Haitallinen valikoituminen: yleinen malli ja sen ratkaisu Mat-2.4142 Optimointiopin seminaari Matias Leppisaari 29.1.2008
Esityksen rakenne Yleinen malli Käypyys ja rajoitusehdot Mallin ratkaisu Kotitehtävä
Mallin rakenne Tilanne: päämies ja agentti sopivat määrän q vaihdosta hinnalla t Hyötyfunktiot W(q, t) päämiehelle ja U(q, t, θ) agentille Agentin tyyppi θ Θ kuvaa ko. agentin yksityistä informaatiota
Mallin rakenne Kuvataan epätäydellistä informaatiota Bayesilaisittain todennäköisyysjakaumana: päämiehellä on subjektiivinen uskomus agentin tyypin jakaumasta Olkoon tämän (priori)jakauman tiheysfunktio f(θ) ja kertymäfunktio F(θ) Populaatio jonka tyypit noudattavat tiettyä tnjakaumaa vs. yksilö jonka tyyppi satunnainen
Mallin rakenne Ajoitus mallissa on seuraava: 0. Agentti havainnoi tyyppinsä 1. Päämies ehdottaa sopimusta 2. Agentti hyväksyy sopimuksen jolloin transaktio suoritetaan ehtojen mukaisesti tai hylkää sen Ts. kaksivaiheinen von Stackelberg -peli
Rajoitusehdot ja käypyys Päämies pyrkii tarjoamaan sellaista sopimusjoukkoa (q(.),t(.)), että kukin tyyppi päätyy valitsemaan juuri sille räätälöidyn sopimuksen Paljastusperiaatteen nojalla voidaan rajoittua tarkastelemaan suoria (tasapainossa) totuudenmukaisia mekanismeja Sopimusjoukkoa suunniteltaessa täytyy toimijoiden strateginen käyttäytyminen ottaa huomioon; ts. agenteille ei saa jäädä kannustinta valehdella
Rajoitusehdot ja käypyys Olkoon V( θ, ˆ θ) = U( q( ˆ θ), t( ˆ θ), θ) tyypin θ saama hyöty, kun tämän ilmoitus on θˆ Vaaditaan: V( θθ, ) V( θθ, ˆ) θθ, ˆ Θ U( q( θ), t( θ), θ) U θ Θ Mekanismi on käypä, kun se toteuttaa IC- ja IRehdot (kannustinyhteensopivuus ja yksilöllinen rationaalisuus eli osallistumisehto) Päämiehen hyödyn maksimoiva käypä mekanismi on optimaalinen (IC) (IR)
Mallin ratkaisu: oletukset (1/2) Olkoon tyyppijoukko Θ= [ θ, θ ] Hyötyfunktiot: U( q, t, θ ) = u( q, θ ) t agentille, W( q, t) = t C( q) päämiehelle
Päämiehen tehtävä ( ( )) max t( θ ) C q( θ) f( θ) q θ θ V( θ, θ) V( θ, ˆ θ) θ, ˆ θ [ θ, θ ] V ( θ, θ ) 0 (IC) (IR) Ongelma: tehtävä vaikea ratkaista IC-rajoitusten pätiessä => muunnetaan globaalit rajoitukset lokaaleiksi ehdoiksi ja ratkaistaan (alkuperäisen kanssa ekvivalentti) lokaali tehtävä
Rajoitusehdot Ensimmäisen ja toisen kertaluvun välttämättömät ehdot kannustinyhteensopivuudelle: V ( θθ, ) = 0 ˆ θ 2 V ( θθ, ) 0 ˆ2 θ Aukikirjoitettuna:, θ [ θθ, ] dt ( ) u ( q( ), ) dq ( ) θ = q θ θ θ (IC 1 ) dt 2 2 2 2 ( ) u ( ( ), ) dq θ q θ θ ( θ) u ( q( θ), θ) dq ( θ) 2 2 + 2 q q (IC 2 )
Rajoitusehdot Derivoidaan (IC 1 ):tä ja sijoitetaan (IC 2 ):een: 2 u dq ( q( θ), θ) ( θ) 0 q θ Välttämättömiksi ehdoiksi saadaan näin dt u dq ( θ) ( q( θ), θ) ( θ) = q, θ [ θθ, ] 2 u dq ( q( θ), θ) ( θ) 0 q θ (IC 1 ) (IC 2 )
Rajoitusehdot Tehdään seuraava oletus: Tämä on ns. Spence-Mirrlees ehto 2 u ( q, θ ) > 0 q, θ q θ Tulkinta: korkeammat tyypit ovat valmiita maksamaan enemmän tietystä q:n lisäyksestä kuin alemmat tyypit Tekee mahdolliseksi eri tyyppien erottamisen tasapainossa
Mallin ratkaisu: oletukset (2/2) Oletetaan, että Spence-Mirrlees ehto pätee u ja lisäksi ( q, θ ) > 0 q, θ θ Ts. tietty määrä q antaa korkeammille tyypeille suuremman hyödyn Merkitään tyypin θ hyötyfunktiota optimissa v( θ ) = V( θθ, ) = max V( ˆ θθ, ) ˆ θ Verhoteoreeman nojalla saadaan dv ( ) ( ˆ u θ = V θθ, ) = ( q( θ), θ) θ θ ˆ θ= θ
