Matemaattisen analyysin tukikurssi 5. Kurssikerta Petrus Mikkola 10.10.2016
Tämän kerran asiat Raja-arvo ja toispuolinen raja-arvo Funktion suurin ja pienin arvo Lukujono Lukujonon suppeneminen Kasvava ja vähenevä lukujono Sarja (pikainen katsaus) Sarjan suppeneminen Geometrinen sarja
Raja-arvo ja toispuoleinen raja-arvo Seuraava lause yhdistää raja-arvon ja toispuoleisen raja-arvon. Tämä voi olla käyttökelpoinen tilanteissa, joissa emme voi suoraan laskea varsinaista raja-arvoa, mutta toispuoleisten raja-arvojen laskeminen onnistuu. Jos on olemassa lim f(x), niin on olemassa lim f(x) ja lim f(x), ja pätee: x x0 x x 0 + x x 0 lim f(x) = x x 0 + lim f(x) = lim f(x) x x 0 x x 0 Lause pätee myös käänteisesti. Eli jos voimme osoittaa, että oikean- ja vasemmanpuoleinen raja-arvo on olemassa ja nämä ovat samat, niin tiedämme, että varsinainen raja-arvo on myös olemassa ja tämä on sama kuin oikean- ja vasemmanpuoleinen raja-arvo.
Esimerkki Olkoot funktio f: R R, f(x) = x2 15, kun x 5 x + a, kun x > 5 Määrää positiivinen luku a R siten, että f on jatkuva kohdassa x = 5 Funktio f on jatkuva kohdassa x = 5, jos lim x 5 f(x) = f(5) = 10. Meidän tulee siis selvittää raja-arvo kohdassa x = 5 hyödyntäen edellistä lausetta: lim f(x) = x 5+ lim x 5+ x + a = 5 + a ja lim x 5 f(x) = lim x 5 x2 15 = 10 Lauseen mukaan tulee olla: lim f(x) = lim f(x) 5 + a = 10 5 + a = x 5+ x 5 102 a = 95 Siis, lim f(x) = lim f(x) = lim f(x) = 10 = f 5, kunhan a = 95 x 5 x 5+ x 5
Funktion suurin ja pienin arvo Seuraava lause auttaa todistamaan, onko tutkittavalla funktiolla olemassa pienintä tai suurinta arvoa. Varsinaisen arvon laskemiseen se ei anna suoraa tulosta. Jos on jatkuva suljetulla välillä [a,b], niin tällä välillä on olemassa funktion pienin arvo m ja funktion suurin arvo M. Tämän lisäksi funktio saa kaikki arvot väliltä [m,m]. Tämä voidaan ilmaista formaalisti: Jos f a, b R jatkuva, niin f([a,b]) = [m,m]
Esimerkki Jos on jatkuva suljetulla välillä [a,b], niin tällä välillä on olemassa funktion pienin arvo m ja funktion suurin arvo M. Tämän lisäksi funktio saa kaikki arvot väliltä [m,m]. Tarkastellaan jatkuvaa kuvausta: f: R R f x = x 2 + 4 + 2x Aluksi tehdään huomio: lim x f(x) = lim x f(x) = Valitaan nyt mielivaltainen kohta, esim. x=0. Tässä kohdassa pätee f(0)=4. Koska funktio f räjähtää äärettömyyksiin, niin pakosti löytyy väli [a,b], minkä ulkopuolella f(x) > 4. Nyt lauseen perusteella tällä välillä [a,b] on olemassa funktion pienin arvo m = min{f([a,b]}. Olemme siis päätelleet: Kun x R\[a, b]: f(x) > 4 Kun x [a, b]: f(x) m Koska luku 4 kuluu välille [m,m], niin pakosti: 4 m. Mikä tarkoittaa, että: f x > 4 m kaikilla x R\[a, b] tai x [a, b], eli koko R! Funktiolla f on siis olemassa pienin arvo(m) R:ssä
Lukujono Lukujono on kuvaus f N R, f n = a n, missä siis n N Esimerkiksi kaavalla a n = 2n määritelty lukujono: (2,4,6,8,10, ) on parillisten lukujen jono. Lukujonon n:s jäsen on arvo a n, eli esimerkiksi yllä olevassa jonossa 4. jäsen on a 4 = 8. Lukujonoa itseään merkitään yleensä seuraavasti: a n tai (a n ) n=1 tai (a n ) n N tai (a 1, a 2, a 3, a 4, ) Lukujonosta voidaan muodostaa osajono. Tämä on mikä tahansa jono, mikä poimii kasvavassa järjestyksessä alkuperäisen jonon jäseniä. Jonon (a n ) n=1 osajono on jono (a ni ) i=1, kunhan jono n 1, n 2, on aidosti kasvava Esimerkiksi lukujonon a n = 1,2,3,4,5,6, eräs osajono on parittomien lukujen jono (a ni ) = (1,3,5,7,9, ), joka on määritelty kaavalla: a ni = a i, missä i on pariton
