5 Kentät ja energia (fields and energy)

5 Kentät ja energia (fields and energy) Mansfield and O Sullivan: Understanding Physics, kappaleen 5 alkuosa 5.1 Newtonin gravitaatiolaki Newton: vetovoima kahden kappaleen välillä on tai tarkemmin F m 1m 2 F = G m 1m 2 ˆr missä ˆr on r :n suuntainen yksikkövektori ja G on yleinen gravitaatiovakio (gravitational constant), jolle G = 6, 6726 10 11 Nm 2 /kg 2 Laki on tyypillinen inverse square law, jossa voima on kääntäen verrannollinen etäisyyden neliöön Ohuen pallonkuoren ja pistemäisen hiukkasen välinen voima on F = { G mm ˆr kun r R 0 kun r < R missä m on pistemäisen hiukkasen massa, M s pallonkuoran massa ja R pallonkuoren säde (katsotaan tarkemmin myöhemmin) Homogeenisen pallon aiheuttama gravitaatiovoima Otetaan a-säteinen pallo, jonka tiheys on ρ. Tällöin pallon massa M on M = V ρ = 4 3 πa3 ρ Pallon ulkopuolella hiukkasen ja pallon välinen vetovoima on F ulkopuolella = GmM 1

missä r on hiukkasen ja pallon keskipisteen välinen etäisyys Pallon sisäpuolella, säteen r päässä pallon keskipisteestä F sisäpuolella = Gm(4/3πr3 )ρ = G mm a r 3 Vektorina tämä sama on { G mmˆr kun r a F = G mm rˆr kun r < a a 3 Paino: Kappaleelle, joka on Maan (planeetan tai jonkin muun kappaleen) pinnalla, on voima F = G mm p ˆr Rp 2 missä r = R p planeetan säde ja M p planeetan tai kappaleen massa Maan pinnalla kappaleen paino W on W = mg = G mm E ˆr RE 2 josta saadaan g = GM E R 2 E Tässä Maan massa on M E = 5, 979 10 24 kg ja Maan säde R E = 6, 372 10 6 m 5.2 Yleinen voimakenttä (general force field) Testihiukkanen on hyvin pienimassainen hiukkanen, jolla voidaan ympäristöä häiritsemättä mitata voimia avaruuden eri pisteissä. Voimakenttä on vektorikenttä, jossa kussakin pisteessä (x,y) on testihiukkasella mitattu voima F. Pistemäisen hiukkasen tapauksessa gravitaatiovoima suuntautuu hiukkasta kohti Suunta voidaan havaita testihiukkasen avulla. Gravitaatiokentän kenttäviivat ovat viivoja, joita pitkin vapaa testihiukkanen liikkuisi, jos se päästettäisiin levosta liikkeelle. 2

Pistemäisen hiukkasen (tai homogeenisen pallon tapauksessa) kenttäviivat ovat radiaalisia Homogeenisessä gravitaatiokentässä kenttäviivat on joka paikassa yhdensuuntaisia Gravitaatiokentän voimakkuus Kappale, jolla on massa M, aiheuttaa gravitaatiokentän Jos muita kappaleita ei ole lähistöllä, ei kappaleeseen vaikuta voimia Pisteessä P r:n etäisyydellä m massaisesta kappaleesta gravitaatiokenttä on g(r) = F(r) m missä F(r) on voima, joka vaikuttaa m-massaiseen hiukkaseen etäisyydellä r Homogeenisessä kentässä g(r) = g o = vakio Radiaalisessa kentässä g(r) = G M ˆr Kun g(r) tunnetaan kaikkialla, tunnetaan samalla gravitaatiokenttä. Siten merkintä F(r) tarkoittaa, että F on paikan r funktio. 5.3 Vuo (flux) Gravitaatiovoima on eräs esimerkki inverse square law voimasta. Se on siis kääntäen verrannollinen etäisyyden neliöön. Tässä kappaleessa otetaan esille käsitteet vuo, vuon tiheys ja kokonaisvuo. Esimerkkeinä valon virtaus sähkölampusta, veden virtaus vesijohdossa, rdioaktiivisen lähteen hajoaminen,... Veden virtauksessa lähteen kokonaisvuo on litraa/s, vuon tiheys jossain pisteessä on litraa/m 2 s. Gravitaatiovuon tiheys Gravitaatiossa voidaan puhua myös vuosta ja vuon tiheydestä, vaikka gravitaatiossa ei mitään virtaakaan. Kyseessä on siten abstrakti käsite. Voidaan kuitenkin ajatella, että gravitaatiovuorovaikutus liittyy gravitaation voimaviivoihin (vaikkei sellaisiakaan ole). Toiseksi gravitaation voimaviivat päättyvät kappaleeseen, jolla on massa. Kappaleet ovat pikemminkin nieluja kuin lähteitä. Gravitaatiovuon voidaankin ajatella saavansa al- 3