Mallin ratkaisu Huomioidaan myös, että koska v on kasvava, IR-ehto v( θ ) 0 θ pelkistyy muotoon v( θ ) = 0 Eliminoidaan t(θ) tehtävän kohdefunktiosta Integroimalla edellisen kalvon tulosta θ u v( θ ) = ( q( τ), τ) dτ, josta edelleen θ θ θ u t( θ ) = u( q( θ), θ) v( θ) = u( q( θ), θ) ( q( τ), τ) dτ θ θ
Mallin ratkaisu Sijoittamalla t kohdefunktioon ja osittaisintegroimalla θ θ θ u uq ( ( θ ), θ) ( q( τ), τ) dτ Cq ( ( θ)) f ( θ) θ θ θ u 1 = uq ( ( θ), θ) Cq ( ( θ)) ( q( θ), θ) f ( θ) θ θ h( θ) f ( θ ) h( θ ) = 1 F( θ ) missä on ns. vikataajuusfunktio (hazard rate)
Mallin ratkaisu Välivaiheet vielä aukikirjoitettuna θ θ u ( q ( ), ) d f ( ) d θ τ τ τ θ θ θ θ θ u θ u = F( θ) ( q( τ), τ) dτ F( θ) ( q( θ), θ) θ θ θ θ θ u θ u θ u = F( θ ) ( q, τ) dτ F( θ) ( q, τ) dτ F( θ) ( q, θ) θ θ θ θ θ θ θ u = ( 1 F( θ) ) ( q( θ), θ) θ θ
Mallin ratkaisu Tehtävän max H ( q( θ ), θ) optimi q* q θ saadaan lopulta maksimoimalla integrandi jokaisessa pisteessä: H ( q ( θ), θ) = 0 q Toisin sanoen Tämä on myös tehtävän ratkaisu, mikäli ehto pätee, eli q* on ei-vähenevä dq ( θ ) 0 θ 2 u u 1 ( q ( θ), θ) = C'( q ( θ)) + ( q ( θ), θ) q q θ h( θ )
θ θ Ratkaisun tulkinta θ u 1 Hq (, θ ) f( θ) = uq (, θ) Cq ( ) ( q, θ) f( θ) θ θ h( θ) H:n ensimmäinen osa, uq (, θ) Cq ( ), on tyypin θ agentin ja päämiehen hyötyjen summa sosiaalinen hyöty, kun informaatioepäsymmetrioita ei ole (ns. first-best) v '( θ ) Jälkimmäinen termi,, kuvaa epätäydellisen h( θ ) informaation vaikutusta; v(θ):n täytyy olla kasvava, jotta kannustinyhteensopivuus toteutuisi
Ratkaisun tulkinta v(θ) edustaa tyypin θ informaatiotuottoa Agentit hyötyvät yksityisestä informaatiostaan: v(θ) on tyypin kasvava funktio alimmalle tyypille tämä on 0 Korkeammat tyypit voivat piiloutua alempien taakse => informaatiotuotto on hinta, jonka päämies joutuu maksamaan saadakseen agentit paljastamaan tyyppinsä
Ratkaisun tulkinta Implisiittinen ratkaisu q*:lle 2 u u 1 ( q ( θ), θ) = C'( q ( θ)) + ( q ( θ), θ) q q θ h( θ ) Lausekkeen mukaan hinta on optimissa rajakustannuksia suurempi; tämä ero johtaa informaatiotuottojen olemassaoloon Ratkaisu siis optimaalinen rajoitetussa mielessä (sedond-best, vs. first-best)
Huomautus (1/2) Kun q* on ei-vähenevä, päädytään erottavaan (separating) optimiin
Huomautus (2/2) Jos taas q* vähenee jollain välillä, se ei kelpaa ratkaisuksi: tarvitaan lisätarkasteluja (ks s.38-39) Esim. ns. silitysrautamenettely (ironing): pakotetaan ratkaisu ei-väheneväksi tällöin muodostuu välejä, joilla q* vakio => välin tyypit eivät erotu optimissa kasautuva (bunching, pooling) optimi
Yhteenveto Muodostetaan optimointitehtävä rajoituksineen (IC ja IR) Kirjoitetaan välttämättömät ehdot kannustinyhteensopivuudelle ja käytetään Spence-Mirrlees ehtoa, jolloin saadaan lokaalit ehdot IC 2 vaatii että q ei-vähenevä, IC 1 antaa lausekkeen t:lle Eliminoidaan t kohdefunktiosta ja osittaisintegroidaan Optimi saavutetaan, kun saatu integrandi maksimoidaan jokaisessa pisteessä => välttämättömästä ehdosta (derivaatta nolla) lauseke, josta q* voidaan eksplisiittisesti ratkaista Jos saatu q* on ei-vähenevä, se on käypä ratkaisu
Kotitehtävä (3) Kappaleen 2.3 standardimallin optimi q* on tehtävän ratkaisu, mikäli monotonisuusehto dq pätee. ( θ ) 0 (Salanié Ex 2.2.3.) Tehdään kappaleen 2.3.2 viitekehyksessä seuraavat oletukset: uq (, θ ) = θ q ja C konveksi. Osoita, että q* on kasvava mikäli θ noudattaa tasajakaumaa.