Harjoitus 1: Matlab. Harjoitus 1: Matlab. Mat Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 1. Syksy 2006

Transkriptio

1 Harjoitus 1: Matlab Mat Sovelletun matematiikan tietokonetyöt Syksy 2006 Mat Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 1

2 Harjoituksen aiheita Tutustuminen Matlab-ohjelmistoon Laskutoimitusten tekeminen Matlabissa Matlabin sisäänrakennetut funktiot Ohjelmoinnin alkeita Mat Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 2

3 Matlab Matlab (MATrix LABoratory): numeeriseen laskentaan tarkoitettu ohjelma. Käytetään laajasti eri insinöörialoilla. Mat Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 3

4 Numeerinen laskenta - Symbolinen laskenta Symbolinen laskenta: laskenta suljetussa muodossa. - Tarkka ratkaisu, ei pyöristysvirheitä. Likiarvoinen ratkaisu numeerisesti monesti helpompaa ja nopeampaa. - Käytännön sovelluksia: matemaattinen mallintaminen, simulointi... Laskentatarkkuus voi olla ongelma numeerisessa laskennassa, esim. >> e-017 Mat Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 4

5 Matemaattisia ohjelmistoja Numeerinen laskenta - Matlab - Octave (ns. freeware Matlab ) - MS Excel (ks. harjoitukset 8-9) Symbolinen laskenta - Mathematica (ks. harjoitukset 10-11) - Maple - MathCad Joillakin ohjelmilla voi laskea sekä symbolisesti että numeerisesti. - Esim. Symbolic Math Toolbox Matlabissa. Mat Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 5

6 Matlabin käyttöliittymä Command Window - Komentoja voidaan syöttää yksi kerrallaan. Command History - Aikaisemmin syötetyt komennot. Workspace - Työtilaan tallennetut muuttujat. Editor - Ns. m-tiedostojen (funktioiden ja komentojonotiedostojen) muokkaamista varten. Help - Minkä tahansa funktion helpin saa auki seuraavasti: help funktio Mat Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 6

7 Matlabin Toolboxit Matlabissa on eri sovellusalueille tehtyjä laajennuksia (toolboxeja). Esim: - Statistics Toolbox - Optimization Toolbox - Symbolic Math Toolbox - Curve Fitting Toolbox Mat Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 7

8 Matriisit Matriisi on (luku)taulukko. - Vaakasuunnassa: rivit (rows) - Pystysuunnassa: sarakkeet (columns) Alkio: Yksittäinen matriisissa oleva elementti. Indeksoinnissa esitetään rivi ensin ja sarake toisena, esim. a ij viittaa rivin i ja sarakkeen j alkioon. a 11 a 12 a 1j A = a 21 a 22 a 2j a i1 a i2 a ij Mat Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 8

9 Matriisien käsittely Matlabissa Matlab = Matrix Laboratory Matriisit ovat perustietorakenne Matlabissa. Matriisit syötetään alkioittain hakasulkujen sisään. Välilyönti (tai pilkku) erottaa samalla rivillä olevat alkiot. Puolipiste erottaa rivit toisistaan. Vektorit luodaan vastaavalla tavalla. A = >> A=[1 2 3 ; ; 7 8 9] A = Mat Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 9

10 Listan luominen Kaksoispisteen (:) avulla voidaan luoda lista alkioista. >> x=10:16 x = >> y=10:2:16 % alkioiden välinen erotus 2 y = Huom! % on kommentointimerkki. (Matlab ei suorita sen jälkeen samalla rivillä olevia komentoja.) Mat Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 10

11 Matriisin alkioihin viittaaminen 1/2 Viittaus sulkujen avulla muodossa (rivi,sarake) A = >> A(2,1) 4 Huom! Indeksointi alkaa 1:sta, ei 0:sta (toisin kuin esim. Javassa) Mat Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 11

12 Matriisin alkioihin viittaaminen 2/2 Voidaan myös viitata useamman alkion muodostamaan alueeseen kaksoispisteen (:) avulla. >> A(1:2,1) 1 4 >> A(:,1) % pelkkä kaksoispiste valitsee koko sarakkeen/rivin >> A(2:end,1) % end viittaa viimeiseen alkioon 4 7 Mat Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 12