Lukujonon suppeneminen Lukujonon suppenemisen määritelmä muistuttaa funktion raja-arvon määritelmää. Lukujono suppenee* kohti lukua a, jos voimme löytää aina lukujono jäsenen, jonka jälkeiset jäsenet sijaitsevat mielivaltaisen lähellä lukua a. Tätä merkitään funktion raja-arvoista tuttuun tyyliin: lim n a n = a Jos lukujono ei suppene, niin sanotaan, että se hajaantuu. Joskus tapaus lim n a n = tulkitaan hajaantumiseksi. Lauseita: 1. Olkoot jono (a ni ) jonon (a n ) osajono. Tällöin: lim (a ni ) = a lim (a n ) = a n n Jono suppenee jos ja vain jos kaikki sen osajonot suppenevat 2. Jos lim n a n = a ja i. lim (a n ± b n ) = a ± b n ii. lim a n b n = ab n iii. lim b n = b, niin n a lim n = a, kunhan b n b n b n 0 n N ja b 0 * Formaalisti: ε > 0 jokaisella mielivaltaisella luvulla, n ε N on olemassa jäsen n ε siten, että n > n ε tämän jäsenen jälkeen a n a < ε (etäisyys on mielivaltaisen pieni)
Esimerkki Olkoot x n lukujono, jolle tiedetään, että jono suppenee kohti lukua x 0, eli lim x n = x 0. Mitä kohti lukujono y n, joka on määritelty kaavalla: n y n = 1 + 1, suppenee? x n Perustelut: lim y 1 1 n = lim + 1 ฎ= n n x n 1*: Edellisen sivun 2. lause kohta (i): 2*: Edellisen sivun 2. lause kohta (iii): 1 2 1 lim + lim 1 ฎ= n x n n x + 1
Kasvava ja vähenevä lukujono Lukujono a n on kasvava, jos: a n+1 a n kaikilla n N Lukujono a n on vähenevä, jos: a n+1 a n kaikilla n N Eli jokainen jonon jäsen on suurempaa(pienempää) tai yhtä suurta kuin edellinen jäsen. Jono a n on ylhäältä rajoitettu, jos löytyy arvo, jota suurempaa mikään jonon jäsen ei ole (itseasiassa tämä tarkoittaa, että joukko a n : n N on ylhäältä rajoitettu). Vastaavasti jono on alhaalta rajoitettu jos, löytyy arvo, jota pienempää mikään jonon jäsen ei ole. Esimerkiksi lukujono (a n ), missä on määritelty a n = 1 n, on: Vähenevä: Koska nimittäjän kasvaessa yhdellä, lukukin vähenee Ylhäältä rajoitettu: Koska jono ensimmäinen jäsen saa arvon yksi, eikä mikään muu jäsen ole tätä jäsentä suurempaa. Alhaalta rajoitettu: Koska jonon jokainen jäsen on positiivinen, eli suurempaa kuin nolla
Esimerkki Määritellään lukujono ns. rekursiivisesti, eli jokainen jäsen määritellään edellisin jäsenen perusteella seuraavasti: Ensimmäinen jäsen: a 1 = 1 Rekursiokaava: a n+1 = 2a n + 2 Osoita induktiolla, että näin määritelty lukujono on kasvava. Tulee siis osoittaa että: a n+1 > a n kaikilla n N 1 n = 1: a 1 = 1 < 4 = 2 2 + 2 = 2a 1 + 2 = a 2 2 Induktio oletus: a n+1 > a n Nyt, a n+2 = a n+1 +1 = 2a n+1 + 2 = ณ> IO ja kuvaus x 2x onkasvava, x 0 Kohdat 1 ja 2 yhdistettynä induktioperiaatteeseen takaa, että: a n+1 > a n kaikilla n N 2a n + 2 = a n+1
Sarjat Olkoot x k lukujono. Jos summaamme yhteen jonon jäseniä n:teen jäseneen asti saame osasumman: n S n = x k = x 1 + x 2 + x 3 + + x n Voimme muodostaa jonon osasummista: 1 S 1 = x k, S 2 = x k, S 3 = x k,, S n = 2 Nyt, jos vaan annetaan tämän mennä äärettömyyksiin saamme sarjan. Voimme yksinkertaisemmin kutsua sarjaksi ääretöntä summaa: Sarjasta puhuttaessa lukujonon x k x k 3 n x k jäseniä kutsutaan termeiksi.
Sarjan suppeneminen Olkoot x k sarja. Sanomme, että sarja suppenee, jos on olemassa osasummien raja-arvo: n lim S n = lim n n x k = S, jossa S R Muussa tapauksessa sanomme, että sarja hajaantuu, eli jos: i. S = ii. S = iii. raja arvoa lim n S n ei ole ollenkaan olemassa
Geometrinen sarja Geometrinen sarja on aq n = a + aq + aq 2 + aq 3 +, n=0 missä a, q R Tässä a on ensimmäinen termi ja lukua q kutsutaan suhdeluvuksi. Geometrinen sarja suppenee, jos ja vain jos a = 0 tai summa on: q < 1. Tällöin sen S = aq n = a 1 q n=0
Esimerkki Suppeeneeko sarja n=0 4 1? Jos suppeenee, niin mikä tällöin on sen summa? 5n Nyt, 4 1 5 n = n=0 n=0 4 1n 5 n = 4 1 5 n=0 n Kyseessä on siis geometrinen sarja, lisäksi suhdeluvulle q pätee: q = 1 5 < 1 Sarja suppeenee tällöin edellisen lauseen perusteella ja sen summa on: S = 4 1 5 n=0 n = 4 1 1 5 = 4 4 5 = 5