisin [ ] x 0 0 1 determinantti. Täten Im f = R. Siispä isomorfialauseen perusteella GL 2 (R)/SL 2 (R) = GL 2 (R)/Ker f = Im f = R. 6. Osoita, että alternoiva ryhmä A n S n on normaali aliryhmä. Kuinka monta alkiota siinä on? (Vinkki: Harjoitusten 7 tehtävä 5c. Käytä Lagrangen lausetta.). Ratkaisu: Kuvaus f : S n Z = {1, 1}, missä α ε(α) on selvästi homomorfismi (tapaus n = 3 on osoitettu harjoitusten 7 tehtävässä 5). Koska nyt Ker f = A n, niin A n on homomorfismin ytimenä normaali (lause 7.1). Koska Im f = Z, niin isomorfialauseen perusteella S n /A n = Z. Erityisesti siis S n /A n = 2. Lagrangen lauseen nojalla S n = S n /A n A n, mistä saadaan ratkaistua A n = S n S n /A n = n! 2. 7. Olkoon X joukko ja R rengas. Tarkastellaan kaikkien kuvausten f : X R joukkoa F (X, R). Määritellään siinä yhteen- ja kertolasku asettamalla kaikilla f, g F (X, R) (f + g)(x) = f(x) + g(x) ja (fg)(x) = f(x)g(x) (x X).
Osoita, että näillä laskutoimituksilla varustettuna joukko F (X, R) on rengas. (Vinkki: Huomaa harjoitusten 5 tehtävä 3.) Ratkaisu: Koska (R, +) on Abelin ryhmä, niin harjoitusten 5 tehtävän 3 perusteella tiedetään, että (F (X, R), +) on Abelin ryhmä. Todistetaan muut ehdot. Kertolaskun liitännäisyys: Olkoot f, g, h F (X, R) ja x X. Tällöin (f(gh))(x) = f(x)(gh)(x) joten f(gh) = (fg)h. (tulon määritelmä) = f(x)(g(x)h(x)) (tulon määritelmä) = (f(x)g(x))h(x) (tulon liitännäisyys renkaassa R) = (f g)(x)h(x) (tulon määritelmä) = ((fg)h)(x) (tulon määritelmä), Ykkösalkio: Määritellään kuvaus f 1 : X R, x 1. Tällöin kaikilla f F (X, R) ja x X pätee (ff 1 )(x) = f(x)f 1 (x) = f(x) 1 = f(x) = 1 f(x) = f 1 (x)f(x) = (f 1 f)(x), joten ff 1 = f = f 1 f. Osittelulait: Olkoot f, g, h F (X, R). Tällöin kaikilla x X pätee (f(g + h))(x) = f(x)(g + h)(x), (tulon määritelmä) = f(x)(g(x) + h(x)) (summan määritelmä) = f(x)g(x) + f(x)h(x) (osittelulaki renkaassa R) = (f g)(x) + (f h)(x) (tulon määritelmä) = (fg + fh)(x) (summan määritelmä) joten f(g + h) = fg + fh. Vastaavasti voidaan näyttää, että (f + g)h = fh + gh. 8. Olkoon R rengas. a) Osoita, että kaikilla x, y R ( x)y = x( y) = (xy);
b) Määritellään erotus x y := x + ( y) kaikilla x, y R. Osoita, että x(y z) = xy xz kaikilla x, y, z R. Ratkaisu: a) Olkoot x, y R. Osoitetaan, että ( x)y ja x( y) ovat alkion xy vastaalkioita, jolloin väite seuraa vasta-alkion yksikäsitteisyydestä. Näin on, sillä osittelulain perusteella xy + ( x)y = (x + ( x))y = 0 y = 0 xy + x( y) = x(y + ( y)) = x 0 = 0. ja b) Olkoot x, y, z R. Tällöin x(y z) = x(y + ( z)) (erotuksen määritelmä) = xy + x( z) (osittelulaki) = xy + ( xz) (a-kohta) = xy xz (erotuksen määritelmä)