13 Matriisien muokkaaminen Matriiseja voidaan myös luoda liittämällä toisia matriiseja yhteen. >> B=[A A] B = Tiettyä matriisin alkiota voidaan muuttaa seuraavasti. >> A(1,1)=100 A = Mat Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 13

14 Matriisin transpoosi Matriisin transpoosiin käytetään pilkkua ( ). A = >> A Mat Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 14

15 Peruslaskutoimitukset 1/2 Yhteen- ja vähennyslasku (+, -) >> C=[1 2;3 4], D=[5 6;7 8] C = D = >> C+D >> C-D Mat Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 15

16 Peruslaskutoimitukset 2/2 Kerto- ja jakolasku (*,.*, /,./) >> C*D % Matriisitulo >> C.*D % Alkioittainen tulo >> C/D % Matriisijakolasku (vastaa laskua C*inv(D)) >> C./D % Alkiottainen jakolasku Mat Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 16

17 Käänteismatriisi Matriisin A käänteismatriisi A 1 on olemassa täsmälleen silloin, kun det(a) 0. Käänteismatriisille pätee: A A 1 = A 1 A = I (Yksikkömatriisi). Yhtälöryhmän A x = b ratkaisu: - A on n n matriisi, x = [x 1...x n ] T, b = [b 1...b n ] T. (A 1 A)x = A 1 b Ix = A 1 b x = A 1 b - Matlabissa: x=inv(a)*b tai x=a \b Mat Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 17

18 Kuvaajat 1/2 plot-funktion avulla voidaan piirtää kuvaajia, ks. help plot >> x=-2*pi:0.1:2*pi; % Luodaan x-vektori >> y=sin(x); % Luodaan y-vektori >> plot(x,y); % Piirretään kuvaaja (vaaka-akselilla x, pystyakselilla y) >> grid on % Kuvaajan ruudukko päälle >> axis tight % Akselit ilman tyhjää tilaa laidoilla >> title( Sinikäyrä ) % Kuvaajan otsikko >> xlabel( x-akseli ) % Tunniste x-akselille >> ylabel( y-akseli ) % Tunniste y-akselille >> legend( x ) % Kuvateksti Mat Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 18

19 Kuvaajat 2/2 Sinikäyrä 0.8 x y akseli x akseli Mat Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 19

20 M-tiedostot Edellä komennot on annettu yksitellen komentoriviltä. M-tiedostojen (tiedostojen nimi on muotoa *.m) avulla voidaan ajaa useampi komento peräkkäin. - Mahdollistaa ohjelmoinnin. Syntaksi sama kuin komentoriviltä ajettaessa. Komentojonotiedosto voidaan ajaa editorista käsin (näppäin F5) tai kirjoittamalla tiedoston nimi komentoriville. Mat Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 20

21 Ohjelmoinnin alkeita For-silmukan avulla komentoja voidaan suorittaa useamman kerran peräkkäin. for muuttuja = alkuarvo : askelpituus : loppuarvo end % Suorita komentoja Mat Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 21

22 Esimerkki silmukasta Tehdään ohjelma, joka tulostaa joka kierroksella indeksin i toisen potenssin. for i=1:2:7 end i^ Mat Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 22

23 Kysymyksiä 1. Mitä eroa on numeerisella ja symbolisella laskennalla? 2. Miten puolipiste rivin lopussa vaikuttaa Matlabissa? 3. Luettele kolme eri Matlabin tietotyyppiä ja kerro miten ne eroavat toisistaan? (Vinkki: help datatypes) 4. Mikä on pisteen merkitys vektorien kerto- ja jakolaskussa? 5. Kuinka luot vektorin a joka sisältää kaikki positiiviset parittomat luvut, jotka ovat pienempiä kuin sata? 6. Miten lineaarisen yhtälöryhmän Ax = b voi ratkaista Matlabissa? Nimeä kaksi eri tapaa. Mat Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 23