kunsa äärettömän kaukaa ja päättyvän kappaleeseen. Jos jossain alueessa on useita kappaleita, joiden massat ovat M 1, M 2, M 3... ovat gravitaatiokentän voimaviivat monimutkaisia. Kappaleisiin yhdistetty kokonaisvuo Φ g rinnastetaan kappaleiden massoihin Φ g = Φ 1 + Φ 2 + Φ 3 = M 1 + M 2 + M 3 Tällöin saadaan vuon tiheys [ Γ g = lim A 0 ] Φ g ˆt A missä Φ g on vuo kohtisuoran pinta-alan A läpi ja ˆt on A:ta vastaan kohtisuorassa oleva yksikkövektori, jonka suunta on virtauksen tai vuon suunta. t on kenttäviivojen tangentin suuntainen ja vuon tiheys vektori on kenttäviivojen suuntainen. Siten Γ g. Pistemäisen lähteen vuon tiheys Olkoon meillä pistemäinen vuon lähde. Jos tarkastelemme tilannetta etäisyydellä r, siis r-säteisen pallon pinnalla, täytyy vuo/pinta-ala olla sama kaikissa pallon pinnan pisteissä. Vastaavasti pallon keskipisteeseen asennettu pistemäinen valolähde valaisee pallon sisäpinnan tasaisesti. Tällöin vuon tiheys Γ kaikissa r:n etäisyydellä lähteestä olevissa pisteissä P on Γ = Φ 4π Gravitaation tapauksessa vuo on sisäänpäin, joten gravitaatiovuon tiheys etäisyydellä r pistemäisestä kappaleesta, jonka massa on M saadaan Γ g (r) = M 4π ˆr Koska gravitationkentän voimakkuus on g(r) = G M ˆr joten g(r) = 4πG Γ g (r) 4

5.4 Gaussin laki gravitaation tapauksessa Newtonin gravitaatiolakia voidaan kutsua Gaussin laiksi gravitaation tapauksessa ja se sanoo: Gravitaatiokentän vuo minkä suljetun pinnan läpi tahansa on pinnan sisään jäävien kappaleiden massan summa. Pieni vuo jonkin pinnan läpi saadaan vuon tiheyden ja pienen pinta-alan tulona Φ = Γ ( A)n = Γ A Vuon tiheys riippuu paikasta ja A on pinta-ala vektori, joka on kohtisuorassa pintaa vastaan. Kokonaisvuo suljetun pinnan läpi saadaan summaamalla edelläolevat tulot koko pinnan yli. Käytännössä kokonaisvuo saadaan pinta-integraalina seuraavasti Φ = Γ d(a) = i S M i Esimerkki: kaksi pistemäistä kappaletta A ja B, niiden massat m A ja m B ja niiden välinen etäisyys r. Tällöin kappaleen B kohdalla kappaleen A aiheuttama gravitaatiovuon tiheys Γ g on Γ g (r) = m A 4π ˆr joten gravitaatiok entän voimakkuus pisteessä B on g(r) = 4πGΓ g (r) = 4πG m A 4π ˆr = Gm A ˆr Näin kappaleeseen B vaikuttava voima on F = m B g(r) = G m Am B ˆr Esimerkki: homogeenisen pallonkuoren aiheuttama gravitaatiokenttä. Olkoon meillä ohutseinäinen pallonkuori, jonka säde on R. Gaussin lain avulla voidaan pallonkuoren aiheuttaman gravitaatiokentän voimakkuus laskea missä pisteessä tahansa. 5

