MAT Todennäköisyyslaskenta Tentti / Kimmo Vattulainen

Samankaltaiset tiedostot
MAT Todennäköisyyslaskenta Tentti / Kimmo Vattulainen

MAT Todennäköisyyslaskenta Tentti / Kimmo Vattulainen

3. laskuharjoituskierros, vko 6, ratkaisut

5. laskuharjoituskierros, vko 8, ratkaisut

2. Jatkoa HT 4.5:teen ja edelliseen tehtavään: Määrää X:n kertymäfunktio F (x) ja laske sen avulla todennäköisyydet

(b) Tarkista integroimalla, että kyseessä on todella tiheysfunktio.

4.1. Olkoon X mielivaltainen positiivinen satunnaismuuttuja, jonka odotusarvo on

Ilkka Mellin (2008) 1/5

4. laskuharjoituskierros, vko 7, ratkaisut

Todennäköisyysjakaumia

Juuri 10 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

Lisätehtäviä ratkaisuineen luentomonisteen lukuihin 2-4 liittyen

Tehtäväsarja I Tehtävät 1-5 perustuvat monisteen kappaleisiin ja tehtävä 6 kappaleeseen 2.8.

1. Kuusisivuista noppaa heitetään, kunnes saadaan silmäluku 5 tai 6. Olkoon X niiden heittojen lukumäärä, joilla tuli 1, 2, 3 tai 4.

D ( ) E( ) E( ) 2.917

Suotuisien tapahtumien lukumäärä Kaikki alkeistapahtumien lukumäärä

(b) Onko hyvä idea laske pinta-alan odotusarvo lähetmällä oletuksesta, että keppi katkeaa katkaisukohdan odotusarvon kohdalla?

Käytetään satunnaismuuttujaa samoin kuin tilastotieteen puolella:

Lisää Diskreettejä jakaumia Lisää Jatkuvia jakaumia Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia

Jatkuvat satunnaismuuttujat

riippumattomia ja noudattavat samaa jakaumaa.

30A02000 Tilastotieteen perusteet

5/11 6/11 Vaihe 1. 6/10 4/10 6/10 4/10 Vaihe 2. 5/11 6/11 4/11 7/11 6/11 5/11 5/11 6/11 Vaihe 3

/1. MTTTP5, luento Normaalijakauma (jatkuu) Binomijakaumaa voidaan approksimoida normaalijakaumalla

ABHELSINKI UNIVERSITY OF TECHNOLOGY

Mat Sovellettu todennäköisyyslasku A

Mat Sovellettu todennäköisyyslasku A

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

Mat Sovellettu todennäköisyyslasku A

MS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

Mat Sovellettu todennäköisyyslasku 5. harjoitukset/ratkaisut. Jatkuvat jakaumat

2 exp( 2u), kun u > 0 f U (u) = v = 3 + u 3v + uv = u. f V (v) dv = f U (u) du du f V (v) = f U (u) dv = f U (h(v)) h (v) = f U 1 v (1 v) 2

b) Jos Ville kaataisikin karkit samaan pussiin ja valitsisi sieltä sattumanvaraisen karkin, niin millä todennäköisyydellä hän saisi merkkarin?

VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE Ratkaisut ja arvostelu < X 170

3.7 Todennäköisyysjakaumia

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

Gripenberg. MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Tentti ja välikoeuusinta

Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe klo Ratkaisut ja pisteytysohjeet

Tilastollinen päättely II, kevät 2017 Harjoitus 1A

031021P Tilastomatematiikka (5 op) viikko 3

Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe klo 10 13

MS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio

Sallitut apuvälineet: MAOL-taulukot, kirjoitusvälineet, laskin sekä itse laadittu, A4-kokoinen lunttilappu. f(x, y) = k x y, kun 0 < y < x < 1,

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

/1. MTTTP5, luento Normaalijakauma (jatkuu) Binomijakaumaa voidaan approksimoida normaalijakaumalla

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

MS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

Diskreetit todennäköisyysjakaumat. Kertymäfunktio Odotusarvo Binomijakauma Poisson-jakauma

Harjoitus 2: Matlab - Statistical Toolbox

Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Todennäköisyyslaskun kertaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1

6. laskuharjoitusten vastaukset (viikot 10 11)

Otosavaruus ja todennäköisyys Otosavaruus Ë on joukko, jonka alkiot ovat kokeen tulokset Tapahtuma on otosavaruuden osajoukko

Tilaston esittäminen frekvenssitaulukossa ja graafisesti. Keskiluvut luokittelemattomalle ja luokitellulle aineistolle: moodi, mediaani, keskiarvo.

