Matemaattiset ohjelmistot MS-E1999 2. luennon tehtävät Palauta kustakin harjoitustehtävistä MATLABin publish-toiminnolla julkaistu pdf-dokumentti kurssin Moodle-sivulle viimeistään torstaina 13.3. 23.59 mennessä. Kurssin Moodlen rekisteröitymisavain on matapp122 Kurssin tehtävistä suurin osa on poimittu laitoksen tietokenmatematiikan sivustolta http://math.aalto.fi/opetus/mattie/mattiet/html. Kääntäen, tämänkin kurssin yhteydessä kehitettävät uudet tehtävät ratkaisuineen, vihjeineen ym. siirtyvät samantien Mattie-kokoelmaan. Pikaisimmat Matlab-ohjeet, erityisesti mieliinpalauttamiseksi, jos olet jo aihetta harrastanut: http://math.aalto.fi/opetus/mattie/mattiet/html/mlbasic.html. Samassa viitteessä on koko joukko sopivia sormiharjoitustehtäviä, joita kannattaa omatoimisesti harjoitella. Tehtävät 1. Seuraava koodi toteuttaa Newtonin menetelmän epälineaariselle yhtälölle: k=0;xedell=-inf; % Ovela alustus while abs(x-xedell) > eps*abs(x) xedell=x; x=x-f(x)/fder(x); k=k+1; end Täydennä tämä funktioksi tiedostoon mynewton.m. Otsikkorivi: function z=mynewton(f,fder,x) Yllä olevassa koodissa laskuri k ei ole välttämätön, mutta sen avulla voit testata, ettei funktio ota liikaa kierroksia, esim. asettamalla maxiter=50 ja testaamalla myös sitä whileehdossa. Kirjoita helppiteksti. Muista, että funktion paluumuuttujalle (tässä merkittiin z:lla) pitää sijoittaa lopullinen arvo. Testaa aluksi vaikka tyyliin mynewton(@sin,@cos,2)
2. (a) Muodosta Matlab:lla polynomien p(x) = x 3 +2x 1 ja q(x) = 2x 5 +3 summa. Määritä p(x), q(x) ja (p + q)(x) vektorin x=[-2-1 0 1 2] pisteissä. Miten voit kätevästi tarkistaa, että laskut menivät oikein? Riittääkö vektorin x pituus? Suorita tarkistus myös Symbolic toolboxia hyödyntäen tähän tapaan: syms x, p=x^3 +..., q=..., r=p+q Menikö oikein? (b) Kirjoita funktiotiedosto addpoly.m, jolle annetaan argumentteinä polynomivektorit ja joka palauttaa summapolynomi(vektorin). Kirjoita alkukommentit, joissa käyttötarkoitus, ohje ja käyttöesimerkki. Se siis tulee näkyviin komentamalla >> help polysum. Testaile! Vihje np=length(p);nq=length(q);m=max(np,nq); Muodosta 2 m nollamatriisi, jonka 1. riville viet p:n loppuun kiinnittäen ja 2. riville vastaavasti q:n. (Muista viittaus viimeiseen alkioon: end.) Sitten vaan muodostat sarakesummat sum-funktiolla, siinäpä se! Toinen vaihtoehto on asettaa samalla tavoin kohdakkain, mutta päivittää yhteenlaskemalla vain se osa pitemmästä, jonka kohdilla on nollasta poikkeavia kertoimia. (Laskennallisesti parempi, koska turhaa nolla-aritmetiikkaa ei tehdä.) (c) Kirjoita funktio mypolyder, joka muodostaa kerroinvektorin perusteella derivaattapolynomin kerroinvektorin: function dp=mypolyder(p) % Polynomin derivaatta % Esim:... Testaa ja vertaa symbolic toolboxin antamaan. Vihje polyval arvon laskemiseen. syms x, poly=2*x^5+..., diff(poly,x) 3. Eräässä (keskilännen) kaupungissa tilastoitiin 3:n eri viikon aikana alkoholin kokonaiskulutus ja rattijuopumuspidätykset seuraavan taulukon mukaisesti. Viikko Alkoholin kulutus(litraa) RJ-pidätykset 1 400 000 237 2 930 000 845 3 1 704 000 1356 Arvioi interpolaatiopolynomin avulla RJ-pidätysten lukumäärä viikolla, jolla kulutus olisi 1 230 000 litraa.
(a) Olkoon p(x) = ax 2 + bx + c. Muodosta annetun datan perusteella yhtälöryhmä, jossa tuntemattomina ovat kertoimet a, b, c. Kirjoita yhtälöryhmä matriisimuotoon: Ax = B ja ratkaise Matlab:n takakenolla (\). (b) Käytä polynomin arvon laskentaan polyval-funktiota (c) Piirrä datapisteet ja interpolaatiopolynomin kuvaaja, sekä merkitse rinkulalla kysytty piste. Vihje: Vastaisuuden varalle voit tutustua myös funktiohin vander ja polyfit. 4. mlcf02 (Perus-Matlabtekniikkaa polynomi-interpolaatiotehtävään) Muodosta interpolaatiopolynomi pisteistölle, joka saadaan laskemalla funktion f(x) = cos(1 + x 2 ) arvot tasavälisessä x-pisteistössä, jossa on 7 pistettä välillä [0, 3]. Piirrä samaan kuvaan funktio, datapisteet (rinkuloilla) ja interpolaatiopolynomi. Vihje help (tai doc) polyfit, polyval. Sinun on tiedettävä, mikä on polynomin asteluku. Tarkistus: Kulkeeko polynomi kaikkien datapisteiden kautta. (Ellei, olet luultavimmin valinnut polynomin asteluvun väärin.) 5. Kiintopisteiteraatio Ann Greenb. kirjassa voi olla hyviä, myös Julia ym. 6. Ehkä tuo Fourier-muunnosmatriisi ja samassa jotain Vandermondesta (Fourier muunnos ehkä vasta myöhemmin) 7. Historiallisesti mielenkiintoinen yhtälö on x 3 2x 5 = 0, jota Wallis-niminen matemaatikko käsitteli, kun hän ensi kertaa esitteli Newtonin menetelmää Ranskan akatemialle. [Lähde: Moler NCM] (a) Piirrä kuvaaja saadaksesi alkuarvon Newtonin menetelmälle reaalijuurta varten. (b) Määritä reaalijuuri mynewton:lla Neuvo: Polynomifunktion voit määritellä tähän tapaan, kun p on kerroinvektori: p=[... ] % Huom: suoritettava ennen funktion määritystä. pf=@(x) polyval(p,x) Derivaatan saat polyder- (tai mypolyder)-funktiolla. (c) Yritä löytää kompleksijuuri antamalla kompleksisia alkuarvoja. (Jos löydät yhden, niin toinen on sen liittoluku.)