a) Tarkastellaan pistettä P pallonkuoren ulkopuolella. Valitaan pallon pinta S, jonka säde on r > R. Tämän sisällä oleva massa on sama kuin pallonkuoren massa M s. Olkoon Γ gravitaatiovuon tiheys pallon S pinnan pisteessä P. Gaussin lain avulla saamme Γ d(a) = Γ(4π ) = M s S Etäisyyden r päässä pallonkuoren keskipisteestä gravitaatiovuon tiheys on Γ(r) = M s 4π ˆr ja gravitaatiokentän voimakkuudeksi pisteessä P saadaan g(r) = 4πGΓ(r) = G M s ˆr b) Tarkastellaan pistettä P pallonkuoren sisäpuolella. Valitaan pallon pinta S, jonka säde on r < R. Tämän sisällä oleva massa on nolla. Gravitaatiovuon tiheys Γ pallon S pinnan pisteessä P on myös nolla. Näin ollen g(r) = 0. Gravitaatiokenttä pallonkuoren sisäpuolella on siten nolla. Esimerkki: homogeenisen pallon (massa M) aiheuttama gravitaatiokenttä. Olkoon meillä homogeeninen pallo, jonka säde on a. a) Vastaavasti kuin pallonkuoren tapauksessa etäisyyden r > a päässä pallon aiheuttama gravitaatiovuon tiheys on Γ(r) = M s 4π ˆr ja pallolle saadaan gravitaatiokentän voimakkuudeksi g(r) = 4πGΓ(r) = G M ˆr b) Kun ollaan pallon sisällä etäisyyden r < a päässä pallon keskipisteestä pallon aiheuttama gravitaatiovuon tiheys on Γ(r) = M r 4π ˆr ja pallon sisälle etäisyydelle a keskipisteestä saadaan gravitaatiokentän voimakkuudeksi g(r) = 4πGΓ(r) = G M a 3 r 6

Pistemäisen kappaleen, massa m, kokema voima on siten Käy kirjan esimerkit tarkasti läpi. Paino F(r) = G mm ˆr kun r a F(r) = G mmr ˆr kun r a a 3 Olemme käyttäneet painoa jo monessa paikassa, mutta kirjassa se tulee tässä paikassa. Maapallon pinnalla m-massaiseen kappaleeseen vaikuttava gravitaatiovoima on siten F = G mm E ˆr RE 2 missä M E on maapallon massa ja R E on maapallon säde. Kappaleen paino W on W = mg = G mm E ˆr RE 2 Koska myös gravitaatiovoima on massa kertaa kiihtyvyys, saadaan saadaan kiihtyvyydeksi F = G mm = ma a = G M joka on riippumaton massasta m. 5.5 Liike tasaisessa kentässä: heittoliike Heittoliike on tasossa tapahtuva liike. Tämä on käsitelty jo aikaisemmin. 5.6 Mekaaninen työ ja energia Mekaanista työtä ja energiaa on tarkasteltu yksiulotteisen liikkeen tapauksessa jo aikaisemmin. Tässä tarkastelemme näitä suureita kolmiulotteisesti. Laskettaessa mäkeä, gravitaatiovoima tekee työtä. Kiihtyvyys riippuu kenttävoiman likkeen suuntaisesta komponentista. 7

Jos kappale liikkuu matkan s, tekee voima F työn W = F s = F cosθ s missä θ on voiman ja siirtymän välinen kulma. Työn yksiköksi tulee [W ] = [F ][s] = Nm = J Jos kappale liikkuu voimakentässä A:sta B:hen, voidaan polku jakaa pieniin s:n suuruisiin osiin, jolloin työ tulee olemaan W A B = F 1 s 1 + F 2 s 2 +... + F n s n = i F i s i Yleisesti työ lasketaan viivaintegraalina W A B = W AB = B A F ds Potentiaalienergia: konservatiivinen kenttä Yleisesti työ edellisessä yhtälössä riippuu tiestä. Tarkastellaan esimerkkiä, jossa voima F = byi + bxj, missä b on vakio. Lasketaan työ pitkin suljettua polkua (x, y) (x+ x, y) (x+ x, y+ y) (x, y+ y) (x, y). Tarkastellaan seuraavaksi esimerkkiä, jossa voima F = byi + bxj. Miten nyt käy? Jos voimakenttä on konservatiivinen, tulee työn W AB arvo olemaan vakio Se ei siten riipu tiestä. Tällöin integraalin arvo riippuu vain alku- ja loppupisteistä ja W AB = B A F ds = U(r B ) ( U(r A )) = U(r A ) U(r B ) Tässä U(r):ta sanotaan potentiaalienergiafunktioksi. 8