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

4. Tutkittiin kolikonheittäjän virheetöntä rahaa. Suoritettiin kymmenen

x 4 e 2x dx Γ(r) = x r 1 e x dx (1)

Poisson-prosessien ominaisuuksia ja esimerkkilaskuja

VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE Ratkaisut ja arvostelu

Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia

Johdatus tn-laskentaan torstai

0 3 y4 dy = 3 y. 15x 2 ydx = 15. f Y (y) = 5y 4 1{0 y 1}.

D ( ) Var( ) ( ) E( ) [E( )]

Tilastomatematiikka Kevät 2008

Mat Sovellettu todennäköisyyslasku A

Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Kertymäfunktio

dx=5&uilang=fi&lang=fi&lvv=2014

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

Verkot ja todennäköisyyslaskenta Verkko Verkko eli graafi muodostuu pisteiden joukosta V, särmien joukosta A ja insidenssikuvauksesta : A V V jossa

4 Todennäköisyysjakauma

Inversio-ongelmien laskennallinen peruskurssi Luento 7

MTTTP5, luento Kahden jakauman sijainnin vertailu (jatkoa) Tutkimustilanteita y = neliöhinta x = sijainti (2 aluetta)

Tilastotieteen kertaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1

TODENNÄKÖISYYSLASKUN KERTAUS Peruskäsitteitä

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia

&idx=2&uilang=fi&lang=fi&lvv=2015

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

Tilastollinen päättömyys, kevät 2017 Harjoitus 6B

Mat Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

Tilastollinen testaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1

HY, MTO / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIa, syksy 2018 Harjoitus 3 Ratkaisuehdotuksia.

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Kertymäfunktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1

Miten voidaan arvioida virheellisten komponenttien osuutta tuotannossa? Miten voidaan arvioida valmistajan kynttilöiden keskimääräistä palamisaikaa?

dx=2&uilang=fi&lang=fi&lvv=2015

HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Tilastollinen päättely II, kevät 2017 Harjoitus 1 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I

MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja jakaumat

Kohdassa on käytetty eksponentiaalijakauman kertymäfunktiota (P(t > T τ ) = 1 P(t T τ ). λe λτ e λ(t τ) e 3λT dτ.

Teema 7: Todennäköisyyksien laskentaa

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

Mat Sovellettu todennäköisyyslasku. Aiheet: Todennäköisyyslaskennan peruskäsitteet Todennäköisyyslaskennan peruslaskusäännöt Avainsanat:

Transkriptio:

MAT-200 Todennäköisyyslaskenta Tentti 29.04.20 / Kimmo Vattulainen Funktiolaskin sallittu.. a) Pelaajat A ja B heittävät noppaa vuorotellen ja pelin voittaa se, joka saa ensimmäiseksi kuutosen. A aloittaa ja molemmilla on heittoyritystä. Laske todennäköisyydet tapahtumille: A voittaa, B voittaa, kumpikaan ei voita. b) Laitteessa on kaksi samanlaista, toisistaan riippumatonta komponenttia A ja B. Jos A ja B ovat viallisia, laite ei toimi. Muulloin laite toimii normaalisti. On todettu, että % uusista laitteista ei toimi johtuen juuri viallisista komponenteista A ja B. Tärkeälle asiakkaalle halutaan toimittaa vain sellaisia laitteita, jossa A ja B ovat ehjiä. Kuinka monta tällaista laitetta keskimäärin löytyy 000 kpl laite-erästä? 2. Työpaikassa kahvitauon pituus X minuuteissa on satunnaismuuttuja, jonka tiheysfunktio on { c ( x) kun x f(x) = 0 muulloin a) Määritä vakio c b) Millä todennäköisyydellä kahvitauko kestää vielä ainakin viisi minuuttia, kun se on jo kestänyt kahdeksan minuuttia? c) Määritä kahvitauon pituuden odotusarvo.. Määritä todennäköisyys P (X ) tapauksissa a)-f). Esitä vastaus tarkkana arvona tai lähimpänä määritettävissä olevana arvona. a) X Tas(0, ) b) X Tasd(0, ) c) X Poi() d) X t() e) Ω X = [0, 4] ja tiheysfunktio f(x) = x/8. f) Kertymäfunktio välillä [0, 6] on F (x) = x 2 /6 4. Opettaja tietää kokemuksesta, että 2% tenttiin ilmoittautuneista opiskelijoista ei saavu paikalle. Tenttiin on ilmoittautunut 220 opiskelijaa. Laske normaaliapproksimaatiota käyttäen kuinka suuri sali tarvitaan, että kaikki paikalle tulevat saavat 99% :n todennäköisyydellä istumapaikan.