(d) Määritä juuret roots-funktion avulla ja piirrä. plot soveltuu kompleksivektoriin suoraan, piirrä erillisinä pisteinä. 8. Yhdysvaltojen perustuslaki vaatii, että maassa suoritetaan joka kymmenes vuosi väestönlaskenta. Ohessa on väestönlaskennan tuloksia sadoissa miljoonissa asukkaissa viime vuosisadalta. 1900 1910 1920 1930 1940 1950 1960 1970 1980 1990 76 92 106 122 132 150 179 203 226 248 Tee polynomi-interpolointi datalle, ja ennusta väestön määrä vuonna 2010. Kuinka ennusteesi suhtautuu laskennan todelliseen tulokseen: 308,745,538 laskettua asukasta? Sovita eriasteisia PNS-polynomeja, vrt. Matlab Censusgui. Jos haluat, voit myös kokeilla muita interpolaatiomenetelmiä, esim. pchip, spline. Millä menetelmillä väestöennuste menee nollille ennen vuotta 2020? Vihje: polyfit,polyval,vander 9. Olkoon (a) f(x, y) = sin(3 y x 2 + 1) + cos(2 y 2 2 x). Piirrä pintakuva ja korkeuskäyräpiirros, jälkimmäinen sekä contour että ezcontourfunktioilla. Tässä on mahdollisuus kokeilla korkeuskäyrien valitsemistapoja, myös clabel. Ota alueeksi vaikka [-2 2-1 1]. (b) Piirrä jokin mielenkiintoisen näköinen pinta ympyräalueen päälle käyttäen napakoordinaattiesitystä. Vihje: Opiskele: http://math.tkk.fi/ apiola/matlab/opas/lyhyt/grafiikka.html#sec:3d Matlab-help: mesh, surf, surfc, colorbar, contour, ezsurf, ezcontour 10. Tietokonegrafiikka käyttää runsaasti erilaisia lineaarialgebran operaatiota; esimerkiksi kappaleen kierto on yksinkertainen matriisi-vektori operaatio. Kahdessa ulottuvuudessa käyrää voidaan kiertää positiiviseen kiertosuuntaan kulman θ verran origon ympäri kertomalla käyrän jokainen piste rotaatiomatriisilla cos θ sin θ R = sin θ cos θ Esimerkiksi, jos halutaan kiertää suorakulmiota, jonka kulmat ovat (1, 0), (0, 1), ( 1, 0), (0, 1) origon ympäri kulman θ = π verran, niin sen voi tehdä seuraavasti 4 %% Create a matrix holding the vertices of rectangle U= [1, 0, 1, 0; 0, 1, 0, 1]; theta = pi/4; % Draw red unit circle fill(u(1,:),u(2,:),'r') % adjust the axist to proper size
axis([ 1.5,1.5, 1.5,1.5]); hold on %% Rotate R = [cos(theta), sin(theta);sin(theta),cos(theta)]; V = R*U; fill(v(1,:),v(2,:),'y') hold off Huomaa, että fill, niinkuin kaikki muutkin MATLAB-polygonikomennot, toimii monikulmion kärkipisteiden perusteella. a) Muokkaa oheista skriptiä niin, että se piirtää kolmion, jonka kärjet ovat (5, 0), (6, 2), (4, 1). Piirrä kolmiot, kun olet kiertänyt niitä π,π ja 3π radiaania origon ympäri. Piirrä kaikkikolme kolmiota samaan 2 2 kuvaan. b) Jos kierrät kappaletta ensin θ radiaania, ja sitten θ radiaania, tuloksena pitäisi olla muuttumaton kappale. Osoita että, että R(θ) 1 = R( θ). (Trigonometriset identiteetit cos( θ) = cos(θ) ja sin( θ) = sin(θ) auttavat). c) Olkoon R matriisi, joka vastaa kiertoa π 8 radiaania, ja olkoot ˆR = 0.9R. Nyt matriisi R samanaikaisesti kiertää ja kutistaa kappaletta, johon se operoi. Muokkaa oheista skriptiä niin, että se kiertää ja kutistaa alkuperäistä nelikulmiota 50 kertaa, ja piirrä jokainen välivaihe näkyviin (for,hold on) d) Muokkaa edellisen kohdan skriptiä niin, että jokaisella askeleella ˆR:llä kertomisen lisäksi siirrät kappaletta 1:llä x-suunnassa, ja 2:lla y-suunnassa. Muista, että operaatio tulee kohdistaa kappaleen jokaiseen kulmaan. Käytä jälleen piirrosta hyväksesi ratkaistaksesi yhtälö x = ˆR y x + y 1 2