eli U = F s Potentiaalienergia määritellään funktion arvojen erotuksena kahdessa pisteessä Tällöin funktioon voidaan lisätä mielivaltainen vakio ja erotus pysyy samana Usein: Jos voima on nolla potentiaalienergia on nolla. Hiukkasen potentiaalienergia paikassa r on r r o F ds = U(r) [ U(r o )] = U(r o ) U(r) Nyt jos U(r o ) = 0 r U(r) = r o F ds Hiukkasen potentiaalienergia pisteessä P on työ, joka tehdään voimakentässä siirtämällä hiukkanen nollapotentiaalienergiasta pisteeseen P. Potentiaalienergian yksikkö [U] = J Jos potentiaalienergiafunktio on olemassa, voidaan kentän voima laskea missä pisteessä tahansa Koska U = F ds = F x x saadaan yhdessä ulottuvuudessa U F = lim x 0 x = du dx Laajennetaan lauseke kolmeen ulottuvuuteen jolloin U = (F x x + F y y + F z z) ja saadaan F x = U x 9

F y = U y F z = U z Osittaisderivaatta: Jos U = U(x, y, z) U x = lim x 0 [ ] U(x + x, y, z) U(x, y, z) x Derivoidaan vain yhden muuttujan suhteen pitäen muut muuttujat vakioina Gradientti: Edellisistä saadaan yhteensä F = ( U x i + U y j + U ) ( z k = x i + y j + ) z k U = U missä on suluissa oleva vektorioperaattori = gradientti = x i + y j + z k ja U = U x i + U y j + U z k Jos voimakenttä on siis konservatiivinen, on potentiaalienergia laskettavissa alku- ja loppupisteiden avulla. Kuljetulla tiellä ei ole merkitystä. Lisäys: Yleisesti Stokesin teoreema sanoo, että 10

F dr = S ( F) ˆn da missä S on suljettu pinta, jonka yli integroidaan, da on pinta-ala-alkio ja ˆn on pintaalavektori (suunta oikealla kädellä!). F = curl F on sama kuin roottori F eli se kuvaa pyörteisyyttä. Jos F = niin voima on konservatiivinen! i j k x y z F x F y F z 0 Voima on konservatiivinen, jos sen roottori häviää! Jos roottori F häviää, sen kaikki komponentit häviävät. Tällöin F x = U x, F y = U y, F z = U z ja F = U x i U y j U z k U:n tulee olla jatkuva ja derivoituva funktio. Välttämätön ja riittävä ehto U(x,y,z):n olemassaololle on F = 0. Gradientti osoittaa suurimman muutoksen suunnan! Vapaasti liikkuva hiukkanen liikkuu siten pienimmän potentiaalienergian suuntaan. Voima on AINA kohtisuorassa potentiaalienergian tasa-arvokäyriä tai -pintoja vastaan. 11

Mekaaninen energia Tarkastellaan miten potentiaalienergiaa voidaan muuttaa työksi W AB = B A F(r) ds Newtonin II lain avulla F = ma saadaan W AB = B A B ma ds = m A B dv dt ds = m A dv dt ds dt dt B = m A B dv dt vdt = m A vdv = 1 2 m(v2 B v 2 A) Siten työ on W AB = 1 2 mv2 B 1 2 mv2 A Lauseketta 1 2 mv2 sanotaan kineettiseksi energiaksi K joten K = 1 2 mv2 Koska W AB = U(r B ) ( U(r A )) = 1 2 mv2 B 1 2 mv2 A 1 2 mv2 A + U(r A ) = 1 2 mv2 B + U(r B ) Lauseke on vakio pisteistä A ja B riippumatta. Se on mekaaninen kokonaisenergia. Kyseessä on mekaanisen energian säilymisperiaate E = K + U = 1 2 mv2 + U(r) 12