MAT-200 Todennäköisyyslaskenta 29.04.20 Tehtävien ratkaisut. a) Merkitään tapahtumia A i ="A saa i:nnellä heitolla kuutosen" ja vastaavasti B i ="B saa i:nnellä heitolla kuutosen". A voittaa, jos hän saa kuutosen, 2 tai heitollaan, jolloin aikaisemmat heitot eivät ole voineet olla kuutosia. Todennäköisyys, että A voittaa on siis P (A voittaa) = P (A ) + P (A B A 2 ) + P (A B A 2 B 2 A ) = 6 + 6 6 6 + 6 6 6 6 6 = 67 8 = 0.628 Todennäköisyys, että B voittaa, on /6 yllä olevasta todennäköisyydestä, sillä B voi aloittaa oman yrittämisensä, jos A ei onnistu saamaan kuutosta ensimmäisellä heitollaan. Todennäköisyys että B voittaa on siis 6 67 8 = 082 79 = 0.02 Todennäköisyys, että kumpikaan ei voita on 67 8 082 79 = 24 69 = 0.49 Tämän tuloksen voi laskea myös ( ) 6 P (A B A 2 B 2 A B ) = = 24 6 69 = 0.49 b) Merkitään A="komponentti A on rikki" ja B="komponentti B on rikki". Laite on rikki, jos A ja B ovat rikki eli joukkomerkintänä A B. A ja B ovat riippumattomia tapahtumia ja myös yhtä todennäköisiä tapahtumia, koska komponentit ovat samanlaisia. Saadaan siis P (A B) = P (A)P (B) = (P (A)) 2 = 0.0 P (A) = 0.0 = 0.226 "Molemmat komponentit ovat ehjät" voidaan merkitä tapahtumana A B. Jos A ja B ovat riippumattomia tapahtumia, niin myös A ja B ovat riippumattomia. Kysytty todennäköisyys P (A B) = P (A)P (B) = P (A) 2 = ( 0.226) 2 = 0.6028 Näin tuhannesta laitteesta keskimäärin 602:ssa (tai 60:ssa) ovat molemmat komponentit A ja B ehjiä.

2. a) f(x) dx oltava = eli c( x) dx = c( x) dx = c / x 2 x2 = c ( 2 2 2 + 2 ) 2 = 0c = c = 0 b) Kysytty todennäköisyys on ehdollinen todennäköisyys P (X X > 8) = = P ({X } {X 8}) = P (X 8) 0 8 ( x) dx 0 ( x) dx = = 2 49/2 = 0.082 / / 8 x 2 x2 x 2 x2 P (X ) P (X 8) c) E(X) = 0 ( x)x dx = 0 = 0 / 2 x2 x ( 2 2 2 2 + = 2 = 8. )

. a) X Tas(0, ). Otosavaruus on väli [0, ], joten tapahtumaan X kuuluu vain yksi piste. Jatkuvalla satunnaismuuttujalla yksittäisen pisteen todennäköisyys on nolla, joten P (X ) = 0 b) X Tasd(0, ). Otosavaruus on joukko {0,, 2, }. Jokainen alkeistapaus on yhtä todennäköinen, joten c) X Poi(): P (X ) = 4 P (X ) = P (X = 0) P (X = ) P (X = 2) ( ) = e 0 0! +! + 2 = 0.77 2! d) X t(). Taulukosta nähdään, että P (X.02) = 0.00, joten P (X ) 0.00 e) Ω X = [0, 4] ja tiheysfunktio f(x) = x/8: P (X ) = 4 x 8 dx = / 4 x 2 6 = 9 6 = 7 6 f) Kertymäfunktio välillä [0, 6] on F (x) = x2 6. Koska kertymäfunktio on jatkuva, on myös satunnaismuuttuja X jatkuva. Siksi P (X ) = P (X < ) = P (X ) = F () = 2 6 = 4

4. Olkoon X="paikalle saapuvien lukumäärä 220:sta". Jos oletetaan, että henkilöiden saapumiset ovat toisistaan riippumattomia tapahtumia, niin X Bin(220, 0.7) Binomijakauman normaaliapproksimaation mukaan X noudattaa likimäärin normaalijakaumaa X. N(220 0.7, 220 0.7 0.2) = N(6, 4.2) Olkoon salin koko = k. Nyt siis haetaan rajaa k, jolle X 6 P (X k) = 0.99 P k 6 } 4.2 {{} 4.2 = 0.99 Φ N(0,) ( k 6 4.2 ) = 0.99 = Φ(2.) k 6 4.2 = 2. k = 4.2 2. + 6 = 79.96 Kun salissa on paikkoja vähintään 80, niin silloin 99%:n todennäköisyydellä kaikki saavat paikan.