Konservatiivisessa voimakentässä mekaaninen energia säilyy Koska hiukkasen liikemäärä p = mv saadaan K = 1 2 mv2 = m2 v 2 2m = p2 2m jolloin mekaaninen kokonaisenergia on Hamiltonin funktio E = p2 2m + U(r) Esitellään Hamiltonin funktio, jota tullaan käyttämään myöhemmin mm. kvanttimekaniikassa joten H(p, r) = p2 2m + U(r) H(p, r) = E = vakio Teho (power) Teho määritellään mekaanisen työn avulla: teho = tehty työ aikayksikössä P = lim t 0 W t = dw dt jonka yksikkö on [P ] = [W ] [t] = J s = W = watti Koska dw = F ds saadaan P = dw dt = F ds dt = F v jolloin 13

P = F v missä v on kappaleen nopeus ja F kappaleeseen vaikuttava voima Potentiaalienergiafunktion kuvaaja Potentiaalienergia voidaan esittää x:n funktiona kuten mikä muu suure tahansa Jos voimakenttä on konservatiivinen, on kokonaisenergia E = K + U = vakio, myös kuvaajassa Koska K = 1 2 mv2 0 E U - Potentiaalienergiafunktion ja kokonaisenergian leikkauspisteet ovat hiukkasen käännepisteitä - käännepisteiden ulkopuolella olevat alueet ovat kiellettyjä klassisessa mekaniikassa Kuvaajasta saadaan myös voima F = du dx 5.7 Energia tasaisessa kentässä Tässä kappaleessa tarkastellaan muutamaa esimerkkiä: - kappale vapaassa putoamisliikkeessä - kappale putoaa vapaasti ja rajana on maanpinnan taso - hiukkanen 1-dimensioisessa laatikossa 5.8 Energia inverse square law kentässä Etäisyyden neliöön verrannollinen vetovoima Newtonin vetovoimalain mukaisessa tilanteessa potentiaalienergia U on U(r) = GmM r Tällöin potentiaalienergia on äärettömän kaukana nolla 14

Potentiaalienergian kuvaajasta ja kokonaisenergiasta voidaan päätellä kappaleen tilasta. U(r):n gradientti on aina positiivinen ja voima siten F = du dr aina negatiivinen eli radiaaliseen suuntaan nähden vastakkainen Jos otamme potentiaalienergiafunktiosta hyvin pienen r:n suuruisen pätkän, se näyttää suoralta Vastaavasti Maan pinnan läheisyydessä potentiaalienergiakäyrä on lähes suora. Siten m-massaisen hiukkasen potentiaalienergia on Derivoidaan U r:n suhteen, jolloin U = GmM E r Etäisyydellä r potentiaalienergia on du dr = GmM E tai du(r) = GmM E dr U(r) = GmM E r ja etäisyydellä r + r U(r + r) = GmM E (r + r) (r + r) GmM E (r + r) 2 jolloin näiden erotus on U = GmM E r Jos ero r tulkitaan korkeudeksi y siten, että nollataso on Maan pinnan tasolla, saadaan 15

U = GmM E y RE 2 missä Tällöin U = mgy g = GM E R 2 E Huom! Tämä pätee vain pienellä korkeusalueella Maan pinnan läheisyydessä Etäisyyden neliöön kääntäen verrannollinen poistovoima Voima voi olla yhtä hyvin veto- kuin poistovoima. Poistovoiman tapauksessa potentiaalienergia on U(r) = + C r missä C on jokin vakio. Tällaisen käyrän gradientti on negatiivinen Miten hiukkanen voi liikkua tällaisessa voimakentässä? Entä jos kaksi attraktiivista inverse square law kenttää laitetaan R:n etäisyydelle toisistaan, miten tässä kentässä oleva hiukkanen voisi liikkua?? 16